x - Engenharia Biomédica

Engenharia BiomédicaEN2310 – MODELAGEM, SIMULAÇÃO ECONTROLEAPLICADOS A SISTEMAS BIOLÓGICOSProfessores: Ronny Calixto CarbonariJaneiro de 2013

11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS2Método de ElementosFinitos(MEF):Elementos de Treliça

ObjetivoA aplicação mais tradicional de MEF é na simulação de estruturas mecânicasOs tipos de elementos mais simples e mais usados na análise estruturalmecânica são os elementos de treliça, de viga e os sólidos.Devido ao avanço do:‣ Hardware;‣ Formulações Numéricas.→ avanço da aplicação de métodos numéricos na modelagem de sistemasbiomédicosMEF11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS3

Introdução11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS4Sistemas contínuos: Por definição, uma estrutura contínua tem infinitos graus de liberdade e, portanto,infinitas frequências naturais (autovalores); A massa e rigidez de uma estrutura contínua são distribuídas em seu volume.

MEF Aplicado a Estruturas de TreliçaA somatória das forças no elemento infinitesimal na direção x é:Sendo que:Portanto:2F u dF F A t 2A somatória das forças no elemento infinitesimal na direção x é:uF Ax AE xF udF dx EA dxx x x2u A EA2u t x x11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS6

MEF Aplicado a Estruturas de Treliça11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICSPor exemplo, considerando a estrutura discretizada com elementos de treliça, comomostrado abaixo:

MEF Aplicado a Estruturas de TreliçaAnalisando um elemento da estrutura de treliça, temos:Lnó 1 nó 2u 1u 2Adotando um polinômio de primeira ordem como função interpoladora dosdeslocamento, temos:Onde:Sendo que:N1u N u N uLLx1 1 2 2e2 211th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICSN2xLx 0 N 1 e x L N 01 1x 0 N 0 e x L N 1

MEF Aplicado a Estruturas de TreliçaMétodo de Galerkin: seja um domínio limitado, queremos obter em umasolução da equação diferencial:onde A é um operador diferencial desatisfazendo a condição de contornoAu 0uma função de n variáveis,u | 0u x ,..., 1xn Au 0 Aux ,..., 1x 0 n Aux x é ortogonal à toda função xL2Se a função for solução em , então em .Consequentemente, a função ,..., 1 nisto é:nL2Au x xdx 0e u: http://www.pma.uem.br/arquivos/dissertacoes/veridiana_rezende.pdf2u u A EA 02 t x xSoluçãoL02 u uA EA w2 idxt x x 011th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS9

MEF Aplicado a Estruturas de TreliçaDefinida a função interpoladora podemos aplicar a formulação do Método deElementos Finitos MEF (Método de Galerkin) para um único elemento, temos:L02 u uA EA w 02 idxt x x Onde, i =1, 2 (graus de liberdade)Integrando por partes o segundo termo da expressão acima, considerando:uv|x2x1x2x1vduw x u udv EA dx v EA x x xiu widu dxL L u uwiwiEA EA dxx 0 x x011th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS10

MEF Aplicado a Estruturas de Treliça11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS11Substituindo, obtemos:L02L u u wi uAwiEA dx w2iEAt x x x0 0Considerandoi 1w N1 1L0 LL x L x x u1 u21 L x u A u1 u2 EA dx EA 2 L L L u L L uL w1 L x 02txx0Agora, considerando i 2 w2 N2L0 Lx L x x u1 u21 x u A u1 u2 EA dx EA 2 L L L u L L uL w2 L x 02 txx0

MEF Aplicado a Estruturas de Treliça11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS12Após calcular as integrais e agrupar na forma matricial ambas as equações obtém-se:u|x0 AL 2 1 u1 EA 1 1 u1 x F1EA61 2 u2 L1 1 u2 uF2| xLx • F 1 e F 2 são as forças de compressão ou tração na treliça;• Em geral, não temos forças distribuidas em treliças, mas o carregamentocorrespondente seria F 1 = F 2 ;• Para modelar uma estrutua de treliças basta aplicarmos para cada elemento aequação descrito acima.

MEF Aplicado a Estruturas de TreliçaAssim, podemos escrever a equação na forma mais genérica, dada por:M e – matriz de massaM U K U FU e – vetor de deslocamento nodalṺ e – vetor de aceleração nodalK e – matriz de rigidezF e – vetor de carregamento nodal e e e e eA matriz de massa apresentada acima, é chamada de matriz de massa consistente.Pode-se usar também uma formulação mais intuitiva de matriz de massa, chamada dematriz concentrada (“lamped”) dada por:Me AL 1 020 1 11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS13

MEF Aplicado a Estruturas de Treliça11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS14A matriz de massa concentrada é obtida aproximando-se o elemento de treliça por umsistema massa mola, ou seja:L A AL2AEL AL2É uma formulação utilizada somente quando se deseja reduzir o tempo computacionalda análise.

