TT3 Leabhar Iomlán - Cogg

TIONSCADAL MATA
Téacs Trialacha
7
An Ardteistiméireacht
An Mhatamaitic
Gnáthleibhéal
Snáitheanna 1,2,3 agus 4

Is aistriúchán é seo ar:
Text & Tests 3 (Project Maths), le haghaidh Ardteistiméireacht 2013
An Leagan Béarla
© O.D. Morris, Paul Cooke, Paul Behan, 2011
Dearadh: Identikit Design
Leagan amach agus obair ealaíne: Tech-Set Limited
An Leagan Gaeilge
Aistrithe ag an gComhairle um Oideachas Gaeltachta agus Gaelscolaíochta (COGG)
Aistritheoirí: Diarmuid Clifford, Bairbre Ní Ógáin, Muireann Ní Chuív, Edel Ní Chorráin
Dearadh agus leagan amach: Barry Hurley, Donny Hurley.
Ní ceadmhach aon chuid den fhoilseachán seo a atáirgeadh, a chur i gcomhad athfhála,
ná a tharchur ar aon mhodh ná slí, bíodh sin leictreonach, meicniúil, bunaithe ar fhótachóipeáil,
ar thaifeadadh nó eile, gan cead a fháil roimh ré ón bhfoilsitheoir.
An Chomhairle um Oideachas Gaeltachta agus Gaelscolaíochta
22 Plás Mhic Liam, Baile Átha Cliath 2
www.cogg.ie

Clár
1. Ailgéabar 1 1
1.1 Obair le huimhreacha diúltacha 1
1.2 Sloinn ailgéabracha a shimpliú 3
1.3 Luachanna slonn a fháil 5
1.4 Cothromóidí líneacha a réiteach 6
1.5 Cothromóidí líneacha a bhfuil codáin iontu a réiteach 8
1.6 Codáin ailgéabracha a shuimiú le chéile 9
1.7 Éagothromóidí líneacha 11
1.8 Cothromóidí comhuaineacha 14
1.9 Fadhbanna agus graif 16
1.10 Ábhar foirmle a athrú 19
Cuir triail ort féin 1 22
2. Ailgéabar 2: Cothromóidí Cearnacha 25
2.1 Sloinn chearnacha a fhachtóiriú 25
2.2 Fachtóirí a úsáid chun cothromóidí cearnacha a réiteach 27
2.3 Cothromóidí cearnacha a bhfuil codáin iontu a réiteach 30
2.4 Foirmle na cothromóide cearnaí a úsáid 31
2.5 Cothromóidí comhuaineacha – ceann líneach,
ceann cearnach 33
2.6 Cothromóidí cearnacha a cheapadh 35
2.7 Dlíthe na séan 36
2.8 Cothromóidí a bhfuil séana iontu 40
2.9 Surdaí a láimhseáil 42
2.10 Cothromóidí a bhfuil surdaí iontu 44
Cuir triail ort féin 2 46
3. Céimseata Chomhordanáideach An Líne 49
3.1 An plána a chomhordanáidiú 49
3.2 An fad idir dhá phointe 51
3.3 Lárphointe mírlíne 54
3.4 Fána líne 55
3.5 Cothromóid líne 59
3.6 An chothromóid y mx c 62
3.7 Línte comhthreomhara agus ingearacha 64
3.8 Línte a ghrafadh 66
3.9 Dhá líne a thrasnaíonn a chéile 69
3.10 Achar triantáin 71
Cuir triail ort féin 3 74
iii

4. Sonraí a Bhailiú agus Sampláil 78
4.1 Cineálacha sonraí 79
4.2 Sonraí catagóireacha 81
4.3 Sonraí a bhailiú 83
4.4 Ceistneoirí 86
4.5 Sampláil 91
Cuir triail ort féin 4 96
5. Uimhríocht 100
5.1 Codáin – deachúlacha – figiúirí bunúsacha 100
5.2 Cóimheas agus comhréir 103
5.3 Céatadáin 106
5.4 Earráid chéatadánach 110
5.5 Idirbhearta airgeadra 113
5.6 Cáin ioncaim 115
5.7 Ús iolraithe 119
5.8 Luas – fad – am 126
5.9 Obair le huimhreacha san fhoirm chaighdeánach 131
Cuir triail ort féin 5 135
6. Dóchúlacht 139
6.1 Dóchúlacht agus seansúlacht 139
6.2 Teagmhais agus fothorthaí 142
6.3 Dhá theagmhas – spásanna samplacha a úsáid 147
6.4 Dóchúlachtaí a mheas ó thurgnaimh 150
6.5 Teagmhais chomheisiatacha – riail an tsuimithe 156
6.6 Léaráidí Venn a úsáid 159
6.7 Riail an iolraithe – trialacha Bernoulli 162
6.8 Léaráidí crainn 168
6.9 Luach ionchais 172
6.10 Bunphrionsabal an chomhairimh 176
6.11 Eagair (iomalartuithe) 178
6.12 Teaglamaí 182
Cuir triail ort féin 6 188
7. Uimhreacha Coimpléascacha 194
7.1 Uimhirchórais 194
7.2 Uimhreacha coimpléascacha 197
7.3 Uimhreacha coimpléascacha a shuimiú agus a dhealú 198
7.4 Uimhreacha coimpléascacha a iolrú 200
7.5 Uimhreacha coimpléascacha a roinnt 201
7.6 Léaráid Argand 203
7.7 Modal uimhreach coimpléascaí 204
7.8 Uimhreacha coimpléascacha a bheith cothrom 206
7.9 Cothromóidí cearnacha a bhfuil fréamhacha coimpléascacha leo 207
7.10 Uimhreacha coimpléascacha agus claochluithe 208
Cuir triail ort féin 7 213
iv

8. Tomhais ar an Suíomh agus ar an Leathadh 216
8.1 Mód – airmheán – meán 216
8.2 Raon agus inathraitheacht 220
8.3 Cén meán staitistiúil a úsáidfimid? 225
8.4 Dáileadh minicíochta 228
8.5 Dáileadh minicíochta grúpáilte 231
8.6 An diall caighdeánach 233
Cuir triail ort féin 8 240
9. Achar agus Toirt 243
9.1 Imlíne agus achar triantán agus ceathairshleasán 243
9.2 Ciorcail agus teascóga 248
9.3 Solaid dhronuilleogacha – priosmaí 252
9.4 Sorcóirí agus sféir 259
9.5 An cón 264
9.6 Fadhbanna atá níos deacra 269
9.7 An Riail Thraipéasóideach 272
Cuir triail ort féin 9 280
10. Patrúin agus Seichimh 286
10.1 Patrúin san uimhreas 286
10.2 An nú téarma de sheicheamh 288
10.3 Seichimh ó chruthanna 290
10.4 Seichimh chomhbhreise 294
10.5 Luach a agus luach d a fháil 298
10.6 Sraitheanna comhbhreise 301
10.7 Seichimh chearnacha 305
Cuir triail ort féin 10 309
11. Céimseata 1 312
11.1 Súil siar ar uillinneacha agus ar thriantáin 312
11.2 Achar triantán agus comhthreomharán 319
11.3 Triantáin agus cóimheasa 323
11.4 Teoirimí i dtaobh an chiorcail 330
11.5 Cruthúnais fhoirmiúla ar theoirimí 335
Cuir triail ort féin 11 342
12. Céimseata Chomhordanáideach An Ciorcal 346
12.1 Cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0) 346
12.2 Pointí agus ciorcail 349
12.3 Cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (h, k) agus ar ga dó r 351
12.4 Pointí trasnaithe líne agus ciorcail 355
12.5 Ciorcal a thrasnaíonn na haiseanna 357
Cuir triail ort féin 12 359
13. Sonraí a Chur i Láthair 363
13.1 Barrachairteacha agus píchairteacha 363
13.2 Histeagraim 370
13.3 Cruth an dáilte 373
v

13.4 Léaráidí gais is duillí 377
13.5 Scaipghraif 385
13.6 Comhchoibhneas a thomhas 392
13.7 Gaolta cúisíocha agus comhchoibhneas 394
Cuir triail ort féin 13 398
14. Triantánacht 403
14.1 Teoirim Phíotagarás 403
14.2 Cóimheas an tsínis, an chomhshínis, agus an tangaint 406
14.3 Áireamhán a úsáid 408
14.4 Triantáin dhronuilleacha a réiteach 409
14.5 Achar triantáin 414
14.6 Riail an tSínis 417
14.7 Riail an Chomhshínis 421
14.8 Na huillinneacha 30°, 45° agus 60° 426
14.9 Achar teascóige – fad stua 428
14.10 Cóimheasa uillinneacha níos mó ná 90° 432
Cuir triail ort féin 14 436
15. Céimseata 2 Méaduithe agus Tógálacha 442
15.1 Méaduithe 442
15.2 Tógálacha 451
Cuir triail ort féin 15 460
Freagraí 464
vi

Réamhrá
Is do na daltaí a bheidh ag tabhairt faoin Ardteistiméireacht sa bhliain 2013 an leabhar seo.
Is éard atá ann ná Tionscadal Mata Snáitheanna 1, 2, 3 agus 4 de chúrsa Matamaitice na
hArdteistiméireachta ag an nGnáthleibhéal. Tá an cur chuige ginearálta i leith theagasc na
matamaitice, mar atá sonraithe sna torthaí foghlama le haghaidh Tionscadal Mata, le sonrú
sa leabhar. Spreagann sé ní hamháin forbairt ar eolas agus scileanna matamaiticiúla na ndaltaí
ach forbairt ar an tuiscint a theastaíonn chun na scileanna sin a chur i bhfeidhm chomh maith.
Tá réimse sármhaith ceisteanna ar gach topaic ar fáil, ceisteanna atá scríofa le samhlaíocht
agus a thabharfaidh dúshlán na ndaltaí. Cabhróidh na ceisteanna leis na daltaí chun an méid
atá siad a dhéanamh a thuiscint agus chun a gcuid scileanna i réiteach fadhbanna a fhorbairt.
Tá dóthain ceisteanna, a chuimsíonn gach pointe ar an scála deacrachta, curtha ar fáil chun
riachtanais fhormhór mór na ndaltaí ag an leibhéal seo a shásamh.
An dearadh spreagúil lándaite, mar aon leis an méid mór léaráidí dea-thógtha, ba cheart go
gcabhróidís le tuiscint an dalta ar an topaic a bhfuil sé/sí ag déanamh staidéir uirthi.
Ag tús gach caibidle tá liosta dar teideal Focail Thábhachtacha. Beifear ag súil leis go mbeidh
na focail sin ar eolas ag na daltaí, agus tuiscint acu orthu, faoin am a mbíonn an chaibidil
críochnaithe. I ngach caibidil tá mír dar teideal Cuir triail ort féin, ar a bhfuil dath gorm, ina
ndéantar comhdhlúthú agus athbhreithniú cuimsitheach. Tá leathanach Achoimre ar
phríomhphointí i ngach caibidil. Cuirfidh sé sin i gcuimhne do na daltaí na príomhfhíricí agus
na foirmlí tábhachtacha a d’fhoghlaim siad.
Agus an leabhar seo in úsáid is féidir leanúint ar aghaidh ó chúrsa nua an Teastais Shóisearaigh
(Gnáthleibhéal) ar bhealach loighciúil struchtúrtha. Tugtar aghaidh ar na fadhbanna a d’fhéadfadh
a bheith ag daltaí agus iad ag dul ón gcúrsa sin go dtí clár na hArdteistiméireachta le go
mbeidh siad in ann tabhairt faoin ábhar Ardteistiméireachta gan stró. Sna chéad chaibidlí den
leabhar seo déantar athbhreithniú agus cleachtadh atá bunúsach ach riachtanach sna bunscileanna
tábhachtacha a raibh na daltaí ag plé leo ag leibhéal an Teastais Shóisearaigh ach a
bhfuil seans ann nach bhfuil tuiscint iomlán acu orthu.
O.D. Morris
Paul Cooke
Paul Behan
Iúil 2011
vii

Ailgéabar 1
1
slánuimhreacha slonn téarma athróg tairiseach comhéifeacht
luach a fháil cothromóid líneach éagothromóid líneach
cothromóidí comhuaineacha trasnú ábhar foirmle
Mír 1.1
Obair le huimhreacha diúltacha
Tacar na slánuimhreacha a thugtar ar thacar na n-uimhreacha slána idir dheimhneach agus
diúltach. Leis an gceannlitir Z a chuirtear in iúl é.
Ach staidéar a dhéanamh ar na samplaí thíos, tabharfaidh tú chun cuimhne na bunrialacha
a bhaineann le bheith ag obair le slánuimhreacha.
Samplaí
1. Chun slánuimhreacha a bhfuil an comhartha céanna (i) 8 4 12
acu a shuimiú, suimítear na huimhreacha le chéile agus
coinnítear an comhartha
(ii) 3 7 10
2. Chun slánuimhreacha nach bhfuil an comhartha (i) 3 8 5
céanna acu a shuimiú, coinnítear comhartha na
huimhreach níos mó (i.e. an uimhir atá níos mó nuair
(ii) 4 10 6
nach mbactar leis na comharthaí) agus ansin
dealaítear an uimhir is lú ón uimhir is mó
3. Agus slánuimhreacha á n-iolrú nó á roinnt, (i) 5 (4) 20
(a) nuair is ionann an comhartha,
(ii) 3 6 18
toradh deimhneach a bhíonn ann
(iii) 7 (4) 28
(b) nuair nach ionann an comhartha, toradh diúltach a bhíonn ann
Lúibíní a bhaint
(i) 3(4 5) 3 4 3 5
12 15 27
(ii) 5(7 3) 5 7 5 3
35 15 20
(iii) 3(7 2) 3 7 (3)(2)
21 6
15
Sna samplaí seo, iolraímid
gach uimhir taobh istigh de
na lúibíní faoin uimhir
taobh amuigh de na lúibíní.
1

Ord na n-oibríochtaí
Féach ar an léaráid thíos. Cuirfidh sé i gcuimhne duit an t-ord inar ceart oibríochtaí measctha
a dhéanamh san uimhríocht agus san ailgéabar.
L C I R S D
Lúibíní Cumhachtaí nó séana Iolrú Roinnt Suimiú Dealú
‘Las coinneal i roinnt seomraí dorcha’
Samplaí (i) 3 (5 4) 3 20 23
(ii) 5 4 3(10 4) 9 3(6) 9 18 27
(iii) (10 3 20) 6 (30 20) 6
10 6 60
(iv) 6 2 (6 2) 2 5 36 (4) 2 5
36 16 5 36 80 116
(v) 4 2 2 (7 2) 16 2 (5)
32 5 37
(5) 5
Cleachtadh 1.1
Scríobh gach ceann díobh seo mar shlánuimhir amháin:
1. 8 3 2. 7 3 3. 7 3 4
4. 12 4 8 5. 15 3 9 6. 14 3 7
7. 8 4 7 8. 5 9 8 9. 3 7 6
10. 6 12 8 11. 3 2 7 12. 9 16 10
13. 3 7 12 14. 9 4 6 15. 5 8 9
16. 12 6 17. 5 6 18. 6 (7)
19. 8 (6) 20. 7 (9) 21. 9 7
22. 6 2 (3) 23. 4 (3) (2) 24. (3) (4) (2)
25.
28.
31.
18 ___
6
63 ___
7
(8) (6) 3
______________
12
26.
29.
32.
12 ____
4
6 3 _______
9
2 9 (4)
_____________
8
27.
30.
33.
36 ____
9
9 (6) ________
2
5 4 9
__________
6
Bain úsáid as ord ceart na n-oibríochtaí chun gach ceann díobh seo a leanas a shimpliú:
34. 3 6 3 35. 5 7 8 36. 35 5 6
37. 5 6 4 3 38. 32 8 (5) 39. (16 4) 2 5
2

40. 4 (2) (7 15) 41.
43.
8 (3) 6
_____________
12
4 (7 2)
__________
5
42.
8 (7 4)
___________
1 (5 10)
44. 15 6 2 24 45. (16 4) 2 8
46. Faigh an uimhir atá ar iarraidh i ngach ceann díobh seo:
(i) 5 3 30 (ii) 6 2 2 (iii) ( 5) 3 9
(iv) 4 2 14 (v) (3) (2) 4 (vi) 12 (2) 0
Mír 1.2
Sloinn ailgéabracha a shimpliú
Slonn a thugtar ar 2x 2 3x 4 san ailgéabar.
Trí théarma atá sa slonn sin agus an comhartha ‘móide’ nó an comhartha ‘lúide’ idir gach dhá
cheann.
Athróg a thugtar ar an litir x mar gur féidir luachanna difriúla a bheith air i sloinn eile.
Tairiseach a thugtar ar an uimhir 4 mar nach n-athraíonn a luach.
Comhéifeacht x a thugtar ar an uimhir 3 roimh an x.
Is é 2 comhéifeacht x 2 .
Téarmaí cosúla
Seo agat roinnt téarmaí cosúla:
(i) 2x agus 3x (ii) 2x 2 agus 3x 2 (iii) 3ab agus 6ab.
Is téarmaí cosúla iad sin mar gurb í an litir chéanna atá iontu nó an chumhacht
chéanna den litir chéanna nó an grúpa céanna litreacha.
Ní téarmaí cosúla iad 3ab agus 3ac.
Ní téarmaí cosúla 3x 2 agus 3x ach an oiread, mar nach
ionann cumhacht dóibh.
Sampla 1
Simpligh gach ceann díobh seo
(i) 2x 3y 4 3x 5y 2
(ii) 3x 2 2xy y 2 5xy x 2 3y 2
(i) 2x 3y 4 3x 5y 2 2x 3x 3y 5y 4 2
x 2y 2
(ii) 3x 2 2xy y 2 5xy x 2 3y 2 3x 2 x 2 2xy 5xy y 2 3y 2
4x 2 7xy 2y 2
Ní féidir ach téarmaí cosúla
a shuimiú nó a dhealú.
3

Sampla 2
(i) Bain na lúibíní agus simpligh (2x 3)(x 5).
(ii) Simpligh uaidh sin 2(3x 2 2x 4) (2x 3)(x 5).
(i) (2x 3)(x 5) 2x(x 5) 3(x 5)
2x 2 10x 3x 15
2x 2 7x 15
(ii) 2(3x 2 2x 4) (2x 3)(x 5)
6x 2 4x 8 (2x 2 7x 15) … ó (i) thuas
6x 2 4x 8 2x 2 7x 15
6x 2 2x 2 4x 7x 8 15
4x 2 11x 23
Cleachtadh 1.2
Simpligh gach ceann de na sloinn seo a leanas:
1. 4x 3x 6x 2. 7x 4x 3. 3a 8a 4a
4. 5a 3a 4a 5. a 2a 3a a 6. 6y 7y 5y 2y
7. 6x 2 4x 2 5x 2 8. x 2 3x 2x 2 5x 9. 3a 2 b 4a 2 3b
10. 3x 7 5x 9 11. 5a 4 a 8 12. 9x 2 6 3x 2 8
13. Bain amach na lúibíní agus simpligh gach ceann díobh seo:
(i) (x 4)(x 3) (ii) (2x 3)(x 1) (iii) (x 4)(2x 3)
(iv) (2x 2)(x 5) (v) (3x 1)(2x 5) (vi) (2x 3)(x 6)
14. Bain amach na lúibíní agus simpligh gach ceann díobh seo:
(i) 3x 5 4(4x 3) (ii) 3x(x 4) x(x 5)
(iii) 3(2x 4) (5x 2) (iv) 2(x 2 4x 1) 2x 5
15. Forbair agus simpligh gach ceann díobh seo:
(i) (x 2) 2 (ii) (x 3) 2 (iii) (2x 3) 2 (iv) (3x 2) 2
16. Cóipeáil agus críochnaigh gach ceann díobh seo:
(i) 3( 5) 6x 15 (ii) 4( a) 8 4a
(iii) 5( 3) 20x (iv) 2( ) 8x 16
17. Cé acu de na sloinn seo a thugann achar
na dronuilleoige?
2x 4
12x 4 2x 24 12x 24
6
4

18. I gcás gach crutha, scríobh slonn le haghaidh an fhaid atá ar iarraidh:
(i)
(ii)
?
Achar 9x 6
Achar 3a 2 18a
3a
3x 2
?
19. Scríobh agus simpligh slonn le haghaidh
(i) achar
(ii) imlíne
na dronuilleoige ar dheis.
20. Simpligh: (3x 2)(x 5) 2(x 2 3x 7).
6a 2b
3b
Mír 1.3
Luachanna slonn a fháil
D’fhoghlaim tú an méid seo san ailgéabar roimhe seo:
(i) 3x 3 x
(iii) x 2 x x
(ii) 2ab 2 a b
(iv) 2a 2 2 a a
Ag féachaint do (i), (ii), (iii) agus (iv) thuas, gheobhaimid luachanna slonn anois trí uimhreacha
a chur isteach in áit na litreacha nó na n-athróg sa slonn.
Sampla 1
(i) Faigh luach 2x 2 3y 2 nuair atá x 3 agus y 2.
(ii) Faigh luach 3x 2 5x 6, nuair atá x 2.
(i) 2x 2 3y 2 2(3) 2 3(2) 2 … nuair atá x 3 agus y 2
2(9) 3(4)
18 12 6
(ii) 3x 2 5x 6 3(2) 2 5(2) 6
3(4) 10 6
12 10 6 28
Cearnaigh i
gcónaí sula
n-iolraíonn tú.
Cleachtadh 1.3
Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:
1. 3x 7 nuair atá x 5 2. 3x 4 nuair atá x 2
3. 3x 2y nuair atá x 2 agus y 3 4. 2a b nuair atá a 3 agus b 2
5. x 2 4x nuair atá x 3 6. 2x 2 8 nuair atá x 4
5

7. 2x 2 6x 4 nuair atá x 1 8. 3x 2 5x nuair atá x 2
9. 3x 2 x 5 nuair atá x 2 10. 3x 2 y 2 nuair atá x 2 agus y 3
11. 3(x 2 2) nuair atá x 5 12. 3(x 2y) nuair atá x 1 agus y 2
13. Cén luach atá ar gach slonn nuair atá x 4?
(i) 2x 2 1 (ii) 3(2x 1) (iii)
x 2 __
2
1
(iv)
x 2 8 ______
4
14.
A
B
C
D
E
F
2(t 5)
2(t 2 7)
4t 3 ______
5
5 t 2
3t 2 11
3t 17 _______
2
(i) Nuair atá t 3, is é 4 an luach atá ar thrí cinn de na sloinn thuas.
Faigh na sloinn sin.
(ii) Nuair atá t 2, tá an luach céanna ar thrí cinn de na sloinn thuas.
Faigh na sloinn sin.
15. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:
(i) ______ 5x 3
nuair atá x 5
(ii)
2
(iii)
10 2x _______
1 x
nuair atá x 3
(iv)
10 6h _______
5
3x 4 ______
x 5
nuair atá h 5
nuair atá x 6
Mír 1.4
Cothromóidí líneacha a réiteach
Is sampla de chothromóid é 3x 5 7 mar go bhfuil comhartha ann.
Chun cothromóid a réiteach, ní mór teacht ar luach na hathróige a fhágann gur fíor an
chothromóid.
Léireoidh an dá shampla seo a leanas na céimeanna a bhaineann le cothromóid líneach a
réiteach.
Sampla 1
Réitigh an chothromóid 5x 3 2x 9.
5x 3 2x 9
⇒ 5x 3 3 2x 9 3 … suimigh 3 leis an dá thaobh
⇒ 5x 2x 12
⇒ 5x 2x 2x 2x 12 … dealaigh 2x ón dá thaobh
⇒ 3x 12
⇒ x 4 … roinn an dá thaobh ar 3
6

Sampla 2
Réitigh an chothromóid 5(2x 4) 3(2x 1) 1.
5(2x 4) 3(2x 1) 1
⇒ 10x 20 6x 3 1 … bain na lúibíní
⇒ 10x 20 6x 4 … simpligh an dá thaobh
⇒ 10x 20 20 6x 4 20 … suimigh 20 leis an dá thaobh
⇒ 10x 6x 16
⇒ 10x 6x 6x 6x 16 … dealaigh 6x ón dá thaobh
⇒ 4x 16
⇒ x 4 … roinn an dá thaobh ar 4
Cleachtadh 1.4
Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas:
1. 2x 8 2. 3x 15 3. 8x 40
4. x 3 5 5. 2x 3 10 6. 3x 1 8
7. 5x 2 12 8. 3x 10 8 9. 5x 6 19
10. 7x 4 25 11. 6x 2 4x 10 12. 7x 9 3x 11
13. 3x 1 5x 13 14. 5x 2 40 x 15. 3x 7 32 2x
16. 3(2x 1) 2x 11 17. 2(2x 5) 5x 5 18. 4(2x 3) 2(3x 5)
19. 3(2x 6) 2(2x 1) 20. 3(5x 2) 4(3x 6) 21. 6(1 2x) 5(3x 1) 4
22. 2(x 2) 3(x 3) x 7 23. 3(4 3x) 5(3 2x)
24. 4(x 3) 3(2x 5) x 25. 3(x 1) 18 5(x 1)
26. Tá triantán agus dronuilleog le feiceáil thíos.
x 1
2x
x 2
x
30 2x
30 2x
(i) Cén luach ar x a fhágann gur 63 aonad atá in imlíne an triantáin?
(ii) Faigh agus simpligh slonn le haghaidh imlíne na dronuilleoige.
(iii) Cén luach ar x a fhágann go bhfuil imlíne an triantáin agus imlíne na
dronuilleoige cothrom lena chéile?
(iv) Cén luach ar x a fhágann gur cearnóg í an dronuilleog?
27. Déan cothromóid agus réitigh í chun luach
x i gcás an triantáin ar dheis a fháil.
Scríobh síos uaidh sin tomhas gach uillinne.
2x 6
3x 4
x
Suim na
n-uillinneacha
180°
50 x
7

Mír 1.5
Cothromóidí líneacha a bhfuil codáin
iontu a réiteach
Cuir i gcás an chothromóid ______ 2x 1
3.
5
Gheobhaimid réidh leis an gcodán ach an dá thaobh
a iolrú faoi 5.
_________
1 5(2x 1)
3 5
5 1
2x 1 15
2x 1 1 15 1 … suimigh 1 leis an dá thaobh
2x 16 x 8
Sampla 1
Réitigh an chothromóid
Is é 20 an ICL ar 5, 2 agus 4.
Iolraigh gach téarma faoi 20:
______ 20(4x)
5
_____ 20(x)
2 _____ 20(3)
4
⇒ 4(4x) 10(x) 5(3)
⇒ 16x 10x 15
4x ___
5 x __
2
3 __
4
.
⇒ 6x 15
⇒ x __ 15
6 5_ 2 2 1_ 2
Má bhíonn níos mó ná aon
chodán amháin i gcothromóid,
iolraímid gach cuid faoin
iolraí coiteann is lú (ICL)
ar na hainmneoirí.
Sampla 2
Réitigh an chothromóid
Is é 12 an ICL ar 3, 4 agus 6.
Iolraigh gach téarma faoi 12:
________ 12(x 4)
________ 12(x 2)
3
4
⇒ 4(x 4) 3(x 2) 2(7)
⇒ 4x 16 3x 6 14
⇒ x 10 14
_____ x 4
_____ x 2
3 4
_____ 12(7)
6
⇒ x 10 10 14 10
⇒ x 4
7 __
6
.
8

Cleachtadh 1.5
Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo:
1.
x__
4 3 2. ______ 3x 7
2 3.
5
4. _____ x 1 4 5.
5
7. ______ x 12 x 8.
4
10. _____ x 1 x 2 11.
2
13. ______ 2x 5
3
16. _____ x 5
4
19. ______ 2x 1
5
22.
_____ x 2
2
___ 2x
3
x__
5 _____ x 3
6
14.
17.
x __
3
1 __
3
20.
3 __
2
23.
25. 1 __
3
( x 2) 1 __
5
(3x 2) 26.
______ 3x 1
8 6.
4
______ 8x 3
x 9.
7
_____ x 2
x 4 12.
3
______ 2x 1
5
_____ x 1
2
15.
2x ___
3 x __
4
5 __
2
18.
______ 2x 1
3
x __
4
3 __
2
21.
______ 3x 2
_____ x 1
5 2
_____ x 1
2
___ 5
___ 3
10
12 ______ 4x 1
3
24.
27.
______ 2x 4
6
3
___ 3x
4 __ 9 2
______ x 18
5x
2
______ 2x 3
x 3
4
x__
2 _____ x 5 4
4
_____ x 4
3
x __
4
2
x__
6 1 _____ x 4
4
______ 2x 3
__ 1 ______ 3x 2
4 2 5
1__
2 ( x 3) 1 __
3
( x 1) 8
28. Is é (2x 3) cm fad dronuilleoige áirithe. 2x 3
Is é 1 2
(x 3) cm leithead na dronuilleoige.
Más é 49 cm imlíne na dronuilleoige, faigh luach x.
1
2
(x 3)
29. Taispeántar sa léaráid an triantán comhchosach ABC.
Tugtar faid na sleasa ina gceintiméadair agus tá AB AC.
(i) Scríobh síos cothromóid i dtéarmaí x.
(ii) Oibrigh amach fad [AB].
Mír 1.6
Codáin ailgéabracha a shuimiú le chéile
A
x 4
3(x 6)
5
Chun
4 3 3 2 a scríobh ina chodán singil, scríobhaimid an dá chodán sa chaoi is gurb é 12 an
t-ainmneoir.
3__ __ 2 ___ 9
4 3 12 ___ 8
12 ___ 17
12
Is féidir é sin a dhéanamh ar shlí níos fearr mar leanas:
3__
4 __ 2 3
__________
3(3) 2(4)
12
_____ 9 8
Ar an gcaoi chéanna __ 6 __ 2 7 3
12 ___ 17
12 1 ___ 5
12 .
__________
6(3) 2(7)
_______ 18 14
21 21
___ 4
21
Is féidir codáin ailgéabracha
a shuimiú le chéile agus a
dhealú ó chéile mar a
dhéantar le codáin uimhriúla.
B
C
9

Sampla 1
Scríobh ______ 4x 3
4
Is é 12 an ICL ar 3 agus 4.
x __
3
ina chodán singil.
______ 4x 3
__ x ______________
3(4x 3) 4(x)
____________
12x 9 4x
4 3 12
12
______ 8x 9
12
Sampla 2
Scríobh
_____ 5
x 3 _____ 2
x 4
ina chodán singil.
Is é an ICL ar (x 3) agus (x 4) ná (x 3)(x 4).
_____ 5
x 3 _____ 2
x 4
5(x 4) 2(x 3)
________________
(x 3)(x 4)
_______________
5x 20 2x 6
____________
3x 26
(x 3)(x 4) (x 3)(x 4)
Cleachtadh 1.6
Scríobh gach ceann díobh seo ina chodán singil:
1. __ 3 __ 1 2.
3__
4 3 5 ___ 7
10
10
4.
x__
2 x __
3
5.
7. ______ 2x 3
4
10. ______ 3x 4
6
13.
16.
19.
x __
3
8.
______ 2x 1
3
11.
1 _____
x 3 1 __
x
14.
______ 4
2x 1 ______ 3
2x 3
______ 6
3x 1 ______ 4
2x 3
22. Scríobh
______ 5
2x 1 _____ 3
x 2
17.
20.
___ 3x
4 ___ 3x
2
______ 3x 1
3
______ 3x 2
6
_____ x 5
2
_____ x 3
4
3.
6.
9.
12.
2 _____
x 5 3 __
x
15.
______ 3
4x 1 ______ 4
3x 1
x sa slonn tugtha agus sa fhreagra agat.
18.
2 ______
3x 5 1 __
4
21.
5__
8 __ 1 6
___ 5x
3 __ x 2
______ 4x 3
5
______ 3x 1
4
_____ x 3
3
___ x
10 __ 3 5
_____ 2
x 2 _____ 3
x 4
______ 5
3x 1 _____ 2
x 3
______ 3
2x 7 ______ 5
3x 5
ina chodán singil. Deimhnigh do fhreagra trí 3 a chur in áit

23. Má tá
______ 6
3x 4 ______ 4
2x 3
______________ k
, faigh k nuair atá k N.
(3x 4)(2x 3)
24. Scríobh síos slonn le haghaidh imlíne na gcruthanna seo.
Scríobh gach slonn ina chodán singil.
(i) (ii) (iii)
a
4
a
3
a 1
6
a 2
3
a 1
4
a
2
a 2
4
a 2
3
Mír 1.7
Éagothromóidí líneacha
Is sampla de chothromóid é 2x 4 6 mar go bhfuil an dá thaobh cothrom le chéile.
Ach is éagothromóid é 2x 4 > 6 mar nach bhfuil an dá thaobh cothrom le chéile.
Is iad seo na ceithre shiombail a bhíonn in éagothromóidí:
1. … níos mó ná 2. … níos mó ná nó cothrom le
3. … níos lú ná 4. … níos lú ná nó cothrom le
Na rialacha le héagothromóidí a réiteach, tá siad an-chosúil leis na rialacha le cothromóidí
a réiteach. Tá difríocht mhór amháin, áfach, idir an dá chineál.
Athraítear treo chomhartha na héagothromóide nuair a iolraítear
an dá thaobh faoin uimhir dhiúltach chéanna, nó nuair a roinntear
an dá thaobh ar an uimhir dhiúltach chéanna.
3 5 ach 3 (1) 5 (1)
i.e. 3 5
Sula dtabharfaimid faoi éagothromóidí a réiteach, féachfaimid arís ar na cineálacha
éagsúla uimhreacha atá ann agus ar an gcaoi a léirítear ar an uimhirlíne iad.
1. Tacar na n-uimhreacha aiceanta, N {1, 2, 3, 4, …}
N
1
2 3 4 5
2. Tacar na slánuimhreacha, Z {… 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …}
Z
3 2 1 0 1 2 3
11

3. Tá gach uimhir ar an uimhirlíne san áireamh i dtacar na réaduimhreacha R. Is le líne throm
a léirítear R ar an uimhirlíne, rud a chuireann in iúl go bhfuil gach uimhir san áireamh.
R
Seo dhá thacar réaduimhreacha agus iad léirithe ar an uimhirlíne.
Z
x 2, x R
x 4, x R
2 1 0 1 2 3 4
Cuireann an ciorcal lán ag 4 in iúl go bhfuil 4 san áireamh.
Cuireann an ciorcal folamh ag 2 in iúl nach bhfuil 2 san áireamh.
Sampla 1
Réitigh an éagothromóid 5 2x 9, x Z agus taispeáin
an réiteach ar an uimhirlíne. .
5 2x 9
⇒ 5 2x 5 9 5 … dealaigh 5 ón dá thaobh
⇒ 2x 4
⇒
2x 4 … athraítear treo na héagothromóide nuair a iolraítear an dá thaobh faoi 1
⇒ x 2.
An réiteach ar an uimhirlíne: 2 1 0 1 2 3
Sampla 2
Faigh tacar réitigh, A , na héagothromóide 3x 1 2x 5, x R.
Faigh tacar réitigh, B , na héagothromóide 1_ 25
3
2x __
3 , x R.
Faigh A B agus taispeáin an freagra agat ar an uimhirlíne.
3x 1 2x 5
⇒ 3x 2x 1 2x 2x 5
1_
3
2x __ 25
3
⇒ x 1 5 ⇒ 1 6x 25
⇒ x 1 1 5 1 ⇒ 1 1 6x 25 1
⇒ x 4 ⇒ 6x 24
⇒
6x 24
⇒ x 4.
Cuirimid na freagraí sin le chéile go bhfaighimid x 4, x 4,
i.e. 4 x 4.
An uimhirlíne:
4 3 2 1 0 1 2 3 4
12

Cleachtadh 1.7
1. Maitseáil na héagothromóidí seo.
A
C
2x 10 B
__ x 3
x 4 2
D E F
x 3 7 x 1 5 x 5
G
H
x 3 7 x 6
2. Cén dá cheann díobh seo a leanas atá coibhéiseach le m 6?
A B
2m 8 __ m C D E
12 3m 2 2m 12 __ m F
2 __ m 4
2 3 2
3. As measc na n-ocht éagothromóid seo, faigh na ceithre phéire choibhéiseacha.
A B C D E
p 8 4p 24 2p 18 p 2 6 p 9
F G H
p 4 14 3p 18 2p 20
Réitigh an éagothromóid seo a leanas agus graf an tacar réitigh ar an uimhirlíne:
4. 3x 2 7, x N 5. 8x 1 5x 10, x Z
6. 3x 1 2x 5, x Z 7. 7 x 4, x Z
8. 2x 5 3x 2, x R 9. 4(x 2) 3x 4, x R
10. 1 3x 11, x Z 11. 7 4x 2x 1, x R
12. 3 2(4 x) 3x, x R 13. 3x 2(4 x), x R
14. x 4 4x 1, x R 15. 4 2x 5(2 x), x R
16. Réitigh an éagothromóid 5(2x 5) 1 2(11 3x), x R.
Taispeáin an réiteach agat ar an uimhirlíne ansin.
17. Faigh K, tacar réitigh na héagothromóide 11 3x 2, x R.
Faigh L, tacar réitigh na héagothromóide 3x 2 7, x R.
Faigh K L agus graf an réiteach agat ar an uimhirlíne.
18. Faigh P, tacar réitigh na héagothromóide 2 3x 4 x, x R.
Faigh Q, tacar réitigh na héagothromóide 4 x 7, x R.
Faigh P Q agus graf an réiteach agat ar an uimhirlíne.
19. Faigh A , tacar réitigh na héagothromóide x 3x 1, x R.
Faigh B , tacar réitigh na héagothromóide 3x 1 2x 7, x R.
Taispeáin A B ar an uimhirlíne ansin.
13

20. Faigh C , tacar réitigh na héagothromóide 2 ______ 5x 6 ,
2
x N.
Faigh D, tacar réitigh na héagothromóide ______ 5x 6
7,
2
x N.
Taispeáin C D ar an uimhirlíne.
21. Tá bus in ann 44 paisinéir ar a mhéad a iompar.
Tá scoil ag iarraidh cúigear daoine fásta agus a oiread grúpaí de 4 páistí
agus is féidir a thabhairt ar an mbus.
(i) Má sheasann n do líon na bpáistí, cé acu de na héagothromóidí seo atá
fíor i gcás an bhus:
(a) 4n 5 44 (b) 4n 5 44
(c) 4n 5 44 (d) 4n 5 44?
(ii) Réitigh an éagothromóid chun teacht ar an uaslíon grúpaí 4 páistí atá an bus
in ann a iompar.
Mír 1.8
Cothromóidí comhuaineacha
Na luachanna x 2 agus y 3, sásaíonn siad an dá chothromóid líneacha
3x y 9 agus 2x y 1.
Nuair a shásaíonn na luachanna céanna ar x agus y an dá chothromóid, deirtear gur
cothromóidí comhuaineacha (nó comhchothromóidí) na cothromóidí sin.
Is gá ceann de na hathróga a chealú le cothromóidí comhuaineacha a réiteach, rud a
léirítear sa sampla seo a leanas.
Sampla 1
Réitigh na cothromóidí comhuaineacha
2x 5y 9
3x 2y 4
Cuirimid uimhir ar an dá chothromóid, 2x 5y 9 1
1 agus 2 , ar son na caoithiúlachta. 3x 2y 4 2
Iolraímid cothromóid 1 faoi 2 ansin, agus cothromóid 2 faoi 5, rud a fhágfaidh
an méid céanna y-anna sa dá chothromóid (i.e. na y-chomhéifeachtaí).
1 2: 4x 10y 18
2 5: 15x 10y 20
Suimigh: 19x 38 ⇒ x 2
14

Cuirimid 2 in áit x ansin i gcothromóid 1
2x 5y 9
x 2 ⇒ 4 5y 9
⇒ 5y 5
⇒ 5y 5 ⇒ y 1
x 2 agus y 1
(Ní foláir i gcónaí na luachanna sin a chur in áit x agus y faoi seach sna cothromóidí
lena dheimhniú go bhfuil na luachanna ceart.)
Sampla 2
Réitigh na cothromóidí comhuaineacha 3x 2y 19 … 1
x__
3 y __
2
5 … 2
Cuirimid uimhir ar an dá chothromóid, 1 agus 2 ar son na caoithiúlachta.
Ansin iolraímid gach téarma i gcothromóid 2 faoi 6 (an ICL ar 3 agus 2) chun na
codáin a chealú.
Dá réir sin is mar seo a bheidh cothromóid 2 : 2x 3y 30
Seo agat na cothromóidí ansin: 3x 2y 19 … 1
2x 3y 30 … 2
Iolraigh cothromóid 1 faoi 2 agus cothromóid 2 faoi 3 go ndéanfaidh tú
comhéifeachtaí x a chothromú.
1 2 : 3x 2y 19 6x 4y 38
2 3 : 2x 3y 30 6x 9y 90
Suimigh:
13y 52
⇒ 13y 52
⇒ y 4
Cuir 4 in áit y i gcothromóid 1 go bhfaighidh tú luach x.
⇒ Is é an réiteach ná x 9 agus y 4.
3x 8 19
3x 27
⇒ x 9
15

Cleachtadh 1.8
Réitigh na péirí cothromóidí comhuaineacha seo a leanas:
1. x 2y 6 2. x y 7 3. 3x y 11
3x 2y 10 2x y 12 3x 2y 13
4. 2x 3y 9 5. 3x 2y 1 6. 2x y 7
4x y 13 x 5y 9 3x 2y 0
7. x 2y 8 8. x 2y 9 9. 4x 3y 23
2x 3y 14 3x 7y 1 2x 5y 8
10. 3x 2y 7 11. 2x 3y 5 12. x 2y 12
4x y 13 5x 2y 16 3x 5y 3
13. 3x 2y 12 14. 4x 5y 1 15. x 3 4y
2x 3y 5 3x 4y 24 y 2 3x
16. 3x 4y 23 17. 4x 16 5y 18. x y 3 2x y
y 2x 3
6x 13 2y
19. 3x y 9 20. 3x y 27 21. 2x 3y 24
x__
2 y 2 x __
2
y 1
5x ___
3 y __
2
12
22. Is triantán comhshleasach é ABC. Tá gach fad ina cm.
A
3x 2y
3y 1
B
11 x 2y
C
(i) Ceap dhá chothromóid chomhuaineacha agus réitigh iad chun luach
x agus luach y a fháil.
(ii) Anois faigh fad an tsleasa ar an triantán.
16

Mír 1.9
Fadhbanna agus graif
Bíonn cothromóidí comhuaineacha thar a bheith úsáideach chun cineálacha áirithe fadhbanna
ailgéabracha a réiteach, mar a thaispeántar sna samplaí seo a leanas.
Sampla 1
Tá roinnt boinn deich cent agus roinnt boinn fiche cent sa mhuicín taisce ag Séamas.
18 mbonn ar fad atá aige sa mhuicín taisce, agus is é 2.30 a luach iomlán.
Oibrigh amach cé mhéad bonn deich cent agus cé mhéad bonn fiche cent atá ag
Séamas sa mhuicín taisce.
Abraimis gurb é x líon na mbonn 10c agus gurb é y líon na mbonn 20c.
1 x y 18 … 18 mbonn ar fad atá ann
2 10x 20y 230 … is é suim na mbonn 10c agus 20c ná 2.30 (230c)
1 10: 10x 10y 180
2 10x 20y 230
Dealaigh 10y 50
10y 50
y 5
1 x 5 18 … cuir 5 in áit y
x 13
13 bhonn deich cent agus 5 bhonn fiche cent atá ag Séamas.
Graif a úsáid
Is féidir cothromóidí comhuaineacha a réiteach go
grafach ach graf an dá chothromóid (nó an dá líne)
a tharraingt agus comhordanáidí a bpointe
trasnaithe a fháil.
Taispeántar sa léaráid seo trasna na línte
x y 1 agus 2x y 4.
Trasnaíonn na línte a chéile ag (1, 2).
Ach an dá chothromóid chomhuaineacha a réiteach,
gheobhaimid x 1 agus y 2.
Taispeánann sé seo gur féidir cothromóidí comhuaineacha
a réiteach ach an dá líne a tharraingt agus pointe
trasnaithe an dá líne a scríobh síos.
x y 1
y
8
6
4
2
4 2 O 2 4 x
2
2x y 4
17

Cleachtadh 1.9
18
1. Is é 9 suim dhá dhigit. Má shuimítear dhá oiread na chéad digite le trí oiread an dara
digit,is é 20 an freagra. Faigh an dá uimhir.
2. Is 7 an difríocht idir dhá uimhir. Nuair a dhealaítear trí oiread an dara huimhir ó
dhá oiread na chéad uimhreach, is é 11 an freagra. Faigh an dá uimhir.
3. 27 atá ar thicéid phictiúrlainne do dhuine fásta amháin agus triúr páistí.
Is é 48 an costas do bheirt daoine fásta agus cúigear páistí. Faigh an costas atá
ar thicéad amháin do dhuine fásta agus an costas atá ar thicéad amháin do pháiste.
4. Ní ghlacann meaisín sliotáin ach le boinn 20c agus 50c. 43 bonn ar fad atá sa mheaisín.
Más é 13.10 luach iomlán na mbonn, faigh líon na mbonn 20c agus líon na mbonn
50c sa mheaisín.
5. Díolann potaire mugaí móra agus beaga.
758 gram an meáchan atá in dhá mhuga bheaga agus muga mór amháin.
1882 gram an meáchan atá i gceithre mhuga bheaga agus trí mhuga mhóra.
Cén meáchan atá i ngach muga?
6. Féach ar an dronuilleog sa léaráid ar dheis.
Ina cheintiméadair atá gach slios tomhaiste.
(i) Scríobh síos péire cothromóidí comhuaineacha in
a agus b.
(ii) Réitigh an péire cothromóidí comhuaineacha chun
a agus b a fháil.
7. Tá roinnt cearc agus tréad bó i ngort.
Tá 50 ceann agus 180 cos eatarthu ar fad.
Cé mhéad bó agus cé mhéad cearc atá sa ghort?
8. Bíonn an-tóir ar bharraí seacláide ‘Móro’. Tá dhá chineál ar fáil: gnáthmhéid agus rímhór.
760 g an meáchan iomlán atá in 2 bharra gnáthmhéide agus 5 bharra rímhóra.
920 g an meáchan iomlán atá in 1 bharra gnáthmhéide agus 7 mbarra rímhóra.
(i) Cén meáchan atá i mbarra gnáthmhéide?
(ii) Cén meáchan atá i mbarra rímhór?
9. Tá roinnt buidéil líomanáide 2 lítear ag Ruairí.
Tá roinnt buidéil líomanáide 3 lítear ag Sorcha.
27 lítear an méid iomlán atá ag Ruairí agus Sorcha.
Tá 6 bhuidéal sa bhreis ag Ruairí ar Shorcha. Cé mhéad
buidéal atá ag Ruairí agus cé mhéad buidéal atá ag Sorcha?
10. Léaráid í seo thíos de thrí líne A, B agus C.
Is iad cothromóidí na línte:
A: x y 3 B: y 2x C: x 2y 3.
Bain úsáid as an léaráid chun na cothromóidí
comhuaineacha seo a réiteach:
(i) x y 3 (ii) x 2y 3 (iii) y 2x
y 2x x y 3 x 2y 3
4a
A
2
3
2a 3
y
4
3
2
1
5 b
B
3b 1
2 1 O 1 2 3
1
4
C
x

11. (i) Bain úsáid as na graif chun an dá phéire
cothromóidí comhuaineacha a réiteach.
(a) y 2x 1 (b) y 2x 4
x y 4 x y 4
Seiceáil an dá réiteach trína gcur in áit
2
y 2x 4
x agus y sna cothromóidí.
1
x y 4
(ii) Cén chaoi a bhfuil a fhios agat nach bhfuil aon réiteach
2 1
ar an bpéire cothromóidí comhuaineacha seo a leanas?
1
y 2x 4
y 2x 1
1 2 3 4 x
12. Tá codán áirithe coibhéiseach le 2 7
. Má shuimítear 1 leis an uimhreoir agus
leis an ainmneoir, beidh an codán coibhéiseach le 3 10 .
Faigh an dá chodán.
y
5
4
3
y 2x 1
13. Is comhthreomharán é an cruth ABCD. A
Is ina cm atá gach fad atá marcáilte.
Find fad [AB] agus fad [BC].
x y
5x y 5
B
7 x 2y
D
3x 4y 8
C
Mír 1.10 Ábhar foirmle a athrú
Deirimid gur i dtéarmaí y agus z a scríobhtar
x sa chothromóid x 2y z, nó gurb é x ábhar na foirmle.
Má athraítear an fhoirmle go gcuirtear san fhoirm z 2y x í, is é z ábhar na foirmle.
Athraítear ábhar na foirmle má chuirtear atheagar ar an bhfoirmle (nó ar an gcothromóid)
sa chaoi is gur athróg dhifriúil a bheidh ar thaobh na láimhe clé.
Tá cosúlacht mhór ag an mbealach le
hábhar foirmle a athrú leis an mbealach
le cothromóid a réiteach.
Léirítear sna samplaí seo a leanas na rialacha
bunúsacha le haghaidh ábhar foirmle a athrú.
Sampla 1
Má tá bc d a, bíodh c ar ábhar na foirmle.
bc d a
bc a d … suimigh d leis an dá thaobh
c _____ a d … roinn an dá thaobh ar b.
b
Ní athraítear luach na cothromóide
má dhéantar an oibríocht chéanna
ar an dá thaobh.
19

Sampla 2
Má tá x ___ 3y 1, bíodh y ar ábhar na foirmle.
2
x 3y ___
2 1
2x 3y 2 … iolraigh gach téarma faoi 2
2x 2 3y … suimigh 2 leis an dá thaobh
___ 2x
3 __ 2 y … roinn gach téarma ar 3
3
y ___ 2x
3 __ 2 3
(nó y ______ 2x 2
3
)
Sampla 3
Má tá a _____ bc
, bíodh c ar ábhar na foirmle.
b c
a _____ bc
b c
a(b c) bc … iolraigh gach téarma faoi (b c)
ab ac bc … bain na lúibíní
ac bc ab
c(a b) ab
c _____ ab
a b
Cleachtadh 1.10
1. Bíodh an litir a bhfuil líne fúithi ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo a leanas:
(i) 2x 4 y (ii) a 8b 6 (iii) c 4d 1 (iv) h 2k 2
2. Cuir atheagar ar gach ceann díobh seo agus bíodh an litir a bhfuil líne fúithi ar ábhar na foirmle:
(i) a 3b 5 (ii) b 4w 2 (iii) d 6e 12 (iv) g 18 5h
3. Cóipeáil agus críochnaigh gach ceann díobh seo a leanas:
(i) v u at (ii) ap bq k (iii) p g __
5
3h
v at ap k p g __
5
t … p ______ k
(p ) g
g …
20

4. Bíodh x ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo:
(i) x y 2z (ii) 3x b 4c (iii) 6y 3x 7 (iv)
x__
3 2y 8
5. Bíodh a ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo:
(i) 2a b 1_ 2
(ii) ab 3a 5 (iii) 7(a 3) 4b
6. (i) Bíodh a ar ábhar na foirmle k a __
b
2.
(ii) Bíodh v ar ábhar na foirmle
s u __
v
10.
7. Bíodh an litir idir lúibíní ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo a leanas:
(i) c a __
2
4b … (a) (ii) 2(a 2b) 3c … (a) (iii) 2x 1 __
3
y __
3
… (x)
(iv) 5(b 3) __ a … (b) (v) x ______ y 2z … (z)
2 3
8. (i) Bíodh a ar ábhar na foirmle ma n(m a).
(ii) Bíodh n ar ábhar na foirmle b a (n 1)d.
(vi) a b __
2
3c ___
4 … (b)
9. Bíodh an litir idir lúibíní ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo a leanas:
(i) ___ 3x
5( y z) … ( y)
4
(ii) ___ ab
3 __ b c … (b)
2
(iii) t ______ x 2y … ( y)
z
(iv) __ p __ q 1 … (t)
q t
10. Bíodh an litir idir lúibíní ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo a leanas:
(i) x _____ a b … (a) (ii) y ______ 3x 4
a b x 1 … (x) (iii) p _____ qr
q r … (r)
11. Bíodh k ar ábhar na foirmle ab
dk _____
k e .
12. Cé acu díobh seo a leanas atá ina n-eagar ceart ar
g__ ? r
A
w s __ g B C D
g r(s w) g
r _____
r s w
g
r _____
w s
E
w __ g F
s g r(w s)
r
13. Tríd an dá thaobh a chearnú, bíodh an litir idir lúibíní ar ábhar na foirmle i
ngach ceann díobh seo a leanas:
(i) x √ _____
a b … (b) (ii) a
√ __
x__ … ( y) (iii) k 2 y √ __
a__
b … (b)
14. Má tá C 5 9
(F 32), bíodh F ar ábhar na foirmle.
8(p q)
15. (i) Bíodh q ar ábhar na foirmle t _______ .
pq
(ii) Má tá m _____ cab
, cuir b in iúl i dtéarmaí a, c agus m.
a b
21

Cuir triail ort féin 1
1. (i) Réitigh an chothromóid 2(3x 1) 7 3(3x 2).
(ii) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha
3x y 13
x 2y 5.
(iii) Bíodh b ar ábhar na foirmle ax by c.
2. (i) Réitigh an chothromóid 7(x 1) 21 3(x 1).
(ii) Cé acu de na héagothromóidí seo a leanas atá coibhéiseach le m 10?
A a 5 5 B 2a 20 C a 5 5 D 1_ 2 a 5 E a 1_ 2 10 1_ 2
(iii) Faigh luach
_____ 2
x 2 ______ 3
2x 1 nuair atá x1 2 .
(iv) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha
2v 31 3w
3v w 64
3. (i) Simpligh (2x 3) 2 2x(2x 5).
(ii) Réitigh an chothromóid ______ 2x 1 __ 1 .
3 2
(iii) Réitigh an éagothromóid 5 (3x 4) 4, x Z
agus léirigh an freagra agat ar an uimhirlíne.
(iv) Taispeántar sa léaráid na toisí atá ag dronuilleog
áirithe. 18 cm atá in imlíne na dronuilleoige.
Faigh luach x.
x cm
(x 2) cm
4. (i) Faigh luach 2x 2 3xy nuair atá x 2 agus y 1 3 .
(ii) Réitigh an chothromóid ___ 3x
4 ______ 4x 1 .
5
(iii) Faigh A, tacar réitigh na héagothromóide 2x 4 6, x N.
Faigh B, tacar réitigh na héagothromóide 4 2x 0, x N.
Taispeáin A B ar an uimhirlíne.
(iv) Léaráid í seo thíos de thrí líne A, B agus C.
(a) Maitseáil na trí líne leis na cothromóidí seo.
A
y 2x
x y 3
x 2y 3
(b) Bain úsáid as an léaráid chun na cothromóidí
comhuaineacha seo a réiteach.
(i) y 2x (ii) x y 3
x y 3 x 2y 3
(iii) y 2x
x 2y 3
y
4
3
2
1
2 1 O 1 2 3
1
4
2
3
B
C
x
22

5. (i) Réitigh an éagothromóid 8x 1 5x 10, x R
agus graf an réiteach ar an uimhirlíne.
(ii) San fhoirmle h __ a j , tugtar h i dtéarmaí a, k agus j.
k
Cé acu díobh seo a leanas atá ina n-atheagar ceart ar an bhfoirmle?
A
B C D
E
a hk j a k(h j ) a jk kh a _____ k a hk jk
(iii) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha:
a 2b 1
5a 2b 29.
(iv) Scríobh ______ 1 3x
_____ x 5
3 2
Réitigh uaidh sin an chothromóid ______ 1 3x
3
h j
ina chodán singil agus simpligh an freagra agat.
_____ x 5
2
___ 25
3 .
6. (i) Réitigh an chothromóid ______ 3x 4 __ 1 _____ x 1
6 3 3 .
(ii) Maidir leis na línte 2x 3y 1 agus 5x 2y 12, cén áit a dtrasnaíonn siad a chéile?
(iii) Faigh an luach slánuimhreach is mó a d’fhéadfadh a bheith ar x
má tá 2(4x 1) 11.
(iv) Tugann an fhoirmle seo toirt an chóin ina cm 3 : V _____ r 2 h
3 .
h
Is é r ga an bhoinn agus is é h an airde, iad araon ina gceintiméadair.
(a) Cuir atheagar ar an bhfoirmle sa chaoi is gurb é r an t-ábhar.
(b) Bain úsáid as an atheagar chun ga an bhoinn a oibriú
amach i gcás cóin ar toirt dó 100 cm 3 agus ar airde dó
r
8 cm. Bíodh do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
7. (i) Faigh luach 1 p 1 q nuair atá p 1 2 agus q 1 3 .
(ii) Piocann Megan uimhir. Suimíonn sí 15 leis an uimhir agus ansin dúblaíonn sí an freagra.
Tá uimhir thosaigh Olivia níos mó de 5 ná uimhir thosaigh Megan.
Méadaíonn Olivia a huimhir faoi thrí agus ansin baineann sí 6 di.
Tá an uimhir chéanna ag Megan agus Olivia i ndeireadh thiar thall.
Cé na huimhreacha a phioc siad ar dtús?
3qr
(iii) Má tá p _____, cuir r in iúl i dtéarmaí p agus q.
q r
(iv)
Leathchiorcal os cionn cearnóige atá sa doras seo.
r (a) Taispeáin gur féidir foirmle le haghaidh imlíne,
P, an dorais a scríobh mar seo: Pr6r
(b) Bíodh r ar ábhar na foirmle seo.
(c) Cén airde atá i ndoras ar imlíne dó 10 méadar?
metres?
Tabhair do fhreagra i dtéarmaí .
23

1. Sloinn ailgéabracha
Is slonn ailgéabrach é 3x 2 4x 2 ina bhfuil trí théarma.
Is é 3 comhéifeacht x 2 . Tairiseach a thugtar ar an téarma 2.
Téarmaí cosúla a thugtar ar théarmaí a bhfuil an litir chéanna,
nó an grúpa céanna litreacha, iontu.
Ní féidir ach téarmaí cosúla a shuimiú nó a dhealú; 3x 4x 7x 14x.
Ní féidir 2ab 3ac a shuimiú le chéile mar nach téarmaí cosúla iad.
2. Ord na n-oibríochtaí
L C I R S D ‘Las coinneal i roinnt seomraí dorcha.’
L C I R S D
Lúibíní Cumhachtaí Iolraigh Roinn Suimigh Dealaigh
3. Éagothromóidí
Ciallaíonn níos mó ná
Ciallaíonn níos lú ná
Ciallaíonn níos mó ná nó cothrom le Ciallaíonn níos lú ná nó cothrom le
Tá an éagothromóid x 2, x R le feiceáil ar an uimhirlíne thíos.
3 2 1 0 1 2 3
4. Cothromóidí comhuaineacha
Nuair a réitíonn tú péire cothromóidí
comhuaineacha, bíonn tú ag fáil an
phointe ina dtrasnaíonn na línte a chéile.
y
4
3
2
1
y x 2
y x 4
1 O 1 2 3
1
4 x
5. Ábhar foirmle a athrú
Bíonn ábhar foirmle leis féin ar thaobh amháin den fhoirmle agus
ní bhíonn sé ar an taobh eile. Mar shampla, is féidir atheagar a
chur ar x 4y 4 sa chaoi is go mbeidh y _____ x 4
.
↓
is é x an t-ábhar
4
↓
is é y an t-ábhar
24

