1 Inele

Idealele prime ale lui AS corespund de manieră biunivocă, via ι −1 , idealelor
prime ale lui A ce nu au elemente comune cu S (⋆).
Exemplul 1.2. 1) Fie A un inel întegru ¸si S = A \ {0}. Atunci AS se
nume¸ste corpul de fract¸ii al lui A ¸si se notează F r A. De exemplu, F r Z = Q;
F r K[X1, . . . , Xn] = K(X1, . . . , Xn) se nume¸ste corpul funct¸iilor rat¸ionale
cu coeficient¸i în corpul K.
2) Fie f ∈ A ¸si
S = {f n
/ n ∈ N} .
În acest caz AS este notat Af ¸si este izomorf cu inelul cât
A[T ]/(fT − 1) (⋆). Inelul Af se nume¸ste localizatul inelului A în raport cu
elementul f.
3) Fie p un ideal prim al inelului A ¸si S = A \ p.
În acest caz notăm
AS = Ap. Acesta este un inel local cu idealul maximal pAp. Idealele prime
ale lui Ap corespund de manieră biunivocă, via ι −1 , idealelor prime ale lui
A incluse în p (⋆). Inelul Af se nume¸ste localizatul inelului A în raport cu
idealul prim p.
1.3 Inele noetheriene
Un inel A se nume¸ste noetherian 2 dacă verifică una din următoarele
condit¸ii echivalente ([2], Propozit¸iile 6.1, 6.2; [8], 2.A):
1. orice ¸sir crescător de ideale ale lui A este stat¸ionar;
2. orice mult¸ime nevidă de ideale ale lui A are un element maximal în
raport cu incluziunea;
3. orice ideal al lui A este de tip finit.
Exemplul 1.3. Un corp K, inelul numerelor întregi Z, un inel principal sunt
inele noetheriene.
Un cât al unui inel noetherian este noetherian. Dacă A este inel noetherian,
atunci:
2 Emmy Amalie Noether (23.03.1882, Erlangen, Germania - 14.04.1935, Bryn Mawr,
SUA): matematician german. Contribut¸ii importante în teoria inelelor ¸si fizica teoretică.
6