CONICE

Facultatea de Matematică
Anul I
CONICE
1. Să se precizeze dacă următoarele conice au centru unic ¸si, în caz afirmativ, să se
determine acesta:
13x 2 + 10xy + 13y 2 − 36x − 36y − 36 = 0
6xy + 8y 2 − 12x − 26y + 11 = 0
x 2 + 2xy + y 2 − 8x + 4 = 0
x 2 + 4xy + 4y 2 − 2x − 4y + 13 = 0
2. Să se discute, în funct¸ie de valorile parametrilor α, β ∈ R, existent¸a centrelor pentru
conicele:
αx 2 + 12xy + 9y 2 + 4x + βy − 13 = 0
3. Să se scrie ecuat¸ia conicei
x 2 + 6xy + αy 2 + 3x + βy − 4 = 0
x 2 − 4xy + 3y 2 − 2x + 1 = 0
în reperul cu originea în punctul O ′ (1, 0) ¸si aceea¸si bază ca cel init¸ial.
Analog pentru conica, respectiv originea următoare:
xy − 6x + 2y + 3 = 0 ; O ′ (−2, 6)
x 2 + 6x − 8y + 1 = 0 ; O ′ (−3, −1)
4. Să se scrie ecuat¸iile următoarelor conice, când originea reperului este mutată în centrul
lor:
7x 2 + 4xy + 4y 2 − 40x − 32y + 5 = 0
x 2 − 2xy + 2x + 2y + 1 = 0
6x 2 − 4xy + 9y 2 − 4x − 32y − 6 = 0
5. Să se determine locul geometric al centrelor conicei (α ∈ R):
x 2 + 2xy − y 2 − 2αx + 4αy + 1 = 0 .
1

6. Fiind date conicele
(C) : h(x, y) = 0 ; (C ′ ) : h ′ (x, y) = 0
fasciculul de conice determinat de acestea este familia de conice
h(x, y) + λh ′ (x, y) = 0 , λ ∈ R ∪ {∞}
(a) Să se studieze existent¸a centrelor pentru conicele din fascicul.
(b) Să se demonstreze că locul geometric al centrelor este o conică.
7. Fie (Γ) o conică oarecare. Să se determine diametrul conjugat direct¸iei paralele cu axa
absciselor ¸si, de asemenea, diametrul conjugat direct¸iei acestuia.
8. Să se determine doi diametri conjugat¸i ai conicei
x 2 − 2xy + 2y 2 − 4x − 6y + 30 = 0
astfel încât unul din ei să treacă prin origine.
9. Să se determine acei diametri conjugat¸i ai conicei
care formează între ei un unghi de π
4 .
3x 2 − 6xy + 5y 2 − 4x − 6y + 10 = 0
10. Să se arate că pentru conicele cu δ = 0, diametrul conjugat oricărei direct¸ii are direct¸ie
fixă.
11. Să se studieze problema existent¸ei direct¸iilor principale ¸si asimptotice pentru conicele
cu:
(a) a12 = 0 ; (b) a22 = 0 ; (c) a12 = a22 = 0 ; (d) a11 + a22 = 0.
12. Să se determine unul din unghiurile determinete de asimptotele unei conice.
13. Se dă familia de conice
x 2 + 4αxy + (1 − 3α)y 2 + 2βx + 2γy + µ = 0 .
Să se arate că direct¸iile axelor de simetrie ale acestora nu depind de parametrii care
intervin în ecuat¸ie.
14. Se dau conicele
(Γ1) : x 2 + 2xy + 6y 2 − 8x − 38y + 3 = 0
(Γ2) : 3x 2 − xy + y 2 − 3x − 5y − 2 = 0
(a) Să se scrie ecuat¸ia fasciculului de conice determinat de conicele (Γ1) ¸si (Γ2).
(b) Să se arate că toate conicele din fascicul au acela¸si centru.
(c) Să se determine conica din fascicul care trece prin origine.
(d) Să se arate că printre conicele din fascicul nu există nici un cerc.
2