Ailgéabar 2:
Cothromóidí Cearnacha
2
slonn cearnach slánchearnóga difríocht idir dhá chearnóg
fréamhacha parabóil foirmle na cothromóide cearnaí cumhacht
cothromóidí comhuaineacha séan surda cóimheasta éagóimheasta
Mír 2.1
Sloinn chearnacha a fhachtóiriú
Slonn cearnach a thugtar ar shlonn san fhoirm ax 2 bx c, áit ar uimhreacha iad
a, b agus c agus a 0.
Ó tá (x 5)(x 2) x 2 7x 10, deirimid gurb iad (x 5) agus (x 2) fachtóirí x 2 7x 10.
Agus slonn cearnach á fhachtóiriú againn triailimid uimhreacha difriúla go
dtí gurb ionann téarma láir an tsloinn chearnaigh agus an freagra a fhaightear
nuair a shuimítear toradh na dtéarmaí amuigh le toradh na dtéarmaí istigh.
Sampla 1
Fachtóirigh 3x 2 13x 4
(x 5)(x 2)
téarmaí amuigh
téarmaí istigh
San fhoirm (3x ?)(x ?) a bheidh fachtóirí 3x 2 13x 4.
3x 2 13x 4 (3x 1)(x 4)
Is iad sin na fachtóirí cearta,
tharla an méid seo:
(i) 3x(x) 3x 2
(ii) 12x x 13x
(iii) 4 1 4
Fachtóirí 3:
3 1
Fachtóirí 4:
4 1
nó 2 2
Sampla 2
Fachtóirigh (i) 3x 2 10x 8 (ii) 8x 2 10x 3
(i) 3x 2 10x 8
San fhoirm (3x ?)(x ?) a bheidh fachtóirí 3x 2 10x 8.
3x 2 10x 8 (3x 4)(x 2)
Is iad sin na fachtóirí cearta ó tá 6x 4x 10x.
3x 2 10x 8 (3x 4)(x 2)
25

(ii) 8x 2 10x 3 (4x 1)(2x 3)
12x 2x 10x (ceart)
8x 2 10x 3 (4x 1)(2x 3)
Sloinn san fhoirm ax 2 bx
Chun x 2 5x a fhachtóiriú, roinnimid gach téarma ar an bhfachtóir coiteann is airde, i.e. x.
x 2 5x x(x 5)
Ar an gcaoi chéanna (i) 3x 2 6x 3x(x 2) (ii) 9x 2 15x 3x(3x 5).
Difríocht idir dhá chearnóg
Slánchearnóga a thugtar ar uimhreacha ar nós 1, 4, 9, 16, …
1 1 2 , 4 2 2 , 9 3 2 , 16 4 2 , …
Ar an gcaoi chéanna cearnóga atá in 9x 2 agus in 16y 2 ó tá 9x 2 (3x) 2 agus 16y 2 (4y) 2 .
An difríocht idir dhá chearnóg a thugtar ar shlonn ar nós 9x 2 16y 2 .
Má iolraímid (x y) agus (x y) faoi chéile, gheobhaimid x 2 y 2 .
Mar sin tá fachtóirí x 2 y 2 (x y)(x y).
Sampla 3
Fachtóirigh (i) 2x 2 3x (ii) x 2 25 (iii) 9x 2 16y 2
(i) 2x 2 3x x(2x 3)
(ii) x 2 25 (x) 2 (5) 2 (x 5)(x 5)
(iii) 9x 2 16y 2 (3x) 2 (4y) 2 (3x 4y)(3x 4y)
x 2 y 2 (x y)(x y)
Cleachtadh 2.1
Fachtóirigh gach ceann díobh seo:
1. x 2 7x 6 2. x 2 7x 12 3. 2x 2 5x 2
4. 2x 2 9x 4 5. 2x 2 15x 7 6. 3x 2 8x 4
7. 3x 2 7x 4 8. 5x 2 17x 6 9. 4k 2 8k 3
10. 4x 2 13x 3 11. 10x 2 17x 7 12. 6x 2 23x 10
13. x 2 7x 12 14. x 2 13x 36 15. 2x 2 7x 3
16. 2x 2 19x 9 17. 2x 2 7x 15 18. 8x 2 10x 3
19. 6x 2 11x 3 20. 8x 2 10x 3 21. 8x 2 14x 3
26

22. 3x 2 13x 10 23. 2x 2 21x 54 24. 6x 2 x 22
25. 24x 2 2x 15 26. 6x 2 19x 3 27. 15x 2 14x 8
28. x 2 4x 29. x 2 8x 30. 2x 2 3x
31. x 2 y 2 32. x 2 25y 2 33. 16x 2 1
34. 16x 2 25y 2 35. 49x 2 100 36. 36x 2 49y 2
Mír 2.2 Fachtóirí a úsáid chun cothromóidí
cearnacha a réiteach
Cuir i gcás an chothromóid x 2 5x 6 0.
Nuair atá x 2, mar seo a bheidh x 2 5x 6: (2) 2 5(2) 6, i.e., 4 10 6 0
Nuair atá x 3, mar seo a bheidh x 2 5x 6: (3) 2 5(3) 6, i.e., 9 15 6 0
Nuair atá x 2 nó x 3, is ionann agus nialas an dá thaobh den chothromóid.
Nuair a tharlaíonn sé sin, deirimid gurb iad x 2 agus x 3 na réitigh ar an gcothromóid
nó fréamhacha na cothromóide.
Más linn cothromóid chearnach a réiteach caithfimid na luachanna ar x a fháil a shásaíonn
an chothromóid.
Más san fhoirm ax 2 bx c 0 a bhíonn an chothromóid chearnach, is ina thoradh ar dhá
fhachtóir líneacha a scríobhaimid an taobh clé, agus an chothromóid a réiteach ansin, mar atá
le feiceáil sna samplaí seo a leanas.
Sampla 1
Réitigh an chothromóid x 2 5x 14 0.
x 2 5x 14 0
⇒ (x 7)(x 2) 0 … fachtóirigh taobh na láimhe clé
⇒ x 7 0 or x 2 0 … bíodh gach fachtóir 0
⇒ x 7 or x 2
x 7 or x 2
Sampla 2
Réitigh na cothromóidí seo:
(i) 2x 2 9x 0 (ii) 4x 2 25 0
(i) 2x 2 9x 0
[Níl téarma uimhriúil ar bith sa chothromóid sin (i.e. níl tairiseach ar bith inti) agus
is é an tslí a ndéantar fachtóiriú uirthi ná an fachtóir coiteann is airde ag gach téarma
a habhairt taobh amuigh de na lúibíní.]
2x 2 9x 0 ⇒ x(2x 9) 0
x 0 nó 2x 9 0
⇒ x 0 nó x 4 1_ 2
x 0 nó x 4 1_ 2
27

(ii) 4x 2 25 0
⇒ (2x 5)(2x 5) 0 … an difríocht idir dhá chearnóg
⇒ 2x 5 0 nó 2x 5 0 … an dá fhachtóir 0
⇒ 2x 5 nó 2x 5
⇒ x 2 1_ 2 nó x 2 1_ 2
Parabóil a thugtar ar an gcuar ar dheis.
Graf y x 2 5x 6 atá ann.
> An bhfuil tú in ann an graf a úsáid chun an
chothromóid x 2 5x 6 0 a réiteach?
> Fachtóirigh x 2 5x 6 agus ansin
réitigh an chothromóid x 2 5x 6 0.
> Céard iad na naisc idir do chuid freagraí
agus an graf?
y
7
y x 2 5x 6
6
5
4
3
2
1
2 1 1 2 3 4 5 6 x
Cleachtadh 2.2
Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas:
1. (x 4)(x 1) 0 2. (2x 1)(3x 6) 0 3. x(2x 5) 0
4. x 2 2x 3 0 5. x 2 8x 12 0 6. x 2 4x 5 0
7. x 2 2x 8 0 8. x 2 2x 15 0 9. 2x 2 5x 2 0
10. 6x 2 x 2 0 11. 4x 2 29x 7 0 12. 9x 2 9x 28 0
13. 4x 2 12x 5 0 14. 3x 2 13x 10 0 15. 6x 2 17x 3 0
16. x 2 7x 0 17. 2x 2 5x 0 18. 3x 2 4x 0
19. 2x 2 9x 0 20. 3x 2 10x 0 21. 5x 2 12x 0
22. x 2 9 0 23. x 2 49 0 24. 4x 2 9 0
25. 4x 2 25 0 26. 9x 2 16 0 27. 4x 2 1 0
28. (x 3)(x 2) 20 29. (2x 5)(x 2) 15 30. 2x(x 2) 3(x 10)
31. (i) Taispeáin gurb ionann achar na dronuilleoige seo
ina cm 2 agus 2x 2 5x 2.
(ii) Más é 14 cm 2 achar na dronuilleoige,
(x 2) cm
(a) déan cothromóid in x agus réitigh í.
(b) scríobh síos fad agus leithead na dronuilleoige.
(2x 1) cm
28

32. Is é an t-achar céanna atá ag an dronuilleog agus ag an triantán thíos.
(x 6) cm
x cm
(x 3) cm
16 cm
(i) Scríobh slonn in x le haghaidh
(a) achar na dronuilleoige
(b) achar an triantáin.
(ii) Déan cothromóid agus réitigh í chun luach x a fháil.
Uaidh sin faigh toisí na dronuilleoige.
Cén fáth nár ghlac tú ach luach amháin le haghaidh x?
33. Féach ar an triantán dronuilleach seo trasna.
Tugtar duit faid na sleasa.
(i) Bain feidhm as Teoirim Phíotagaráis chun
cothromóid in x a scríobh síos.
(ii) Réitigh an chothromóid sin.
(iii) Scríobh síos fad [AB].
34. Tá trí pharabóil le feiceáil thíos.
y
4
3
y x 2 6x 8 y x 2 8x 15
2
1
A
(3x 4) cm
(2x 6) cm
B
(x 2) cm
C
6 5 4
3 2 1O 1 2 3 4 5 6 x
1
2
y x 2 x 2
Bain úsáid as na graif thuas chun na cothromóidí seo a leanas a réiteach
(tá dhá réiteach ar gach ceann).
(i) x 2 8x 15 0 (ii) x 2 6x 8 0 (iii) x 2 x 2 0
35. Féach ar an léaráid ar dheis. Cruth atá
ann inar dronuillinn gach cúinne. Is ionann
achar an chrutha agus 48 cm 2 .
2x cm
(i) Déan cothromóid, i dtéarmaí x,
d’achar an chrutha. Taispeáin gur
féidir an chothromóid a shimpliú sa
chaoi is gur x 2 x 12 0 a bheidh agat.
(ii) Réitigh an chothromóid x 2 x 12 0
agus uaidh sin ríomh imlíne an chrutha.
2x cm
x cm
4 cm
29

Mír 2.3
Cothromóidí cearnacha a bhfuil codáin
iontu a réiteach
Is é an tslí a réitítear cothromóid a bhfuil codáin inti, gach téarma den chothromóid a iolrú
aoin uimhir is lú ar féidir na hainmneoirí a roinnt uirthi (i.e. an t-iolraí coiteann is lú, nó an ICL,
ar na hainmneoirí). Is minic gur cothromóid chearnach a thagann as sin mar is léir ar na
samplaí seo a leanas.
Sampla 1
Réitigh an chothromóid _____ x 3
3
Is é 3x an ICL ar 3 agus x.
Iolraigh gach téarma faoi 3x ansin.
___ 12
x 4.
1
_________ 3x(x 3)
_______ 3x 1 (12)
4(3x)
13
x 1
x(x 3) 3(12) 4(3x)
x 2 3x 36 12x
Dealaigh 12x ón dá thaobh: x 2 3x 36 12x 12x 12x
x 2 15x 36 0
Fachtóirigh: (x 3)(x 12) 0
x 3 0 nó x 12 0
x 3 nó x 12
Sampla 2
Réitigh an chothromóid
_____ 2
x 1 _____ 1
x 2 __ 1 2
Is é 2(x 1)(x 2) an ICL ar na hainmneoirí.
Iolraigh gach téarma faoi 2(x 1)(x 2) ansin.
1
_______________
2(2)(x 1)(x 2)
_____________
2(x 1)(x 2)
_____________
2(x 1)(x 2)
(x 1)
(x 2)
2
1
1 1
1 1
4 ( x 2) 2(x 1) (x 1)(x 2)
4x 8 2x 2 x 2 2x x 2
2x 10 x 2 x 2
2x 2 x 12 9
x 2 x 12 0 … iolraigh gach téarma faoi 1
(x 4)(x 3) 0 … fachtóiriú
x 4 0 nó x 3 0
x 4 nó x 3
30

Cleachtadh 2.3
Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas:
1. x 5 __ 4 0 2. x 7 ___ 12
x x 0
3.
_____ x 7
3
2 __
x
4 4.
___ 15
x
2 x
5.
______ 2x
2x 1 x 3 6. _____ x 1
3
1 __
x
1
7.
1 _____
x 1 x __
5
1 8.
4__ _____ 1
x x 1 3
9.
6__ _____ 5
x x 1 2 10. _____ 5
x 2 _____ 3
x 2 2
11.
13.
2 _____
x 2 3 1 __
x
12.
9 _____
x 8 1 __
x
1 14.
______ 5
2x 1 1 __ 6 x
_____ 2
x 1 _____ 3
x 3 2
15.
17.
_____ 5
x 4 _____ 2
x 2 2 16. _____ 5
x 2 _____ 4
x 1 6 0
______ 5
2x 1 _____ 6
x 1 3 18. ______ 3x 3
x 1 __ 1 1 x
19. Níl ach fréamh amháin le gach ceann de na cothromóidí seo. Faigh an fhréamh sin i
ngach cás.
(i)
Mír 2.4
2x _____
x 3 1 __
x
2
(ii)
______ 2x
2x 1 _____ 1
x 1 1 (iii) _____ 1
x 1
Foirmle na cothromóide cearnaí a úsáid
_____ x
x 1 1
Le fachtóirí a réitíomar cothromóidí cearnacha san fhoirm ax 2 bx c 0 sa chaibidil seo
go dtí seo.
Mura féidir fachtóiriú a dhéanamh ar an slonn ax 2 bx c, réiteofar é le foirmle na
cothromóide cearnaí a thugtar thíos.
Foirmle na cothromóide
cearnaí
Is iad seo fréamhacha na cothromóide cearnaí
ax 2 bx c 0:
x b √ ________
______________
b 2 4ac
2a
31

Sampla 1
Bain leas as foirmle na cothromóide cearnaí go bhfaighidh tú fréamhacha na
cothromóide 5x 2 7x 3 0, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.
I gcás na cothromóide 5x 2 7x 3 0, a 5, b 7 agus c 3.
x b √ ________
______________
b 2 4ac
2a
7 √____________
49 4(5)(3)
___________________
2(5)
7 √ _______
______________ 49 60
10
7 √ ____
__________ 109
__________ 7 10.44
10
10
x 1.744 nó x 0.344
x 1.74 nó x 0.34
_______ 17.44
10
nó ____ 3.44
10
Cleachtadh 2.4
Bain úsáid as an bhfoirmle x b √ ________
______________
b 2 4ac
chun na cothromóidí seo a leanas a réiteach.
2a
Tabhair do chuid freagraí ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.
1. x 2 4x 2 0 2. x 2 6x 4 0 3. x 2 2x 5 0
4. x 2 2x 7 0 5. 4x 2 2x 1 0 6. 3x 2 x 1 0
7. 3x 2 6x 2 0 8. 3x 2 7x 5 0 9. 5x 2 4x 2 0
10. 3x 2 8x 2 0 11. 6x 2 9x 4 0 12. 3x 2 7x 2
13. 4x 2 3x 5 14. 2x 2 7x 4 15. 3x 2 5x 3
Scríobh na cothromóidí seo a leanas san fhoirm ax 2 bx c 0, agus uaidh sin réitigh na
cothromóidí, agus bíodh do chuid freagraí ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
16. x 2 __
x
7 17.
19.
12 _____
x 2 1 __
x
2 18.
_____ 3
x 1 _____ 2
x 3 1 20. ______ 3
2x 3 ______ 5x 7
x 1
21.
7__ 3 2x
x
_____ 1
x 1 _____ 2
x 3 4
22. Féach ar an dronuilleog seo trasna. Tá an fad x 4
x 4
agus tá an leithead x 1.
Ina cheintiméadair atá gach tomhas.
(i) Scríobh achar na dronuilleoige i dtéarmaí x.
(ii) Más é 10 cm 2 an t-achar, scríobh cothromóid in
x agus réitigh í.
(iii) Faigh fad na dronuilleoige, ina cm, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.
x 1
32

Mír 2.5 Cothromóidí comhuaineacha ---
ceann líneach, ceann cearnach
Chun péire cothromóidí, ceann líneach agus ceann cearnach, a réiteach,
úsáidimid ionadú mar seo a leanas:
1. Sa chothromóid líneach, scríobh athróg amháin i dtéarmaí na hathróige eile,
m.sh. x 2y 1.
2. Cuir an luach sin le haghaidh x (nó y) isteach sa chothromóid chearnach agus ansin
réitigh an chothromóid.
Sampla 1
Réitigh na cothromóidí x y 3 … 1
x 2 y 2 17 … 2
De réir chothromóid 1 : x 3 y
Cuir isteach (3 y) in áit x i gcothromóid 2 agus is éard a gheobhaidh tú:
(3 y) 2 y 2 17
⇒ 9 6y y 2 y 2 17
2y 2 6y 8 0
y 2 3y 4 0
(y 4)(y 1) 0
⇒ y 4 0 nó y 1 0
⇒ y 4
nó y 1
Cuir isteach na luachanna sin le haghaidh y i gcothromóid 1 agus is éard
a gheobhaidh tú:
y 4 ⇒ x 4 3 nó y 1 ⇒ x 1 3
⇒ x 1 ⇒ x 4
Is iad seo na réitigh: x 1, y 4 nó x 4, y 1
I Sampla 1 thuas, seasann x y 3 do líne dhíreach agus seasann x 2 y 2 17 do chiorcal.
y
Seasann na réitigh ar an dá chothromóid, i.e.
x 1, y 4 agus
(1, 4)
x 4, y 1
do na pointí (1, 4) agus (4, 1).
O
x
(4, 1)
Is iad sin na pointí ina dtrasnaíonn an líne an ciorcal.
33

Sampla 2
Faigh comhordanáidí phointí trasnaithe, A agus B,
na líne y 2x 3 agus an chuair y x 2 .
Chun na pointí A agus B a fháil, réitímid na cothromóidí
y x 2 … 1
agus y 2x 3 … 2
Cuir isteach (2x 3) in áit y i gcothromóid 1 agus
is éard a gheobhaidh tú:
2x 3 x 2
x 2 2x 3 0… atheagraigh
(x 1)(x 3) 0
x 1 0 nó x 3 0
x 1 nó x 3
Cuir isteach na luachanna sin le haghaidh x i gcothromóid 2 agus
is éard a gheobhaidh tú:
Nuair atá x 1, y 2(1) 3, i.e. y 1
Nuair atá x 3, y 2(3) 3, i.e. y 9
Mar sin trasnaíonn an líne an cuar sna pointí
A(1, 1) and B(3, 9).
A
y
O
B
x
Cleachtadh 2.5
Réitigh na cothromóidí seo a leanas:
1. x 2 y 2 5 2. x 2 y 2 10 3. x 2 y 2 18
x y 3 x y 4 x y 0
4. y x 2 5. x 2 y 2 20 6. x 2 y 2 25
y 3 2x x 2y 0 x y 1 0
7. x 2 y 2 9 8. xy 12 9. y x 2 6x 5
x y 3 x y 7 y x 1
10. xy 4 11. y 2 4x 12. x 2 y 2 24
y 2x 2 2x y 4 x 2y 3
13. Faigh pointí trasnaithe na líne y 3 2x agus an chuair y x 2 .
14. Faigh pointe/pointí trasnaithe na líne y 2x 1 agus an chuair y x 2 .
Céard is féidir leat a rá faoin líne mar thoradh ar do fhreagra?
34

15. Faigh pointí trasnaithe na líne agus an chuair
san fhíor ar dheis.
y
y x 2 4
x y 8
O
x
Mír 2.6
Cothromóidí cearnacha a cheapadh
Scrúdaigh an chothromóid chearnach x 2 x 6 0.
Is iad fachtóirí thaobh na láimhe clé ná (x 3)(x 2)
⇒ (x 3)(x 2) 0
⇒ x 3 nó x 2
i.e. is iad 3 agus 2 fréamhacha na cothromóide.
Is í malairt an mhodha sin a bheidh againn chun cothromóid chearnach a cheapadh nuair atá
na fréamhacha ar eolas againn.
Sampla 1
Ceap an chothromóid chearnach a bhfuil na fréamhacha 4 agus 5 léi.
Más iad 4 agus 5 na fréamhacha,
(x 4)(x 5) 0
Is é x 2 x 20 0 an chothromóid
Más fréamh le cothromóid áirithe é x 1 2 ,
x 1_ 2
⇒ 2x 1 ⇒ 2x 1 0
⇒ (2x 1) an fachtóir a bhfaightear an fhréamh sin as.
Ar an gcaoi chéanna, má tá x 1 3
, tá 3x 1, agus mar sin is é (3x 1) an fachtóir.
Sampla 2
Ceap an chothromóid arb iad 1 4
agus 3 a cuid fréamhacha.
x 1 4
is é (4x 1) an fachtóir a bhfaightear an fhréamh sin as.
Fréamhacha 1 4
, 3 is é (4x 1)(x 3) 0 an chothromóid
is é 4x 2 11x 3 0 an chothromóid
35

Cleachtadh 2.6
Ceap cothromóid chearnach gach ceann díobh seo a leanas, ós iad seo a gcuid fréamhacha:
36
1. 2, 4 2. 5, 1 3. 3, 2 4. 3, 1
5. 4, 2 6. 3, 4 7. 6, 2 8. 5, 0
9. 2, 1_ 2 10. 5, 4 11. 1_ 2 , 4 12. 1_
4
, 8
13. 0, 4 14.
1_
2 , 1_ 2 15. 3 16. 0, 1_ 4
17. Más iad 2 agus 1 fréamhacha na cothromóide x 2 ax b 0, faigh luach a agus
luach b.
Mír 2.7
Dlíthe na séan
2 3 2 2 2 8
‘2 ciúbaithe’ nó ‘2 i gcumhacht a 3’ a thugtar ar 2 3 .
Is é 3 an chumhacht nó an séan a insíonn dúinn cé mhéad uair a iolraítear 2 faoi féin.
1. Iolrú
4 2 4 3 (4 4) (4 4 4)
4 5
Ar an gcaoi chéanna, x 2 x 3 (x x) (x x x) x 5
Mar sin x 2 x 3 x 2 3 x 5
2. Roinnt
__ 3 5
3
2 ________________
3 3 3 3 3
3 3
3 3
Ar an gcaoi chéanna, __ x5
x
2 _______________
x x x x x
x x
Mar sin __ x 5
x
2 x5 2 x 3
3. Cumhacht i gcumhacht eile
Is éard is ciall le (x 2 ) 3 ná (x 2 ) (x 2 ) (x 2 )
⇒ (x 2 ) 3 x 2 2 2 x 6
x 2 3
Ar an gcaoi chéanna (x 4 ) 3 x 4 3 x 12
x 3
4. Toradh a scríobh i gcumhacht áirithe
(ab) n a n b n
5. Uimhir ar bith i gcumhacht 0, is ionann í agus 1
a 0 1 nó 10 0 1
Chun an uimhir chéanna i gcumhachtaí
éagsúla a iolrú faoi chéile, suimigh
na séana.
Chun an uimhir chéanna i gcumhachtaí
éagsúla a roinnt ar a chéile,
dealaigh na séana.
Chun cumhacht a scríobh i gcumhacht
eile, iolraigh na séana.

6. Séana diúltacha
Is féidir __ 43
4
5
a scríobh mar seo:
________________
4 4 4
4 4 4 4 4 __ 1
4
2
Freisin __ 43
4
5 43 5 4 2 ⇒ __ 1
4
2 42
7. Séana i bhfoirm codáin
Úsáidimid rialacha na séan le taispeáint 2 1_ 2
√ __
2 .
2 1_ 2
2 1_ 2
2 1_ 2 1_ 2
2 1 2
Freisin √ __
2 √ __
2 2
2 1_ 2
√ __
2
1_
Ar an gcaoi chéanna 3
3 √ __
2 .
8. Tuilleadh séan i bhfoirm codáin
Ceann de rialacha na séan ná (a m ) n a mn .
Ón riail sin is intuigthe go bhfuil
27 2_ 3
(27 1_ 3
) 2 ( 3 √ ___
27 ) 2 3 2 9
Nóta: ( 3 √ ___
27 ) 2 3 √ ___
27 2
a n 1 __
a
n
nó a 2 1 __
a
2
2 1_ 2
√ __
2
2 1_ 3
3 √ __
2
………
2 1_ n
n √ __
2
8 2_ 3
( 3 √ __
8 ) 2
16 3_ 4
( 4 √ ___
16 ) 3
………
x m__ n
( n __
√ x ) m
Sampla 1
Scríobh gach ceann díobh seo ina shlánuimhir nó ina chodán:
(i) _______ 34 3 2
3 5 (ii) 64 1_ 3
(iii)
1 ___
4 2 (iv) 8 2_ 3
(i) _______ 34 3 2
3 5 __ 36
3
5 31 3 (ii) 64 1_ 3
3 √ ___
64 4 [nó 64 1_ 3
(4 3 ) 1_ 3
4]
(iii)
___ 1
4 2 42 16 (iv) 8 2_ 3
3 √ __
8 2 3 √ ___
64 4
2_
3
nó 8 ( 8 1_ 3
) 2 ( 3 √ __
8 ) 2 2 2 4
Sampla 2
27)
(i) Scríobh ( 8 ___
(ii) Scríobh
____ 125
√ 5
2_
3
san fhoirm a __
b
, áit a bhfuil a, b N.
ina chumhacht de chuid 5.
37

(i) ___
(
27)
8
2_
3 8 2_ 3
___
3
27 √ __
_____ 8 2
2_
3 3 √ ___
(ii) ____ 125
√ 5 __ 53
5 5 3 1_ 1_ 2
5 2 1_ 2
5 5_ 2
2
___
3
27 ______ √ 64
2 ( 3 √ ___
27 ) __ 4
2 3
2 __ 4 9
Cleachtadh 2.7
1. Simpligh gach ceann díobh seo:
(i) a 3 a 4 (ii) a a 5 (iii) a.a.a 2 (iv) 2x 2 3x (v) a 3 3a 2
(vi)
__ x 5
x
2 (vii) __ a 4
a
(viii)
6a 6 ___
2a 2 (ix) (a2 ) 3 (x) a 0
2. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a n áit a bhfuil a, n, N:
(i) 25 (ii) 64 (iii) 27 (iv) 32 (v) 125 (vi) 81
3. Céard dó a seasann an comhartha ceiste (?) i ngach ceann díobh seo a leanas?
A
3 5 3 2 ?
B
3 3 __
3
5 ?
C
(2 3 ) 2 ?
D
6 1 6 2 ?
E
7 2 __
7
2 ?
F
2 5 2 3 ?
G
(3 1 ) 2 ?
H
5 3 ___
5 2 ?
4. Cóipeáil agus críochnaigh iad seo.
(i) 2 2 2 2 6 (ii) ___ 3 1
3 35 (iii) a 2 a a 4 a 3 (iv)
(v) (5 ) 3 5 12 (vi) (2 ) 5 2 10
___ b
b
3
b5
5. Simpligh iad seo.
(i) n 2 5n 9 (ii) 2n 3n 2 (iii) 7n 5 3n 8 (iv) 5n 2 2n 3 3n 4
(v) (4n) 2 (vi) (2n) 3 (vii) (5n 2 ) 3 (viii) (2n 3 ) 5
6. Simpligh iad seo..
(i) ____ 6m 9
3m (ii) _____ 2m 8
2 10m (iii) ____ 2m 3
6 m (iv) _____ 8m 6
7 12m (v) _____ 15m 5
3 10m 7
7. Faigh ceithre phéire de shloinn choibhéiseacha.
A
___ 6x 8
3x 2
B
__ x 6
2
C
2x 4
D
2__
x 4
E
2x 6
F
____ 12x 4
6x 8
G
___ 8x 9
4x 5
H
____ 5x 7
10x
38

8. Faigh luach gach ceann díobh seo:
(i) √ ___
___
___
3 3
25 (ii) √ 27 (iii) √ 64 (iv) 16 1_ 2
(v) 36 1_ 2
(vi) 125 1_ 3
9. Scríobh gach ceann díobh seo ina uimhir chóimheasta:
(i) (2 3) 2
(ii) ( 1 __
2
) 3 (iii) ( 2 __
3
) 2 (iv) 3 2 (v)
3 ___
2 2
10. Faigh ceithre phéire a mhaitseálann a chéile.
A
3 2
B
2 3
C
4 2
D
6 1
E
6
F
1__
6
G
___ 1
16
H
1__
8
I
1__
9
11. Scríobh iad seo ina n-uimhreacha cóimheasta:
(i) 2 2
(ii)
2 4 ___
___
16)
4 2 (iii) 6 4 1_ 2
(iv) ( 9
12. Scríobh iad seo a leanas gan an comhartha √ __ a úsáid:
__ 3 __
√ x (i) (ii) √ a (iii)
4 __
√ a (iv) 3 √ __
x 2
13. Athscríobh iad seo a leanas leis an gcomhartha √ __ :
1_
___
27)
2
(v) ( 8
(v)
4 √ __
a 3
(i) x 1_ 2
(ii) a 1_ 4
(iii) x 2_ 3
(iv) a 5_ 2
(v) ( a __
x ) 1_ 3
14. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:
(i) 4 1_ 2
(ii) 8 2_ 3
(iii) 1 6 3_ 4
(iv) 4 3_ 2
(v) 2 7 2_ 3
(vi) 1 6 3_ 2
(vii) 6 4 2_ 3
(viii) 10 0 3_ 2
(ix) 8 1 3_ 4
(x) 12 5 2_ 3
15. Faigh luach gach ceann díobh seo:
(i) 3 1 (ii) 4 2 (iii) 8 1_ 3
(iv)
1 ____
16 1_ 4
(v) 6 4 1_ 3
16. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:
(i) 16 1_ 2
(ii) ___ 1
(iii) 16 3_
8 2_ 4
(iv) 100 3_ 2
(v) 32 3_ 5
3
17. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm 2 n :
(i) 8
(ii) √ __
2 (iii) √ __
8 (iv) √ ___
32 (v)
18. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm 5 n :
(i) 25
(ii) √ __
5 (iii)
___ 25
√ 5
(iv) √ ____
125 (v)
___ 8
2
√ __
1_
3
_____ 25
√ 125
19. Scríobh (i) 8 4_ 3
ina chumhacht de chuid 2 (ii) ___ 27
√ ina chumhacht de chuid 3.
3
20. Faigh luach 2 a 1_ 2
b 1_ 3
nuair atá a 100 agus b 64.
39

Mír 2.8
Má tá 5 x 5 2 , tá x 2.
Cothromóidí a bhfuil séana iontu
Ar an gcaoi chéanna, má tá 7 x 7 1_ 2
, tá x 1 2 .
Má thugtar an chothromóid 25 x 125 dúinn, scríobhaimid an dá thaobh
mar chumhacht de chuid na bonnuimhreach céanna. Sa chás seo is é 5 an bhonnuimhir.
Mar sin 25 x 125 ⇒ (5 2 ) x 5 3
Sampla 1
⇒ 5 2x 5 3
⇒ 2x 3 ⇒ x 1 1_ 2
Scríobh gach ceann díobh seo ina shlánuimhir nó ina chodán:
(i) 4 x 16 (ii) 16 x 64 (iii) 3 x ___ 1 (iv) 25x ____ 1
27
125
(i) 4 x 16 (ii) 16 x 64
4 x 4 2 ⇒ (4 2 ) x 4 3
⇒ x 2 ⇒ 4 2x 4 3
(iii) 3 x 1 ___
27
(iv)
⇒ 2x 3 ⇒ x 1 1_ 2
25x ____ 1
125
⇒ 3 x __ 1
3
3 ⇒ (52 ) x __ 1
5
3
⇒ 3 x 3 3
⇒ 5 2x 5 3
⇒ x 3
⇒ 2x 3
⇒ x 1 1_ 2
An riail ghinearálta: má tá
a x a y , tá x y.
Sampla 2
Scríobh ___ 81
3 ina chumhacht de chuid a 3 agus uaidh sin réitigh an chothromóid 3 x 2 (
___ 81
√ √ __
___ 81
√ 3 __ 34
3 3 4 1_ 1_ 2
3 3 1_ 2
3 7_ 2
.
2
3 x 2 (
___ 81
3
) 2 ⇒ 3 x 2 ( 3 7_ 2 ) 2
√ __
⇒ 3 x 2 3 7_ 2 · 2_ 1
⇒ 3 x 2 3 7
⇒ x 2 7
⇒ x 9
3
) 2 .
40

Cleachtadh 2.8
1. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm 2 k , áit a bhfuil k ina shlánuimhir:
(i) 8 (ii) 16 (iii)
1_
4 (iv) 1_ 1
8
(v) __
2. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm 3 k , áit a bhfuil k ina shlánuimhir:
1
(i) 9 (ii) 27 (iii) 81 (iv) __
1
27
(v) __
81
Faigh luach x i gceisteanna (3 --- 22).
3. 2 x 8 4. 3 x 27 5. 4 x 32 6. 16 x 64
7. 25 x 125 8. 9 x 27 9. 8 x 32 10. 16 x 32
11. 2 x 1_ 4 12. 3x __ 1
27 13. 4x 1_ 8 14. 5x ___ 1
125
15. 9 x 1
27 16. 27x 81 17. 2 x 16 18.
19. 4 x ___ 1
32
32
1__
5 x 125
20. 2 x 1 16 21. 3 x 2 81 22. 4 x 1 2 x 1
23. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm 2 k ,
áit a bhfuil k ina uimhir chóimheasta:
(i) √ __
2 (ii) 2 √ __
2 (iii) √ __
8
(iv) ____ 1
2 √ (v) ___ 1
2
√ √ __
(vi) ___ 8
8
2
24. Faigh luach x i ngach ceann díobh seo a leanas:
(i) 4 x 1 32
(ii) 2x √ __
8 (iii)
___ 1
2x √ __
2 (iv) 8x ___ 1
32
25. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo:
(i) 2 x ___
√__ 2
(ii)
1__
2
9 x 27 (iii) 32x 1 243 (iv) 25 x ____ 125
√ 5
26. Scríobh ___ 81
√ 3 ina chumhacht de chuid a 3, agus uaidh sin réitigh an chothromóid 9 x 1 ___ 81
√ 3 .
27. Scríobh 3 √ ___
16 ina chumhacht de chuid a 2, agus uaidh sin réitigh an chothromóid 2 x 3 √ ___
16 .
28. Scríobh ___ 27
3 ina chumhacht de chuid a 3, agus uaidh sin réitigh an chothromóid 32x 1 (
___ 27
√ √ __
29. Scríobh ___ 16
√ 8 ina chumhacht de chuid a 2, agus uaidh sin réitigh an chothromóid 22x 2 ___ 16
√ 8 .
30. Scríobh ____
√___ 27
81 ina chumhacht de chuid a 3, agus uaidh sin réitigh an chothromóid 9 3 x ____
√___ 27
81 .
31. Scríobh (i) 16 (ii) √ __
8 ina chumhacht de chuid 2.
Réitigh uaidh sin an chothromóid 3 2x 1 (
___ 16
8
) 3 .
√ __
√ __
8 √ __
4 √ __
2 2 √ __
2
√ ___
27 √ __
9 √ __
3 3 √ __
3
3
) 3 .
41

Mír 2.9
Surdaí a láimhseáil
1. Uimhreacha cóimheasta agus uimhreacha éagóimheasta
Uimhir chóimheasta a thugtar ar uimhir ar bith is féidir a scríobh san fhoirm a b ,
áit ar slánuimhreacha iad a agus b.
Seo agat samplaí d’uimhreacha cóimheasta:
3 __ 3 ,
2__ , 0.45 ____ 45
1 3 100 , ___ 3
4 , 1 __ 3 ___ 11
8 8
Má úsáideann tú an t-áireamhán chun 2 a fháil, gheobhaidh tú 1.41421362…
IsIs uimhir éigríochta (i.e. níl aon deireadh léi) gan athfhilleadh í sin.
Uimhreacha éagóimheasta a thugtar ar uimhreacha den sórt sin.
Uimhir ar bith nach bhfuil fréamh chearnach bheacht léi, is uimhir éagóimheasta í sin.
Mar sin, is uimhreacha éagóimheasta iad √ __
3 , √ __
5 , √ ___
15 , …
2. Surdaí
Surdaí is gnách a thabhairt ar leithéidí na n-uimhreacha éagóimheasta √ __
5 , √ __
8 , √ ___
13 , …
Sa mhír seo taispeánfaimid an chaoi le surdaí a scríobh san fhoirm
is simplí, agus an chaoi le hoibríochtaí simplí a dhéanamh ar shurdaí.
√ ____
100 10. Freisin √ ____
100 √ ______
25 4 √ ___
25 √ __
4 5 2 10.
Léiriú é sin ar airí an-tábhachtach de chuid na surdaí, a thugtar
sa bhosca ar dheis.
Bainfimid leas anois as an toradh √ ___
ab √ __
a . √ __
b hun surdaí a shimpliú, más féidir.
(i) √ __
8 √ __
4 . √ __
2 (ii) √ ___
27 √ __
9 . √ __
3 (iii) √ ___
48 √ ___
16 . √ __
3
2 √ __
2 3 √ __
3 4 √ __
3
Deirtear gurb é 2 2 an fhoirm is simplí de 8.
√ ___
ab √ __
a √ __
b
√ __
a__
b ___ √__ a
√ b
3. Surdaí a shuimiú le chéile agus a dhealú ó chéile
Ní féidir surdaí a shuimiú le chéile ná a dhealú ó chéile murab ionann na páirteanna
éagóimheasta iontu. Murab ionann na páirteanna éagóimheasta iontu, tugaimid gach
surda san fhoirm is simplí, más féidir sin.
Sampla 1
Simpligh √ __
5 √ ___
45 √ ___
20 .
Scríobh gach surda san fhoirm is simplí ar dtús:
√ __
5 √ ___
45 √ ___
20 √ __
5 √ __
9 √ __
5 √ __
4 √ __
5
√ __
5 3 √ __
5 2 √ __
5
4 √ __
5 2 √ __
5 2 √ __
5
42

4. Surdaí a iolrú faoi chéile
Agus tú ag iolrú surdaí faoi chéile, iolraigh na fachtóirí cóimheasta leo féin,
agus ansin na fachtóirí éagóimheasta.
Samplaí (i) √ __
6 √ __
2 √ ___
12 √ __
4 . √ __
3 2 √ __
3
(ii) 2 √ __
3 3 √ __
5 2 3 √ __
3 √ __
5 6 √ ___
15
(iii) √ ___
32 √ ___
48 √ ___
16 √ __
2 √ ___
16 √ __
3
4 √ __
2 4 √ __
3 16 √ __
6
Sampla 2
Simpligh (2 √ __
5 3)(2 √ __
5 3).
(2 √ __
5 3)(2 √ __
5 3) (2 √ __
5 )(2 √ __
5 ) (2 √ __
5 )(3) (3)(2 √ __
5 ) (3)(3)
4(5) 6 √ __
5 6 √ __
5 9
20 9 11
Cuimhnigh
air seo:
√ __
6 √ __
6 6
Cleachtadh 2.9
1. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:
(i) √ __
9 (ii) ( √ __
6 ) 2 (iii) (2 √ __
___
3 ) 2 (iv) ( 5
5
) 2 (v) ___
( √__
√ 2. Scríobh gach ceann de na surdaí seo san fhoirm is simplí:
(i) √ __
8 (ii) √ ___
12 (iii) √ ___
18 (iv) √ ___
27 (v) √ ___
45
3. Scríobh na surdaí seo san fhoirm is simplí:
(i) √ ___
75 (ii) 2 √ ___
18 (iii) √ ____
125 (iv) 4 √ ___
27 (v) 2 √ ___
48
4. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm is simplí:
(i) 5 √ __
3 4 √ __
3 √ __
3 (ii) 2 √ __
2 6 √ __
2 3 √ __
2 (iii) 2 √ __
2 √ ___
18
(iv) √ ___
32 √ ___
18 (v) √ ___
27 √ ___
48 2 √ __
3 (vi) √ ____
108 √ ___
12 √ ___
75
5. Scríobh gach ceann de na torthaí seo ina shlánuimhir:
(i) √ __
5 . √ __
5 (ii) 2 √ __
3 3 √ __
3 (iii) 3 √ __
5 4 √ __
5 (iv) 3 √ __
7 √ __
7
6. Simpligh gach ceann díobh seo:
(i) √ __
5 ( √ __
5 2) (ii) 2 √ __
3 ( √ __
3 2) (iii) √ __
2 (3 √ __
2 √ __
3 )
7. Scríobh na torthaí seo a leanas san fhoirm is simplí:
(i) 2 √ __
5 ( √ __
2 √ __
5 ) (ii) ( √ __
2 1)( √ __
2 1) (iii) (5 √ __
3 )(5 √ __
3 )
(iv) ( √ __
7 4)( √ __
7 4) (v) (1 2 √ __
3 )(1 2 √ __
3 ) (vi) ( √ __
2 √ __
5 )( √ __
2 √ __
5 )
√ __
2
8
2
)
43

8. Simpligh gach ceann díobh seo:
(i) (2 √ __
3 )(4 2 √ __
3 ) (ii) (1 3 √ __
2 )(5 2 √ __
2 ) (iii) (3 2 √ __
2 )(3 2 √ __
2 )
9. Scríobh (2 2 √ __
5 ) 2 san fhoirm a b 5, áit a bhfuil a, b Z.
10. Má tá p 5 3 agus q 5 3 , simpligh p 2 q 2 .
Mír 2.10 Cothromóidí a bhfuil surdaí iontu
Réiteoimid an chothromóid √ _____
x 1 4, ach an dá thaobh a chearnú agus fáil réidh ar an tslí
sin leis an gcomhartha .
i.e.
√ _____
x 1 4 ⇒ x 1 16
⇒ x 17
Más san fhoirm 4 √ ______
2x 3 8, a bhíonn an chothromóid, athscríobhaimid í sa chaoi is gur
leis féin ar thaobh amháin a bheidh an slonn .
4 √ ______
2x 3 8 ⇒ √ ______
2x 3 4
Cearnaímid an dá thaobh ansin agus réitímid an chothromóid.
Nuair a réitíonn tú cothromóid a bhfuil surdaí inti, is gá do chuid freagraí a sheiceáil
féachaint an bhfuil siad ceart.
Sampla 1
Réitigh an chothromóid 2 √ ______
4x 3 x.
2 √ ______
4x 3 x ⇒ √ ______
4x 3 x 2 … (bíodh an téarma leis féin ar thaobh amháin)
⇒ 4x 3 (x 2) 2
⇒ 4x 3 x 2 4x 4
⇒ x 2 8x 7 0
⇒ (x 7)(x 1) 0
⇒ x 7 or x 1
Seiceáil: x 7: 2 √ ___
25 7 … ceart
x 1: 2 √ __
1 1 i.e. 2 1 1 … mícheart
x 7 an réiteach ceart
Nóta:
Ní ghlacaimid ach le luach deimhneach fréamh chearnach uimhreach.
Mar sin is é 25 ná 5 (seachas 5).
Bíonn sé sin an-tábhachtach agus tú ag seiceáil do chuid réiteach.
44

Cleachtadh 2.10
Réitigh na cothromóidí seo a leanas agus seiceáil an réiteach i ngach cás:
1. √ _____
x 4 3
4. 4 √ _____
x 2 6
7. 2 √ ______
3x 2 8
2. √ ______
2x 2 4
5. 3 √ ______
2x 5 0
10. x √ _______
12 4x 11. x √ ______
5x 4
13. 2x √ ______
4x 3
16. Simpligh (x √ __
x )(x √ __
x ) nuair atá x 0.
3. √ ______
4x 5 5
6. √ ______
2x 1 √ _____
x 8
8. 3 √ ______
8 2x 6 9. √ _______
3x 10 x
12. √ _______
7x 18 x
14. 2 √ _____
x 6 √ _____
8 x 15. √ _____
x 1 x 1
Faigh uaidh sin an luach ar x a d’fhágfadh (x √ __
x )(x √ __
x ) 6.
17. Simpligh √
( __
x ___ 2
√ __
x ) ( √ __
x ___ 2__
√ x ).
Réitigh uaidh sin an chothromóid √
( __
x ___ 2
√ __
x ) ( √ __
x ___ 2__
√ x ) 3, i gcás x 0.
18. Má tá t k √ _____
x 5 , faigh luach k gan áireamhán a úsáid, nuair atá x 1 1 4 agus t 1 4 .
45

Cuir triail ort féin 2
1. (i) Fachtóirigh 2x 2 5x 3.
Réitigh uaidh sin an chothromóid 2x 2 5x 3 0.
(ii) Réitigh i gcás x agus y na cothromóidí comhuaineacha seo:
y 10 2x
x 2 y 2 25.
(iii) Faigh luach x i gcás gach ceann de na cothromóidí seo:
(a) 9 2x 3 __ 1
27
(b) 3 √ ___
12 √ ___
27 x √ __
3 , áit a bhfuil x N.
2. (i) Simpligh (2x 3) 2 (4x 1)(x 4).
(ii) Réitigh an chothromóid x 2 7x 6 0, agus bíodh do fhreagraí
ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.
(iii) Scríobh √ ___
50 √ ___
32 2 √ __
8 san fhoirm k √ __
2 , áit a bhfuil k N.
(iv) Réitigh uaidh sin an chothromóid 3(3 x ) √ ___
27 .
3. (i) Má tá 3a 2b 4, faigh luach b nuair atá a 2.
(ii) Réitigh i gcás x agus y na cothromóidí comhuaineacha
x 2y 3
x 2 y 2 24.
(iii) 24 cm 2 atá in achar na dronuilleoige seo.
(x 1) cm
(3x 4) cm
Faigh fad agus leithead na dronuilleoige.
4. (i) Simpligh ________ 2x4 6x 3
3x . 5
(ii) Réitigh an chothromóid
1__ _____ 1
.
x x 1 __ 3 2
(iii) Más slánchearnóg é (n 3) 2 , cé acu de na sloinn seo a leanas atá ina slánchearnóg?
A
x 2 2x 1
B
x 2 12x 12
C
x 2 12x 36
D
x 2 18x 81
E
x 2 6x 9
F
x 2 6x 36
5. (i) Más fréamh den chothromóid 2x 2 kx 20 0 é x 4, faigh luach k.
(ii) Réitigh na cothromóidí seo:
(a) 4x 32
(b) 4x √ __
2
46

(iii) Faigh pointí trasnaithe na líne agus an chuair san fhíor thíos.
y
y x 2 3x 3
2x y 1
O
x
(iv) Réitigh i gcás x an chothromóid _____ 3
x 1 _____ 1
x 1 1.
Tabhair do chuid freagraí san fhoirm a √ __
b , áit a bhfuil a, b N.
6. (i) Faigh luach gach ceann díobh seo:
(a) 8 2_ 3 (b) 2 5 3_ 2
(c) 9 3_ 2
(ii) Réitigh i gcás x agus y na cothromóidí comhuaineacha seo:
x 3y 1
x 2 y 2 0.
2 √ ___
_____ 45
√ (iii) Scríobh
10
(iv) Má tá 3 2x 1 ___ 27
√ , faigh luach x.
3
san fhoirm k √ __
2 , áit a bhfuil k N.
7. Tá fad na dronuilleoige seo 7 cm níos faide ná an leithead.
x cm atá sa leithead.
(i) Scríobh slonn lena n-aghaidh seo:
x cm
(a) fad na dronuilleoige
(b) achar na dronuilleoige.
(ii) 44 cm 2 atá in achar na dronuilleoige.
(a) Ceap cothromóid in x agus réitigh í.
(b) Céard í imlíne na dronuilleoige seo?
8. (i) Má tá y ______ k
k w , faigh luach y nuair atá k 1 2 agus w 1 3 .
(ii) Scríobh _____ x
1 ina chodán singil.
x 1
Uaidh sin réitigh an chothromóid _____ x
x 1 1 _____ x 1
2 .
Fág do chuid freagraí i bhfoirm .
(iii) Réitigh an chothromóid 4 2x 1 √ __
8 .
(iv) Réitigh an chothromóid x 3 √ _______
3x 11 agus fíoraigh (seiceáil) do fhreagra.
47

1. Sloinn chearnacha a fhachtóiriú
(i) Chun 3x 2 6x a fhachtóiriú, tóg amach an FCA, i.e. 3x(x 2).
(ii) Chun ax 2 bx c a fhachtóiriú, an chéad rud a dhéanfaidh tú
ná dhá uimhir a chuardach arb é ac a dtoradh agus b a suim.
(iii) An difríocht idir dhá chearnóg a thugtar ar x 2 y 2 (x y)(x y).
2. Cothromóidí cearnacha a réiteach
(i) Dhá réiteach atá ar an gcothromóid chearnach ax 2 bx c 0,
nó is féidir a rá go bhfuil dhá fhréamh léi.
(ii) Má tá xy 0, tá x 0 nó tá y 0 nó tá siad araon 0.
(iii) Is féidir fréamhacha na cothromóide cearnaí ax 2 bx c 0 a fháil
ach úsáid a bhaint as an bhfoirmle
x b √ ________
______________
b 2 4ac
.
2a
3. Cothromóidí comhuaineacha, ceann líneach agus ceann cearnach
Is le pointí trasnaithe líne dírí agus cuair
chearnaigh a léirítear na réitigh ar phéire
cothromóidí comhuaineacha, nuair atá ceann
amháin líneach agus an ceann eile cearnach.
4. Rialacha na séan
Cuir i gcás an slonn x n . An bhonnuimhir a thugtar ar an uimhir
x agus an séan nó an chumhacht a thugtar ar an uimhir n.
Seo iad príomhrialacha na séan:
1. x 1 x 2. x m x n x m n 3. (x m ) n x mn
4. x m x n x m n 5. x 0 1 6. x n 1 __
7. x 1_ n
n √ __
x
8. x m__ n
( n __
√ x ) m or x m__ n
n √ ___
x m
x n
5. Surdaí
(i) √ ___
ab √ __
a . √ __
b
(ii) √ __
a__
b ___ √__ a
√ b
48

Céimseata Chomhordanáideach
An Líne
3
plána Cairtéiseach bunphointe ais ceathrú rinn cothrománach
ceartingearach fána comhthreomhar ingearach deimhneach diúltach
cothromóid líneach achar aistriú trasnú comhlíneach
Mír 3.1
An plána a chomhordanáidiú
San fhíor seo trasna taispeántar an plána comhord-
-anáidithe agus suíomh na bpointí A, B, C, D agus E.
An x-ais a thugtar ar an líne chothrománach.
An y-ais a thugtar ar an líne cheartingearach.
An bunphointe a thugtar ar an bpointe (0, 0) agus is
é O an lipéad a thugaimid air.
An plána Cairtéiseach a thugtar ar an bplána
comhordanáidithe de ghnáth, in ómós don
mhatamaiticeoir as an bhFrainc, René Descartes (15961650).
Sampla 1
Breac na pointí A(1, 2), B(3, 2), C(3, 2) agus D(1, 2) ar phlána comhordanáidithe.
(i) Ceangail na ceithre phointe le chéile agus cuir ainm ar an bhfíor atá
tarraingthe agat.
(ii) Úsáid an ghreille chun lárphointe [BC] a scríobh síos.
(i) Is cearnóg é ABCD.
(ii) Lárphointe [BC] ná (3, 0).
A (1, 2)
y
2
1
3 2 1O
1 2 3 4
1
D (1, 2) 2
B (3, 2)
x
C (3, 2)
y
3
2
C (3, 1)
1
3
A (2, 3)
B (4, 1)
4 3 2 1O
1 2 3 4 5
1
D
2
(3, 2)
x
E (4, 2)
49

Cleachtadh 3.1
1. Scríobh síos comhordanáidí gach ceann de
na pointí atá marcáilte ar an bplána
comhordanáidithe ar dheis.
y
A
4
D
3
C
2
B
1
E
I
4 3 2 1O
1 2 3 4 5 6
1
H
2 G
F
3
x
2. Tarraing plána comhordanáidithe ó 5 go 5 ar an x-ais agus ó 4 go 4 ar an y-ais.
Anois breac gach ceann de na pointí seo:
(i) A(3, 4) (ii) B(1, 3) (iii) C(4, 3) (iv) D(4, 3) (v) E(1, 3)
3. Tá na ceithre cheathrú le feiceáil ar dheis.
Scríobh síos cé acu ceathrú ina bhfuil gach
ceann de na pointí seo:
(i) (3, 5)
(ii) (2, 3)
(iii) (1, 4)
(iv) (3, 1)
(v) (3, 3)
(vi) (1, 3).
An Dara
Ceathrú
y
2
2 1 O 1
An Tríú
Ceathrú
1
1
2
An Chéad
Cheathrú
2
An Ceathrú
Ceathrú
x
4. Scríobh síos cé acu ais ar a bhfuil gach ceann de na pointí seo:
(i) (4, 0) (ii) (3, 0) (iii) (0, 4) (iv) (0, 3) (v) (0, 0).
5. (i) Scríobh síos comhordanáidí na
bpointí A, B, C agus D a thaispeántar
y
ar an ngreille ar dheis.
3
B
A
(ii) Tá duine ag iarraidh taisteal ó A go C.
2
Mura bhfuil cead aige taisteal ach ar na
1
línte greille agus má tá gach aonad
5 4 3 2 1O
1 2 3 4 5 6
100 méadar ar fad, céard é an fad is
1
C
giorra idir A agus C?
2
D
(iii) Céard é an fad is giorra idir B agus D
3
más gá do dhuine dul trí A agus mura
bhfuil cead aige ach taisteal ar línte greille?
[1 aonad 100 méadar].
x
50

6. Cuardaigh patrún sna comhordanáidí seo.
Bain úsáid as an bpatrún le teacht ar na comhordanáidí atá ar iarraidh.
(i) (3, 5), (8, 0), (2, 6), (4, 4), … (0, …), (9, …)
(ii) (7, 8), (5, 10), (12, 3), (2, 13), … (…, 11), (0, …)
(iii) (4, 4), (2, 6), (5, 3), (1, 9), … (7, …), (3, …), (…, 2).
Mír 3.2
An fad idir dhá phointe
Taispeántar sa léaráid thíos na pointí A(x 1 ,y 1 ) agus B(x 2 , y 2 ).
|BC| y 2 y 1 and |AC| x 2 x 1
y
B(x 2 , y 2 )
O
A(x 1 , y 1 )
y 2 y 1
x 2 x 1
C
x
Ag úsáid Theoirim Phíotagarás:
|AB| 2 |AC| 2 |BC| 2
(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2
Is é an fad idir A(x 1 , y 1 ) agus B(x 2 , y 2 ):
|AB| √ __________________
(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2
|AB| √(x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2
Sampla 1
Taispeáin go bhfuil D(2, 4) ar comhfhad ó
E(5, 1) agus F(5, 3).
y
D (2, 4)
E (5, 1)
O
x
F (5, 3)
|DE| √ ___________________
(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 D(2, 4) E(5, 1)
↓ ↓
√ __________________
(5 2) 2 (1 4) 2
(x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
√ ____________
(7) 2 (3) 2
√ ______
49 9 √ ___
58
Ciallaíonn ‘ar comhfhad ó’ go bhfuil an fad
céanna eatarthu.
51

|DF| √ ___________________
(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 D(2, 4) F(5, 3)
↓ ↓
√ __________________
(5 2) 2 (3 4) 2
(x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
√ ___________
(3) 2 (7) 2
√ ______
9 49 √ ___
58
Ó tá |DE| |DF| etc, tá D ar comhfhad ó E agus F.
Sampla 2
Más é 10 an fad idir na pointí (2, 3) agus (5, k), faigh dhá luach
fhéideartha ar k.
Fad √ ___________________
(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
↓ ↓
√ ________________
(5 2) 2 (k 3) 2
(2, 3) (5, k)
√ ______________
9 k 2 6k 9
√ ___________
k 2 6k 18
Fad √ ___
10 ⇒ √ ___________
k 2 6k 18 √ ___
10
⇒ k 2 6k 18 10
⇒ k 2 6k 8 0
⇒ (k 2)(k 4) 0
⇒ k 2 or k 4
Cleachtadh 3.2
1. Tá na pointí A, B, C agus D le feiceáil
ar dheis.
Faigh (i) |AB|
(ii) |AC|
(iii) |AD|.
An bhfuil DC BC?
D (4, 3)
y
O
A (3, 5)
C (2, 2)
B (8, 2)
x
52

2. Taispeántar na pointí D, E agus F sa léaráid ar dheis.
(i) Scríobh síos fad [FE] agus fad [ED].
(ii) Faigh DF.
Bain úsáid as Teoirim Phíotagarás le taispeáint
gur triantán dronuilleach é DEF.
F (4, 1)
y
O
D (2, 2)
E (2, 1) x
3. Faigh an fad idir gach ceann de na péirí pointí seo:
(i) (2, 1) agus (3, 4) (ii) (1, 5) agus (2, 3) (iii) (1, 4) agus (2, 6)
(iv) (3, 2) agus (5, 3) (v) (6, 1) agus (1, 3) (vi) (4, 2) agus (0, 5)
4. Faigh AB i ngach ceann díobh seo:
(i) A (2, 4), B (3, 1) (ii) A (0, 3), B (2, 5)
(iii) A (0, 2), B (3, 1) (iv) A (5, 2), B (3, 4)
5. Is iad A(1, 1), B(3, 6) agus C(5, 1) na reanna ar thriantán. Taispeáin go bhfuil AB BC.
6. Is iad X(1, 6), Y(3, 1) agus Z(2, 2) na reanna ar thriantán.
Faigh fad na 3 shlios agus ansin scríobh síos cén dá shlios atá ar comhfhad.
Uaidh sin, cén sórt triantáin é XYZ?
7. Baintear úsáid as sreang, ABC, le bheith mar thaca
ag crann brataí, [BD], mar a thaispeántar ar dheis.
Scríobh síos comhordanáidí A, B, C agus D.
Ríomh an fad sreinge a theastaíonn le
tacú leis an gcrann brataí.
y
7
6
5
4
3
2
1
O
B
A
D
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C
10 x
8. Is é (3, 1) lárphointe ciorcail agus is pointe ar an gciorcal é (4, 3).
Faigh fad gha an chiorcail.
9. Is iad na pointí A(2, 1), B(6, 1), C(5, 2) agus D(1, 2) na reanna ar chomhthreomharán.
Breac an comhthreomharán ar phlána comhordanáidithe.
Faigh (i) |AC| (ii) |BD|.
An bhfuil na trasnáin ar comhfhad?
10. Is é 2 an fad idir na pointí (5, 2) agus (4, k).
Faigh dhá luach fhéideartha ar k.
11. Is é X an pointe (3, k) agus is é Y an pointe (1, 2).
Má tá XY 5, faigh dhá luach fhéideartha ar k.
53

12. Tá cónaí ar Jordan (3 km siar, 4 km ó dheas) de lár
an bhaile (marcáilte O) sa léaráid ar dheis.
Tá cónaí ar Mhichelle (2 km siar, 3 km ó thuaidh) de theach Jordan.
Cá fhad ó lár an bhaile atá cónaí ar Mhichelle?
W
O
N
E
S
Mír 3.3
Lárphointe mírlíne
Ar dheis tá an mhírlíne [AB].
Is iad comhordanáidí A ná (1, 1).
y
5
B
Is iad comhordanáidí B ná (7, 5).
M
Is é M lárphointe na mírlíne [AB].
Is iad comhordanáidí M ná (4, 3).
1
O
A
1 4
7
x
Is mar seo a fhaightear na comhordanáidí sin:
1. Suimigh x-chomhordanáidí A agus B le chéile agus roinn an freagra ar 2, i.e. _____ 1 7
4.
2
2. Suimigh y-chomhordanáidí A agus B le chéile agus roinn an freagra ar 2, i.e. _____ 1 5 3.
2
Is é lárphointe na mírlíne ó
A(x 1 , y 1 ) go dtí B(x 2 , y 2 ):
( ______ x 1 x 2
, ______ y 1 y 2
2
2
)
y
O
A (x 1 , y 1 )
M
B (x 2 , y 2 )
x
Sampla 1
Faigh lárphointe na mírlíne ó A(1, 3) go B(5, 7).
______ ,
2
Lárphointe [AB] ( x 1 x 2
_______
( 1 5 ,
2
y 1 y 2 ______
2
)
3 7 _____
2
)
(1, 3) (5, 7)
↓ ↓
(x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
( 4 __
2
,
10 ___
2
) (2, 5).
54

