1 Inele

Facultatea de Matematică
Anul II Master, Geometrie Algebrică
Câteva rezultate de algebră comutativă
Aceste note cont¸in not¸iuni ¸si rezultate de algebră comutativă care sunt
utilizate pe parcursul cursului. Majoritatea rezultatelor sunt date fără demonstrat¸ii,
unele putând fi considerate ca exercit¸ii (acestea vor fi identificate cu
simbolul ⋆). Detalii pot fi găsite (de exemplu) în [2], [4], [8] sau [10].
1 Inele
1.1 Inele, ideale
Inelele vor fi întotdeauna comutative, cu unitate.
Notăm 〈S〉 idealul inelului A generat de mult¸imea S ⊂ A:
r
〈S〉 = f = aifi / r ∈ N, fi ∈ S, ai ∈ A .
i=1
Un ideal a al inelului A este de tip finit dacă admite un sistem finit de
generatori: există x1, . . . , xn ∈ a astfel încât orice x ∈ a se scrie
n
x = aixi , ai ∈ A .
i=1
Idealul a se nume¸ste principal dacă admite un sistem de generatori format
dintr-un singur element. Notăm 〈a〉 sau aA idealul principal generat
de elementul a ∈ A. Inelul A se nume¸ste inel principal dacă orice ideal
propriu al său este principal.
1.1.1 Inele cât; o teoremă de izomorfism
Fie A un inel ¸si a un ideal. Mult¸imea cât A/a este înzestrată în mod
canonic cu o structură de inel, care se nume¸ste inelul cât A/a. Morfismul de
inele
φ : A → A/a , x ↦−→ x := x + a
este surjectiv ¸si îl numim proiect¸ie canonică.
1

Propozit¸ia 1.1 ([2], Propozit¸ia 1.1). Există o corespondent¸ă bijectivă, ce
păstrează ordinea dată de incluziune, între mult¸imea idealelor b ale lui A ce
cont¸in a ¸si cea a idealelor b ale lui A/a, corespondent¸ă dată de
b = φ −1 (b) .
Teorema 1.2. (de izomorfism) Fie f : A → B un morfism de inele,
I = ker f, a un ideal al lui A inclus în I ¸si φ : A → A/a proiect¸ia canonică.
Atunci:
1) Există un unic morfism f : A/a → B astfel încât f = f ◦ φ.
2) Morfismul f este injectiv dacă ¸si numai dacă a = I.
3) Morfismul f este surjectiv dacă ¸si numai dacă f este surjectiv.
În particular,
Imf A/ ker f .
Fie A ¸si B două inele. Notăm A[X1, . . . , Xn] inelul polinoamelor în n
nedeterminate peste A (n ∈ N ∗ ). Un morfism
f : A[X1, . . . , Xn] → B
este determinat de restrict¸ia sa la A ¸si de imaginile nedeterminatelor Xi,
i ∈ {1, . . . , n}.
Fie A un inel. Numim A-algebră un inel B înzestrat cu un morfism
(care, în acest volum, este în cele mai multe situat¸ii injectiv) f : A → B.
A-algebra B se nume¸ste de tip finit dacă este generată de un număr finit de
elemente x1, . . . , xn, în sensul următor: orice element al lui B se poate obt¸ine
ca un polinom în xi cu coeficient¸i în A. Altfel spus, inelul B este izomorf cu
un cât al inelului de polinoame A[X1, . . . , Xn].
1.1.2 Divizori ai lui zero; elemente nilpotente; unităt¸i
Un element x ∈ A se nume¸ste divizor al lui zero dacă există y ∈ A\{0}
astfel încât xy = 0. Un inel fără divizori ai lui zero nenuli se nume¸ste inel
integru domeniu de integritate.
Un element x ∈ A se nume¸ste nilpotent dacă există n ∈ N ∗ astfel încât
x n = 0.
Un element x ∈ A este inversabil (sau element unitate) dacă există
y ∈ A astfel încât xy = 1. Elementul y este determinat în mod unic de x ¸si
este notat x −1 . Mult¸imea elementelor inversabile ale lui A formează un grup
2