MEF Aplicado a Estruturas de Treliça11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICSInicialmente, na dedução do MEF para treliças consideramos que os nós sómovimentam na direção x, no entanto o elemento de treliça sofre apenas deformaçãoaxial, e seus nós podem deslocar nas direções x e y.Dessa forma o vetor u de deslocamento nodal, como mostrado na figura abaixo, fica:U u v u ve1 1 2 2tv 1Lv 2nó 1 u 1 nó 2u 2

MEF Aplicado a Estruturas de Treliça11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS16Nesse caso, a matriz de rigidez fica:KeEAL 1 0 1 00 0 0 01 0 1 0 0 0 0 0A formulação apresentada acima supõe que o elemento de treliça está alinhado com umdos eixos coordenados.No entanto, as treliça apresentam dispostas formando ângulos com um sistema cartesianoglobal xy, como mostrado na figura a seguir:

MEF Aplicado a Estruturas de Treliçav 2u 2yv 1u 1Lnó 2nó 1Assim, os deslocamentos nodais u e v (local) são decompostos em componentes U e V(global) na direção dos eixos globais, ou seja:u1 cossin0 0 u1v1s incos0 0v 1 u2 0 0 cossinu2v 0 0 sincosv2 211th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICSU T Ue e e17

MEF Aplicado a Estruturas de Treliça11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS18onde a matriz [T] é chamada matriz transformação de coordenadas e θ é o ângulo deorientação do elemento.As matrizes de rigidez e massa expressas em função de u e v também devem sertransformadas de forma a serem expressas em função de U e V.Portanto, a transformação de coordenadas entre o sistema local e o global para asmatrizes de rigidez e massa podem ser obtidos utilizando o conceito de energia elásticado elemento, expressa por:1 1 tE 2 2 tU K U U K Uelastica e e e e e eSubstituindo a transformação de coordenadas:1 t1 t tE U K U U T 2 2K T U elastica e e e e e ete eK T K T

MEF Aplicado a Estruturas de Treliça11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS19ou seja:KEAL2 2 cos cos sin cos cos sin2 2 cos sin sin cos sin sin 2 2cos cos sin cos cos sin2 2cos sin sin cos sin sin Dessa forma, a matriz de massa fica:M T M Tet e

MEF Aplicado a Estruturas de Treliça11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS20Além disso, a expressão da deformação fica:u u u cos v sin u cos v sinx L Lu11v Lu2v2 u2 1 2 2 1 1 1 cos sin cos sin

11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS21Método de ElementosFinitos(MEF):Elementos de Viga

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS22A formulação de elemento de viga apresentada é denominada viga de Euler-Bernoulli,→ supõe que o plano da seção permanece sempre normal à linha neutra da viga →desprezam-se os efeitos de tensões de cisalhamento na seção da viga, o que permiteescrever a rotação Φ como derivada do deslocamento w, como mostraremos a seguir:

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS23A somatória das forças na direção y do elemento infinitesimal é: V x t V x, t dxV x, t f x,t dx Adx x2, ,w x tt2A somatória dos momentos no elemento infinitesimal em relação ao ponto Q é dadapor: M x, t V x,t M x, t dx M x, t V x,t dxdx x xdxf x, tdx02

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS24Rearranjando a equação, temos: , , , 2 M x t V x t f x t V x, t dx dx 0 x x xAssumindo que: dx 2 0Temos que:V x,tM x,txSubstituindo a equação acima na somatória das forças em y, temos:2 2 M x, t w x,t dx f2 x,tdx Adx2xt

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS25Sabendo-se que a deformação devido ao momento é dado por:M x,t EI2w x,tx2Portanto: , w x,t4 2 w x tEI A f4 2 x,txtDefinindo como função interpoladora para o deslocamento w um polinômio deterceira ordem, temos:2 3 w x c c x c x c x0 1 2 3 2w x x c1 2c2x 3c3xx

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICSEscrevendo os coeficientes interpoladores como função dos deslocamentos e rotações,temos:00 w c wc0 11 1w L c c L c L c L w2 30 1 2 3 2 L c 2c L 3c L Resolvendo o sistema anterior, obtém-se:21 2 3 2 w x H x w H x H x w H x1 1 2 1 3 2 4 2

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICSOnde:3x2xH1 x12 3L L2xxH x x L L2 33x2xH3 x 2 3L L2 3x xH4 x 2L L2 32 32 2Essas funções de forma são chamadas funções de forma de Hermite → garantemque tanto o deslocamento w como a rotação Φ sejam contínuos entre os elementosvizinhos.