Cleachtadh 3.3
1. I gcás gach ceann de na péirí pointí seo, faigh lárphointe na mírlíne a cheanglaíonn le
chéile iad:
(i) (2, 4) agus (6, 2) (ii) (2, 4) agus (0, 2) (iii) (2, 1) agus (4, 3)
(iv) (2, 4) agus (4, 2) (v) (2, 3) agus (0, 1) (vi) (3, 4) agus (1, 4).
2. Faigh lárphointe na mírlíne ó (3, 4) go (3, 7).
Cén ais ar a bhfuil an lárphointe?
3. Is iad na pointí (2, 3) agus (6, 5) na foircinn ar thrastomhas ciorcail.
Faigh comhordanáidí lár an chiorcail.
4. Is iad A(4, 3), B(1, 3), C(2, 2) agus D(1, 4) na reanna ar chomhthreomharán.
Tarraing sceitse den chomhthreomharán seo.
Faigh lárphointe [AC].
Fíoraigh (Deimnigh) gurb é lárphointe [AC] lárphointe [BD] freisin.
5. Faigh M, lárphointe na mírlíne ó A(3, 4) go B(1, 6).
Anois taispeáin go bhfuil AM MB.
6. Cuir i gcás na pointí A(5, 2) agus B(x 1 , y 1 ).
Más é M(2, 4) lárphointe [AB], faigh comhordanáidí B.
Mír 3.4
Fána líne
Seo mar a shainítear fána na líne AB:
B
an t-athrú ceartingearach
an t-athrú cothrománach nó éirí
rith
6
Fána AB 3_ 6 1_ A
2 .
Sa léaráid ar dheis, faightear fána
y
AB ar an gcaoi seo:
___________________
athrú ceartingearach
athrú cothrománach ______ y 2 y 1
x 2 x 1
A(x 1 , y 1 )
y
Mar sin is é fána, m, , AB ná ______ 2 y 1
.
O
x 2 x 1
Is é fána, m, na líne trí (x 1 , y 1 ) agus (x 2 , y 2 ):
m ______ y 2 y 1
x 2 x 1
Athrú Cothrománach
3 Athrú
Ceartingearach
B(x 2 , y 2 )
x 2 x 1
y 2 y 1
x
55

Fánaí deimhneacha agus diúltacha
Agus muid ag dul ó chlé go deis, bíonn an fhána deimhneach má bhíonn an líne ag éirí agus
bíonn an fhána diúltach má bhíonn an líne ag titim.
y
Fána
dheimhneach
Fána
dhiúltach
O
x
Línte comhthreomhara
Is é 3 2
an fhána atá le línearaon sa léaráid thíos.
Tá na línte sin comhthreomhar.
y
a
fána
3
2
b
3
fána 2
O
x
Is í an fhána chéanna a bhíonn
le línte comhthreomhara
Línte ingearacha
Tá na línte a agus b ar dheis ingearach le chéile.
y
Is é 3 2 fána a .
Is é 2 3 fána b .
Tabhair faoi deara gurb ionann fána amháin agus deilín na
fána eile, ach tá an comhartha athraithe.
Tabhair faoi deara freisin gurb é 1 toradh an dá fhána, i.e.,
fána
2
3
a
fána
b
3
2
2_ 3 3_ 2 1
Má bhíonn dhá líne ingearach le chéile,
is é toradh a bhfánaí ná 1, i.e.,
m 1 m 2 1
O
x
56

Sampla 1
Má tá A (3, 1) agus B (5, 2), faigh fána na líne AB.
m ______ y 2 y 1
(3, 1) (5, 2)
x 2 x 1 ↓ ↓
(x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
_____ 2 1
5 3 __ 3 2
Fána AB 3 2 .
Sampla 2
Is ceithre phointe ar an bplána iad A(1, 0), B(3, 2), C(1, 4) agus D(2, 2).
Taispeáin go bhfuil AB ingearach le CD.
Bíodh m 1 ina fhána le AB agus m 2 ina fhána le CD.
A(1, 0) B(3, 2)
↓ ↓
(x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
C(1, 4) D(2, 2)
↓ ↓
(x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
m 1 ______ y 2 y 1
m
x 2 x 2 ______ y 2 y 1
1 x 2 x 1
_____ 2 0
_______ 2 4
3 1
2 1 ___ 6
3
__ 2 __ 1 ___ 6
4 2 3 2
m 1 m 2 1 __
2
(2)
1
Tá AB ingearach le CD mar gurb é 1 toradh a bhfánaí.
Cleachtadh 3.4
1. Taispeántar sa léaráid na ceithre líne a, b, c agus d.
(i) Cé acu línte a bhfuil fánaí deimhneacha leo?
(ii) Cé acu línte a bhfuil fánaí diúltacha leo?
y
a
b
c
d
O
x
57

2. Tá na trí líne a, b agus c le feiceáil ar na greillí thíos:
y
y
y
a
b
c
O
x
O
x
O
x
(i) Cén líne a bhfuil fána 3 2 léi?
(ii) Cén fhána atá le líne a?
(iii) Cén fhána atá le líne c?
3. Cén fáth ar diúltach atá fána na líne ar dheis?
Bain úsáid as an ngreille chun fána na líne a oibriú
amach.
y
O
x
4. Faigh fána na líne AB i ngach ceann díobh seo:
(i) A(3, 1) agus B(5, 3) (ii) A(1, 2) agus B(3, 4)
(iii) A(1, 3) agus B(0, 5) (iv) A(3, 0) agus B(1, 4)
(v) A(3, 2) agus B(5, 0) (vi) A(5, 1) agus B(2, 3).
5. Taispeáin gurb ionann fána na líne a ghabhann trí A(1, 2) agus B(3, 0) agus
fána na líne a ghabhann trí C(2, 3) agus D(2, 1).
Céard is féidir leat a rá faoi na línte AB agus CD?
6. Tá na pointí (1, 1) agus (2, 4) ar .
Tá na pointí (4, 1) agus (3, 2) ar m.
Faigh amach an bhfuil comhthreomhar le m.
7. Is iad A(2, 4), B(5, 1), C(6, 4) agus D(1, 1) na reanna ar cheathairshleasán.
Anois fíoraigh go bhfuil ABCD agus ADBC.
8. Taispeántar sa léaráid ar dheis na trí líne a, b, agus c.
Maitseáil na línte leis na fánaí seo:
2,
1_
2
, 1.
a b c
58

9. Is é fána na líne ná 3 4 .
(i) Scríobh síos fána na líne m má tá m comhthreomhar le .
(ii) Scríobh síos fána na líne n má tán ingearach le .
10. Tugtar thíos an fhána atá le cúig líne.
I gcás gach ceann de na línte seo, scríobh síos an fhána atá le líne atá ingearach léi:
(i)
2_
3 (ii) 4_
5
(iii) 3_ 4 (iv) 2_ 5 (v) 1_ 2
11. Is ceithre phointe ar an bplána iad A(1, 1), B(1, 3), C(6, 2) agus D(4, 4).
Faigh fána (i) AB (ii) CD. Fíoraigh go bhfuil AB CD.
12. Tá na pointí (3, 1) agus (4, 2) ar an líne m.
(i) Faigh fána líne ar bith atá comhthreomhar le m.
(ii) Faigh fána líne ar bith atá ingearach le m.
13. Más é 3 5
fána na líne trí na pointí (3, 2) agus (8, k), faigh luach k.
14. Is é 1 3
fána na líne trí (3, 2) agus (1, k). Faigh luach k.
15. Tá na pointí (2, 0) agus (4, 3) ar an líne .
Tá na pointí (1, 1) agus (k, 1) ar an líne m.
(i) Faigh fána . (ii) Faigh, i dtéarmaí k, fána m.
(iii) Má tá m, faigh luach k.
16. Taispeántar sa léaráid na ceithre líne ,m, n agus k.
m
n
k
(i) Mínigh cén fáth a bhfuil fánaí ,m, agus n diúltach.
(ii) Maitseáil na línte leis na fánaí seo:
1_ 2
, 0, 2, 1.
Mír 3.5
Cothromóid líne
Féach ar an líne, , ar dheis. I gcás gach pointe, má shuimítear an
x-luach agus an y-luach le chéile, is é 5 an freagra, m.sh. 2 3 5.
Sin é an fáth a ndeirimid gurb é cothromóid na líne ná
x y 5.
Cothromóid líne nó cothromóid líneach
a thugtar ar x y 5.
y
(0, 5)
5
(1, 4)
4
(2, 3)
3
(3, 2)
2
(4, 1)
1
(5, 0)
2 1O
1 2 3 4 5 x
1
59

Is é an chaoi ar thángamar ar an gcothromóid ná féachaint ar an ngaol idir x-luach agus y-luach
gach pointe agus tabhairt faoi deara go bhfuil x y 5 i gcás gach pointe.
Déanfaimid staidéar anois ar an bhfíor
ar dheis.
y
(x, y)
Tá an pointe (x 1 , y 1 ) ar an líne agus
tá fána mléi.
O
(x 1 , y 1 )
x x 1
y y 1
x
Bíodh (x, y) ina phointe eile ar .
Feicimid ón léaráid gurb é an fhána ná
y y 1 ______
x x 1
m.
Má iolraímid an dá thaobh faoi (x x 1 ), faighimid
y y 1 m(x x 1 )
Is féidir teacht ar chothromóid na líne a ghabhann trí (x 1 , y 1 ) agus a
bhfuil fána m léi ach úsáid a bhaint as
y y 1 m(x x 1 )
Sampla 1
Faigh cothromóid na líne a bhfuil an pointe (3, 2) uirthi agus arb é 2 3
an fhána léi.
Cothromóid na líne: y y 1 m(x x 1 ) m 2 __
3
y 2 2 __
3
( x 3) (x 1 , y 1 ) (3, 2)
y 2 ___ 2x
3 __ 6 3
Iolraigh gach téarma faoi 3: 3y 6 2x 6
Tabhair gach téarma go taobh na láimhe deise: 2x 3y 12 0
is é cothromóid na líne: 2x 3y 12 0
Cothromóid líne nuair atá dhá phointe uirthi ar eolas againn
Chun cothromóid líne a fháil nuair atá dhá phointe uirthi ar eolas againn, caithfimid fána na
líne a fháil i dtosach leis an bhfoirmle
y 2 y 1 ______
x 2 x 1
.
Ansin bainimid úsáid as an bhfoirmle y y 1 m(x x 1 ) chun cothromóid na líne a fháil.
Is féidir leat ceachtar den dá phointe a úsáid mar (x 1 , y 1 ).
60

Sampla 2
Faigh cothromóid na líne a bhfuil na pointí (2, 3) agus (3, 1) uirthi.
Fána na líne m ______ y 2 y 1
(2, 3) (3, 1)
x 2 x 1
_____ 1 3
3 2 ___ 2
5
↓ ↓
(x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
Bain leas ansin as an bhfána
5 2 agus as an bpointe (2, 3) …
féadfaidh tú ceachtar den dá phointe a úsáid
Cothromóid na líne: y y 1 m(x x 1 )
⇒
y 3 __ 2 ( x 2) 5
y 3 ___ 2x
5 __ 4 5
5y 15 2x 4… iolraigh gach téarma faoi 5.
is é 2x 5y 11 0 cothromóid na líne.
Cleachtadh 3.5
1. Faigh cothromóid gach líne díobh seo a leanas, más éard atá iontu seo fána na líne agus
pointe ar an líne i ngach cás:
(i) fána 2; pointe (3, 4) (ii) fána 4; pointe (1, 5)
(iii) fána 5; pointe (2, 3) (iv) fána 3; pointe (2, 0)
(v) fána 5; pointe (3, 2) (vi) fána
2_
3
; pointe (3, 1).
2. Faigh cothromóid gach líne díobh seo a leanas, más éard atá iontu seo fána na líne agus
pointe ar an líne i ngach cás:
(i) fána
3_
4
; pointe (1, 4) (ii) fána
3_
5
; pointe (4, 2).
3. Faigh cothromóidí na línte trí (2, 3) arb iad seo a gcuid fánaí:
(i) 4 (ii) 2 (iii)
3_
4
(iv) 2_ 3
4. Faigh cothromóid na líne trí (0, 0) a bhfuil fána 3 léi.
5. Faigh cothromóidí na línte trí (0, 0) arb iad seo a gcuid fánaí:
(i) 3 (ii) 5 (iii)
1_
3
(iv) 3_ 2
Céard a thugann tú faoi deara faoi chothromóid gach ceann de na línte sin?
6. Faigh fána na líne trí A(3, 4) agus B(1, 2).
Uaidh sin, faigh cothromóid na líne AB.
7. Faigh cothromóidí na línte trí na péirí pointí seo a leanas:
(i) (2, 3) agus (4, 6) (ii) (1, 2) agus (2, 4)
(iii) (5, 1) agus (1, 0) (iv) (2, 3) agus (3, 1)
(v) (2, 7) agus (0, 5)
(vi) (3, 5) agus (1, 1).
8. Faigh cothromóid na líne trí (2, 3) agus lárphointe na mírlíne ó
(1, 3) go (3, 1).
61

9. Tá binn tí le feiceáil sa léaráid thíos.
y
6
5
4
A
3
2
1
B
C
O 1 2 3 4 5 6
Agus tú ag úsáid na greille, scríobh síos
(i) comhordanáidí na bpointí A, B agus C
(ii) fána AB
(iii) cothromóid AB.
7 8 9 10 11
x
Mír 3.6
Más san fhoirm
An chothromóid y mx c
y
y mx c a bhíonn cothromóid líne,
(i) is é m an fhána
(0, c)
(ii) trasnaíonn an líne an y-ais ag (0, c).
An y-idirlíne a thugtar ar an bpointe (0, c).
O
Más san fhoirm 3x 2y 8 0 a bhíonn an líne,
athscríobh an chothromóid san fhoirm y mx c.
Is é luach m an fhána.
Sampla 1
Faigh fána na líne 3x 2y 9 0.
Scríobhaimid an chothromóid san fhoirm y mx c.
3x 2y 9 0
⇒ 2y 3x 9 … fág an y -théarma leis féin ar thaobh na láimhe clé
⇒ 2y 3x 9 … iolraigh gach téarma faoi 1
⇒ y __ 3 x __ 9 … 2 2
roinn gach téarma ar 2
fána m
y mx c
x
62

Sampla 2
Is é an líne 2x 3y 6 0 agus is é m an líne 3x 2y 4 0.
Taispeáin go bhfuil ingearach le m.
Fána : Fána m:
2x 3y 6 0 3x 2y 4 0
⇒ 3y 2x 6 ⇒ 2y 3x 4
⇒ 3y 2x 6 ⇒ y __ 3 x 2 2
⇒ y __ 2 x 2 3
⇒ fána m __ 3 2
⇒ fána __ 2 3
Fána fána m 2 __
3
( 3 __
2
)
___ 6
6 1
Ós é 1 toradh an dá fhána, tá na línte ingearach.
Cleachtadh 3.6
1. Scríobh gach ceann de na línte seo a leanas san fhoirm y mx c agus scríobh síos
uaithi sin fána gach líne díobh:
(i) x y 4 0 (ii) 3x y 5 0
(iii) 2x 3y 7 0 (iv) 5x 2y 3 0
(v) 3x 4y 2 0 (vi) 3x 4y 6 0.
2. Scríobh an líne : 2x 3y 7 0 san fhoirm y mx c.
(i) Scríobh síos fána .
(ii) Faigh fána líne ar bith atá comhthreomhar le .
(iii) Faigh fána líne ar bith atá ingearach le .
3. Taispeáin go bhfuil na línte x 2y 1 0 agus 3x 6y 7 0 comhthreomhar le
chéile. Faigh fána líne ar bith atá ingearach leis na línte sin.
4. Taispeáin go bhfuil na línte 2x 3y 4 0 agus 3x 2y 1 0 ingearach le chéile.
5. Más é y 3x 4 cothromóid , scríobh síos cothromóid líne ar bith, san fhoirm
y mx c, atá
(i) comhthreomhar le
(ii) ingearach le
6. Fiosraigh an bhfuil na línte y 2 3x 4 agus 2x 3y 5 0 comhthreomhar.
7. Is é y 3x 2 cothromóid na líne m.
Faigh (i) fána m
(ii) an pointe ina dtrasnaíonn m an y-ais.
63

8. Tugtar thíos cothromóidí sé líne:
a: y 2x 3 c: y x 3 e: y 1_ 2 x 4
b: y 1_ 2
x 5 d: y 2x 4 f: y 2x 2
(i) Ainmnigh péire línte comhthreomhara.
(ii) Ainmnigh péire línte ingearacha.
(iii) Cén líne a thrasnaíonn an y-ais ag (0, 4)?
(iv) Cén líne a thrasnaíonn an y-ais ag (0, 3)?
y
9. Faigh an fhána agus an y-idirlíne agus, uaidh sin,
faigh cothromóid na líne ar dheis.
5
Sampla 1
2x y 5 0
⇒ y 2x 5
Is é fána na líne ingearach leis an líne seo ná
2 1 .
10. Má tá an líne x 2y 6 0 comhthreomhar leis an líne 2x ky 5 0, faigh luach k.
11. Má tá an líne 2x 3y 7 0 ingearach leis an líne 3x ky 4 0, faigh luach k.
12. Cén luach ar k a fhágann an líne 2x ky 4 0 comhthreomhar leis an líne
x 3y 7 0?
Mír 3.7
Línte comhthreomhara agus ingearacha
Má bhíonn cothromóid líne, , againn, mar shampla 2x 3y 4 0, is féidir linn fána na
líne a fháil ach an chothromóid a shloinneadh (a chur in iúl) san fhoirm y mx c.
Má bhíonn pointe (x 1 , y 1 ) ar eolas againn freisin, is féidir linn cothromóid líne trí (x 1 , y 1 )
atá comhthreomhar le nó atá ingearach le a fháil.
Faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (2, 3) atá ingearach leis
an líne 2x y 5 0.
Chun fána 2x y 5 0 a fháil, sloinnimid san fhoirm y mx c.
⇒ y 2x 5… iolraigh gach téarma faoi 1
⇒ is é 2 an fhána.
O
5 10
x
64

Is é cothromóid na líne trí (2, 3) a bhfuil fána
2 1 léi ná:
y y 1 m(x x 1 ) (x 1 , y 1 ) (2, 3)
y 3 __ 1 ( x 2) m __ 1
2 2
y 3 ___ x
2 1
⇒ 2y 6 x 2… iolraigh gach téarma faoi 2
⇒
Is é x 2y 4 0 an chothromóid a theastaíonn.
Cleachtadh 3.7
1. Faigh fána na líne 2x y 4 0.
Anois faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (2, 4) atá comhthreomhar leis an líne
2x y 4 0.
2. Faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (1, 6) atá comhthreomhar leis an líne
3x y 4 0.
3. Faigh fána na líne 2x 3y 1 0.
Céard í fána líne ar bith atá ingearach le 2x 3y 1 0?
Anois faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (4, 1) atá ingearach leis
an líne 2x 3y 1 0.
4. Faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (2, 1) atá ingearach leis an líne
3x 2y 4 0.
5. Faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (4, 0) atá comhthreomhar leis an líne
y 3x 5.
6. Gabhann líne, , tríd an mbunphointe agus tá sí ingearach leis an líne arb é
3x y 2 0. a cothromóid. Faigh cothromóid na líne .
7. Is iad (1, 7) comhordanáidí an phointe A agus is iad (3, 1) comhordanáidí an phointe B.
Is é P lárphointe [AB]. Faigh comhordanáidí P.
Anois faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an bpointe P agus atá ingearach leis
an líne x 5y 7 0.
8. Taispeántar sa léaráid ar dheis na pointí A(1, 5), B(2, 1)
agus C(0, 5).
Tá an líne comhthreomhar le AB agus tá an pointe C
uirthi. Faigh cothromóid .
y
A (1, 5)
C (0, 5)
O
B (2, 1)
x
65

9. Tá líne ingearach leis an líne arb é y 4x 3 a cothromóid.
Faigh cothromóid na líne má thrasnaíonn sí an y-ais ag (0, 7).
10. Cé acu de na línte seo a leanas atá comhthreomhar le 3x y 4 0?
A: y 3x 2 B: y 1_ 3
x 4 C: 6x 2y 7 0 D: x 3y 2 0
11. Trasnaíonn an líne y 2x 5 an y-ais ag an bpointe P.
Faigh cothromóid na líne trí P atá ingearach le y 2x 5.
12. Is é cothromóid na líne AB ná 5x 3y 26.
(i) Faigh fána AB.
(ii) Is iad (4, 2) comhordanáidí an phointe A agus is iad (6, 4) comhordanáidí
pointe eile, C.
(a) Cruthaigh go bhfuil AC ingearach le AB.
(b) Faigh cothromóid na líne AC. Tabhair do fhreagra san fhoirm ax by c .
Mír 3.8
Línte a ghrafadh
Chun líne mar 2x 3y 6 a tharraingt, caithfidh dhá phointe ar a laghad ar an líne a bheith
ar eolas againn.
Is iad na pointí is éasca le fáil ná na cinn ina dtrasnaíonn an líne an x-ais agus an y-ais.
Ar an x-ais, y 0; ar an y-ais, x 0.
Cuir i gcás an líne 2x 3y 6 Sceitse den líne 2x 3y 6
Nuair atá x 0, 2(0) 3y 6
3y 6
⇒ y 2
is pointe amháin ar an líne é (0, 2)
y
3
2
(0, 2)
Nuair atá y 0, 2x 3(0) 6
2x 6
x 3
O
3
(3, 0)
x
is pointe eile ar an líne é (3, 0)
Tá sceitse den líne le feiceáil ar dheis.
Línte comhthreomhar leis na haiseanna
Tá na línte x 2 agus x 4 le feiceáil ar dheis.
Tabhair faoi deara gurb é 4 x-luach gach pointe ar an líne x 4.
Ar an gcaoi chéanna, is é 2 x-luach gach pointe ar an líne x 2.
y
x 2
(2, 4)
x 4
(4, 4)
Gach líne a bhfuil a cothromóid san fhoirm x a,
tá sí comhthreomhar leis an y-ais.
O
(2, 1) (4, 1)
2 4 x
(4, 1)
66

Taispeántar an líne y 2 sa léaráid ar dheis.
y
Arís, tabhair faoi deara gurb é 2 y-luach
na bpointí ar an líne seo.
y 2
(1, 2)
(3, 2) (5, 2)
O
1 3 5
x
Línte a bhfuil an bunphointe orthu
Líne ar nós x 2y 0, gan aon téarma neamhspleách, bíonn an bunphointe (0, 0) uirthi i
gcónaí.
Ó thaobh an líne x 2y 0 a bhreacadh de, tá a fhios againn go bhfuil an bunphointe uirthi.
Gheobhaimid an dara pointe ansin ach luach ar x a roghnú agus an y-luach comhfhreagrach
a fháil.
y
Bíodh x 2: 2 2y 0
2y 2
y 1
is pointe eile ar an líne é (2, 1).
Tá sceitse le feiceáil ar dheis den líne a bhfuil na pointí (0, 0) agus (2, 1) uirthi.
Fíorú gur ar líne ar leith atá pointe áirithe
Gheobhaidh tú amach an bhfuil an pointe (3, 2) ar an líne x 2y 1 0 ach 3 a chur in
áit x sa chothromóid, agus 2 in áit y.
x 2y 1 0
x 3; y 2: 3 2(2) 1
3 4 1
4 4 0
Sásaíonn (3, 2) an chothromóid x 2y 1 0, rud a chruthaíonn go bhfuil an pointe
sin ar an líne.
Ach níl (3, 4) ar an líne x 3y 7 0, tharla 3 12 7 0, i.e. ní shásaíonn sé
an chothromóid.
Sampla 1
Má tá an pointe (k, 3) ar an líne 4x 3y 1 0, faigh luach k.
Cuirimis k in áit x agus 3 in áit y sa chothromóid 4x 3y 1 0.
⇒ 4k 3(3) 1 0
⇒ 4k 9 1 0
⇒ 4k 8 0
⇒ 4k 8 ⇒ k 2.
1
O
2
2
(2, 1)
Má tá pointe ar líne áirithe, sásóidh comhordanáidí
an phointe cothromóid na líne sin.
4
x
67

Cleachtadh 3.8
1. Scríobh síos cothromóidí na línte a, b, c agus
d a thaispeántar ar dheis.
d y
3
c
b
3
1
1O 1
3 x a
2. Tarraing péire aiseanna agus sceitseáil na ceithre líne seo:
(i) x 4 (ii) y 2 (iii) x 2 (iv) y 3.
3. Bain úsáid as graf na líne 2x y 6 chun iad seo a leanas
a scríobh síos:
(i) luach x nuair atá y 0
(ii) comhordanáidí an phointe ina dtrasnaíonn
an líne an y-ais
(iii) luach y nuair atá x 1
(iv) luach x nuair atá y 2
(v) achar an triantáin a shainítear leis an líne,
leis an x-ais agus leis an y-ais.
y
5
O
2x y 6
5
x
4. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an líne x 2y 6 0 an
x-ais agus an y-ais.
Anois bain úsáid as na pointí sin chun sceitse den líne a tharraingt.
5. Tarraing sceitse garbh ar leith de gach ceann de na línte seo:
(i) x y 4 0 (ii) 2x y 2 0 (iii) x 2y 4 0
6. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an líne x 2y 5 an x-ais
agus an y-ais. Uaidh sin tarraing sceitse den líne.
7. Tarraing sceitse den líne 2x y 6 0.
Uaidh sin scríobh síos achar an triantáin a shainítear leis x-ais, leis an y-ais agus leis an líne.
8. Tarraing sceitse garbh ar leith de gach ceann de na línte seo:
(i) 2x y 7 (ii) 4x y 4 0 (iii) x 3y 6 0
9. Is iad cothromóidí na línte A agus B:
y
A: y 2_ 3 x 2
3
2
B: 3x 5y 15 0
(i) Cén líne a thrasnaíonn an y-ais ag (0, 2)?
(ii) Cén líne a thrasnaíonn an x-ais ag (5, 0)?
(iii) Bain úsáid as fánaí an dá líne le fiosrú an
bhfuil na línte ingearach le chéile.
O 1
5
(iv) Scríobh síos achar an triantáin a shainítear leis an líne 3x 5y 15 0, leis an
x-ais agus leis an y-ais.
x
68

10. Tá an bunphointe (0, 0) ar gach ceann de na línte seo a leanas.
I gcás gach ceann de na línte, roghnaigh x-luach agus ansin faigh an y-luach
comhfhreagrach. Uaidh sin, sceitseáil gach ceann de na línte ar léaráid ar leith.
(i) x 2y 0 (ii) x 3y 0 (iii) 3x y 0 (iv) x 4y 0.
11. Tá na línte a, b agus d ar an ngraf ar dheis.
Maitseáil gach líne le ceann de na cothromóidí seo:
(i) x 2
(ii) x y 0
(iii) 2x 5y 10
(iv) y 4
d
2
y
4
3
2
O 2
c
b
a
5 x
12. (i) Fíoraigh go bhfuil (2, 5) ar an líne 2x y 1 0.
(ii) Fíoraigh go bhfuil (2, 3) ar an líne y x 5.
(iii) Taispeáin nach bhfuil (3, 1) ar an líne x 3y 1 0.
(iv) Fiosraigh an bhfuil (2, 0) ar an líne 2x y 3 0.
13. Taispeáin go bhfuil (3, 1) ar an líne 2x 4y 2 0.
14. Má tá an pointe (1, 4) ar an líne 2x y k 0, faigh luach k.
15. Má tá (2, 3) ar an líne x ky 7 0, faigh luach k.
16. (i) Faigh luach k má tá an pointe (3, 1) ar an líne 2x ky 8 0.
(ii) Má tá (1, ) ar an líne y 2x 3, faigh luach t .
Mír 3.9
Dhá líne a thrasnaíonn a chéile
Tá sceitse de na línte x y 4 agus x 3y 6 le feiceáil thíos.
y
5
x y 4
O
x 3y 6
5 10 x
Is féidir pointe trasnaithe an dá líne a léamh ón léaráid.
Is é an pointe sin ná (3, 1).
Pointe trasnaithe aon dá líne, is féidir é a fháil ach na línte a sceitseáil ar ghreille, agus
ansin a bpointe trasnaithe a léamh ón ngreille sin.
Ach is fusa teacht ar an bpointe
trasnaithe ach leas a bhaint as
cothromóidí comhuaineacha,
mar a thaispeántar sa sampla thíos.
Is féidir úsáid a bhaint as cothromóidí
comhuaineacha chun pointe trasnaithe
dhá líne a fháil.
69

Sampla 1
Bain úsáid as cothromóidí comhuaineacha chun pointe trasnaithe na línte
x y 5 agus 2x y 4.
x y 5 …
2x y 4 …
Suimiú: 3x 9 ⇒ x 3
De réir : 3 y 5 ⇒ y 2
is é (3, 2) an pointe trasnaithe.
Cleachtadh 3.9
1. Sceitseáil na línte x y 5 agus x 4y 8
ar aon léaráid amháin.
Úsáid do sceitse chun pointe trasnaithe an dá líne a scríobh síos.
2. Tá sceitse de na línte 2x y 6 agus x y 5 le feiceáil thíos.
y
5
2x y 6
x y 5
O
Úsáid an sceitse chun pointe trasnaithe an dá líne a scríobh síos.
Anois bain úsáid as cothromóidí comhuaineacha chun do fhreagra a fhíorú.
Úsáid cothromóidí comhuaineacha chun pointe trasnaithe na bpéirí línte seo a leanas a fháil:
3. x y 5 4. x y 2 5. 2 x 5y 1
2 x y 1 2x y 7 x 3y 5
6. x 2y 1 7. x 3y 7 8. x 7y 4
2 x 3y 9 2x y 7 3 x y 8
9. 2 x 3y 4 10. 3 x 2y 17 11. x 3y 13
2 x 3y 8 4 x 3y 0 2x 5y 21
12. Bain úsáid as cothromóidí comhuaineacha le fíorú go dtrasnaíonn na línte
2x 3y 12 agus 3x 4y 1
a chéile ag an bpointe (3, 2).
5
x
70

Mír 3.10 Achar triantáin
Léaráid atá anseo thíos de thriantán arb iad na reanna air (0, 0), (x 1 , y 1 ) agus (x 2 , y 2 ).
y
(x 2 , y 2 )
(x 1 , y 1 )
O
x
Seo mar a fhaightear achar an triantáin seo:
Cuireann an dá líne cheartingearacha | | in iúl
go nglacaimid luach deimhneach an fhreagra.
Sampla 1
Faigh achar an triantáin a bhfuil na reanna (0, 0), (2, 1) agus (3, 4) air.
Achar 1_ |x 2 1 y 2 x 2 y 1
| (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
↓ ↓
1_ |(2)(4)
2
(3)(1)|
(2, 1) (3, 4)
1_ |8
2
3|
1_ 2 |11|
5 1_ 2
aonad cearnach
1_
2
| x 1 y 2 x 2 y 1 |
Nóta:
Mura bhfuil ceann ar bith de reanna an triantáin ag an mbunphointe, ní mór an
triantán a bhogadh (a aistriú) ionas gur ceann de na reanna é (0, 0).
y
5
4
3
2
(0, 0) 1
(4, 1)
O
1 2 3 4 5 6 7
1
(5, 1)
2
3
4
5
(2, 4)
an t-achar
céanna
(2, 3)
(7, 3)
x
Bíodh (2, 4) → (0, 0)
(7, 3) → (5, 1)
(4, 1) → (2, 3)
Anseo bainimid 2 de gach x-luach agus 4 de gach
y-luach i gcás gach ceann de na pointí.
71

Sampla 2
Faigh achar an triantáin a bhfuil na reanna (2, 4), (3, 1) agus (3, 5) air.
Bíodh (2, 4) → (0, 0)
(3, 1) → (5, 3)
(3, 5) → (1, 9)
Anseo bainimid 2 de gach x-luach
agus 4 de gach y-luach.
Achar an triantáin 1_ |x 2 1 y 2 x 2 y 1
| (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
↓ ↓
1_ |(5)(9)
2
(1)(3)|
(5, 3) (1, 9)
1_ |45
2
3|
1_ |48| 2
24 aonad cearnach
Cleachtadh 3.10
1. Faigh achar an triantáin a bhfuil na reanna seo air:
(i) (0, 0), (2, 1), (3, 4) (ii) (0, 0), (5, 1), (3, 6)
(iii) (0, 0), (2, 3), (1, 4) (iv) (0, 0), (3, 4), (2, 6)
(v) (2, 1), (2, 4), (0, 0) (vi) (0, 0), (6, 0), (2, 3).
2. Is iad A(2, 3), B(5, 1) agus C(3, 1) na reanna ar thriantán.
Agus tú ag úsáid an aistrithe A(2, 3)→(0, 0), faigh íomhánna B agus C faoin aistriú seo.
Uaidh sin faigh achar an triantáin ABC.
3. I gcás gach ceann de na triantáin seo, aistrigh ceann de na reanna go (0, 0). Ansin
bain úsáid as sin chun achar an triantáin a fháil.
(i) (2, 3), (5, 1) agus (2, 0) (ii) (2, 3), (4, 0) agus (1, 4)
(iii) (2, 1), (3, 6) agus (0, 3) (iv) (5, 1), (2, 3) agus (7, 1).
4. Is é achar triantáin ná leath fhad an bhoinn iolraithe faoin airde ingearach.
Bain úsáid as sin chun achar gach ceann de na triantáin thíos a scríobh síos.
y
4
2
A
y
3
2
D
B
C
2 O 2 5 x
4 2 O 1 3
E
F
x
72

5. Is iad A(0, 0), B(4, 1), C(2, 3) agus D(2, 4) na reanna ar cheathairshleasán.
Roinn an ceathairshleasán ina dhá thriantán, ABC agus ACD, agus, uaidh sin,
faigh achar an cheathairshleasáin.
6. Faigh achar an cheathairshleasáin arb iad A(0, 0), B(2, 3), C(4, 0) agus D(0, 4) na
reanna air.
7. Ag A a thrasnaíonn an líne 2x y 4 0 an x-ais, agus ag B a thrasnaíonn sí an y-ais.
Faigh achar an OAB, nuair is é O an bunphointe.
8. Faigh achar an triantáin a bhfuil na reanna (0, 0), (1, 3) agus (2, 6) air.
Cén tátal is féidir leat a bhaint as do fhreagra?
y
9. Faigh luach k más é 7 n-aonad chearnacha
achar an triantáin ar dheis.
O
A(4, 3)
B (6, k)
x
73

Cuir triail ort féin 3
1. Is dhá phointe ar an bplána iad A(1, 4) agus B(2, 5).
Faigh (i) |AB| (ii) fána AB. .
2. Is é P an pointe (1, 2) agus is é Q an pointe (2, 6).
(i) Breac P agus Q ar grafpháipéar.
(ii) Faigh fána PQ.
(iii) Faigh cothromóid PQ.
3. Is é y 2x 4 cothromóid líne áirithe.
(i) Scríobh síos fána na líne seo.
(ii) Cén pointe ina dtrasnaíonn an líne an y-ais?
(iii) Cén pointe ina dtrasnaíonn an líne an x-ais?
(iv) Céard í fána líne ar bith atá ingearach le y 2x 4?
4. (i) Fíoraigh go bhfuil an pointe (2, 3) ar an líne 2x 3y 5 0.
(ii) Má tá an pointe (1, k) ar an líne 2x 3y 7 0, faigh luach k.
5. Is dhá phointe ar an bplána iad A(3, 1) agus B(3, 9).
(i) Faigh M, lárphointe [AB].
Cén ais ar a bhfuil M?
(ii) Faigh fána AB.
(iii) Faigh fána líne ar bith atá ingearach le AB.
(iv) Anois faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an mbunphointe agus
atá ingearach le AB.
6. Bain úsáid as an ngreille ar dheis chun fána na líne p
a scríobh síos.
Anois scríobh síos cothromóid p san fhoirm y mx c.
7. Is é an líne y 6 2x 2.
(i) Scríobh síos fána .
(ii) Fíoraigh gur pointe ar é (1, 2).
(iii) Trasnaíonn an y-ais ag T.
Faigh comhordanáidí T.
(iv) Taispeáin an líne ar léaráid chomhordanáideach.
y
4
2
1
O
2 4 6
x
p
8. Is é x 2y 10 0 cothromóid na líne k.
(i) Fíoraigh go bhfuil T(2, 6) etc k.
(ii) Faigh fána k.
(iii) Faigh cothromóid na líne a bhfuil t uirthi agus atá ingearach leis an líne k.
9. (i) Má tá an líne 2x y 7 0 comhthreomhar leis an líne 4x ky 3 0, faigh luach k.
(ii) Ag A a thrasnaíonn an líne 2x 3y 6 0 an x-ais, agus ag B a thrasnaíonn sí an y-ais.
Faigh comhordanáidí A agus B agus, uaidh sin, faigh achar an triantáin OAB,
nuair is é O an bunphointe.
74

10. Chun an fhuinneog thuas staighre ar thaobh tí a
ghlanadh, ní mór an dréimire a leagan síos sa chaoi
is nach dteagmhaíonn sé ach le himeall na seide le
balla, mar athaispeántar sa léaráid. Seasann na
comhordanáidí d'fhaid ó O i méadair, sna treonna
x agus y a thaispeántar.
Faigh (i)
(ii)
(iii)
cothromóid líne an dréimire
airde an phointe A a bhfuil barr an
dréimire leagtha ina choinne
O (2, 0)
fad an dréimire ina mhéadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
y
A
Seid
(1, 3)
x
11. Is é an líne x 2y 2 0.
Is é m an líne 3x y 8 0.
Úsáid cothromóidí comhuaineacha chun comhordanáidí P a fháil, pointe
trasnaithe agus m.
12. An líne , tá fána 2 léi agus gabhann sí tríd an bpointe (3, 6).
(i) Faigh cothromóid .
(ii) Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an líne an x-ais agus an y-ais.
(iii) Faigh achar an triantáin a shainítear le , leis an x-ais agus leis an y-ais.
13. (i) Faigh cothromóid na líne dírí trí (0, 1) agus (3, 7).
(ii) Líne eile, is é y 7 2x a cothromóid.
Gan na línte a tharraingt, mínigh cén chaoi ar féidir leat a dhéanamh amach cé
acu atá an líne seo ingearach leis an líne i gcuid (i) nó nach bhfuil.
14. Taispeántar sa ghraf ar dheis na trí líne a, b agus c.
(i) Cé acu lín(t)e a bhfuil fánaí diúltacha léi/leo?
(ii) Bain úsáid as an ngreille chun fána na líne a a fháil.
(iii) Luaigh gach ceann de na línte le ceann de na
cothromóidí seo:
D: y 2x 1
E: x y 10
F: 2x 5y 17.
y
10
8
6
4
2
c
a
b
O
2 4 6 8 10
x
15. Is é p an líne 3x 2y c 0.
(i) Más pointe ar p é (3, 1), faigh luach c.
(ii) Tá an líne q comhthreomhar le p agus gabhann sí tríd an bpointe (2, 5).
Faigh cothromóid q.
75

16. Is trí phointe iad A(4, 2), B(2, 0) agus C(0, 4).
(i) Cruthaigh go bhfuil AC ingearach le BC.
(ii) Taispeáin go bhfuil AC BC.
(iii) Faigh achar an triantáin ABC.
17. Taispeánann an graf líneach thíos an gaol idir céimeanna Celsius agus
céimeanna Fahrenheit.
Céimeanna Celsius (°C)
40
30
20
10
O
30 40 50 60 70 80 90 100
Céimeanna Fahrenheit (°F)
Bain úsáid as an ngraf chun iad seo a leanas a thiontú (garmheastacháin a bheidh sna
freagraí):
(i) 35°C go Fahrenheit
(ii) 15°C go Fahrenheit
(iii) 50°F go Celsius
(iv) 100°F go Celsius.
Bain úsáid as an dá phointe atá marcáilte ar an ngraf chun cothromóid na líne a fháil san
fhoirm ax by c 0.
76

Le haghaidh aon dá phointe A(x 1 , y 1 ) agus B(x 2 , y 2 ):
1. Fad [AB] √ __________________
(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2
______ ,
2
2. Lárphointe [AB] ( x 1 x 2
3. Fána AB (m) m ______ y 2 y 1
x 2 x 1
y 1 y 2 ______
2
)
________________________
difríocht idir na y-luachanna
difríocht idir na x-luachanna
Cothromóid líne
An líne y mx c , is é m a fána agus trasnaíonn sí an y-ais ag (0, c).
Is é cothromóid na líne a bhfuil an pointe (x 1 , y 1 ) uirthi agus a bhfuil fána m léi:
y y 1 m(x x 1 )
Línte comhthreomhara agus ingearacha
Má tá fána m 1 leis an líne agus má tá fána m 2 leis an líne k,
1. Tá comhthreomhar le k má tá m 1 m 2 .
2. Tá ingearach le k má tá m 1 m 2 1.
Má tá fána 3 4 agus má tá k, tá fána k 4 3
Línte a ghrafadh
Chun an líne 2x 3y 6 a ghrafadh:
1. Bíodh x 0 agus faigh an y-luach comhfhreagrach, i.e. (0, 2).
2. Bíodh y 0 agus faigh an x-luach comhfhreagrach, i.e. (3, 0).
3. Tarraing líne trí (0, 2) agus (3, 0).
San fhoirm y a a bheidh cothromóid línte atá comhthreomhar leis an x-ais.
San fhoirm x b a bheidh cothromóid línte atá comhthreomhar leis an y-ais.
Beidh línte tríd an mbunphointe gan téarma neamhspleách ar bith, m. sh. x 2y.
Pointe trasnaithe dhá líne
Faightear pointe trasnaithe dhá líne ach a gcothromóidí comhuaineacha
a réiteach.
Achar triantáin
Is í seo an fhoirmle le haghaidh achar triantáin a bhfuil na reanna (0, 0), (x 1 , y 1 )
agus (x 2 , y 2 ) air:
Achar 1_ 2 |x 1 y 2 x 2 y 1
|.
77

4
Sonraí a Bhailiú agus
Sampláil
sonraí uimhriúil scoite leanúnach sonraí catagóireacha
sonraí oird aonathráideach dé-athráideach sonraí príomhúla
sonraí tánaisteacha suirbhé turgnamh bileog bhailithe sonraí
ceistneoir freagróir laofacht daonra sampla randamach simplí
Réamhrá
Is féidir na cairteacha agus na léaráidí thíos a fheiceáil go rialta sna nuachtáin, in irisí agus
ar an teilifís.
Bíonn siad ag iarraidh fíricí, figiúirí agus eolas a chur i láthair ar bhealach a mbeadh sé éasca
iad a thuiscint. Sonraí a thugtar de ghnáth ar an eolas a bhailítear. An staitistic (nó an
staidreamh) a thugtar ar an mbrainse sin den mhatamaitic a dhéileálann le sonraí a bhailiú,
a chur i láthair agus a anailísiú.
Baineann an staitistic le:
> sonraí a bhailiú agus a thaifeadadh
> sonraí a shórtáil agus a chur in eagar
> sonraí a chur i láthair i gcairteacha agus i léaráidí
> ríomha a dhéanamh agus meán staitistiúil oiriúnach a roghnú
> brí agus tátail a bhaint as na torthaí.
78

Sa chaibidil seo tugtar blaiseadh de na cineálacha difriúla sonraí agus pléitear cuid de na
modhanna a úsáidtear chun sonraí a bhailiú.
Mír 4.1
Cineálacha sonraí
Féachaimis ar na ceisteanna seo a leanas:
> ‘Cén mhéid bróige is coitianta atá daltaí an ranga seo?’
> ‘Cé mhéad carr atá sa charrchlós?’
> ‘Cén fad ama a ghlacann sé ar ghrúpa daoine crosfhocal a chríochnú?’
Ní mór dúinn comhaireamh nó tomhas a dhéanamh chun na ceisteanna sin a fhreagairt.
Uimhir a bheidh mar fhreagra ar na ceisteanna sin ar fad, m.sh.
méid bróige 40; 134 carr; 26 nóiméad.
Sonraí uimhriúla a thugtar ar na sonraí sin ar féidir iad a chomhaireamh nó a thomhas mar is
éard a bhíonn sa fhreagra ná uimhir. Is féidir le sonraí uimhriúla a bheith scoite nó leanúnach.
Sonraí scoite
Sonraí scoite a thugtar ar na sonraí sin
a bhíonn teoranta do luachanna faoi leith.
Seo a leanas roinnt samplaí de
shonraí scoite:
> Líon na gcúl a scóráil foirne
peile ar an Satharn
> Líon na mbinsí i seomraí
ranga na scoile
> Na marcanna a baineadh amach
i scrúdú.
Sonraí leanúnacha
Déantar sonraí leanúnacha a thomhas
ar scála éigin agus is féidir luach ar bith
ón scála sin a bheith acu.
Seo a leanas roinnt samplaí de
shonraí leanúnacha:
> Airde na ndaltaí sa rang
> Luas na gcarranna a théann thar
áit faoi leith ar bhóthar
> An t-am a ghlacann sé ar dhaoine
rás 100 méadar a rith
Sampla 1
I gcás gach ceann de na cineálacha sonraí seo a leanas, scríobh síos cé acu
scoite nó leanúnach atá sé.
(i) líon na mbonn airgid atá i do phóca agat
(ii) líon na dticéad a díoladh le haghaidh ceolchoirme
(iii) an t-am a ghlac sé míreanna mearaí a chur le chéile
(iv) meáchain na ndaltaí sa rang
(v) méideanna gúnaí.
(i) scoite (ii) scoite (iii) leanúnach
(iv) leanúnach (v) scoite
79

Cleachtadh 4.1
1. Luaigh an sonraí scoite nó sonraí leanúnacha atá sna samplaí seo a leanas:
(i) Líon na seomraí i ngach teach ar shráid faoi leith
(ii) Líon na ndlúthdhioscaí a díoladh
(iii) Meáchain na n-uibheacha i mbosca
(iv) Méideanna bróige
(v) Líon na gciliméadar a taistealaíodh ar lítear amháin peitril.
2. Tógann sé 22 nóiméad ar Amy fadhb
mhatamaitice a réiteach.
Luaigh an athróg scoite nó athróg leanúnach atá
sna 22 nóiméad sin? Mínigh do fhreagra.
Tugtar athróg ar rud a dhéantar
a thomhas nó a fhaire.
3. Comhaireann meicneoir líon na n-uirlisí atá
sa bhosca aige.
Luaigh an sonraí scoite nó sonraí leanúnacha
atá i gceist. Mínigh do fhreagra.
4. Tá Derek ag féachaint go géar ar charr athdhíolta.
Tá spéis aige sna nithe seo a leanas:
(i) líon na ndoras
(ii) líon na gcriosanna sábhála
(iii) líon na gciliméadar atá taistealta ag an gcarr.
Luaigh an athróga scoite nó athróga leanúnacha atá sna trí shampla sin.
5. Rinne Sonia cuntas den fhad ama a ghlac sé uirthi rás trastíre a rith
mar aon leis an rásuimhir ar a foléine.
Luaigh an athróga scoite nó athróga leanúnacha atá sa dá athróg sin.
6. I gcás gach ceann de na cineálacha sonraí seo a leanas,
scríobh síos cé acu scoite nó leanúnach atá sé.
(i) Líon na mbonn airgid a bhailíonn ceoltóir sráide.
(ii) Fad bóthair.
(iii) Méideanna léinte.
(iv) An teocht i lár an lae do gach lá i mí Iúil.
(v) Na marcanna a bhronn moltóirí i gcomórtas.
(vi) An t-achar atá i bpáirc.
(vii) Líon an gcnaipí ar roinnt léinte.
Teochtaí Lár an Lae d’Iúil
IÚIL 2011
DOM LUA MÁI CÉA DÉA AOI SAT
1 2 3 4 5 6
7
19
14
22
21
24
28
25
8
17
20
15
23
22
23
29
25
9
16
22
16
24
23
23
30
24
18
10
22
17
23
24
24
31
25
18
11
21
18
23
25
25
18
12
21
19
23
26
23
17
13
22
20
24
27
23
7. Deir Emma go bhfuil sí 16 bliana d'aois.
Mínigh an chúis ar athróg leanúnach é an freagra sin cé go mbeadh an chuma air
gur athróg scoite atá ann.
80

Mír 4.2
Sonraí catagóireacha
Má chuirtear an cheist 'Cén dath atá ar do charr?', ní luach uimhriúil a bheidh sa fhreagra.
Ina ionad sin, beidh sé i ngrúpa nó i gcatagóir cosúil le gorm, dearg, dubh, bán, …
Sonraí catagóireacha a thugtar ar shonraí a bhaineann le grúpa nó le catagóir.
Seo thíos roinnt samplaí de shonraí catagóireacha:
> inscne (fear / bean)
> an tír inar rugadh duine (Éire, an Fhrainc, an Spáinn, an Nigéir, …)
> an spórt is fearr le duine (sacar, iomáint, leadóg, cispheil, …)
Sonraí oird a thugtar ar shonraí catagóireacha a mbaineann ord leis na catagóirí,
cosúil leis an gcéad áit, an dara háit, an tríú háit, srl.
Is samplaí eile de shonraí oird iad:
> cineálacha tí (1 seomra leapa, 2 sheomra leapa, 3 sheomra leapa)
> a mhinice a théann daoine chuig cluichí peile (ní théann ar chor ar bith, uaireanta, go
han-mhinic)
> scálaí tuairimíochta (easaontaím go mór, easaontaím, is cuma liom eatarthu, aontaím,
aontaím go mór).
Sonraí aonathráideacha
Nuair a bhailítear píosa amháin eolais, mar shampla, ó gach ball de ghrúpa
daoine, sonraí aonathráideacha a thugtar ar na sonraí a bhailítear.
Is iad seo a leanas samplaí de shonraí aonathráideacha:
> dath na súl
> fad slí ón scoil
> airde i gceintiméadair.
Sonraí dé-athráideacha
Sonraí péireáilte nó sonraí dé-athráideacha a thugtar ar shonraí ina mbíonn dhá
phíosa eolais cosúil le hairde agus meáchan duine.
I measc samplaí de shonraí dé-athráideacha tá:
> líon na n-uaireanta cloig staidéir sa tseachtain agus na marcanna a baineadh amach i scrúdú
> an aois atá ag carr agus an praghas atá uirthi
> méideanna na n-inneall i gcarranna agus líon na gciliméadar a taistealaíodh ar lítear
amháin peitril.
Is sampla de shonraí catagóireacha dé-athráideacha iad dath gruaige agus inscne.
Is sampla de shonraí scoite dé-athráideacha iad líon na seomraí i dteach agus líon na leanaí
i dteach.
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0 cm
81

Sampla 1
I gcás gach ceann de na tacair sonraí seo a leanas, scríobh síos an sonraí uimhriúla
nó sonraí catagóireacha atá i gceist.
(i) méideanna na mbróg a díoladh i siopa
(ii) dathanna na mbróg a díoladh i siopa
(iii) na hábhair a bhí ar fáil do dhaltaí na hArdteistiméireachta
(iv) na marcanna a bhronn moltóirí i gcomórtas díospóireachta
(v) na cineálacha bairr a fhástar ar fheirm
(vi) achar an halla spóirt.
(i) uimhriúil (ii) catagóireach (iii) catagóireach
(iv) uimhriúil (v) catagóireach (vi) uimhriúil.
Cleachtadh 4.2
1. Luaigh an sonraí uimhriúla nó sonraí catagóireacha atá sna samplaí seo a leanas:
(i) Líon na rothar a dhíol siopa faoi leith i rith na seachtaine
(ii) Dathanna na gcarranna a dhíol garáiste an mhí seo caite
(iii) Líon na gcapall sna sé rás lá rásaíochta capall
(iv) An spórt is fearr le gach dalta i scoil faoi leith.
2. Cheannaigh Imelda gúna nua.
Scríobh sí síos (i) dath an ghúna
(ii) líon na gcnaipí ar an ngúna
(iii) fad an ghúna.
I gcás gach ceann de na cineálacha sonraí seo a leanas, scríobh síos an sonraí uimhriúla
nó sonraí catagóireacha atá i gceist. Cé acu de na trí cinn acu sin ar sonraí scoite iad?
3. Luaigh an sonraí péireáilte atá sna samplaí seo a leanas:
(i) Dathanna na léinte atá ar díol ar sheastán
(ii) Fuilghrúpa agus airde grúpa daltaí
(iii) Líon na ndeartháireacha atá ag gach dalta sa rang, agus aois na ndeartháireacha sin.
(iv) Aois na ndaoine ar fad a bhfuil cónaí orthu ar an tsráid chéanna liom féin.
4. Líon na mbinsí i seomra ranga agus líon na leanaí sa rang.
Is sampla é seo de shonraí scoite péireáilte.
Scríobh síos dhá shampla eile den chineál seo sonraí.
5. An méid plúir agus líon na n-uibheacha a bhíonn de dhíth chun císte a dhéanamh.
(i) Mínigh an chúis gur sonraí péireáilte atá i gceist anseo.
(ii) Cén chuid de na sonraí sin atá scoite?
(iii) Cén chuid de na sonraí sin atá leanúnach?
82

6. Cuireadh gach imreoir sacair a imríonn sa phríomhroinn i dtír faoi leith san Eoraip
i gcatagóirí, bunaithe ar aois na n-imreoirí agus an tír inar rugadh iad.
Cóipeáil agus críochnaigh an abairt seo a leanas:
Is sonraí péireáilte iad seo; sonraí ……… atá sa chéad chuid agus sonraí ……… atá sa
dara cuid.
7. Breacann dochtúir síos eolas faoina cuid othar.
Leagtar amach thíos na hathróga a úsáideann sí:
(i) an dath atá ar shúile an othair
(ii) airde agus meáchan an othair
(iii) méid bróige an othair
(iv) fuilghrúpa an othair.
Luaigh an bhfuil gach athróg (a) catagóireach (b) uimhriúil.
Cé acu de na ceithre chineál sonraí ar sonraí scoite iad?
Déan cur síos iomlán ar an gcineál sonraí atá tugtha i gcuid (ii).
8. I gcás gach ceann de na ráitis seo a leanas, cé acu fíor nó bréagach atá sé?
Tabhair cúis le do fhreagra i ngach cás.
(i) Sonraí scoite atá i líon an bpócaí atá ar sheaicéad faoi leith.
(ii) Sonraí catagóireacha atá sna cineálacha crainn atá i bhforaois áirithe.
(iii) Is sonraí uimhriúla iad na tíortha a roghnaíonn daoine agus iad ag dul ar saoire.
(iv) Is sonraí catagóireacha iad líon na seomraí leapa i ngach teach ar an tsráid ar a
bhfuil cónaí orm.
(v) Is sonraí dé-athráideacha iad an aois atá ag crann agus airde an chrainn sin.
(vi) Is sonraí catagóireacha iad an mhí a rugadh na daltaí sa rang.
(vii) Is sonraí dé-athráideacha agus scoite iad líon na gcluichí a imríodh agus líon
na gcúl a scóráladh.
(viii) Is sonraí dé-athráideacha agus leanúnacha iad meáchain na gcapall i rás agus an
t-am a ghlac sé ar na capaill an rás a rith.
9. Is minic a chuirtear carranna sna catagóirí seo a leanas: carranna beaga, carranna
atá go maith ar bhreosla, carranna do theaghlaigh, carranna gnó, carranna sócha.
Seo sampla de shonraí oird. Tabhair trí shampla eile de shonraí oird.
Mír 4.3
Sonraí a bhailiú
Déantar sonraí a bhailiú ar go leor cúiseanna agus ó go leor foinsí.
Déanann comhlachtaí taighde margaidh le fáil amach cén fáth a dtaitníonn táirgí le custaiméirí
agus cén fáth nach dtaitníonn, agus le fáil amach cibé acu a thaitneodh táirgí nua leo nó
nach dtaitneodh. Déanann an rialtas daonáireamh ar gach duine sa tír gach cúig bliana.
Baineann lucht rialtais áitiúil, údaráis oideachais agus eagraíochtaí eile úsáid as an eolas
sin ar mhaithe le pleanáil amach anseo.
Is féidir sonraí a bhailiú le suirbhé, le turgnamh nó le hagallaimh agus ceistneoirí.
Sula mbailítear sonraí, ní mór aidhm shoiléir a bheith ag duine.
Ní mór cinneadh a dhéanamh faoin gcineál sonraí atá le bailiú agus faoin modh is oiriúnaí
agus is éifeachtaí chun na sonraí sin a bhailiú.
83

Is féidir na sonraí a bhailítear a roinnt ina dhá gcatagóir leathana, is iad sin, sonraí príomhúla
agus sonraí tánaisteacha.
Sonraí príomhúla
Sonraí príomhúla a thugtar ar shonraí a bhailíonn eagraíocht nó duine atá chun na sonraí sin
a úsáid.
Bailítear sonraí príomhúla ar na bealaí seo a leanas de ghnáth:
> baintear úsáid as ceistneoir
> déantar turgnamh
> déantar fiosrúcháin
> bítear ag faire agus ag breacadh síos torthaí.
Sonraí tánaisteacha
Sonraí tánaisteacha a thugtar ar shonraí a bhíonn ar fáil roimhe seo nó a bhailíonn
duine eile ar chúis éigin eile.
Bailítear sonraí tánaisteacha ar na bealaí seo a leanas de ghnáth:
> ón idirlíon
> ó staitisticí foilsithe agus ó bhunachair shonraí
> ó tháblaí agus ó chairteacha i nuachtáin agus in irisí.
Tugtar anseo thíos na buntáistí agus na míbhuntáistí a bhaineann leis an dá chineál sonraí sin.
Sonraí Buntáistí Míbhuntáistí
Sonraí
príomhúla
Sonraí
tánaisteacha
> Is féidir an t-eolas a bhíonn
uait go díreach a bhailiú
> Fios agat conas a bailíodh é
> Fios agat cé uaidh
ar bailíodh é
> Saor le fáil
> Éasca le fáil
> Costasach
> Glacann sé am
> Ní fios conas a bailíodh é
> B’fhéidir go bhfuil sé as dáta
> B’fhéidir nach é sin a theastaíonn
Suirbhéanna
Bíonn suirbhéanna úsáideach chun sonraí a d'fhéadfadh a bheith pearsanta a bhailiú.
Is iad na príomhbhealaí chun suirbhé a dhéanamh ná:
> suirbhéanna tríd an bpost lena gcuirtear ceisteanna ar dhaoine
> agallaimh phearsanta ina gcuirtear ceisteanna ar dhaoine; baintear úsáid as an gcineál
seo suirbhé go minic do thaighde margaidh
> suirbhéanna ar an nguthán; is ar an nguthán a dhéantar an t-agallamh sa chás seo
> faire, lena mbítear ag faire ar iompraíocht nó ar eolas
84

