ecuatiile perpendicularei comune a doua drepte, proiectii, simetrii

More documents

Recommendations

Info

7) Care din urmatoarele plane sunt perpendiculare? (P) 2x+3y-z+5=0, (Q) 2x+y+7z-1=0, (R) 4x-2y+2z-3=0. Rezolvare: doua plane sunt perpendiculare daca si numai daca vectorii normali lor sunt ortogonali. Se verifica P⊥Q si P⊥R. 8) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor a) (d1) x−7 1 si (d2) x−3 y−1 −7 = 2 (d2) : x = 4 + s, y = −2 − 4s, z = 9 + 2s; c) si = y−3 2 = z−9 −1 = z−1 3 ; b) (d1) : x = 1 + 2t, y = 3 + t, z = −2 + t si x + 4z + 1 = 0, x − 4y + 9 = 0 y = 0, x + 2z + 4 = 0. Rezolvare: Verificam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare. Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte si impunand ca vectorul director al dreptei cautate sa fie perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date. Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre doua plane π1 si π2, π1 fiind planul proiector al dreptei (d1) pe planul ce contine (d2) si este paralel cu (d1), iar π2 este planul proiector al dreptei (d2) pe planul ce contine (d1) si este paralel cu (d2). Se obtin ecuatiile: a) x−1 2 = y 1 = z+3 4 ; b) x+1 2 = y−6 −1 z−5 = −3 ; c) y + z − 2 = 0, 2x + 5y + 4z + 8 = 0. 9) Sa se gaseasca proiectia punctului A pe planul π pentru cazurile: a) A(4,-3,1) si π : x + 2y − z − 3 = 0; b) A(2,1,1) si π : x + y + 3z + 5 = 0; c) A(-1,3,3) si π : x + y + z + 1 = 0. z−1 −1 Rezolvare: a) Ecuatiile perpendicularei din A pe planul dat sunt x−4 y+3 1 = 2 = iar intersectia dintre aceasta si plan este A’(5,-1,0); b) A’(1,0,-2); c) A’(-3,1,1). 10) Stiind ca M(3,4,2) este piciorul perpendicularei coborate din origine pe un plan π, sa se scrie ecuatia acestui plan. Rezolvare: dreapta OM este perpendiculara pe plan, deci un vector normal planului este −−→ OM(3, 4, 2). Planul π este unic determinat de punctul M si de vectorul normal calculat anterior si se obtine 3x + 4y + 2z − 29 = 0. 11) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, in situatiile urmatoare: a) d : x y−4 z+1 x−4 y+2 4 = 3 = −2 , π : x − y + 3z + 8 = 0; b) d : 2 = 3 π : x + 6y − z − 2 = 0; c) x − y − 3z = 0, 2x − y + 2z − 3 = 0, = z+1 4 , si π : x + 6y − z − 2 = 0. Rezolvare: a) Se verifica faptul ca dreapta d nu este perpendiculara pe planul π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur punct, proiectia oricarui punct 2
al dreptei pe planul dat). Proiectia dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce contine dreapa d, perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al dreptei, de vectorul director al dreptei si de vectorul normal planului π. Se obtin ecuatiile b) In mod analog se obtin ecuatiile x − 2y − z + 8 = 0, x − y + 3z + 8 = 0. 9x − 2y − 3z − 43 = 0, x + 6y − z − 2 = 0. c) pentru cazul in care drepta este data ca intersectie de doua plane, metoda cea mai potrivita este aceea de a folosi fasciculele de plane. Fasciculul de plane care trece prin dreapta d are ecuatia x −y −3z +λ(2x −y+2z −3) = 0. Din conditia ca π sa fie perpendicular pe un plan din fascicul (deci vectorii normali celor doua plane . Atunci ecuatiile proiectiei cautate sunt sunt perpendiculari) se obtine λ = − 1 3 y−1 2 x + 6y − z − 2 = 0, x − 2y − 11z + 9 = 0. Bineinteles problema se poate rezolva analog cu a). 12) Determinati proiectia punctului A pe dreapta d: a) A(3,2,1) si d : x−2 3 = = z−3 4 ; b)A(2,-1,1) si d: x − 2y + z − 2 = 0, 2x − 6y + z − 1 = 0. c) A(-1,-1,2) si d : x = t + 2; y = 2t − 1, z = 3t + 1. Rezolvare: proiectia unui punct A pe o dreapta este intersectia dreptei cu planul dus prin A perpendicular pe dreapta. a) ecuatia planului prin A perpendicular pe d este 3x+2y+4z-17=0 si rezolvand sistemul format din ecuatiile dreptei d si ecuatia planului anterior se obtine A ′ ( 49 23 75 29 , 29 , 29 ). b) vectorul director al dreptei d este egal cu produsul vectorial al vectorilor normali planelor a caror intersectie este dreapta d. Astfel se obtine ca directia dreptei d este ā(−2, −1 , 1). Ecuatia planului prin A, perpendicular pe ā este: (x − 2)(−2)+(y + 1)(−1 2 ) + (z − 1)1 = 0.In sfarsit ); c) A’(2,-1,1). A ′ ( 55 21 , 19 21 , 25 21 13) Aflati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π, respectiv dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0), π : x + 2y − z = 0; b) A(- 1,2,0), d : x+2 y+1 z−1 x−2 y z+1 1 = 0 = −1 ; c) A(3,1,2) si d : 2 = 2 = 1 ; d) A(1,2,3) si π : 2x + y + z − 1 = 0. Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A0, piciorul perpendicularei din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele simetricului A’ se calculeaza din conditia ca A0 este mijlocul segmentului (AA’). a) (−7 4 3 , −2 3 , 3 ); b) (−1, −4, 0); ); d) (-3,0,1). c) ( 37 9 , 19 9 , −22 9 14) Se dau planul π : x − y + 2z + 2 = 0 si punctele A(2,3,1), B(1,2,4). Scrieti ecuatiile dreptei ce trece prin simetricele punctelor A si B in raport cu planul π. Rezolvare: notam cu A’ si B’ simetricele punctelor A si B fata de planul π. Perpendiculara din A pe π are ecuatiile x−2 y−3 z+1 1 = −1 = 2 . Intersectia dintre aceasta si π 3 2
Page 1: Perpendicularitate (ecuatiile perpe

ecuatiile perpendicularei comune a doua drepte, proiectii, simetrii

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?