1 Inele

Propozit¸ia 1.1 ([2], Propozit¸ia 1.1). Există o corespondent¸ă bijectivă, ce
păstrează ordinea dată de incluziune, între mult¸imea idealelor b ale lui A ce
cont¸in a ¸si cea a idealelor b ale lui A/a, corespondent¸ă dată de
b = φ −1 (b) .
Teorema 1.2. (de izomorfism) Fie f : A → B un morfism de inele,
I = ker f, a un ideal al lui A inclus în I ¸si φ : A → A/a proiect¸ia canonică.
Atunci:
1) Există un unic morfism f : A/a → B astfel încât f = f ◦ φ.
2) Morfismul f este injectiv dacă ¸si numai dacă a = I.
3) Morfismul f este surjectiv dacă ¸si numai dacă f este surjectiv.
În particular,
Imf A/ ker f .
Fie A ¸si B două inele. Notăm A[X1, . . . , Xn] inelul polinoamelor în n
nedeterminate peste A (n ∈ N ∗ ). Un morfism
f : A[X1, . . . , Xn] → B
este determinat de restrict¸ia sa la A ¸si de imaginile nedeterminatelor Xi,
i ∈ {1, . . . , n}.
Fie A un inel. Numim A-algebră un inel B înzestrat cu un morfism
(care, în acest volum, este în cele mai multe situat¸ii injectiv) f : A → B.
A-algebra B se nume¸ste de tip finit dacă este generată de un număr finit de
elemente x1, . . . , xn, în sensul următor: orice element al lui B se poate obt¸ine
ca un polinom în xi cu coeficient¸i în A. Altfel spus, inelul B este izomorf cu
un cât al inelului de polinoame A[X1, . . . , Xn].
1.1.2 Divizori ai lui zero; elemente nilpotente; unităt¸i
Un element x ∈ A se nume¸ste divizor al lui zero dacă există y ∈ A\{0}
astfel încât xy = 0. Un inel fără divizori ai lui zero nenuli se nume¸ste inel
integru domeniu de integritate.
Un element x ∈ A se nume¸ste nilpotent dacă există n ∈ N ∗ astfel încât
x n = 0.
Un element x ∈ A este inversabil (sau element unitate) dacă există
y ∈ A astfel încât xy = 1. Elementul y este determinat în mod unic de x ¸si
este notat x −1 . Mult¸imea elementelor inversabile ale lui A formează un grup
2