Modh suirbhéireachta Buntáistí Míbhuntáistí
Faire Córasach agus meicniúil Baol ann go n-athródh na torthaí
Agallamh pearsanta agus
suirbhé ar an nguthán
Suirbhé tríd an bpost
Cuirtear go leor ceisteanna
Ráta ard freagartha
Ní bhaineann costas ró-ard
leis. Is féidir méid mór
sonraí a bhailiú
Costasach
Seans go mbeadh tionchar
ag an agallóir ar na freagraí
Ní féidir ach cineálacha
áirithe sonraí a bhailiú
Ráta íseal freagartha
Sampla 1
Tá fear gnó ag cuimhneamh ar ionad áineasa a thógáil i lár an bhaile.
Cén modh bailithe sonraí príomhúla ba chóir dó a úsáid le cuidiú leis cinneadh a
dhéanamh faoin ionad áineasa a thógáil i lár an bhaile?
D’fhéadfaí agallaimh a dhéanamh le daoine nó suirbhé tríd an bpost a dhéanamh
chun sonraí a bhailiú. Ba chóir an cheist ‘An mbainfeá úsáid as ionad áineasa dá
mbeadh fáil agat air?’ a chur san áireamh i modh ar bith.
Turgnaimh
Bíonn turgnaimh úsáideach chun sonraí eolaíocha a bhailiú. Déanann comhlachtaí drugaí
turgnaimh féachaint an bhfuil leas le baint as drugaí nua nó an mbaineann fo-iarmhairtí leo.
Nuair a dhéanann tú turgnamh is féidir leat bileog bhailithe sonraí a úsáid chun na torthaí
a thaifeadadh.
Taispeánann an léaráid seo a leanas an turgnamh a rinne Derek le fáil amach an bhfuil
dísle féaráilte nó nach bhfuil:
Sampla 2
Tá dísle séthaobhach ag Derek.
Caitheann sé in airde san aer 60 babhta é
agus déanann sé cuntas de na torthaí ar
bhileog bhailithe sonraí.
Tá Derek 'ag súil leis' go mbeidh gach uimhir
atá ar an dísle le fáil 10 n-uaire aige.
Is dóigh leis go bhfuil an dísle féaráilte mar
go bhfuil gach ceann de na minicíochtaí
gar go maith do 10.
Scór Cuntas Minicíocht
1 9
2 11
3 12
4 9
5 10
6 9
85

Cleachtadh 4.3
1. Scríobh síos an sonraí príomhúla nó sonraí tánaisteacha atá sna samplaí seo a leanas:
(i) Chomhair Alan líon na gcarranna dearga a chuaigh thar gheata na scoile.
(ii) Rinne Léan scrúdú ar na taifid in ospidéal máithreachais féachaint cé mhéad
leanbh a rugadh ann gach lá i mí na Nollag.
(iii) Chaith Robbie dísle 100 babhta agus bhreac sé síos na torthaí féachaint an raibh
an dísle féaráilte.
(iv) Bhain Niamh úsáid as an idirlíon le fáil amach cé mhéad bonn óir a bhuaigh gach
tír a bhí ag glacadh páirte sna cluichí Oilimpeacha i mBéising.
2. Ba mhian le Roy agus le Damien a thuar cé a bhuafaidh an tsraith sa sacar an bhliain
seo chugainn.
Féachann Roy ar na torthaí le 5 bliana anuas.
Féachann Damien ar na torthaí do na 5 bliana roimhe sin.
(i) Cén cineál sonraí atá siad a úsáid?
(ii) Cén duine acu a mbeidh na sonraí is iontaofa aige dar leat agus cén fáth?
3. Ba mhian le comhlacht déanta milseán barra seacláide nua a dhéanamh.
Ar cheart dóibh sonraí príomhúla nó sonraí tánaisteacha a bhailiú?
Tabhair cúis le do fhreagra.
4. Ní mór do chomhlacht dearthóireachta iris nua a chur le chéile agus a chur ar an
margadh, iris a bheadh dírithe ar mhná óga.
(i) Mínigh conas is féidir leo úsáid a bhaint as sonraí príomhúla agus as sonraí
tánaisteacha, agus cén fáth.
(ii) Luaigh modh amháin chun sonraí a bhailiú.
5. Rinne gníomhaireacht de chuid an rialtais suirbhé féachaint cén céatadán de litreacha
a bhain an ceann scríbe amach an lá tar éis a gcuir sa phost. Rinneadh suirbhé ar dheich
ngnólacht i lár chathair Bhaile Átha Cliath.
(i) An dóigh leat go mbeadh torthaí an tsuirbhé seo díreach cosúil le torthaí an
tsuirbhé chéanna dá ndéanfaí i gContae Chiarraí é?
(ii) An sonraí príomhúla nó sonraí tánaisteacha a bheadh á mbailiú?
Mír 4.4 Ceistneoirí
Is é a bhíonn i gceistneoir ná ceisteanna a bhíonn leagtha amach chun sonraí a fháil ó dhaoine.
Freagróirí a thugtar ar dhaoine a fhreagraíonn ceistneoirí.
Tá dhá phríomhbhealach ann chun ceisteanna a chur.
> Cuireann agallóir na ceisteanna agus líonann sé nó sí isteach an ceistneoir.
> Tugtar ceistneoir do dhaoine agus iarrtar orthu na freagraí a líonadh isteach.
86

Agus ceisteanna á scríobh agat do cheistneoir:
> bí soiléir faoina dteastaíonn uait a fháil amach agus faoi na sonraí a bheidh uait
> cuir ceisteanna gairide simplí
> tosaigh amach le ceisteanna simplí le spreagadh a thabhairt don duine atá ag tabhairt na
bhfreagraí
> cuir boscaí ar fáil do na freagraí nuair is féidir: Aontaím Ní aontaím
> seachain ceisteanna a thugann ar dhaoine freagra faoi leith a thabhairt cosúil le
nó
‘Nach n-aontófá go mbíonn i bhfad an iomarca spóirt ar an teilifís?’
‘An gceapann tú go n-íoctar an iomad airgid le himreoirí gairmiúla sacair?’
> seachain ceisteanna pearsanta, mar shampla ceisteanna a iarrann ainm, aois chruinn nó
meáchan.
Ceisteanna ilfhreagraí
Bíonn rogha freagraí an-úsáideach agus freagra á thabhairt ar an gceist, ‘Cén aois thú?’
Mar shampla:
Cuir tic le d’aois sa bhosca thíos:
Faoi 18 mbliana 18–30 31–50 Os cionn 50
Tabhair faoi deara nach bhfuil aon bhearnaí sna haoisghrúpaí agus nach bhfuil ar gach
duine ach freagra amháin a roghnú.
Scálaí tuairimíochta
Má bhaineann tú úsáid as scála tuairimíochta, is iondúil go mbíonn
na freagraí grúpáilte i lár an scála mar is minic nach maith le
daoine freagraí atá ródhearfach nó ródhiúltach a thabhairt.
Bíonn an chuma seo ar scála tuairimíochta de ghnáth:
Ní aontaím Ní aontaím Níl aon Aontaím Aontaím
beag ná mór tuairim agam go mór
Bealach amháin lena
chinntiú nach mbíonn
torthaí cruinnithe thart
ar an lár is ea líon
cothrom roghanna a
thabhairt ionas nach
bhfuil aon rogha sa
lár ann.
Iarrtar ar fhreagróirí, uaireanta, pointe a mharcáil ar scála a bhíonn cosúil leis an gceann seo
thíos.
Ní aontaím
Aontaím
Arís eile, bíonn claonadh ann pointe sa lár a roghnú.
87

Laofacht a sheachaint
Agus sonraí á mbailiú agat, ní mór duit a chinntiú go bhfuil an suirbhé nó an turgnamh
cóir agus go seachnaíonn sé laofacht. Má bhíonn laofacht ann, tharlódh nach mbeadh
na sonraí a bhailítear ionadaíoch.
Sna boscaí thíos tá ceisteanna ba chóir a sheachaint mar go bhfuil siad róscaoilte,
róphearsanta, nó go bhféadfaidís dul i bhfeidhm ar an bhfreagra.
Cé chomh minic a imríonn tú leadóg?
Ó am go chéile Anois is arís Go minic
Ní hí an bhrí chéanna a bhaineann
daoine difriúla as na trí fhreagra
ó am go chéile, anois is arís agus
go minic.
Is maith le gnáthdhaoine dul ag snámh.
An maith leatsa dul ag snámh?
Is maith
Ní maith
Is ceist í seo a thugann leid faoin bhfreagra agus
dá bhrí sin d'fhéadfadh an toradh a bheith laofa.
Níor chóir an chéad abairt a bheith ann in aon chor.
Ar ghoid tú earraí ón ollmhargadh riamh?
Ghoid Níor ghoid
An aontaíonn tú go bhfuil an tAontas Eorpach
mór go leor faoin am seo?
Aontaím
Ní aontaím
Is beag duine a thabharfaidh
freagra macánta ar an gceist
sin má tá gadaíocht déanta acu.
Tugann an cheist seo le fios
gurb é ‘aontaím’ an freagra ceart.
Tá sí laofa.
Nuair a thugann tú faoi shuirbhé nó turgnamh
Seachain ceisteanna pearsanta
moltar i gcónaí tabhairt faoi shuirbhé píolótach
cosúil le: ‘An bhfuil oideachas
ar dtús. Is éard is suirbhé píolótach ann ná suirbhé
maith ort?’ nó ‘Cá bhfuil cónaí ort?’
a dhéantar ar scála an-bheag le cinntiú go mbaileofar
an t-eolas atá ag teastáil bunaithe ar leagan amach agus ar cheisteanna an tsuirbhé.
Ba chóir go léireodh sé deacrachtaí a bhaineann le foclaíocht na gceisteanna agus leis na freagraí.
Cleachtadh 4.4
1. Seo thíos liosta ceisteanna agus ráiteas.
I gcás gach ceann díobh, scríobh síos an litir a fhreagraíonn do stíl an fhreagra a d’úsáidfeá.
(a) Tá Níl Níl a fhios agam
(b) Aontaím Ní aontaím Níl a fhios agam
(c) 0 1 2 3 nó breis
88
(i) Cé mhéad leanbh atá i do theaghlach?
(ii) An ball den Aontas Eorpach í an Bhulgáir?
(iii) Déanann tobac dochar do do shláinte.
(iv) Ba chóir do gach duine aclaíocht a dhéanamh ar feadh 30 nóiméad ar a laghad gach lá.

2. Teastaíonn ó Shiobhán a fháil amach céard a cheapann daoine faoin bPáirtí Glas.
Tá sí ag iarraidh ceann den dá cheist seo a leanas a roghnú don cheistneoir.
(i) An maith leatsa an Páirtí Glas?
Is maith
Ní maith
(ii) An aontófá gurb é an Páirtí Glas an páirtí is fearr?
D’aontóinn
Ní aontóinn
Cén cheist ba chóir di a úsáid? Mínigh do fhreagra.
3. Ba mhian le Jeaic a fháil amach céard a cheapann daoine faoi sheirbhís na
leabharlainne sa choláiste. Seo a leanas cuid den cheistneoir atá scríofa aige.
C1. Cén t-ainm iomlán atá ort? .................................................................
C2. Cé mhéad uair sa tseachtain a théann tú chuig an leabharlann?
Go minic Ó am go chéile Ní théim ann
(i) Cén fáth nár chóir dó C1 a chur?
(ii) Cad atá mícheart leis na roghanna a thugtar do C2?
4. Tá Terry ag iarraidh ceistneoir a scríobh faoi aoiseanna daoine. Tá an cheist seo á cur aici:
Cén aois thú? Óg Meánaosta Sean
(i) Cad atá mícheart leis an gceist agus leis na freagraí?
(ii) Athscríobh na ceisteanna agus freagraí ar bhealach níos fearr.
5. Teastaíonn ó Charal a fháil amach céard a cheapann daoine faoin HSE.
Seo a leanas cuid den cheistneoir atá scríofa aici.
C1. Cén dáta ar rugadh thú? .........................................................
C2. Nach n-aontófá go gcaitear fanacht rófhada d’obráidí?
D’aontóinn Ní aontóinn
C3. Cé chomh minic is a chuaigh tú chuig an dochtúir anuraidh?
níos lú ná 5 huaire 5–10 10 n-uaire nó níos mó
(i) Cén fáth nár chóir di C1 a chur?
(ii) Tabhair cúis nach bhfuil C2 oiriúnach.
(iii) (a) Mínigh cén fáth nach bhfuil an freagraí do C3 sásúil mar atá siad faoi láthair.
(b) Scríobh an cheist arís le go mbeadh sí níos oiriúnaí don cheistneoir.
89

90
6. Cé acu de na ceisteanna seo a leanas atá laofa dar leat?
Scríobh síos litreacha na gceisteanna sin agus mínigh an fáth a bhfuil siad laofa.
A: An ndeachaigh tú chuig an bpictiúrlann le mí anuas?
B: Tá sé tábhachtach torthaí a ithe. An itheann tusa torthaí?
C: Cé mhéad uair an chloig a chaitheann tú ag féachaint ar an teilifís gach seachtain?
D: I bhfianaise go dtarlaíonn líon mór timpistí bóthair lasmuigh den scoil seo, ar
chóir an luasteorainn a ísliú dar leat?
7. Abair cé acu atá an cheist ar dheis oiriúnach
do cheistneoir nó nach bhfuil.
Mura bhfuil sí oiriúnach, abair cén Cé mhéad airgead póca a fhaigheann tú?
fáth agus athscríobh an cheist le
go mbeidh sí níos oiriúnaí.
beagán roinnt a lán
8. Tá ceistneoir á chur le chéile ag Aingeal chun eolas a bhailiú faoi mheáchan
na ndaoine atá sa scoil chéanna léi. Fiafraíonn sí díobh:
Cén meáchan atá ionat?
(i) Mínigh cén fáth nach ceist mhaith í sin.
(ii) Scríobh síos ceist níos fearr agus bíodh roinnt boscaí freagartha ag gabháil léi.
9. Tabhair cúiseanna ar chóir ceisteanna A agus B thíos a athscríobh sula gcuirfí
isteach i gceistneoir iad.
Athscríobh gach ceann díobh mar a chuirfeá féin isteach i gceistneoir iad.
Ceist A:
Ceist B:
An bhfuil cónaí ort i gceantar lucht oibre nó i gceantar meánaicmeach?
Tá an chuma ar an scéal go bhfuil ag éirí thar barr leis an ollmhargadh nua.
An aontaíonn tú leis seo?
Cé chomh minic a fhéachann tú
ar chluiche peile?
10. Tá Stiofán ag déanamh suirbhé faoi fhoirne peile.
Scríobhann sé ceist mar aon le boscaí freagartha:
(i) Tabhair cúiseanna nár chóir do Stiofán
an cheist a chur mar sin.
(ii) Scríobh amach ceist do Stiofán a bheadh níos oiriúnaí.
Riamh Uair sa tseachtain
Nuair is féidir liom
11. Agus ceisteanna á gcur le chéile do shuirbhé faoi úsáid na leabharlainne, bhíothas
ag smaoineamh ar na ceisteanna seo a leanas. Mínigh cén fáth nach bhfuil gach
ceist díobh sásúil mar atá siad faoi láthair agus scríobh amach arís iad.
(i) An bhfuil oideachas maith nó drochoideachas ort?
(ii) Cé chomh minic a úsáideann tú an leabharlann?
(iii) Cé na cineálacha leabhair a léann tú?
12. Is mian le comhlacht gutháin phóca suirbhé a dhéanamh.
Ba mhian leo a fháil amach cad é dáileadh aois agus inscne na gcustaiméirí mar
aon lena mhinice agus a úsáideann siad an guthán póca.
Tá sé i gceist ag an gcomhlacht úsáid a bhaint as ceistneoir.
Scríobh síos trí cheist mar aon le freagraí a chuirfidh ar chumas an chomhlachta
an suirbhé a dhéanamh.

13. Agus suirbhé ar siúl ag comhlacht taighde margaíochta is mian leo a fháil
amach ar chaith formhór na ndaoine saoire in Éirinn, in áit eile san Eoraip
nó in áit eile ar domhan, anuraidh. Ba mhian leo a fháil amach freisin ar
fhan siad i lóistín féinfhreastail, in óstán nó an ndeachaigh siad ag campáil.
Déan amach dhá cheist a d’fhéadfaí a úsáid i gceistneoir chun an t-eolas
sin ar fad a fháil amach go héifeachtach.
14. Tá ar Niamh suirbhé a dhéanamh ar na poist pháirtaimseartha atá ag gach dalta
atá 16 bliana d’aois sa scoil chéanna léi.
Caithfidh sí an t-eolas seo thíos a fháil amach:
> Cén céatadán de na daltaí 16 bliana d’aois sin a bhfuil post páirtaimseartha acu?
> An bhfuil post páirtaimseartha ag líon níos mó cailíní ná buachaillí?
Déan amach dhá cheist a d’fhéadfadh sí a chur sa cheistneoir.
15. Tá ceistneoir á chur le chéile ag Ian.
Seo thíos dhá cheann de na ceisteanna atá sa cheistneoir sin.
(a) An gcaitheann tú a lán ama ag brabhsáil ar an idirlíon?
(b) Cén meáchan atá ionat?
(i) Cad atá mícheart leis an dá cheist sin?
(ii) Athscríobh gach ceann díobh mar ba chóir d’Ian iad a chur sa cheistneoir.
16. Bhí Grace agus Gemma ag déanamh suirbhé faoin mbia a itheann daoine i gceaintín
na scoile.
Bhí an cheist seo ag Grace: ’Cén bia a itheann tú?’
Dúirt Gemma nach raibh an cheist sin beacht go leor.
Scríobh síos dhá bhealach chun an cheist sin a fheabhsú.
17. Déan amach ceistneoir ina bhfuil sé cheist le fáil amach cén saghas laethanta
saoire a bhí ag daoine anuraidh.
18. Táthar ag déanamh suirbhé ar na nósanna léitheoireachta atá ag daoine.
Mol cúig cheist a d’fhéadfaí a chur sa cheistneoir.
Mír 4.5
Sampláil
Abair gur iarradh ort a fháil amach an bhfuil an abairt seo a leanas fíor:
’Tá buachaillí atá 14 bliana d’aois níos airde ná cailíní atá 14 bliana d’aois in Éirinn’,
an dtomhaiseann tú airde gach duine atá 14 bliana d’aois in Éirinn chun na torthaí do na
buachaillí agus do na cailíní a chur i gcomparáid lena chéile? Ní bheadh sé éasca a leithéid
a dhéanamh ós rud é go bhfuil thart ar 60,000 duine sa tír atá 14 bliana d’aois.
Sa staidéar seo, bainimid úsáid as an bhfocal daonra le cur síos a dhéanamh ar gach
buachaill agus cailín in Éirinn atá 14 bliana d’aois. Sa staitistic, is ionann an daonra agus
gach duine nó gach rud a d’fhéadfaí a chur san áireamh san fhiosrú nó sa staidéar.
91

Nuair a bhíonn an daonra rómhór don staidéar, ní bhailímid eolas nó sonraí ach ó chuid
éigin den daonra sin.
Sampla a thugtar air sin sa staitistic. Is é an cuspóir atá leis an sampla ná sonraí a bhailiú ó
chuid éigin den daonra agus úsáid a bhaint as chun teacht ar thátal faoin daonra ina iomláine.
Tá méid an tsampla tábhachtach. Má bhíonn sé róbheag tharlódh nach mbeadh na torthaí
iontaofa. Má bhíonn sé rómhór, tharlódh go nglacfadh sé an iomarca ama na sonraí a bhailiú
agus a anailísiú.
Laofacht
Tá an sampla a roghnaíonn tú don staidéar an-tábhachtach go deo. Mura roghnaítear an
sampla i gceart, d’fhéadfadh na torthaí a bheith laofa. Má bhíonn laofacht i gceist, beidh
na torthaí as alt agus ní thabharfaidh siad pictiúr soiléir duit ar an daonra ina iomláine.
D’fhéadfadh laofacht a bheith sa sampla ar na cúiseanna seo a leanas:
> Sampla a roghnú nach dtugann léiriú ceart ar an daonra
Sampla
Tá Cara ag déanamh suirbhé faoi na tuairimí atá ag daoine faoin gcearrbhachas.
Má sheasann sí lasmuigh de casino agus má chuireann sí ceisteanna ar dhaoine
agus iad ag dul isteach agus amach, beidh na torthaí laofa ós rud é go mbíonn
na daoine sin i mbun an chearrbhachais iad féin.
> Gan an daonra a shonrú mar is ceart
Sampla Ba mhian le príomhoide scoile a fháil amach cad a cheapann daltaí faoi éidí
scoile. Cuireann sí ceist ar 10 dalta atá i rang na hArdteistiméireachta agus
orthu sin amháin. D’fhéadfadh sé sin torthaí laofa a thabhairt ós rud é nach
bhfuil tuairimí san áireamh ó dhaltaí atá níos óige (ó bhliain 1 go bliain 5).
> Ní fhreagraíonn daoine an suirbhé
A lán daoine a fhaigheann ceistneoir tríd an bpost, ní thugann siad aon fhreagra orthu.
Na daoine sin a thugann freagra orthu, tharlódh nach léiriú cruinn iad ar an suirbhé atáthar
a dhéanamh.
> Freagraí nach bhfuil macánta
Sampla 1
Tá Conchúr ag déanamh suirbhé féachaint an maith le muintir an bhaile a bheith
ag féachaint ar spórt. Seasann sé lasmuigh de staidiam peile agus cuireann sé
ceisteanna ar dhaoine agus iad ag dul isteach le féachaint ar chluiche.
Scríobh dhá chúis nach sampla maith é sin.
(i) Daoine a théann ag féachaint ar chluichí peile, taitníonn spórt leo de ghnáth;
dá bhrí sin d’fhéadfadh an sampla a bheith laofa.
(ii) Is mó fir ná mná a théann ag féachaint ar chluichí peile de ghnáth, agus dá bhrí
sin d’fhéadfadh an suirbhé a bheith laofa ó thaobh inscne de.
92

Sampla randamach simplí
Bealach amháin chun an laofacht a sheachaint i suirbhé is ea sampla randamach simplí
(nó sampla randamach mar a thugtar air de ghnáth) a fháil.
I sampla randamach bíonn an seans céanna ag gach ball den daonra atá i gceist go roghnófaí
é nó í. Ní mór samplaí randamacha a roghnú go cúramach.
Ar na bealaí ina bhféadfaí sampla randamach simplí a dhéanamh tá uimhir a thabhairt do
gach duine sa daonra agus uimhreacha a roghnú go randamach don sampla ansin ar cheann
> na huimhreacha a chur isteach i hata agus an méid atá de dhíth don sampla a tharraingt
amach as
> úsáid a bhaint as tábla uimhreacha randamacha
> úsáid a bhaint as gineadóir uimhreacha randamacha ar áireamhán nó ar ríomhaire
Sampla 2
Tá club peile ann a bhfuil 80 ball aige agus tá cúig thicéad do chluiche idirnáisiúnta ag
an gclub. Déan cur síos ar dhá mhodh lena bhféadfaí 5 bhall a roghnú go randamach
chun na ticéid sin a bhronnadh orthu.
Modh 1
Modh 2
Tugtar uimhir do gach ball agus scríobhtar an uimhir sin ar phíosa páipéir.
Cuirtear na píosaí páipéir isteach i mbosca, déantar iad a mheascadh agus
roghnaítear cúig phíosa páipéir. Na baill sin a bhfuil ceann de na cúig
uimhir acu, is iadsan a fhaigheann na ticéid.
Seo thíos blúire de thábla ina bhfuil uimhreacha randamacha.
526338 127642 463919 394821 563271
265389 276153 584326 427534 307263
Ní mór uimhir dhá dhigit a thabhairt do gach duine den 80 ball.
Tosaigh le 11 agus críochnaigh le 90.
Ní mór dúinn cúig uimhir dhá dhigit a roghnú as na huimhreacha
randamacha thuas. Ní mór do na huimhreacha sin a bheith idir 11
agus 90 (agus an dá uimhir sin san áireamh). Má thosaímid ag tús
na chéad líne agus má roghnaímid uimhreacha dhá dhigit, faighimid:
52, 63, 38, 12, 76.
(Ná bac le huimhreacha atá níos mó ná 90 ná le huimhreacha a bhíonn
ann níos mó ná aon uair amháin.) Na baill sin a bhfuil ceann de na cúig
uimhir acu, is iadsan a fhaigheann na ticéid.
Bíonn áireamháin leictreonacha an-úsáideach chun uimhreacha randamacha
a thabhairt duit.
Más mian leat uimhreacha 3 dhigit a fháil, brúigh SHIFT , agus ansin brúigh Ran #.
Anois brúigh agus déan neamhaird den phointe deachúlach.
Más é 0.107 an uimhir atá ar an scáileán, scríobh síos 107.
Brúigh arís agus arís chun níos mó uimhreacha randamacha a fháil.
93

Cleachtadh 4.5
94
1. Teastaíonn ó Dhara a fháil amach conas a thaistealaíonn daoine chun na hoibre agus
ar ais gach lá. As measc na ngrúpaí seo a leanas, cén ceann acu is oiriúnaí chun
ceisteanna a chur orthu?
A: Gach ceathrú duine ag stad an bhus.
B: Scata daoine ag am lóin.
C: Daoine atá ag teacht isteach déanach chun na hoibre.
2. Ba mhian le Jennifer a fháil amach an dteastaíonn ó dhaoine go gcaithfeadh coirpigh
tréimhsí níos faide sa phríosún.
As measc na ngrúpaí seo a leanas, cén ceann acu is oiriúnaí chun ceisteanna a chur orthu?
A: Comhaltaí den Gharda Síochána.
B: Daoine atá ag cluiche peile.
C: Daoine a chaith tréimhse sa phríosún.
3. Tá Caitríona ag déanamh suirbhé féachaint cé chomh minic is a théann daoine chuig
an bpictiúrlann agus cén córas taistil a úsáideann siad.
Seasann sí lasmuigh de phictiúrlann agus cuireann sí ceisteanna ar dhaoine agus iad
ag dul isteach. Tabhair cúis a bhféadfadh an sampla seo a bheith laofa.
4. Ba mhian le hinnealtóir contae suirbhé tráchta a dhéanamh.
Ba mhaith leis a fháil amach a ghnóthaí is atá bóthar faoi leith.
Gach lá, comhaireann sé líon na gcarranna a théann thar phointe áirithe idir 2 p.m.
agus 3 p.m. Baineann sé úsáid as an eolas sin chun tuairisc a scríobh.
Mínigh cén fáth a bhféadfadh an sampla seo a bheith laofa.
5. Teastaíonn ó Amy a fháil amach a mhinice is a imríonn daoine spórt.
Téann sí chuig siopa spóirt áitiúil agus cuireann sí ceist ar dhaoine atá ann.
Mínigh cén fáth a bhféadfadh an sampla a bheith laofa.
6. Ba mhian le Trudy staidéar a dhéanamh ar nósanna siopadóireachta.
Cuireann sí agallamh ar 50 bean ag an ollmhargadh áitiúil maidin Máirt áirithe.
Tabhair trí chúis a bhféadfadh an sampla seo a bheith laofa.
7. Ba mhian le Máirín sampla 500 duine fásta a roghnú ón mbaile ina bhfuil cónaí uirthi.
Tá sí ag cuimhneamh ar na modhanna seo a leanas chun an sampla a roghnú:
Modh 1: Daoine a roghnú agus iad ag déanamh siopadóireachta i lár an bhaile
maidineacha Sathairn.
Modh 2: Ainmneacha a roghnú go randamach ó chlár na dtoghthóirí.
Modh 3: Daoine a bhfuil cónaí orthu ar na sráideanna in aice lena teach féin a roghnú.
Cén modh díobh sin is fearr a thabharfaidh sampla nach bhfuil laofa?
Tabhair cúis le do fhreagra.
8. Seo thíos blúire de thábla ina bhfuil uimhreacha randamacha.
Bain úsáid as na huimhreacha seo chun sampla randamach simplí de chúigear a
roghnú as daonra de 50 duine.
88715 59454 76218 59364 20641
57169 94386 27856 10856 35728

9. Taispeánann an chairt ar dheis inscne
agus airde (i méadair) do 30 leanbh.
(i) Ón daonra sin de 30 leanbh,
roghnaigh sampla randamach
de 5 leanbh. Bain úsáid as an
tábla uimhreacha randamacha
thíos chun é sin a dhéanamh.
55 18 62 23
10 83 12 22
55 23 52 11
27 19 29 43
93 86 46 14
13 1.27 B 28 0.98 C
Bain úsáid as an gcéad líne ar
dtús. Scríobh síos airde agus
14 1.24 B 29 1.06 B
inscne gach linbh sa sampla
roghnaithe sin.
15 1.42 C 30 1.25 C
(ii) Roghnaigh an dara sampla de 5 leanbh.
Bain úsáid as an tábla uimhreacha randamacha céanna, ach tosaigh leis an dara líne.
Scríobh síos airde agus inscne gach linbh sa sampla roghnaithe sin.
10. Úsáid an eochair Ran # ar an áireamhán chun sampla randamach eile de 5 leanbh a
roghnú ón gcairt atá i gceist 9 thuas.
Leanbh Airde Inscne Leanbh Airde Inscne
01 1.43 B 16 1.25 C
02 0.98 C 17 0.89 C
03 1.24 B 18 1.62 B
04 0.87 C 19 1.20 C
05 1.10 C 20 1.53 B
06 1.15 C 21 1.60 B
07 1.29 B 22 1.23 C
08 0.94 B 23 1.44 B
09 1.00 B 24 1.30 C
10 1.21 C 25 1.00 C
11 1.53 C 26 1.54 C
12 1.43 B 27 1.12 B
11. Ba mhian le Pól sampla 100 ball a roghnú ón gclub spóirt.
Scríobhann sé síos trí mhodh a d’fhéadfadh sé a úsáid chun an sampla a fháil.
(i) Roghnaíonn sé ainmneacha go randamach ó liosta iomlán na mball atá i mbunachar
sonraí an chlub.
(ii) Roghnaíonn sé na baill sin a imríonn ar fhoirne peile an chlub.
(iii) Cuireann sé ceisteanna ar dhaoine a úsáideann an club maidin Luain.
I gcás gach ceann de mhodhanna Phóil, luaigh an bhféadfadh an sampla a bheith
laofa nó nach bhféadfadh agus tabhair míniú le do fhreagra.
12. Déan cur síos ar thrí bhealach chun sampla randamach simplí de 10 dalta
a roghnú i scoil ina bhfuil 100 dalta.
13. Tá 1000 dalta sa scoil chéanna le hAiléin.
Roghnaíonn Ailéin sampla de 50 dalta go randamach agus iarrann sé orthu an suirbhé
a líonadh.
Faigheann sé amach go léann 15 dhalta sa sampla irisí grinn.
Déan meastachán de líon na ndaltaí sa scoil ar fad a léann irisí grinn.
95

Cuir triail ort féin 4
96
1. Luaigh an sonraí uimhriúla nó sonraí catagóireacha atá sna samplaí seo a leanas:
(i) Imlíne na gcrann i gcoill.
(ii) Na cineálacha torthaí a fhástar ar fheirm.
(iii) An fhoireann rugbaí is fearr le múinteoirí na scoile.
(iv) An fad slí idir an baile agus an scoil.
(v) An tír inar rugadh daoine.
(vi) An t-am a ghlacann sé ar dhaoine rás trastíre a rith.
(vii) Na brandaí taos fiacla atá ar díol in ollmhargaí.
2. Luaigh an bhfuil na sonraí seo a leanas scoite nó leanúnach.
(i) Líon na bhfuinneog i dtithe.
(ii) Líon na ndaltaí a chaitheann spéaclaí.
(iii) Meáchain na sútha talún i gciseán.
(iv) An t-am a ghlacann sé míreanna mearaí a chur le chéile.
(v) Líon na lasán i mbosca lasán.
(vi) Fad an ábhair a úsáideadh chun cuirtíní a dhéanamh.
3. Luaigh an sonraí príomhúla nó sonraí tánaisteacha atá sna samplaí seo a leanas:
(i) Comhaireamh ar líon na gcarranna salúin a théann thar gheata na scoile.
(ii) Féachaint ar thaifid le fáil amach cé mhéad duine a ghabh trí Aerfort na Sionainne
gach lá i mí an Mheithimh in aon bhliain amháin.
(iii) Glaoch a chur ar ollmhargaí agus ar shiopaí áitiúla le fáil amach cé mhéad a
íocann siad san uair le hoibrithe páirtaimseartha.
(iv) An t-idirlíon a sheiceáil féachaint cé mhéad bonn a bhuaigh gach tír
i gCluichí Oilimpeacha Vancouver.
(v) Féachaint ar bhróisiúir do thurasóirí le fáil amach cén mheánteocht a bhí
i gcathracha áirithe i lár an lae i rith mhí an Mheithimh.
4. Luaigh an sonraí aonathráideacha nó sonraí dé-athráideacha atá sna samplaí seo a leanas:
(i) méid na léinte a chaitheann fir
(ii) líon na n-uaireanta cloig staidéir sa tseachtain agus na marcanna a baineadh
amach i scrúdú Eolaíochta
(iii) an teocht i lár an lae agus líon na n-uachtar reoite a díoladh
(iv) an méid airgead póca sa tseachtain a fhaigheann daltaí do rangasa
(v) an meáchan atá i mbeart agus an méid a chosnódh sé é a chur sa phost.
5. I gcás gach ceann de na ceisteanna nó na
ráitis seo a leanas, cad é an bealach is fearr A ceistneoir nó bileog bhailithe sonraí
chun na sonraí a bhailiú? Roghnaigh. B turgnamh
C foinse eile
(i) Cén spórt ar fearr le daltaí i do rangsa féachaint air?
(ii) Cé chomh minic a théann daoine chuig an bpictiúrlann?
Cé na laethanta a théann siad ann?
(iii) Cén céatadán de thimpistí gluaisteáin in Éirinn a tharlaíonn idir 6 p.m. agus
meán oíche?
(iv) Teastaíonn ó Eóin a sheiceáil an bhfuil dísle laofa.

(v) Ba mhaith le Sorcha a fháil amach cé mhéad dalta sa rang atá in ann 100 méadar
a rith níos tapúla ná 15 shoicind.
(vi) Cé mhéad duine a bhfuil rún acu vóta a chaitheamh sa toghchán?
(vii) Líon na n-uaireanta a fhaigheann duine scór dúbailte i gcluiche saighead.
(viii) An méid a cheapann daoine faoin tseirbhís áitiúil bus?
(ix) Na háiteanna a dtéann daoine ar laethanta saoire an tsamhraidh.
(x) Cén céatadán de thimpistí a tharlaíonn de bharr tiománaithe a bhíonn ar meisce?
6. Scríobhann Pam ceistneoir le haghaidh suirbhé chun tuairim daoine a fháil maidir
le stop a chur le carranna dul isteach i lár an bhaile.
(i) Cén dá cheann de na pointí seo a leanas atá tábhachtach agus cinneadh á
dhéanamh aici faoi na daoine ar chóir di ceist a chur orthu?
A Ceist a chur ar dhaoine a bhfuil cuma chairdiúil orthu.
B Ceist a chur ar dhaoine ag amanna difriúla an lae.
C Ceist a chur ar roinnt fear agus ar roinnt ban.
D Ceist a chur ar na chéad daoine a chastar uirthi.
(ii) Cén dá cheann de na pointí seo a leanas atá tábhachtach agus an ceistneoir
á scríobh aici?
A Ceisteanna béasacha a scríobh.
B A oiread ceisteanna a scríobh agus is féidir léi cuimhneamh orthu.
C Ceisteanna a scríobh do thiománaithe gluaisteáin amháin.
D Ceisteanna a scríobh nach bhfuil freagraí fada ag teastáil lena bhfreagairt.
7. Tá Cáitín ag déanamh suirbhé ar na nósanna féachana teilifíse atá ag daoine.
Tá dhá cheist ar intinn aici don cheistneoir.
Ceist 1. An gceapann tú gur duine éirimiúil thú?
Ceist 2. Cén uair a fhéachann tú ar an teilifís?
(i) Tabhair cúis nach bhfuil gach ceann de na ceisteanna sin oiriúnach.
(ii) Athscríobh gach ceann de na ceisteanna sin le go bhféadfadh sí iad a chur sa cheistneoir.
8. Scríobh síos dhá cheist do cheistneoir a thástálfadh fírinne na ráiteas seo.
A: Is maith leis an gcuid is mó de dhaoine siopadóireacht a dhéanamh in ollmhargadh
a bhfuil sé éasca páirceáil ann.
B: Is mó am a chaitheann leanaí scoile ag féachaint ar an teilifís ná mar a chaitheann
a dtuismitheoirí.
9. Déantar an ráiteas seo ar chlár teilifíse
faoi chúrsaí sláinte.
(i) Tá 584 dalta i scoil. De réir an
chláir theilifíse sin, cé mhéad de
na daltaí sin nach ndéanann aon
aclaíocht lasmuigh den scoil?
“Triúr as gach ochtar daltaí,
ní dhéanann siad aon
aclaíocht lasmuigh den scoil.”
(ii) ’Téim chuig an ionad aclaíochta tar éis scoile dhá uair sa tseachtain,’ arsa Clár.
Teastaíonn uaithi suirbhé a dhéanamh féachaint cén aclaíocht a dhéanann
daltaí eile lasmuigh den scoil.
Scríobh síos dhá cheist ba chóir di a chur.
97

10. Déan cur síos ar an mbealach ina roghnófá sampla randamach simplí de 20
leanbh as bliainghrúpa ina bhfuil 100 dalta.
11. Ba mhian le múinteoir, atá freagrach as béilí scoile, tuairimí na ndaltaí a fháil
faoi na béilí atá ar fáil dóibh. Fanann sí in aice le daltaí agus iad ag fáil dinnéir
agus cuireann sí ceist ar na chéad 50 dalta a théann thairsti.
An dóigh leat go bhféadfadh an sampla a bheith laofa?
Tabhair míniú le do fhreagra.
12. Ba mhian le duine atá ag obair do RTÉ a fháil amach cé mhéad duine atá ag féachaint
ar shraith nua atá ar an teilifís faoi láthair. Cuireann sí ceist ar 200 duine agus
iad ag fágáil ollmhargaidh idir 10:00 agus 12:00 maidin Déardaoin.
(i) An dóigh leat go bhféadfadh an sampla a bheith laofa? Tabhair míniú le do fhreagra.
(ii) Mol bealach níos oiriúnaí chun sampla a roghnú.
13. Táthar ag déanamh suirbhé i scoil ina bhfuil an líon céanna buachaillí agus cailíní.
I gcás gach ceann de na modhanna seo a leanas, abair an sampla randamach nó
sampla laofa a bheadh sna torthaí.
Más dóigh leat go mbeadh na torthaí laofa, mínigh cén fáth.
A: Gach sloinne dar tús H a fháil ó liosta na scoile.
B: 10 mbuachaill a roghnú as gach bliainghrúpa.
C: Gach ainm a chur isteach i mbosca agus 50 ainm a bhaint amach gan féachaint
orthu.
D: Ceist a chur ar an líon céanna buachaillí agus cailíní ó gach bliainghrúpa.
E: Gach 20ú hainm a roghnú ó liosta na scoile atá leagtha amach de réir ord aibítre.
F: Gan ach ceist a chur ar 10 gcailín agus 10 mbuachaill i mbliain a cúig agus i
mbliain a sé.
98

Cineálacha sonraí
Sonraí a bhailíonn tú féin, tugtar sonraí príomhúla orthu.
Sonraí a fhaigheann tú ó thaifid atá ann cheana féin,
tugtar sonraí tánaisteacha orthu.
Tugtar sonraí uimhriúla ar na sonraí sin ar féidir iad a chomhaireamh nó a thomhas.
Luachanna faoi leith, cosúil le méid bróige nó líon na gcúl a scóráiltear i gcluiche,
a bhíonn i sonraí scoite.
Is féidir le luach ar bith i raon luachanna a bheith ag sonraí leanúnacha.
Is samplaí iad meáchan, teocht agus airde de shonraí leanúnacha.
Úsáidtear focail le cur síos a dhéanamh ar shonraí catagóireacha. Is samplaí iad
dathanna, an bia is fearr le daoine nó an tír inar rugadh daoine.
Is éard a bhíonn i sonraí aonathráideacha ná mír amháin eolais cosúil le
dath gruaige.
Is éard a bhíonn i sonraí dé-athráideacha ná dhá mhír eolais cosúil le hairde
leanaí agus a gcuid aoiseanna.
Ceistneoirí
Bailíonn suirbhé sonraí príomhúla.
Bealach amháin chun sonraí príomhúla a bhailiú is ea bileog bhailithe sonraí
nó ceistneoir a chur le chéile agus a líonadh isteach.
Agus ceisteanna á scríobh agat do cheistneoir:
Bí soiléir faoin méid ba mhaith leat a fháil amach.
Bíodh na ceisteanna chomh simplí agus is féidir.
Ná cuir ceisteanna a thugann ar dhaoine freagraí faoi leith a thabhairt.
Cuir boscaí ar fáil do na freagraí nuair is féidir.
Sampláil
Is ionann an daonra agus gach duine nó gach rud a d’fhéadfaí a chur san
áireamh sa suirbhé nó san fhiosrú.
Is éard atá i sampla ná cuid den daonra a roghnaítear ar bhealach áirithe le
go mbeadh sé ionadaíoch ar an daonra ina iomláine.
I sampla randamach simplí bíonn an seans céanna ag gach ball den daonra
go roghnófaí é nó í.
Mura bhfuil na sonraí a fhaightear ó shampla ionadaíoch mar is ceart ar an daonra
ina iomláine, d’fhéadfadh na torthaí a bheith laofa.
99

5
Uimhríocht
figiúirí bunúsacha céatadán brabúis (nó caillteanais) lamháltas dímheas
comhréir dhíreach earráid choibhneasta earráid chéatadánach cuimse íochtair
cuimse uachtair ús iolraithe creidmheas cánach muirear sóisialta uilíoch (MSU)
cáin chomhlán príomhshuim ráta coibhéiseach bliantúil foirm chaighdeánach
Mír 5.1
1. Codáin
Codáin --- deachúlacha --- figiúirí bunúsacha
Seo meabhrúcháin duit faoi roinnt den obair atá déanta agat cheana féin agus faoi na
téarmaí a d’úsáid tú i do chuid staidéir ar chodáin go dtí seo.
4
Codáin choibhéiseacha a thugtar ar 12
20 agus 3 5 .
12
20
3 5
Deirtear gurb é 3 5
an fhoirm is simplí den chodán
12
20 .
4
Chun codáin a chur in ord, is féidir linn iad a athscríobh mar chodáin choibhéiseacha a
bhfuil comhainmneoir acu.
Is féidir smaoineamh ar chodán ar nós 3 8
mar 3 8.
Bíonn áireamhán an-úsáideach nuair a bhímid ag athrú codán go deachúlacha.
3_
8 3 8 0.375
Sampla 1
(i) Scríobh 125 méadar ina chodán de 1 km.
(ii) Is é 360 3 7
de shuim airgid. Faigh an tsuim airgid.
(i) Tá 1000 méadar in 1 km.
125 m mar chodán de 1 km ____ 125
1000 1_ 8
(ii) 3_ 7 360
1_
7
120 … roinn ar 3
7_
7
120 7 840
is é 840 an tsuim airgid.
100

2. Deachúlacha
Tá an deachúil 2.347 2 __ 3
10 ___ 4
100 ____ 7
1000 .
Is féidir aon deachúil a athrú go codán ar an gcaoi seo:
0.35 ___ 35
100 __ 7
20
Is luachanna coibhéiseacha iad 0.35 agus 7
20 .
Ní bhíonn coibhéis dheachúlach chruinn ag gach codán.
Tá an codán 2 3 0.66666 …
Deachúil athfhillteach a thugtar air seo mar athfhilleann ceann de na digití arís is arís eile.
Scríobhtar an deachúil 0.6666.... mar 0.6 .
.
Ar an gcaoi chéanna, __ 2
11 0.181818 … 0.1. 8 . .
Tá an deachúil 6.4837 6.484, ceart go 3 ionad de dheachúlacha.
6.48, ceart go 2 ionad de dheachúlacha.
6.5, ceart go 1 ionad de dheachúlacha.
3. Figiúirí bunúsacha
Más é 34 176 an tinreamh ag cluiche peile, d’fhéadfaí 34 200 nó 34000 a úsáid chun cur
síos air.
Tá 34 200 scríofa ceart go 3 fhigiúr bhunúsacha.
Tá 34 000 scríofa ceart go 2 fhigiúr bhunúsacha.
Nuair a shloinnimid slánuimhir ceart go hoiread áirithe d’fhigiúirí bunúsacha, ní
chomhairimid na náideanna i ndeireadh na huimhreach, ach caithfear iad a chur isteach
sa toradh deiridh. Tá gach náid eile bunúsach.
Mar sin tá 52 764 52 760 ceart go 4 fhigiúr bhunúsacha
52 800 ceart go 3 fhigiúr bhunúsacha
53 000 ceart go 2 fhigiúr bhunúsacha
50 000 ceart go 1 fhigiúr bunúsach.
Tá an uimhir 70 425 70 400 ceart go 3 fhigiúr bhunúsacha.
Tabhair faoi deara go bhfuil an náid idir 7 agus 4 bunúsach, ach níl an dá náid ag an
deireadh bunúsach.
Má tá uimhir níos lú ná 1, níl na náideanna díreach i ndiaidh an phointe dheachúlaigh
bunúsach.
Mar sin (i) 0.07406 0.0741 ceart go 3 fhigiúr bhunúsacha
(ii) 0.00892 0.0089 ceart go 2 fhigiúr bhunúsacha.
101

Cleachtadh 5.1
1. Scríobh gach ceann díobh seo mar chodán san fhoirm is simplí de:
(i) 12 as 20 (ii) 8 as 30 (iii) 12 as 16 (iv) 25 as 40
2. Suimigh gach péire codán agus simpligh do fhreagra.
(i)
1_
4 3_ 8 (ii) __ 7
12
5_ 8 (iii) 2_
7
1_ 6 (iv) 7_
9
5_ 6
3. Oibrigh gach ceann díobh seo amach:
(i) 3 3_ 4 1 1_ 2 (ii) 2 2_ 3 1 1_ 4 (iii) 2 4_ 5 1 1_ 2 (iv) 5 1_ 2 __ 7
4. Oibrigh iad seo amach:
(i) 2 4_ 5 1 1_ 2 (ii) 4 5_ 6 2 2_ 3 (iii) 2 2_ 3 3_ 5 (iv) 4 3_ 8 2 1_ 6
5. Oibrigh iad seo amach:
(i)
2_
3 de 15 (ii) 3_
4
de 28 (iii)
10
3_
5 de 65 (iv) 7_
8
de 56
6. Oibrigh na hiolrúcháin seo amach:
(i) 2 1_ 4 2_ 3 (ii) 2 1_ 2 1 5_ 7 (iii) 1 2_ 3 __ 10
9 (iv) 3 3_ 4 3_ 8
7. Scríobh gach ceann díobh seo mar chodán san
fhoirm is simplí de.
(i) codán an chiorcail a bhfuil dath dearg air
(ii) an codán a bhfuil dath gorm air
(iii) an codán a bhfuil dath uaine air
(iv) an codán a bhfuil dath buí air.
8. Athraigh gach ceann de na codáin seo go deachúil:
(i)
1_
8 (ii) 5_
8
(iii)
7_
8 (iv) __ 1
16
(v)
9. Scríobh na liostaí seo in ord, ag tosú leis an gceann is lú:
(i)
5_
8 , 0.6, __ 13
3
20
, 0.58 (ii) __
9
10
, 0.35, __
20
, 0.4
150°
10. Ritheann Deirdre agus Éabha rás. Nuair atá 3 5 den chúrsa rite ag Deirdre, tá 2 3
de rite
ag Éabha agus tá sí 50 méadar chun tosaigh ar Dheirdre.
(i) Cén fad é cúrsa an ráis?
(ii) Cé mhéad méadar atá fós le rith ag Éabha?
60°
__ 7
16
50°
11. Scríobh 2.574 ceart go
(i) 2 ionad de dheachúlacha
(ii) 1 ionad de dheachúlacha.
102
12. Úsáid d’áireamhán chun gach ceann díobh seo a aimsiú, ceart go 1 ionad de dheachúlacha:
(i) ___________
128.4 46.9
(ii) __________
18.2 171
(iii) __________
0.48 536
3.5
384.6
28.2
13. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas, ceart go 1 ionad de dheachúlacha.
(i)
1__ ___ 3
(ii) ____ 6
9 14
17.4 ___ 1
(iii) ___ 6
15
24 ___ 0.4
3.8

14. Cé mhéad figiúr bunúsach atá i ngach ceann de na huimhreacha seo?
(i) 346 (ii) 1500 (iii) 780 (iv) 6080 (v) 150 900
(vi) 1.27 (vii) 0.04 (viii) 0.607 (ix) 10.04 (x) 106 000
15. Scríobh gach ceann de na huimhreacha seo ceart go 2 fhigiúr bhunúsacha:
(i) 3184 (ii) 648 (iii) 2916 (iv) 28 936 (v) 40 673
16. Scríobh gach ceann de na huimhreacha seo ceart go 3 fhigiúr bhunúsacha:
(i) 7516 (ii) 293.8 (iii) 14.27 (iv) 0.6274 (v) 1.0739
17. Tá umar ola 7 8
lán. Tá 896 lítear ann.
Cé mhéad lítear a choimeádann sé nuair a bhíonn sé lán?
18. I gClub na nÓg, is cailíní iad 3 7
de na baill.
Má tá 84 buachaill sa chlub, cé mhéad cailín atá ann?
19. Déan meastachán ar ___________
4.89 0.087
trí gach uimhir a shlánú ceart go 1 fhigiúr
0.0053
bunúsach.
Mír 5.2 Cóimheas agus comhréir
1. Cóimheas
Úsáidimid cóimheasa chun léiriú a thabhairt ar an gcaoi a roinntear rudaí.
Tá an cóimheas 12 : 8 __ 12
4 : 8_ 4
3 : 2 … roinn gach téarma ar 4
Is é 3 : 2 an fhoirm is simplí den chóimheas.
Go hiondúil, sloinnimid cóimheas i slánuimhreacha.
Is féidir an cóimheas 1 3 : 5 6
1_ 3 : 5_ 6 6_ 3 : ____ 5 6
6 2 : 5
Sampla 1
Roinntear suim airgid sa chóimheas 1: 3: 5.
Más é 250 an sciar is lú, faigh an tsuim airgid.
a shloinneadh mar shlánuimhreacha ach gach téarma a iolrú faoi 6.
Má roinntear suim airgid sa chóimheas 1: 3: 5, is iad seo na sciartha:
1_
9 , 3_ 9 , 5_ 9
… naoi sciar san iomlán
⇒ 1_ 9 250
⇒ 9_ 9
250 9 2250
is é 2250 an tsuim airgid.
103

2. Comhréir
Cuireann cóimheas sciar amháin i gcomparáid le sciar eile; cuireann comhréir sciar
amháin i gcomparáid leis an méid iomlán.
Má tá triúr cúl báire ar phainéal ar a bhfuil 24 peileadóir, is é 3
24 1 8
comhréir na gcúl
báire ar an bpainéal.
Má chosnaíonn 1 lítear amháin peitril 1.50, cosnóidh 2 lítear 3.00 agus cosnóidh
5 lítear 7.50.
Tá costas lítir amháin, 2 lítear agus 5 lítear i gcomhréir dhíreach.
Sampla 2
Mhéadaigh líon na leathanach in irisleabhar ó 64 go 80 leathanach.
Mhéadaigh an praghas bunaidh (4.40) sa chóimheas céanna.
Cén praghas nua atá ar an irisleabhar?
(Sa cheist seo, táimid an lorg an phraghais mar sin, coimeádaimid
an praghas chun deiridh.)
Cosnaíonn 64 leathanach 4.40
Cosnaíonn 1 leathanach ____ 4.40
64
Cosnaíonn 80 leathanach ____ 4.40
64 ___ 80
1 5.50
Mar sin, is é 5.50 costas 80 leathanach.
Cleachtadh 5.2
104
1. Roinntear 80 idir bheirt sa chóimheas 7 : 3.
Cé mhéad an duine a fhaigheann siad?
2. Roinntear 572 sa chóimheas 2 : 3 : 6. Faigh an sciar is lú.
3. Roinntear duaischiste idir A, B agus C sa chóimheas 4 : 3 : 2 faoi seach.
Más é 1224 sciar C, cad é an duaischiste iomlán?
4. 7 : 2 is ea cóimheas na gcailíní leis na buachaillí i scoil.
Má tá 735 cailín sa scoil, cé mhéad buachaill atá sa scoil?
5. Tá copar, sinc agus stán i gcóimhiotal sa chóimheas 1 : 3 : 5.
Má tá 45g stáin sa chóimhiotal, faigh an mhais iomlán.
6. Sloinn mar chóimheas i slánuimhreacha: 1_ 2 : 1_ 4 : __ 1
12 .
7. Roinneadh 1575 idir thriúr sa chóimheas etc.
Ríomh an sciar is lú.

