FLAMBAJUL BARELOR DREPTE - Catedra de Rezistenta Materialelor

2.
FLAMBAJUL BARELOR DREPTE
2.1 Calculul sarcinii critice de flambaj la bara
dreapta supusa la compresiune
Flambajul elastic al barelor drepte a fost abordat prima data de L.
Euler care a calculat expresia sarcinii critice de flambaj Pcr in anul 1744. Se
considera o bara avand aria sectiunii transversale A si rigiditatea EIy
constante in lungul sau. Bara este articulata la ambele capete si solicitata la
compresiune de o forta P (fig. 2.1). Flambajul se produce la o anumita
valoare P = Pcr a acestei forte. Intr-o pozitie deformata a barei se observa ca
intr-o sectiune oarecare de la cota x, avand deplasarea de incovoiere w (pe
axa Oz) apare alaturi de efortul axial P si un moment incovoietor M .
Fig. 2.1 Flambajul barei dublu articulate
Momentul incovoietor in sectiunea x este M = Pw si ca urmare
ecuatia fibrei medii deformate este:

ELEMENTE DE STABILITATEA STRUCTURILOR
2 d w
EI = − M = − Pw
2 dx
(2.1)
Aceasta ecuatie se poate scrie
2 d w 2 + α w = 0
2 dx
unde
(2.2)
α2 = P
EI (2.3)
Ecuatia caracteristica a acestei ecuatii diferentiale este:
r 2 2 + α = 0
(2.4)
de unde r1, 2 = ± αi si ca urmare solutia ecuatiei diferentiale este de forma:
w( x ) = A sinαx + B cosα
x
(2.5)
Conditiile la limita la cele doua capete sunt:
a) La x = 0, w = 0 si rezulta Asin0+Bcos0 = B = 0
Ca urmare: w( x ) = A sinα
x
b) la x = L, w = 0 si deci AsinαL = 0
Pentru respectarea acestei conditii exista urmatoarele doua posibilitati:
A = 0 care presupune solutia banala w = 0, sau αL = kπ unde k = 1, 2, ....
Observatie: k = 0 ar insemna P = 0 sau L = 0. Ca urmare, o solutie nenula se
obtine din α 2 L 2 = k 2 π 2 si tinand seama de (2.3 ) rezulta:
P 2 2 2
L = k π
EI
de unde
(2.6)
2 2
EI k
P 2
L
π
= (2.7)
Cea mai mica valoare a sarcinii critice de flambaj se obtine pentru k = 1
adica:
2
π EI
Pcr = 2
L
(2.8)
Aceasta este cunoscuta sub numele de formula lui Euler. Daca bara are Iy ≠
Iz, Pcr are valoarea cea mai mica atunci cand se considera in calcul valoarea
minima a momentului de inertie I = Imin:
2
π EI min
Pcr = 2
L
(2.9)
Atunci cand bara flambeaza, forma deformata a barei este:
kπx
w = Asin
L
(2.10)

1. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE
adica o sinusoida. Pentru k = 1 se noteaza cu P1 sarcina critica de flambaj,
pentru k = 2 notatia este P2 si asa mai departe. Formele deformate pentru k =
1 si k = 2 sunt prezentate in fig. 2.2. unde EI este EImin (EIy sau EIz, dupa
caz).
Fig. 2.2 Sarcina critica de flambaj pentru bara dublu articulata
Se obtine P2 = 4P1, P3 = 9P1 si asa mai departe. De exemplu, in cazul din
fig. 2.2, flambajul la forta P2 se poate realiza practic daca mijlocul barei este
impiedicat sa se deplaseze lateral. Interes practic prezinta flambajul in cazul
fundamental k = 1, care conduce la cea mai mica valoare a fortei care
produce flambajul, data de relatia (2.9). Pentru alte cazuri de rezemare (alte
conditii la limita), relatia care da sarcina critica de flambaj se stabileste in
mod asemanator obtinandu-se:
2
π EI min
Pcr
= 2
L
(2.11)
f
unde Lf =kL se numeste lungime de flambaj. Ea reprezinta distanta dintre
doua puncte consecutive de inflexiune ale formei barei in starea flambata.
Cateva cazuri uzuale de rezemare sunt prezentate in figura 2.3 indicandu-se
si coeficientul corespunzator k. Pentru bara articulata la ambele capete Lf =
L, iar pentru bara dublu incastrata Lf = 0.5L. Cazul barei cu incastrare la un
capat si articulata la celalalt conduce la Lf = 0.7L iar bara incastrata la un
capat si libera la celalalt are Lf = 2L. Acestea sunt cazurile cele mai uzuale.

