ecuatiile perpendicularei comune a doua drepte, proiectii, simetrii

Perpendicularitate (ecuatiile perpendicularei
comune a doua drepte, proiectii, simetrii)
1) Pentru ce valori ale coeficientilor A si B planul π : Ax + By + 6z − 7 = 0 va
fi perpendicular pe dreapta d : x−2
2
= y+5
−4
= z+1
3 ?
Rezolvare: din conditia ca vectorul normal planului N(A, B, 6) sa fie coliniar cu
⇒ A = 4, B = −8.
vectorul director al dreptei ā(2, −4, 3), se obtine: A
2
= B
−4
2) Sa se scrie ecuatia unui plan care trece prin origine si este perpendicular pe
dreapta x+2 y−3 z−1
4 = 5 = −2 .
Rezolvare: vectorul director al dreptei ā(4, 5, 2) este normal planului, deci ecuatia
acestuia este 4x + 5y + 2z = 0.
3) Scrieti acuatia planului determinat de perpendicularele coborate din punctul
A(-3,2,5) pe planul α : 4x + y − 3z + 13 = 0 si pe planul β : x − 2y + z − 11 = 0.
Rezolvare: Vectorii care genereaza planul sunt vectorii directori ai celor doua
drepte, deci vectorii normali celor doua plane, N1(4, 1, −3) si N2(1, −2, 1). Scriind
ecuatia planului sub forma de determinant se obtine −5x − 7y − 9z + 44 = 0.
4) Se dau varfurile unui triunghi A(4,1,-2), B(2,0,0), C(-2,3,-5). a) Sa se scrie
ecuatia inaltimii din B a triunghiului. b) Prin latura AB a triunghiului sa se duca
un plan perpendicular pe planul triunghiului.
Rezolvare: a) de fapt ni se cer ecuatiile perpendicularei din B pe dreapta
AC. Aceasta se obtine ca intersectia dintre planul prin B perpendicular pe AC
si planul triunghiului ABC. Ecuatia celui din urma se poate scrie sub forma de
determinant cunoscand 3 puncte ale sale sau un punct si doi vectori directori, de
exemplu (A, −→ −→
AB, AC). Se obtine
−6x + 2y − 3z + 12 = 0,
x + 18y + 10z − 2 = 0.
b) Planul cautat va fi unic determinat de B, −→
AB(−2, −1, 2) si vectorul normal
planului (ABC), N(1, 18, 10). Se obtine ecuatia 46x − 22y + 35z − 92 = 0.
5) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y −
z + 5 = 0.
= 6
3
Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu vectorul normal
planului dat, astfel se obtin ecuatiile x−3
4
= y+2
3
= z−5
−1 .
6) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta d : x−1 y z+1
3 = −2 = 4 .
Rezolvare: piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia dintre planul
prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77 35
29 , −32
29 , 29 ). Acelasi punct se poate
obtine folosind ecuatiile parametrice ale dreptei d si punand conditia ca −→ −→
AB ⊥ d .
Perpendiculara din A pe d este dreapta AB, ale carei ecuatii canonice se scriu imediat,
cunoscand ambele puncte A, B.
1

7) Care din urmatoarele plane sunt perpendiculare?
(P) 2x+3y-z+5=0, (Q) 2x+y+7z-1=0, (R) 4x-2y+2z-3=0.
Rezolvare: doua plane sunt perpendiculare daca si numai daca vectorii normali
lor sunt ortogonali. Se verifica P⊥Q si P⊥R.
8) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor a) (d1) x−7
1
si (d2) x−3 y−1
−7 = 2
(d2) : x = 4 + s, y = −2 − 4s, z = 9 + 2s; c)
si
= y−3
2
= z−9
−1
= z−1
3 ; b) (d1) : x = 1 + 2t, y = 3 + t, z = −2 + t si
x + 4z + 1 = 0,
x − 4y + 9 = 0
y = 0,
x + 2z + 4 = 0.
Rezolvare: Verificam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare.
Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind ecuatiile
parametrice ale celor doua drepte si impunand ca vectorul director al dreptei cautate
sa fie perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date.
Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre doua plane π1
si π2, π1 fiind planul proiector al dreptei (d1) pe planul ce contine (d2) si este paralel
cu (d1), iar π2 este planul proiector al dreptei (d2) pe planul ce contine (d1) si este
paralel cu (d2). Se obtin ecuatiile:
a) x−1
2
= y
1
= z+3
4
; b) x+1
2
= y−6
−1
z−5 = −3 ; c)
y + z − 2 = 0,
2x + 5y + 4z + 8 = 0.
9) Sa se gaseasca proiectia punctului A pe planul π pentru cazurile: a) A(4,-3,1)
si π : x + 2y − z − 3 = 0; b) A(2,1,1) si π : x + y + 3z + 5 = 0; c) A(-1,3,3) si
π : x + y + z + 1 = 0.
z−1
−1
Rezolvare: a) Ecuatiile perpendicularei din A pe planul dat sunt x−4 y+3
1 = 2 =
iar intersectia dintre aceasta si plan este A’(5,-1,0); b) A’(1,0,-2); c) A’(-3,1,1).
10) Stiind ca M(3,4,2) este piciorul perpendicularei coborate din origine pe un
plan π, sa se scrie ecuatia acestui plan.
Rezolvare: dreapta OM este perpendiculara pe plan, deci un vector normal
planului este −−→
OM(3, 4, 2). Planul π este unic determinat de punctul M si de vectorul
normal calculat anterior si se obtine 3x + 4y + 2z − 29 = 0.
11) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, in situatiile urmatoare:
a) d : x y−4 z+1
x−4 y+2
4 = 3 = −2 , π : x − y + 3z + 8 = 0; b) d : 2 = 3
π : x + 6y − z − 2 = 0; c)
x − y − 3z = 0,
2x − y + 2z − 3 = 0,
= z+1
4 ,
si π : x + 6y − z − 2 = 0.
Rezolvare: a) Se verifica faptul ca dreapta d nu este perpendiculara pe planul
π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur punct, proiectia oricarui punct
2

al dreptei pe planul dat). Proiectia dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce
contine dreapa d, perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si
planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al dreptei, de vectorul
director al dreptei si de vectorul normal planului π. Se obtin ecuatiile
b) In mod analog se obtin ecuatiile
x − 2y − z + 8 = 0,
x − y + 3z + 8 = 0.
9x − 2y − 3z − 43 = 0,
x + 6y − z − 2 = 0.
c) pentru cazul in care drepta este data ca intersectie de doua plane, metoda
cea mai potrivita este aceea de a folosi fasciculele de plane. Fasciculul de plane care
trece prin dreapta d are ecuatia x −y −3z +λ(2x −y+2z −3) = 0. Din conditia ca
π sa fie perpendicular pe un plan din fascicul (deci vectorii normali celor doua plane
. Atunci ecuatiile proiectiei cautate sunt
sunt perpendiculari) se obtine λ = − 1
3
y−1
2
x + 6y − z − 2 = 0,
x − 2y − 11z + 9 = 0.
Bineinteles problema se poate rezolva analog cu a).
12) Determinati proiectia punctului A pe dreapta d: a) A(3,2,1) si d : x−2
3 =
= z−3
4
; b)A(2,-1,1) si d:
x − 2y + z − 2 = 0,
2x − 6y + z − 1 = 0.
c) A(-1,-1,2) si d : x = t + 2; y = 2t − 1, z = 3t + 1.
Rezolvare: proiectia unui punct A pe o dreapta este intersectia dreptei cu
planul dus prin A perpendicular pe dreapta. a) ecuatia planului prin A perpendicular
pe d este 3x+2y+4z-17=0 si rezolvand sistemul format din ecuatiile dreptei d
si ecuatia planului anterior se obtine A ′ ( 49 23 75
29 , 29 , 29 ). b) vectorul director al dreptei d
este egal cu produsul vectorial al vectorilor normali planelor a caror intersectie este
dreapta d. Astfel se obtine ca directia dreptei d este ā(−2, −1 , 1). Ecuatia planului
prin A, perpendicular pe ā este: (x − 2)(−2)+(y + 1)(−1 2 ) + (z − 1)1 = 0.In sfarsit
); c) A’(2,-1,1).
