3. Metoda deplasărilor pentru structuri din bare drepte

2 .
METODA DEPLASĂRILOR
PENTRU STRUCTURI DIN BARE DREPTE
În construcţiile civile, ca şi în cele de maşini, se întâlnesc
numeroase poduri, acoperişuri, dispozitive, instalaţii, “schelete” ale
unor maşini etc care sunt realizate din bare drepte sau curbe.
Materialele folosite sunt, mai ales, ţevi sau profile laminate,
asamblate, de regulă, prin sudură. Configuraţiile acestor structuri pot
fi plane sau spaţiale, mai simple sau mai complexe, formate din
câteva bare sau având mii de componente. Calculul lor se poate face
foarte eficient cu metoda deplasărilor, formulată pentru structuri din
bare drepte. Această metodă prezintă interes metodologic şi didactic
deoarece, pentru prima dată, la formularea ei s-a introdus conceptul
de matrice de rigiditate, care s-a dovedit deosebit de rodnic. De
asemenea, această metodă este “precursoarea” metodei elementelor
finite, cea mai utilizată metodă de calcul ingineresc, în prezent, care,
este şi ea considerată frecvent, ca o metodă a deplasărilor.
2.1. Formularea metodei
În metoda deplasărilor, necunoscute se consideră deplasările
nodurilor structurii. Formularea matriceală a metodei duce la
utilizarea unor notaţii simple şi unitare, la o mai clară sistematizare şi
etapizare a calculelor şi – mai ales – la simplitatea elaborării unui
program şi a implementării lui pe calculator. Metoda se utilizează,
exclusiv, pe calculator, cu programe corespunzătoare, datorită
volumului imens al calculelor.
Structura se consideră schematizată ca o reţea spaţială (în cazuri
particulare, reţeaua poate fi plană) de bare drepte legate între ele în
noduri. Configuraţia geometrică a structurii se defineşte prin valorile
coordonatelor nodurilor în raport cu un sistem de referinţă global,
cartezian, drept - reper global - ataşat structurii. Barele structurii se
definesc prin nodurile de la capete. Fiecare nod poate avea maximum
62

şase componente ale deplasării: trei componente ale deplasării
lineare şi trei rotiri, definite în raport cu reperul global, al structurii.
Direcţiile după care se pot produce deplasări se numesc grade de
libertate geometrică (degrees of freedom – DOF). Pentru unele
noduri, una sau mai multe componente ale deplasării pot fi
împiedicate, sau blocate (adică au valori nule), dacă nodul respectiv
este reazem. În unele noduri se pot introduce deplasări cu valori
impuse, cunoscute.
Observaţie: În teoria elasticităţii se definesc doar componentele, u, v, w, ale
deplasării liniare. Introducerea şi a rotirilor drept componente ale deplasării, este o
“generalizare inginerească”, a conceptelor, riguroase, ale teoriei elasticităţii, din
considerente privind unele facilităţi de calcul. Ansamblul deplasărilor liniare şi
rotirilor poartă denumirea de “deplasări generalizate”. De asemenea, eforturile
(forţe şi momente) din secţiunile barelor se numesc “forţe generalizate”.
Sarcinile concentrate, forţe şi momente, se consideră aplicate
numai în noduri. Această restricţie este doar metodologică, pentru o
formulare mai simplă şi mai accesibilă a metodei. Programele de
calcul au implementate proceduri care permit definirea a două
categorii de sarcini:
- sarcini aplicate structurii, în noduri, care pot fi forţe şi
momente concentrate, definite în raport cu reperul global OXYZ;
- sarcini aplicate fiecărei bare, între nodurile de la capete, care
pot fi de orice tip, concentrate sau distribuite, definite în raport cu un
reper local ox o y o z o , ataşat fiecărei bare, ca în figura 2.1.
Figura 2.1
63

