Lista 8 - Plato

FMA403 Lista de Exercícios VIII 1Lista de Exercícios VIII1 Considere um autoestado simultâneo de ˆL 2 ede ˆL z , |l, m〉, deformaque:ˆL 2 |l, m〉 = l(l +1)¯h 2 |l, m〉 , ˆLz |l, m〉 = m¯h|l, m〉 .Calcule para esse estado: 〈ˆL x 〉, 〈ˆL y 〉,(∆ˆL x ) lm e(∆ˆL y ) lm .2 Usandoarelação ˆL 2 = ˆL + ˆL − + ˆL 2 z − ¯h ˆL z , mostre que[ ( 1ˆL 2 = −¯h 2 ∂senθ ∂ )+ 1 ]∂ 2senθ ∂θ ∂θ sen 2 θ ∂ϕ 2❸ Partindo de√Y l,−l (θ, ϕ) = (−1)l (2l +1)!(senθ) l e −ilϕ ,2 l l! 4πmostre que, aplicando sucessivamente o operador ˆL + ,obtém-se a expressãoY l,m (θ, ϕ) = (−1)l+m2 l l!√ √[ ] l+m (2l +1) (l − m)!d4π (l + m)! (senθ)m (senθ) 2l e +imϕ .d(cos θ)4 Considere uma partícula de massa µ sujeita a uma trajetória circular de raioconstante r. A energia potencial será considerada nula em todos os pontos datrajetória.(a) Calcule a expressão clássica para a energia cinética da partícula em funçãode seu momento angular orbital L.(b) Determine a expressão das componentes de L em coordenadas cartesianas.(c) Escreva o operador de momento angular, ˆL z , em coordenadas cartesianas.(d) Calcule a expressão de ˆL z em coordenadas polares (r, θ) do plano de rotaçãoe determine suas autofunções.(f) Determine a expressão do hamiltoniano, Ĥ, dapartícula em rotação.(g) Mostre que ˆL z comuta com Ĥ. Oquesepodeentão deduzir das autofunçõesde Ĥ?(h) Determine os autovalores de Ĥ.5 O problema acima é uma representação da massa reduzida µ de uma moléculadiatômica, cujos átomos estão a uma distância fixa r um do outro, e que efetuamovimentos de rotação.Segundo Semestre – 2007

FMA403 Lista de Exercícios VIII 2(a) Determine os níveis de energia de rotação da molécula diatômica, representadaacima, utilizando a expressão geral para os autovalores de ummomento angular.(b) O espectro de absorção de rotação da molécula de monóxido de carbono,CO, apresenta um pico de absorção para um comprimento de onda λ =1,3mm, correspondente a uma transição entre os níveis l =1el =2. Calculeomomentodeinércia da molécula a partir dos dados experimentais.(c) Deduza a distância entre os átomos constituintes da molécula (para N Aátomos C = 12 g e O = 16 g).❻ Considere uma partícula, sem spin, representada pela função de ondaψ(x, y, z)=A(x + y +2z)e −αr ,onde r = √ x 2 + y 2 + z 2 e A e α são constantes reais.(a) Qual o momento angular total da partícula?(b) Qual o valor esperado da componente z, ˆLz , do momento angular dapartícula?(c) Caso medíssemos ˆL x , qual a probabilidade de que o resultado encontradofosse L x =¯h?(d) Qual a probabilidade de encontrar a partícula no ângulo sólido dΩ, em θ eϕ? Aquiθ e ϕ são os ângulos usuais em coordenadas esféricas.As seguintes expressões podem ser úteis:Y 1,0 =Y 0,0 =√14π ,√3cos θ,4π Y√3Y 1,±1 = ∓ sen θe±iϕ8π√152,±1 = ∓ sen θ cos θe±iϕ8π7 Calculel∑|Y l,m (θ, ϕ)| 2m=−lpara l =0, 1, 2, mostrando que o resultado é independente de θ e ϕ.Segundo Semestre – 2007