Gabarito da lista de exercício 6 - Plato

Termodinâmica II - FMT 259Diurno e Noturno, primeiro semestre de 2010Gabarito da lista 61. Considere um gás hipotético para o qual a função de distribuição de velocidades tivesse a forma indicada nagura abaixo. Calcule, em função de v 0 :(a) A constante de normalização C 0 (ver gura).(b) Os valores de < v >, v p e v qm .Resposta:Observe que o gráco acima pode ser representado pela funçãon(v) ={C0v 0v para 0 < v < v 0 ,− C 0v 0v + 2 C 0 para v 0 < v < 2v 0 .Assim, usando a condição de normalização da distribuição n(v), teremos que∫ ∞0n(v)dv = C 0 v 0 = 1 ⇒ C 0 = 1 v 0Vamos reescrever n(v) substituindo o valor de C 0n(v) ={ 1v para 0 < v < vv02 0 ,(v − 2v 0 ) para v 0 < v < 2v 0 .− 1v 2 0Agora podemos obter as velocidades características, item (b) do problema,< v >=∫ v0v 20v 2 0∫ 2v02vdv +v 0− v2dv =v 0= v ( )∣0 v23 + − v3 ∣∣∣2v 0v 0 3v02 = v 0v 03 + 3v 0 − 7v 03 ⇒< v >= v 0.Obtemos v qm através do cálculo de < v 2 > tal que< v 2 >=∫ v0v 30v 2 0∫ 2v02v 2dv +v 0v 0v 2 0− v3v02 dv =( )∣= v2 0 2v34 + − v4 ∣∣∣2v 0( 13v 0 4v02 = v02v 04 + 163 − 2 3 − 164 + 1 4)= 7v2 06 ,1

sendo assimv qm = v 0√76 .Finalmente, podemos observar no gráco que o valor mais provável é v p = v 0 .2. Calcule a velocidade quadrática média, no ar, de partículas de fumaça, cuja massa é de 5, 0 × 10 −14 g, a 0 o Ce à pressão de 1 atmosfera.Resposta:Assumindo que distribuição de velocidades das partículas seque uma distribuição de Maxwell então,v qm =√3kTmsubstituindo os valores dados de temperatura e massa temos v qm≃ 1, 5 cm/s3. (a) Calcule a distribuição de energia n(E), tal que n(E) dE é a fração de moléculas com energia entre Ee E + dE, para um gás ideal em equilí brio térmico à temperatura T.Resposta:Adimitindo que a fração de moléculas com energia entre E e E + dE é igual a fração de moléculas comvelocidade entre v e v + dv. Entãon E (E)dE = n v (v)dv.As partículas que compõem o gás ideal possuem apenas energia cinética de translação, portanto, E = mv22⇒dE = mvdv, logoSabemos quen E (E)mv = n v (v).( m) 3/2n v (v) = 4πv 2 e − mv22kT .2πkTPortanto,simplicando os termos teremosn E (E) = 4π m( m) ( ) 3/2 2E 1/2e − E kT ,2πkT m√En E (E) = 2πk 3 T 3 e− E kT .(b) A partir da distribuição calculada no item (a), calcule a energia média < E >, comparando o resultadocom 1 2 m v2 qm.Resposta:Partindo da denição de média temos< E >=∫ ∞0E n E (E) dE,< E >=∫ ∞0E 3 22√ πk 3 T 3 e− E kT dE.2

Fazendo a mudança de variável E/kT = x 2 , dx =< E >=∫ ∞0dE2 √ EkT logo4kT√ πx 4 e −x2 dx< E >= 3kT2= mv2 qm2(c) Calcule a energia mais provável E p , comparando o resultado com 1 2 m v2 p.Resposta:Para obter o valor de E que maximiza a distribuição n E (E) faremosobtendon ′ E(E p ) = 0 ⇒ 1 2 − E pkT = 0,E p = kT 2 = 1 2(mv2p2).4. Ao nível do mar, a composição volumétrica da atmosfera é 21% de oxigênio e 78% de nitrogênio (há 1% deoutros gases, principalmente argônio). Suponha (embora não seja uma boa aproximação !) que a temperaturado ar não variasse com a altitude, e que seu valor fosse 10 o C. Nesse caso, qual seria a composição volumétricada atmosfera a 10 km de altitude? (considere 1 unidade de massa atômica = 1, 66 × 10 −27 kg).Resposta:Ao nível do mar, o número total de moléculas na atmosfera é n(0). Além disso, n O2 (0) é o número demoleculas de oxigênio, n N2 (0) é o número de moleculas de nitrogênio, n Ar (0) é o número de moleculas de Argônio.Sabendo disso, é válida a relaçãon(0) = n O2 (0) + n N2 (0) + n Ar (0),ou seja,Do enunciado sabemos quen O2 (0)n(0)1 = n O 2(0)n(0)= 0.21, n N 2(0)n(0)+ n N 2(0)n(0)+ n Ar(0)n(0) .= 0.78 e n Ar(0)n(0)= 0.01.No entanto, o número total de moléculas na atmosfera a 10 km de altitude n(z = 10 km) é certamentemenor do que na superfície da terra, isto é n(z = 10 km) < n(z = 0). Para z = 10 km é válida a relaçãoPela lei de Halley, a expressão acima pode ser reescrita como{n(z) = n O2 (0) exp− m O 2gzkTn(z) = n O2 (z) + n N2 (z) + n Ar (z). (1)}{+ n N2 (0) exp− m N 2gzkT}{+ n Ar (0) exp− m ArgzkTObserve que m O2 = 32 u, m N2 = 28 u e m Ar = 18 u (onde 1 u=1 unidade de massa atômica = 1, 66 ×10 −27 kg), substituindo esses valores na expressão acima e dividindo ambos os membros por n(0) teremosn(z)n(0) = n {O 2(0)exp −n(0)}32 ugz+ n {N 2(0)exp −kT n(0)3}28 ugz+ n {Ar(0)kT n(0) exp −}.}18 ugz,kT

∫ ∞0n(v)dv = B∫ ∞0ve − mv22kT dv =kT Bm = 1.Logon(v) = mv mv2e− 2kT .kT(b) Determine a velocidade mais provável, a velocidade média e a velocidade quadrática média.Resposta:Chamando λ =m2kT , então n(v) = 2λ v e−λv2 . Recordando a integral para normalizar a distribuição deMaxwell (3 dimensões) teremos< v >= 2λ< v 2 >= 2λ∫ ∞0∫ ∞v 2 e −λv2 dv = 1 √ √ √π π kT02 λ = 2 m ,v 3 e −λv2 dv = 1 λ = 2kTm ⇒ v qm = √ √kT2m ,n ′ (v) = 0 ⇒ 1 − 2λv 2 = 0 ⇒ v 2 = 12λ = kT m ⇒ v p =√kTm .5