aula_retas_geometria analitica.pdf - Ufersa

Aula 13Sejam r 1 = { P 1 + t −→ v 1 | t ∈ R} e r 2 = { P 2 + t −→ v 2 | t ∈ R} duas retas no espaço.Se r 1 ≠ r 2 , sabemos que r 1 e r 2 são concorrentes (isto é r 1 ∩r 2 ≠ ∅) ou não se intersectam.Quando a segunda possibilidade ocorre, temos ainda duas situações a considerar: as retaspodem ser paralelas ou reversas.Definição 1A distância entre r 1 e r 2 é o número d(r 1 , r 2 ) dado por:d(r 1 , r 2 ) = min d(P, Q) | P ∈ r 1 e Q ∈ r 2 }Se as retas se intersectam, a definição diz que d(r 1 , r 2 ) = 0. Assim, os casos importantesa considerar ocorrem quando r 1 ∩ r 2 = ∅.1. Distância entre duas retas paralelas no espaçoSuponhamos que r 1 ‖ r 2 . Então −→ v 1 e −→ v 2 sãocolineares, r 1 ∩r 2 = ∅ e existe um plano π que contémambas as retas.Seja P 1 ∈ r 1 e R 1 o pé da perpendicular baixadade P 1 sobre a reta r 2 . Então,d(P, Q) ≥ d(P, R) = d(P 1 , R 1 ) .quaisquer que sejam os pontos P ∈ r 1 e Q ∈ r 2 , ondeR é o pé da perpendicular baixada de P sobre a retar 2 , pois P 1 R 1 RP é um quadrilátero contido no plano π.Logo d(r 1 , r 2 ) = d(P 1 , R 1 ) = d(P 1 , r 2 ) qualquerque seja o ponto P 1 ∈ r 1 .Fig. 1: d(P, Q) ≥ d(r 1 , r 2 ), para todo Q ∈ r 2 e P ∈ r 1 .Exemplo 1Mostre que a reta r 1 que passa por A 1 = (1, 2, 1) e B 1 = (2, 1, 0) é paralela à reta r 2 que passapor A 2 = (0, 1, 2) e B 2 = (1, 0, 1). Calcule a distância entre r 1 e r 2 .

Geometria Analítica - Aula 13 158Solução.Temos−→v 1= −−−→ A 1 B 1 = (1, −1, −1) ‖ r 1 e−→v 2= −−−−→ A 2 , B 2 = (1, −1, −1) ‖ r 2 .Logo −→ v 1= −→ v 2 , e as retas r 1 e r 2 são:r 1 = {A 1 + t −→ v 1 | t ∈ R} = {(1 + t, 2 − t, 1 − t) | t ∈ R} ,r 2 = {A 2 + s −→ v 2 | s ∈ R} = {(s, 1 − s, 2 − s) | s ∈ R} .Para verificar que r 1 ‖ r 2 , basta verificar que um ponto de r 2 não pertence a r 1 , pois já sabemosque −→ v 1 e −→ v 2 são múltiplos. Por exemplo, vejamos que B 2 = (1, 0, 1) ∉ r 1 .De fato, se B 2 = (1, 0, 1) ∈ r 1 , então deveria existir um valor t ∈ R tal que:⎧⎪⎨ 1 + t = 12 − t = 0⎪⎩1 − t = 1 .Da segunda dessas identidades obtemos t = 2 e, substituindo esse valor de t na primeiraidentidade, obtemos 3 = 1 + 2 = 1, um absurdo.Portanto, B 2 ∉ r 1 e as retas r 1 e r 2 são, efetivamente, paralelas.Para calcular a distância d(r 1 , r 2 ) basta calcular a distância de um ponto de r 1 a r 2 . Por exemplo,calculemos d(A 1 , r 2 ).Vamos determinar um ponto C = (s, 1 − s, 2 − s) ∈ r 2 , tal que o vetor−−−→A 1 C = (−1 + s, −1 − s, 1 − s)seja perpendicular à reta r 2 , isto é, ao vetor −→ v 2Temos−−−→A 1 C ⊥ −→ v 1 ⇐⇒ 0 = 〈 −−−→ A 1 C , −→ v 1 〉⇐⇒ s = 1 3 .Logo −−−→ (A 1 C = − 2 3 , −4 3 , 2 ). Portanto,3d(r 1 , r 2 ) = d(A 1 , C) = ‖ −−−→ A 1 C ‖ =é a distância procurada. □= (1, −1, −1).