8. Is é 200 cm imlíne dronuilleoige.
Má tá fad : leithead 7 : 3, faigh achar na dronuilleoige.
9. Fostaíonn monarcha 360 oibrí neamhoilte, oibrí oilte amháin do gach 5 oibrí
neamhoilte agus saoiste amháin do gach 12 oibrí oilte.
Ríomh líon na ndaoine atá fostaithe sa mhonarcha.
10. Chun prás a dhéanamh, cuirtear copar agus sinc le chéile sa chóimheas 5 : 3
de réir meáchain.
(i) Má tá 6 kg since ann, oibrigh amach meáchan an chopair.
(ii) Má tá 25 kg copair ann, oibrigh amach meáchan na since.
11. I scoil, is é 1 : 2 5
cóimheas líon na ndaltaí le líon na ríomhairí.
Má tá 100 ríomhaire sa scoil, oibrigh amach líon na ndaltaí.
12. Déanann Eilís samhail de theach. Úsáideann sí scála 1 : 20. Is é 10 méadar airde
an fhíorthí.
(i) Oibrigh amach airde na samhla.
Is é 80 cm leithead na samhla.
(ii) Oibrigh amach leithead an fhíorthí.
13. Déantar léarscáil ar scála 1 : 20 000.
(i) Faigh an fad iarbhír, i gciliméadair, idir dhá phointe atá 15 cm ó chéile ar an
léarscáil.
(ii) Ar an léarscáil, faigh fad bóthair atá 3.6 km.
14. Is é 1 : 25 000 scála léarscáile. Is é 3.2 mm fad balla ar an léarscáil.
Faigh an fad iarbhír i méadair.
15. Sa ghrianghraf, is é 5 cm airde Sheáin
agus 4 cm airde a dheirféar.
Is é 1.5 m airde iarbhír Sheáin.
Cad é airde iarbhír a dheirféar?
16. Méadaíodh líon na leathanach i ngreannán ó 48 go 80 leathanach. Má méadaíodh an
praghas bunaidh (6.00) sa chóimheas céanna, cén praghas nua a bheidh ar an ngreannán?
17. Rinne comhlacht peitril tástáil ar ídiú peitril agus fuair siad amach gurbh é 3.5 : 4 an
cóimheas geimhreadh le samhradh don charr céanna ar an raon tástála céanna.
Ba é 8.4 km in aghaidh an lítir an ráta ídithe peitril sa gheimhreadh.
Faigh an ráta ídithe peitril sa samhradh.
18. I Scoil Naomh Marcas, is é 17.2 : 1 cóimheas na ndaltaí leis na múinteoirí.
(i) Athscríobh an cóimheas sin san fhoirm m : n, áit ar slánuimhreacha iad m agus
n araon.
(ii) Cad é an líon daltaí is lú a d’fhéadfadh a bheith sa scoil?
(iii) Más 1456 duine ar fad, idir dhaltaí agus mhúinteoirí, atá sa scoil, cé mhéad múinteoir
atá ann?
105

19. Léiríonn an tábla thall an gaol idir roinnt aonaid tomhais
mhéadracha agus na haonaid impiriúla chomhfhreagracha.
Úsáid an tábla chun na coinbhéartuithe seo a dhéanamh:
Coinbhéartaigh ...
(i) 50 míle go ciliméadair.
Aonad méadrach Aonad impiriúil
(ii) 160 km go mílte.
(iii) 900 cm go troithe.
8 km 5 mhíle
(iv) 12 throigh go ceintiméadair.
(v) 40 kg go puint.
30 cm
1 kg
1 troigh
2.2 punt
(vi) 88 punt go cileagraim.
1 lítear () 1.75 pionta
(vii) 40 lítear go piontaí.
(viii) 84 pionta go lítir.
4.5 lítear 1 ghalún
20. Cé mhéad méadar sa bhreis atá 23.5 km ar 15 mhíle?
Úsáid an tábla i gCeist 19.
21. Tá meascán de dhá shórt éagsúla tae, sórt A agus sórt B, sa tae a dhíoltar i gceaintín.
Cosnaíonn sórt A 12.15 an kg. Cosnaíonn sórt B 12.90 an kg.
Cosnaíonn an meascán 12.65 an kg.
Má tá 7 kg de shórt A sa mheascán, cé mhéad cileagram de shórt B atá ann?
Mír 5.3
Céatadáin
1. Athbhreithniú: céatadáin agus codáin
Is é is brí le faoin gcéad ná in aghaidh an
chéid nó as an gcéad. Is é % an comhartha
a chuireann faoin gcéad in iúl. Dá bhrí sin,
is é a chiallaíonn 10% ná 10 as an gcéad.
Ar an gcaoi chéanna, 20% ___ 20
100 1_ 5
agus 60% ___ 60
100 __ 6
10 3_ 5 .
Chun céatadán a thiontú ina
chodán, cuir an céatadán os
cionn 100 agus simpligh é.
Tá an codán 4_ 5 4_ 5 ___ 100
1 %
___ 400
5 80%
Chun codán a thiontú ina chéatadán, iolraigh
an codán faoi 100 agus cuir an tsiombail % leis.
2. Céatadáin agus deachúlacha
Scrúdaigh iad seo a leanas go bhfeicfidh tú an dlúthghaol idir céatadáin agus deachúlacha:
(i) 0.23 ___ 23
38
23% (ii) 38% ___ 0.38 (iii) 0.04 4%
100
(iv) 54% 0.54 (v) 8% 0.08 (vi) 3 1_ 2 % 0.035
100
Riail
(i) Chun deachúil a thiontú ina céatadán, iolraigh an deachúil faoi 100 agus cuir
an tsiombail % léi.
(ii) Chun céatadán a thiontú ina dheachúil, roinn an céatadán ar 100 agus bain
amach an tsiombail %.
106

3. Céatadán cainníochta a fháil
Chun 35% de 380 a fháil, tiontaigh 35% ina dheachúil, i.e. 0.35, agus ansin iolraigh
380 faoi 0.35. Mar sin 35% de 380 380 0.35 133.
Ar an gcaoi chéanna, chun 450 a mhéadú 5%, teastaíonn 105% de 450 uainn.
105% de 450 450 1.05 472.5
Sampla 1
(i) Is é 24.40 8% de shuim airgid. Faigh an tsuim airgid.
(ii) Tá 20% CBL san áireamh i mbille 57.60.
Faigh méid an bhille sular cuireadh an CBL leis.
(i) 8% 24.40
1% _____ 24.40 3.05
8
100% 3.05 100 305
(ii) Seasann 57.60 do 120% den bhille... cuireadh 20% CBL leis
120% 57.60
1% _____ 57.60
120 0.48
100% 0.48 100 48
4. Céatadán brabúis agus caillteanais
Nuair a bhímid ag plé le céatadáin brabúis agus caillteanais, bunaímid an céatadán seo
ar an mbunphraghas, ach amháin má deirtear a mhalairt.
Céatadán brabúis
Brabús
Bunphraghas 100
1 ; Céatadán caillteanais Caillteanas
Bunphraghas 100
1
Sampla 2
Dá ndíolfadh sé carr ar 14 400, chaillfeadh díoltóir 4% ar an luach ceannaigh.
(i) Cad a d’íoc sé ar an gcarr?
(ii) Faigh a chéatadán brabúis dá ndíolfadh sé an carr ar 17 250.
(i) Seasann 14 400 do 96% de luach ceannaigh an chairr.
96% 14 400
1% 150
100% 15 000, i.e. an luach ceannaigh 15 000.
(ii) Brabús 17 250 15 000 2250
Céatadán brabúis ______ 2250
15 000 ____ 100
1 15%
107

Cleachtadh 5.3
108
1. Scríobh gach ceann díobh seo ina chéatadán:
(i) 0.25 (ii) 0.34 (iii)
1_
4 (iv) 2_
5
(v)
2. Scríobh gach ceann de na céatadáin seo ina dheachúil:
(i) 75% (ii) 50% (iii) 64% (iv) 6% (v) 2 1_ 2 %
3. Oibrigh amach iad seo:
(i) 15% de 75 (ii) 80% de 70 (iii) 45% de 120
(iv) 9% de 350 (v) 26% de 850 (vi) 29% de 600 cm
4. Faigh (i) 2 1_ 2 % de 300 (ii) 7 1_ 2
% de 380 (iii) 120% de 400
5. Scríobh ina gcéatadáin iad seo:
(i) 20 as 80 (ii) 30 as 200 (iii) 2 1_ 2
as 10
6. (i) Scríobh 510 marc ina chéatadán de 600 marc.
(ii) Scríobh 50 ml ina chéatadán de 1 lítear.
7. Más é 297.5 35% d’uimhir, faigh an uimhir.
8. Oibrigh amach gach ceann díobh seo:
(i) 30% de 150 (ii) 80% de 140 (iii) 35% de 140
(iv) 32% de 180 (v) 16% de 200 kg (vi) 69% de 88
9. (i) Méadaigh 12 de 50% (ii) Méadaigh 140 de 15%
(iii) Laghdaigh 75 de 20% (iv) Laghdaigh 250 de 3%
(v) Méadaigh 120 de 12 1 2
% (vi) Laghdaigh 45 de 5%
10. Laghdaíodh praghas ball troscáin 15% i reic.
Más é 1360 an praghas reaca, cén praghas a bhí air roimh an reic?
11. Laghdaíodh na praghsanna marcáilte 30% i reic.
(i) Más é 350 an praghas marcáilte, ríomh praghas reaca seaicéid.
(ii) Más é 168 an praghas reaca ar ghúna, cad é an praghas marcáilte?
12. 780 an praghas atá ar theilifíseán.
Má tá 20% CBL san áireamh sa phraghas seo, faigh an praghas sular cuireadh an CBL leis.
13. Nuair a dhíolann siopa seaicéad ar 416, déanann sé brabús 30%.
(i) Faigh bunphraghas an tseaicéid.
(ii) Má laghdaítear praghas an tseaicéid 10% i reic, ríomh an céatadán brabúis a
dhéanann an siopa anois ar an mbunphraghas.
__ 3
20

14. Gearrann gníomhaire eastáit táillí 0.75% ar phraghas díola tí.
(i) Ríomh a tháillí má dhíoltar an teach ar 450 000 agus má chuitear leis sin
CBL @ 20% de na táillí.
(ii) Faigh praghas díola tí más 2775 atá sna táillí sula gcuirtear CBL leo.
15. Mhéadaigh daonra baile ó 145 000 go 205 000 thar thréimhse cúig bliana.
Cén céatadán méadaithe é seo, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire?
16. Déantar brabús 10% ar an mbunphraghas nuair a dhíoltar earra ar 176.
Nuair a mhéadaítear an praghas díola go 192,
ríomh an céatadán brabúis ar an mbunphraghas.
17. Ceannaíonn grósaeir 30 bosca sútha talún ar 5.25 an ceann. Díolann sé 28 ceann
díobh ar bhrabús 30%. Mura féidir an dá bhosca eile a dhíol, cén céatadán brabúis a
dhéanann sé ar an idirbheart?
18. Déanann siopa brabús 25% nuair a dhíolann siad ríomhaire glúine ar 1150.
Chun brabús 20% a dhéanamh, cén praghas ba chóir a bheith ar an ríomhaire?
19. (i) Scríobh 2 3
de 0.96 ina chéatadán de 5.12.
(ii) Ó thaobh meáchain de, is salann é 2 ½% den sáile.
Cén meáchan sáile a thabharfadh 100 kg salainn?
20. Faigheann díoltóir bád coimisiún ar an bpraghas ar a ndíolann sé bád. Ríomhtar an
coimisiún ar ráta 5% ar an gcéad 10 000 den phraghas díola agus 3% den fhuílleach.
(i) Ríomh an coimisiún a fhaigheann sé ar bhád a dhíolann sé ar 20 000.
(ii) Faigh praghas díola báid má fhaigheann sé coimisiún 740 air.
21. Tá 2 9
de na cailíní i scoil áirithe níos mó ná 16 bliana d’aois.
Tá 675 dalta sa scoil. Is cailíní iad 56% díobh.
Cé mhéad cailín sa scoil atá níos mó ná 16 bliana d’aois?
22. Tá costas 484 ar chonsól cluichí. Tá CBL 21% san áireamh sa phraghas seo.
Tairgeann Siopa A lacáiste 22 1 2
% ar an bpraghas díola.
Deir Siopa B nach ngearrfaidh siad costas an CBL.
Cé acu siopa a mbeidh an praghas is ísle aige? Cé mhéad níos ísle a bheidh sé?
23. Cosnaíonn carr, ina bhfuil inneall peitril, 28 600. Cosnaíonn an sórt céanna cairr,
ach go bhfuil inneall díosail ann, 31 500.
Tugtar eolas ar chostais reatha an dá charr sa tábla thíos:
Costas breosla in aghaidh an lítir
Líon na km/lítear
Carr peitril 1.45 7
Carr díosail 1.36 9
Más dímheas 20% a thagann ar an dá charr sa chéad bhliain, ríomh an difríocht idir na
costais reatha sa chéad bhliain (agus an dímheas san áireamh), má rinne an dá thiománaí
18 900 km.
109

Mír 5.4
Earráid chéatadánach
Má thomhaiseann suirbhéir talún fad goirt mhóir, b’fhéidir gur beag dochar a dhéanfaidh
earráid 1 m. Ach má dhéanann innealtóir láithreáin earráid 1 m i bhfad balla dúshraithe tí,
seans go millfidh an earráid iomlán a chuid oibre. Mar sin, caithfimid féachaint ar earráid
i gcoibhneas an fhíorluacha nó an fhíorthomhais.
An earráid choibhneasta a thugtar ar an earráid i gcoibhneas an fhíorluacha.
Glactar leis i gcónaí go bhfuil luach na ‘hearráide’ dearfach.
Má iolraítear an earráid choibhneasta faoi 100, faighimid an earráid chéatadánach.
Cuimhnigh
Earráid Choibhneasta
Earráid
Fíorluach
Earráid Chéatadánach Earráid
Fíorluach 100
1 %
Sampla 1
Chun luach 121 46 37 26 a ríomh, rinne Roibeárd garmheastachán ar an
bhfreagra shlánaigh sé gach uimhir go dtí an 10 is gaire agus shuimigh sé na
freagraí. Ríomh a earráid chéatadánach.
Garmheastachán 120 50 40 30 240
Fíorluach 121 46 37 26 230
Earráid 240 230 10
Earráid chéatadánach Earráid
Fíorluach 100
1 %
____ 10
230 ____ 100
1 4.347%
4.3%
Lamháltas
Nuair a chuireann tú stopallán i ndoirteal, glacann tú leis go n-oireann
sé. Caithfear stopalláin a dhéanamh go cruinn sa chaoi go n-oirfidh
siad. Ní gá go mbeadh an tomhas díreach ceart ar an stopallán.
Ceadaítear earráid bheag. Lamháltas a thugtar air sin.
Is dócha go n-oirfeadh stopallán dá mbeadh sé 0.5mm ró-bheag. Ní oirfeadh sé dá mbeadh
sé 2 cm ró-bheag.
Tomhaiseann Ciara leithead bosca agus 24 cm a fhaigheann sí.
Tá an tomhas slánaithe aici go dtí an cm is gaire.
110

D’fhéadfadh an tomhas bheith in aon áit idir 23.5 cm agus 24.5 cm.
An chuimse íochtair a thugtar ar 23.5 cm; an chuimse uachtair a thugtar ar 24.5 cm.
Mar sin, d’fhéadfadh an fíorluach a bheith in aon áit sa raon idir 0.5 cm faoi bhun an luacha
mharcáilte agus 0.5 cm os a chionn.
0.5 cm 0.5 cm
23.5 cm
Cuimse íochtair
24 cm
24.5 cm
Cuimse uachtair
Cuimhnigh
Is iad an chuimse íochtair agus an
chuimse uachtair íosluach agus
uasluach tomhais nó áirimh.
Sampla 2
Tomhaistear fad agus leithead na dronuilleoige
seo go dtí an cm is gaire.
Faigh (i) uasmhéid imlíne na dronuilleoige
(ii) íosmhéid imlíne na dronuilleoige.
28 cm
16 cm
(i) Chun uasmhéid na himlíne a fháil, úsáideann tú na cuimsí uachtair.
Is iad 28.5 cm agus 16.5 cm na cuimsí uachtair.
Uasmhéid na himlíne 2 (fad leithead)
2 (28.5 16.5) cm
90 cm
(ii) Íosmhéid na himlíne 2 (27.5 15.5) cm
86 cm
Cleachtadh 5.4
1. Rinneadh meastachán ar fhad barra miotail agus 50 cm a fuarthas. Más é 46 cm an
fíorfhad, ríomh an earráid chéatadánach, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.
2. 600 an meastachán a thug garáiste chun carr a dheisiú. Más é 650 an costas
deiridh, ríomh an earráid chéatadánach, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.
3. Measadh go raibh 8000 duine i láthair ag cluiche peile.
Más 7640 duine a bhí i láthair i ndáiríre, ríomh an earráid chéatadánach, ceart go 1
ionad amháin de dheachúlacha.
111

4. Tugadh 6.5 mar fhreagra ar 3.58 2.47.
Cad í an earráid chéatadánach, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha?
5. D’úsáid duine 300 mar mheastachán ar ___________
89.37 3.05
.
0.92
Faigh an earráid chéatadánach, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.
6. Cosnaíonn ceithre earra in ollmhargadh 3.70, 5.45, 7.40 agus 12.10.
(i) Measann Barra an costas iomlán trí neamhaird a dhéanamh de mhéid na
gcentanna i gcostas gach earra. Ríomh an earráid chéatadánach ina
mheastachán,ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.
(ii) Measann Áine an costas iomlán trí chostas gach earra a shlánú go dtí an euro is gaire.
Ríomh an earráid chéatadánach ina meastachán, ceart go 1 ionad amháin de
dheachúlacha.
7. Meastar gurb é 150 cm 2 achar ciorcail a bhfuil trastomhas 14 cm aige.
Ag glacadh leis go bhfuil __ 22
7
, faigh fíorluach achar an chiorcail. Uaidh sin, faigh
an earráid chéatadánach sa mheastachán, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.
8. Is féidir teocht a thomhas mar °Fahrenheit (F) nó °Celsius (C).
Seo é an gaol beacht idir F agus C:
F 9_ 5 C 32
Tugtar garghaol idir F agus C sa riail seo:
‘Chun F a fháil, suimigh 15 le C agus dúbail do fhreagra.’
(i) Faigh luach F nuair atá C 20. Bain úsáid as foirmle an ghaoil bheacht.
(ii) Má úsáidtear an garghaol nuair atá C 20, ríomh an earráid chéatadánach ceart
go 1 ionad amháin de dheachúlacha.
9. Thomhais Gearóid fad cúirt chispheile mar 28 m agus leithead na cúirte mar 15 m, an
dá cheann acu ceart go dtí an méadar is gaire.
(i) Scríobh síos uasfhad féideartha na cúirte.
(ii) Scríobh síos íosfhad féideartha na cúirte.
(iii) Ríomh uasachar féideartha na cúirte.
10. Thomhais Risteard fad agus leithead a chúlghairdín, ceart go dtí an méadar is gaire.
27 m an fad a thomhais sé agus 16 m an leithead.
(i) Scríobh síos uas-imlíne fhéideartha an ghairdín.
(ii) Scríobh síos íosachar féideartha an ghairdín.
11. Piocann Dáithí sútha talún ar ráta 2.8 kg / nóiméad, ceart go 1 ionad amháin de
dheachúlacha.
(i) Scríobh síos an t-uasmheáchan féideartha a phiocann Dáithí gach nóiméad.
(ii) Faigh an t-íosmheáchan féideartha a phiocann Dáithí in uair an chloig amháin.
(iii) Lá amháin, d’oibrigh Dáithí ar feadh 3 huaire an chloig agus 15 nóiméad.
Faigh an t-uasmheáchan féideartha a phiocfadh Dáithí sa tréimhse ama sin.
112

12. Tomhaistear fad, leithead agus airde an bhosca
seo ceart go dtí an ceintiméadar is gaire.
(i) Scríobh síos uasfhad féideartha an bhosca.
(ii) Ríomh uastoirt fhéideartha an bhosca.
(iii) Ríomh an difríocht idir uastoirt fhéideartha agus
5 cm
íostoirt fhéideartha an bhosca. Bíodh do fhreagra
ceart go dtí an cm 3 is gaire.
(iv) Is é 450 cm 3 toirt cheart an bhosca.
12 cm
7 cm
Faigh an earráid chéatadánach i dtoirt an bhosca má ghlactar leis an uastoirt
fhéideartha.
Bíodh do fhreagra ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.
Mír 5.5
Idirbhearta airgeadra
Má thaistealaímid go tír nach bhfuil i limistéar an euro, go hiondúil athróimid ár gcuid euro
go hairgeadra na tíre sin.
Má fheiceann tú 1 $1.35 ar fhógra i mbanc, conas a athróidh tú $100 go euro?
Má theastaíonn euro uainn sa fhreagra, cuirfimid euro ar thaobh na láimhe deise den
‘chothromóid’.
Má tá 1 $1.35, ansin
$1.35 1 … aisiompaigh an t-ord
$1 ____ 1
1.35
$100 ____ 1
1.35 ____ 100
1 74.07
$100 74.07
Sampla 1
D’athraigh cuairteoir ó Mheiriceá $2000 go euro nuair a bhí ráta malairte 1 $1.36
i bhfeidhm. Teastaíonn euro uainn sa fhreagra; mar sin, cuirimid euro ar thaobh na
láimhe deise den chothromóid.
Teastaíonn euro uainn sa fhreagra; mar sin, cuirimid euro ar thaobh na láimhe
deise den chothromóid.
1 $1.36
⇒ $1.36 1
$1 ____ 1
1.36
$2000 ____ 1
1.36 _____ 2000
1
$2000 1470.59
Fuair an cuairteoir 1444.20. an táille 1470.59 1444.20 26.39
Is é 26.39 an táille.
Cuir an t-airgeadra a theastaíonn
uait ar thaobh na
láimhe deise den chothromóid.
113

Cleachtadh 5.5
114
1. Má tá 1 $1.32,
(i) cad é comhluach $1800 in euro?
(ii) cad é comhluach 2800 i ndollair?
2. Ar chuairt go hÉirinn, d’athraigh turasóir $3000 go euro nuair a bhí ráta malairte
1 $1.36 i bhfeidhm.
Cé mhéad, in euro, a fuair sí má ghearr an biúró malartaithe coimisiún 2 1 2 %?
3. Má tá 1 £0.85 steirling,
(i) cé mhéad euro a gheofá ar £1500?
(ii) cé mhéad i steirling a gheofá ar 2000?
4. Sa cheist seo, US$ Dollar SAM, ¥ Yen na Seapáine agus CHF Franc na hEilvéise,
agus 1 US$1.4 ¥112 CHF1.32.
(i) Cé mhéad US$ a gheofá ar 1200?
(ii) Cé mhéad yen a gheofá ar 2400?
(iii) Cé mhéad euro a gheofá ar CHF4500?
(iv) Cé mhéad euro a gheofá ar US$1350?
(v) Cé mhéad dollar SAM a gheofá ar ¥36 000?
(vi) Cé mhéad yen a gheofá ar CHF7500?
5. D’íoc turasóir Eilvéiseach 4600 franc le gníomhaire taistil ar shaoire in Éirinn.
Chaith an gníomhaire 2860 ar eagrú na saoire.
Ríomh ina fhrancanna Eilvéiseacha an brabús a rinne an gníomhaire má tá 1 CHF1.4.
6. Nuair a bhí ráta malairte 1 9.8 Rand na hAfraice Theas i bhfeidhm, mhalartaigh bean
12 000 Rand na hAfraice Theas go euro sa bhanc. Ghearr an banc táille don idirbheart seo.
Má fuair an bhean 1166.60, faigh in euro an táille a ghearr an banc uirthi.
7. Ar thuras go dtí an tSualainn, mhalartaigh turasóir 4500 go Krone na Sualainne nuair
a bhí ráta malairte 1 8.75 Krone i bhfeidhm. Chaith sé 25 400 Krone agus, ar a
bhealach abhaile, mhalartaigh sé a raibh fágtha aige ar ais go euro, nuair a bhí ráta
malairte 1 8.6 Krone i bhfeidhm. Cé mhéad a fuair sé in euro?
8. Mhalartaigh turasóir ón Astráil $2500 ar euro ag banc in Éirinn. Ghearr an banc coimisiún
céatadánach ar an idirbheart. Má bhí ráta malairte 1 $1.36 i bhfeidhm agus
go bhfuair an turasóir 1801.47, faigh an coimisiún céatadánach a ghearr an banc.
9. Cheannaigh ceannaí Franc na hEilvéise nuair a bhí ráta malairte 1 1.45 franc i
bhfeidhm. Má fuair sé 43 400 franc, faigh amach cé mhéad euro a mhalartaigh sé.
Tabhair do fhreagra ceart go dtí an euro is gaire.
Dhíol sé na francanna Eilvéiseacha nuair a bhí ráta malairte 1 1.28 franc i bhfeidhm.
Faigh, ceart go dtí an euro is gaire, cé mhéad brabúis nó caillteanais a rinne an ceannaí
san idirbheart seo.

Mír 5.6
Cáin ioncaim
Ar cheann de dhá ráta a íocann lucht tuillte pá agus tuarastail cáin ioncaim ar gach cuid dá
n-ioncam. An Ráta Caighdeánach agus an Ráta Ard a thugtar ar an dá ráta sin.
Sa bhliain 2011, ba é 20% an Ráta Caighdeánach agus ba é 41% an Ráta Ard.
Ach tagann athrú ar na rátaí sin ó bhliain go bliain.
Ag tús na bliana, tugtar creidmheas cánach agus scoithphointe an ráta chaighdeánaigh
do gach duine atá fostaithe. Más é 30 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh, ciallaíonn sé
sin go n-íocann an duine cáin ioncaim ar an ráta caighdeánach (mar shampla 20%) ar an gcéad
30 000 dá ioncam. Gearrtar cáin ar an ráta ard (mar shampla 41%) ar aon ioncam sa bhreis ar
30 000. Nuair a bhíonn an cháin ioncaim seo ríofa, cáin chomhlán nó ollcháin a thugtar uirthi.
Baintear creidmheas cánach an duine as an gcáin chomhlán chun an cháin is iníoctha a ríomh.
An cháin is iníoctha
Cáin is iníoctha Cáin chomhlán creidmheasanna cánach
Sampla 1
45 000 an t-ioncam atá ag bean áirithe don bhliain. Is é 28 000 a scoithphointe
ráta chaighdeánaigh agus tá 4000 de chreidmheas cánach aici.
Más é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 41% an ráta ard,
cé mhéad cáin ioncaim a íocann sí don bhliain?
Cáin chomhlán 20% de 28 000 41% den chuid eile den ioncam aici
20% de 28 000 41% de 17 000 … An chuid eile 17 000
(28 000 0.2) (17 000 0.41)
5600 6970 12 570
Cáin is iníoctha Cáin chomhlán creidmheas cánach
Cáin is iníoctha 8570
12 570 4000
Sampla 2
Íocann fear 4500 cáin ioncaim sa bhliain. Tá creidmheas cánach 2400 aige.
Má íocann sé cáin ar an ráta caighdeánach 20% ar a ioncam iomlán, ríomh a
ioncam comhlán don bhliain.
Cáin is iníoctha Cáin chomhlán creidmheas cánach
4500 Cáin chomhlán 2400
Cáin chomhlán 4500 2400 6900
115

Cáin chomhlán 20% den ioncam comhlán
20% den ioncam comhlán 6900
1% den ioncam comhlán 6900 _____
20
100% den ioncam comhlán _____ 6900
20 ____ 100
1
ioncam comhlán 34 500
Sampla 3
13 150 an méid cáin ioncaim a d’íoc fear áirithe bliain amháin.
Bhí creidmheas cánach 35 000 aige agus ba é 32 000 a scoithphointe ráta
chaighdeánaigh.
Ba é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus ba é 41% an ráta ard.
Ríomh ioncam comhlán an fhir an bhliain sin.
Cáin chomhlán cáin is iníoctha creidmheas cánach
13 150 3500
Cáin chomhlán 16 650
An cháin is iníoctha ar an gcéad 32 000 32 000 0.2 … 20% 0.2
6400
Mar sin, an cháin a íocadh ar ioncam sa bhreis ar 32 000
16 650 6400 10 250
Is ionann 10 250 agus 41% den ioncam sa bhreis ar 32 000
Is é 10 250 41% den ioncam sa bhreis ar 32 000
i.e. 41% 10 250
1% ______ 10 250
41
100% ______ 10 250
____ 100 25 000
41 1
Mar sin, is é 25 000 a ioncam sa bhreis ar 32 000
Ioncam comhlán 32 000 + 25 000
57 000
116

An Muirear Sóisialta Uilíoch (MSU)
Tháinig an Muirear Sóisialta Uilíoch i bhfeidhm ar an 1 Eanáir 2011. Cuireadh é in ionad
tobhaigh eile a cuireadh ar ceal ón dáta sin.
Tugtar rátaí an MSU sa bhliain agus sa tseachtain thíos:
Tairseacha ioncaim
Sa bhliain Ráta an MSU Sa tseachtain
Suas le 10 036 2% Suas le 193
Ó 10 036.01 go 16 016 4% Ó 193.01 go 308
Sa bhreis ar 16 016 7% Sa bhreis ar 308
Nóta: Déan neamhní den 1 cent agus tú ag ríomh.
Sampla 4
Tá pá seachtaine 740 ag Conchúr.
Ríomh an MSU seachtainiúil a íocann sé.
Ríomhtar a MSU mar seo:
193 @ 2% (308 193) @ 4% (740 308) @ 7%
193 @ 2% 115 @ 4% 432 @ 7%
38.70
Íocann sé 38.70 MSU sa tseachtain.
Cleachtadh 5.6
1. Tá tuarastal bliantúil 46 000 ag Aingeal.
Is é 28 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh agus is é 3200 a creidmheas cánach.
Más é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard, faigh
(i) cáin ioncaim chomhlán na bliana
(ii) méid na cánach ioncaim a íocadh don bhliain.
2. Tá pá seachtainiúil 980 ag clódóir.
Is é 620 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh agus is é 44 a chreidmheasanna
cánach san iomlán. Is é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard.
Faigh (i) a cháin chomhlán sa tseachtain
(ii) an méid cánach a íocann sé sa tseachtain.
3. Tá tuarastal bliantúil 48 000 ag Niamh.
Is é 34 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh agus is é 4600 a creidmheas cánach.
Más é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard, faigh an méid
cánach a íocann sí.
117

4. Tá pá seachtainiúil 830 ag Eoin. Is é 635 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh.
Is é 52 a chreidmheasanna cánach san iomlán sa tseachtain.
Más é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard, faigh an méid
cánach a íocann sé sa tseachtain.
5. Tá tuarastal bliantúil 45 000 ag Aodán.
Is é 4650 a chreidmheas cánach agus is é 31 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh.
Más é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 45% an ráta ard, faigh méid na
cánach ioncaim a íocann sé sa bhliain.
6. Tá tuarastal bliantúil 43 000 ag díoltóir. Is é 3500 a creidmheasanna cánach san
iomlán agus íocann sí cáin ioncaim ar a hioncam iomlán ar an ráta caighdeánach r%.
Má íocann sí 5960 cáin ioncaim sa bhliain, faigh r.
7. Tá creidmheas cánach 60 sa tseachtain ag tiománaí bus. Íocann sé cáin ar a phá
iomlán ar an ráta caighdeánach 20%. Má íocann sé 140 cáin ioncaim sa tseachtain,
faigh a phá seachtainiúil comhlán.
8. Tá tuarastal comhlán 48 000 sa bhliain ag Laobhaise. Is é 31 000 a scoithphointe
ráta chaighdeánaigh. Is é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 35% an ráta
ard. Má íocann sí 7200 cáin ioncaim sa bhliain, ríomh a creidmheas cánach.
9. D’íoc Eibhlín 4400 cáin ioncaim sa bhliain. B’fhiú 2600 na creidmheasanna
cánach a bhí dlite di agus d’íoc sí cáin ioncaim ar a tuarastal iomlán ar an ráta
caighdeánach 20%. Faigh a tuarastal comhlán bliana.
10. Íocann fear 6520 cáin ioncaim sa bhliain. Is é 3600 a chreidmheas cánach. Íocann
sé cáin ioncaim ar a ioncam iomlán ar an ráta caighdeánach 22%.
Ríomh a thuarastal comhlán sa bhliain.
11. Tugtar na rátaí don Mhuirear Sóisialta Uilíoch (MSU) sa tábla thíos:
Sa bhliain Ráta MSU Sa tseachtain
Suas le 10 036 2% Suas le 193
10 036.01 go 16 016 4% 193.01 go 308
Sa bhreis ar 16 016 7% Sa bhreis ar 308
Nóta: Déan neamhní den 1 cent agus tú ag ríomh.
(i) Tá tuarastal bliantúil 57 000 ag Aodán.
Ríomh a MSU bliana.
(ii) Tá pá seachtainiúil 950 ag Pól.
Ríomh a MSU seachtaine.
(iii) Tá tuarastal bliantúil 63 000 ag díoltóir.
Ríomh a MSU bliana.
(iv) Tá pá seachtainiúil 1200 ag pluiméir.
Ríomh a MSU seachtaine.
118

12. D’íoc bean 6600 cáin ioncaim bliain áirithe. Ba é 4600 a creidmheas cánach agus
ba é 28 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh.
Ba é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 40% an ráta ard.
(i) Ríomh a cáin chomhlán an bhliain sin.
(ii) Cé mhéad cáin ioncaim a d’íoc sí ar an ráta caighdeánach?
(iii) Cé mhéad cáin ioncaim a d’íoc sí ar an ráta ard?
(iv) Cé mhéad ioncaim a thuill sí sa bhreis ar 28 000?
(v) Ríomh ioncam comhlán na bliana ag an mbean.
13. D’íoc Uinseann 7274 cáin ioncaim don bhliain. Ba é 31 000 a scoithphointe ráta
chaighdeánaigh agus ba é 6150 a chreidmheas cánach.
Ba é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard.
Ríomh ioncam comhlán na bliana ag Uinseann.
Mír 5.7
Ús iolraithe
Má infheistímid 100 sa bhanc ar feadh bliana ar 5% sa bhliain, tuillfimid 5 úis. Anois, tá
105 sa chuntas againn.
An phríomhshuim a thugtar ar an 100.
An ráta sa bhliain a thugtar ar an 5%.
An méid a thugtar ar an 105.
Méid
Príomhshuim Ús
Nuair a bhímid ag plé le hús iolraithe, oibrímid amach an t-ús ar bhonn bliantúil agus ansin
cuirimid leis an bpríomhshuim é chun príomhshuim na bliana dár gcionn a aimsiú. Is mór
an chabhair é an t-áireamhán leictreonach chun céatadán de shuim airgid a fháil.
Má infheistítear 500 ar feadh bliana ar 4%, beidh an t-ús cothrom le 4% de 500.
Is é 104% de 500 an méid.
104% 1.04 agus mar sin tá 104% de 500 500 1.04 520.
Ar an gcaoi chéanna, má infheistítear 600 ar feadh bliana ar 3%, is é
600 1.03 618 an méid.
Cuimhnigh
Chun 104% a fháil, iolraigh faoi 1.04.
Chun 104 1 2
% a fháil, iolraigh faoi 1.045.
Chun 112% a fháil, iolraigh faoi 1.12.
Má infheistítear 300 ar feadh 5 bliana ar 4% sa bhliain, is féidir an méid deiridh (A) a
áireamh mar seo:
300 1.04 1.04 1.04 1.04 1.04 300 (1.04) 5
Chun 5 bliana a fháil, iolraigh faoi 1.04 5 huaire i.e. (1.04) 5 .
119

Tugann an patrún ar an leathanach roimhe seo chuig foirmle muid a aimsíonn an méid A
nuair a infheistítear suim airgid P ar ús iolraithe.
A méid
A P ( 1 ____ r
100) n P príomhshuim
r ráta sa bhliain
n líon na mblianta
An t-iolraitheoir a thugtar ar 1 ( r
100 ).
Is féidir an fhoirmle thuas a scríobh i bhfocail mar seo:
Méid i ndiaidh n bliain bunsuim (iolraitheoir) n
Sampla 1
Faigh an t-ús iolraithe ar 2800 ar feadh trí bliana ar 7.5% sa bhliain.
Méid i ndeireadh na chéad bhliana: 2800 1.075 3010
Méid i ndeireadh an dara bliain: 3010 1.075 3235.75
Méid i ndeireadh an tríú bliain: 3235.75 1.075 3478.43
Ús 3478.43 2800 678.43
Ag úsáid na foirmle don sampla thuas, faighimid:
A P(1
r
100 )n
A 2800 (1.075) 3
A 3478.43
Ús 3478.43 2800 678.43 … an freagra céanna
An ráta agus an phríomhshuim a fháil
Má infheistítear 300 ar feadh bliana ar 6% sa bhliain, is é an t-ús ná
300 0.06 18
Ach, má deirtear linn go dtuilleann 300 18 in aon bhliain amháin, conas is féidir an t-ús a
aimsiú? D’fhéadfaimis a rá, má thuilleann 300 18, go dtuillfeadh 100 6, is é sin, ráta 6%.
Mar sin is é an ráta ná
____ 18
300 ____ 100
1 ___ 18
3 6%
3
1
Ráta
Ús
Príomhshuim 100
1 %
120

Sampla 2
Má mhéadaíonn 650 go 702 in aon bhliain amháin, faigh an ráta.
Ús 702 650 52.
Ráta
Ús
Príomhshuim ____ 100
1 ____ 52
650 ____ 100
1 8
an ráta 8%
Sampla 3
D’infheistigh bean 6000 i gcumann foirgníochta ar feadh dhá bhliain.
3% an ráta úis a íocadh sa chéad bhliain.
Níor aistarraing sí aon airgead i ndeireadh na chéad bhliana.
I ndeireadh an dara bliain, b’fhiú 6427.20 a hinfheistíocht iomlán.
Cén ráta úis a fuair sí sa dara bliain?
Méid i ndeireadh na chéad bhliana 6000 1.03
6180
Méid i ndeireadh an dara bliain 6427.20
Mar sin, ús sa dara bliain 6427.20 6180 247.20
Ráta don dara bliain
Ús
Príomhshuim ____ 100
1 %
______ 247.20
6180 ____ 100
1 4%
Ba é 4% an ráta úis don dara bliain.
Is féidir foirmle an úis iolraithe a úsáid chun an phríomhshuim, an ráta nó an tréimhse ama
a fháil má thugtar dóthain eolais.
Sampla 4
Cén tsuim airgid, a infheistíodh ar 4% sa bhliain, ús iolraithe, a thabharfaidh
3149.62 i ndiaidh trí bliana?
A P(1
r
100 )n
3149.62 P(1.04) 3 … anseo táimid ag lorg na príomhshuime, P.
P(1.04) 3 3149.62
P _______ 3149.62
(1.04) 3 _______ 3149.62
1.1249 2800
Ba é 2800 an tsuim a infheistíodh.
121

Ráta coibhéiseach bliantúil
Gearrann institiúidí áirithe, mar shampla, comhlachtaí cártaí creidmheasa, ús ar
bhonn míosúil. Go hiondúil, gearrann siad ús ar ráta atá thart ar 2% sa mhí.
Cad a tharlóidh má fhágtar 100 neamhíoctha ar feadh 12 mhí agus go ngearrtar ús
iolraithe ar ráta 2% in aghaidh na míosa?
Méid i ndeireadh an 12 mhí: 100 (1.02) 12 .
100(1.02) 12 126.824
Mar sin, tá fiacha 126.80 ar shealbhóir an chárta i ndeireadh na bliana.
Ciallaíonn sé seo go raibh ús na bliana cothrom le 26.80.
Ós rud é gurbh é 100 an tsuim, gearradh ús ar ráta 26.8%.
Mar sin, is mar a chéile ús iolraithe 2% sa mhí agus ráta bliantúil úis 26.8%.
An ráta coibhéiseach bliantúil (RCB) a thugtar ar an ráta bliantúil úis seo.
Is é seo an ‘fíor-ús’ a íocann tú gach bliain.
Sampla 5
Tugann banna infheistíochta aisíoc 20% nuair a infheistítear é ar feadh 8 mbliana.
Ríomh an RCB (ráta coibhéiseach bliantúil) don bhanna seo, ceart go haon ionad
amháin de dheachúlacha.
Más é 20% an t-aisíoc, ciallaíonn sé seo go bhfuil an méid cothrom le 1.20 oiread
na suime a infheistíodh.
(iolraitheoir) 8 1.2
iolraitheoir (1.2 ) 1_ 8
… faigh an t-ochtú fréamh den dá thaobh
iolraitheoir 1.02305 … cuir isteach 1.2 x y (1 8).
Mar sin, is é 2.3% an ráta.
Dímheas
Má dhímheasann luach cairr ar ráta 20% sa bhliain (i.e. más laghdú 20% a thagann ar a luach),
ní bheidh i luach an chairr i ndeireadh na chéad bhliana ach 80% dá luach i dtús na chéad
bhliana. Chun 80% de shuim airgid a fháil, iolraigh faoi 0.8 mar tá 80% 0.8.
Más 25 000 a bhí ar charr, agus má dhímheasann a luach 15% in aghaidh na bliana, tá a luach
(i) I ndeireadh na chéad bhliana 25 000 0.85
(ii) I ndeireadh an dara bliain 25 000 0.85 0.85 25 000 (0.85) 2
(iii) I ndeireadh an tríú bliain 25 000 0.85 0.85 0.85
25 000 (0.85) 3
…………………………
I ndeireadh 8 mbliana, is é 25 000 (0.85) 8 a luach.
122

Sampla 6
Dímheasann luach meaisín 10% sa bhliain.
Más fiú 58 320 an meaisín i ndeireadh 3 bliana, cén luach a bhí air nuair a bhí sé nua?
Abraimis gurb é P luach an mheaisín nuair a bhí sé nua.
Luach P i ndeireadh 3 bliana P(0.9) 3 …
P(0.9) 3 58 320
P(0.729) 58 320
P ______ 58 320
80 000
0.729
Ba é 80 000 luach an mheaisín nuair a bhí sé nua.
100% 10%
90% 0.9
Cleachtadh 5.7
1. Scríobh gach ceann de na céatadáin seo ina dheachúil:
(i) 4% (ii) 5 1__
1__
2
% (iii) 12% (iv) 142 % (v) 112%
2. Scríobh síos an t-iolraitheoir nuair a theastaíonn uait na céatadáin seo de mhéid a fháil:
(i) 106% (ii) 105 1__
1__
2
% (iii) 110% (iv) 96% (v) 1122 %
3. Ríomh, go dtí an cent is gaire nuair is gá, an t-ús iolraithe ar
(i) 600 ar feadh dhá bhliain ar 5% (ii) 1800 ar feadh dhá bhliain ar 9%
(iii) 3500 ar feadh trí bliana ar 7 1 2 % (iv) 7800 ar feadh trí bliana ar 31 2 %.
4. Infheistíodh 4600 ar feadh dhá bhliain ar ús iolraithe.
Más é 4% an ráta sa chéad bhliain agus 5% an ráta sa dara bliain, faigh an t-ús iomlán
sa dá bhliain.
5. Fuair comhlacht 12 000 ar iasacht ó bhanc ar ús iolraithe 11% sa bhliain.
D’aisíoc an comhlacht 5000 i ndeireadh na chéad bhliana.
Cé mhéad airgid a bhí ag an mbanc ar an gcomhlacht i ndeireadh an dara bliain?
6. Infheistíodh 2500 i gcumann foirgníochta.
Más é 2612.50 an méid tar éis bliana, ríomh an ráta úis.
7. Infheistíodh suim áirithe airgid ar 7% sa bhliain.
Más é 6848 an méid tar éis bliana, ríomh an tsuim a infheistíodh.
8. Infheistíodh 8000 ar feadh trí bliana ar ús iolraithe.
Is é 5% an ráta don chéad bhliain agus 6% an ráta don dara bliain.
Faigh méid na hinfheistíochta i ndeireadh dhá bhliain.
I ndeireadh an tríú bliain, bhí méid 9260.16 infheistithe.
Ríomh an ráta úis don tríú bliain.
123

9. Cén tsuim airgid, infheistithe ar feadh trí bliana ar ús iolraithe 8% sa bhliain, a
thabharfadh méid 1007.77?
10. D’infheistigh duine 10 000 i gcumann foirgníochta.
Is é 2 1 2
% an ráta úis sa chéad bhliain.
I ndeireadh na chéad bhliana, d’infheistigh an duine 1000 breise.
Is é 2% an ráta úis sa dara bliain.
Ríomh luach na hinfheistíochta i ndeireadh an dara bliain.
I ndeireadh an tríú bliain, ba é 14 014 an méid infheistithe.
Ríomh an ráta úis sa tríú bliain.
11. Cén tsuim airgid, infheistithe ar ús iolraithe 5% sa bhliain, a thabharfadh 10 988.78
i gceann sé bliana?
12. Faigheann duine 15 000 ar iasacht ar feadh dhá bhliain.
Gearrtar ús ar 12% sa bhliain an chéad bhliain.
Aisíocann an duine 6000 i ndeireadh na chéad bhliana.
Má tá fiacha 12 042 air i ndeireadh an dara bliain, faigh an ráta úis don dara bliain.
13. Infheistíodh 5000 ar feadh trí bliana ar ús iolraithe.
Ba é 4% an ráta sa chéad bhliain. Ba é 4 1 2
% an ráta sa dara bliain.
(i) Faigh méid na hinfheistíochta i ndeireadh an dara bliain.
(ii) Ag tús an tríú bliain, infheistíodh 4000 breise.
Ba é r% an ráta sa tríú bliain.
Ba é 9811.36 an infheistíocht iomlán i ndeireadh an tríú bliain.
Ríomh luach r.
14. Infheistíodh suim airgid ar feadh dhá bhliain.
Ba é 4% an ráta úis sa chéad bhliain agus 5% an ráta úis sa dara bliain.
Más é 9282 an méid i ndeireadh an dara bliain, faigh an tsuim a infheistíodh.
15. Infheistítear suim airgid ar ús iolraithe r% sa bhliain. Is é 5175 an méid i
ndeireadh na chéad bhliana agus 5951.25 i ndeireadh an dara bliain.
Faigh (i) luach r
(ii) an tsuim a infheistíodh.
16. Tugann banna infheistíochta ús 25% tar éis 5 bliana.
Ríomh an ráta coibhéiseach bliantúil (RCB) don bhanna seo.
Tabhair do fhreagra ceart go hionad amháin de dheachúlacha.
17. Gearrann comhlacht cártaí creidmheasa ús ar ráta 2.5% sa mhí.
Ríomh an ráta céatadánach iomlán úis ar feadh 12 mhí, ceart go dtí an 0.1% is gaire.
18. Gearrann comhlacht cártaí creidmheasa eile ús ar ráta 1.5% sa mhí.
Ríomh an ráta úis bliantúil, ceart go dtí an 0.1% is gaire.
124

19. Faigheann Seán 4000 ar iasacht ón
mbanc ar 1 Eanáir.
Toilíonn sé 1000 a aisíoc i ndeireadh
gach míosa.
Gearrann an banc ús ar ráta 2% sa mhí
ar an méid gan íoc.
(i) Lean leis an ríomh go n-aisíoctar an
iasacht iomlán (beidh an aisíocaíocht
deiridh níos lú ná 1000).
Cathain a aisíocfar í go hiomlán?
(ii) Cé mhéad í an aisíocaíocht deiridh?
Méid ar 1 Eanáir
Ús, Eanáir
Aisíocaíocht, 31 Eanáir
Méid ar 1 Feabhra
Ús, Feabhra
Aisíocaíocht, 28 Feabhra
Méid ar 1 Márta
20. Ba é 4897.20 an méid airgid i ndeireadh dhá bhliain nuair a infheistíodh suim airgid
ar ús iolraithe.
(i) Ba é 5% an ráta úis sa dara bliain.
Cén luach a bhí san infheistíocht i ndeireadh na chéad bhliana?
(ii) Ba é 4400 an bhunsuim a infheistíodh.
Cén ráta úis a íocadh sa chéad bhliain?
21. D’infheistigh duine B i gcumann foirgníochta ar 4% sa bhliain.
I ndeireadh na chéad bhliana, d’infheistigh sí B breise agus d’fhág sí an t-airgead go
léir sa chumann ar feadh bliain eile ar 5% sa bhliain.
Má b’fhiú 17 136 an infheistíocht ar fad i ndeireadh an dara bliain, faigh luach B.
22. Tá Comhlacht Iasachtaí na Siorcanna ag machnamh ar bhealaí éagsúla chun ús a
ghearradh.
Rogha A 78% a ghearradh sa bhliain
Rogha B 78% 2 39%, mar sin gearr 39% sa 6 mhí
Rogha C 78% 4 19.5%, mar sin gearr 19.5% sa 3 mhí
Rogha D 78% 12 6.5%, mar sin gearr 6.5% sa mhí.
Ríomh an RCB, ceart go hionad amháin de dheachúlacha, do gach rogha.
23. D’infheistigh bean 8000 i mbanc ar ús iolraithe 7% sa bhliain.
D’aistarraing sí 2000 i ndeireadh na chéad bhliana.
D’fhág sí an fuílleach sa bhanc go ceann bliana ar ráta r%. Má b’fhiú 6920.80 a cuid
infheistíochta i ndeireadh an dara bliain, faigh luach r.
24. Chosain meaisín 15 000.
Má dhímheas a luach 15% sa bhliain, faigh a luach i ndeireadh dhá bhliain.
25. Dímheasann luach veaineanna 20% sa bhliain.
(i) Má ceannaíodh veain ar 23 000, faigh a luach i ndeireadh trí bliana.
(ii) Más é 11 520 luach veain tar éis dhá bhliain, faigh a luach nuair a bhí sé nua.
26. Ceannaíodh carr nua ar 24 000. Dhímheas a luach 20% sa chéad bhliain.
Má b’fhiú 16 128 an carr i ndeireadh an dara bliain, cén céatadán dímheasa a
tháinig ar a luach i rith an dara bliain?
4000
80
1000
3080
61.60
1000
2141.60
125

27. Dímheasann luach carr athláimhe 15% sa bhliain.
Cad é an céatadán dímheasa ar a luach thar thréimhse 3 bliana?
Tabhair do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
28. Tá líon na niút i lochán ag laghdú 8% in aghaidh na bliana.
Tá 756 niút sa lochán anois.
Cé mhéad a bheidh ann i gceann 6 bliana?
29. Gach bliain, dímheasann luach cairr 20% den luach a bhí air ag tús na bliana sin.
Más é 14 336 luach an chairr i ndeireadh a céad trí bliana, faigh luach an chairr
nuair a bhí sí nua.
30. Tugann aonad fisiteiripe in ospidéal áirithe
cóireáil ultraivialait.
Faigheann gach othar, atá ag dul don chóireáil,
dáileog 1 nóiméad 9 soicind ar an gcéad lá.
Gach lá, méadaítear an dáileog de chéatadán
áirithe, mar a fheictear sa tábla thall, ag brath
ar an sórt craicinn atá ag an othar.
(Méadaítear an dáileog go sroicheann sí
uasmhéid de 46 nóiméad 18 soicind, agus
coinnítear seasmhach í as sin amach.)
(i) Tá craiceann de shórt 3 ag Méadhbh. Ríomh a dáileog ar Lá 3.
(ii) Tá craiceann de shórt 4 ag Cian.
Cén lá a rachaidh a dháileog thar 3 nóiméad, den chéad uair?
(iii) Tá craiceann de shórt 2 ag Ríonach. Lá 14, faigheann sí dáileog 4 nóiméad,
0 soicind. Cén dáileog a fhaigheann sí Lá 16?
Mír 5.8
Luas --- fad --- am
Rinne Séamas an turas ó Bhaile Átha Cliath go Corcaigh
sa charr, fad (nó achar) 250 km, in 2 1 2
uair an chloig.
Is féidir an meánluas a bhí faoi agus é ar an aistear a
fháil ach úsáid a bhaint as an modh seo:
Sórt craicinn
Méadú sa lá
ina chéatadán
1. Dónn i gcónaí 10%
2. Donnaíonn sé ach
a bheith cúramach,
ach dónn go héasca
3. Donnaíonn sé go
héasca agus is
annamh a dhónn sé
4. Donnaíonn sé i gcónaí;
ní dhónn riamh
15%
20%
25%
Is féidir an triantán seo a
úsáid chun cuimhneamh
ar an bhfoirmle.
Meánluas
fad an aistir
am a glacadh
____ 250 100 km/uair
2.5
Luas Fad
Am
Am Fad
Luas
Fad Am Luas
L
F
Clúdaigh an luach atá uait
le d’ordóg: m.sh. chun luas
a aimsiú, clúdaigh L. Fágtar
thú le F os cionn A, is é sin
fad
am
A
126

Sampla 1
500 km a ghabh carr i 6 huaire an chloig.
100 km/uair an meánluas a rinne an tiománaí sa chéad dá uair an chloig.
Faigh an meánluas i gciliméadair san uair le linn na gceithre huaire an chloig deiridh.
An fad a gluaiseadh sa chéad 2 uair an chloig: 100 2 200 km.
Mar sin, 300 km a ghabh an tiománaí sna 4 huaire an chloig deiridh.
Meánluas Fad
Am
____ 300
4 75
an méanluas le linn na 4 huaire an chloig deiridh 75 km/uair.
Graif faid is ama
Léiríonn an graf faid is ama (nó graf achair is ama) thíos aistear rothaí a d’fhág Baile A.
60
D
E
Fad in km
40
20
0
A
B
C
1
2
Am in uaireanta an chloig
(i) Ó A go B, rothaigh sé 20 km in 1 uair an chloig.
(ii) Ag B, stop sé ar feadh leathuaire léirítear é seo le [BC].
(iii) Ag C, ghlac sé síob ar leoraí agus chuaigh sé go D, fad 40 km.
Ghlac an chuid seo den turas leathuair an chloig.
(iv) Ansin lig sé a scíth ar feadh leathuaire léirítear é seo le [DE].
(v) Ansin, chuaigh sé ar thraein ar ais go dtí an baile ónar thosaigh sé an turas. Thóg an
t-aistear 60 km seo leathuair an chloig air léirítear é seo le [EF].
[Ar ghraf faid is ama, is féidir leis an bpointe imeachta agus an ceann scríbe a bheith
in áit bith ar an ais chothrománach.]
Nóta 1. Ar ghraf faid is ama, léiríonn líne chlaonta luas seasta.
2. Léiríonn líne chothrománach am sosa.
3. Luas
Fad déanta
Am
Tá an luas ó E go F
60 km
1/2 uair 120 120 km/uair
1
3
F
127

Cleachtadh 5.8
1. 60 km/uair a dhéanann traein áirithe ar feadh dhá uair an chloig, agus 90 km/uair ansin
ar feadh uair an chloig amháin. Faigh an meánluas a dhéanann sí i gcaitheamh na dtrí
huaire an chloig.
2. Glacann aistear trí huaire an chloig ar mheánluas 120 km/uair. Cé mhéad ama, in
uaireanta an chloig, a ghlacfaidh an t-aistear má laghdaítear an meánluas go 80 km/uair?
3. In km san uair, ríomh meánluas traenach a thaistealaíonn
(i) 240 km in 2 uair an chloig (ii) 336 km in 3 huaire an chloig (iii) 68 km i leathuair an chloig
(iv) 392 km in 3 1 2
uair an chloig (v) 32 km in 15 nóiméad
4. Taispeánann an léaráid turas ar bhus idir Baile Átha Cliath agus Trá Lí.
Baile Átha Cliath
08:30
190 km Luimneach 120 km
11:00
(i) Ríomh meánluas an bhus idir Baile Átha Cliath agus Luimneach.
(ii) Ríomh meánluas an bhus idir Luimneach agus Trá Lí.
(iii) Ríomh meánluas an bhus idir Baile Átha Cliath agus Trá Lí.
Bíodh na freagraí ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
(vi) 90 km in 40 nóiméad.
5. Thosaigh turas 276 km ar 10.40 agus chríochnaigh sé an lá céanna ar 14.30.
Faigh an meánluas in km/uair.
6. Cén fad a thaistealóidh carr
(i) in 3 huaire an chloig ar mheánluas 80 km/uair?
(ii) in 4 huaire an chloig ar mheánluas 65 km/uair?
(iii) in 2 1 4
uair an chloig ar mheánluas 88 km/uair?
7. Cén t-am a thógfaidh sé aistear
(i) 210 km ar mheánluas 70 km/uair a dhéanamh?
(ii) 200 km ar mheánluas 80 km/uair a dhéanamh?
(iii) 20 km ar mheánluas 60 km/uair a dhéanamh?
Trá Lí
13:15
8. 4 huaire agus 20 nóiméad a thógann aistear áirithe, ar mheánluas 120 km/uair.
Cé mhéad uair agus nóiméad a thógfaidh an t-aistear céanna má laghdaítear an
meánluas go 100 km/uair?
9. 320 km a rinne carr i gcúig huaire an chloig.
80 km/uair an meánluas a bhí an tiománaí a dhéanamh le linn an chéad 160 km.
Cad é an meánluas a bhí sí a dhéanamh le linn an dara 160 km?
10. Taistealaítear 18 km in 25 nóiméad.
Faigh an meánluas i méadair sa soicind.
11. Fágann traein Corcaigh ag 09:05 agus sroicheann sí Baile Átha Cliath ag 12.25.
250 km atá Baile Átha Cliath ó Chorcaigh.
Faigh meánluas na traenach ina km/uair.
128

12. Taistealaíonn duillárthach fad 48 km ar luas 36 km/uair.
Ríomh an méid ama a thóg an t-aistear
(i) in uaireanta an chloig, ag úsáid codán (ii) in uaireanta an chloig agus nóiméid
13. Taistealaíonn bád farantóireachta 51.6 km ar luas 24 km/uair.
Cén fad a ghlacann an t-aistear in uaireanta an chloig agus nóiméid?
14. Ritheann tíogar ar luas 50 ciliméadar san uair ar feadh 9 soicind.
Cé mhéad méadar a ritheann an tíogar?
15. Glacann sé 46 nóiméad ar Éamonn fad 6.4 km a rith.
Ríomh a mheánluas in km/uair, ceart go hionad amháin de dheachúlacha.
16. Siúlann Áine ar scoil, fad 1.7 km óna teach.
Meánluas 5.1 km/uair a bhíonn faoi Áine.
Cad é an t-am is déanaí is féidir léi a teach a fhágáil le bheith ar scoil ar 8.55 a.m.?
17. Léiríonn an graf faid is ama turas Eimhire a ghlacann 3 huaire an chloig uirthi.
75
60
Fad ón mbaile in km
45
30
15
0
0
1 2
3
Am in uaireanta an chloig
(i) Cén fad a rinne sí sa chéad uair an chloig?
(ii) Cé mhéad ama a chaith sí ina stad?
(iii) Cén fad a rinne sí sa tríú huair an chloig?
(iv) Cén fad iomlán a bhí sa turas?
18. Léiríonn an graf seo turas traein turasóireachta a ritheann idir dhá stáisiún.
(i) Cá fhad óna chéile atá an dá stáisiún?
(ii) Cad é luas na traenach, in km sa
nóiméad, ar an turas amach?
(iii) Cad é an luas seo in km san uair
(km/u)?
25
20
15
10
5
(iv) Cad é luas na traenach, in km/u,
0
ar an turas ar ais?
0 10 20 30 40 50 60 70
Am i nóiméid
80 90 100
Fad in km
129

19. Taispeánann an graf thíos an fad a dhéanann bus agus an t-am a ghlacann sé turas a
chríochnú. Thosaigh an bus ar an aistear ar 12.00 agus chríochnaigh sé an t-aistear
ar 15.00.
50
40
Fad in km
30
20
10
0
12:00
13:00 14:00
Am
15:00
(i) Cén fad a rinne an bus sa chéad uair an chloig?
(ii) Cé mhéad ama a chaith an bus ina stad?
(iii) Cén fad a rinne an bus idir 13.30 agus 15.00?
(iv) Cé mhéad ama a chuaigh thart ag taisteal ó phointe 10 km ón bpointe
imeachta go pointe 40 km ón bpointe imeachta?
20. Léiríonn an graf taistil thíos turas an Uas. Uí Luanaigh sa charr óna theach go dtí a
chuid oibre.
Ag A, stopann sé chun nuachtán a cheannach.
Ag B, stopann sé chun peitreal a cheannach.
Ag D, sroicheann sé a cheann scríbe.
16
D
Fad ón teach (in km)
12
8
4
A
B
C
130
0
0
10 20 30 40
Am (i nóiméid)
(i) Cá fhad a ghlacann an turas air?
(ii) Cé mhéad ama a chaitheann sé ina stad ag fáil peitril?
(iii) Cad é meánluas an chairr ó C go D?
(iv) Gan an dá stop a chur san áireamh, cén meánluas a bhí faoin gcarr don turas
iomlán?
50
60

21. Is í an líne sholadach an graf faid is
ama do charr mionsamhlach.
6
(i) Cad é luas an chairr, i méadair 5
sa soicind, i rith an chéad 2
4
shoicind?
3
(ii) Cad a tharlaíonn do luas an
2
chairr 2 shoicind ón tús?
1
(iii) Cad é luas an chairr ina
0
1 2 3 4 5
dhiaidh sin?
Am i soicindí
Is í an líne bhriste an graf faid is ama do charr mionsamhlach eile.
(iv) Cad é luas an dara carr?
(v) Cá fhad atá an dara carr ag taisteal sula ngabhann sí thar an gcéad charr?
Fad i méadair
Tosaíonn an tríú carr mionsamhlach 4.5 soicind i ndiaidh an chéad chairr agus gabhann
sí thairsti 1.5 soicind níos déanaí. (vi) Cad é luas an tríú carr?
6
Mír 5.9
Obair le huimhreacha san
fhoirm chaighdeánach
Más le háireamhán a dhéanann tú an oibríocht 60 000 4 600 000, is í an uimhir 2.76 10 11
a thiocfaidh ar an scáileán. Seasann sí sin do 2.76 iolraithe faoi 10 aon uair déag. Tá an
uimhir 2.76 10 11 scríofa i nodaireacht na heolaíochta nó san fhoirm chaighdeánach.
Gearrscríbhneoireacht is ea an fhoirm chaighdeánach le haghidh uimhreacha móra agus
uimhreacha beaga a scríobh.
Sainmhíniú
Aon uimhir a scríobhtar san fhoirm a 10 n , áit
a bhfuil 1 a < 10, agus n ina slánuimhir, deirtear
gur i nodaireacht na heolaíochta nó san fhoirm
chaighdeánach atá sí.
6.8 10 4
Scríobhtar an chuid seo
mar uimhir idir 1 agus 10.
Scríobhtar an chuid seo
mar chumhacht de chuid 10.
Seo roinnt uimhreacha san fhoirm chaighdeánach:
(i) 4000 4 1000 4 10 3
(ii) 64 000 64 1000 64 10 3 6.4 10 4
(iii) 254 000 2.54 10 5
Tabhair faoi deara, má aistrítear an pointe deachúlach
(i) 1 ionad amháin ar chlé, go n-iolraítear an uimhir faoi 10 1
(ii) 2 ionad ar chlé, go n-iolraítear an uimhir faoi 10 2
(iii) 3 ionad ar chlé, go n-iolraítear an uimhir faoi 10 3 …
131

Uimhreacha atá níos lú ná 1
Maidir le huimhreacha atá níos lú ná 1, déan é seo:
(i) 0.04 ____ 4
100 ___ 4
10 2 4 102
(ii) 0.007 _____ 7
1000 ___ 7
10 3 7 103
(iii) 0.068 ___ 6.8
2
6.8 102
10
Tá eochair
Exp nó 10 x ar an áireamhán agat. Comharthaí ar ‘easpóntantúil’ iad sin.
Chun 2.54 10 3 a athrú go foirm dheachúlach, eochraigh 2.54 10 x 3 .
Is é 2540 a thiocfaidh aníos ar an scáileán.
Oibríochtaí san fhoirm chaighdeánach
1. Chun uimhreacha san fhoirm chaighdeánach a shuimiú le chéile nó a dhealú ó chéile,
athraigh gach uimhir ina huimhir dheachúlach agus déan an suimiú nó an dealú.
Sampla 2.4 10 2 1.68 10 3
2.4 100 1.68 1000
240 1680 1920 1.92 10 3
2. Chun uimhreacha san fhoirm chaighdeánach a iolrú faoi chéile (nó a roinnt ar a chéile),
iolraigh na páirteanna ‘a’ faoi chéile ar dtús agus ansin iolraigh faoi chéile na huimhreacha
atá scríofa mar chumhachtaí de chuid 10. Is mór an áis an t-áireamhán agus na
hoibríochtaí sin á ndéanamh.
Mar sin (3.8 10 3 )(9.4 10 2 ) (3.8 9.4) 10 3 10 2
35.72 10 1 … 3 2 1
3.572 10 2
Nó eochraigh an méid seo ar an áireamhán:
3.8 10 x 3 9.4 10 x 2 .
Is é 357.2 an freagra.
357.2 3.572 10 2 .
Sampla 1
Scríobh gach ceann díobh seo san fhoirm chaighdeánach:
(i) 2.76 10 3 5.9 10 2 (ii) ___________________
(6 103 ) (4.5 10 4 )
1.2 10 4
(i) 2.76 10 3 5.9 10 2 2760 590
2170 2.17 10 3
[nó eochraigh isteach 2.76 10 x 3 5.9 10 x 2
Is é 2170 an freagra].
132

