1 Inele

1.1.4 Ideale prime, ideale maximale
Un ideal p ⊂ A se nume¸ste prim dacă xy ∈ p implică x ∈ p sau y ∈ p.
Idealul p ⊂ A este prim dacă ¸si numai dacă A/p este domeniu de integritate.
Un ideal m A se nume¸ste maximal dacă nu există nici un ideal a astfel
încât m a A. Idealul m ⊂ A este maximal dacă ¸si numai dacă A/m este
un corp.
Dacă f : A → B este un morfism de inele ¸si q este un ideal prim al lui B,
atunci p = f −1 (q) este un ideal prim al lui A (⋆).
Folosind Lema lui Zorn, se poate demonstra imediat propozit¸ia următoare:
Propozit¸ia 1.4. Orice inel A = 0 are cel put¸in un ideal maximal.
În particular, orice ideal a = A este cont¸inut într-un ideal maximal. De
asemenea, orice element care nu este inversabil apart¸ine unui ideal maximal.
Intersect¸ia N(A) a tuturor idealelor prime ale unui inel se nume¸ste nilradicalul
inelului. Idealul N(A) coincide cu mult¸imea elementelor nilpotente
(⋆). Inelul A este domeniu de integritate dacă ¸si numai dacă idealul 0 este
prim (deci N(A) = 0).
Exemplul 1.1. a) A = Z. Idealul 〈p〉 este prim dacă ¸si numai dacă p = 0
sau p este număr prim. În acest ultim caz, idealul 〈p〉 este maximal ¸si A/〈p〉
este corpul Fp cu p elemente.
b) A = K[X1, . . . Xn] (K un corp comutativ). Fie f ∈ A un polinom
ireductibil. Atunci idealul 〈f〉 este prim.
Propozit¸ia 1.5 ([8], 1.B). (a) Fie {p1, . . . , pn} o familie de ideale prime ¸si
fie a un ideal astfel încât
n
a ⊆ pi .
i=1
Atunci există i ∈ {1, . . . , n} astfel încât a ⊆ pi (⋆).
(b) Fie {a1, . . . , an} o familie de ideale ¸si fie p un ideal prim astfel încât
n
p ⊇ ai .
i=1
Atunci există i ∈ {1, . . . , n} astfel încât p ⊇ ai. Dacă p = n
ai, atunci
4
i=1