abelian 1 (multiplicativ), notat A × . Un corp este un inel în care 1 = 0 ¸si orice
element nenul este inversabil.
Propozit¸ia 1.3 ([2], Propozit¸ia 1.2). Fie un inel A = 0. Următoarele
afirmat¸ii sunt echivalente:
i) A este un corp;
ii) singurele ideale ale lui A sunt idealul nul 0 ¸si A;
iii) orice morfism de inele A → B, B = 0 este injectiv (⋆).
Un element a ∈ A se nume¸ste ireductibil dacă
a = b · c =⇒ b ∈ A × sau c ∈ A × .
Inelul A se nume¸ste factorial dacă orice element nenul a ∈ A se scrie ca un
produs de elemente ireductibile, scrierea fiind unică până la înmult¸irea cu un
element inversabil. Factorii acestui produs se numesc divizorii elementului
a.
1.1.3 Operat¸ii cu ideale
Intersect¸ia unei familii de ideale este un ideal. De exemplu, în inelul
numerelor întregi Z, intersect¸ia idealelor 〈x〉 ¸si 〈y〉 este idealul generat de cel
mai mic multiplu comun al întregilor x ¸si y.
Suma idealelor dintr-o familie {ai} i∈Υ (unde Υ este o mult¸ime de indici)
este mult¸imea
ak := xi , xi ∈ ai, xi = 0 exceptând un nr. finit de indici .
i∈Υ
Această mult¸ime este un ideal ce cont¸ine toate idealele ai. În particular,
dacă ai = 〈fi〉 (fi ∈ A), obt¸inem idealul generat de elementele fi. În Z suma
idealelor 〈x〉 ¸si 〈y〉 este idealul generat de cel mai mare divizor comun al
întregilor x ¸si y.
Produsul a două ideale a ¸si b este idealul notat ab ¸si generat de produsele
xy, unde x ∈ a ¸si y ∈ b. Atunci ab ⊂ a ∩ b (⋆). În Z, produsul idealelor 〈x〉
¸si 〈y〉 este idealul 〈xy〉.
1 Niels Abel (5.08.1802, Frindoe, Norvegia - 6.04.1829, Froland, Norvegia): matematician
norvegian. Unul din cei mai mari matematicieni ai secolului XIX, face parte dintre
fondatorii algebrei ¸si analizei matematice moderne.
3

1.1.4 Ideale prime, ideale maximale
Un ideal p ⊂ A se nume¸ste prim dacă xy ∈ p implică x ∈ p sau y ∈ p.
Idealul p ⊂ A este prim dacă ¸si numai dacă A/p este domeniu de integritate.
Un ideal m A se nume¸ste maximal dacă nu există nici un ideal a astfel
încât m a A. Idealul m ⊂ A este maximal dacă ¸si numai dacă A/m este
un corp.
Dacă f : A → B este un morfism de inele ¸si q este un ideal prim al lui B,
atunci p = f −1 (q) este un ideal prim al lui A (⋆).
Folosind Lema lui Zorn, se poate demonstra imediat propozit¸ia următoare:
Propozit¸ia 1.4. Orice inel A = 0 are cel put¸in un ideal maximal.
În particular, orice ideal a = A este cont¸inut într-un ideal maximal. De
asemenea, orice element care nu este inversabil apart¸ine unui ideal maximal.
Intersect¸ia N(A) a tuturor idealelor prime ale unui inel se nume¸ste nilradicalul
inelului. Idealul N(A) coincide cu mult¸imea elementelor nilpotente
(⋆). Inelul A este domeniu de integritate dacă ¸si numai dacă idealul 0 este
prim (deci N(A) = 0).
Exemplul 1.1. a) A = Z. Idealul 〈p〉 este prim dacă ¸si numai dacă p = 0
sau p este număr prim. În acest ultim caz, idealul 〈p〉 este maximal ¸si A/〈p〉
este corpul Fp cu p elemente.
b) A = K[X1, . . . Xn] (K un corp comutativ). Fie f ∈ A un polinom
ireductibil. Atunci idealul 〈f〉 este prim.
Propozit¸ia 1.5 ([8], 1.B). (a) Fie {p1, . . . , pn} o familie de ideale prime ¸si
fie a un ideal astfel încât
n
a ⊆ pi .
i=1
Atunci există i ∈ {1, . . . , n} astfel încât a ⊆ pi (⋆).
(b) Fie {a1, . . . , an} o familie de ideale ¸si fie p un ideal prim astfel încât
n
p ⊇ ai .
i=1
Atunci există i ∈ {1, . . . , n} astfel încât p ⊇ ai. Dacă p = n
ai, atunci
4
i=1

