CONICE

20. Să se aducă la forma canonică ¸si să se reprezinte grafic conica:
(1) 3x 2 − 4xy − 2x + 4y − 5 = 0
(2) 2xy − 2x + 1 = 0
(3) 4xy − 3y 2 + 4x − 14y − 7 = 0
Să se determine asimptotele ¸si să se studieze intersect¸ia conicei cu:
- o dreaptă paralelă cu o asimptotă;
- o dreaptă care trece prin centrul conicei.
21. Se dă familia de conice
x 2 + 2λxy + y 2 − 2x − 4y + 4 = 0 , λ ∈ R .
(a) Să se discute natura ¸si genul conicelor.
(b) Să se determine locul geometric al centrelor conicelor ¸si să se reprezinte grafic.
Aceea¸si problemă pentru familia de conice
22. Se consideră familia de conice
x 2 − 2xy + (1 − λ)y 2 + 2λx = 0 .
x 2 + 4xy + y 2 + 2λx + 4y + λ = 0 , λ ∈ R .
Să se studieze natura conicelor. Să se determine conicele degenerate din familie.
23. Să se arate că oricare ar fi λ ∈ R, conicele
(1 + λ)x 2 − (1 + λ)xy − 2(1 + λ)y 2 + (1 − 2λ)x + (1 + 4λ)y = 0
trec prin patru puncte fixe. Să se discute natura conicelor.
24. Să se traseze graficul locului geometric al centrelor conicelor care trec prin punctele
O(0, 0), A(2, 0), B(0, 1), C(1, 2).
25. Să se determine ecuat¸ia conicei care trece prin punctele O(0, 0), A(1, 2), B(2, 1),
C(3, −1) ¸si este tangentă în origine la dreapta x − 2y = 0.
26. Se dă parabola
(Γ) x 2 + 2xy + y 2 + 3x − 3y − 18 = 0 .
(a) Să se scrie ecuat¸ia fasciculului de conice bitangente lui (Γ) în punctele de intersect¸ie
cu prima bisectoare. Să se discute natura conicelor din fascicul.
(b) Să se expliciteze ecuat¸iile dreptelor din fascicul.
27. Se consideră fasciculul determinat de conicele:
(Γ1) 2x 2 − 4xy + 5y 2 − 6x + 2y + 1 = 0
(Γ2) x 2 + 4xy − 3y − 2 = 0 .
(a) Să se determine locul geometric al conicelor din fascicul.
(b) Să se arate că toate conicele din fascicul trec prin punctul A(1, 1).
4