= 〈(−1 + s, −1 − s, 1 − s), (1, −1, −1)〉= −1 + s + 1 + s − 1 + s = 3s − 1√ (− 2 3) 2 (+ − 4 ) 2 ( 2 +3 3) 2=13√ 2√ 24 = 6 ,3IM-UFFK. Frensel - J. Delgado

159 Geometria Analítica - Aula 132. Distância entre duas retas reversas no espaçoSejam r 1 = { P 1 + t −→ v 1 | t ∈ R} e r 2 = { P 2 + t −→ v 2 | t ∈ R} duas retas reversas noespaço, isto é, r 1 ∩ r 2 = ∅ e os vetores −→ v 1 e −→ v 2 não são colineares. Sabemos que a distânciaentre r 1 e r 2 é a menor dentre as distâncias dos pontos de r 1 aos pontos de r 2 :d(r 1 , r 2 ) = min{d(P, Q) | P ∈ r 1 e Q ∈ r 2 } .Sejam π 1 e π 2 os planos paralelos aos vetores −→ v 1e −→ v 2 que contém, respectivamente, os pontos P 1 e P 2 .Já sabemos qued(π 1 , π 2 ) = min{d(P, Q) | P ∈ π 1 e Q ∈ π 2 } = d(P ′ , Q ′ ) ,onde P ′ ∈ π 1 é um ponto arbitrário e Q ′ ∈ π 2 é o pé daperpendicular baixada desde o ponto P ′ sobre o planoπ 2 . Isto é, −−−→ P ′ Q ′ ⊥ π 2 (ou a π 1 ).Pela própria definição, temospois r 1 ⊂ π 1 e r 2 ⊂ π 2 .Afirmamos qued(r 1 , r 2 ) ≥ d(π 1 , π 2 ) ,Fig. 2: Retas reversas r 1 e r 2 .d(r 1 , r 2 ) = d(π 1 , π 2 )De fato, basta mostrar que existem P ′ 1 ∈ r 1 e P ′ 2 ∈ r 2, tais que, −−−→ P ′ 1 P ′ 2a r 2 , isto é, perpendicular aos vetores −→ v 1 e −→ v 2 .Consideremos P ′ 1 = P 1 + t −→ v 1 ∈ r 1 e P ′ 2 = P 2 + s −→ v 2 ∈ r 2 . Como −−−→ P ′ 1 P ′ 2−−−→P 1 ′ P 2 ′ ⊥ −→ v 1 ⇐⇒ 〈 −−−→ P 1 ′ P 2 ′ , −→ v 1 〉 = 〈 −−−→ P 1 P 2 + s −→ v 2 − t −→ v 1 , −→ v 1 〉 = 0−−−→P 1 ′ P 2 ′ ⊥ −→ v 2 ⇐⇒ 〈 −−−→ P 1 ′ P 2 ′ , −→ v 2 〉 = 〈 −−−→ P 1 P 2 + s −→ v 2 − t −→ v 1 , −→ v 2 〉 = 0 .Desenvolvendo os produtos internos acima, obtemos que −−−→ P ′ 1 P ′ 2é perpendicular aos vetores−→ v 1 e −→ v 2 , simultaneamente, se, e somente se,⎧⎪⎨ 〈 −−−→ P 1 P 2 , −→ v 1 〉 + s〈 −→ v 2 , −→ v 1 〉 − t〈 −→ v 1 , −→ v 1 〉 = 0⎪⎩〈 −−−→ P 1 P 2 , −→ v 2 〉 + s〈 −→ v 2 , −→ v 2 〉 − t〈 −→ v 1 , −→ v 2 〉 = 0 ,⎧⎪⎨⇐⇒⎪⎩é perpendicular a r 1 e= −−−→ P 1 P 2 + s −→ v 2 − t −→ v 1 :s〈 −→ v 2 , −→ v 1 〉 − t〈 −→ v 1 , −→ v 1 〉 = −〈 −−−→ P 1 P 2 , −→ v 1 〉s〈 −→ v 2 , −→ v 2 〉 − t〈 −→ v 1 , −→ v 2 〉 = −〈 −−−→ P 1 P 2 , −→ v 2 〉 .Desejamos, então, mostrar que esse sistema possui uma única solução para s e t, edeterminar tais valores de s e t. O sistema possui uma única solução se, e so se, o determinante(〈 −→ v 2 , −→ v 1 〉 −〈 −→ v 1 , −→ )v 1 〉det〈 −→ v 2 , −→ v 2 〉 −〈 −→ v 1 , −→ = −〈 −→ v 1 , −→ v 2 〉 2 + 〈 −→ v 1 , −→ v 1 〉〈 −→ v 2 , −→ v 2 〉 = ‖ −→ v 1 ‖ 2 ‖ −→ v 2 ‖ 2 − 〈 −→ v 1 , −→ v 2 〉 2 ,v 2 〉é diferente de zero.K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica - Aula 13 160A expressão anterior é igual a‖ −→ v 1 ‖ 2 ‖ −→ v 2 ‖ 2 − 〈 −→ v 1 , −→ v 2 〉 2 = ‖ −→ v 1 ‖ 2 ‖ −→ v 2 ‖ 2 − ‖ −→ v 1 ‖ 2 ‖ −→ v 2 ‖ 2 cos 2 ∠( −→ v 1 , −→ v 2 )= ‖ −→ v 1 ‖ 2 ‖ −→ v 2 ‖ ( 2 1 − cos 2 ∠( −→ v 1 , −→ v 2 ) )= ‖ −→ v 1 ‖ 2 ‖ −→ v 2 ‖ 2 sen 2 ∠( −→ v 1 , −→ v 2 ) .Como −→ v 1 e −→ v 2 são vetores não-nulos e não-colineares, temos que 0 o < ∠( −→ v 1 , −→ v 2 ) < 180 oe, em particular, sen ∠( −→ v 1 , −→ v 2 ) ≠ 0.Portanto, o determinante anterior é diferente de zero e o sistema em questão possui umaúnica solução para s e t. Esses valores determinam um único par de pontos P 1 ′ ∈ r 1 e P 2 ′ ∈ r 2,tais que, −−−→ P 1 ′ P 2′ é perpendicular a r 1 e a r 2 , simultaneamente, e a distância entre r 1 e r 2 éd(r 1 , r 2 ) = d(P ′ 1 , P ′ 2 )Exemplo 2Mostre que as retas⎧⎪⎨ x = 1 + tr 1 : y = 2t⎪⎩z = 0⎧⎪⎨ x = 2 + t; t ∈ R e r 2 : y = 3⎪⎩z = 1 + t; t ∈ R .são reversas, calcule d(r 1 , r 2 ) e determine a única reta r 3 que intersecta r 1 e r 2 perpendicularmente.Solução.Temos que r 1 ‖ −→ v 1 = (1, 2, 0) e r 2 ‖ −→ v 2 = (1, 0, 1) . Como −→ v 1 e −→ v 2 não são colineares, asretas devem ser concorrentes ou reversas.Para mostrar que r 1 e r 2 são reversas, basta verificar que r 1 ∩ r 2 = ∅.Suponhamos, por absurdo, que r 1 ∩ r 2 ≠ ∅. Então deveriam existir valores s, t ∈ R, tais que(1 + t, 2t, 0) = (2 + s, 3, 1 + s) ,de onde, igualando as coordenadas, obtemos:1 + t = 2 + s2t = 30 = 1 + s .Da segunda identidade, temos t = 3 2e da terceira, s = −1. Esses valores são incompatíveiscom a primeira identidade, pois 1 + t = 1 + 3 2 = 5 ≠ 1 = 2 + (−1) = 1 + s. Assim, o sistema não2tem solução e os valores procurados para s e t não existem.Logo, as retas r 1 e r 2 não se intersectam, isto é, são reversas.IM-UFFK. Frensel - J. Delgado

161 Geometria Analítica - Aula 13Vamos determinar pontos P ′ 1 = (1 + t, 2t, 0) ∈ r 1 e P ′ 2 = (2 + s, 3, 1 + s) ∈ r 2 tais que o vetor−−−→P ′ 1 P ′ 2 = (1 + s − t, 3 − 2t, 1 + s) seja perpendicular a −→ v 1 e −→ v 2 , simultaneamente.Devemos achar valores s, t ∈ R, tais que,{〈 −−−→ P 1 ′ P 2 ′ , −→ v 1 〉 = 0〈 −−−→ P 1 ′ P 2 ′ , −→ isto é,v 2 〉 = 0{〈(1 + s − t, 3 − 2t, 1 + s), (1, 2, 0)〉 = 0〈(1 + s − t, 3 − 2t, 1 + s), (1, 