Pentru un nod oarecare, i, se definesc vectorul deplasărilor
nodale, {u i } şi vectorul sarcinilor nodale, {R i }, sub forma (2.1), care,
în cazul cel mai general, au câte 6 componente.
Numărul total
u1
R1
al deplasărilor
u
2
R 2
necunoscute pentru
u3
R
3
întreaga structură, u i
, R i
. (2.1)
reprezintă numărul
total al gradelor de
libertate geometrică
ale structurii.
u
u
u
O bară oarecare, definită de nodurile n 1 şi n 2 , având lungimea l,
se consideră raportată la un sistem de coordonate local, x 0 y 0 z 0 , care
conţine direcţiile principale de inerţie ale secţiunii barei, ca în figura
2.2, în care s-au figurat sensurile pozitive ale deplasărilor şi
eforturilor la cele două capete ale barei. În figura 2.2 s-au scris şi
notaţiile obişnuite din rezistenţa materialelor pentru componentele
vectorilor {u} şi {R}. De obicei, pentru fiecare bară se utilizează şi
un nod n 3 , pentru a defini direcţia planului x 0 y 0 în spaţiu (care este
plan de inerţie principal al secţiunii barei respective).
4
5
6
R
R
R
4
5
6
a
Figura 2.2
Cele 12 componente ale deplasărilor capetelor barei sunt
independente, dar din cele 12 eforturi care acţionează asupra barei,
numai şase sunt independente, deoarece trebuie satisfăcute ecuaţiile
de echilibru, în număr de şase:
N 1 + N 2 = 0 ; T T 0 ; T T 0; M M 0 ;
y
1 y 2
M iy1 iy2
z 1
64
z1 z 2
x
b
1 x 2
M T 0 ; M M T 0.
iz1 iz 2 y1
(2.2)

2.2. Matricea de rigiditate a barei drepte
Între deplasări şi eforturi există relaţiile de dependenţă,
cunoscute din rezistenţa materialelor. Pentru bara considerată, aceste
relaţii pot fi scrise condensat sub forma
EA
R
1
R
2
S
R
3
R
4
R
5
R
6
R
7
R
8
R
9
R
10
R
11
R
12
0
12EI
3
I
z
0
0
12EI
3
M
y
0
0
0
GI
E
r
0
0
6EI
2
0
4EI
T
y
y
0
6EI
2
0
0
0
4EI
R
z
z
EA
0
0
0
0
0
EA
I
0
12EI
3
0
0
0
6EI
2
0
12EI
3
C
z
z
z
0
0
12EI
3
0
6EI
2
0
0
0
12EI
3
y
y
y
0
0
0
GI
0
0
0
0
0
GI
r
r
0
0
6EI
2
0
2EI
0
0
0
6EI
2
0
4EI
y
y
y
y
0
6EI
2
0
0
0
2EI
0
z
z
6EI
2
0
0
0
4EI
z
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
z
u
9
u
10
u
11
u
12
sau şi mai simplu
{R} = [k]{u}, (2.4)
în care [k] este matricea de rigiditate a barei.
Proprietăţile matricei de rigiditate a barei drepte.
- Rigiditatea unei bare drepte este definită de o matrice pătrată,
[k], care leagă cele 12 eforturi, {R}, de cele 12 deplasări, {u},
corespunzătoare celor 12 grade de libertate geometrică ale celor două
noduri de la capetele barei.
Observaţie: Aceasta este situaţia cea mai generală. În practică se
întâlnesc numeroase cazuri particulare, ca, de exemplu, cele în care
barele sunt articulate şi deci nu pot prelua decât eforturi axiale şi /
sau structura este plană. În aceste cazuri numărul componentelor
vectorilor {R} şi {u} precum şi dimensiunile matricei [k] vor fi mai
mici decât 12. Numărul minim al componentelor vectorilor {R} şi
{u} este 1, iar dimensiunea minimă a matricei [k] este 2x2.
65

i
Gradul de libertate pentru care
u i = 1
la capătul barei, pentru
X 0 = 0
Tabelul 2.1
i
Gradul de libertate pentru care
u i = 1
la capătul barei, pentru
X 0 = l
i =1 i = 7
i =2 i = 8
i =3 i = 9
i =4 i =10
i =5 i =11
i =6 i =12
- Un element oarecare, k ij , al matricei de rigiditate, [k], de pe
linia i şi coloana j, are următoarea semnificaţie: este efortul R i ,
produs de o deplasare u i = 1, celelalte deplasări fiind nule. Expresiile
analitice de calcul ale elementelor matricei [k] se stabilesc cu
66