(ii) ___________________
(6 103 ) (4.5 10 4 )
1.2 10 4 _________________
6 4.5 104 10 3
1.2 10 4
________ 27 107
1.2 10 4
___ 27
1.2 ___ 107
4
22.5 103
10
2.25 10 4
[nó eochraigh isteach 6 10 x 3 4.5 10 x 4 1.2 10 x 4
Is é 22 500 an freagra.
Is é 2.25 10 4 an freagra tar éis a thiontaithe].
Cleachtadh 5.9
1. Scríobh gach ceann díobh seo ina uimhir dheachúlach:
(i) 6 10 2 (ii) 4.5 10 2 (iii) 6.8 10 3 (iv) 5.1 10 4
(v) 6.7 10 4 (vi) 5.16 10 2 (vii) 7.05 10 3 (viii) 1.86 10 4
2. Scríobh gach ceann díobh seo san fhoirm chaighdeánach:
(i) 400 (ii) 580 (iii) 6200 (iv) 5700
(v) 60 000 (vi) 76 000 (vii) 92 000 (viii) 720 000
3. Athraigh na huimhreacha seo go foirm dheachúlach:
(i) 2.5 10 1 (ii) 6 10 2 (iii) 4.8 10 3 (iv) 9.2 10 4
4. Scríobh na huimhreacha seo san fhoirm chaighdeánach:
(i) 0.04 (ii) 0.062 (iii) 0.007 (iv) 0.0065
5. Scríobh na huimhreacha seo san fhoirm chaighdeánach:
(i) 0.008 (ii) 0.0079 (iii) 0.0006 (iv) 0.00053
6. Cé acu de na huimhreacha seo atá scríofa san fhoirm chaighdeánach?
A B C D E
2.5 10 9 48 10 2 3.5 100 000 7 10 5 0.34 2 4
7. Oibrigh amach iad seo agus scríobh na freagraí ina n-uimhreacha deachúlacha:
(i) 3.8 10 2 1.7 10 3 (ii) 1.76 10 6.43 10 2
(iii) 8.4 10 3 1.7 10 2 (iv) 6.64 10 2 9.4 10
8. Faigh luach gach ceann díobh seo agus tabhair an freagra san fhoirm chaighdeánach.
(i) (3.6 10 2 ) (1.5 10 3 ) (ii) (4.6 10 2 ) (3.7 10 1 )
(iii) (3.64 10 2 ) (9 10 4 ) (iv) (1.8 10 4 ) (8 10 5 )
133

9. Scríobh gach ceann díobh seo san fhoirm a 10 n , áit a bhfuil 1 a 10, n Z:
(i)
________ 8.4 10 5
1.2 10 2 (ii) ________ 9 10 4
1.5 10 2 (iii) _________
4.48 10 3
8 10 1
10. Scríobh san fhoirm chaighdeánach iad seo:
(i)
___________________
1.4 10 3 5.6 10 2
7 10 1 (ii) _____________________
(6.4 10 2 ) (8.2 10 4 )
1.033 10 2
11. Oibrigh amach iad seo gan áireamhán a úsáid.
Tabhair do fhreagra san fhoirm chaighdeánach.
(i) (5.4 10 5 ) (3 10 2 )
(ii) _______ 4 10 3
8 10 5 (iii) _______ 4 10 5
5 10 8
(iv) ________ 1.6 10 9
8 10 7 (v) ________ 8 10 4
1.6 10 5 (vi) _________
4.8 10 2
3 10 3
12. Is é 1.27 10 4 km trastomhas an Domhain. Is é
6.8 10 3 km trastomhas Mhars.
(i) Cé acu pláinéad ag a bhfuil an trastomhas is mó?
(ii) Cad é an difríocht idir thrastomhais an dá phláinéad?
(iii) Cad é an t-iomlán má shuimítear an dá thrastomhas?
Tabhair do fhreagra san fhoirm chaighdeánach.
Véineas
Mearcair
An Domhan
Mars
13. Scríobh
___________________
1.2 10 8 3.6 10 5
9
san fhoirm chaighdeánach.
1.8 10
14. Ríomh an luach atá ar __________________
5.1 108 19 10 7
12
agus scríobh an freagra ina uimhir
1.4 10
dheachúlach.
15. Taispeánann an tábla seo na reiligiúin eagraithe
Reiligiún Ballraíocht
a raibh an bhallraíocht is mó acu sa bhliain 2000.
An Búdachas 3.4 10 8
(i) Scríobh líon na mBúdaithe ina uimhir
An Chríostaíocht
dheachúlach.
1.92 10 9
(ii) Cé acu reiligiún ag a raibh an
bhallraíocht ba mhó?
(iii) Cé acu reiligiún ag a raibh an
bhallraíocht ba lú?
An Confúiceachas
An Hiondúchas
An tIoslam
6.37 10 6
7.67 10 8
1.04 10 9
(iv) Tá líon na mball i reiligiún amháin beagán níos mó ná leath líon na mball i
reiligiún eile. Cén dá reiligiún atá i gceist anseo?
16. Scríobh na huimhreacha seo san fhoirm dheachúlach:
(i)
___________________
6.8 10 3 5.2 10 2
3.2 10 2 (ii) _____________________
1.12 10 2 9.8 10 5
1.4 10 2
134

Cuir triail ort féin 5
1. (i) Roinneadh duaischiste idir A, B agus C sa chóimheas 5 : 2 : 1.
Má fuair B 520, ríomh luach iomlán an duaischiste.
(ii) Gach ball éadaigh fir le linn reaca, is lú de 20% an praghas atá air ná an praghas
marcáilte.
(a) Más é 336 praghas reaca cóta, cad é an praghas marcáilte?
(b) Má dhéanann lucht an tsiopa brabús 5% ar bhunphraghas an chóta sa reic, cén
céatadán brabúis a bhí siad a dhéanamh ar an mbunphraghas roimh an reic?
(iii) Tá tuarastal bliana 47 500 ag Deirdre.
3600 an creidmheas cánach a dhlitear di, agus 32 000 scoithphointe an ráta
chaighdeánaigh a ghearrtar uirthi. Más é 20% an ráta caighdeánach agus 46% an
ráta ard, cé mhéad cáin ioncaim a íocann sí sa bhliain?
2. (i) Aimsigh ceithre phéire meaitseála.
A B C D
3 2 2 3 4 2 6 1
E
6
F
1__
6
G
___ 1
16
H
1__
8
I
1__
9
(ii) D’infheistigh duine 16 000 ar feadh dhá bhliain.
Ba é 7% an ráta úis sa chéad bhliain.
I ndeireadh an dara bliain, ba é 18 061.60 an méid airgid.
Faigh an ráta úis sa dara bliain.
(iii) Úsáideann duine liathróid mhór olla chun scaif a chniotáil.
Tá an scaif 40 lúb ar leithead agus 120 cm ar fad.
Má úsáidtear liathróid olla den mhéid chéanna chun scaif atá 25 lúb ar leithead a
chniotáil, aimsigh fad na scaife nua.
3. (i) Is é 5 an difríocht idir 1 6 d’uimhir agus 1 7 di.
Cad í an uimhir?
(ii) Is é 21 473 aonad an léamh ar an méadar leictreachais faoi láthair i dteach Áine.
Ba é 20 649 an léamh roimhe seo.
(a) Cé mhéad aonad leictreachais a úsáideadh ón léamh roimhe seo?
(b) Cén costas a bhí ar an leictreachas a úsáideadh má chosnaíonn gach aonad 20.5c?
(c) Cuirtear bunmhuirear 24.08 leis an gcostas agus ansin cuirtear CBL ar an
méid iomlán. Más é 233.53 bille Áine, aimsigh an ráta CBL.
(iii) Mhalartaigh turasóir Astrálach 2000 dollar ar euro nuair a bhí ráta 1 1.6 dollar
Astrálach i bhfeidhm. Cén táille, ina céatadán, a bhí ar an idirbheart má fuair sí
1225?
4. (i) Tá fad agus leithead dronuilleoige sa chóimheas 7 : 4.
Más é 21 cm fad na dronuilleoige, faigh a hachar.
(ii) Tá tuarastal bliantúil 42 800 ag Síle. Tá creidmheas cánach 3350 aici agus
is é 31 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh aici.
Más é 20% an ráta caighdeánach agus 42% an ráta ard, cé mhéad cáin ioncaim a
íocann sí don bhliain?
135

136
(iii) I ndeireadh an dara bliain, b’fhiú 5342.40 suim airgid a infheistíodh ar ús iolraithe.
(a) Má b’ionann an ráta úis sa dara bliain agus 6%, cé mhéad ab fhiú an
infheistíocht i ndeireadh na chéad bhliana?
(b) Más é 4800 an tsuim a infheistíodh ar dtús, faigh an ráta úis sa chéad bhliain.
5. (i) Maidin amháin fiafraíodh de gach dalta i rang 36 dalta cén chaoi ar tháinig sé/sí
ar scoil an mhaidin sin. Tháinig 1 4 díobh ar rothar, 2 9 ar an mbus, 1 3
de shiúl na gcos
agus an chuid eile i gcarr.
(a) Cén codán den rang a tháinig i gcarr?
(b) Cé mhéad dalta a tháinig ar an mbus?
(ii) Tá rogha ag Sinéad idir na bearta pá seo a leanas:
A: ‘Méadú 5% i mbliana agus méadú 4% an bhliain seo chugainn’
B: ‘Méadú 4 1 2 % i mbliana agus méadú 4 1 2
% an bhliain seo chugainn’
Cé acu tairiscint ar ceart di glacadh léi?
(iii) Íoctar coimisiún le díoltóir as gach meaisín a dhíolann sé.
Faigheann sé 5% den chéad 8000 den phraghas díola, móide coimisiún 2% den
chuid eile.
(a) Ríomh an coimisiún a gheobhadh an díoltóir as meaisín a dhíol ar 42 000.
(b) Ríomh praghas díola an mheaisín a bhfaigheadh an díoltóir coimisiún 1360 as.
6. (i) Scríobh
_____________________
(7.2 10 2 ) (6.2 10 3 )
4
ina uimhir dheachúlach.
3.6 10
(ii) (a) Infheistíodh 6000 i mbanna rialtais 8 mbliana. Bhí ráta coibhéiseach
bliantúil (RCB) 5% i gceist. Cén luach a bheidh ar an infheistíocht nuair a
aibíonn sí i gceann ocht mbliana?
(b) Tugann banna infheistíochta eile ús 25% tar éis 8 mbliana.
Ríomh RCB an bhanna seo.
Tabhair do fhreagra ceart go haonad amháin de dheachúlacha.
(iii) 240 an méid cáin ioncaim a d’íoc pluiméir seachtain amháin. 600
scoithphointe an ráta chaighdeánaigh ar an bpluiméir, agus creidmheas cánach
80 a dhlitear dó. Ba é 20% an ráta caighdeánach agus 40% an ráta ard.
Faigh (a) an cháin ioncaim chomhlán a d’íoc sé an tseachtain sin
(b) an cháin ioncaim chomhlán a d’íoc sé ar 20%
(c) pá comhlán na seachtaine sin aige.
7. (i) Rinne tiománaí 2 5
dá aistear sular stop sé chun peitreal a cheannach.
Thaisteal sé 40 km eile agus stop sé arís.
Má bhí 2 3
den aistear déanta aige ag an bpointe sin, ríomh fad iomlán an aistir.
(ii) Tá úinéir caisleáin ag smaoineamh ar an táille isteach ar an gcaisleán a mhéadú 15%.
Deir a chomhairleoirí leis go laghdóidh sé seo líon na gcuairteoirí 14%.
Ar cheart dó an táille a ardú? Mínigh do fhreagra.

(iii) Infheistíodh suim áirithe airgid ar feadh dhá bhliain ar ús iolraithe.
6% an ráta úis sa chéad bhliain agus 5 1 2
% sa dara bliain.
Má b’fhiú 6709.80 an infheistíocht i ndeireadh an dara bliain, ríomh an tsuim
a infheistíodh.
8. (i) Roinn Siobhán agus Caoimhín 960 sa chóimheas 3 : 5.
Thug Siobhán 1 3
dá sciar do Mhícheál.
Thug Caoimhín leath a sciar do Mhícheál.
Cén codán den bhunsuim airgid a fuair Mícheál?
Tabhair an codán san fhoirm is simplí de.
(ii) Ceannaíonn Liam lomaire faiche nua.
Laghdú 20% a thagann ar luach an lomaire gach bliain.
(a) Deir Liam ‘Ní bheidh luach ar bith sa lomaire i ndeireadh cúig bliana’.
Níl an ceart ag Liam. Cén fáth?
Teastaíonn ó Liam luach an lomaire i ndeireadh dhá bhliain a aimsiú.
(b) Cén uimhir dheachúlach shingil a iolróidh Liam faoi luach an lomaire nuair
a bhí sé nua?
(iii) Dlitear creidmheas cánach 3600 sa bhliain do Sheán. Is é 30 000 scoithphointe
an ráta chaighdeánaigh. Is é 20% an ráta caighdeánach agus 35% an ráta ard.
Má íocann Seán 7650 cáin ioncaim sa bhliain, faigh
(a) An cháin ioncaim chomhlán a íocann sé ar an ráta caighdeánach
(b) An cháin ioncaim chomhlán a íocann sé ar an ráta ard
(c) An méid ioncaim a thuill sé sa bhreis ar 30 000
(d) A thuarastal comhlán sa bhliain.
9. (i) D’fhág traein Trá Lí ar 09.05 agus shroich sí Baile Átha Cliath ar 12.50.
315 km atá Baile Átha Cliath ó Thrá Lí.
Faigh meánluas na traenach le linn an turais.
(ii) (a) Tarraingítear léarscáil ag úsáid scála 1 : 500 000. Ar an léarscáil, 21.7 cm an
fad idir dhá bhaile.
Faigh an fíorfhad eatarthu. Tabhair do fhreagra i gciliméadair.
(b) 40 an freagra a tugadh ar 10.25 3.84.
Ríomh an earráid chéatadánach agus bíodh do fhreagra ceart go hionad
amháin de dheachúlacha.
(iii) D’infheistigh duine P i mbanna coigiltis ar ús iolraithe.
4% an ráta sa chéad bhliain.
I ndeireadh na chéad bhliana, d’infheistigh an duine P breise sa bhanna.
3 1 2
% an ráta úis sa dara bliain agus 3% sa tríú bliain.
Má b’fhiú 17 397.94 an infheistíocht ar fad i ndeireadh an tríú bliain, ríomh
luach P.
137

1. Cóimheasa
Úsáidimid cóimheasa (mar shampla 3 : 4 nó 1: 2 : 3) chun léiriú a thabhairt
ar an gcaoi a roinntear rudaí. Bíonn dhá chainníocht i gcomhréir dhíreach
le chéile má fhanann a gcóimheasa mar an gcéanna de réir mar a mhéadaíonn
nó a laghdaíonn na cainníochtaí.
2. Céatadáin
(i) Chun méid a mhéadú 4%, iolraigh faoi 1.04.
(ii) Chun méid a laghdú 4%, iolraigh faoi 0.96.
(iii) Céatadán brabúis (nó caillteanais)
brabús (nó caillteanas)
bunsuim
100%
(iv) Earráid: Choibhneasta
earráid
fíorluach
Chéatadánach earráid
fíorluach 100
1 %
(v) Chun ús iolraithe a ríomh, aimsigh an t-iolraitheoir.
Méid i ndiaidh n bliain bunsuim (iolraitheoir) n
3. Cáin ioncaim
Cáin is iníoctha Cáin chomhlán creidmheasanna cánach
Más é 30 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh, ciallaíonn sé sin
go n-íocann an duine cáin ioncaim ar an ráta caighdeánach ar an gcéad
30 000 dá ioncam.
4. Idirbhearta airgeadra
Chun athrú ó airgeadra amháin go hairgeadra eile, is ar thaobh na láimhe
deise den chothromóid a chuirtear an t-airgeadra a theastaíonn sa fhreagra.
5. Luas-am-fad
Luas Fad ; Am
Fad
; Fad Am Luas
Am Luas
6. Uimhreacha san fhoirm chaighdeánach
Is féidir uimhreacha móra agus uimhreacha beaga a scríobh go simplí san
fhoirm chaighdeánach.
Bíonn uimhir san fhoirm chaighdeánach nuair:
7.2 10 6
a scríobhtar an chuid seo
a scríobhtar an chuid seo
mar uimhir idir 1 agus 10 mar chumhacht de chuid 10
Chun uimhreacha a chur isteach ar d’áireamhán san fhoirm chaighdeánach,
úsáid an eochair . 10 x nó Exp
Chun 4.5 10 7 a chur isteach, brúigh na heochracha 4 5 10 x 7 .
138

Dóchúlacht
6
dóchúlacht dodhéanta cinnte fothoradh teagmhas
comhdhóchúil spás samplach turgnamh minicíocht choibhneasta
riail an iolraithe comheisiatach léaráidí Venn trialacha Bernoulli
iomalartú teaglaim luach ionchais léaráidí crainn
Mír 6.1
Dóchúlacht agus seansúlacht
Má éisteann tú le tuar na haimsire, seans go gcloiseann tú a leithéidí seo:
‘Seans maith go mbeidh sé ag cur báistí amárach’.
‘D'fhéadfadh toirneach a bheith ann san iarnóin’.
‘Is dócha go stopfaidh an bháisteach i dtreo an tráthnóna’.
Chun tuar na haimsire a thabhairt, déantar staidéar ar chairteacha agus ar shonraí aimsire le
hinsint dúinn, mar shampla, cén seans atá ann go mbeidh sé ag cur báistí amárach.
Baineann an dóchúlacht úsáid as uimhreacha le hinsint dúinn cé chomh mór nó chomh
beag is atá an seans go dtarlóidh rud éigin.
Tá slite éagsúla ann chun cur síos a dhéanamh ar an dóchúlacht nó an seans go dtarlóidh
rud éigin. Seo roinnt samplaí:
Dodhéanta Neamhdhóchúil Seans Cothrom Dóchúil Cinnte
Is é 1 an dóchúlacht atá ag teagmhas ar cinnte go dtarlóidh sé.
Is é 0 an dóchúlacht atá ag teagmhas nach féidir leis tarlú.
Tá gach dóchúlacht eile níos mó ná 0 agus níos lú ná 1.
Dá dhóchúla é go dtarlóidh rud éigin, is é is gaire a bheidh an dóchúlacht do 1.
Scála dóchúlachta a thugtar ar an líne a thaispeántar thíos.
0
1
2
1
Dodhéanta
Neamhdhóchúil
Seans Cothrom
Dóchúil
Cinnte
Tá seans cothrom ann gur fear nó buachaill a bheidh sa chéad duine eile a chasfar ort ar
an tsráid.
Tá sé cinnte go n-éireoidh an ghrian amárach.
Tá sé dodhéanta 7 a fháil nuair a chaitear gnáthdhísle.
139

Cleachtadh 6.1
1. I gcás gach ceann de na teagmhais seo a leanas, déan cur síos ar an dóchúlacht go dtarlóidh
sé. Ceann díobh seo a bheidh i ngach freagra: Dodhéanta, Seans cothrom, Cinnte.
(i) Ní rachaidh an ghrian faoi an tseachtain seo chugainn.
(ii) Buachaill a bheidh sa chéad leanbh eile a bhéarfar.
(iii) Beidh Lá Nollag ar an 25 Nollaig i mbliana.
(iv) Tarraingíonn tú cárta dearg ó ghnáthphaca cártaí.
(v) Fásfaidh banana ar chrann piorraí.
2. Tá seacht lipéad ar an scála dóchúlachta thíos:
140
Dodhéanta
An-neamhdhóchúil
Neamhdhóchúil
Seans
Cothrom
Dóchúil
An-dóchúil
Cinnte
I gcás gach ceann de na teagmhais seo a leanas, cé acu de na lipéid sin is fearr a dhéanann
cur síos ar an seans go dtarlóidh sé?
(i) Scórálfaidh tú 10 in aon chaitheamh amháin de ghnáthdhísle.
(ii) Beidh sé ag cur báistí in Éirinn am éigin i gcaitheamh na seachtaine seo chugainn.
(iii) Buafaidh tú duais i gcrannchur an chlub le ticéad amháin.
(iv) Mairfidh tú go mbeidh tú 100 bliain d’aois.
(v) Críochnaíonn ceann de laethanta na seachtaine leis an litir N.
(vi) Má chaithim bonn is cúl a bheidh ar barr.
3 2 7 9 6 5
(vii) Tarraingeoidh tú ré-uimhir ó na cártaí seo
3. Tá na cártaí seo ag Dáithí:
Meascann sé na cártaí agus
iompaíonn sé aghaidh síos iad.
Piocann sé suas ceann amháin
agus breathnaíonn sé ar a
aghaidh. Tá 5 air. Piocann sé suas ceann eile agus breathnaíonn sé air.
(i) Cé acu is dóchúla: go bhfaighidh sé uimhir níos lú ná 5 nó go bhfaighidh sé uimhir
níos mó ná 5? Mínigh.
(ii) An bhfuil níos mó seans ann gur ciorcal a bheidh ar an gcárta ná gur triantán a
bheidh air? Mínigh.
4. Déan cóip den scála dóchúlachta seo. Cuir saighead ar an scála chun an dóchúlacht
go dtarlóidh na teagmhais a liostaítear thíos a thaispeáint:
0
Dodhéanta
3 7 4 9 5 1 11 8
5
1/2
1
Cinnte
(i) go stopfaidh an rothlóir ar dheis ar an dath dearg
(ii) go stopfaidh an rothlóir ar dheis ar an dath uaine
(iii) gur cailín a bheidh sa chéad leanbh eile a bhéarfar
(iv) go dtógfar cnaipe dubh amach as an mála seo,
gan breathnú isteach ann
(v) go dtógfar cnaipe dearg amach as an mála seo, gan breathnú isteach ann

5. Seo ceithre rothlóir agus dathanna éagsúla orthu:
A B C D
Má chastar na rothlóirí, cé acu de na rothlóirí a bhfuil ...
(i) seans cothrom ann go dtaispeánfaidh sé gorm?
(ii) seans cothrom ann go dtaispeánfaidh sé dearg?
(iii) an seans is lú ann go dtaispeánfaidh sé buí?
(iv) aon seans as trí cinn ann go dtaispeánfaidh sé buí?
(v) aon seans as ceithre cinn ann go dtaispeánfaidh sé dearg?
(vi) an seans is mó ann go dtaispeánfaidh sé dearg?
6. Díoltar íogart ina phacaí de 12.
Tá Robbie chun ceann a thógáil gan breathnú orthu.
0
cnónna
sútha gnách fanaile
Bain úsáid as an scála dóchúlachta le fáil amach cé mhéad de na blasanna seo atá i bpaca:
(i) fanaile (ii) gnách (iii) cnónna (iv) sútha.
7.
0
1
Buí
Dearg
Gorm
Casann Todd saighead agus é ag imirt cluiche. Stopann an
tsaighead ar cheann de shé theascóg déag de chiorcal. Tá na
teascóga ar fad ar cóimhéid. Tá dath amháin ar gach teascóg sa
chiorcal. Taispeánann an scála dóchúlachta cén seans atá ann go
stopfaidh an tsaighead ar aon dath faoi leith. Cé mhéad teascóg ...
(i) a bhfuil an dath dearg orthu (ii) a bhfuil an dath gorm orthu
(iii) a bhfuil an dath buí orthu?
8. Úsáideann Máire gnáth-heicseagán mar rothlóir le haghaidh cluiche
1
3 2 Ar scála dóchúlachta cosúil leis an gceann thíos, tarraing saighead le
taispeáint cén seans atá ann go bhfaighidh Máire na torthaí seo nuair
2 3
1 a chasann sí an rothlóir:
(i) 2
Fíor shéthaobhach is ea heicseagán.
(ii) uimhir níos lú ná nialas
(iii) uimhir níos mó ná 1.
0
1/2
1
141

Mír 6.2
Teagmhais agus fothorthaí
Sula féidir leat cluiche áirithe a thosú, caithfidh tú dísle a chaitheamh agus a sé a fháil.
Triail a thugtar ar chaitheamh an dísle.
Is iad na huimhreacha 1, 2, 3, 4, 5 agus 6 fothorthaí féideartha uile na trialach.
Teagmhas a thugtar ar an toradh a theastaíonn.
Má theastaíonn ré-uimhir uait agus tú ag caitheamh dísle, is é
an teagmhas nó na fothorthaí fabhracha ná na huimhreacha
2, 4 agus 6.
Fothorthaí comhdhóchúla
Deirtear go bhfuil dhá theagmhas comhdhóchúil (nó chomh dóchúil
lena chéile) má tá an seans céanna ann go dtarlóidh ceachtar acu.
Is ionann an seans go bhfaighidh tú dearg leis an rothlóir ar dheis agus
an seans go bhfaighidh tú gorm. Tá dearg agus gorm comhdhóchúil.
I gcás an rothlóra eile (ar dheis), ní hionann an seans go bhfaighidh tú
dearg agus an seans go bhfaighidh tú buí. Níl dearg agus buí
comhdhóchúil.
An riail ghinearálta: Más teagmhas é E, is é an dóchúlacht
go dtarlóidh E, i.e. P(E), ná
Teagmhas a thugtar ar
an toradh a theastaíonn.
P(E) ______________________________
líon na bhfothorthaí fabhracha in E
líon na bhfothorthaí féideartha
Nóta 1. Dóchúlacht teagmhais ar bith, E, ní fhéadfadh sí a bheith níos lú ná 0 ná níos
mó ná 1, i.e., 0 P(E) 1.
2. Má bhíonn an toradh cinnte is é 1 an dóchúlacht.
3. Mura féidir toradh fabhrach a bheith ann is é 0 an dóchúlacht.
I gcás an rothlóra ar dheis,
P(uaine) 1 5
, mar gur cuid amháin atá uaine
P(buí) 2 5
, mar gur dhá chuid atá buí.
Sampla 1
Cuirtear 12 thicéad i mbosca. Tá uimhir ar gach ticéad, ó 1 go 12 faoi seach.
Má tharraingítear ticéad amháin go randamach, faigh an dóchúlacht go bhfaighfear
(i) uimhir a ceathair
(ii) ré-uimhir
(iii) uimhir dhá dhigit
(iv) uimhir inroinnte ar 4
142

(i) 4 amháin atá in 12 uimhir atá comhdhóchúil.
⇒ P (4) __ 1
12
(ii) Is iad na ré-uimhreacha ná 2, 4, 6, 8, 10, 12, i.e., 6 ré-uimhir.
⇒ P (ré-uimhir) __ 6
12 1_ 2
(iii) 3 cinn d'uimhreacha dhá dhigit atá ann, i.e., 10, 11, 12.
3
⇒ P (uimhir dhá dhigit) __
12
1_ 4
(iv) Is iad na huimhreacha inroinnte ar 4 ná 4, 8, 12.
⇒ P (uimhir inroinnte ar 4) __ 3
12 1_ 4
Sampla 2
Má tharraingítear cárta as paca 52, faigh
an dóchúlacht
(i) gur rí atá ann
(ii) gur spéireata atá ann
(iii) gur cárta dearg atá ann.
(i) 4 rí atá sa phaca
⇒ P (rí) __ 4 __
52 1
13 .
(ii) 13 spéireata atá sa phaca
⇒ P (spéireata) __ 13
52 1_ 4 .
(iii) 26 cárta dearg atá sa phaca P (cárta dearg) __ 26
52 1_ 2 .
Sampla 3
Roghnaítear litir go randamach ó litreacha an fhocail SRACEOLAS.
Faigh an dóchúlacht gurb é atá ann ná:
(i) R (ii) S (iii) guta (iv) L nó S.
(i) R amháin atá sna naoi litir ⇒ P (R ) 1_ 9
(ii) Dhá S atá san fhocal ⇒ P (N ) 2_ 9
(iii) Ceithre ghuta atá san fhocal … [A, E, O, A] ⇒ P (guta)
4_
9
(iv) L amháin agus dhá S atá san fhocal, i.e., trí cinn ar fad.
⇒ P(L nó S) 3_ 9 1_ 3
143

Focail a bhíonn in úsáid go minic sa dóchúlacht
Is minic a bhaintear úsáid as focail ar nós randamach agus cóir i gceisteanna
dóchúlachta.
Is bealaí iad sin le rá go bhfuil
gach fothoradh comhdhóchúil.
Más teagmhas é A, tarlóidh sé nó ní tharlóidh sé.
P(go dtarlóidh A) 1 P(nach dtarlóidh A)
Mar shampla:
Tarraingítear cárta go randamach ó phaca cártaí.
Ciallaíonn sé sin go bhfuil an seans céanna ann go dtarraingeofar aon cheann de na cártaí.
Caitheann tú dísle cóir.
Ciallaíonn sé sin go bhfuil na fothorthaí 1, 2, 3, 4, 5 agus 6 comhdhóchúil.
Cleachtadh 6.2
1. Caitheann tú dísle cóir.
Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:
(i) 5 (ii) 1 nó 2 (iii) 4 nó níos mó
(iv) corruimhir (v) níos lú ná 3 (vi) uimhir phríomha
2. Castar an rothlóir cóir seo trasna. Oibrigh amach an
dóchúlacht go mbeidh an tsaighead ag síneadh i dtreo:
(i) buí (B),
(ii) uaine (U),
(iii) dearg (D),
(iv) gorm (G),
(v) dearg nó gorm (D nó G).
3. Roghnaítear litir go randamach as an bhfocal SRIANADH.
Cén dóchúlacht atá ann
(i) gurb í an litir R atá ann (ii) gurb í an litir A atá ann
(iii) gur guta atá ann?
4. I gcás gach ceann de na rothlóirí seo, cén dóchúlacht atá ann 4 a fháil?
(i)
(ii)
(iii)
1 2
4 4
2
4 3
4 1
3
4
Cén dóchúlacht atá ann 2 nó 4 a fháil ar rothlóir (iii)?
144

5. Tarraingítear cárta ó phaca 52
cárta imeartha.
Céard iad na dóchúlachtaí iad
seo a tharraingt:
(i) cárta dearg
(ii) spéireata
(iii) rí
(iv) rí dearg?
Ceithre dhath (suit) atá i bpaca cártaí: hairt agus
muileataí atá dearg; triufanna agus spéireataí
atá dubh.
Tá 13 chárta i ngach dath: aon, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, cuireata, banríon agus rí. Is iad an
cuireata, an bhanríon agus an rí na cártaí pictiúir.
6. Tá 5 chnaipe dhearga, 4 chnaipe dhubha agus 3 chnaipe uaine i mála.
Má tharraingítear cnaipe go randamach ón mála, faigh an dóchúlacht go bhfuil sé
(i) dearg (ii) uaine (iii) dearg nó dubh (iv) gan a bheith dubh
7. Léaráid atá ar dheis de rothlóir i dteach cearrbhachais. An tsuim
a stopann an maide treorach uirthi, sin í an tsuim a bhuafaidh tú.
0
Má ghlacaimid leis go bhfuil an seans céanna ann go stopfaidh an
an maide treorach ar shuim ar bith díobh, cén dóchúlacht atá ann
(i) go mbuafaidh tú 5
(ii) nach mbuafaidh tú dada
5
20
(iii) go mbuafaidh tú roinnt airgid (iv) go mbuafaidh tú níos mó ná 5? 0
10
0
1
5
8. Roghnaítear litir go randamach as an bhfocal TUAISCEART.
Céard é an dóchúlacht gurb é atá sa litir ná
(i) T (ii) A (iii) T nó A (iv) guta?
9. Beidh breithlá Megan ann an tseachtain seo chugainn.
Cén dóchúlacht atá ann go mbeidh a breithlá
(i) ar an Luan
(ii) lá ar túslitir dó D
(iii) ar an Satharn nó ar an Domhnach?
10. Tá uimhir ar gach aghaidh de chuid dísle. Seo iad na huimhreacha: 2, 3, 3, 3, 4, 7.
Caitheann tú an dísle. Faigh an dóchúlacht go bhfaighidh tú
(i) ‘7’
(ii) ré-uimhir.
11. Scríobhtar 26 litir na haibítre Béarla ar dhioscaí.
Cuirtear na cúig dhiosca a bhfuil guta scríofa orthu
i mála A agus cuirtear na dioscaí eile i mála B.
Cén dóchúlacht atá ann go bhfaighidh tú
(i) ‘o’ ó mhála A
(ii) ‘z’ ó mhála B
(iii) ‘w’ ó mhála A.
A
Gutaí
B
Consain
145

12. I scrúdú, bronntar ceann de na gráid A, B, C, D, E, F ar gach iarrthóir.
Is é grád A an grád is airde agus is é grád F an ceann is ísle. Taispeántar sa tábla thíos
dáileadh na ngrád a fuair an 30 dalta i rang.
Grád A B C D E F
Líon na ndaltaí 4 9 7 5 3 2
Má roghnaítear iarrthóir go randamach, cén dóchúlacht atá ann go bhfuair sé/sí
(i) Grád A (ii) Grád C nó D (iii) Grád C nó níos airde?
13. Tá 12 dhiosca i mbosca. Tá trí cinn dearg, dhá cheann buí, ceithre cinn uaine agus trí cinn bán.
(i) Faigh an dóchúlacht go roghnófá
(a) diosca dearg (b) diosca buí
(ii) Cuirtear isteach trí dhiosca bhuí in áit na dtrí dhiosca
bhána. Faigh an dóchúlacht go roghnófá
(a) diosca dearg (b) diosca buí.
14. Sular tháinig deireadh le Campa Samhraidh bliain amháin fiafraíodh de 50 dalta, idir
bhuachaillí agus chailíní, cén cluiche ar an gcampa ba rogha leo. Taispeántar na torthaí
sa tábla thíos:
Leadóg Cispheil Eitpheil
Cailíní 15 10 5
Buachaillí 6 12 2
Má roghnaíodh duine go randamach ón mbuíon 50 dalta, faigh dóchúlacht gach ceann
díobh seo:
(i) gur buachaill a roghnaíodh
(ii) gur cailín a roghnaíodh agus gurbh í an leadóg ba rogha léi
(iii) gurbh í an chispheil ba rogha leis an duine.
Más cailín a roghnaíodh, faigh an dóchúlacht gurbh í an eitpheil a roghnaigh sí.
15. Tá 6 licín i mbosca.
Is é an dóchúlacht gur licín uaine a thógfar amach as an mbosca ná 1 2 .
Tógtar licín uaine amach as an mbosca agus cuirtear i leataobh é.
Anois tógann Gearóid licín as an mbosca go randamach.
Céard é an dóchúlacht gur uaine atá sé?
16. Féach ar an tábla dhá bhealach thíos ina dtugtar sonraí faoi ghrúpa 50 duine. Is iad na
sonraí atá i gceist ná líon na bhfear agus líon na mban a chaitheann spéaclaí agus nach
gcaitheann spéaclaí.
Fir Mná Iomlán
Caitheann spéaclaí 16 18 34
Ní chaitheann spéaclaí 9 7 16
Iomlán 25 25 50
146

I gcás duine a roghnaítear go randamach, oibrigh amach an dóchúlacht:
(i) gur bean atá ann,
(ii) nach gcaitheann sé/sí spéaclaí
(iii) gur fear a chaitheann spéaclaí atá ann
17. Sa tábla seo taispeántar an chaoi a bhfuil uimhir a 1 nó
Dearg Gorm
uimhir a 2 ar chaoga licín dearg agus gorm.
1 12 8
Roghnaítear ceann amháin de na licíní go randamach.
Céard é an dóchúlacht go roghnaítear
2 8 22
(i) ceann ar a bhfuil a 1 (ii) ceann gorm (iii) ceann gorm ar a bhfuil a 1?
Roghnaítear licín gorm go randamach.
(iv) Céard é an dóchúlacht gurb é a 1 atá ar an licín?
Roghnaítear go randamach licín a bhfuil uimhir a 1 air.
(v) Céard é an dóchúlacht gur gorm atá sé?
18. Chuir Maidhc na dioscaí seo isteach i mála. Tá uimhir ar gach diosca.
(i) Croitheann sé an mála agus tógann sé
3 1 1 3
diosca amháin gan breathnú air.
2 4 3
Cén dóchúlacht atá ann a 2 a fháil?
(ii) Tá Maidhc ag iarraidh níos mó dioscaí a chur isteach sa mhála ionas go mbeidh
an seans go bhfaighidh sé a 4 dhá oiread níos mó ná an seans go bhfaighidh sé a 3.
Cé na dioscaí ba chóir dó a chur isteach sa mhála?
19. D'imir Marcas cluiche cártaí le Pól. Roinneadh na cártaí sa chaoi is go bhfuair siad dhá
chárta an duine. A ceathair agus a cúig a bhí i gcártaí Mharcais. A sé a bhí sa chéad
chárta a fuair Pól.
Marcas
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Maidir leis an dara cárta a fuair Pól, faigh an dóchúlacht
(i) gur a cúig a bhí ann (ii) gur cárta pictiúir [Rí, Banríon nó Cuireata] a bhí ann.
20. Tá an ciorcal ar dheis roinnte ina ocht dteascóg chomhionanna.
Cóipeáil an léaráid seo agus, sna teascóga, marcáil na litreacha
D (dearg), U (uaine) nó G (gorm) ionas, nuair a chastar rothlóir,
gurb é 1 4
an dóchúlacht go bhfaighfear gorm agus go mbeidh an
dóchúlacht go bhfaighfear dearg dhá oiread níos mó ná an
dóchúlacht go bhfaighfear uaine.
Pól
Mír 6.3 Dhá theagmhas --- spásanna samplacha a úsáid
Nuair a chaitear dhá bhonn in airde, is é seo tacar na bhfothorthaí féideartha:
{AA, AC, CA, CC}, nuair atá A aghaidh agus C cúl.
Spás samplach a thugtar ar thacar sin na bhfothorthaí féideartha.
e i R e
e i R e
0 0 2 2 0 2
147

Ach leas a bhaint as an spás samplach sin, is féidir linn an dóchúlacht go bhfaighimid
2 aghaidh a scríobh síos, mar shampla.
P(AA) 1 4
P(aghaidh amháin agus cúl amháin) 2_ 4 1_ 2
Is iomaí fothoradh féideartha ar thurgnamh ar nós dhá dhísle a chaitheamh, agus mar sin
ní foláir an spás samplach a leagan amach i gceart, mar a thaispeántar sa sampla seo a leanas.
Sampla 1
Má chaitear dhá dhísle agus má shuimítear na scóir le chéile, leag amach spás
samplach a mbeidh na fothorthaí féideartha go léir ann. Ríomh na dóchúlachtaí seo:
(i) gurb é 7 go baileach an t-iomlán (ii) gurb é 4 nó níos lú an t-iomlán
(iii) gurb é 11 nó níos mó an t-iomlán (iv) gur iolraí ar 5 é an t-iomlán.
1 2 3 4 5 6
Tá an spás samplach le feiceáil ar dheis.
36 fothoradh atá ann.
⇒ P (iolraí ar 5) 7
36
(i) Is é 7 an t-iomlán 6 huaire.
1 2 3 4 5 6 7
⇒ P (7) 6
36 1_ 6
2 3 4 5 6 7 8
(ii) Is é 4 nó níos lú an t-iomlán 6 huaire.
⇒ P (4 nó níos lú) 6
36 1_ 6
3 4 5 6 7 8 9
(iii) Is é 11 nó níos mó an t-iomlán 3 huaire.
4 5 6 7 8 9 10
⇒ P (11 nó níos mó) 3
36 1
12
5 6 7 8 9 10 11
(iv) Is iad 5 agus 10 na hiolraithe ar 5.
Is é 5 nó 10 an t-iomlán 7 n-uaire.
6 7 8 9 10 11 12
Cleachtadh 6.3
1. Caitear bonn cóir in airde agus caitear dísle cóir.
Taispeántar sa tábla thíos na fothorthaí féideartha ar fad.
Bonn
Dísle
1 2 3 4 5 6
Aghaidh (A) A, 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5 A, 6
Cúl (C) C, 1 C, 2 C, 3 C, 4 C, 5 C, 6
Scríobh síos dóchúlacht gach ceann de na fothorthaí seo:
(i) aghaidh agus 5
(ii) cúl agus ré-uimhir
(iii) cúl agus 3 nó níos mó (iv) aghaidh agus iolraí ar 3.
148

2. Caitear dhá dhísle agus suimítear na scóir.
Taispeántar na fothorthaí sa spás
samplach ar dheis.
Faigh an dóchúlacht gurb é suim an
dá uimhir ná
(i) 9 (ii) 10
(iii) 3 nó níos lú (iv) 10 nó 11.
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
8
7
6
5
4
3
9
8
7
6
5
4
10 11 12
9
8
7
6
5
10 11
9
8
7
6
10
9
8
7
1 2 3 4 5 6
3. Caitear trí bhonn in airde, agus is aghaidh (A) nó cúl (C) a thugann gach caitheamh.
Déan amach spás samplach le haghaidh na bhfothorthaí féideartha agus scríobh síos
dóchúlacht gach ceann díobh seo:
(i) AAA
(ii) ACA san ord sin
(iii) 2 aghaidh agus 1 chúl amháin in ord ar bith.
4. Imríonn tú cluiche le dhá rothlóir, mar a thaispeántar.
Castar an dá rothlóir ag an am céanna agus suimítear na scóir
le chéile. Déan amach spás samplach le haghaidh na dtorthaí 4
féideartha agus scríobh síos an dóchúlacht gurb é a suim ná
(i) 6 (ii) 10 (iii) ré-uimhir
Cén scór is minice a fhaigheann tú?
Scríobh síos uaidh sin dóchúlacht an scór sin a fháil.
1
2
3
7
5
8
5. Tá trí chárta ann, dhá cheann ghorma agus ceann amháin dearg. Cuirtear na trí chárta
taobh le taobh ar bhord, go randamach. Seo ceann de na bealaí sin:
G D G
Liostaigh na bealaí eile go léir ina bhféadfaí na cártaí a chur, agus scríobh síos
dóchúlacht an dá chárta ghorma a bheith taobh le chéile.
6. Castar na saigheada ar an dá rothlóir seo.
4
1
3
2
5
7
6
(i) Déan liosta chun na fothorthaí féideartha go léir a thaispeáint, m.sh. (1, 5), (1, 6), …
(ii) Cé mhéad fothoradh ar fad atá ann?
(iii) Céard iad na dóchúlachtaí seo:
(a) go síneann an dá shaighead i dtreo corruimhreach
(b) go síneann an dá shaighead i dtreo ré-uimhreach
(c) gurb é 8 suim an dá uimhir an bhfuil na saigheada ag síneadh ina dtreo?
149

7. Capaill is ea A, B agus C. Comhdhóchúlacht atá ann go
mbuafaidh gach capall díobh rás 3 chapall. Má bhaineann
gach capall ceann scríbe amach, agus mura coimhlint
chothrom a bhíonn ann, liostaigh na bealaí go léir
a bhféadfadh na capaill ceann scríbe a bhaint amach.
(i) Cén dóchúlacht atá ann gur san ord A, B agus C
a bhainfidh na capaill ceann scríbe amach?
(ii) Cén dóchúlacht atá ann gurb é A a bhuafaidh?
8. Castar rothlóir gorm agus rothlóir uaine ag an am céanna agus iolraítear na scóir faoina
chéile.
Gorm
4
1
2
Uaine
3
1
3
2
Cóipeáil agus críochnaigh an tábla fothorthaí féideartha a thaispeántar thíos.
Uaine
Gorm
1 2 3 4
1
2 2 4 6 8
3 9
Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:
(i) scór de 4 (ii) ré-uimhir (iii) scór de 8 nó níos mó.
9. Caitear trí bhonn chóra in airde.
Déan amach spás samplach le haghaidh
na bhfothorthaí féideartha go léir.
e R R i i e e
2 2 0 0 0 0 2
Anois scríobh síos dóchúlacht gach
ceann de na fothorthaí seo:
(i) trí aghaidh
(iii) gan aghaidh ar bith
(ii) dhá aghaidh agus cúl amháin
(iv) aghaidh amháin ar a laghad.
Mír 6.4
Dóchúlachtaí a mheas ó thurgnaimh
Go dtí seo ríomhamar dóchúlachtaí ar an mbonn go bhfuil gach fothoradh comhdhóchúil
San fhíorshaol, áfach, ní i gcónaí a bhíonn teagmhais comhdhóchúil agus ní mór
teacht ar bhealach éigin eile chun an dóchúlacht a mheas.
I gcásanna den sórt sin déanaimid turgnamh nó suirbhé chun an dóchúlacht go dtarlóidh
teagmhas a mheas.
150

Turgnamh
Tá Seán ag ceapadh go bhfuil bonn laofa.
Socraíonn sé ar thurgnamh a dhéanamh. Caitheann sé an bonn in airde 200 uair agus
déanann cuntas de líon na n-aghaidheanna tar éis 10, 50, 100, 150 agus 200 caitheamh.
TTá na torthaí le feiceáil sa tábla seo ar dheis:
Dá mhéad uair a chaitheann sé an bonn in
airde is ea is gaire a bhíonn líon na n-aghaidheanna
roinnte ar líon na gcaití do 0.5, i.e., 1 2 .
Minicíocht choibhneasta a thugtar ar an
luach sin agus tugann sé meastachán ar an
dóchúlacht go dtarlóidh an teagmhas.
Mar sin, má dhéantar suirbhé nó turgnamh, is féidir an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas a
mheas ar an gcaoi seo:
Minicíocht choibhneasta
Líon na dtrialacha fabhracha
__________________________
Líon iomlán na dtrialacha
Ar an mórchuid, dá mhéad uair a dhéantar an triail nó an turgnamh is ea is gaire don
fhíordhóchúlacht nó don dóchúlacht theoiriciúil a bhíonn luach na minicíochta coibhneasta.
Sampla 1
Líon na
gcaití
Líon na
n-aghaidheanna
Bailíonn Derek sonraí ar dhathanna na gcarranna a ghabhann thar gheata na scoile.
Taispeántar na torthaí sa tábla.
Dath Cuntas Minicíocht
Bán 24
Dearg 32
Dubh 14
Gorm 16
Uaine 10
Eile 4
Aghaidheanna
caití
10 7 0.7
50 28 0.56
100 53 0.53
150 78 0.52
200 103 0.515
(i) Cé mhéad carr a ndearna Derek cuntas díobh?
(ii) Cén mhinicíocht choibhneasta a bhí ag carranna gorma?
(iii) Cén mhinicíocht choibhneasta a bhí ag carranna dearga?
Bíodh do fhreagra ina dheachúil.
(iv) Scríobh síos meastachán den dóchúlacht gur uaine a bheidh an chéad charr
eile a ghabhfaidh thar gheata na scoile.
(v) Cén chaoi ar féidir an meastachán do dhóchúlacht na gcarranna uaine a bheith
níos iontaofa?
151

(i) Is ionann líon na gcarranna sa suirbhé agus suim na minicíochtaí.
Sin 100 carr.
(ii) Minicíocht choibhneasta na gcarranna gorma ___ 16 __
100 4
25 .
(iii) Minicíocht choibhneasta na gcarranna dearga ___ 32
100 0.32.
(iv) Dóchúlacht gur uaine an 1ú charr eile minicíocht choibhneasta na gcarranna
uaine
___ 10 __
100 1
10
(v) Is féidir iontaofacht an mheastacháin do dhóchúlacht na gcarranna uaine a
fheabhsú ach cur le líon na gcarranna a ndéantar cuntas díobh. Thabharfadh
cúig chéad carr meastachán an-chruinn den fhíordhóchúlacht.
Minicíocht ionchais
Tá 3 dhiosca dhearga agus 2 dhiosca ghorma i mála áirithe.
Roghnaítear diosca go randamach ón mála agus cuirtear ar ais é.
Is é an dóchúlacht gur diosca gorm a gheofar ná 2 5 .
Ciallaíonn sé sin, ar meán, go mbeidh tú ag súil le 2 dhiosca
ghorma i ngach 5 cinn a roghnaítear nó 20 diosca gorm i ngach 50 ceann a roghnaítear.
Chun an líon ionchais dioscaí gorma a fháil nuair a roghnaíonn tú diosca 100 uair,
(i) Oibrigh amach an dóchúlacht go dtarlaíonn an teagmhas uair amháin.
(ii) Iolraigh an dóchúlacht sin faoi líon na n-uaireanta a dhéantar an turgnamh.
Mar sin is é líon ionchais na ndioscaí gorma ná
2_
5 ___ 100
1 40.
Minicíocht ionchais
dóchúlacht líon na dtrialacha.
Sampla 2
Sa tábla ar dheis tugtar an dóchúlacht,
i gcás gach ceann de na huimhreacha
Uimhir
Dóchúlacht
1
0.1
2
0.1
3
0.2
4
a
5
0.2
6
0.3
1 go 6, gurb í an uimhir sin a bheidh ar barr nuair a stopfaidh dísle laofa:
(i) Scríobh síos an luach atá ag a.
(ii) Má chaitear an dísle 300 uair, cé mhéad 6 a mbeifeá ag súil leo?
(i) Ós rud é go caithfidh ceann de na huimhreacha 1 go 6 a bheith ar barr nuair a
stopfaidh an dísle, is é 1 suim na ndóchúlachtaí
go léir.
Is é 1 suim na
0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 a 1 ndóchúlachtaí.
⇒ 0.9 a 1
⇒ a 1 0.9 ⇒ a 0.1
(ii) Líon ionchais 6anna P(6) líon na dtrialacha
0.3 300 90
152

Cleachtadh 6.4
1. Caitear bonn cóir in airde 100 uair.
Cé mhéad aghaidh a bheadh súil agat a fháil?
2. Caitear bonn cóir séthaobhach in airde 60 uair.
(i) Cé mhéad 6 a bheadh súil agat a fháil?
(ii) Cé mhéad 2 a bheadh súil agat a fháil?
(iii) Cé mhéad 2 nó 6 a bheadh súil agat a fháil?
3. Roghnaítear liathróid amháin go randamach ón
mála ar dheis agus ansin cuirtear ar ais í. Déantar
sin 400 uair.
Cé mhéad uair a bheadh súil agat
(i) liathróid ghorm a fháil?
(ii) liathróid bhán a fháil?
4. Tá Jósaí ag ceapadh go bhfuil a bhonn laofa.
Caitheann sé in airde 200 uair é agus faigheann sé 130 aghaidh agus 70 cúl.
(i) Céard é an dóchúlacht thurgnamhach go bhfaighfear aghaidh leis an mbonn seo?
(ii) In 200 caitheamh, cé mhéad aghaidh a bheadh súil agat a fháil dá mbeadh an
bonn cóir?
(iii) An gceapann tú go bhfuil an bonn laofa?
Tabhair míniú le do fhreagra.
5. Castar rothlóir 420 uair. Tá 12 theascóg chomhionanna sa
rothlóir. Cé chomh minic a bheifeá ag súil le
(i) E a fháil?
(ii) ré-uimhir a fháil
(iii) guta a fháil?
5
U
4
B
T
6
3
E
A
3
C
7
6. Theastaigh ó Léan a fháil amach an raibh dísle laofa. Chaith sí an dísle 300 uair.
Tugtar a cuid torthaí sa tábla thíos.
Uimhir ar an dísle 1 2 3 4 5 6
Minicíocht 30 40 55 65 50 60
(i) Don dísle seo, ríomh an dóchúlacht thurgnamhach go bhfaighfear
(a) a sé (b) a dó.
(ii) Do dhísle cóir, ríomh an dóchúlacht go scórálfar
(a) a sé (b) a dó.
(iii) De réir na bhfreagraí a thug tú, an bhfuil an dísle cóir?
Tabhair do chuid fáthanna.
153

7. Tá uimhreacha ar na teascóga éagsúla de rothlóir, mar atá le feiceáil ar dheis.
Tugtar torthaí an chéad 30 casadh thíos.
1 2 3 3 5 1 3 2 2 4 5 3 2 1 2
5 2 4 1 5 1 5 2 2 4 2 5 4 2 3
Déan tábla a thaispeánfaidh líon na n-aonta, na ndónna, etc. a scóráladh.
Dá mbeadh an rothlóir cóir, cé mhéad uair a bheifeá ag súil go bhfaighfí gach uimhir?
An gceapann tú go bhfuil an rothlóir seo cóir? Tabhair cúis le do fhreagra.
8. Coinníonn Gemma cuntas ar a cuid cluichí fichille le Léan.
As na chéad 10 gcluiche, buann Gemma 6 cinn.
As an gcéad 30 cluiche, buann Gemma 21.
Bunaithe ar na torthaí sin, déan meastachán ar an dóchúlacht go mbuafaidh Gemma
a céad chluiche fichille eile le Léan.
9. Tá an rothlóir seo laofa.
I gcás gach ceann de na huimhreacha 1 go 4, tugtar sa tábla
thíos an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ar an uimhir sin.
Uimhir 1 2 3 4 5
Dóchúlacht 0.35 0.1 0.25 0.15
Castar an rothlóir aon bhabhta amháin.
(i) Oibrigh amach an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ar 5.
(ii) Scríobh síos an uimhir ar mó an seans go stopfaidh an rothlóir uirthi.
(iii) Má chastar an rothlóir 200 uair, cé mhéad uair a bheifeá ag súil lena stopadh ar 3?
2
3
1
4
5
2
1
3
4
5
10. Caitheann Olivia, Ben agus
Jósaí dísle difriúil 360 babhta.
Níl ach 1 de na díslí cóir.
Cén duine ag a bhfuil an dísle sin?
Tabhair míniú le do fhreagra.
Cén duine ag a bhfuil an dísle
is laofa?
Tabhair míniú le do fhreagra.
Uimhir Olivia Ben Jósaí
1 27 58 141
2 69 62 52
3 78 63 56
4 43 57 53
5 76 56 53
6 67 64 5
11. Tugtar sa tábla thíos an dóchúlacht go stopfaidh dísle laofa ar gach ceann de na
huimhreacha 1 go 6:
154
Uimhir 1 2 3 4 5 6
Dóchúlacht x 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2
(i) Ríomh luach x.
(ii) Má chaitear an dísle uair amháin, faigh an dóchúlacht go dtaispeánfaidh sé
uimhir níos airde ná 3.
(iii) Má chaitear an dísle 1000 uair, déan meastachán ar líon na n-uaireanta a
thaispeánfaidh sé 6.