0, 1)〉 = 0ou seja,{s − 5t = −72s − t = −2 .Substituindo t = 2 + 2s da segunda equação, na primeira, obtemos s − 10 − 10s = −7, ou seja,s = − 1 (e t = 2 + 2 − 1 )= 4 . Com esses valores dos parâmetros s e t, calculamos as33 3coordenadas de P 1 ′, P 2 ′ e −−−→ P 1 ′ P 2 ′( :7P 1 ′ = 3 , 8 ) ( 53 , 0 , P 2 ′ = 3 , 3, 2 )3Portanto, a distância entre r 1 e r 2 ée−−−→ (P 1 ′ P 2 ′ = − 2 3 , 1 3 , 2 ).3d(r 1 , r 2 ) = ‖ −−−→ P ′ 1 , P ′ 2 ‖ = 1 3√4 + 1 + 4 = 1 ,er 3 =} {( 7{P 1 ′ + t−−−→ P 1 ′ P 2 ′ | t ∈ R =3 − 2 3 t , 8 3 + 1 3 t , 2 ) ∣∣ }3 t t ∈ R ,é a reta procurada. □Exemplo 3Sejam r 1 a reta que passa pelo ponto P 1 = (1, 1, 2) e é paralela ao vetor −→ v 1de intersecção dos planos π 1 : x + 2y + z = 4 e π 2 : x + z = 2.(a) Mostre que r 1 e r 2 são retas reversas.(b) Calcule a distância entre r 1 e r 2 .(c) Determine a única reta r que intersecta r 1 e r 2 perpendicularmente.= (1, 1, 0) e r 2 a retaSolução.(a) A reta r 1 é dada porr 1 = {P 1 + t −→ v 1 | t ∈ R} = {(1 + t, 1 + t, 2) | t ∈ R} .Determinemos a equação paramétrica da reta r 2 .Para achar um ponto P ′ 1 ∈ r 2, tomamos x = 0, por exemplo, nas equações dos planos π 1 e π 2 :{2y + z = 4z = 2 =⇒ 2y + 2 = 4 =⇒ y = 1 . Portanto, P ′ 1 = (0, 1, 2) ∈ r 2 .Para achar outro ponto P ′ 2 ∈ r 2, tomamos x = 2, por exemplo, nas equações dos planos π 1 e π 2 :K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica - Aula 13 162{2 + 2y + z = 42 + z = 2 =⇒ z = 0 =⇒ y = 1 . Portanto, P ′ 2 = (2, 1, 0) ∈ r 2 .Logo r 2 é a reta que passa pelo ponto P ′ 1Ou seja, r 2 passa por P ′ 1 = (0, 1, 2) e r 2 ‖ −→ v 2= (0, 1, 2) e é paralela ao vetor−−−→P ′ 1 P ′ 2= (1, 0, −1):r 2 = {P ′ 1 + s−→ v 2 | s ∈ R} = {(s, 1, 2 − s) | s ∈ R} .= (2, 0, −2).Como os vetores −→ v 1 = (1, 1, 0) e −→ v 2 = (1, 0, −1) não são colineares, as retas r 1 e r 2 devem serconcorrentes ou reversas.Suponhamos que r 1 ∩ r 2 = {Q}. Então Q = (1 + t, 1 + t, 2) = (s, 1, 2 − s) para certos valoress, t ∈ R, que tentaremos determinar.Devemos ter 1 + t = s , 1 + t = 1 e 2 = 2 − s. Da segunda identidade, obtemos t = 0 e, daterceira, s = 0. No entanto, esses valores não são compatíveis com a primeira identidade, pois1 + t = 1 + 0 ≠ 0 = s.Assim, o ponto Q ∈ r 1 ∩ r 2 não existe. Isto é, r 1 ∩ r 2 = ∅ e, portanto, as retas são reversas.