(e) Să se arate că printre conicele din fascicul sunt două parabole.
15. Se dă familia de conice
[(x − a) 2 + y 2 − b 2 ](1 + λ 2 ) − (y − λx) 2 = 0 .
Să se arate că acestea sunt parabole ale căror axe trec printr-un fix.
16. (a) se dă conica
(x − 2y − 1) 2 + (2x − y + 1) 2 = 0 .
Să se determine diametrii conjugat¸i ale căror pante m1, m2 verifică m1m2 = 1.
(b) În ce caz pentru elipsa
x2 y2
+ − 1 = 0
a2 b2 există doi diametri conjugat¸i făcând între ei un unghi de π
4 ?
17. Să se determine natura ¸si genul următoarelor conice, să se aducă la forma canonică
¸si să se reprezinte grafic:
(1) 5x 2 + 8xy + 5y 2 − 18x − 18y + 9 = 0
(2) x 2 − 2xy + 2y 2 + 2x − 6y + 1 = 0
(3) 3x 2 − 2xy + 3y 2 + 4x + 4y − 4 = 0
(4) 8x 2 − 12xy + 17y 2 − 8x − 44y + 32 = 0
(5) 3x 2 + 10xy + 3y 2 − 16x − 16y − 15 = 0
(6) x 2 − 8xy + 7y 2 + 6x − 6y + 9 = 0
(7) x 2 − 4xy + y 2 + 6x − 2 = 0
(8) 4x 2 − 4xy + y 2 − 2x − 4y + 10 = 0
(9) 4x 2 + 4xy + y 2 − 13x − 4y + 8 = 0
(10) x 2 + 2xy + y 2 + 8x + 4y − 8 = 0
(11) 3x 2 + 10xy + 3y 2 − 16x − 16y − 16 = 0
(12) x 2 − 4xy + y 2 + 6x − 3 = 0
(13) x 2 + 4xy + y 2 + 2x + 4y + 1 = 0
(14) 2x 2 + 2xy + 2y 2 + 4x + 2y + 1 = 0
(15) x 2 − 2xy + +2y 2 − 2x + 4y + 2 = 0
(16) x 2 + 4xy + 4y 2 + 2x + 4y + 3 = 0
(17) 2x 2 − 8xy + 8y 2 + 2x − 4y − 1 = 0
(18) x 2 + 4xy + 4y 2 − 6x − 12y + 8 = 0
18. Să se compare conicele reale afine ¸si să se aducă la forma canonică afină:
(γ1) 5x 2 + 4xy + 8y 2 − 32x − 56y + 80 = 0
(γ2) 6xy + 8y 2 − 12x − 26y + 11 = 0
(γ3) x 2 + 2xy + y 2 + 3x + y = 0
19. Să se discute natura conicelor definite de ecuat¸ia
αx 2 + 2βxy − (α − 2)y 2 + 2x + 2y + 2 = 0
in funct¸ie de pozit¸ia punctului P (α, β) in plan. Să se aducă la forma canonică ¸si să se
reprezinte grafic cazul α = 1, β = −1.
3

20. Să se aducă la forma canonică ¸si să se reprezinte grafic conica:
(1) 3x 2 − 4xy − 2x + 4y − 5 = 0
(2) 2xy − 2x + 1 = 0
(3) 4xy − 3y 2 + 4x − 14y − 7 = 0
Să se determine asimptotele ¸si să se studieze intersect¸ia conicei cu:
- o dreaptă paralelă cu o asimptotă;
- o dreaptă care trece prin centrul conicei.
21. Se dă familia de conice
x 2 + 2λxy + y 2 − 2x − 4y + 4 = 0 , λ ∈ R .
(a) Să se discute natura ¸si genul conicelor.
(b) Să se determine locul geometric al centrelor conicelor ¸si să se reprezinte grafic.
Aceea¸si problemă pentru familia de conice
22. Se consideră familia de conice
x 2 − 2xy + (1 − λ)y 2 + 2λx = 0 .
x 2 + 4xy + y 2 + 2λx + 4y + λ = 0 , λ ∈ R .
Să se studieze natura conicelor. Să se determine conicele degenerate din familie.
23. Să se arate că oricare ar fi λ ∈ R, conicele
(1 + λ)x 2 − (1 + λ)xy − 2(1 + λ)y 2 + (1 − 2λ)x + (1 + 4λ)y = 0
trec prin patru puncte fixe. Să se discute natura conicelor.
24. Să se traseze graficul locului geometric al centrelor conicelor care trec prin punctele
O(0, 0), A(2, 0), B(0, 1), C(1, 2).
25. Să se determine ecuat¸ia conicei care trece prin punctele O(0, 0), A(1, 2), B(2, 1),
C(3, −1) ¸si este tangentă în origine la dreapta x − 2y = 0.
26. Se dă parabola
(Γ) x 2 + 2xy + y 2 + 3x − 3y − 18 = 0 .
(a) Să se scrie ecuat¸ia fasciculului de conice bitangente lui (Γ) în punctele de intersect¸ie
cu prima bisectoare. Să se discute natura conicelor din fascicul.
(b) Să se expliciteze ecuat¸iile dreptelor din fascicul.
27. Se consideră fasciculul determinat de conicele:
(Γ1) 2x 2 − 4xy + 5y 2 − 6x + 2y + 1 = 0
(Γ2) x 2 + 4xy − 3y − 2 = 0 .
(a) Să se determine locul geometric al conicelor din fascicul.
(b) Să se arate că toate conicele din fascicul trec prin punctul A(1, 1).
4

(c) Să se determine conica din fascicul tangentă axei Ox.
28. Determinat¸i valorile parametrului real a astfel încât dreapta y = ax este tangentă
conicei
(x + y) 2 + 2 = √ 2(y − x) .
29. (a) Să se scrie ecuat¸ia tangentei în punctul P (1, 1) la conica
x 2 − 6xy + 5y 2 + x + 3y − 4 = 0 .
(b) Să se scrie ecuat¸iile tangentelor la conica
5x 2 + 8xy + 5y 2 − 18x − 18y + 9 = 0
prin punctul O(0, 0).
(c) Să se scrie ecuat¸iile tangentelor la conica
care au panta m = −1.
x 2 − 2xy + 4y 2 − x + 2y = 0
5