metodele clasice pentru calculul deplasărilor barelor din rezistenţa
materialelor, ca, de exemplu, metoda „parametrilor iniţiali”, sau o
metodă energetică.
- Pentru a defini mai clar semnificaţiile elementelor k ij ale
matricei de rigiditate a barei, în tabelul 2.1 se prezintă schemele de
solicitare ale barei, pentru cele 12 componente, u i = 1, ale deplasării
şi cele 12 componente, R i , ale eforturilor produse în aceste condiţii.
- Matricea [k] este simetrică, adică k ij = k ji , ca urmare a teoremei
reciprocităţii forţelor.
- De asemenea, matricea [k] este singulară, rangul ei fiind - în
cazul cel mai general - 6, deoarece bara poate avea şase deplasări de
corp rigid, acestea fiind fără efect asupra valorilor eforturilor. Deci
matricea nu poate fi inversată, aceasta şi datorită faptului că ea
„leagă” 12 deplasări independente de 12 eforturi, între care există
cele şase relaţii (2.2), adică numai şase eforturi sunt independente.
Un alt mod de a privi această situaţie se referă la sistemul de ecuaţii
(2.4), care nu poate fi rezolvat, fiind nedeterminat, ceea ce presupune
că o singură bară nu poate fi rezolvată (cel puţin în contextul
prezent).
- Matricea [k] este pozitiv definită, deoarece toate elementele, k ii
, de pe diagonala principală sunt „strict pozitive”, adică ele nu pot fi
niciodată negative sau nule. Această proprietate este o consecinţă a
faptului că deplasarea u i = 1 produce totdeauna un efort R i , cu
acelaşi sens şi pe aceeaşi direcţie cu u i .
Transformarea matricei de rigiditate.
Relaţia (2.4) a fost scrisă pentru o bară oarecare a structurii,
raportată la reperul local ox o y o z o . Dacă structura este raportată la
reperul global OXYZ, atunci între cele două sisteme de coordonate
există relaţiile
x0
l11
l12
l13
X
y0
l21
l22
l23
Y, sau {x 0 } = [L 1 ] {X}, (2.5)
z0
l31
l32
l33
Z
în care [L 1 ], este matricea cosinusurilor directoare ale direcţiilor ox o ,
oy o , oz o , în raport cu direcţiile OX, OY, OZ (fig. 2.3), adică l 11 = cos
α 1 , l 12 = cos β 1 , l 13 = cos γ 1 , ş.a.m.d.
67

Figura 2.3
[L], de 12x12
Dacă se are în vedere că ambele sisteme de
coordonate sunt ortogonale, rezultă că există
relaţia [L 1 ] T [L 1 ] = [I], în care, [I], este
matricea unitate de ordinul trei.
Pentru întreaga bară, vectorii {R} şi {u} şi
matricea [k] au câte 12 componente, deci
trebuie definită o „matricea de transformare”,
L1
0 0 0
0 L1
0 0
L
, (2.6)
0 0 L1
0
0 0 0 L
1
în care [0] este matricea zero de ordinul trei.
Calculul deplasărilor şi eforturilor în sistemul local de
coordonate (mărimile definite în sistemul local vor avea indicele 0)
în funcţie de valorile lor din sistemul global, se face cu relaţiile
{u 0 } = [L]{u}, {R 0 } = [L]{R}. (2.7)
Ca urmare a notaţiei adoptate, relaţia (2.4) trebuie scrisă sub
forma {R 0 } = [k 0 ]{u 0 }, care devine, înlocuind relaţiile de
transformare (2.7),
[L]{R} = [k 0 ] [L] {u}. (2.8)
Deoarece [L] -1 = [L] T , însemnă că relaţia (2.8) devine
{R} = [L] T [k 0 ] [L] {u}, (2.9)
în care se notează
[k] = [L] T [k 0 ] [L], (2.10)
relaţie ce permite calculul matricei [k] în sistemul de coordonate
global, funcţie de matricea [k 0 ], din sistemul local, operaţie ce se
numeşte uzual “rotirea matricei de rigiditate” sau “transformarea
matricei de rigiditate”. Acesta este efectul rotirii sistemului de
coordonate asupra matricei de rigiditate a barei. Translaţiile nu au
nici un efect asupra matricei [k]. În acest mod, se obţine o relaţie
similară cu (2.4), pentru bara raportată la reperul global, al structurii.
Observaţie: Nu este necesar să se introducă notaţii speciale
pentru mărimile din cele două sisteme de coordonate, deoarece
rezultă din context la care sistem se face referire la un moment dat.
68