(b) e (c) Devemos determinar pontos P ∈ r 1 e P ′simultaneamente.Como P = (1 + t, 1 + t, 2) e P ′ = (s, 1, 2 − s), temos −−→ PP ′∈ r 2 , tais que −−→ PP ′ ⊥ −→ v 1 e −−→ PP ′ ⊥ −→ v 1 ,= (s − t − 1, −t, −s) e as condições deperpendicularidade, em termos do produto interno, são:{〈 −−→ PP ′ , −→ {v 1 〉 = 0〈(s − t − 1, −t, −s), (1, 1, 0)〉 = 0〈 −−→ PP ′ , −→ ⇐⇒v 2 〉 = 0〈(s − t − 1, −t, −s), (1, 0, −1)〉 = 0{ {s − t − 1 − t = 0s − 2t = 1⇐⇒⇐⇒s − t − 1 + s = 02s − t = 1Substituindo s = 2t+1 da primeira equação, na segunda, obtemos 4t+2−t = 1 ou seja t = − 1 3 .(Logo s = 2 − 1 )+ 1 = 1 3 3 .( 2Portanto, P = (1 + t, 1 + t, 2) =3 , 2 )( 13 , 2 ; P ′ = (s, 1, 2 − s) =3 , 1, 5 ; e3)−−→(PP ′ = (s − t − 1, −t, −s) = − 1 3 , 1 )3 , −1 = 1 (−1, 1, −1) .3 3Assim, d(r 1 , r 2 ) = ‖ −−→ PP ′ ‖ = 1 √√ 31 + 1 + 1 = e a única reta r que intersecta r 1 e r 2 perpendicularmente,que passa por P e que é paralela ao vetor −−→ PP ′ , ou seja, paralela ao vetor33−→ v = (−1, 1, −1). Logor = { P + t −→ v | t ∈ R } {( 2=3 − t , 2 ) ∣∣ }3 + t , 2 − t t ∈ Ré a reta procurada. □IM-UFFK. Frensel - J. Delgado

163 Geometria Analítica - Aula 133. Posição relativa de um plano e uma esferaSabemos da geometria espacial que a intersecção de um plano com uma esfera pode serum ponto, um círculo ou o conjunto vazio. Vamos provar estes fatos usando os recursos dageometria analítica.Teorema 1Sejam π um plano e S uma esfera de centro A e raio R > 0. Então,(a) d(A, π) > R se, e somente se, π ∩ S = ∅.(b) d(A, π) = R se, e somente se, π ∩ S é um ponto.Neste caso, dizemos que π é o plano tangente a S no ponto P 0 , onde P 0 é o ponto de intersecçãodo plano π com a reta normal a π que passa pelo centro A da esfera S.(c) d(A, π) < R se, e somente se, π ∩ S é um círculo.Além disso, o círculo π ∩ S contido no plano π, tem raio √ R 2 − d(A, π) 2intersecção do plano π com a reta normal a π que passa pelo centro A da esfera S.Prova.e centro no ponto deSeja OXYZ um sistema de eixos ortogonais tal que, π XY = π e A = (0, 0, c), com c ≥ 0. Nessesistema de coordenadas, temos d(A, π) = c eSuponhamos que d(A, π) = c > R.S = {(x, y, z) | x 2 + y 2 + (z − c) 2 = R 2 }.Seja (x, y, 0) ∈ π = π XY um ponto arbitrário. Comox 2 + y 2 + (0 − c) 2 ≥ c 2 > R 2 ,concluímos que (x, y, 0) ∉ S. Isto é, nenhum ponto de π pertence a S, ou seja, π ∩ S = ∅.Portanto, d(A, π) = c > R =⇒ π ∩ S = ∅.Fig. 3: d(A, π) = c > R. Fig. 4: d(A, π) = c = R.Suponhamos, agora, que d(A, π) = c = R.Seja P = (x, y, 0) ∈ π = π XY . TemosP ∈ S ⇐⇒ x 2 + y 2 + (0 − c) 2 = R 2 ⇐⇒ x 2 + y 2 + R 2 = R 2 ⇐⇒ x 2 + y 2 = 0 ⇐⇒{x = 0y = 0 .K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica - Aula 13 164Logo P = (x, y, 0) ∈ π ∩ S se, e