12. Tá ceithre aghaidh ar dhísle agus is iad na huimhreacha 1, 2, 3 agus 4 atá ar na
haghaidheanna, ceann amháin acu ar gach aghaidh. Is é an ‘scór’ an uimhir atá ar
barr nuair a stopann an dísle. Caitheann cúigear daltaí an dísle féachaint an bhfuil
sé laofa. Caitheann gach duine acu an dísle. Ní hé an líon céanna uaireanta a chaitheann
aon bheirt acu é. Taispeántar na torthaí sa tábla.
Dalta
Líon iomlán
na gcaití
Scór
1 2 3 4
Aindí 20 7 6 3 4
Brian 50 19 16 8 7
Ciara 250 102 76 42 30
Dara 80 25 25 12 18
Emma 150 61 46 26 17
(i) Cén dalta ag a mbeidh na torthaí is iontaofa? Cén fáth?
(ii) Suimigh na hiontrálacha ar fad i ngach colún scór agus oibrigh amach minicíocht
choibhneasta gach scóir. Bíodh do chuid freagraí ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(iii) An bhfuil an dísle laofa? Tabhair míniú le do fhreagra.
13. Caitheadh dísle dearg agus
dísle gorm araon 100 uair.
Taispeántar na torthaí sa
bharrachairt seo.
Tá ceann de na díslí cóir
agus níl an ceann eile. Cén dísle
atá cóir, dar leat? Cén fáth?
Minicíocht
22
20
18
16
14
12
10
0
1 2 3 4 5 6
Uimhir ar an dísle
dísle dearg
dísle gorm
14. Tá ceathrar cairde ag úsáid rothlóra le haghaidh cluiche agus tá fonn orthu a fháil amach
an bhfuil sé cóir go hiomlán. Casann gach duine acu an rothlóir roinnt mhaith uaireanta
agus breacann siad síos na torthaí.
Ainm
Líon na
gcastaí
Torthaí
0 1 2
Ailéin 30 12 12 6
Ceiteach 100 31 48 20
1
2
Liam 300 99 133 68
Áine 150 45 73 32
0
(i) Cén duine ag a bhfuil na torthaí ar mó an seans go dtabharfaidh siad an
meastachán is fearr ar an dóchúlacht go bhfaighfear gach uimhir?
(ii) Déan tábla trí na torthaí ar fad a shuimiú le chéile. Bain úsáid as an tábla le
do thuairim a thabhairt ar an gceist seo an bhfuil an rothlóir laofa?
(iii) Bain úsáid as na torthaí chun an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ar
a 2 a oibriú amach.
155

15. Tá 100 milseán i mbosca.
Tógann Eric milseán gan breathnú air.
tafaí 20
Scríobhann sé síos cén sórt é agus ansin cuireann sé ar ais é. miontas 38
P(cárta dearg nó ré-uimhir) 5 8
Déanann sé é sin 100 uair. Taispeánann an chairt seo torthaí Eric. glóthach 14
(i) Cheap Eric go gcaithfidh 20 tafaí go baileach a bheith seacláid 25
sa bhosca. Mínigh cén fáth a bhfuil sé mícheart.
caramal 3
(ii) Céard é an líon is lú caramal a d'fhéadfadh a bheith sa bhosca?
(iii) An bhféadfadh aon sórt eile milseáin a bheith sa bhosca? Mínigh.
(iv) Tosaíonn Eric arís agus déanann sé an rud céanna 100 uair eile.
An mbeidh na huimhreacha céanna go baileach ar an gcairt an uair seo?
(v) Tógann cara Eric milseán. Cén sórt ar mó an seans go bhfaighidh sé é?
Mír 6.5 Teagmhais chomheisiatacha ---
riail an tsuimithe
Taispeántar seacht gcárta ar a bhfuil uimhreacha agus dathanna éagsúla:
1 2 3 4 5 7 9
Cuir i gcás an dá theagmhas seo:
(i) cárta dearg a tharraingtd
(ii) ré-uimhir a tharraingt.
Ní féidir go dtarlódh an dá fhothoradh sin le chéile mar nach bhfuil aon chárta dearg ann ar
a bhfuil ré-uimhir.
Deirtear go bhfuil na fothorthaí sin comheisiatach.
Más teagmhais iad A agus B nach bhféadfaidh a bheith ann
le chéile, tá
Tá fothorthaí comheisiatach
mura bhféadfaidh siad a
bheith ann le chéile.
P(A nó B) P(A) P(B) P(A agus B)
Dlí an tsuimithe le haghaidh teagmhais chomheisiatacha a
thugtar air sin.
Ag úsáid na gcártaí thuas,
Uaireanta tugtar
an riail NÓ ar
dhlí an tsuimithe
P(cárta dearg nó ré-uimhir) P(cárta dearg) P(ré-uimhir)
3_ 7 2_ 7 5_ 7
Nuair nach bhfuil teagmhais comheisiatach
Cuir i gcás anois na cártaí seo:
1 3 4 5 6 8 9 11
Céard é an dóchúlacht go bhfaighfear cárta dearg nó ré-uimhir?
Tá 3 chárta dhearga agus 3 ré-uimhir ann.
Ní hé P(cárta dearg) P(ré-uimhir) an dóchúlacht
i.e., ní hé 3 8 3 8
an dóchúlacht mar go bhfuil uimhir a 4 curtha san áireamh faoi dhó.
Níl ach 5 cinn de chártaí dearga nó ré-uimhreacha ann.
156

Maidir leis na cártaí ar an leathanach roimhe seo,
P(dearg nó ré-uimhir) P(dearg) P(ré-uimhir) P(dearg agus ré-uimhir)
3_ 8 3_ 8 1_ 8
6_ 8 1_ 8 5_ 8
Nuair is féidir go dtarlóidh dhá theagmhas A agus B ag an am céanna, seo í an riail ghinearálta:
P(A nó B) P(A) P(B) P(A agus B)
Sampla 1
Tá uimhir le roghnú go randamach ó na slánuimhreacha 1 go 30, agus an dá uimhir
sin san áireamh. Faigh an dóchúlacht
(i) gur iolraí ar 3 atá ann
(ii) gur iolraí ar 5 atá ann
(iii) gur iolraí ar 3 nó iolraí ar 5 atá ann.
(i) Is iad seo na hiolraithe ar 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
⇒ P(iolraí ar 3) __ 10
30 1_ 3
(ii) Is iad seo na hiolraithe ar 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30.
⇒ P(iolraí ar 5) __ 6
30 1_ 5
(iii) Iolraithe ar 3 agus ar 5 is ea na huimhreacha 15 agus 30 araon.
⇒ P(iolraí ar 3 nó 5) P(iolraí ar 3) P (iolraí ar 5)
P(iolraí ar 3 agus 5)
__ __ __ __ __
10
30 6
30 2
30 14
30 7
15
Cleachtadh 6.5
1. Caitear dísle nach bhfuil laofa.
Faigh an dóchúlacht gurb é an uimhir a thagann aníos ná
(i) 3 (ii) ré-uimhir (iii) 3 nó ré-uimhir
2. Tá dioscaí ar a bhfuil na huimhreacha 1 go 16 i mbosca.
Má roghnaítear diosca go randamach, céard é an dóchúlacht
(i) gur corruimhir atá ann
(ii) gur iolraí ar 4 atá ann
(iii) gur corruimhir nó iolraí ar 4 atá ann?
3. Tá 4 mhirlín dhearga, 3 cinn ghorma agus 2 cheann uaine i mála áirithe.
Má roghnaítear mirlín go randamach, céard é ancéard é an dóchúlacht
(i) gur mirlín dearg atá ann (ii) gur mirlín uaine atá ann
(iii) gur mirlín dearg nó uaine atá ann?
157

4. Roghnaítear cárta go randamach ó phaca 52 cárta imeartha.
Cén dóchúlacht atá ann
(i) spéireata a fháil (ii) cárta pictiúir dearg a fháil
(iii) spéireata nó cárta pictiúir dearg a fháil?
5. Roghnaítear uimhir go randamach ó na slánuimhreacha 1 go 12, agus an dá uimhir
sin san áireamh. Faigh an dóchúlacht (i) gur ré-uimhir atá ann
(ii) gur iolraí ar 3 atá ann (iii) gur ré-uimhir nó iolraí ar 3 atá ann.
6. Tarraingítear cárta go randamach ó phaca 52 cárta.
Céard iad na dóchúlachtaí iad seo a tharraingt:
(i) triuf (ii) rí (iii) triuf nó rí
(iv) cárta dearg (v) banríon (vi) cárta dearg nó banríon?
7. Caitear dhá dhísle. Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:
(i) scór iomlán de 12
(ii) an uimhir chéanna ar an dá dhísle
(iii) scór iomlán de 12 nó an uimhir chéanna ar an dá dhísle?
8. Piocann Máirtín cárta go randamach ó na cártaí ar dheis.
Deir Máirtín
1
2
2
3
3
Is é an dóchúlacht go bpiocfaidh mé cárta buí ná 2 5 .
Is é an dóchúlacht go bpiocfaidh mé 3 ná 2 5 .
Mar sin is é an dóchúlacht go bpiocfaidh mé
cárta buí nó 3 ná
2_
5 2_ 5 4_ 5 .
(i) Mínigh cén fáth a bhfuil Máirtín mícheart.
(ii) Céard é an dóchúlacht cheart go bpiocfaidh sé cártaí buí nó 3?
9. Caitear gnáthdhísle.
Mínigh cé acu atá na péirí fothorthaí seo comheisiatach nó nach bhfuil.
Tá an chéad cheann déanta duit.
An chéad fhothoradh
(i) Is é 5 an scór. Is é 3 an scór.
An dara fothoradh
Tá na fothorthaí seo comheisiatach. Ní féidir go dtaispeánfadh dísle
scór de 3 agus scór de 5 ag an am céanna.
(ii) Is é 3 an scór. Is ré-uimhir é an scór.
(iii) Is ré-uimhir é an scór. Tá an scór níos mó ná 4.
(iv) Is uimhir phríomha é an scór. Is ré-uimhir é an scór.
(v) Is iolraí ar 5 é an scór. Is iolraí ar 3 é an scór.
158

Mír 6.6
Léaráidí Venn a úsáid
Taispeántar sa léaráid Venn ar dheis dhá thacar, A
agus B, san uilethacar U.
Taispeántar freisin líon na mball i ngach réigiún.
Is é 8 líon na mball atá in A ach nach bhfuil in B.
Is é 12 líon na mball atá in B ach nach bhfuil in A.
Is é 6 líon na mball atá in A agus in B.
Is é 4 líon na mball nach bhfuil in A ná B.
Má chuirtear faisnéis i láthair i bhfoirm léaráid Venn, bíonn sé éasca an dóchúlacht go
dtarlóidh teagmhais éagsúla a scríobh síos.
Sa léaráid thuas, is é líon iomlán na mball ná 8 6 12 4 30.
Seo mar a scríobhtar an dóchúlacht go dtarlóidh A agus B: P(A agus B).
Ón léaráid Venn, P(A agus B) ___ 6
30 __ 1 5
P(B amháin) ___ 12
30 __ 2 5
P(nach dtarlóidh A ná B) ___ 4
30 ___ 2
15
P(A nó B) __________
8 6 12 ___ 26
30 30 ___ 13
15 .
Sa léaráid thíos, ní thrasnaíonn na tacair A agus B a chéile.
U
U
A
8 6 12
B
4
A
B
Mar sin is teagmhais chomheisiatacha iad A agus B mar nach féidir go dtarlóidís ag an
am céanna.
Sa chás seo, P(A nó B) P(A) P(B).
Sampla 1
Sa léaráid Venn ar dheis taispeántar na spóirt
U
a imríonn baill de chlub áirithe.
Peil
Cé mhéad ball
(i) a imríonn idir pheil agus leadóg
(ii) a imríonn leadóg ach nach n-imríonn peil
(iii) nach n-imríonn ceachtar den dá chluiche
(iv) a imríonn peil nó leadóg?
Anois scríobh síos dóchúlacht gach ceann de (i)-(iv) thuas.
40 10 35
Leadóg
45
159

(i) Idir pheil agus leadóg 10
(ii) Imríonn leadóg ach ní imríonn peil 35
(iii) Ní imríonn ceachtar den dá chluiche 45
(iv) Peil nó leadóg 40 10 35 85
P (i) __________________________________
10
líon iomlán na mball
P(ii) ____ 35
130 ___ 7
26
P(iii) ____ 45
130 ___ 9
26
P(iv) ____ 85
130 ___ 17
26
____ 10
130 ___ 1
13
Cleachtadh 6.6
1. Sa léaráid Venn thíos taispeántar an líon daltaí a rinne Stair agus an líon daltaí a
rinne Tíreolaíocht i rang 40 dalta.
U
Stair
Tíreolaíocht
15 12 10
3
160
Má roghnaítear dalta go randamach, faigh an dóchúlacht
(i) go ndearna an dalta Tíreolaíocht (ii) go ndearna an dalta Stair 7 Tíreolaíocht
(iii) nach ndearna an dalta ceachtar den dá ábhar sin
(iv) go ndearna an dalta Stair ach nach ndearna sé/sí Tíreolaíocht.
2. Sa léaráid Venn ar dheis,
U na daltaí i rang 2K
P na daltaí in 2K a imríonn peil
C na daltaí in 2K a imríonn cispheil.
(i) Cé mhéad dalta atá sa rang?
Má roghnaítear dalta go randamach, cén dóchúlacht atá ag gach ceann díobh seo:
(ii) imríonn an dalta peil (iii) imríonn an dalta cispheil ach ní imríonn sé/sí peil
(iv) ní imríonn an dalta ceachtar den dá chluiche
(v) imríonn an dalta peil agus cispheil
(vi) imríonn an dalta peil nó cispheil?
U
P
14 6 8
C
7

3. Sa léaráid Venn ar dheis,
seasann U do na teaghlaigh atá ina gcónaí ar shráid áirithe,
seasann C do na teaghlaigh a bhfuil cat acu agus
seasann M do na teaghlaigh a bhfuil madra acu.
Má roghnaítear teaghlach go randamach,
céard é an dóchúlacht
(i) go bhfuil cat acu (ii) go bhfuil cat agus madra acu
(iii) go bhfuil madra acu ach nach bhfuil cat acu
(iv) go bhfuil cat nó madra acu (v) nach bhfuil cat ná madra acu?
U
C
14 12 26
M
30
4. Sa léaráid Venn thíos taispeántar na teangacha a rinne grúpa 50 dalta.
U
Fraincis
Spáinnis
25 5 x
(i) Faigh luach x.
Má roghnaítear dalta go randamach, faigh an dóchúlacht
(ii) go ndéanann an dalta sin Fraincis (iii) go ndéanann an dalta sin Fraincis 7 Spáinnis
(iv) go ndéanann an dalta sin Fraincis nó Spáinnis
(v) nach ndéanann an dalta sin ach ceann amháin de na teangacha sin.
8
5. I rang 30 dalta, déanann 8 ceol (C), déanann 14 ealaín
(E) agus déanann 6 ceol agus ealaín.
(i) Cuir an fhaisnéis sin i láthair ar chóip
den léaráid Venn atá tugtha.
U
C
E
Má roghnaítear dalta go randamach,
céard é an dóchúlacht
(ii) go ndéanann an dalta ceol agus ealaín
(iii) go ndéanann an dalta ealaín ach nach ndéanann sé/sí ceol
(iv) nach ndéanann an dalta ceol ná ealaín (v) go ndéanann an dalta ceol nó ealaín?
6. Sa léaráid Venn ar dheis taispeántar líon na scoláirí a dhéanann
Mata (M), Béarla (B) agus Stair (S).
Má roghnaítear dalta go randamach, faigh
an dóchúlacht go ndéanann an dalta
(i) Béarla (ii) Mata agus Stair
(iii) Mata nó Béarla (iv) Mata amháin
(v) na trí ábhar (vi) Béarla nó Stair.
M
2
4
3
6 5
3
S
7
B
161

7. I rang 40 páiste, rinneadh suirbhé le fáil amach cé mhéad
páiste ar thaitin seacláid leo agus cé mhéad ar thaitin
uachtar reoite leo. Taispeántar na torthaí sa léaráid Venn
ach níl an réigiún marcáilte A líonta isteach.
U
seacláid
8 A 6
uachtar
reoite
(i) Céard é an uimhir i réigiún A?
(ii) Céard is féidir leat a rá faoi na páistí i réigiún A?
(iii) Má roghnaítear páiste amháin go randamach, céard é an dóchúlacht
gur thaitin uachtar reoite leis an bpáiste sin ach nár thaitin seacláid leis/léi?
(iv) Roghnaítear go randamach duine amháin de na páistí ar thaitin seacláid leo.
Céard é an dóchúlacht gur thaitin uachtar reoite leis an bpáiste sin freisin?
2
Mír 6.7
Riail an iolraithe trialacha Bernoulli
Feicfidh tú thíos an spás samplach le haghaidh bonn a chaitheamh in airde agus dísle
a chaitheamh.
Dísle
1 2 3 4 5 6
Bonn
A A1 A2 A3 A4 A5 A6
C C1 C2 C3 C4 C5 C6
Ón spás samplach, is féidir linn a fheiceáil go bhfuil
P(A, 6) __ 1
12 .
Níl aon tionchar ag an mbonn, i.e., cé acu a stopann sé aghaidh in airde nó nach stopann, ar an
dísle a bheith ag taispeáint 6 nó aon scór eile. Tá an dá theagmhas, ‘aghaidh a fháil’ agus
‘6 a scóráil’, neamhspleách ar a chéile.
Anois is é an dóchúlacht go bhfaighidh tú aghaidh nuair a chaitheann tú bonn in airde ná 1 2 .
Is é an dóchúlacht go dtaispeánfaidh an dísle 2 ná 1 6 .
Má iolraímid an dá dhóchúlacht 1 2 agus 1 6 gheobhaimid 1 12
, mar a fuaireamar thuas.
Léiríonn sé sin riail an iolraithe sa dóchúlacht. Tugtar an riail sin thíos.
Riail an Iolraithe: P(A agus B) P(A) P(B)
Bíonn riail an iolraithe úsáideach go háirithe agus muid ag
ddéileáil le dhá theagmhas nó níos mó nuair a bhíonn gach
teagmhas neamhspleách ar a chéile. Tugann sé bealach eile
dúinn le dul i ngleic le fadhbanna ar nós dhá dhísle a
chaitheamh, rud a phléamar cheana i Mír 6.3.
Tugtar an riail AGUS ar
riail an iolraithe de
ghnáth.
162

Sampla 1
Caitheann Amanda gnáthdhísle agus casann sí rothlóir.
Tá an dísle agus an rothlóir le feiceáil ar dheis. Tá an
seans céanna ag gach dath gur air a stopfaidh an
rothlóir. Faigh an dóchúlacht gur dearg agus
ré-uimhir a fhaigheann sí.
P(dearg) 1 3 P(ré-uimhir) 3_ 6 1_ 2 P(dearg agus ré-uimhir) 1_ 3 1_ 2 1_ 6
Nóta: Gheobhaidh tú an toradh céanna seo má úsáideann tú spás samplach.
Sampla 2
An tseachtain chéanna a bhíonn a lá breithe ag Máire agus ag Séan.
Ríomh na dóchúlachtaí seo:
(i) gur ar an Luan a bheidh lá breithe Mháire
(ii) gur ar an Luan a bheidh lá breithe na beirte
(iii) gur ar an Satharn nó ar an Domhnach a bheidh lá breithe na beirte.
(i) P(lá breithe Mháire ar an Luan) 1 7
(ii) P(lá breithe na beirte ar an Luan) P(M, Luan) P(S, Luan)
1_
7 1_ 7 1
49
(iii) P(lá breithe na beirte ar an Satharn nó ar an Domhnach) 2 7 2 7 4 49
Trialacha Bernoulli
Cuir i gcás an turgnamh seo tá tú ag caitheamh dísle agus caithfidh tú 6 a fháil chun tús a
chur leis an gcluiche.
Má chaitear 6, is féidir 'toradh fabhrach' a thabhairt air sin. Má chaitear aon uimhir eile, tugtar
‘toradh neamhfhabhrach’ air.
Triail a thabharfaimid ar gach caitheamh den dísle. Mar sin
do gach triail tá dhá fhothoradh fhéideartha, 'toradh fabhrach' agus 'toradh neamhfhabhrach'
tá an dóchúlacht go bhfaighfear toradh fabhrach (6 a fháil) mar an gcéanna do gach triail
tá gach triail neamhspleách ar fhothorthaí trialacha eile.
Trialacha Bernoulli (ainmnithe as James Bernoulli) a
thugtar ar thurgnaimh ina ndéantar trialacha arís is arís eile
agus a mbaineann na coinníollacha atá liostaithe thuas leo.
Sa turgnamh thuas, má chaitear 6 den chéad uair ar an
tríú triail, deirimid go dtarlaíonn an chéad toradh
fabhrach ar an tríú triail.
Ba mhatamaiticeoir ón Eilvéis
é James Bernoulli (1654 - 1705).
Rinne sé obair cheannródaíoch
sa dóchúlacht agus sa chalcalas.
Sa chúrsa seo ní bheimid ag plé ach le fadhbanna lena mbaineann trí thriail Bernoulli nó níos lú.
163

Sampla 3
Caitear bonn cóir in airde go dtí go bhfaightear aghaidh.
Faigh an dóchúlacht gur ar an tríú caitheamh in airde a fhaightear an chéad aghaidh.
Más ar an 3ú caitheamh in airde a fhaightear an chéad aghaidh,
is cúl a fhaightear ar an gcéad dá chaitheamh in airde, i.e. CCA C cúl
P(A) 1 2 agus P(C) 1 2
A aghaidh
P(AAC) 1_ 2 1_ 2 1_ 2 1_ 8
is é an dóchúlacht go bhfaightear aghaidh ar an 3ú caitheamh in airde ná 1 8 .
Sampla 4
Caitear dísle cóir arís is arís eile.
Faigh an dóchúlacht gur ar an tríú caitheamh a fhaightear 5 nó 6 den chéad uair.
Seasadh 5 nó 6 do 'thoradh fabhrach' (F) agus 1-4 do ‘thoradh neamhfhabhrach’ (N).
P(F) 2 6 1 3 agus P(N) 4 6 2 3
Más ar an 3ú caitheamh a fhaightear an chéad 'toradh fabhrach',
is é NNF ord na dtorthaí.
P(NNF) 2_ 3 2_ 3 1_ 3 __ 4
27
is é an dóchúlacht gur ar an 3ú caitheamh a fhaightear 5 nó 6 den chéad uair ná 4
27 .
Sampla 5
Téann iarrthóir faoi scrúdú ina bhfuil 3 cheist ilroghnacha.
Tá ceithre rogha i ngach ceist. Más buille faoi thuairim a thugann sí agus í ag
freagairt gach ceiste, céard é an dóchúlacht
(i) gurb é an freagra ceart a thugann sí i ngach ceann de na trí cheist
(ii) go mbíonn an chéad dá fhreagra mícheart aici ach go mbíonn an tríú ceann ceart?
(i) 4 rogha atá ann;
mar sin P(freagra ceart) 1 4 agus P(freagra mícheart) 3 4 .
P(gach ceann ceart)
1_
4
1_ 4 1_ 4 __ 1
64
(ii) P(1ú agus 2ú mícheart ach an 3ú ceart) P(mícheart) P(mícheart) P(ceart)
3_ 4 3_ 4 1_ 4 __ 9
64
Nóta:
Má sheasann F do 'thoradh fabhrach' agus N do 'thoradh neamhfhabhrach' i dtrialacha
Bernoulli, is é an dóchúlacht nach mbeidh ach 'toradh fabhrach' amháin i dtrí thriail ná
suim na dtrí dhóchúlacht seo: P(NNF) P(NFN) P(FNN)
164

Cleachtadh 6.7
1. Caitear bonn in airde faoi dhó. Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:
(i) 2 aghaidh
(ii) aghaidh an chéad bhabhta agus cúl an dara babhta?
2. Caitear bonn in airde agus caitear dísle.
Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:
(i) aghaidh agus 6
(ii) cúl agus ré-uimhir
(iii) aghaidh agus iolraí ar 3?
e i R e
e i R e
2 2 0 0 0 0 2 2
3. Caitear dhá dhísle. Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:
(i) 2 chúig
(ii) 2 ré-uimhir
(iii) uimhir níos lú ná 3 ar barr ar an dá dhísle.
4. Tá 5 dhiosca dhearga agus 4 dhiosca ghorma i mála áirithe.
Roghnaítear diosca go randamach agus ansin cuirtear ar ais é.
Roghnaítear an dara diosca ansin. Faigh an dóchúlacht
(i) gur dioscaí dearga an dá cheann
(ii) gur diosca dearg an chéad cheann agus gur gorm a bheidh an dara ceann
(iii) gur gorm a bheidh an chéad cheann agus gur dearg an dara ceann.
5. Tá turgnamh ar bun; tarraingítear cárta as paca 52 agus caitear dísle.
Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:
(i) muileata, agus 6 ar barr ar an dísle
Tá 13 mhuileata, 26 cárta
(ii) cárta dubh, agus ré-uimhir ar barr ar an dísle dubh agus 13 hart i bpaca
(iii) hart, agus iolraí ar 3 ar barr ar an dísle?
cártaí.
6. 9 litir atá san fhocal AILGÉABAR. Scríobhtar gach litir díobh ar a cárta féin, agus cuirtear
na cártaí isteach i mbosca. Roghnaítear cárta go randamach agus cuirtear ar ais ansin
é. Roghnaítear an dara cárta ansin.
Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:
(i) an litir A faoi dhó
(ii) na litreacha G agus É, san ord sin
(iii) an litir R faoi dhó
(iv) dhá ghuta?
7. Léaráid atá ar dheis de ghaireas liathróidí leadóige. Nuair a ligtear
liathróid anuas ann, tá an seans céanna ann go dtiocfaidh sí amach
trí cheann ar bith de na poill A, B, C nó D. Má ligtear liathróid leadóige
anuas ann, céard é an dóchúlacht go dtiocfaidh sí amach trí pholl
(i) A (ii) A nó C.
Má ligtear anuas dhá liathróid eile i ndiaidh a chéile,
faigh an dóchúlacht
(iii) gur amach trí pholl A a thiocfaidh an dá cheann
(iv) gur amach trí pholl A nó amach trí pholl C a thiocfaidh an dá cheann.
A B C D
165

8. Tá trí cinn de lucha ceansa, Sam, Pam agus Ham, i gcró.
Tá an rogha acu ithe ag ceann ar bith de na cúig mhias A, B, C,
D agus E. Tá an rogha randamach go huile is go hiomlán.
(i) Céard é an dóchúlacht go n-íosfaidh Sam ó
mhias A?
(ii) Céard é an dóchúlacht go n-íosfaidh Sam agus Pam araon
(a) ó mhias A (b) ón mias chéanna?
A
C
D
B
E
9. Castar an rothlóir ar dheis faoi dhó. Tá an seans céanna ag gach ceann
de na teascóga go stopfaidh an rothlóir uirthi. Faigh an dóchúlacht
(i) gur buí an chéad dath
(ii) gur dearg agus uaine an chéad dá dhath, san ord sin
(iii) gur dearg an chéad dá dhath
(iv) gur dearg araon, nó buí araon, an chéad dá dhath.
10. An tseachtain chéanna a bhíonn a lá breithe ag Áine agus ag Barra.
Má tá an seans céanna ann gur ar lá ar bith den tseachtain a bheidh an dá lá breithe,
céard é an dóchúlacht
(i) gur ar an gCéadaoin a bheidh lá breithe Áine
(ii) gur ar an Luan a bheidh an dá lá breithe
(iii) gur ar lá dar túslitir D a bheidh an dá lá breithe?
11. Caitheann Jamie bonn cóir in airde cuid mhaith uaireanta.
Faigh dóchúlacht gach ceann de na teagmhais seo:
(i) faightear an chéad aghaidh ar an dara caitheamh in airde
(ii) faightear an chéad aghaidh ar an tríú caitheamh in airde.
12. Caitheann Cáitín dísle cóir go dtí go bhfaigheann sí 6.
Ríomh an dóchúlacht go bhfaigheann sí
(i) 6 ar an gcéad chaitheamh
(ii) an chéad 6 ar an tríú caitheamh.
13. Is é an dóchúlacht gur aghaidh a gheofar le bonn laofa ná 2 3 .
Caitheann Jeaic an bonn trí huaire.
(i) Ríomh an dóchúlacht go bhfaigheann sé aghaidh ar gach ceann de na trí chaitheamh.
(ii) Ríomh an dóchúlacht go bhfaigheann sé an chéad aghaidh
(a) ar an dara caitheamh (b) ar an tríú caitheamh.
14. Is ar an mbus a thagann 25% de na daltaí i scoil áirithe chun na scoile.
Roghnaítear triúr daltaí ón scoil go randamach.
Faigh an dóchúlacht
(i) gur ar an mbus a thagann gach duine den triúr
(ii) nach ar an mbus a thagann an chéad bheirt daltaí a roghnaíodh
(iii) nach ar an mbus a thagann an chéad bheirt ach gur ar an mbus a thagann an tríú dalta.
166

15. I mála áirithe tá 3 chnaipe dhearga agus 2 chnaipe uaine. Roghnaítear
cnaipe ón mála agus ansin cuirtear ar ais é. Déantar an rud céanna sin arís.
Faigh an dóchúlacht
(i) gur uaine atá an chéad chnaipe a roghnaítear
(ii) gur ar an tríú hiarracht a roghnaítear an chéad chnaipe uaine.
16. Imríonn Aindí sraith cluichí leadóige i gcoinne an chéile comhraic chéanna.
Is é an dóchúlacht go mbuann sé cluiche ar bith ná 4 5
Ríomh an dóchúlacht
(i) gur sa dara cluiche a bhuann Aindí den chéad uair
(ii) gur sa tríú cluiche a bhuann Aindí den chéad uair
(iii) go gcailleann Aindí na trí chluiche.
17. Is é an dóchúlacht go mbeidh sé ag cur báistí ar aon lá ar leith i mí Bealtaine ná 0.3.
Má roghnaítear trí lá i mí Bealtaine go randamach, faigh an dóchúlacht
(i) nach mbeidh sé ag cur báistí an chéad lá (ii) go mbeidh sé ag cur báistí an chéad dá lá
(iii) gur ar an tríú lá a bheidh sé ag cur báistí den chéad uair.
18. Tá an litir 'A' ar cheithre aghaidh de chiúb agus tá an litir 'B' ar an dá aghaidh eile.
Caitear trí huaire é.
Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:
(i) B ar an gcéad chaitheamh
(ii) an chéad B ar an dara caitheamh
(iii) an chéad A ar an tríú caitheamh?
19. Tarraingíonn Seán cárta ó ghnáthphaca cártaí imeartha agus ansin cuireann sé ar ais é.
Déanann sé é sin trí huaire.
Ríomh an dóchúlacht
(i) gur muileata a roghnaíonn sé ar an gcéad tarraingt
(ii) gur ar an tríú tarraingt a roghnaíonn sé an chéad mhuileata
(iii) nach roghnaíonn sé ach aon mhuileata amháin sna trí tharraingt.
20. Caitear bonn cóir in airde ag tús gach cluiche i sraith 3 chluiche.
Caitheann captaen amháin an bonn in airde agus glaonn an captaen eile 'Aghaidh' nó 'Cúl'.
Faigh an dóchúlacht go nglaoitear an caitheamh in airde i gceart
(i) trí huaire (ii) uair amháin go baileach (iii) dhá uair go baileach.
21. Tá Aindí ag imirt peile agus leadóige.
Tá cluiche amháin peile agus cluiche amháin leadóige le himirt aige.
Is é an dóchúlacht go mbuann sé an cluiche peile ná 0.3.
Is é an dóchúlacht gur comhscór a bheidh aige ná 0.5.
Tá seans 0.6 aige an cluiche leadóige a bhuachan, é sin nó caillfidh sé.
Faigh an dóchúlacht
(i) go gcailleann Aindí an cluiche peile
(ii) go mbuann Aindí an dá chluiche
(iii) go gcailleann Aindí an dá chluiche
(iv) go mbuann Aindí an cluiche peile agus go gcailleann sé an cluiche leadóige.
167

22. I gcluiche boird, bogtar licín ar feadh na gcearnóg. Is é an fad a
bhogtar é ná líon cearnóg arb ionann é agus an uimhir a fhaightear
nuair a chaitear dísle cóir. Má stopann tú ar chearnóg atá ag bun
dréimire, bogann tú an licín go dtí an chearnóg ag barr an dréimire sin.
(i) Céard é an dóchúlacht go sroicheann imreoir cearnóg
a 4 le haon chaitheamh amháin den dísle?
(ii) Céard é an dóchúlacht gur féidir le himreoir cearnóg
a 7 a shroicheadh le haon chaitheamh amháin den dísle?
(iii) Céard é an dóchúlacht gur dhá chaitheamh a
thabharfaidh imreoir go dtí cearnóg a 2?
18
13
12
7
6
17
14
11
8
5
16
15
10
9
4
(iv) Liostaigh na trí bhealach ar féidir stopadh ar chearnóg
a 18 le trí chaitheamh go baileach den dísle.
Tús 1 2 3
(v) Ríomh an dóchúlacht go stopfar ar chearnóg a 18 le trí chaitheamh go baileach
den dísle.
Mír 6.8
Léaráidí crainn
Is féidir na fothorthaí féideartha ar dhá theagmhas nó níos mó a thaispeáint i gcineál áirithe
léaráide ar a dtugtar léaráid chrainn.
I léaráid chrainn
(i) scríobh na fothorthaí ag ceann gach craoibhe
(ii) scríobh an dóchúlacht ar gach craobh.
Sa léaráid chrainn seo a léiríonn na fothorthaí nuair a chaitear
bonn in airde, tá dhá chraobh (nó dhá fhothoradh).
Tá an dóchúlacht, 1 2
, scríofa ar an dá chraobh.
Is féidir na fothorthaí féideartha nuair a chastar an dá rothlóir seo a thaispeáint i léaráid chrainn.
1
2
1
2
A
C
Is féidir na dóchúlachtaí ar feadh na
gcraobh a fháil ach iolrú.
Rothlóir A
Rothlóir B
1
4
dearg
3
5
2
5
dearg
gorm
dóchúlacht (A dearg, B dearg) 1_ 4 3_ 5 __ 3
20
dóchúlacht (A dearg, B gorm) 1_ 4 2_ 5 __ 2
20
3
4
gorm
3
5
2
5
dearg
gorm
dóchúlacht (A gorm, B dearg) 3_ 4 3_ 5 __ 9
20
dóchúlacht (A gorm, B gorm) 3_ 4 2_ 5 __ 6
20
168

Seo mar a fhaightear an dóchúlacht go dtugann an dá rothlóir an dath céanna:
dóchúlacht an datha chéanna dóchúlacht (A dearg, B dearg) dóchúlacht (A gorm, B gorm)
__ 3 __ __
20 6
20 9
20
Is fearr gan na codáin a shimpliú: bíonn sé níos éasca iad a chur i gcomparáid lena chéile
agus iad a shimpliú.
Tabhair faoi deara gurb é 1 suim na ndóchúlachtaí ag ceann na gceithre chraobh.
Sampla 1
Tá 3 chnaipe dhearga agus 4 chnaipe ghorma i mBosca A
Tá 2 chnaipe dhearga agus 3 chnaipe ghorma i mBosca B
Tógtar cnaipe amháin amach as an dá bhosca. Is go randamach a dhéantar é sin.
(i) Tarraing léaráid chrainn chun na fothorthaí go léir a thaispeáint.
(ii) Oibrigh amach an dóchúlacht go mbeidh an dath céanna ar an dá chnaipe.
(i) Taispeánann an léaráid chrainn thíos na fothorthaí féideartha go léir.
Is teagmhais neamhspleácha iad cnaipe dearg a thógáil amach as bosca A
agus cnaipe dearg a thógáil amach as bosca B.
Mar sin P(dearg, dearg) P(dearg) P(dearg)
3_ 7 2_ 5 __ 6
35
Bosca A Bosca B Fothoradh DÛch˙lacht
3
7
D
2
5
3
5
D
G
D D
D G
3
7
2 6
5
35
3
7 3 9
5
35
4
7
G
2
5
3
5
D
G D
G G G
4
7 2 8
5
35
4
7 3 12
5
35
(ii) P(an dath céanna) P(dearg araon nó gorm araon)
P(D, D) P(G, G)
__ 6 __ __
35 12
35 18
35
Cleachtadh 6.8
1. Caitear bonn in airde faoi dhó.
Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid chrainn
chun na fothorthaí go léir a thaispeáint.
(i) Cé mhéad fothoradh atá ann?
(ii) Cén dóchúlacht atá ann dhá aghaidh a fháil?
A
169

2. Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid chrainn don dá rothlóir seo.
A
B
Rothlóir A
1
3
dearg
Rothlóir B
2
5
?
dearg
buí
buí
Céard é an dóchúlacht go dtaispeánfaidh A agus B
(i) an dath céanna (ii) dathanna difriúla?
?
? dearg
?
buí
3. Tá 4 chnaipe dhearga agus 3 chnaipe ghorma
i mála áirithe. Tá 2 chnaipe dhearga agus 8
gcnaipe ghorma i mála eile.
Tógann Jeaic cnaipe amháin go randamach
amach as an dá mhála.
(i) Críochnaigh léaráid chrainn na ndóchúlachtaí.
(ii) Faigh an dóchúlacht go dtógann Jeaic
(a) 2 chnaipe dhearga
(b) dearg agus gorm san ord sin
(c) dearg agus gorm in ord ar bith.
An chéad mhála
dearg
gorm
An dara mála
dearg
gorm
dearg
gorm
4. Cúig aghaidh dhearga agus aon aghaidh uaine
amháin atá ar an dísle atá ag Paula.
Caitheann sí an dísle faoi dhó.
(i) Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid chrainn.
(ii) Faigh an dóchúlacht gurb é an dath céanna
a thaispeánann an dísle an dá uair..
(iii) Faigh an dóchúlacht go dtaispeánann an
dísle uaine agus dearg san ord sin.
1ú caitheamh
dearg
uaine
2ú caitheamh
dearg
uaine
dearg
uaine
5. Tá bonn ag Fabio atá ualaithe sa chaoi is gurb é 1ú caitheamh
3
5
an dóchúlacht go stopfaidh sé aghaidh in airde
agus gurb é 2 5
an dóchúlacht go stopfaidh sé 3 aghaidh
cúl in airde
5
(i) Cóipeáil agus críochnaigh an
léaráid chrainn le haghaidh dhá
chaitheamh den bhonn ualaithe.
cúl
(ii) Cén dóchúlacht atá ann dhá aghaidh a fháil?
(iii) Faigh an dóchúlacht go bhfaighidh Fabio
aghaidh a mháin agus cúl amháin (i gceachtar ord).
2ú caitheamh
aghaidh
cúl
aghaidh
cúl
170

6. Tá 2 licín ghorma agus 3 licín bhána
i mála A.
Tá 3 licín ghorma agus 4 licín bhána
i mála B.
Tógtar licín amach go randamach as
an dá bhosca.
Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid chrainn
chun na fothorthaí féideartha go léir a thaispeáint.
Oibrigh amach an dóchúlacht go
mbeidh an dá licín:
(i) bán
(ii) gorm
(iii) ar aon dath.
3
5
bán
gorm
4
7
bán
gorm
bán
gorm
7. Tá 3 mhirlín uaine agus 4 mhirlín bhána i
mála áirithe. Roghnaítear mirlín go randamach
as an mála, tugtar a dhath faoi deara agus
ansin cuirtear ar ais isteach sa mhála é.
Croitear an mála agus roghnaítear an dara
mirlín go randamach. Taispeánann an
léaráid chrainn na fothorthaí féideartha go léir.
Bain úsáid as an léaráid chrainn chun na
dóchúlachtaí seo a fháil:
(i) dhá mhirlín uaine a roghnú
(ii) dhá mhirlín bhána a roghnú
(iii) mirlín bán agus ansin mirlín uaine a
roghnú, san ord sin.
An chéad roghnú
3
7
4
7
uaine
bán
An dara roghnú
3
7
4
7
3
7
4
7
uaine
bán
uaine
bán
8. Tá 5 licín dhearga agus 7 licín dhubha
i mála A.
Tá 2 licín bhuí agus 8 licín dhearga
i mála B.
Roghnaítear licín ón dá mhála.
(i) Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid
chrainn chun na fothorthaí féideartha
a thaispeáint.
(ii) Faigh an dóchúlacht go roghnófar
(a) licín dubh agus licín buí
(b) dhá licín dhearga.
Mála A
dearg
dubh
Mála B
buí
dearg
buí
dearg
171

9. Ar a shlí chun na hoibre dó, tá dhá áit a mbíonn ar Nick stopadh cuid den am
ag na soilse tráchta agus ag crosaire comhréidh. Maidir leis an dá áit sin, tá an
dóchúlacht go mbeidh air stopadh ansin measta ag Nick thar thréimhse ama.
Is é an dóchúlacht go mbeidh air stopadh ag na soilse tráchta ná 2 3 .
Is é an dóchúlacht go mbeidh air stopadh ag an gcrosaire comhréidh ná 1 5 .
Tá na dóchúlachtaí sin neamhspleách ar a chéile.
(i) Tóg léaráid chrainn chun an fhaisnéis sin a thaispeáint.
(ii) Ríomh an dóchúlacht nach mbeidh ar Nick stopadh ag na soilse ná ag an
gcrosaire comhréidh ar a shlí chun na hoibre.
10. Caitear gnáthbhonn in airde trí huaire.
Tarraing léaráid chrainn chun na fothorthaí féideartha go léir a thaispeáint.
Oibrigh amach na dóchúlachtaí seo:
(i) 3 aghaidh a fháil
(ii) 2 aghaidh agus cúl amháin a fháil, in ord ar bith.
11. Tá 20 bonn i mála áirithe.
Tá 6 bhonn óir ann agus is boinn airgid an chuid eile.
Tógtar bonn amach as an mála go randamach.
Déantar cuntas den chineál boinn atá ann agus ansin cuirtear ar ais sa mhála é.
Ansin tógtar bonn eile amach as an mála go randamach.
(i) Taispeánann an léaráid chrainn na bealaí ar fad
inar féidir dhá bhonn a thógáil amach as an mála.
Cóipeáil an léaráid agus scríobh na
dóchúlachtaí uirthi.
(ii) Bain úsáid as do léaráid chrainn chun an
dóchúlacht gur bonn óir amháin agus bonn
airgid amháin a bheidh ann a ríomh.
An chéad
bhonn
óir
airgid
An dara bonn
óir
airgid
óir
airgid
Mír 6.9
172
Luach ionchais
Tá an ciorcal ar dheis roinnte ina 3 theascóg.
Nuair a chastar an rothlóir, stopann sé ar 10, 6 nó 4.
Má chastar an rothlóir faoi dhó agus má fhaighimid 10 agus 6,
is é meán an dá chasadh ná ______ 10 6 i.e. 8.
2
Má chastar an rothlóir 100 uair, an bhfuil bealach tapa ann chun
‘meánluach’ na gcastaí sin a fháil?
Gheobhaimid an meánluach, nó an luach ionchais, sin ach gach uimhir a iolrú faoina
dóchúlacht agus na torthaí a shuimiú.
10
6
4

Tá sé sin leagtha amach sa tábla thíos.
Fothoradh (x) Dóchúlacht (P) x P
10 1_ 2 5
6 1_ 4 1 1_ 2
4 1_ 4 1
Nuair a iolraítear gach fothoradh faoin dóchúlacht chomhfhreagrach, faighimid 5, 1 1 2 agus 1
Is é suim na dtorthaí sin ná 7 1 2 .
Is í an uimhir 71 2
an luach ionchais.
Má chastar an rothlóir thuas méid mór uaireanta, druideann meánluach na bhfothorthaí
leis an luach ionchais, 7 1 2
. Dlí na n-uimhreacha móra a thugann staitisteoirí air sin.
Tabhair faoi deara nach ceann de na fothorthaí,
4, 6 agus 10, é an luach ionchais 7 1 2 .
De ghnáth, ní gá gur
ceann de na fothorthaí é
an luach ionchais.
Le E(x) a chuirtear an luach ionchais ar fhothoradh turgnaimh in iúl.
Nuair a dhéantar na fothorthaí go léir a iolrú faoina ndóchúlachtaí comhfhreagracha
agus na torthaí a shuimiú, is féidir an oibríocht a chur in iúl ar bhealach gonta mar leanas:
E(x) Σx.P(x), áit a seasann Σ don tsuim.
Baintear úsáid fhorleathan as an luach ionchais i dtionscal an árachais agus i dtithe cearrbhachais.
Dá mba mhaith leat a fhios a bheith agat an bhfuil cluiche áirithe i dteach cearrbhachais cóir,
theastódh uait a fhios a bheith agat céard é an íocaíocht amach agus cén dóchúlacht atá
ann go bhfaighfeá an íocaíocht amach sin. Go bunúsach, teastaíonn uait go mbeadh a fhois
agat céard é luach ionchais na n-íocaíochtaí amach.
Cuir i gcás roth i bpáirc spraoi. Tá pictiúr de le feiceáil ar dheis.
8 atá ar chasadh den roth agus buann tú an méid a bhfuil an
tsaighead ag síneadh ina threo.
An "cluiche cóir" é seo?
An chéad rud a dhéanaimid ná luach ionchais na híocaíochta
amach a ríomh.
Σx.P(x) 5 1.25 1 7.25
Fothoradh (x) Dóchúlacht (P) x P
10 1_ 2 5
5 1_ 4 1.25
4 1_ 4 1
5
4
10
173

Is é luach ionchais na híocaíochta amach ná 7.25.
Ach cosnaíonn sé 8 chun an roth a chasadh.
Is é an luach ionchais anois ná 7.25 8, i.e., 0.75
Mar sin má chastar an roth méid mór uaireanta, féadfaidh tú a bheith réidh le 0.75 ar
meán a chailleadh ar gach casadh.
Le déanamh amach an bhfuil cluiche cóir, caithfimid dhá rud a chur san áireamh:
(i) luach ionchais na híocaíochta amach
(ii) an costas atá ar an gcluiche a imirt.
Ansin (a) más é nialas an íocaíocht amach ionchais, tá an cluiche cóir
(b) má tá an íocaíocht amach níos mó ná nialas, buafaidh tú san fhadtéarma
(c) má tá an íocaíocht amach níos lú ná nialas, caillfidh tú san fhadtéarma.
Sampla 1
Tá an ciorcal seo roinnte ina 6 theascóg chomhionanna.
Íocann tú 8 chun an tsaighead a chasadh agus buann tú
an méid sa teascóg ina stopann an tsaighead.
Céard é an méid ionchais a bhuann tú nó a chailleann tú sa
chluiche seo?
Faighimid luach ionchais na híocaíochta amach mar leanas:
0
6
12
15
6
0
Íocaíocht amach(x) Dóchúlacht (P) Íocaíocht amach Dóchúlacht
0 2_ 6 0
6 2_ 6 2
12 1_ 6 2
15 1_ 6 2.50
Σx.P(x) 0 2 2 2.50 6.50
Is é an íocaíocht amach ionchais ná 6.50.
Nuair a íocann tú 8 chun imirt, is é an íocaíocht amach ionchais ná
6.50 8 1.50
Mar sin bí ag súil le 1.50 a chailleadh má imríonn tú an cluiche.
174

Cleachtadh 6.9
1. Taispeánann an tábla ar dheis na fothorthaí
agus a gcuid dóchúlachtaí nuair a chaitear
dísle cóir.
Cóipeáil agus críochnaigh an tábla agus
taispeáin gurb é 3.5 an luach ionchais.
Fothoradh(x) Dóchúlacht(P) x P
1 1_ 6
1_
6
2 1_ 6
3 1_ 6
4 1_ 6
5 1_ 6
5_
6
6 1_ 6
2. Faigh an luach ionchais nuair a chastar an
rothlóir seo méid mór uaireanta.
2
8
4
3. Nuair a chastar an rothlóir seo, íoctar amach an méid
sa teascóg ina stopann an tsaighead.
Céard é luach ionchais na híocaíochta amach?
12
20
2
45° 10
45°
8
4. Roghnaítear cárta go randamach ó na cártaí ar dheis agus
ansin cuirtear ar ais é. Déantar an rud céanna cuid mhaith
uaireanta. Faigh luach ionchais na huimhreach a roghnaítear.
2 4 6
9 12 15
5. Sa roth ar dheis, buann tú an méid sa teascóg ina stopann
an tsaighead.
10 an costas atá ar chluiche a imirt. Cé mhéad a bheidh tú ag
súil le buachan nó a chailleadh má imríonn tú an cluiche seo?
Mínigh cén fáth nach bhfuil an cluiche cóir.
20
10
60°
120°
5
6. I dteach cearrbhachais, tá 6 ar dhísle a chaitheamh.
Má bhíonn 3 ar barr, buafaidh tú 12.
Má bhíonn ré-uimhir ar barr, buafaidh tú 6.
Má bhíonn aon uimhir eile ar barr, ní bhuafaidh tú dada.
Cé mhéad a bheidh tú ag súil le buachan nó a chailleadh má
imríonn tú an cluiche seo?
175

7. Tarraingítear cárta ó ghnáthphaca cártaí.
Má tharraingíonn tú rí, buafaidh tú 50.
Má tharraingíonn tú muileata, buafaidh tú 8.
Má tharraingíonn tú cuireata, caillfidh tú 5.
Má tharraingíonn tú aon chárta eile, ní bhuafaidh tú ná ní chaillfidh tú.
Má chosnaíonn sé 10 chun an cluiche seo a imirt, cé mhéad a bheidh tú ag súil le
buachan nó a chailleadh? Bíodh do fhreagra ceart go dtí an 10cm is gaire.
8. Díolann club spóirt 1000 ticéad le haghaidh tarraingt theoranta.
Tá duais 100 amháin ann, cúig dhuais 50 agus deich nduais 20.
Faigh an luach ionchais atá ar dhuais.
9. Seo é an spás samplach nuair a dhéantar dhá
dhísle a chaitheamh agus na scóir a shuimiú.
1 2 3 4 5 6
(i) Céard é an dóchúlacht gurb é 9 suim na scór? 1 2 3 4 5 6 7
I dteach cearrbhachais, is éard a bhíonn le
déanamh i gcluiche áirithe ná dhá dhísle a 2 3 4 5 6 7 8
chaitheamh agus na scóir a shuimiú.
Má é 7 suim na scór, buann tú 24.
3 4 5 6 7 8 9
Más é 9 suim na scór, cailleann tú 27.
4 5 6 7 8 9 10
I ngach cás eile ní bhuann tú ná ní chailleann tú.
Má imríonn tú an cluiche seo, cé mhéad a
5 6 7 8 9 10 11
bheidh tú ag súil le buachan nó a chailleadh?
Má íocann tú 2 chun an cluiche seo a imirt,
6 7 8 9 10 11 12
an bhféadfá a rá gur cluiche cóir atá ann? Tabhair míniú le do fhreagra.
10. Déan amach spás samplach le haghaidh na bhfothorthaí féideartha go léir nuair a
chaitear trí bhonn in airde. Is éard atá i gceist le cluiche áirithe ná trí bhonn a
chaitheamh in airde agus líon na n-aghaidheanna a chomhaireamh.
Má fhaigheann tú dhá aghaidh go díreach, buafaidh tú 20.
I gcás toradh ar bith eile, caillfidh tú 5. Má íocann tú 2 chun an cluiche seo a imirt,
cé mhéad a bheidh tú ag súil le buachan nó a chailleadh?
Úsáid do fhreagra le rá cé acu atá an cluiche cóir nó nach bhfuil.
Mír 6.10 Bunphrionsabal an chomhairimh
Tá ceithre mhúnla éagsúla ann de dhéanamh cairr áirithe, mar atá le feiceáil thíos:
176
Caighdeánach (Ca) Clasaiceach (Cl) Galánta (G) Diamaint (D)
Do rogha as trí dhath a bhíonn ar gach múnla díobh: dath an airgid (a), dearg (dr), nó dubh (du).
Seo iad na roghanna atá ag custaiméir:
(Ca, a), (Ca, dr), (Ca, du), (Cl, a), (Cl, dr), (Cl, du), (G, a), (G, dr), (G, du), (D, a), (D, dr), (D, du).

Tá 12 rogha ann.
3 dhath atá ar fáil i gcomhair gach ceann de na 4 mhúnla.
Is féidir teacht ar líon na roghanna ach líon na ndéantaí
a iolrú faoi líon na ndathanna,
i.e. 4 3 12.
Léiríonn an sampla seo Bunphrionsabal an
Chomhairimh atá tugtha ar dheis.
Má bhíonn x bealach ann le tasc áirithe
a dhéanamh agus, ina dhiaidh sin, y
bealach leis an dara tasc a dhéanamh,
xy bealach atá ann leis an gcéad tasc
agus ansin an dara tasc a dhéanamh.
Sampla 1
11 imreoir atá ar fhoireann áirithe.
Cé mhéad bealach atá ann le captaen agus leaschaptaen a roghnú?
Captaen agus Leas-chaptaen
11 10 110
agus
iolrú
110 bealach atá ann le captaen agus leaschaptaen a roghnú.
I gcás dhá oibríocht nó níos mó ná sin,
éascaíonn sé an obair 'boscaí' a úsáid don
roghnú, mar atá le feiceáil ar dheis.
1st
2nd
3rd
Sampla 2
Is éard atá i gcód ná litir d'aibítir an Bhéarla agus dhá dhigit dhifriúla ó 1 go 9 á
leanúint. Cé mhéad cód féideartha atá ann?
26 litir agus 9 ndigit atá ann.
Trí 'bhosca' a bheidh againn tharla 1 litir agus 2 dhigit a bheith i ngach cód.
26 9 8
26 bealach atá ann leis an gcéad bhosca a líonadh..
9 mbealach atá ann leis an dara bosca a líonadh.. 9 ndigit
8 mbealach atá ann leis an tríú bosca a líonadh.. digit amháin in úsáid
cheana féin
Líon na gCód 26 9 8
1872
26 litir atá in aibítir
an Bhéarla.
177

Cleachtadh 6.10
1. Caitear dísle agus caitear bonn in airde.
Cé mhéad fothoradh féideartha atá ann?
Liostaigh na fothorthaí sin.
2. 3 chúrsa tosaigh agus 4 phríomhchúrsa atá ar bhiachlár an lóin áit áirithe.
Cé mhéad béile dhá chúrsa féideartha atá ann?
3. Tá trí dhigit dhifriúla ó 1 go dtí 9 i gcód áirithe.
Cé mhéad cód féideartha atá ann?
4. Ceithre bhóthar atá ó A go B, agus
cúig bhóthar atá ó B go C.
Cé mhéad bealach ar fad atá ag
duine le gabháil ó A go C?
A
B
C
5. Caithfidh dalta ábhar amháin a roghnú as gach ceann de na grúpaí ábhar seo a leanas:
3 nua-theanga atá i nGrúpa A.
2 ábhar eolaíochta atá i nGrúpa B.
2 ábhar gnó atá i nGrúpa C.
Cé mhéad bealach ar féidir na hábhair a roghnú?
6. Is é rud atá i gcód áirithe ná na litreacha A, B, C, D, E agus F agus digit amháin ó 1 go 9.
Cé mhéad cód féideartha atá ann?
7. Caitear bonn in airde agus roghnaítear digit ó 0 go 9. Cé mhéad fothoradh féideartha
atá ann?
8. Déanann déantúsóir carranna saghsanna éagsúla cairr, mar leanas:
is iad na múnlaí atá ar fáil ná carr salúin, carr fada agus carr cúlhaiste
is iad na dathanna atá ar fáil ná dath an airgid, dubh agus dearg
iad na stíleanna atá ar fáil ná Carr Caighdeánach, Sócharr agus Scothcharr.
Cé mhéad rogha ar fad atá duine atá ag ceannach cairr?
9. Deichniúr atá ar choiste áirithe.
Cé mhéad bealach ar fad atá ann le cathaoirleach agus rúnaí a roghnú?
10. Cé mhéad uimhir dhifriúil 3 dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 4, 5, 6, 7, 8, 9, mura
mbíonn digit ar bith ach aon uair amháin in uimhir?
11. Ocht gcapall atá i rás áirithe.
Cé mhéad bealach inar féidir na chéad trí áit a líonadh?
Mír 6.11
Eagair (iomalartuithe)
Is féidir na litreacha A, B agus C a eagrú ina líne ar na bealaí seo:
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
178

Tá 6 eagar dhifriúla ann.
Agus muid ag úsáid boscaí le haghaidh líon na roghanna do
gach litir, is éard atá againn ná:
3 2 1
3 2 1 6, an freagra céanna a fuaireamar thuas.
3 bhealach atá ann leis an
gcéad bhosca a líonadh,
2 bhealach i gcás an dara
ceann, agus bealach
amháin i gcás an tríú ceann.
Leis an nodaireacht 3! a chuirimid 3 2 1 in iúl. 'Iolrán a trí' a deirtear.
Ar an gcaoi chéanna, 4! 4 3 2 1 24
agus 5! 5 4 3 2 1 120
An riail ghinearálta: n! n(n 1 )(n 2) … 3.2.1
Focal eile ar 'eagar' is ea iomalartú.
An méid eagar (nó iomalartuithe)
ar n rud dhifriúla, is ionann é
agus n!, áit a bhfuil
n! n(n 1)(n 2) … 3.2.1.
Sampla 1
Cé mhéad uimhir dhifriúil sé dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 1, 2, 3, 4, 5, 6
má úsáidtear na digití go léir i ngach uimhir?
6! bealach atá ann leis na sé dhigit a eagrú.
6! 6 5 4 3 2 1
720 uimhir
Iomalartuithe teoranta
7! bealach atá ann le litreacha an fhocail BIORACH a eagrú.
Cé mhéad eagar díobh sin arb é B an chéad litir iontu?
Le 'boscaí' a réitímid fadhbanna den chineál sin agus scríobhaimid líon na roghanna isteach
sna boscaí. Is é an chéad bhosca a líonaimid ná an ceann a bhfuil an teorannú ann.
An chéad bhosca sa sampla romhainn, ní féidir é a líonadh ach ar aon bhealach amháin, i.e., le B.
B
1 6 5 4 3 2 1
Is féidir na boscaí eile a líonadh ar
6, 5, 4, 3, 2 agus 1 bhealach.
Dá bhrí sin is é an méid eagar arb é B an chéad litir iontu ná
1 6 5 4 3 2 1 720
Más dhá theorannú a bhíonn ann, is iad na boscaí a bhaineann leis na teorannuithe sin a
líontar ar dtús.
179

Sampla 2
Eagraítear litreacha an fhocail ÓGFHEAR ina líne.
(i) Cé mhéad eagar féideartha atá ann?
(ii) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh G agus ar deireadh dóibh guta?
(i) 7 litir dhifriúla atá san fhocal ÓGFHEAR.
7! an méid eagar atá ann.
7! 7 6 5 4 3 2 1
5040
(ii) Ag úsáid 'boscaí' le haghaidh eagar ar tús dóibh G agus ar deireadh dóibh guta,
seo atá againn:
G
Gutaí
1 5 4 3 2 1 3
An chéad bhosca, ní féidir é a líonadh ach ar aon bhealach amháin, i.e., le G.
Ar 3 bhealach is féidir an bosca deiridh a líonadh, ós 3 ghuta atá ann: Ó, E, A.
5 litir atá fághta, mar sin is féidir na boscaí eile a líonadh ar 5 bhealach,
4 bhealach, 3 bhealach, 2 bhealach agus 1 bhealach amháin.
Mar sin is é an méid eagar atá ann:
1 5 4 3 2 1 3
360
Sampla 3
(i) Cé mhéad bealach atá ann le litreacha an fhocail DRÉACHT a eagrú?
(ii) Cé mhéad de na heagair sin a mbíonn na litreacha R agus C i dteannta a
chéile i gcónaí iontu?
(i) Seacht litir atá san fhocal DRÉACHT. Mar sin 7! an méid eagar atá ann.
7! 7 6 5 4 3 2 1
5040
(ii) Más i dteannta a chéile a bhíonn R agus C, is mar aonad nó mar bhosca
amháin a láimhseálaimid iad.
RC
Sé bhosca atá le heagrú ansin.
6! bealach atá ann le sin a dhéanamh.
2! bealach atá ann le RC a eagrú i gcás gach ceann de na heagair sin.
6! 2! an méid eagar atá ann.
6! 2! 720 2
1440
180

Cleachtadh 6.11
1. Cé mhéad bealach atá ann le litreacha an fhocail AOIRE a eagrú, má bhaintear úsáid
as gach litir gach uair?
2. Cé mhéad eagar difriúil is féidir a dhéanamh ach úsáid a bhaint as litreacha uile
an fhocail BLIAIN?
(i) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh I?
(ii) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh I agus ar deireadh dóibh B?
3. Cé mhéad uimhir dhifriúil ceithre dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 3, 4, 5, 6 mura
mbaintear úsáid as digit ar bith ach aon uair amháin?
4. Cé mhéad uimhir trí dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 1, 2, 3, 4, 5?
(i) Cé mhéad de na huimhreacha sin a bhfuil 5 ina dtús?
(ii) Cé mhéad de na huimhreacha sin atá os cionn 400?
5. Cé mhéad eagar difriúil is féidir a dhéanamh ach úsáid a bhaint as litreacha uile an
fhocail GNÍOMH?
(i) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh guta?
(ii) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh G agus ar deireadh dóibh H?
(iii) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh G agus ar deireadh dóibh guta?
6. Cé mhéad eagar trí litir is féidir a dhéanamh as na litreacha A, B, C, D, E, F mura
mbaintear úsáid as litir ar bith ach aon uair amháin?
7. Sé chapall a chuirtear ag rith i rás áirithe. Má bhaineann gach capall ceann scríbe
amach, agus mura coimhlint chothrom a bhíonn ann,
(i) cé mhéad bealach a dtiocfadh leis na capaill an rás a chríochnú?
(ii) cé mhéad bealach ar féidir na chéad trí áit a líonadh?
8. Cé mhéad bealach atá ann le litreacha an fhocail TAISME a eagrú?
(i) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh T?
(ii) Cé mhéad de na heagair ar tús dóibh guta?
(iii) Cé mhéad eagar ar tús dóibh guta agus ar deireadh dóibh guta?
9. Cé mhéad bealach atá ann leis na litreacha A, B, C, D, agus E a eagrú ina líne mura
mbíonn D ar an gcéad litir uair ar bith?
Féach Sampla Oibrithe 3.
10. Cé mhéad bealach ar fad atá ann leis na cúig litir san
fhocal OTHAR a eagrú?
Cé mhéad eagar díobh sin a mbíonn an dá ghuta taobh le chéile iontu?
11. Cé mhéad bealach atá ann le litreacha an fhocail SLIABH a eagrú?
Cé mhéad eagar díobh sin a mbíonn na litreacha A agus H taobh le chéile iontu?
181

12. Cé mhéad uimhir ceithre dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 4, 5, 6 agus 7, mura
mbaintear úsáid as digit ar bith ach aon uair amháin?
(i) Cé mhéad de na huimhreacha sin atá os cionn 6000?
(ii) Faigh an dóchúlacht go bhfuil an uimhir os cionn 6000.
13. Suíonn beirt bhan, A agus B, agus beirt fhear, C agus D, ina líne le haghaidh grianghraif.
(i) Cé mhéad bealach ar féidir an ceathrar a eagrú?
(ii) Scríobh amach na ceithre eagar fhéideartha ina mbeadh an bheirt bhan sa lár.
(iii) Má roghnaítear eagar den cheathrar go randamach as gach eagar féideartha,
céard é an dóchúlacht go mbeidh an bheirt bhan sa lár?
14. Tá cúig licín ag Seána. Cuireann sí i líne dhíreach iad.
Tá dath difriúil ar gach ceann acu: dearg, bán, uaine, gorm agus buí.
(i) Cé mhéad eagar féideartha atá ann?
(ii) Cé mhéad eagar ina bhfuil an chéad licín gorm?
(iii) Cé mhéad eagar ina bhfuil an chéad licín gorm agus an cúigiú licín uaine?
15. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:
(i) 5! (ii) 7! (iii)
6! __
3!
(iv) 4! 3!
16. (i) An bhfuil 7! 4! 3!? (ii) An bhfuil 8! 5! 3!?
17. Scríobh 8! san fhoirm
(i) p(7!)
(ii) q(6!)
18. Má tá 10! 9! k(9!), faigh luach k.
Mír 6.12
Teaglamaí
Teaglaim a thugtar ar roinnt ball a roghnaítear as tacar ar leith, gan ord ar leith a bheith orthu.
Is éard a gheobhaimid ach na litreacha A, B, C, D a ghlacadh, agus grúpaí difriúla dhá
litir a roghnú:
AB, AC, AD, BC, BD, CD, i.e. 6 ghrúpa
Is ionann an grúpa AB agus an grúpa BA, tharla gan tábhacht a bheith leis an ord.
Leis an nodaireacht ( 4 2) a chuirimid in iúl an méid bealaí atá ann le 2 rud a roghnú as 4 cinn.
( 2) 4 _____ 4 3
… tosaigh ar n agus tar anuas r téarma
2 1 … 2! i.e. 2 1
Ar an gcaoi chéanna ( 6 3) 6 5 4
_________
3 2 1 ____ 120
6 20 agus ( 4) 8 ____________
8 7 6 5
Seasann (4) 8 don mhéid bealaí ar féidir 4 rud a roghnú as 8 rud.
4 3 2 1 70
182

An riail ghinearálta: is ionann ( n
r ) agus an méid bealaí atá ann le r rud a roghnú as n rud.
Agus muid ag tagairt do ( r n ) is éard a deirimid
ná ‘n-t-r’ nó ‘n teaglaim r’.
( n
r ) _______ n(n 1) … tosaigh ar n agus tar anuas r téarma
r! … iolrán r
Focal eile ar theaglaim é ‘rogha’.
Is féidir ( r n) a scríobh mar seo chomh maith: n C r nó nCr
(seasann C don fhocal Béarla ‘combination’, a chiallaíonn ‘teaglaim’.)
Is mar nCr a scríobhtar é ar áireamháin leictreonacha.
Chun luach ( 4) 8 a fháil ar áireamhán, cuir isteach
8 nCr 4
Arís eile ( 8 ________________
5) 8 7 6 5 4
5 4 3 2 1 56
agus ( 8 _________
3) 8 7 6
3 2 1 56.
Riail ghinearálta:
( n
Taispeánann sé sin go bhfuil ( 5) 8 ( 3) 8 i.e. ( 5) 8 r )
n
(
n r)
8
(
8 5)
Agus an riail thuas in úsáid againn,( 10
8 )
10
(
10 8) ( 10
2 ) ______ 10 9
2 1 45.
Tá sé i bhfad níos éasca agus níos tapúla ( 10
2 ) a oibriú amach ná ( 10
8 ).
( n agus
n) ( n 0)
( 8) 8 __________________________
8 7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2 1 1 agus ( 8) 8
8
(
8 8) ( 0) 8 1
Léiríonn an dá shampla sin: ( n ) 1 ( n 1
0)
Sampla 1
Cé mhéad foireann dhifriúil 11 imreoir is féidir a roghnú as painéal 14 imreoir?
Má bhíonn an captaen agus aon chúl báire amháin ar an bpainéal 14 imreoir,
cé mhéad foireann is féidir a roghnú:
(i) más gá an cúl báire a roghnú
(ii) más gá an cúl báire agus an captaen a roghnú?
( 14 bealach atá ann chun foireann 11 imreoir a roghnú as 14 imreoir.
11)
( 14
11) ( 14
3 ) ____________
14 13 12
3 2 1 364
183

(i) Más gá an cúl báire a roghnú, 10 imreoirí atá le roghnú as 13 dhuine.
( 13 bealach atá ann le sin a dhéanamh.
10)
( 13
10) ( 13
3 ) ____________
13 12 11
3 2 1 286
is féidir 286 foireann dhifriúil a roghnú
(ii) Más gá an cúl báire agus an captaen a roghnú, 9 imreoirí atá le roghnú as
12 dhuine.
( 12
9 ) bealach atá ann le sin a dhéanamh.
( 12
9 ) ( 12
3 ) ____________
12 11 10
3 2 1 220
is féidir 220 foireann dhifriúil a roghnú
Roghnú as dhá ghrúpa dhifriúla
6 múinteoirí agus 8 daltaí atá ar chomhairle scoile áirithe.
Toscaireacht 3 múinteoirí agus 3 daltaí atá le roghnú acu chun bualadh leis an bpríomhoide.
Cé mhéad bealach atá ann le sin a dhéanamh?
Is éard a chaithfimid a dhéanamh sa chás seo ná 3 múinteoirí a roghnú as 6 AGUS 3 daltaí as 8.
( 6
3) bealach atá ann le 3 múinteoirí a roghnú as 6
( 8
3) bealach atá ann le 3 daltaí a roghnú as 8
De réir Bhunphrionsabal an Chomhairimh, tá
sé le tuiscint ón bhfocal AGUS gur iolrú faoina
chéile a dhéantar ar thorthaí an dá oibríocht.
Mar sin is é seo an méid bealaí atá ann le triúr múinteoirí agus triúr daltaí a roghnú:
( 6
3) ( 8
3)
( 6
3) ( 8
Sampla 2
_________
3) 6 5 4
3 2 1 _________ 8 7 6 20 56 1120.
3 2 1
Tá coiste ceathrair le roghnú as buíon 7 fear agus 6 ban.
AGUS Iolrú
NÓ Suimiú
(i) Cé mhéad coiste difriúil is féidir a roghnú?
(ii) Cé mhéad coiste díobh sin a bhfuil an méid céanna fear agus ban orthu?
184

(i) 4 as 13 dhuine atá le roghnú sa chás seo.
( 13
4 ) bealach atá ann le sin a dhéanamh.
( 13
4 ) ________________
13 12 11 10
715
4 3 2 1
is féidir 715 coiste difriúil a roghnú.
(ii) Más ionann líon na bhfear agus líon na mban ar an gcoiste, is 2 fhear agus
2 bhan a bheidh air. Is é seo an méid bealaí atá ann le 2 fhear a roghnú as
7 fear agus 2 bhan a roghnú as 6 ban:
( 7
2) ( 6
( 7
2) ( 6
2) bealach
_____
2) 7 6
2 1 _____ 6 5
2 1 315
is féidir 315 coiste difriúil a roghnú.
An luach do n a fháil
( 8
_____
2) 8 7
2 1 28. Ar an gcaoi chéanna, ( n
2)
_______ n(n 1)
2 1
n(n 1)
_______
2
Sampla 3
Má tá ( n 45, faigh luach n, i gcás n N.
2)
( n _______ n(n 1) … tar anuas 2 théarma
2) 2 1 … 2!
( n 45 ⇒ _______ n(n 1)
45
2)
2
⇒ n 2 n 90
⇒ n 2 n 90 0
⇒ (n 10)(n 9) 0
⇒ n 10, n 9
⇒ n 10, ó tá n N.
185

Cleachtadh 6.12
1. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:
(i) ( 5
(ii)
2) ( 7 (iii)
3) ( 8 (iv)
4) ( 10
3 ) (v) ( 10
7 ) (vi) ( 16
Bain úsáid as áireamhán chun do fhreagra a fhíorú (a sheiceáil).
2. Taispeáin go bhfuil (i) ( 8
3) ( 8
2) ( 9
3) (ii) ( 10
3. Cé mhéad bealach atá ann le bord seisir a roghnú as deichniúr?
3 ) ____ 10!
3!7!
4. Cé mhéad bealach atá ann le beirt ionadaithe ranga a roghnú as rang 20 dalta?
5. Sé ábhar Ardteistiméireachta atá le roghnú ag dalta áirithe as an dá ábhar déag atá á
múineadh ar an scoil.
(i) Cé mhéad bealach atá ann le sin a dhéanamh?
(ii) Cé mhéad bealach atá ann le sin a dhéanamh más gá mata a bheith san áireamh
i ngach rogha?
6. 7 imreoirí as 11 imreoir atá le roghnú ag bainisteoir foireann peile.
(i) Cé mhéad bealach atá ann leis an bhfoireann a roghnú?
(ii) Más cúl báire amháin a bhíonn ar an bhfoireann 11 imreoir, cé mhéad foireann is
féidir a roghnú má chaitheann an cúl báire a bheith ar gach foireann?
2 )
186
7. Léaráid atá ar dheis d'ocht bpointe ar chiorcal.
Cé mhéad mírlíne dhifriúil is féidir a tharraingt
má cheanglaítear le chéile dhá phointe ar bith
de na hocht bpointe?
8. Cé mhéad fo-thacar ceithre litir is féidir a dhéanamh as an tacar {a, b, c, d, e, f}?
Cé mhéad fo-thacar díobh sin a bhfuil an litir a iontu?
9. Cé mhéad bealach atá ann le painéal cúigir a roghnú as 6 fear agus 4 ban?
Cé mhéad painéal ar a bhfuil
(i) 3 fear agus 2 bhan
(ii) 2 fhear agus 3 ban?
10. Tá foireann cúigir le roghnú. Seachtar, A, B, C, D, E, F agus G atá ar fáil le roghnú.
(i) Cé mhéad foireann dhifriúil is féidir a roghnú?
(ii) Cé mhéad de na foirne a mbeidh A orthu?
(iii) Cé mhéad de na foirne a mbeidh A agus B orthu?
11. 6 múinteoirí agus 5 daltaí atá ar chomhairle scoile áirithe.
(i) Cé mhéad bealach atá ann le coiste ceathrair a roghnú ón gcomhairle seo?
(ii) Cé mhéad coiste is féidir a roghnú má bhíonn 2 mhúinteoirí agus 2 daltaí ar gach
coiste?

