1 Inele

More documents

Recommendations

Info

Produsul tensorial este exact la dreapta: dat fiind un ¸sir exact scurt 0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 (1) prin tensorizare cu un A-modul N obt¸inem ¸sirul exact M ′ ⊗A N −→ M ⊗A N −→ M ′′ ⊗A N −→ 0 ([2], Propozit¸ia 2.18). Un A-modul N se nume¸ste plat dacă, dat fiind ¸sirul exact (1), ¸sirul este exact. 0 −→ M ′ ⊗A N −→ M ⊗A N −→ M ′′ ⊗A N −→ 0 Propozit¸ia 2.2. Dacă A este un inel ¸si f ∈ A, atunci A-modulul Af este plat. Demonstrat¸ie. Exercit¸iu (⋆). 2.3.1 Extinderea scalarilor Fie A un inel ¸si f : A → B un morfism de inele. Dacă N este un B-modul, putem defini, pentru a ∈ A ¸si y ∈ N, a · y := f(a)y . Obt¸inem astfel o structură de A-modul pe mult¸imea N. Spunem că această structură este obt¸inută prin restrict¸ia scalarilor de la B la A. Dacă M este un A-modul, produsul tensorial M ⊗A B este înzestrat în mod canonic cu o structură de B-modul, indusă de legea de compo-zit¸ie externă: b · (x ⊗ c) := x ⊗ bc . Spunem că această structură este obt¸inută prin extinderea scalarilor de la A la B. Exemplul 2.2. 1) Fie a un ideal al inelului A ¸si B = A/a. Atunci M ⊗ A/a = M/aM este un B-modul. 2) Fie S o submult¸ime multiplicativ închisă a inelului A ¸si fie B = AS. Atunci M ⊗ AS = MS este un B-modul. 14
2.3.2 Lema lui Nakayama Fie A un inel local cu idealul maximal m ¸si k = A/m. Fie M un A-modul de tip finit astfel încât M ⊗A k = 0. Atunci M = 0 (⋆). 3 Extinderi de corpuri 3.1 Extinderi algebrice Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. Spunem că aceasta este o extindere algebrică dacă orice element x ∈ L este solut¸ia unei ecuat¸ii algebrice cu coeficient¸i în K: anx n + . . . + a0 = 0 , ai ∈ K , i ∈ {0, . . . , n} . În general, L este un spat¸iu vectorial peste K. Dacă acesta este de dimensiune finită, numim această dimensiune gradul extinderii K ⊂ L ¸si o notăm [L : K]. Dacă x ∈ L, există un unic polinom unitar, ireductibil în K[X], ce admite x ca rădăcină, numit polinomul minimal al lui x. Propozit¸ia 3.1. Dată o extindere algebrică finită K ⊂ L de corpuri de caracteristică 0, există un element x ∈ L astfel încât L = K(x) . Altfel spus, orice element al lui L se scrie ca un polinom în x având coeficient¸i în K. Elementul x se nume¸ste element primitiv al lui L peste K. Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. Mult¸imea tuturor elementelor lui L care sunt algebrice peste K se nume¸ste închiderea algebrică a lui K în L. Fie K un corp fixat. Să considerăm extinderile K ⊂ L care satisfac următoarea proprietate: oricare ar fi f ∈ K[X] un polinom cu coeficient¸i în K, f are cel put¸in o rădăcină în L. Fie K un element minimal (în raport cu incluziunea) în mult¸imea extinderilor L ale lui K având această proprietate. Există astfel de corpuri minimale ¸si orice două asemenea corpuri sunt izomorfe. Atunci extinderea K ⊂ K este algebrică, iar K se nume¸ste închi-derea algebrică a corpului K. A¸sa cum am ment¸ionat, aceasta este bine definită până la un unic izomorfism de corpuri. 15
Page 1 and 2: Facultatea de Matematică Anul II M
Page 3 and 4: abelian 1 (multiplicativ), notat A
Page 5 and 6: există i astfel încât p = ai (
Page 7 and 8: - dacă f : A → B este un morfism
Page 9 and 10: Teorema 1.12 ([2], Corolarul 11.17)
Page 11 and 12: Exemplul 1.6. Inelul polinoamelor p
Page 13: Propozit¸ia 2.1. (i) Fie M un A-mo
Page 17: 3) Fie A = K[X, Y ]/〈F 〉, unde

1 Inele

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?