2.3. Asamblarea. Matricea de rigiditate a structurii
Pentru calculul întregii structurii, care se consideră că are n n
noduri şi n b bare, metoda deplasărilor presupune că se poate scrie o
relaţie similară cu (2.4), pentru întreaga structură, raportată la un
reper global OXYZ şi anume
{R} = [K]{u}, (2.11)
în care: [K] este matricea de rigiditate a structurii, {R} – vectorul
sarcinilor din noduri (nodale), {u} – vectorul deplasărilor nodurilor
(nodale), ale structurii.
Matricea de rigiditate, [K], se obţine prin „expandarea” şi
însumarea algebrică a matricelor de rigiditate ale barelor (calculate în
raport cu reperul global), pe nodurile şi gradele de libertate ale
acestora, definite pentru întreaga structură. Această operaţie poartă
denumirea de asamblare.
Figura 2.4
În figura 2.4 se prezintă modul în care matricea de rigiditate,
[k], a unei bare, definită între nodurile i şi j, poate fi descompusă în
patru submatrice [k ii ], [k ij ], [k ji ], [k jj ], corespunzătore gradelor de
libertate geometrică (DOF) ale nodurilor de la capetele barei. Aceste
matrice sunt pătrate ( [k ii ], [k jj ] ) sau dreptunghiulare ( [k ij ] = [k ji ] T –
când numerele DOF-urilor nodurilor de la capetele barei nu sunt
egale) şi au dimensiunile egale cu numerele DOF ale nodurilor la
care se referă, adică între 1 şi 6.
Pentru obţinerea matricei de rigiditate [K] a structurii se
procedează astfel:
- se numerotează, succesiv, toate cele n n noduri ale structurii;
69

- se determină numărul N, al DOF-urilor pentru întreaga
structură, care este suma DOF ale tuturor nodurilor (de regulă, toate
nodurile structurii au aceleaşi DOF, dar este posibil ca acestea să fie
diferite, pentru diverse noduri);
- se defineşte matricea [K], pătrată, cu dimensiunile NxN,
considerându-se că succesiunea coloanelor şi a liniilor este cea a
nodurilor, iar pentru fiecare nod este cea a DOF, ca în vectorii (2.1),
deoarece matricea este simetrică;
- matricea [K] se iniţializează
(se “umple”) cu valoarea 0;
- se “expandează” matricea de
rigiditate a fiecărei bare (care a fost
Figura 2.5
calculată în raport cu reperul
global), ca în schema din figura 2.4,
însumându-se algebric valorile
elementelor submatricelor cu
valorile aflate deja în matricea
[K],
în locaţiile corespunzătore fiecărui DOF;
- procedura se continuă până când se procesează matricele de
rigiditate ale tuturor celor n b bare ale structurii.
În figura 2.5 se prezintă, ca exemplu, o structură relativ simplă,
cu 5 noduri (n n = 5) şi 7 bare (n b = 7), a cărei matrice de rigiditate are
configuraţia din figura 2.6. În această figură trebuie remarcat modul
70

