1 Inele

Definit¸ia 1.3. Un inel integru A se nume¸ste întreg închis dacă închiderea
sa întreagă în corpul său de fract¸ii coincide cu A.
Propozit¸ia 1.8 ([2], Propozit¸ia 5.6). Fie B o A-algebră ¸si S o submult¸ime
multiplicativ închisă a lui A. Dacă B este întreg peste A, atunci inelul BS
este întreg peste AS.
Propozit¸ia 1.9 ([2], Propozit¸ia 5.13). Fie A une domeniu de integritate.
Proprietăt¸ile următoare sunt echivalente:
(a) inelul A este întreg închis;
(b) inelul local Ap este întreg închis, oricare ar fi idealul prim p ⊂ A;
(c) inelul local Am este întreg închis, oricare ar fi idealul maximal
m ⊂ A.
Propozit¸ia 1.10. Orice inel factorial este întreg închis.
1.5 Dimensiunea unui inel
Definit¸ia 1.4. Fie A un inel ¸si p ⊂ A un ideal prim. Numim inălt¸ime a
idealului p numărul (eventual ∞)
∃ p0 p1 . . . pn = p
h(p) = sup n ∈ N /
.
lant¸ de ideale prime distincte
Definit¸ia 1.5. Se nume¸ste dimensiune a inelului A numărul (eventual
∞)
dim A = sup {h(p) / p ⊂ A ideal prim} .
Dacă A este un inel noetherian, atunci dimensiunea lui A este finită.
Teorema 1.11. Fie K un corp ¸si A un domeniu de integritate care este o
K-algebră finit generată. Atunci:
(a) dimensiunea lui A este egală cu gradul de transcendent¸ă al corpului
de fract¸ii F r(A) al lui A peste K (vezi Sect¸iunea A.3.2).
(b) oricare ar fi p ⊂ A un ideal prim,
h(p) + dim B/p = dim B .
8