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICSComo ilustrado pela figura abaixo:

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS29Após definir a função interpoladora, aplicamos a formulação de MEF (Métodode Galerkin) para um único elemento:L0 , w x,t2 22 w x tEI 2 2 A f2 x, tHi( x) dx 0x x tonde i=1, 2, 3 e 4 (4 graus de liberdade).Aplicando a integração por partes duas vezes, obtém-se:L02 , H ( x) w x,t2 2 w x tiEI A H ( )2 2 2 ix f x, t Hi( x)dx x x t Hi( x)VHi( x) M0xL0

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS30onde V é a força cortante e M o momento fletor definidos anteriormente. Substituindo afunção interpoladora de w(x) e as funções Hi(x) na equação acima, temos:Lw1 2 2 2 2 2Hi( x)H1 H2H3H 4 1 EI2 2 2 2 2 x x x x xw 2 2 dxw 1 AH ( x) H H H H f x, t Hi( x) 2 H 4( L) H2(0)VH3L M VH10 M 0xx0 1i 1 2 3 4 w2

MEF Aplicado a Estruturas de VigaConsiderando que:H 4( L) H2(0)H3L H10 1xxVariando i de 1 à 4, temos quatro equações de integrais, que podem ser condensadas nanotação matricial:2 H 1 2 x2 H12w 2 2 2 2 2xH1 H2H3H 4 1 EI 2 2 2 2 2 H x x x x w3 2 V1L 2x 2 M 2 1dx H4 V02 2 x M 2 H1 w1 H1H21H 2 A H1 H2H3 H4 f x,t H3 w2 H3H 4 2 H4 11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS31

MEF Aplicado a Estruturas de Vigaonde os sinais de V 1 , M 1 , V 2 e M 2 se referem aos sentidos dos deslocamentos w 1 , Φ 1 , w 2 eΦ 2 indicados na figura acima. Portanto:L L L L2 H1 dx H1H 2dx H1H3dx H1H 4dx 0 0 0 0 w L L L2 1 H2dx H2H3dx H2H 4dx 0 0 0 1 LL w22H3 dx H3H 4dx 0 0 2 AsimétricaL0H dx2L2 L 2 2 L 2 2 L 2 2 H 1 H1 H2 H1 H3 H1 H 4dxdx2 2 2x x x dxdx2 2 2 20x x x x00 022L L 2 2L 2 2 H 2 H2 H3 H2 H4 w1 2 dx dx dx2 2 2 2x x x x x0 0 0 1EI L 22 L 2 2 H w23 H3 H4 dxdx2 2 2x x x 20 0 L 22 H 4 simétrica dx2 x0 V1 H1LM1H 2 f x,t V 2 H0 3 M 2 H411th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS2432

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS33Após calcular as integrais, e agrupar as equações na forma matricial, obtém-se:Onde:M U K U F fe e e e e eK MeeEI3L 12 6L12 6L2 26L 4L 6L 2L12 6L12 6L2 2 6L 2L 6L 4L AL420 156 22L54 13L2 222L 4L 13L 3L 54 13L156 22L2 2 13L 3L 22L 4LA matriz de massa acima é a chamada matriz de massa consistente.

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS34Assim como no caso da treliça podemos utilizar uma aproximação da matriz de massachamada matriz de massa concentrada (“lumped”).Me AL21 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0Me AL7839 0 0 0 20 L 0 0 0 13L39 0 2 0 0 0 L Note que são matrizes diagonais, sendo computacionalmente mais fáceis demanipular do que a matriz de massa consistente que é uma matriz cheia

MEF Aplicado a Estruturas de Viga11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS35Com relação ao vetor de carga da carga distribuída {f e }, considerando uma pressãouniforme q 0 aplicada sobre o elemento obtém-se:fe6LL2q0 12 6L2LJá no caso de uma carga concentrada, q 0 =P 0 δ(x-x 0 ), onde é uma δ função Delta de Dirac,e é o valor da carga concentrada q 0 na posição (x-x 0 ), obtém-se:feHHx1 0x2 0 P0 H3 x0Hx4 0

Referêncas11th US NATIONAL CONGRESS ON COMPUTATIONAL MECHANICS36 KIM, Nam-ho; SANKAR, Bhavani V. Introdução à análise e ao projeto em elementosfinitos. [Introduction to finite element analysis and design]. Rio de Janeiro: LTC Ed,c2011. xii, 353 p. ISBN 9788521617884. FISH, Jacob; BELYTSCHKO, Ted. Um primeiro curso em elementos finitos: A firstcourse in finite elements. Rio de Janeiro: LTC, 2009. viii, 241 p. ISBN9788521617013.