1 Inele

Definit¸ia 1.7. Un domeniu de integritate A se nume¸ste inel de valuare
discretă dacă există o valuare discretă v a corpului său de fract¸ii astfel încât
A este inelul său de valuare. În acest caz A este un inel local, iar idealul său
maximal este
m = {x ∈ K ∗
/ v(x) > 0 .
Propozit¸ia 1.14 ([2], Propozit¸ia 9.2). Fie A un domeniu de integritate noetherian
1-dimensional, m idealul său maximal, k = A/m corpul său rezidual.
Următoarele afirmat¸ii sunt echivalente:
1. A este un inel de valuare discretă;
2. A este întreg închis;
3. m este ideal principal;
4. orice ideal nenul al lui A este o putere a lui m.
1.7 Inele graduate
Definit¸ia 1.8. Inelul R se nume¸ste inel graduat dacă R se poate scrie ca
o sumă directă
R =
n∈N
unde, pentru orice n ∈ N, Rn este subgrup al grupului aditiv (R, +) ¸si RpRq ⊆
Rp+q. Elementele lui Rp se numesc omogene de grad p.
În particular, R0 este un subinel al lui R, deci R este o R0-algebră.
Observăm că
m = R+ =
este un ideal al lui R ¸si R/R+ R0.
Dacă R ¸si R ′ sunt două inele graduate, un morfism de inele
ϕ : R → R ′ se nume¸ste omogen dacă, pentru orice a ∈ R,
Rn
n>0
Rn
deg a = deg ϕ(a) .
10