există i astfel încât p = ai (⋆).
Dacă a este un ideal al inelului A, radicalul lui a este idealul
r(a) = {x ∈ A / ∃ n ∈ N , x n ∈ a } .
Idealul r(A) este intersect¸ia idealelor prime ale lui A ce cont¸in a (⋆).
Un ideal a se nume¸ste radical dacă a =r(a). În acest caz inelul cât A/a
nu are elemente nilpotente (spunem că este un inel redus).
1.2 Inel local; localizare
Definit¸ia 1.1. Inelul A se nume¸ste local dacă are un singur ideal maximal
m. Corpul A/m se nume¸ste corpul rezidual al inelului local A.
Dacă A este un inel local, orice element u ∈ A \ m este inversabil (⋆).
O submult¸ime S ⊂ A se nume¸ste multiplicativ închisă dacă 1 ∈ S ¸si
∀x, y ∈ S, xy ∈ S.
Fie A un inel ¸si S o submult¸ime multiplicativ închisă. Pe A × S putem
defini relat¸ia de echivalent¸ă
(a, s) ∼ (a ′ , s ′ ) ⇔ ∃ t ∈ S astfel încât t(as ′ − a ′ s) = 0 .
În particular, dacă inelul A este integru, (a, s) ∼ (a ′ , s ′ ) dacă ¸si numai dacă
as ′ = a ′ s.
Mult¸imea claselor de echivalent¸ă se notează AS ¸si este un inel numit
localizatul lui A în raport cu S. Clasa de echivalent¸ă a perechii (a, s) se
notează a.
Cele două operat¸ii se definesc în mod analog cu adunarea ¸si
s
înmult¸irea din Q. Există un morfism injectiv
ι : A → AS , a ↦−→ a
1 .
Imaginea unui element a este un element inversabil în inelul AS dacă ¸si numai
dacă a este element inversabil în A sau a ∈ S.
Inelul AS verifică proprietatea de universalitate următoare: dacă B este
un inel iar ϕ : A → B este un morfism de inele cu proprietatea că ϕ(s)
este un element inversabil al lui B, oricare ar fi s ∈ S, atunci există un unic
morfism de inele ϕS : AS → B astfel încât
ϕ = ϕS ◦ ι .
5

Idealele prime ale lui AS corespund de manieră biunivocă, via ι −1 , idealelor
prime ale lui A ce nu au elemente comune cu S (⋆).
Exemplul 1.2. 1) Fie A un inel întegru ¸si S = A \ {0}. Atunci AS se
nume¸ste corpul de fract¸ii al lui A ¸si se notează F r A. De exemplu, F r Z = Q;
F r K[X1, . . . , Xn] = K(X1, . . . , Xn) se nume¸ste corpul funct¸iilor rat¸ionale
cu coeficient¸i în corpul K.
2) Fie f ∈ A ¸si
S = {f n
/ n ∈ N} .
În acest caz AS este notat Af ¸si este izomorf cu inelul cât
A[T ]/(fT − 1) (⋆). Inelul Af se nume¸ste localizatul inelului A în raport cu
elementul f.
3) Fie p un ideal prim al inelului A ¸si S = A \ p.
În acest caz notăm
AS = Ap. Acesta este un inel local cu idealul maximal pAp. Idealele prime
ale lui Ap corespund de manieră biunivocă, via ι −1 , idealelor prime ale lui
A incluse în p (⋆). Inelul Af se nume¸ste localizatul inelului A în raport cu
idealul prim p.
1.3 Inele noetheriene
Un inel A se nume¸ste noetherian 2 dacă verifică una din următoarele
condit¸ii echivalente ([2], Propozit¸iile 6.1, 6.2; [8], 2.A):
1. orice ¸sir crescător de ideale ale lui A este stat¸ionar;
2. orice mult¸ime nevidă de ideale ale lui A are un element maximal în
raport cu incluziunea;
3. orice ideal al lui A este de tip finit.
Exemplul 1.3. Un corp K, inelul numerelor întregi Z, un inel principal sunt
inele noetheriene.
Un cât al unui inel noetherian este noetherian. Dacă A este inel noetherian,
atunci:
2 Emmy Amalie Noether (23.03.1882, Erlangen, Germania - 14.04.1935, Bryn Mawr,
SUA): matematician german. Contribut¸ii importante în teoria inelelor ¸si fizica teoretică.
6