Figura 2.6
în care s-au “expandat” submatricele barelor în matricea [K] a
structurii. Notaţia folosită pentru o submatrice [k b ij] are următoarea
semnificaţie: b este numărul barei, iar i şi j sunt numerele nodurilor
de la capetele barei respective. Dacă într-o locaţie se află mai multe
submatrice, aceasta înseamnă că elementele lor se însumează
algebric, după aceleaşi DOF-uri, corespunzătore nodurilor la care se
referă.
Proprietăţile matricei de rigiditate, [K], a structurii sunt aceleaşi
ca ale matricei de rigiditate a unei bare, la care se mai adaugă şi
altele câteva.
- Matricea este pătrată, cu dimensiunile NxN, în care N este
numărul total al DOF-urilor nodurilor întregii structuri.
- Un element oarecare, k ij , al matricei de rigiditate, [K], de pe
linia i şi coloana j, are următoarea semnificaţie: este efortul R i ,
produs de o deplasare u i = 1, celelalte deplasări ale structurii fiind
nule.
- Matricea [K] este simetrică, adică k ij = k ji .
- Matricea este singulară, gradul de nedeterminare fiind egal cu
numărul deplasărilor de corp rigid pe care le poate avea structura în
ansamblu (în cazul cel mai general 6, deoarece structura poate avea
şase deplasări de corp rigid). Deci matricea nu poate fi inversată. Un
alt mod de a privi această situaţie se referă la sistemul de ecuaţii
(2.11), care, în aceste condiţii, nu poate fi rezolvat, fiind
nedeterminat.
- Matricea [K] este pozitiv definită, deoarece toate elementele, k ii ,
de pe diagonala principală sunt „strict pozitive”, adică ele nu pot fi
niciodată negative sau nule.
- Matricea este rară, adică un număr relativ mare de elemente
„rămân” nule (în mod obişnuit între 60 şi 85 % din totalul
elementelor matricei).
- Matricea este „bandă”, adică elementele nenule sunt grupate în
jurul diagonalei principale.
Observaţie: Ultimele două proprietăţi ale matricei [K] nu sunt evidente în
figura 2.6 deoarece structura căreia în corespunde (fig. 2.5) are un număr prea mic
de noduri.
Componentele vectorului sarcinilor nodale, {R} au aceeaşi
succesiune ca şi elementele unei coloane a matricei de rigiditate a
71

structurii, [K]. Pentru structura din figura 2.5, componenta R 3 2 = -P,
este plasată în locaţia corespunzătore DOF=2, a nodului 3 (relaţia
(2.1)), aşa cum rezultă din figura 2.5. Celelalte componente ale
vectorului {R} sunt nule.
2.4. Introducerea condiţiilor de rezemare
Pentru ca sistemul de ecuaţii (2.11) să poată fi rezolvat, trebuie
ca structura să nu aibă deplasări de corp rigid (translaţii sau rotiri) în
spaţiu. În acest scop trebuie introduse condiţiile în “legături” (de
rezemare) ale structurii, care înseamnă, de fapt, deplasări cunoscute
(nule sau de valoare dată), într-un număr oarecare de noduri. Aceste
legături pot fi oricâte, structura putând fi static determinată sau static
nedeterminată, adică metoda nu face o astfel de distincţie. Prin
urmare, în sistemul de ecuaţii (2.11) se elimină liniile şi coloanele
corespunzătoare deplasărilor cunoscute (se are în vedere că fiecare
linie corespunde unui anumit DOF, al unui anumit nod), obţinânduse
un sistem de ecuaţii algebrice compatibil şi determinat, care se
poate rezolva prin diverse metode numerice.
2.5. Rezolvarea sistemului de ecuaţii
Alegerea metodei de rezolvare a sistemului (2.11) trebuie să aibă
în vedere cel puţin următoarele aspecte:
- Într-un program de calcul destinat analizei unei structuri din
bare drepte folosind metoda deplasărilor, rezolvarea sistemului (2.11)
este etapa cea mai importantă sub aspectul volumului de calcul, al
preciziei rezultatelor obţinute şi al performanţelor programului, în
ansamblu.
- Numărul de ecuaţii al sistemului poate fi foarte mare, adică de
ordinul miilor sau sutelor de mii, ceea ce înseamnă că, în general,
sistemul nu poate fi rezolvat în memoria de lucru a calculatorului ci
trebuie “partiţionat” adică descompus în blocuri sau subsisteme.
- Sistemul este simetric, bandă (cu lăţimea variabilă a benzii) şi
rar.
Programele care se utilizează în inginerie au implementate
module pentru rezolvarea sistemului (2.11) bazate pe următoarele
metode şi algoritmi (detalii în manualele algebră şi metode numerice de
72

