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第 一 章第 二 节数 学 建 模 简 介 与建 立 函 数 关 系 举 例一 、 数 学 建 模 简 介二 、 建 立 函 数 关 系 举 例

一 、 数 学 建 模 简 介数 学 模 型 : 数 学 模 型 是 一 种 抽 象 的 模 拟 , 它 用 数 学符 号 数 学 式 子 、 程 序 、 图 形 等 刻 画 客 观 事 物 的 本 质属 性 与 内 在 联 系 , 也 就 是 对 现 实 问 题 作 出 一 些 必 要的 简 化 、 假 设 , 运 用 适 当 的 数 学 工 具 , 得 到 的 一 个数 学 结 构 , 简 称 模 型 。例 如 : 万 有 引 力 定 律 是 牛 顿 运 用 微 积 分 刻 画 天 体运 行 这 一 宇 宙 现 象 的 数 学 模 型 。 它 是 科 学 发 展 史 上最 成 功 的 模 型 之 一 。建 立 数 学 模 型 简 称 为 数 学 建 模 。

数 学 建 模 的 步 骤 :(1) 了 解 问 题 的 实 际 背 景 , 明 确 建 模 目 的 , 掌 握数 据 资 料 ;(2) 抓 住 主 要 矛 盾 , 对 问 题 进 行 简 化 , 提 出 合 理 假 设 ;(3) 利 用 适 当 的 数 学 工 具 , 建 立 数 学 模 型 ;(4) 求 解 所 建 立 的 数 学 模 型 ;(5) 分 析 和 检 验 模 型 的 解 , 以 验 证 模 型 的 正 确 性 。建 模 的 步 骤 如 下 图 所 示现 实 对 象 的 信 息 假 设 建 模反 复应 用验 证求 解

数 学 模 型 的 分 类按 应 用 领 域 分 :人 口 模 型 、 交 通 模 型 、 生 态 模 型 、 经 济 模 型 等 ;按 建 模 目 的 分 :描 述 模 型 、 分 析 模 型 、 预 报 模 型 、 优 化 模 型 、决 策 模 型 、 控 制 模 型 等 ;

按 模 型 中 变 量 的 特 征 分 :连 续 模 型 、 离 散 模 型 、 线 性 模 型 、 非 线 性 模 型 、静 态 模 型 、 动 态 模 型 等 ;按 建 模 的 数 学 方 法 分 :初 等 数 学 模 型 、 几 何 模 型 、 微 分 方 程 模 型 、图 论 模 型 等 ;按 对 模 型 结 构 的 了 解 程 度 分 :白 箱 模 型 、 黑 箱 模 型 、 灰 箱 模 型 等 ;

二 、 建 立 函 数 关 系 举 例例 1 脉 冲 发 生 器 产 生 一 个 单 三 角 脉 冲 , 其 波 形 如 图 所 示 ,写 出 电 压 U 与 时 间 t ( t ≥ 0) 的 函 数 关 系 式 .τ解 当 t ∈ [0, ] 时 ,2U τ( , E )E 2 E2U = t = t ; Eτ τ2( τ ,0 )τt当 t ∈ ( , τ ] 时 ,o τ22U−E − 00 = ⋅ ( t − τ ),τ− τ2即t( t ≥2 EU =− ( t −τ)τ0)单 三 角 脉 冲 信 号 的 电 压

当 t∴ U =∈ ( τ, +∞ ) 时 , U = 0.U() t 是 一 个 分 段 函 数 ,UE其 表 达 式 为o⎧ 2Eτ⎪t,t ∈[0,]τ2⎪ 2EτU(t)= ⎨−( t − τ),t ∈ ( , τ]⎪ τ2⎪0, t ∈ ( τ,+∞)⎩τ( , E)2τ2(τ,0)t

例 2 有 一 半 径 为 a 的 半 球 形 碗 , 在 碗 内 随 机 放 入一 根 质 量 均 匀 , 长 度 为 ( 2a < l < 4a)的 细 杆 ,试 建 立 细 杆 的 中 心 所 在 位 置 的 函 数 关 系 .解 将 问 题 简 化 在 平 面 坐 标 系 中 .设 G(x,y) 为 细 杆 中 心 , 细 杆 与 y 轴 交 角 为 θ,l于 是x = CG =yGB sinθ.= OB − CB = a − GB cos θ− aAOxxy C)BθG( x,yay

而GBl= AB − AG = 2acosθ− ,2代 入 下 式 便 得 细 杆 中 心的 位 置 函 数 为 :⎧l⎪x = (2acosθ− )sinθ,2⎨(0 < θl⎪y= a −(2acosθ− )cosθ,⎩2− aπ< ).2AOxxy C)BθG( x,yayx =GB sinθ.y=a−GBcosθ

例 3 一 打 工 者 , 每 天 上 午 到 培 训 中 心 A 学 习 , 下 午 到公 司 B 上 班 , 晚 饭 后 再 到 酒 店 C 服 务 , 早 晚 饭 在宿 舍 吃 , 中 午 带 饭 在 学 习 或 工 作 的 地 方 吃 .A、B、 C 位 于 同 一 条 街 的 一 侧 , 且 酒 店 在 培 训 中 心 与公 司 之 间 , 中 心 与 酒 店 相 距 3km, 酒 店 与 公 司相 距 4km, 问 该 打 工 者 在 这 条 街 道 的 A 与 B 之 间何 处 找 一 宿 舍 , 才 可 使 每 天 往 返 的 路 程 最 少 。解 假 设 街 道 是 平 直 的 , 并 设 宿 舍 D 距 培 训 中 心A 为 x(km), 每 天 往 返 的3km 4km路 程 为 f (x)(km) O(A)CB x

则 当 D 位 于 A 与 C 之 间 时 , 3km 4kmf ( x)= x + 7 + (7 − x)O(A)xkmD C B x+ 2(3− x)= 20 − 2x,(0 ≤ x ≤ 3);3km 4kmO(A) C B x当 D 位 于 C 与 B 之 间 时 ,xkmf ( x)= x + 7 + (7 − x)D+ 2(x − 3)= 8 + 2 x,(3 < x ≤ 7).

于 是 ,⎧20−2x,0 ≤ x ≤ 3,f ( x)= ⎨⎩8+2x,3 < x ≤ 7.作 出 它 的 图 形 :由 图 易 得 f (x) 为 一 分 段 函 数 ,yO 3 7在 [0,3] 上 单 调 减 少 , 在 [3,7] 上 单 调 增 加 , 在 x=3 处202214x取 得 最 小 值 . 这 说 明 打 工 者 应 在 酒 店 C 处 找 宿 舍 ,方 可 使 每 天 走 的 路 最 少 .