- dacă f : A → B este un morfism surjectiv de inele, atunci B este inel
noetherian (⋆).
- inelul de polinoame A[X] este noetherian (Teorema bazei a lui Hilbert,
[2], Teorema 7.5).
- dacă S ⊂ A este o submult¸ime multiplicativ închisă, atunci AS este inel
noetherian ([2], Teorema 7.3).
Un inel noetherian are un număr finit de ideale prime minimale (⋆).
Propozit¸ia 1.6 ([2], Propozit¸ia 7.8). Fie inelele A ⊆ B ⊆ C. Dacă A este
noetherian, C este o A-algebră finit generată iar C este un B-modul de tip
finit, atunci B este o A-algebră finit generată.
1.4 Elemente întregi
Fie B un inel ¸si A ⊆ B un subinel. Fie x ∈ B.
Definit¸ia 1.2. Spunem că punctul x este întreg peste A dacă x verifică o
ecuat¸ie polinomială unitară:
cu ai ∈ A, i ∈ {0, . . . , n − 1}.
x n + an−1x n−1 + . . . + a0 = 0
Exemplul 1.4. Elementele i, √ 3 ∈ C sunt întregi peste inelul numerelor
întregi Z, însă elementele 1,
√1 , π nu sunt întregi peste Z(⋆).
5 2
Inelul B se nume¸ste întreg peste inelul A dacă toate elementele sale
sunt întregi peste A. Este suficient să verificăm această proprietate pentru
un sistem de generatori. În general, mult¸imea elementelor lui B care sunt
întregi peste A este un inel ¸si se nume¸ste închiderea întreagă a lui A în B.
Propozit¸ia 1.7 ([2], Corolarul 5.2). Fie A un inel. Dacă B este o Aalgebră
de tip finit, atunci B este întreg peste A dacă ¸si numai dacă există
un sistem finit de elemente ale lui B astfel încât orice element al lui B se
scrie ca o combinat¸ie liniară de elemente ale acestui sistem, cu coeficient¸i în
A (spunem că B este o A-algebră finită).
7

Definit¸ia 1.3. Un inel integru A se nume¸ste întreg închis dacă închiderea
sa întreagă în corpul său de fract¸ii coincide cu A.
Propozit¸ia 1.8 ([2], Propozit¸ia 5.6). Fie B o A-algebră ¸si S o submult¸ime
multiplicativ închisă a lui A. Dacă B este întreg peste A, atunci inelul BS
este întreg peste AS.
Propozit¸ia 1.9 ([2], Propozit¸ia 5.13). Fie A une domeniu de integritate.
Proprietăt¸ile următoare sunt echivalente:
(a) inelul A este întreg închis;
(b) inelul local Ap este întreg închis, oricare ar fi idealul prim p ⊂ A;
(c) inelul local Am este întreg închis, oricare ar fi idealul maximal
m ⊂ A.
Propozit¸ia 1.10. Orice inel factorial este întreg închis.
1.5 Dimensiunea unui inel
Definit¸ia 1.4. Fie A un inel ¸si p ⊂ A un ideal prim. Numim inălt¸ime a
idealului p numărul (eventual ∞)
∃ p0 p1 . . . pn = p
h(p) = sup n ∈ N /
.
lant¸ de ideale prime distincte
Definit¸ia 1.5. Se nume¸ste dimensiune a inelului A numărul (eventual
∞)
dim A = sup {h(p) / p ⊂ A ideal prim} .
Dacă A este un inel noetherian, atunci dimensiunea lui A este finită.
Teorema 1.11. Fie K un corp ¸si A un domeniu de integritate care este o
K-algebră finit generată. Atunci:
(a) dimensiunea lui A este egală cu gradul de transcendent¸ă al corpului
de fract¸ii F r(A) al lui A peste K (vezi Sect¸iunea A.3.2).
(b) oricare ar fi p ⊂ A un ideal prim,
h(p) + dim B/p = dim B .
8