calcul): metoda orizontului (sky – line), metoda matricelor rare
(sparse), metode iterative.
Metodele enumerate conţin tehnici de rearanjare a ecuaţiilor, de
eliminare, triunghiularizare Gauss sau descompunere. În algoritmii
implementaţi în programe, foarte importante sunt procedurile care
asigură neefectuarea operaţiilor aritmetice cu zero, deoarece acestea
sunt „majoritare” şi pot irosi efortul de calcul. Metodele iterative sunt
destinate rezolvării sistemelor cu peste 200000 de ecuaţii şi au scopul
asigurării, în aceste condiţii, a unei precizii bune a soluţiei.
2.6. Rezultatele calculului
- Prin rezolvarea sistemului (2.11) se obţin valorile deplasărilor
nodale, {u}, în raport cu reperul global (al structurii).
- În ecuaţiile din sistemul {R} = [K]{u}, corespunzătoare
gradelor de libertate blocate ({u}=0) sau cu deplasări cunoscute
(date), se înlocuiesc valorile deplasărilor, {u} şi se obţin valorile,
{R}, ale reacţiunilor respective, în raport cu reperul global.
Observaţie. O linie din sistemul {R} = [K]{u} este ecuaţia de echilibru a
forţelor generalizate din nodul şi pe direcţia DOF-ului respectiv.
- Cu relaţiile (2.7) se pot determina deplasările nodale, {u 0 } şi
eforturile nodale {R 0 }, în raport cu reperul local (al barei).
- Cu relaţia {R 0 } = [k 0 ]{u 0 } se pot calcula eforturile care
acţionează la capetele fiecărei bare (fig. 2.2.b) cu care se pot calcula
(folosind formulele şi metodologiile pentru solicitări simple şi
compuse), tensiunile produse de solicitările simple din bare,
tensiunile echivalente maxime şi deplasările din fiecare secţiune a
fiecărei bare.
- De asemenea, se oferă informaţii privind greutatea totală a
structurii, poziţia centrului de greutate, condiţiile în care s-a rezolvat
sistemul de ecuaţii etc.
2.7. Etapele principale ale calculului unei structuri din bare
drepte cu metoda deplasărilor
Preprocesarea.
- Se elaborează modelul „conceptual” de calcul, adică se
stabilesc care sunt barele care se iau în considerare (şi care nu),
condiţiile de încărcare (eventuale variante) şi condiţiile de rezemare.
73

- Se numerotează nodurile şi se determină coordonatele lor în
raport cu un reper global al structurii, convenabil ales.
- Se numerotează barele şi se defineşte axa fiecărei bare, prin
numerele nodurilor de la capete. Folosind un alt nod (care să nu fie
pe direcţia axei barei) se defineşte direcţia principală de inerţie oy o a
secţiunii.
- Se definesc formele geometrice şi dimensiunile secţiunilor
barelor şi se calculează ariile şi momentele de inerţie principale,
direcţiile principale de inerţie şi momentul de inerţie polar (sau cel
convenţional la răsucire).
- Se definesc sarcinile aplicate în nodurile structurii şi sarcinile
aplicate barelor.
- Se definesc constantele materialului: greutatea volumică γ,
modulele de elasticitate E şi G, coeficientul de contracţie transversală
υ, coeficientul de dilatare termică lineară α etc.
- Se definesc condiţiile de rezemare (legături) ale structurii.
Aceste operaţii se execută de utilizator, cu sau fără ajutorul
calculatorului şi au ca rezultat obţinerea unui fişier „de intrare” care
conţine toate informaţiile care definesc modelul de calcul al
structurii, în forma cerută de programul care se utilizează.
Calculatorul citeşte fişierul de intrare şi face o serie de verificări
ale acestuia (dacă se găsesc greşeli, se scriu mesaje de atenţionare).
De asemenea, se realizează un desen în spaţiu al modelului, cu
reprezentarea încărcărilor şi condiţiilor de rezemare, care permite alte
verificări ale modelului.
Procesarea.
Prin comenzi specifice se activează procesul propriu-zis de
calcul, în varianta aleasă de utilizator (programul are opţiuni
corespunzătoare) parcurgându-se, de obicei, următoarele etape:
- Se calculează matricele de rigiditate, [k 0 ], ale barelor în raport
cu reperul local (vezi relaţia (2.3)).
- Se calculează matricele de rigiditate ale barelor, [k], în raport
cu reperul global, cu relaţia (2.10).
- Se determină matricea de rigiditate, [K], a structurii, prin
asamblarea matricelor de rigiditate ale barelor.
- Se formează vectorul, {R}, al sarcinilor nodale ale structurii.
74