A ′ ( 55
21
, 19
21
, 25
21
13) Aflati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π, respectiv
dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0), π : x + 2y − z = 0; b) A(-
1,2,0), d : x+2 y+1 z−1
x−2 y z+1
1 = 0 = −1 ; c) A(3,1,2) si d : 2 = 2 = 1 ; d) A(1,2,3) si
π : 2x + y + z − 1 = 0.
Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A0, piciorul perpendicularei
din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele simetricului A’ se calculeaza
din conditia ca A0 este mijlocul segmentului (AA’). a) (−7 4
3 , −2
3 , 3 ); b) (−1, −4, 0);
); d) (-3,0,1).
c) ( 37
9
, 19
9
, −22
9
14) Se dau planul π : x − y + 2z + 2 = 0 si punctele A(2,3,1), B(1,2,4). Scrieti
ecuatiile dreptei ce trece prin simetricele punctelor A si B in raport cu planul π.
Rezolvare: notam cu A’ si B’ simetricele punctelor A si B fata de planul π.
Perpendiculara din A pe π are ecuatiile x−2 y−3 z+1
1 = −1 = 2 . Intersectia dintre aceasta
si π
3
2

este A0( 13
6
sunt:
17 , 6 , −2
3 ) iar A′ ( 7 8
3 , 3 , −1
3 ). Analog B’(-2,5,-2). Ecuatiile dreptei A’B’
x − 7
3
13
= y − 8
3
−7
1 z + 3 = .
5
15) Sa se gaseasca ecuatiile simetricei dreptei x−1
z
2 = 1 fata de planul
x+2y+z+3=0.
Rezolvare: se determina simetricele a doua puncte arbitrare ale dreptei fata de
= y+1
3
planul dat. De exemplu pentru A(1,-1,0) si B(3,2,1) se obtin simetricele A ′ ( 1
3 , −7
3 , −2
3 )
si B ′ (−2 3 , −16
3 , −8
3 ). Se scriu apoi ecuatiile dreptei A’B’.
= y−2
2
= z−3
3 fata de planele de
16) Sa se gaseasca simetricele dreptei x−1
1
coordonate.
Rezolvare: vom determina simetrica fata de planul (xOy): z=0. Dreapta data
intersecteaza planul (xOy) in A( 2
3 , 0, 0). Simetricul punctului B(1,2,3) al dreptei fata
de planul (xOy) este B’(1,2,-3). Atunci simetrica este dreapta AB’ si are ecuatiile:
. Analog se obtin, pentru simetrica dreptei fata de planul (yOz),
x−1
1
= y−2
2
ecuatiile x+1
−1
= z+3
−3
= y−2
2
z−3
x−1 y+2 z−3
= 3 , iar pentru simetrica fata de (xOz): 1 = −2 = 3 .
17) Sa se gaseasca simetricul planului π : 3x + 2y + z − 6 = 0 fata de planul
α : 2x − 5y + 2z + 4 = 0.
Rezolvare: daca A este un punct al planului π si A’ simetricul lui A fata de
planul α, atunci planul π∗, simetricul lui π fata de α, trece prin A’ si prin intersectia
planelor π si α. Luand A(1,1,1) obtinem A ′ ( 7 21 7
11 , 11 , 11 ). Ecuatia fasciculului de plane
care trec prin intersectia planelor π si α este: 3x+2y+z−6+λ(2x−5y+2z+4) = 0.
Punand conditia ca un plan din fascicul sa contina punctul A’ se determina λ = 64
73 .
Ecuatia planului cautat se obtine inlocuind pe λ = 64
73 in ecuatia fasciculului de
plane.
18) Determinati simmetricele planului π : a(x − x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0
fata de planele de coordonate.
Rezolvare: aplicand metoda anterioara, se obtin ecuatiile: pentru simetricul
fata de (xOy): a(x −x1)+b(y −y1) −c(z +z1) = 0. Analog in celelalte doua cazuri.
4