Teorema 1.12 ([2], Corolarul 11.17). (Hauptidealsatz, Krull) Fie A un
inel noetherian ¸si f ∈ A un element neinversabil ce nu este divizor al lui
zero. Atunci orice ideal prim minimal ce cont¸ine f are înălt¸imea 1.
Propozit¸ia 1.13. Un domeniu de integritate noetherian A este inel factorial
dacă ¸si numai dacă orice ideal prim de înălt¸ime 1 este principal.
1.6 Inele de valuare discretă
Definit¸ia 1.6. Fie K un corp. O valuare discretă a lui K este o funct¸ie
v : K ∗ → Z cu proprietăt¸ile
Mult¸imea
v(xy) = v(x) + v(y)
v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) .
A := {x ∈ K ∗ / v(x) ≥ 0}
este un inel, numit inelul de valuare al lui v. Valuarea v se extinde la
întreg corpul K luând v(0) = ∞.
Exemplul 1.5. 1) K = Q. Fie p ∈ Q un număr prim. Orice număr rat¸ional
nenul x ∈ Q ∗ se scrie în mod unic x = p a y, cu a ∈ Z, iar numitorul ¸si
numărătorul lui y ∈ Q nu sunt divizibili cu p. Funct¸ia
vp : Q ∗ → Z , vp(x) = −a
este o valuare discretă. Inelul său de valuare este inelul local Z〈p〉, localizatul
lui Z în raport cu idealul prim 〈p〉.
2) K = k(X), corpul funct¸iilor rat¸ionale peste un corp k. Fie f ∈ k[X]
un polinom ireductibil. Putem defini vf în mod analog cu exemplul de mai
sus: dacă g ∈ k(X) ∗ , g = f ah (a ∈ Z, h = h1 ∈ k(X) astfel încât f nu divide
h2
polinoamele h1 ¸si h2), definim
vf : k(X) ∗ → Z , vf(g) = −a .
Această funct¸ie este o valuare discretă, al cărui inel de valuare este localizatul
inelului de polinoame k[X] în idealul prim 〈f〉.
9

Definit¸ia 1.7. Un domeniu de integritate A se nume¸ste inel de valuare
discretă dacă există o valuare discretă v a corpului său de fract¸ii astfel încât
A este inelul său de valuare. În acest caz A este un inel local, iar idealul său
maximal este
m = {x ∈ K ∗
/ v(x) > 0 .
Propozit¸ia 1.14 ([2], Propozit¸ia 9.2). Fie A un domeniu de integritate noetherian
1-dimensional, m idealul său maximal, k = A/m corpul său rezidual.
Următoarele afirmat¸ii sunt echivalente:
1. A este un inel de valuare discretă;
2. A este întreg închis;
3. m este ideal principal;
4. orice ideal nenul al lui A este o putere a lui m.
1.7 Inele graduate
Definit¸ia 1.8. Inelul R se nume¸ste inel graduat dacă R se poate scrie ca
o sumă directă
R =
n∈N
unde, pentru orice n ∈ N, Rn este subgrup al grupului aditiv (R, +) ¸si RpRq ⊆
Rp+q. Elementele lui Rp se numesc omogene de grad p.
În particular, R0 este un subinel al lui R, deci R este o R0-algebră.
Observăm că
m = R+ =
este un ideal al lui R ¸si R/R+ R0.
Dacă R ¸si R ′ sunt două inele graduate, un morfism de inele
ϕ : R → R ′ se nume¸ste omogen dacă, pentru orice a ∈ R,
Rn
n>0
Rn
deg a = deg ϕ(a) .
10

Exemplul 1.6. Inelul polinoamelor peste un corp K,
R = K[X1, . . . , Xm]
este un inel graduat, cu gradul uzual. În acest caz R0 = K, iar Rn este
K-spat¸iu vectorial, oricare ar fi n ∈ N.
Propozit¸ia 1.15 ([2], Propozit¸ia 10.7). Fie R un inel graduat. Atunci R
este un inel noetherian dacă ¸si numai dacă R0 este un inel noetherian ¸si R
este o R0-algebră de tip finit.
Propozit¸ia 1.16 ([8], A.10). Fie k un corp, R o k-algebră graduată ¸si fie I
un ideal al lui R. Următoarele condit¸ii sunt echivalente:
(i) I este generat de elemente omogene;
(ii) dacă f ∈ I, f = r
fi unde fi sunt polinoame omogene de grad i,
i=0
atunci fi ∈ I pentru orice i ∈ {0, . . . , r}.
Un astfel de ideal se nume¸ste ideal omogen.
Propozit¸ia 1.17. Fie R o k-algebră graduată ¸si fie I un ideal omogen al lui
R. Fie k-algebra cât S := R/I ¸si φ : R → R/I proiect¸ia canonică. Atunci S
este înzestrată cu o graduare naturală dată de Si = φ(Ri).
Demonstrat¸ie. Este suficient să arătăm că S este suma directă a subspat¸iilor
Si, ceea ce rezultă imediat din propozit¸ia precedentă, (ii).
2 Module, produse tensoriale
2.1 Module
Definit¸ia 2.1. Fie A un inel. Un grup abelian (M, +) se nume¸ste A-modul
dacă M este înzestrat cu o lege de compozit¸ie externă
· : A × M → M
11