- Se formează sistemul de ecuaţii (2.11) al structurii.
- În sistemul (2.11) se introduc condiţiile de rezemare, prin
eliminarea liniilor şi coloanelor corespunzătoare gradelor de libertate
geometrică blocate (u = 0) sau cu deplasări impuse (cunoscute).
- Se rezolvă sistemul de ecuaţii al structurii, obţinându-se
valorile deplasărilor nodale, {u}.
- Se scriu, într-o formă accesibilă toate informaţiile privind
modelul de calcul şi rezultatele obţinute.
Postprocesarea.
Volumul informaţiilor disponibile în urma calculului este foarte
mare, motiv pentru care programul oferă utilizatorului posibilitatea
de a alege ce informaţii doreşte să i se „livreze” şi sub ce formă. În
programe sunt disponibile „meniuri” cu care se pot alege variantele
postprocesării. Se au în vedere două categorii de aspecte:
- Care sunt informaţiile dorite: deplasări, eforturi, tensiuni,
reacţiuni, deformaţii specifice, tensiuni echivalente etc. Aceste
mărimi pot fi definite în raport cu reperul global (al structurii), în
raport cu reperul local (al barei), sau, pentru unele dintre ele,
utilizatorul poate alege, varianta dorită.
- Sub ce formă să fie „editate” rezultatele solicitate: tabele,
figuri, reprezentări grafice, animaţii, valori maxime etc, fiecare din
opţiuni având diverse variante disponibile.
2.8. Concluzii
- Metoda deplasărilor pentru calculul structurilor din bare drepte
este foarte eficientă în inginerie, motiv pentru care este folosită pe
scară foarte largă, mai ales datorită simplităţii sale şi a utilizării
calculatoarelor, fiind implementată în sisteme de „proiectare
asistată”.
- Din considerente didactice metoda a fost prezentată în varianta
sa de bază. Ea poate fi, relativ simplu, extinsă atât pentru structuri
care conţin şi bare curbe, cât şi pentru calcule de stabilitate, dinamice
(în diverse variante) sau pentru probleme nelineare.
- Metoda este „mai exactă” ca altele, ca, de exemplu, metoda
elementelor finite. Greşit se consideră, de către unii utilizatori, ca
fiind exactă. Metoda, în formularea sa de bază, conţine ipoteza de
75

ară, care este o simplificare a realităţii. În consecinţă soluţiile au un
anumit grad de aproximare, de care trebuie să se ţină seama în
practică. Ipoteza de bară (şi ipoteza secţiunii plane a lui Bernoulli),
presupune că lungimea fiecărei bare este mult mai mare decât
dimensiunile secţiunii şi ca urmare, structura se consideră definită
prin axele barelor, iar joncţiunile barelor (nodurile structurii) ca
puncte geometrice (fără dimensiuni). Prin urmare, metoda nu poate
oferi informaţii satisfăcătoare privind valorile tensiunilor în zonele
joncţiunilor structurii, ci numai la distanţe suficient de mari de
acestea. Valorile mărimilor care definesc comportarea „globală” a
structurii se obţin cu o precizie „inginerească” bună. Aspectele
„locale” trebuie analizate ulterior, cu modele şi metode de calcul
adecvate, ca, de exemplu, metoda elementelor finite.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Hadăr, A., Stoicescu, C.,
Méthode des éléments finis- Cours et applications, Lytographie de
l'Université "Politehnica" de Bucarest, 1993.
2. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
3. Gheorghiu, H., Constantinescu, I.N., Hadăr, A., Petre, C.,
Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance,
Editura BREN, Bucureşti, 1999.
4. Hadăr, A., Marin, C., Petre, C., Voicu, A., Metode numerice
în inginerie, Editura Politehnica Press, Bucureşti, 2005.
5. Hadăr, A., Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Coteţ, C.E,
Modelare şi modele pentru calcule în ingineria mecanică, Editura
Printech, Bucureşti, 2007.
6. Marin, C., Hadăr, A., Fl. Popa, L. Albu, Modelarea cu
elemente finite a structurilor mecanice, Editura Academiei şi Editura
AGIR, Bucureşti, 2002.
7. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.
76