ELEMENTE DE STABILITATEA STRUCTURILOR
Fig. 2.3 Coeficientul k al lungimii critice de flambaj (cazuri uzuale)
In cazul unei bare din componenta unei structuri de tip cadru plan de
exemplu, coeficientul k are o valoare intermediara intre 0.5 (articulatie) si 1
(incastrare) functie de rigiditatile (EI) ale barelor vecine cu care bara in
discutie este solidarizata (v. fig. 2.4).
Fig. 2.4 Lungimea critica de flambaj Lf =kL

1. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE
2.2 Flambajul in domeniul elastic si flambajul in domeniul
plastic
Tensiunea de compresiune in bara, corespunzatoare fortei critice de
flambaj Pcr este:
2
Pcr
π EI min
σ cr = =
si punand Imin=A.imin 2
A L A
2 I min
unde imin
=
A
f
este raza minima de inertie, rezulta:
2 2
π EAimin
σ cr = 2
L f A
unde cu:
2
2
π E π E
= =
2
2
⎛ L ⎞ λ
f ⎜ ⎟
⎜ 2
i ⎟
⎝ min ⎠
(2.12)
L f
λ =
(2.13)
imin
s-a notat un coeficient adimensional numit coeficient de zveltete sau
coeficient de subtirime. Relatia (2.12) reprezinta o variatie hiperbolica iar
curba σcr (λ) este numita hiperbola lui Euler (v. fig. 2.5).
Fig. 2.5 Hiperbola lui Euler
Formula lui Euler este valabila in domeniul liniar-elastic acolo unde
materialul asculta de legea lui Hooke. Ca urmare σcr < σp (limita de
proportionalitate). Pentru:
2 π E
σp
= ⇒ λ
2 0
λ
=
2 π E
σ
0
p
(2.14)
Coeficientul λ0 depinde numai de materialul barei. Formula Euler este deci
valabila daca λ > λ0 (pentru bare zvelte). Daca pierderea stabilitatii are loc
pentru λ < λ0 fenomenul poarta numele de flambaj in domeniul plastic. Pe
baza rezultatelor experimentale s-au propus diverse relatii analitice pentru

ELEMENTE DE STABILITATEA STRUCTURILOR
σcr (λ) in domeniul plastic, dintre care se prezinta o relatie simpla liniara,
formula Tetmajer-Iasinski:
σ = a − bλ
(2.15)
cr
valabila pentru σ ∈[ σp, σc] si unde a, b sunt constante in MPa [N/mm 2 ]
care depind de natura materialului. De exemplu, pentru un otel cu E =
2,1.10 5 MPa, σc = 240 MPa, in domeniul plastic σcr = 304-1,12λ , cu λ0 =
105 si λ1 = 57. Pentru un asemenea material curba σcr (λ) are trei zone
distincte aratate in fig. 2.6.
Fig. 2.6 Zone tipice in cazul flambajului barelor
a) Pentru λ < λ1 curgerea materialului se produce inainte de aparitia
flambajului. Se poate considera ca tensiunea limita este σcr = σc iar bara se
calculeaza la compresiune.
b) Pentru λ ∈[ λ1, λ0] σcr = a - bλ (flambaj in domeniul plastic)
c) Pentru λ ≥ λ0 σcr = π 2 E /λ 2 (flambaj in domeniul elastic)
La duraluminiu, relatia Tetmajer-Iasinski este σcr = 372 - 2,12λ cu λ0 = 50
si λ1 = 0 iar la fonta relatia este usor neliniara de forma σcr = 761 - 11,8λ +
0,052λ 2 cu λ0 = 80 si λ1 = 0.

1. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE
2.3 Verificarea unei bare la flambaj
Pentru verificarea la flambaj se cunosc:
- caracteristicile barei A, Imin, L, Lf
- caracteristicile de material E, σc, σp, λ0, λ1 si a, b (din formula Tetmajer-
Iasinski).
- coeficientul de siguranta prescris c
Mai intai se calculeaza
I L
min
f
imin
= ; λ = .
A i
min
functie de λ stabilindu-se in care dintre cele trei zone se face calculul.
Coeficientul de siguranta la flambaj se defineste ca:
Pcr
σ cr
c f = =
P σ
Daca λ < λ1 cf = σc /σ cu σ = P/A
Pentru λ ∈[ λ1, λ0] cf = (a-bλ)/σ
Pentru λ ≥ λ0 cf = π 2 E /(λ 2 σ) = π 2 E Imin/(Lf 2 P)
Daca cf ≥ c conditia de verificare la flambaj este realizata. Din experienta
existenta in proiectare coeficientii de siguranta la flambaj care se prescriu
pentru diverse categorii de piese sunt:
- in constructii metalice 1,7-2,4
- in constructii din lemn 5-10
- pentru piese de masini 4-12
- pentru piese supuse la solicitari variabile 14-28
2.4 Dimensionarea la flambaj
In situatia de dimensionare A, Imin, λ initial nu se stiu. Se cunoaste
insa materialul: E, σc, σp, λ0, λ1 si a, b (din formula Tetmajer-Iasinski). De
asemenea se da coeficientul de siguranta la flambaj cf ce trebuie realizat in
proiectare. Pentru evitarea fenomenului de flambaj (prin marirea valorii Pcr)
sunt adecvate sectiunile care au momente de inertie apropiate sau egale si
de valori mari. In acest sens sunt preferabile sectiuni inchise precum cele
din fig. 2.7 a,b nerecomandabile fiind forme ale sectiunii prezentate in fig.
2.7 c,d si e (mai ales cand acestea au Iy >> Iz).

ELEMENTE DE STABILITATEA STRUCTURILOR
Fig. 2.7 Forme ale sectiunilor barelor supuse la compresiune
In vederea dimensionarii, in prima faza se presupune ca ne plasam in
cazul cel mai defovorabil si anume in zona flambajului elastic care are σcr
cel mai redus. In aceasta zona, din relatia:
2
2
Pcr
π EI
Pc
min
f L f
c f = = se scoate I
2
min = dupa care se obtin A, imin, λ.
2
P L P
π E
f
Daca λ > λ0, dimensionarea este corecta, in caz contrar se verifica realizarea
ceeficientului de siguranta corespunzator cu zona flambajului in domeniul
plastic sau cu zona compresiunii simple. Uneori este nevoie de cateva
iteratii efectuate cu dimensiunile sectiunii transversale pana la o solutie
satisfacatoare.
2.5 Formula lui Johnson
O alta relatie utilizata in domeniul flambajului plastic este formula
lui Johnson, care reprezinta o dependenta parabolica σcr = a - bλ 2 .
Constantele a si b se determina din conditia ca pentru λ = 0, σcr = σc iar
punctul de racordare la curba Euler sa se faca la λ0, corespunzator unei
valori a tensiunii egala cu jumatate din σc ( v. fig.2.7). Rezulta imediat a =
2 σ c π E
σcr iar = ⇒ λ0
=
2
2 λ0
Johnson este data de:
2
2π
E
,
σ c
2
σ c
b = . Astfel incat formula
2
4π
E
2
2 σ c 2
σ cr = a − bλ
= σ c − λ 2
4π
E
(2.16)

1. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE
Fig. 2.7 Formulele Euler si Johnson
Pentru exemplificare, in figura 2.8 sunt date curbele corespunzatoare unui
otel si unui aliaj de aluminiu folosite in aviatie. Fata de relatia Tetmajer-
Iasinski (ilustrata de figura 2.6) se observa ca in acest caz sunt delimitate
numai doua zone: cea de aplicabilitate a formulei Euler (flambaj elastic) si
zona flambajului in domeniul plastic unde se aplica formula Johnson.
Fig. 2.8 Exemple pentru formulele Euler si Johnson

2.6 Bibliografie
ELEMENTE DE STABILITATEA STRUCTURILOR
1. Buzdugan Gh., Rezistenta materialelor, Ed. Academiei RSR, Bucuresti,
1986.
2. Timoshenko S.P. and Gere J.M., ‘Theory of Elastic Stability’, McGraw Hill
Book Company, New York, 1961.
3. Ziegler H., Principles of Structural Stability, Gill-Blaisdell, Waltham,
MA, 1968.
4. BazÏant, Z.P., Cedolin, L., 1991. Stability of Structures: Elastic, Inelastic,
Fracture and Damage Theories. Oxford University Press, New York.