somente se, P = (0, 0, 0).Provamos, assim, que d(A, π) = c = R =⇒ π ∩ S = {P = (0, 0, 0)}.Como o vetor −−→ PA = (0, 0, c) é perpendicular ao plano π = π XY , temos que P é, geometricamente,o ponto onde a reta que passa por A e é perpendicular ao plano π intersecta π.Finalmente, suponhamos que d(A, π) = c < R.TemosP = (x, y, 0) ∈ π ∩ S ⇐⇒ x 2 + y 2 + c 2 = R 2 ⇐⇒ x 2 + y 2 = R 2 − c 2 .Isto é, π ∩ S é um círculo contido no plano π = π XY de raio √ R 2 − c 2 = √ R 2 − d(A, π) 2 e centrono ponto P = (0, 0, 0), que é, geometricamente, o ponto de intersecção de π com a reta normalao plano π que passa pelo centro A da esfera S.Fig. 5: d(A, π) = c < R. Fig. 6: Cálculo do raio de C.Para provarmos que as recíprocas também são válidas, basta observarmos qued(A, π) > R , d(A, π) = R , d(A, π) < Resgotam todas as possibilidades, enquanto as afirmações• π ∩ S = ∅;• π ∩ S é um ponto;• π ∩ S é um círculo;excluem-se mutuamente.De fato, suponhamos, por exemplo, que π ∩ S = ∅. Então, necessariamente, d(A, π) > R, poisse d(A, π) = R teríamos que π∩S é um ponto, e se d(A, π) < R teríamos que π∩S é um círculo.Exemplo 4Seja S uma esfera de centro A = (2, 1, −1) e suponha que o plano π : x + z + 1 = 0 seja tangentea S.(a) Calcule o raio de S.(b) Calcule o ponto de tangência do plano π com a esfera S.(c) Determine um plano α que seja perpendicular a π e tangente a S.IM-UFFK. Frensel - J. Delgado

Geometria Analítica - Aula 13 166Solução.Consideremos a esferaS : (x − 3) 2 + (y + 2) 2 + (z − 1) 2 = 100 ,de centro no ponto A = (3, −2, 1) e raio ρ = 10, e o planoπ : 2x − 2y − z = −9 ,perpendicular ao vetor −→ v = (2, −2, −1) que passa pelo ponto (0, 0, 9).Comod(A, π) =|2(3) − 2(−2) − 1 + 9|√2 2 + (−2) 2 + (−1) 2 =|6 + 4 − 1 + 9|√4 + 4 + 1= 18 √9= 183 = 6 < 10 = ρ ,a esfera S e o plano π efetivamente se intersectam ao longo do círculo C.O raio R do círculo C éR = √ ρ 2 − d(A, π) 2 = √ 100 − 36 = √ 64 = 8 ,e o centro de C é o ponto de intersecção do plano π com a reta r que passa por A = (3, −2, 1) eé paralela ao vetor −→ v = (2, −2, −1) normal ao plano π.As equações paramétricas de r são:⎧⎪⎨x = 3 + 2tr : y = −2 − 2t⎪⎩ z = 1 − t; t ∈ R.Logo o centro C do círculo C é o ponto C = (3 + 2t, −2 − 2t, 1 − t), onde o valor do parâmetro tse determina sabendo que C ∈ π : 2x − 2y − z = −9, isto é,Logo 9t + 9 = −9 =⇒ t = −2 e, portanto,é o centro da esfera C. □2(3 + 2t) − 2(−2 − 2t) − (1 − t) = −9 ,C = (3 + 2(−2), −2 − 2(−2), 1 − (−2)) = (−1, 2, 3),IM-UFFK. Frensel - J. Delgado