astfel încât
a(x + y) = ax + ay
(a + b)x = ax + bx
(ab)x = a(bx)
1x = x , ∀a, b ∈ A, ∀x, y ∈ M
Exemplul 2.1. Orice ideal al inelului A este un A-modul. Dacă A este un
corp, atunci un A-modul nu este altceva decât un A-spat¸iu vectorial. Orice
grup abelian este un Z-modul.
Un modul se nume¸ste de tip finit dacă are număr finit de generatori,
în sensul următor: există x1, . . . , xn ∈ M astfel încât orice x ∈ M se scrie
x = n
aixi, unde ai ∈ A. În particular, un ideal al inelului A este de tip finit
i=1
(în sensul definit în Sect¸iunea A.1.1) dacă ¸si numai dacă este un A-modul de
tip finit. Rezultă atunci că inelul A este noetherian dacă ¸si numai dacă orice
ideal al său este un A-modul de tip finit.
În mod natural se definesc not¸iunile de submodul ¸si modul cât. Dacă
S ⊂ A este o submult¸ime multiplicativ închisă, putem defini, ca în Sect¸iunea
A.1.2, AS-modulul MS (localizatul lui M în S).
Un ¸sir de A-module ¸si A-morfisme
. . . −→ Mi−1
fi fi+1
−→ Mi −→ Mi+1 −→ . . .
se nume¸ste exact în Mi dacă Im (fi) = ker(fi+1).
În particular (⋆):
0 −→ M ′ f
−→ M este exact ⇔ f este injectiv
M g
−→ M ′′ −→ 0 este exact ⇔ g este surjectiv
0 −→ M ′ f
−→ M g
−→ M ′′ −→ 0 este exact ⇔ f este injectiv,
2.2 Proprietăt¸i locale
g surjectiv, ¸si M ′′ cokerf := M/f(M ′ ) .
Fie P o proprietate ce poate fi atribuită unui A-modul M. Spunem că P
este o proprietate locală atunci când: M are proprietatea P dacă ¸si numai
dacă Mp are proprietatea P, oricare ar fi idealul prim p ⊂ A.
12

Propozit¸ia 2.1. (i) Fie M un A-modul. Următoarele proprietăt¸i sunt echivalente
(⋆):
1. M = 0;
2. Mp = 0, ∀p ⊂ A ideal prim;
3. Mm = 0, ∀m ⊂ A ideal maximal.
(ii) Fie φ : M → N un morfism de A-module. Următoarele proprietăt¸i
sunt echivalente (⋆):
1. φ este injectiv;
2. φp : Mp → Np este injectiv , ∀p ⊂ A ideal prim;
3. φm : Mm → Nm este injectiv , ∀m ⊂ A ideal maximal.
Am văzut că proprietatea unui inel de a fi întreg închis este o proprietate
locală (Propozit¸ia 1.9).
2.3 Produse tensoriale
Fie A un inel ¸si M, N două A-module. Produsul tensorial al modulelor
M ¸si N peste A este un A-modul, notat M ⊗AN, generat de simbolurile x⊗y,
cu x ∈ M, y ∈ N (un element al lui M ⊗A N este a¸sadar o combinat¸ie liniară
finită ai(xi ⊗ yi) cu ai ∈ A) astfel încât
(x + x ′ ) ⊗ y = x ⊗ y + x ′ ⊗ y
x ⊗ (y + y ′ ) = x ⊗ y + x ⊗ y ′
(ax) ⊗ y = x ⊗ (ay) = a(x ⊗ y) , ∀a ∈ A, x ∈ M, y ∈ N .
Următoarea proprietate de universalitate este satisfăcută: dată o aplicat¸ie
A-biliniară de A-module f : M × N → P , există o unică aplicat¸ie A-liniară
f : M ⊗A N → P astfel încât
f(x ⊗ y) = f(x, y) , ∀ x ∈ M, y ∈ N .
Dat fiind un morfism de A-module f : M → M ′ ¸si un A-modul N, prin
tensorizare cu N obt¸inem
f ⊗ Id : M ⊗A N → M ′ ⊗A N , x ⊗ y ↦→ f(x) ⊗ y .
13

