CONICE

6. Fiind date conicele
(C) : h(x, y) = 0 ; (C ′ ) : h ′ (x, y) = 0
fasciculul de conice determinat de acestea este familia de conice
h(x, y) + λh ′ (x, y) = 0 , λ ∈ R ∪ {∞}
(a) Să se studieze existent¸a centrelor pentru conicele din fascicul.
(b) Să se demonstreze că locul geometric al centrelor este o conică.
7. Fie (Γ) o conică oarecare. Să se determine diametrul conjugat direct¸iei paralele cu axa
absciselor ¸si, de asemenea, diametrul conjugat direct¸iei acestuia.
8. Să se determine doi diametri conjugat¸i ai conicei
x 2 − 2xy + 2y 2 − 4x − 6y + 30 = 0
astfel încât unul din ei să treacă prin origine.
9. Să se determine acei diametri conjugat¸i ai conicei
care formează între ei un unghi de π
4 .
3x 2 − 6xy + 5y 2 − 4x − 6y + 10 = 0
10. Să se arate că pentru conicele cu δ = 0, diametrul conjugat oricărei direct¸ii are direct¸ie
fixă.
11. Să se studieze problema existent¸ei direct¸iilor principale ¸si asimptotice pentru conicele
cu:
(a) a12 = 0 ; (b) a22 = 0 ; (c) a12 = a22 = 0 ; (d) a11 + a22 = 0.
12. Să se determine unul din unghiurile determinete de asimptotele unei conice.
13. Se dă familia de conice
x 2 + 4αxy + (1 − 3α)y 2 + 2βx + 2γy + µ = 0 .
Să se arate că direct¸iile axelor de simetrie ale acestora nu depind de parametrii care
intervin în ecuat¸ie.
14. Se dau conicele
(Γ1) : x 2 + 2xy + 6y 2 − 8x − 38y + 3 = 0
(Γ2) : 3x 2 − xy + y 2 − 3x − 5y − 2 = 0
(a) Să se scrie ecuat¸ia fasciculului de conice determinat de conicele (Γ1) ¸si (Γ2).
(b) Să se arate că toate conicele din fascicul au acela¸si centru.
(c) Să se determine conica din fascicul care trece prin origine.
(d) Să se arate că printre conicele din fascicul nu există nici un cerc.
2