1 Inele

În cazul în care corpul K coincide cu K, spunem că el este algebric
închis.
O extindere algebrică K ⊂ L se nume¸ste separabilă dacă orice polinom
P ∈ K[X], ireductibil peste K, are cel mult rădăcini simple în L.
O extindere algebrică K ⊂ L se nume¸ste normală dacă orice polinom
P ∈ K[X], de grad n, o dată cu o rădăcină în L, are n rădăcini în L.
O extindere algebrică finită K ⊂ L, separabilă ¸si normală, se nume¸ste
extindere Galois 3 . Grupul automorfismelor lui L ce lasă fixe elementele lui
K, Gal(L/K), act¸ionează în mod tranzitiv pe mult¸imea rădăcinilor în L ale
unui polinom P ∈ K[X]. Grupul Gal(L/K) este finit, are cardinalul [L : K]
¸si se nume¸ste grupul Galois al extinderii K ⊂ L.
3.2 Baze de transcendent¸ă
Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. O submult¸ime B ⊂ L se nume¸ste
algebric independentă peste K dacă pentru orice elemente {x1, . . . , xn} ⊂
B ¸si orice P ∈ K[X1, . . . , Xn],
P (x1, . . . , xn) = 0 ⇒ P = 0 .
Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. O submult¸ime B ⊂ L se nume¸ste
sistem algebric de generatori peste K dacă L este o extindere algebrică
peste corpul K(B) generat de B peste K.
Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. O submult¸ime B ⊂ L se nume¸ste bază
de transcendent¸ă a lui L peste K dacă este simultan algebric independentă
¸si sistem algebric de generatori. (A se observa paralelismul cu not¸iunile de
independent¸ă liniară ¸si bază pentru spat¸ii vectoriale.)
Pentru orice extindere de corpuri K ⊂ L există baze de transcen-dent¸ă.
Toate acestea au acela¸si cardinal, numit gradul de transcen-dent¸ă al lui
L peste K ¸si notat trdegK(L).
Exemplul 3.1. 1) Dacă L este algebric peste K, trdegK(L) = 0.
2) Dacă L = K(X1, . . . , Xn) este corpul funct¸iilor rat¸ionale în n nedeterminate
peste K, atunci B = {X1, . . . , Xn} este o bază de transcendent¸ă ¸si
trdegK(L) = n.
3 Evariste Galois (25.10.1811, Bourg La Reine, Frant¸a - 31.05.1832, Paris, Frant¸a):
matematician francez. Init¸iatorul teoriei ecuat¸iilor algebrice, cunoscută în prezent sub
numele teoria Galois. A murit într-un duel.
16