Produsul tensorial este exact la dreapta: dat fiind un ¸sir exact scurt
0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 (1)
prin tensorizare cu un A-modul N obt¸inem ¸sirul exact
M ′ ⊗A N −→ M ⊗A N −→ M ′′ ⊗A N −→ 0
([2], Propozit¸ia 2.18).
Un A-modul N se nume¸ste plat dacă, dat fiind ¸sirul exact (1), ¸sirul
este exact.
0 −→ M ′ ⊗A N −→ M ⊗A N −→ M ′′ ⊗A N −→ 0
Propozit¸ia 2.2. Dacă A este un inel ¸si f ∈ A, atunci A-modulul Af este
plat.
Demonstrat¸ie. Exercit¸iu (⋆).
2.3.1 Extinderea scalarilor
Fie A un inel ¸si f : A → B un morfism de inele. Dacă N este un B-modul,
putem defini, pentru a ∈ A ¸si y ∈ N,
a · y := f(a)y .
Obt¸inem astfel o structură de A-modul pe mult¸imea N. Spunem că această
structură este obt¸inută prin restrict¸ia scalarilor de la B la A.
Dacă M este un A-modul, produsul tensorial M ⊗A B este înzestrat în
mod canonic cu o structură de B-modul, indusă de legea de compo-zit¸ie
externă:
b · (x ⊗ c) := x ⊗ bc .
Spunem că această structură este obt¸inută prin extinderea scalarilor de
la A la B.
Exemplul 2.2. 1) Fie a un ideal al inelului A ¸si B = A/a. Atunci
M ⊗ A/a = M/aM este un B-modul.
2) Fie S o submult¸ime multiplicativ închisă a inelului A ¸si fie B = AS.
Atunci
M ⊗ AS = MS
este un B-modul.
14

2.3.2 Lema lui Nakayama
Fie A un inel local cu idealul maximal m ¸si k = A/m. Fie M un A-modul
de tip finit astfel încât M ⊗A k = 0. Atunci M = 0 (⋆).
3 Extinderi de corpuri
3.1 Extinderi algebrice
Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. Spunem că aceasta este o extindere
algebrică dacă orice element x ∈ L este solut¸ia unei ecuat¸ii algebrice cu
coeficient¸i în K:
anx n + . . . + a0 = 0 , ai ∈ K , i ∈ {0, . . . , n} .
În general, L este un spat¸iu vectorial peste K. Dacă acesta este de dimensiune
finită, numim această dimensiune gradul extinderii K ⊂ L ¸si o notăm
[L : K]. Dacă x ∈ L, există un unic polinom unitar, ireductibil în K[X], ce
admite x ca rădăcină, numit polinomul minimal al lui x.
Propozit¸ia 3.1. Dată o extindere algebrică finită K ⊂ L de corpuri de
caracteristică 0, există un element x ∈ L astfel încât
L = K(x) .
Altfel spus, orice element al lui L se scrie ca un polinom în x având coeficient¸i
în K. Elementul x se nume¸ste element primitiv al lui L peste K.
Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. Mult¸imea tuturor elementelor lui L
care sunt algebrice peste K se nume¸ste închiderea algebrică a lui K în L.
Fie K un corp fixat. Să considerăm extinderile K ⊂ L care satisfac
următoarea proprietate: oricare ar fi f ∈ K[X] un polinom cu coeficient¸i în
K, f are cel put¸in o rădăcină în L. Fie K un element minimal (în raport
cu incluziunea) în mult¸imea extinderilor L ale lui K având această proprietate.
Există astfel de corpuri minimale ¸si orice două asemenea corpuri sunt
izomorfe.
Atunci extinderea K ⊂ K este algebrică, iar K se nume¸ste închi-derea
algebrică a corpului K. A¸sa cum am ment¸ionat, aceasta este bine definită
până la un unic izomorfism de corpuri.
15

