ecuatiile perpendicularei comune a doua drepte, proiectii, simetrii

este A0( 13
6
sunt:
17 , 6 , −2
3 ) iar A′ ( 7 8
3 , 3 , −1
3 ). Analog B’(-2,5,-2). Ecuatiile dreptei A’B’
x − 7
3
13
= y − 8
3
−7
1 z + 3 = .
5
15) Sa se gaseasca ecuatiile simetricei dreptei x−1
z
2 = 1 fata de planul
x+2y+z+3=0.
Rezolvare: se determina simetricele a doua puncte arbitrare ale dreptei fata de
= y+1
3
planul dat. De exemplu pentru A(1,-1,0) si B(3,2,1) se obtin simetricele A ′ ( 1
3 , −7
3 , −2
3 )
si B ′ (−2 3 , −16
3 , −8
3 ). Se scriu apoi ecuatiile dreptei A’B’.
= y−2
2
= z−3
3 fata de planele de
16) Sa se gaseasca simetricele dreptei x−1
1
coordonate.
Rezolvare: vom determina simetrica fata de planul (xOy): z=0. Dreapta data
intersecteaza planul (xOy) in A( 2
3 , 0, 0). Simetricul punctului B(1,2,3) al dreptei fata
de planul (xOy) este B’(1,2,-3). Atunci simetrica este dreapta AB’ si are ecuatiile:
. Analog se obtin, pentru simetrica dreptei fata de planul (yOz),
x−1
1
= y−2
2
ecuatiile x+1
−1
= z+3
−3
= y−2
2
z−3
x−1 y+2 z−3
= 3 , iar pentru simetrica fata de (xOz): 1 = −2 = 3 .
17) Sa se gaseasca simetricul planului π : 3x + 2y + z − 6 = 0 fata de planul
α : 2x − 5y + 2z + 4 = 0.
Rezolvare: daca A este un punct al planului π si A’ simetricul lui A fata de
planul α, atunci planul π∗, simetricul lui π fata de α, trece prin A’ si prin intersectia
planelor π si α. Luand A(1,1,1) obtinem A ′ ( 7 21 7
11 , 11 , 11 ). Ecuatia fasciculului de plane
care trec prin intersectia planelor π si α este: 3x+2y+z−6+λ(2x−5y+2z+4) = 0.
Punand conditia ca un plan din fascicul sa contina punctul A’ se determina λ = 64
73 .
Ecuatia planului cautat se obtine inlocuind pe λ = 64
73 in ecuatia fasciculului de
plane.
18) Determinati simmetricele planului π : a(x − x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0
fata de planele de coordonate.
Rezolvare: aplicand metoda anterioara, se obtin ecuatiile: pentru simetricul
fata de (xOy): a(x −x1)+b(y −y1) −c(z +z1) = 0. Analog in celelalte doua cazuri.
4