1 Inele

astfel încât
a(x + y) = ax + ay
(a + b)x = ax + bx
(ab)x = a(bx)
1x = x , ∀a, b ∈ A, ∀x, y ∈ M
Exemplul 2.1. Orice ideal al inelului A este un A-modul. Dacă A este un
corp, atunci un A-modul nu este altceva decât un A-spat¸iu vectorial. Orice
grup abelian este un Z-modul.
Un modul se nume¸ste de tip finit dacă are număr finit de generatori,
în sensul următor: există x1, . . . , xn ∈ M astfel încât orice x ∈ M se scrie
x = n
aixi, unde ai ∈ A. În particular, un ideal al inelului A este de tip finit
i=1
(în sensul definit în Sect¸iunea A.1.1) dacă ¸si numai dacă este un A-modul de
tip finit. Rezultă atunci că inelul A este noetherian dacă ¸si numai dacă orice
ideal al său este un A-modul de tip finit.
În mod natural se definesc not¸iunile de submodul ¸si modul cât. Dacă
S ⊂ A este o submult¸ime multiplicativ închisă, putem defini, ca în Sect¸iunea
A.1.2, AS-modulul MS (localizatul lui M în S).
Un ¸sir de A-module ¸si A-morfisme
. . . −→ Mi−1
fi fi+1
−→ Mi −→ Mi+1 −→ . . .
se nume¸ste exact în Mi dacă Im (fi) = ker(fi+1).
În particular (⋆):
0 −→ M ′ f
−→ M este exact ⇔ f este injectiv
M g
−→ M ′′ −→ 0 este exact ⇔ g este surjectiv
0 −→ M ′ f
−→ M g
−→ M ′′ −→ 0 este exact ⇔ f este injectiv,
2.2 Proprietăt¸i locale
g surjectiv, ¸si M ′′ cokerf := M/f(M ′ ) .
Fie P o proprietate ce poate fi atribuită unui A-modul M. Spunem că P
este o proprietate locală atunci când: M are proprietatea P dacă ¸si numai
dacă Mp are proprietatea P, oricare ar fi idealul prim p ⊂ A.
12