În cazul în care corpul K coincide cu K, spunem că el este algebric
închis.
O extindere algebrică K ⊂ L se nume¸ste separabilă dacă orice polinom
P ∈ K[X], ireductibil peste K, are cel mult rădăcini simple în L.
O extindere algebrică K ⊂ L se nume¸ste normală dacă orice polinom
P ∈ K[X], de grad n, o dată cu o rădăcină în L, are n rădăcini în L.
O extindere algebrică finită K ⊂ L, separabilă ¸si normală, se nume¸ste
extindere Galois 3 . Grupul automorfismelor lui L ce lasă fixe elementele lui
K, Gal(L/K), act¸ionează în mod tranzitiv pe mult¸imea rădăcinilor în L ale
unui polinom P ∈ K[X]. Grupul Gal(L/K) este finit, are cardinalul [L : K]
¸si se nume¸ste grupul Galois al extinderii K ⊂ L.
3.2 Baze de transcendent¸ă
Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. O submult¸ime B ⊂ L se nume¸ste
algebric independentă peste K dacă pentru orice elemente {x1, . . . , xn} ⊂
B ¸si orice P ∈ K[X1, . . . , Xn],
P (x1, . . . , xn) = 0 ⇒ P = 0 .
Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. O submult¸ime B ⊂ L se nume¸ste
sistem algebric de generatori peste K dacă L este o extindere algebrică
peste corpul K(B) generat de B peste K.
Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. O submult¸ime B ⊂ L se nume¸ste bază
de transcendent¸ă a lui L peste K dacă este simultan algebric independentă
¸si sistem algebric de generatori. (A se observa paralelismul cu not¸iunile de
independent¸ă liniară ¸si bază pentru spat¸ii vectoriale.)
Pentru orice extindere de corpuri K ⊂ L există baze de transcen-dent¸ă.
Toate acestea au acela¸si cardinal, numit gradul de transcen-dent¸ă al lui
L peste K ¸si notat trdegK(L).
Exemplul 3.1. 1) Dacă L este algebric peste K, trdegK(L) = 0.
2) Dacă L = K(X1, . . . , Xn) este corpul funct¸iilor rat¸ionale în n nedeterminate
peste K, atunci B = {X1, . . . , Xn} este o bază de transcendent¸ă ¸si
trdegK(L) = n.
3 Evariste Galois (25.10.1811, Bourg La Reine, Frant¸a - 31.05.1832, Paris, Frant¸a):
matematician francez. Init¸iatorul teoriei ecuat¸iilor algebrice, cunoscută în prezent sub
numele teoria Galois. A murit într-un duel.
16

3) Fie A = K[X, Y ]/〈F 〉, unde F ∈ K[X, Y ] este un polinom care nu
este constant în Y , ¸si fie L = F r A. Atunci trdegK(L) = 1 (o bază de
transcendent¸ă este formată din imaginea x a nedeterminatei X în A, prin
proiect¸ia canonică) (⋆).
Bibliografie
[1] Artin, E.; Tate, J. : A Note in Finite Ring Extensions, J. Math. Soc.
Japan 3, 1951, 74-77
[2] Atiyah, M.F. : Macdonald, I.G. : Introduction to Commutative Algebra,
Addison-Wesley, Reading, 1969
[3] Bogomolov, F; Petrov, T. : Algebraic Curves and One-Dimensional Fields,
Courant Lecture Notes in Mathematics, AMS, Providence, 2002
[4] Eisenbud, D. : Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry,
GTM150, Springer, 1995
[5] Hartshorne, R. : Algebraic Geometry, GTM 52, Springer, 1977
[6] Kunz, E. : Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry,
Birkhäuser, Boston, Basel, Stuttgart, 1985
[7] Lit¸canu, R. : Introducere în geometria algebrică, Ed. Demiurg, 2004
[8] Matsumura, H. : Commutative Algebra, W. A. Benjamin, New York,
1970
[9] Perrin, D. : Géométrie algébrique, une introduction, InterEditions &
CNRS Editions, Paris, 1995
[10] Zariski, O.; Samuel, P. : Commutative Algebra, D. Van Nostrand Comp.
Inc., Princeton, NJ, 1958,1960
17