12. Seachtar a ghlacann páirt i gcomórtas leadóige.
Cé mhéad cluiche a imreofar má chaitheann gach duine cluiche a imirt le gach duine
eile den seachtar?
13. Coiste ceathrair atá le roghnú as 4 fear agus 5 ban.
(i) Cé mhéad coiste is féidir a roghnú?
(ii) Cé mhéad coiste ar a mbeidh 1 bhean amháin agus 3 fear?
(iii) Cé mhéad coiste ar a mbeidh 2 bhan agus 2 fhear?
14. (i) Má tá ( n
2) 28, faigh n i gcás N. (ii) Má tá ( n
2) 55, faigh n i gcás n N.
15. Roghnaítear painéal triúir as grúpa 15 dhochtúir agus 12 fhiaclóir.
Cé mhéad bealach difriúil ar féidir an triúr a roghnú
(i) mura mbíonn aon teorannú ann
(ii) má chaitheann 2 dochtúirí go baileach a bheith ar an gcoiste?
16. 6 daltaí ón tsraith shóisearach agus 5 daltaí ón tsraith shinsearach atá ar chomhairle
na ndaltaí i scoil áirithe.
Tá coiste 4 daltaí le roghnú ó na daltaí ar an gcomhairle.
Cé mhéad bealach difriúil ar féidir an coiste a roghnú
(i) mura mbíonn aon teorannú ann
(ii) má chaitheann dalta áirithe a bheith ar an gcoiste
(iii) má chaitheann 2 daltaí ón tsraith shóisearach agus 2 daltaí ón tsraith shinsearach
a bheith ar an gcoiste?
Roghnaítear coiste 4 daltaí go randamach.
(iv) Faigh an dóchúlacht gur ón tsraith shóisearach atá gach duine den 4 daltaí.
187

Cuir triail ort féin 6
1. Tá 8 dteascóg ar an rothlóir agus iad ar fad ar cóimhéid.
Faigh an dóchúlacht
(i) gur ar 5 a stopfaidh an tsnáthaid
(ii) nach ar 5 a stopfaidh an tsnáthaid
(iii) gur ar 2 a stopfaidh an tsnáthaid
(iv) gur ar 7 a stopfaidh an tsnáthaid
(v) nach ar 7 a stopfaidh an tsnáthaid.
2. Caitheann Ben dísle cóir 300 uair.
Cé mhéad uair a bheadh sé ag súil le
(i) 6 a fháil
(ii) ré-uimhir a fháil?
3. Roghnaítear litir amháin go randamach as na litreacha atá san fhocal OSCAILT.
(i) Ríomh an dóchúlacht gurb é T an litir a roghnaítear.
(ii) Ríomh an dóchúlacht gur guta nó T a roghnaítear.
4. 6 chnaipe dhearga, 4 chnaipe ghorma agus 2 chnaipe
uaine atá i mála. Má tharraingítear cnaipe go
randamach amach as an mála, céard é an dóchúlacht
(i) gur uaine a bheidh sé (ii) gur gorm a bheidh sé
(iii) gur uaine nó gorm a bheidh sé (iv) nach dearg a bheidh sé?
2
2
0
5
5
3
1
2
5. D’fhéadfadh ceann ar bith de cheithre thoradh a
Toradh Dóchúlacht
bheith ar chluiche ‘faiche aonaigh’. Taispeántar sa
tábla an dóchúlacht atá ag gach toradh.
Príomhdhuais
__ 1
20
(i) Céard é an dóchúlacht go bhfaighidh tú do Duais sóláis
__ 1
10
chuid airgid ar ais?
Do chuid airgid ar ais ?
(ii) Céard é an toradh is dóchúla?
(iii) Céard é an dóchúlacht nach mbuafaidh tú an Cailleann tú
3_
5
phríomhdhuais?
(iv) Cé mhéad uair a bheifeá ag súil leis an gcluiche a chailleadh dá n-imreofá 100 uair é?
6. Tógann Séamus leabhar anuas ón tseilf go randamach.
Taispeántar sa tábla an dóchúlacht go bhfaighidh sé cineálacha éagsúla leabhair.
188
Ábhar Clúdach crua Clúdach bog
Ficsean 0.1 0.3
Spórt 0.2 0
Ríomhairí 0.1 0.15
Ainmhithe 0.05 0.1
Maidir leis an leabhar a gheobhaidh sé, cén dóchúlacht atá ann gur leabhar ...
(i) faoi chlúdach bog a bheidh ann
(ii) ar ríomhairí a bheidh ann?
Má tá 120 leabhar ar fad ar an tseilf,
(iii) cé mhéad díobh ar faoi ainmhithe atá siad?

7. Tá rogha ceithre sneaic ar fáil sa bhialann bheag i scoil áirithe.
Is iad na ceithre sneaic ná burgair, píotsa, pasta agus sailéad.
Is féidir le daltaí ceann amháin de na ceithre sneaic sin a roghnú.
Taispeántar sa tábla an dóchúlacht go roghnóidh dalta burgar nó píotsa nó sailéad.
Sneaic burgar píotsa pasta sailéad
Dóchúlacht 0.35 0.15 0.2
Tháinig 300 dalta chun sneaic a chaitheamh sa bhialann bheag ar an Máirt.
Oibrigh amach meastachán don líon daltaí a roghnaigh pasta.
8. Caitheann Sinéad dísle dearg agus dísle gorm ag an am céanna.
Taispeáin na fothorthaí féideartha go léir i spás samplach.
Faigh an dóchúlacht go bhfaigheann Sinéad
(i) scór iomlán de 10
(ii) scór iomlán de 12
(iii) scór iomlán níos lú ná 6
(iv) an uimhir chéanna ar an dá dhísle.
9. Piocann Clíodhna dhá chárta go randamach ó na 3, 4, 5
agus 6 hart.
Faigh an dóchúlacht go bhfuil suim na n-uimhreacha
ar an dá chárta níos mó ná 9.
10. Tá ceathrar cairde ann Ava, Brian, Cloe agus Dara. Scríobhann siad ar fad a n-ainm
ar chárta agus cuirtear na ceithre chárta i hata.
Roghnaíonn Ava dhá chárta le cinneadh cé a dhéanfaidh an obair bhaile mhata an oíche
sin. Liostaigh na teaglamaí ar fad a d'fhéadfadh a bheith ann.
Cén dóchúlacht atá ann gurb iad Cloe agus Dara a bheidh ag déanamh na hoibre baile?
11. Suaitear na huimhirchártaí seo agus cuirtear ina líne iad.
7
5
2
8
11
3
6
17 4
Piocann Seán cárta amháin go randamach agus ní chuireann sé ar ais é.
Ansin piocann sé cárta eile.
(i) Más é an '11' an chéad chárta, faigh an dóchúlacht go roghnaíonn Seán ré-uimhir
ar an dara tarraingt.
(ii) Más é an '8' an chéad chárta, faigh an dóchúlacht go roghnaíonn sé uimhir níos
airde ná 9 ar an dara tarraingt.
189

190
12. Tá scoil bheag amuigh faoin tuath. Tá páistí d'aoiseanna éagsúla le chéile in aon rang
amháin. Tugtar sonraí sa tábla thíos.
Cailíní 5
bliana
Buachaillí 5
bliana
Cailíní 6
bliana
Buachaillí 6
bliana
Cailíní 7
mbliana
Buachaillí 7
mbliana
3 4 6 8 5 2
Roghnaítear dalta go randamach.
Céard é an dóchúlacht
(i) gur buachaill 6 bliana d’aois atá ann (ii) gur cailín atá ann
(iii) gur páiste 6 nó 7 mbliana d’aois atá ann
(iv) gur buachaill nó gur páiste 6 bliana d’aois atá ann?
13. (i) 3 aghaidh dhearga, 2 aghaidh ghorma agus 1 aghaidh uaine atá ar an dísle atá ag
Aodán. Caitheann sé an dísle 300 uair. Taispeántar na torthaí sa tábla seo a leanas.
Dearg Gorm Uaine
156 98 46
(a) Céard é an mhinicíocht choibhneasta gur aghaidh dhearg a gheobhaidh sé?
(b) An gceapann tú go bhfuil an dísle cóir?
Tabhair míniú le do fhreagra.
(ii) 4 aghaidh dhearga agus 2 aghaidh ghorma atá ar an dísle atá ag Emma.
Caitheann sí an dísle 10 n-uaire agus faigheann sí 2 dhearg.
Deir Emma nach bhfuil an dísle cóir.
Mínigh cén fáth a bhféadfadh Emma a bheith mícheart.
14. Tá bonn laofa sa chaoi is gurb é 2 3
an dóchúlacht go dtitfidh sé aghaidh in airde.
Caitear an bonn trí huaire.
Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:
(i) cúl ar an gcéad dá chaitheamh (ii) an chéad aghaidh ar an tríú caitheamh?
15. Tá 2 chnaipe ghorma agus 3 chnaipe dhearga i mála A.
Tá 3 chnaipe ghorma agus 6 chnaipe dhearga i mála B.
Pioctar cnaipe go randamach as an dá mhála.
Tarraing léaráid chrainn chun na fothorthaí féideartha go léir a thaispeáint.
(i) Céard é an dóchúlacht go bhfuil an dá dhiosca gorm?
(ii) Céard é an dóchúlacht go bhfuil an dá dhiosca dearg?
(iii) Céard é an dóchúlacht go bhfuil an dá dhiosca ar aon dath?
(iv) Céard é an dóchúlacht nach bhfuil an dá dhiosca ar aon dath?
16. I gcluiche áirithe bíonn tú ag caitheamh dísle cóir.
Má fhaigheann tú 1, buann tú 1; má fhaigheann tú 2, buann tú 2; i gcás 3, 4, 5 agus
6, buann tú 3, 4, 5 agus 6 faoi seach.
4 an costas atá ar an dísle a chaitheamh uair amháin.
Faigh an méid airgid ionchais a d’fhéadfá a bhuachan nó a chailleadh dá n-imreofá an
cluiche seo? An gceapann tú go bhfuil an cluiche cóir? Tabhair míniú le do fhreagra.

17. Seo rothlóir ar a bhfuil 4 thaobh.
Tá 1, 2, 3 agus 4 ar thaobhanna an rothlóra.
Tá an rothlóir laofa.
Tugtar sa tábla thíos an dóchúlacht go stopfaidh
an rothlóir ar na huimhreacha 2 agus 3.
Uimhir 1 2 3 4
Dóchúlacht x 0.3 0.2 x
4
1
2
3
Is ionann an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ar 1 agus an dóchúlacht go stopfaidh
sé ar 4.
(i) Oibrigh amach luach x.
Tá Sorcha chun an rothlóir a chasadh 200 uair.
(ii) Oibrigh amach meastachán don mhéid uaireanta a stopfaidh sé ar 2.
18. Iarrtar ar thríocha dalta a rá cé na gníomhaíochtaí is maith leo
as measc na dtrí rogha seo: snámh (S), leadóg (L) agus haca (H).
Taispeántar ar dheis an líon i ngach tacar.
Roghnaítear dalta amháin go randamach.
S
(i) Cé acu de na péirí teagmhas seo atá
8
comheisiatach?
(a) 'dalta a roghnú ó S', 'dalta a roghnú ó H'
(b) 'dalta a roghnú ó S', 'dalta a roghnú ó L'.
U 30
(ii) Céard é an dóchúlacht dalta a roghnú ar maith leis/léi haca nó leadóg?
5
7
L
H
10
19. Tá uimhir scríofa ar gach aghaidh de chuid dísle
faoi seach.
(i) Céard é an dóchúlacht 2 a scóráil?
Caitear an dísle trí huaire.
(ii) Céard é an dóchúlacht gurb é 2 a fhaightear ar an gcéad dá chaitheamh?
(iii) Céard é an dóchúlacht gur ar an tríú caitheamh a fhaightear an chéad 2?
3
1
1
20. Tá Adam agus Mandy ag imirt cluiche ina gcaitear trí bhonn in airde.
Is ag Adam a bheidh an bua mura bhfaightear aghaidh ar bith, nó mura bhfaightear
ach aghaidh amháin.
Is ag Mandy a bheidh an bua más dhá aghaidh nó trí aghaidh a fhaightear.
An dtugann an cluiche cothrom na Féinne don dá imreoir? Tabhair míniú le do fhreagra.
21. Cé mhéad uimhir dhifriúil trí dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 1, 2, 3, 4, 5 mura
mbíonn digit ar bith in aon uimhir níos mó ná uair amháin?
(i) Cé mhéad de na huimhreacha sin a bhfuil 3 ina dtús?
(ii) Cé mhéad de na huimhreacha sin atá os cionn 300?
191

22. Cé mhéad bealach atá ann le litreacha an fhocail SPLEÁCH a eagrú ina líne?
(i) Cé mhéad de na heagair sin a bhfuil S ina dtús?
(ii) Cén dóchúlacht atá ann gurb é S atá i dtús an eagair?
23. Caithfidh iarratasóirí ar phost áirithe dhá scrúdú
a dhéanamh, A agus B.
Taispeánann taithí go bhfuil na scrúduithe
neamhspleách ar a chéile.
Is é an dóchúlacht go bhfaighidh duine pas i scrúdú A ná 0.3.
Is é an dóchúlacht go bhfaighidh duine pas i scrúdú B ná 0.8.
Scr˙d˙ A
0.3
pas
teip
Scr˙d˙ B
(i) Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid chrainn.
(ii) Maidir le duine a roghnaítear go randamach, faigh an dóchúlacht go bhfaighidh sé/sí
(a) pas sa dá scrúdú
(b) pas i scrúdú amháin agus teip sa cheann eile.
24. Caitear dísle cóir agus dísle laofa le chéile. Tugtar thíos na dóchúlachtaí go
bhfaightear na huimhreacha 1 go 6 leis an dísle laofa.
Cóir
Laofa
P(6) 1_ 4 P(1) __ 1
12
P(2) P(3) P(4) P(5) 1_ 6
Má chaitear an dá dhísle, faigh an dóchúlacht gurb é an t-iomlán a fhaightear ná
(i) 2 (ii) 12 (iii) 3.
25. Rinne Máire rothlóir ar a bhfuil cúig thaobh, cosúil leis an gceann
atá le feiceáil sa léaráid ar dheis. Bhain sí úsáid as chun cluiche boird
a imirt lena cara Sorcha. Mheas na cailíní go raibh an rothlóir laofa mar
go bhfacthas dóibh go raibh sé ag stopadh ar uimhreacha áirithe níos
mó ná cinn eile. Chaith siad an rothlóir 200 uair agus bhreac síos na
torthaí. Taispeántar na torthaí sa tábla.
2
3
1
4
5
An taobh ar a stopann an rothlóir 1 2 3 4 5
Méid uaireanta 20 28 32 50 70
(i) Oibrigh amach an dóchúlacht thurgnamhach atá ag gach uimhir.
(ii) Cé mhéad uair a bheadh súil agat gach uimhir a fháil má tá an rothlóir cóir?
(iii) An gceapann tú go bhfuil an rothlóir cóir? Tabhair cúis le do fhreagra.
192

Scála dóchúlachta
Cuirtear dóchúlacht teagmhais in iúl mar uimhir ó 0 go 1, agus an dá uimhir
sin san áireamh.
Má tá teagmhas dodhéanta, is é 0 a dhóchúlacht.
Má tá teagmhas cinnte, is é 1 a dhóchúlacht.
Dóchúlacht theoiriciúil
líon na mbealaí ar féidir leis an teagmhas tarlú
P(teagmhas) ________________________________________
líon iomlán na bhfothorthaí féideartha
Teagmhais chomheisiatacha
Mura féidir le dhá theagmhas tarlú ag an am céanna, tá siad comheisiatach.
Nuair atá an dá theagmhas A agus B comheisiatach, P(A nó B) P(A) P(B)
Tugann P(nach A) an dóchúlacht nach dtarlóidh fothoradh A: P(nach A) 1 P(A)
Minicíocht choibhneasta
Minicíocht choibhneasta __________________________
líon na dtrialacha fabhracha
líon iomlán na dtrialacha
Minicíocht ionchais dóchúlacht líon na dtrialacha
Teagmhais neamhspleácha --- Riail an Iolraithe
Tá dhá theagmhas neamhspleách ar a chéile mura dteánn ceann amháin i bhfeidhm
ar fhothoradh an chinn eile.
Má tá na teagmhais A agus B neamhspleách ar a chéile, P(A agus B) P(A) P(B)
Trialacha Bernoulli
Triail Bernoulli a thugtar ar thurgnamh ina ndéantar trialacha arís is arís eile a
shásaíonn na coinníollacha seo:
tá dhá fhothoradh fhéideartha ann, 'toradh fabhrach' agus 'toradh neamhfhabhrach'
tá an dóchúlacht go bhfaighfear toradh fabhrach mar an gcéanna do gach triail
tá gach fothoradh neamhspleách ar fhothorthaí trialacha eile.
Bunphrionsabal an Chomhairimh
Má bhíonn x bealach ann le tasc áirithe a dhéanamh agus, ina dhiaidh sin, y bealach
leis an dara tasc a dhéanamh, xy bealach atá ann leis an gcéad tasc agus ansin an
dara tasc a dhéanamh.
Eagair (Iomalartuithe)
An méid eagar ar n rud dhifriúla, is ionann é agus n!, áit a bhfuil n! n(n 1)(n 2) 3.2.1
Teaglamaí
Is é an méid bealaí atá ann le r rud a roghnú as n rud ná ( n r ) .
( n r )
________ n(n 1)
r !
… tosaigh ar n agus tar anuas r téarma
… tosaigh ar r agus tar anuas go dtí 1
193

7
Uimhreacha Coimpléascacha
uimhreacha aiceanta slánuimhreacha uimhir chóimheasta réaduimhreacha
deachúlacha críochta deachúlacha athfhillteacha uimhir éagóimheasta aistriú
uimhir shamhailteach uimhir choimpléascach cuid réadach rothlú modal
comhchuingeach léaráid Argand cothrom le chéile cuid shamhailteach
Mír 7.1
Uimhirchórais
Sa staidéar a rinne tú ar an matamaitic go dtí seo, bhí tú ag plé le huimhreacha aiceanta, le
slánuimhreacha, le codáin agus le deachúlacha.
Q
Cuirfidh an méid thíos na huimhirchórais sin i gcuimhne duit:
Z
N uimhreacha aiceanta 1, 2, 3, 4, 5, …
Z slánuimhreacha … 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …
Q uimhreacha cóimheasta (nó codáin) ar uimhreacha
iad is féidir a scríobh san fhoirm
b a , áit a bhfuil a, b Z.
1_
2 , 3_ 4 , 2_ 3 , 5_ 2 , __ 10
1
samplaí iad seo d'uimhreacha cóimheasta.
Má léirítear na huimhreacha sin ar léaráid Venn, feictear N Z agus Z Q.
Tá na huimhirchórais sin úsáidte againn chun cothromóidí mar seo a leanas a réiteach:
(i) x 5 3 (ii) x 5 3 (iii) 3x 5 3
x 5 5 3 5 x 5 5 3 5 3x 5 5 3 5
x 8, ∈ N x 2, ∈ Z 3x 2
x 2_ 3 , ∈ Q
Anois réiteoimid an chothromóid,
x 2 2
x √ __
2
Agus áireamhán á úsáid, √ __
2 1.4142135…
Deachúil neamh-athfhillteach, neamhchríochta (gan deireadh) é seo.
Toisc nach féidir 2 a scríobh mar chóimheas (uimhir chóimheasta), deirtear gur uimhir
éagóimheasta é.
Samplaí d'uimhreacha éagóimheasta iad 2, 3 agus 5.
Ó tharla go bhfuil 4 2, 16 4; feictear nach uimhir éagóimheasta gach fréamh chearnach.
N
194

Tá 3.141592… ar cheann de na huimhreacha éagóimheasta is mó clú.
Ní féidir é a scríobh mar chodán.
Ach tá 22
7
ina neastachán atá gar dá luach.
I measc na n-uimhreacha atá feicthe againn go dtí seo tá
(i) uimhreacha aiceanta
(ii) slánuimhreacha
(iii) uimhreacha cóimheasta
(iv) uimhreacha éagóimheasta.
Réaduimhreacha a thugtar ar na huimhreacha seo ar fad le chéile.
Cuireann an litir R an tacar réaduimhreacha in iúl.
Sampla 1
Taispeáin gur uimhreacha cóimheasta iad seo a leanas:
(i) 5.2 (ii) 0.3333… (iii) √ ___
___ 16
9
(i) 5.2 5 __ 2
10 5 1_ 5 5 1_ 5 __ 26
5
, uimhir chóimheasta.
(ii) 0.3333… Bíodh x 0.3333…
10x 3.3333
x 0.3333
Dealaigh: 9x 3
x 3_ 9 1_ 3
… uimhir chóimheasta
(iii) √ ___
___ 16
9 ____
√___ 16
√ 9 __ 4 , uimhir chóimheasta
3
N
Z Q R
Nóta:
Léiríonn an sampla thuas gur féidir deachúlacha críochta agus deachúlacha
athfhillteacha a scríobh mar chodáin (uimhreacha cóimheasta). Tá gach uimhir
chóimheasta ina réaduimhir freisin.
Cleachtadh 7.1
1. Déan cur síos i bhfocail ar na tacair seo a leanas:
(i) uimhreacha aiceanta
(ii) slánuimhreacha
(iii) uimhreacha cóimheasta
(iv) uimhreacha éagóimheasta.
2. Scríobh síos sampla de gach ceann díobh seo a leanas:
(i) uimhir aiceanta atá níos mó ná 10
(ii) slánuimhir nach uimhir aiceanta í
(iii) uimhir chóimheasta dhearfach nach slánuimhir í
(iv) uimhir chóimheasta ar slánuimhir freisin í
195

3. Abair an bhfuil siad seo a leanas fíor nó bréagach:
(i) 3 ∈ N (ii) 5 ∈ Z (iii) 4 ∈ N (iv)
2_
3 ∈ Q
(v) 3_ 4
∈ Z (vi) 1.3 ∈ (vii) 2.4 ∈ Z (viii) 8 ∈ Q
4. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm
b a , a, b, N:
(i) 0.7 (ii) 1.2 (iii) 2.6 (iv) 8.2 (v) 0.05
5. Cé acu de na huimhreacha seo atá éagóimheasta?
(i) √ __
8 (ii) √ ___
16 (iii) 4 √ __
7 (iv) (v) √ ___
24
6. Trí shimpliú ar dtús, cinn an bhfuil siad seo a leanas ina n-uimhreacha aiceanta nó
nach bhfuil:
16
(i) __ 18
4
(ii) __
4
(iii) √ ___
81 (iv) √ __
__ 48
25
3
(v) __
10
7. Déan cur síos ar an gcineál uimhreach a theastaíonn chun na cothromóidí seo a leanas
a réiteach. Roghnaigh ó uimhreacha aiceanta, slánuimhreacha, uimhreacha cóimheasta
agus uimhreacha éagóimheasta.
(i) x 4 9 (ii) 3x 2 7 (iii) 4x 14 2
(iv) 3x 4 7
(v) 3x √ __
5 0 (vi) x 2 17
8. Cóipeáil agus críochnaigh an obair ar dheis
chun 0.4444… a shloinneadh mar chodán.
Bíodh x 0.4444…
10x 4.444…
x 0.444
9x …………
x …………
196
9. Athraigh gach ceann de na deachúlacha athfhillteacha seo ina huimhir chóimheasta:
(i) 0.7777… (ii) 1.7777… (iii) 0.1555…
10. Cé acu de na huimhreacha seo atá idir 2 agus 3?
(i) √ __
5 (ii) √ __
7 (iii) √ ___
11 (iv) √ ___
12 1 (v) 1
11. Scríobh síos uimhir éagóimheasta idir
(i) 4 agus 5 (ii) 6 agus 7 (iii) 0 agus 1 (iv) 10 agus 11
12. Cé acu de na huimhreacha seo atá cóimheasta?
(i) 3 1_ 2
(ii) √ __
5 (iii) ( √ __
5 ) 2 (iv) 2 √ ___
10 (v) 3
13. I ngach ceann díobh seo a leanas, scríobh síos dhá shlánuimhir a chomhlíonann na
coinníollacha seo a leanas:
(i) nuair a iolraítear na slánuimhreacha, is uimhir aiceanta é an freagra
(ii) nuair a roinntear na slánuimhreacha, is uimhir chóimheasta dhiúltach é an freagra
(iii) is uimhir aiceanta í fréamh chearnach shuim an dá shlánuimhir
(iv) is uimhir éagóimheasta í fréamh chearnach na difríochta idir na slánuimhreacha.

Mír 7.2
√ ___
25 5 toisc 5 5 25.
Uimhreacha coimpléascacha
Ar an gcaoi chéanna 36 6 agus 100 10.
Ach céard é -4?, is é sin, cén uimhir a thabharfaidh 4 duit má iolraíonn tú fúithi féin í?
Ní hé 2 ná 2 an freagra, ó tharla 2 2 4 agus (2) 2 4.
I gcás gach réaduimhreach, bíodh sí deimhneach nó diúltach, nuair a chearnaítear í bíonn
an freagra deimhneach i gcónaí.
∴ Ní réaduimhir é -4.
Uimhreacha samhailteacha a thugtar ar uimhreacha ar nós -1, -4 agus -25.
Úsáidtear an tsiombail i chun an uimhir shamhailteach -1 a léiriú.
Ó tharla i √ ___
1 ,
i 2 1… cearnaigh an dá thaobh
Uimhreacha samhailteacha
i √ ___
1 agus i 2 1
Seo roinnt uimhreacha samhailteacha a scríobhadh le i in áit √ ___
1 .
(i) √ ___
9 √ __
9 . √ ___
1 3i
(ii) √ ____
25 √ ___
25 . √ ___
1 5i
(iii) √ ____
18 √ ___
18 . √ ___
1 √ __
9 . √ __
2 . i 3 √ __
2 i
Uimhreacha coimpléascacha
Uimhir choimpléascach a thugtar ar uimhir ar nós 3 4i.
Tá cuid réadach agus cuid shamhailteach ann.
An chuid réadach a thugtar ar 3.
An chuid shamhailteach a thugtar ar 4.
Is uimhir í uimhir choimpléascach
san fhoirm a bi, áit a bhfuil i √ ___
1 .
Is féidir an réaduimhir 5 a scríobh san fhoirm 5 0i.
Is é 5 an chuid réadach agus is é 0 an chuid shamhailteach.
Is féidir an uimhir shamhailteach 6i a scríobh san fhoirm 0 6i.
Is é 0 an chuid réadach agus is é 6 an chuid shamhailteach.
Úsáidtear an cheannlitir C chun tacar na n-uimhreacha coimpléascacha a léiriú.
Úsáidtear an litir bheag z de ghnáth chun uimhir choimpléascach a léiriú, m.sh.,
z 1 2 3i nó z 2 2 5i.
197

Sampla 1
Faigh an chuid réadach agus an chuid shamhailteach díobh seo a leanas:
(i) 2 5i (ii) 1 2i (iii) 6 (iv) 2i
Cuid réadach Cuid shamhailteach
(i) 2 5i 2 5
(ii) 1 2i 1 2
(iii) 6 6 0i 6 0
(iv) 2i 0 2i 0 2
Cleachtadh 7.2
1. Simpligh gach ceann díobh seo ag úsáid na siombaile i :
(i) √ ___
4 (ii) √ _____
100 (iii) √ ____
64 (iv) √ ____
49
(v) √ ___
1
2. Scríobh síos an chuid réadach agus an chuid shamhailteach de na huimhreacha
coimpléascacha seo a leanas:
(i) 2 5i (ii) 6 2i (iii) 1 9i (iv) 3 i (v) a bi
(vi)
1_
2
3i (vii) 4 (viii) 3i (ix) i (x) (x 2) 6i
3. Scríobh gach ceann díobh seo san fhoirm a bi:
(i) 6 √ ____
16 (ii) √ _____
121
(iii) 2 √ _____
100
Mír 7.3
Uimhreacha coimpléascacha a
shuimiú agus a dhealú
(iv) 2 √ ___
8
Chun dhá uimhir choimpléascacha a shuimiú nó a dhealú, suimigh nó dealaigh na
codanna réadacha agus na codanna samhailteacha leo féin.
Sampla 1
Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi:
(i) (3 2i) (4 3i) (ii) (5 3i) (1 7i)
(iii) (6 3i) (5 2i)
(iv) (a bi) (c di)
(i) (3 2i) (4 3i) 3 2i 4 3i 7 i
(ii) (5 3i) (1 7i) 5 3i 1 7i 6 4i
(iii) (6 3i) (5 2i) 6 3i 5 2i 11 5i
(iv) (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d)i
Iolrú faoi réaduimhir
Simplítear 3(2 4i) ach gach téarma laistigh de na lúibíní a iolrú faoi 3.
Dá bhrí sin 3(2 4i) 6 12i agus 3(4 3i) 12 9i.
198

Sampla 2
Má tá z 1 1 2i agus z 2 5 2i, sloinn san fhoirm a bi:
(i) 3z 1 (ii) z 1 z 2 (iii) 2z 1 z 2 (iv) z 1 3z 2
(i) 3z 1 3(1 2i) (ii) z 1 z 2 (1 2i) (5 2i)
3 6i
1 2i 5 2i
6 0i
(iii) 2z 1 z 2 2(1 2i) (5 2i) (iv) z 1 3z 2 (1 2i) 3(5 2i)
2 4i 5 2i
1 2i 15 6i
3 6i
14 8i
Cleachtadh 7.3
1. Scríobh gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas san fhoirm a bi:
(i) (3 4i ) (5 i ) (ii) (3 4i ) (2 6i )
(iii) (5 i ) (2 3i ) (iv) (3 6i ) (4 2i )
(v) (2 6i ) (4 i ) (vi) (3 2i ) (6 2i )
(vii) (3 6i ) 5 (viii) 3i (2 4i )
(ix) (a bi ) (3 2i ) (x) (a bi ) (x yi )
2. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi:
(i) (2 5i ) (1 2i ) (ii) (3 2i ) (5 4i )
(iii) (2 i ) (3 5i ) (iv) (3 4i ) (2 6i )
(v) (4 2i ) (3 7i ) (vi) (6 2i ) (5 i )
(vii) (3 4i ) 6 (viii) 5i (3 2i )
(ix) (a bi ) (5 2i ) (x) (x yi ) (p qi )
3. Má tá z 1 2 3i agus z 2 5 i, sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi:
(i) 3z 1 (ii) 3z 1 z 2
(iii) z 1 3z 2 (iv) 2z 1 4z 2
(v) 4z 1 3z 2 (vi) 2z 1 4z 2
4. Má tá z 1 1 2i, z 2 3 2i agus z 3 1 3i, sloinn san fhoirm a bi:
(i) z 1 z 3 (ii) 2z 2 z 3
(iii) z 1 z 2 z 3 (iv) 2z 3 3z 1
(v) z 1 (z 2 z 3 ) (vi) z 1 z 2 2z 3
5. Sloinn 3(4 i ) 2(2 5i ) san fhoirm a bi.
6. Faigh uimhir choimpléascach z 1 chun na cothromóidí seo a leanas a shásamh:
(i) (3 4i ) z 1 7 5i
(ii) z 1 (5 2i ) 6 4i
(iii) (8 3i ) z 1 3 2i (iv) (8 6i ) (4 3i ) z 1
199

Mír 7.4
Uimhreacha coimpléascacha a iolrú
D’fhoghlaimíomar cheana féin an chaoi le dhá shloinn ailgéabracha ar nós (2x 4)(x 3) a iolrú,
i.e. (2x 4)(x 3) 2x 2 6x 4x 12
2x 2 2x 12
Iolraítear dhá uimhir choimpléascacha sa chaoi
chéanna, ag cur 1 in ionad i 2 .
Sampla 1
Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi:
(i) i(3 2i ) (ii) (2 3i )(4 5i ) (iii) (3 2i )(5 3i )
(i) i(3 2i ) 3i 2i 2 3i 2(1) 3i 2 2 3i
(ii) (2 3i )(4 5i ) 2(4 5i ) 3i(4 5i )
8 10i 12i 15i 2
8 2i 15(1) … i 2 1
8 2i 15
23 2i
(iii) (3 2i )(5 3i ) 3(5 3i ) 2i(5 3i )
15 9i 10i 6i 2
15 i 6(1) … i 2 1
15 i 6 21 i
Ná dearmad i 2 1
Cleachtadh 7.4
Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi:
1. i(3 2i ) 2. 3i(1 5i ) 3. 2i(4 3i )
4. (2 3i )(4 i ) 5. (2 i )(3 2i ) 6. (1 i )(3 2i )
7. (1 3i )(4 2i ) 8. (1 4i )(1 i ) 9. (2 3i )(2 3i )
10. (3 4i )(2 i ) 11. (3 2i ) 2 12. (4 2i ) 2
13. Má tá z 1 3 2i, z 2 5 i agus z 3 1 3i, sloinn iad seo a leanas san fhoirm a bi,
(i) z 1 . z 3 (ii) z 2 . z 3 (iii) z 1 (z 2 z 3 ) (iv) iz 1 z 2
14. Cóipeáil agus críochnaigh an tábla seo:
i i
i i i i i 2
i i i i
i i i i i
i i i i i i
200

Mír 7.5
Uimhreacha coimpléascacha a roinnt
1. Comhchuingeach uimhreach coimpléascaí
Más uimhir choimpléascach z a bi, comhchuingeach coimpléascach z a thugtar ar
a bi, nó comhchuingeach z go simplí.
_
z an tsiombail ar chomhchuingeach z.
Dá bhrí sin chun comhchuingeach uimhreach coimpléascaí a fháil, ná hathraigh ach comhartha
na coda samhailtí amháin.
(i) Is é 3 4i comhchuingeach 3 4i.
(ii) Is é 2 6i comhchuingeach 2 6i.
Sampla 1
Má tá z 3 4i, faigh san fhoirm a bi
(i) z _ z (ii) z. _ z .
(i) z _ z (3 4i) (3 4i) (ii) z. _ z . (3 4i)(3 4i)
3 4i 3 4i 9 12i 12i 16i 2
6 0i 9 0i 16
i.e. 6 25 0i
i.e. 25
Tabhair faoi deara gur réaduimhreacha iad freagraí (i) agus (ii) araon.
Ná dearmad
Nuair a shuimítear uimhir choimpléascach lena comhchuingeach,
nó nuair a iolraítear faoi chéile iad, is réaduimhir an freagra i gcónaí.
2. Uimhreacha coimpléascacha a roinnt
Chun _______ 4 10i
5
a shloinneadh san fhoirm a bi, roinntear gach téarma den uimhreoir ar a 5.
Dá bhrí sin _______ 4 10i __ 4 ___ 10
5 5 5 i __ 4 2i. 5
Chun 2 3i ______
4 2i
a shloinneadh san fhoirm a bi, iolraítear an t-uimhreoir agus an t-ainmneoir
faoi chomhchuingeach an ainmneora.
Réaduimhir faoin líne a thabharfaidh sé sin.
Léirítear na céimeanna a bhaineann leis seo sa sampla seo a leanas.
201

Sampla 2
Sloinn
6 2i ______
2 3i
san fhoirm a bi.
______ 6 2i
2 3i ______ 6 2i
2 3i ______ 2 3i
2 3i
(6 2i )(2 3i )
_____________
(2 3i )(2 3i )
2
_________________
12 18i 4i 6i
4 6i 6i 9i 2
___________
12 22i 6
4 9
_______ 6 22i ___ 6
13 13 ___ 22
13 i
Cleachtadh 7.5
202
1. Scríobh síos comhchuingeach na n-uimhreacha coimpléascacha seo a leanas:
(i) 2 3i (ii) 3 4i (iii) 4 6i (iv) (x 2) yi
2. Má tá z 1 2 3i agus z 2 3 4i, sloinn san fhoirm a bi:
_
(i) z 1 (ii) 2 _ z 2 (iii) z 1 _ _
z 2 (iv) z 1 . _ z 2
(v)
_
z 1 . z 2
3. Scríobh gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo san fhoirm a bi:
(i) ______ 6 4i
(ii) ______ 3 2i
(iii) ______ 7 3i
(iv) _______ 2 6i
2
2
4
3
4. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi:
(i) ______ 2
(ii) ______ 5
(iii) _____ 3
(iv) ______ 2 3i
3 2i
3 4i
6 i
1 2i
(v)
4 3i ______
3 2i
(vi)
2 3i _______
5 i
(vii)
6 5i ______
2 3i
(viii)
6 2i ______
i
5. Má tá z 1 3 4i, z 2 5 i agus z 3 2 i, sloinn san fhoirm x yi:
(i) z 1 . _ z
z 1 (ii) __ 1
_
(iii) z 2 . z 1 (iv) __ z _ 3
(v)
z3
z 1
6. Má tá z 1 1 2i agus z 2 3 2i, sloinn san fhoirm a bi:
(i) 2iz 2 (ii) iz 1 iz 2 (iii) __ i
(iv) __ z 2
z1
i
7. Má tá z 1 3 4i agus z 2 12 5i, taispeáin gur réaduimhir z 1 . _ z 2 _ z 1 .z 2 .
(v)
______ z 1 z 2
8. Má tá z 5 4i, (i) ríomh z. _ z (ii) sloinn __ z _ san fhoirm a bi.
z
9. Bíodh w (1 3i )(2 i ). Sloinn w san fhoirm p qi, p,q R.
__
Cén luach de a a fhágann go bhfuil __ w
aw, áit a bhfuil a R?
2i
10. Tugtar u 3 6i.
(i) Sloinn iu san fhoirm a bi.
iz 1 ___
iz 2
(ii) Taispeáin go bhfuil iu u __
i
0.
_
z 3

Mír 7.6
Léaráid Argand
Chun uimhir choimpléascach a léiriú ar ghraf, tógtar ais chothrománach agus ais ingearach
atá cosúil leis an x-ais agus an y-ais.
An ais réadach (Ré) a thugtar ar an ais chothrománach.
An ais shamhailteach (Sa) a thugtar ar an ais ingearach.
Breactar uimhreacha coimpléascacha sa chaoi chéanna ansin agus a bhreactar pointí ar an
bplána comhordanáidithe. Mar shampla, léirítear an uimhir choimpléascach 3 2i leis an
bpointe (3, 2). Léaráid Argand a thugtar ar léaráid ar a léirítear uimhreacha coimpléascacha.
Léirítear roinnt uimhreacha coimpléascacha sa léaráid Argand thíos.
Cleachtadh 7.6
2i
4 2i
3 i
1i
4 0i
6 5 4 3 2 1 O 1 2 3
1i
4 5 6 Ré
3 2i
Sa
3i
2i
3i
0 3i
2 3i
5 2i
Nóta: Is ionann an uimhir 4 agus
4 0i agus tá 3i 0 3i.
1. Tarraing léaráid Argand agus léirigh na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas uirthi:
(i) 4 i (ii) 3 3i (iii) 4 2i (iv) 1 i (v) 4 i
(vi) 3 2i (vii) 3 2i (viii) 5 2i (ix) 4 (x) 3i
2. Scríobh gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas san fhoirm a bi
agus ansin breac ar léaráid Argand iad:
(i) (3 2i ) (1 4i )
(ii) 2(1 2i ) 3i
(iii) 3(2 i) (6 6i ) (iv) (2 i )(1 i )
3. Dhá uimhir choimpléascacha iad z 1 2 i agus z 2 1 3i.
Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi agus ansin breac an uimhir ar
léaráid Argand.
(i) z 1 (ii) z 1 z 2 (iii) z 1 . z 2 (iv) iz 2
4. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi agus ansin léirigh do fhreagra
ar léaráid Argand:
(i) 2(3 2i ) (ii) 3(1 2i ) 4i (iii) (3 4i ) (2 i )
5. Breac gach ceann díobh seo a leanas ar léaráid Argand:
(i) i (ii) i 2 (iii) i 3 (iv) i 4
6. Má tá z 1 4 2i and z 2 1 2i, breac gach ceann díobh seo a leanas ar an léaráid
Argand chéanna.
_
(i) z 1
(ii) z 2 (iii) z 1 _ z 1 (iv) z 2 . _ z 2
203

Mír 7.7
Modal uimhreach coimpléascaí
Is ionann modal (nó fad) uimhreach coimpléascaí agus an fad ón mbunphointe go dtí an
pointe a sheasann don uimhir choimpléascach ar an léaráid Argand.
Is é √ _______
a 2 b 2 modal na huimhreach
Sa
a bi
coimpléascaí a bi.
Mar seo a scríobhtar modal a bi : a bi.
a 2 b 2
b
Modal
Is é modal na huimhreach
coimpléascaí z a bi ná
|z| |a bi| √ _______
a 2 b 2 .
O
a
Ré
Sampla 1
Má tá z 1 2 3i and z 2 3 4i, faigh
(i) |z 1 | (ii) |z 2 | (iii) |z 1 z 2 |
Fíoraigh go bhfuil |z 1 | |z 2 | |z 1 z 2 |.
(i) |z 1 | |2 3i| √ ___________
(2) 2 (3) 2
√ _____
4 9 √ ___
13
(ii) |z 2 | |3 4i| √ _________
(3) 2 (4) 2
(iii)
√ ______
9 16
√ ___
25 5
z 1 z 2 2 3i 3 4i
1 7i
|z 1 z 2 | |1 7i| √ _______
1 2 7 2
√ ______
1 49
√ ___
50 √ ___
25 . √ __
2 5 √ __
2
|z 1 | |z 2 | √ ___
13 5 3.6 5
8.6
|z 1 z 2 | 5 √ __
2 5(1.4)
7
Ó tharla 8.6 7 ⇒ |z 1 | |z 2 | |z 1 z 2 |.
Nóta: Ciallaíonn ‘beagnach cothrom le’.
204

Cleachtadh 7.7
Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:
1. |3 4i| 2. |8 6i| 3. |2 3i| 4. |1 2i|
5. |3 2i| 6. |5 i| 7. |3 i| 8. |6 i|
9. |4 0i| 10. |5| 11. |0 3i| 12. |5i|
13. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:
(i) |2(1 2i )|
(ii) | √ __
3 i| (iii) |3 4i (1 2i )|
14. Scríobh síos ceithre uimhir choimpléascacha a bhfuil an modal céanna acu le 3 4i.
15. Má tá z 1 3 2i agus z 2 1 3i, faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:
(i) |z 1 | (ii) |z 2 | (iii) |z 1 z 2 | (iv) |z 1 . z 2 |
16. Má tá z 1 5 3i agus z 2 2 i, faigh
(i) |z 1 | (ii) |z 2 | (iii) |z 1 z 2 |
Anois taispeáin go bhfuil |z 1 | |z 2 | |z 1 z 2 |.
17. Má tá z 1 2 3i agus z 2 1 2i, faigh
(i) |z 1 | (ii) |z 2 | (iii) z 1 . z 2 (iv) |z 1 . z 2 |
Anois taispeáin go bhfuil |z 1 |.|z 2 | |z 1 . z 2 |.
18. Má tá z 3 2i, faigh z. _ z, áit arb é _ z comhchuingeach z.
Uaidh sin faigh |z. _ z |.
19. Tugtar z 1 2 i agus z 2 3 4i.
Faigh luach (i) |z 1 | (ii) |z 2 | (iii) |z 1 z 2 |
Imscrúdaigh an bhfuil |z 1 | |z 2 | |z 1 z 2 |.
20. Bíodh w 3 i.
(i) Sloinn w 6i san fhoirm a bi.
(ii) Faigh luach w 6i.
21. Sloinn a 8i i dtéarmaí a.
Uaidh sin faigh an dá luach de a a fhágann go bhfuil a 8i 10.
22. Bíodh w 3 4i.
Fíoraigh go bhfuil w 2 w. _ w, áit arb é _ w comhchuingeach w.
23. Má tá z 1 5 i agus z 2 2 3i, faigh z 1 agus z 2 .
Anois taispeáin go bhfuil |z 1 | 2 2|z 2 | 2 .
24. Má tá z 1 2 3i agus z 2 2 3i, sloinn __ z 1
san fhoirm a bi.
z2
Anois faigh luach k R ionas go bhfuil |z 1 | k | z 1 __
z 2
| .
205

Mír 7.8
Uimhreacha coimpléascacha a bheith cothrom
Má tá dhá uimhir choimpléascacha cothrom le chéile, tá na
codanna réadacha cothrom le chéile agus tá na codanna
samhailteacha cothrom le chéile.
Sampla 1
Má tá 5 i x (5 2y)i, faigh luach x agus luach y.
Má tá a bi c di,
tá a c agus b d.
5 i x (5 2y)i
Cothromaímid na codanna réadacha: 5 x i.e. x 5
Cothromaímid na codanna samhailteacha:
i (5 2y) i
⇒ 1 5 2y … is é 1 comhéifeacht i
⇒ 2y 6 ⇒ y 3
x 5 and y 3
Sampla 2
Réaduimhreacha iad a agus b ionas go bhfuil
a(2 i ) 8 bi 5b 3 i.
Faigh luach a agus luach b.
a(2 i ) 8 bi 5b 3 i
⇒
⇒
2a ai 8 bi (5b 3) i
(2a 8) i(a b) (5b 3) i(1)
Cothromaímid na codanna réadacha:
2a 8 5b 3 ⇒ 2a 5b 11 … 1
Cothromaímid na codanna samhailteacha:
a b 1 … 2
Réitímid cothromóidí 1 agus 2 :
1 : 2a 5b 11
2 2 : 2a 2b 2
3b 9 ⇒ b 3
Ó 2 : a 3 1 ⇒ a 2
a 2 agus b 3
206

Cleachtadh 7.8
Faigh luach x agus luach y i gceisteanna (1-10).
1. (x 3) i(y 1) 6 2i 2. (2x 1) i(1 y) 5 3i
3. x iy 6 9i 6 10i 4. 3(2x 3yi) 4 6i 2 5i
5. (2x 4) 5i (x 3) yi 6. 2(x yi ) 3(4 6i ) 7 3i
7. x(2 3i ) 2y 3 6i 8. 6 9i 2(x yi ) 8 3i
9. 2x (x y)i 4 5i 10. (x iy) (y xi ) 1 5i
11. Faigh a agus b má tá 12. Faigh luach a agus luach b má tá
3(a bi ) 4(ai b) 6 3i. (4a 2) (a 4)i (4 2b) 2bi.
13. Faigh a agus b má tá 14. Faigh luach x agus luach y má tá
(a bi )(5 i ) 3 2i. x(3 4i ) 5 y(1 2i ).
15. Réitigh do x agus do y i ngach ceann de na cothromóidí seo a leanas:
(i) (2x 1) (x y)i (y 6) (2y 4)i (ii) 2(x yi ) 4(2 3i ) 2(1 2i )
Mír 7.9 Cothromóidí cearnacha a bhfuil
fréamhacha coimpléascacha leo
Chun cothromóid chearnach san fhoirm ax 2 bx c 0 a réiteach, úsáidtear fachtóirí de
ghnáth. Ach mura féidir x 2 bx c a fhachtóiriú, úsáidtear an fhoirmle
x b √ ________
______________
b 2 4ac
2a
chun an chothromóid a réiteach.
Más diúltach a bhíonn b 2 4ac, i.e., níos lú ná nialas, is uimhreacha coimpléascacha a bheidh
sna fréamhacha. Más fréamhacha coimpléascacha a bhíonn le cothromóid, z is gnách a bheith
ar an athróg againn.
Sampla 1
Réitigh an chothromóid z 2 6z 10 0,
agus scríobh do chuid freagraí san fhoirm a bi.
De réir na foirmle z b √ ________
______________
b 2 4ac
2a
⇒
6 √____________
36 4(1)(10)
z __________________
2(1)
6 √ ___
__________ 4
2
_______ 6 2i
… √ ___
4 √ __
4 . √ ___
1 2i
2
3 i z 3 i nó 3 i
tá
{
a 1
b 6
c 10
207

Nóta: Is péire comhchuingeach iad na fréamhacha coimpléascacha i Sampla 1, i.e., is
comhchuingigh a chéile na fréamhacha.
Dá bhrí sin más fréamh le cothromóid chearnach é 2 3i, is fréamh é 2 3i freisin.
Sampla 2
Más fréamh leis an gcothromóid z 2 6z k 0 é z 3 i,
faigh luach k agus scríobh síos an fhréamh eile san fhoirm a bi.
Más fréamh leis an gcothromóid z 2 6z k 0 é z 3 i,
sásaíonn sé an chothromóid.
Anois cuirimid (3 i) in áit z sa chothromóid z 2 6z k 0.
Dá bhrí sin (3 i ) 2 6(3 i ) k 0
⇒ 9 6i i 2 18 6i k 0
⇒ 9 6i 1 18 6i k 0
⇒ 10 k 0 ⇒ k 10
Is ionann an fhréamh eile agus comhchuingeach 3 i, i.e., 3 i.
Cleachtadh 7.9
208
1. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas, agus tabhair do chuid freagraí san
fhoirm a bi:
(i) z 2 4z 5 0 (ii) z 2 6z 13 0 (iii) z 2 2z 10 0
(iv) z 2 6z 34 0 (v) z 2 10z 29 0 (vi) z 2 2z 17 0
2. Taispeáin gur fréamh leis an gcothromóid
(i) z 2 4z 29 0 é 2 5i, (ii) z 2 8z 25 0 é 4 3i,
(iii) z 2 12z 37 0 é 6 i,
agus scríobh síos an fhréamh eile i ngach cás.
3. Más fréamh leis an gcothromóid z 2 kz 26 0 é 5 i, faigh luach k.
4. Más fréamh leis an gcothromóid z 2 10z k 0 é 5 3i, faigh luach k.
5. Más fréamhacha leis an gcothromóid z 2 az b 0 iad 4 i agus 4 i, faigh luach
a agus luach b.
Mír 7.10 Uimhreacha coimpléascacha 7 claochluithe
Sa mhír seo úsáidfear an léaráid Argand chun éifeacht roinnt oibríochtaí ar uimhreacha
coimpléascacha a thaispeáint go grafach.
1. Uimhir choimpléascach a iolrú faoi réaduimhir
Má iolraítear uimhir choimpléascach z 1 3 2i faoin réaduimhir 2, faightear
2z 1 2(3 2i ) 6 4i
Méadaítear an chuid réadach de réir fachtóir 2 agus méadaítear an chuid shamhailteach de
réir fachtóir 2 freisin.

Ar an gcaoi chéanna 3z 1 3(3 2i ) 9 6i.
Taispeántar z 1 , 2z 1 agus 3z 1 ar an léaráid Argand thíos:
Sa
8
2z 2
6
4
2
1
2
z 2
z 2
3z 1
z 1
2z 1
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Taispeántar sa léaráid thuas freisin go bhfuil z 2 4 + 4i.
Taispeántar 2z 2 2(4 4i) 8 8i agus 1 2 z 2 1 2
(4 4i) 2 2i freisin.
Tabhair faoi deara, nuair a iolraítear an uimhir choimpléascach z 1 faoi 2, go bhfuil modal
2z 1 dhá oiread chomh mór le modal z 1 .
Ar an gcaoi chéanna tá modal 3z 1 trí oiread chomh mór le modal z 1 .
Taispeántar sa léaráid freisin go bhfuil | 1_ 2 z 2| 1_ 2 |z 2|.
2. An uimhir choimpléascach chéanna a shuimiú le huimhreacha
coimpléascacha difriúla
Taispeántar na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas sa léaráid thíos
0 0 0i, z 1 2 3i, z 2 3 2i agus z 3 1 3i
Má shuimítear 4 2i le gach ceann de na huimhreacha sin faightear:
4 2i, 6 5i, 1 4i agus 5 5i.
Léirítear na huimhreacha sin ar an léaráid Argand thíos:
Sa
6
5
4
3 z 3 z 1
z 2
2
1
Ré
3 2 1O
1 2 3 4 5 6 7
1
Ré
Nuair a shuimítear an uimhir choimpléascach 4 2i le 0, z 1 , z 2 agus z 3 , léirítear ar an
léaráid thuas gur aistriú an toradh.
Bogtar na huimhreacha go léir fad faoi leith sa treo céanna.
209

3. Uimhir choimpléascach a iolrú faoi i
Má iolraítear uimhir choimpléascach z 4 i faoi i, faightear
i(4 i ) 4i i 2 1 4i
Má iolraítear z 4 i faoi i, i 2 agus i 3 , faightear
1 4i… mar atá thuas
90°
i 2 z
(z) 1(4 i ) 4 i
i 3 (z) i 2 i
. i(z) i(4 i)
z
O
Ré
4i i 2
1 4i
i 3 z
Ón léaráid feicimid nuair a iolraítear uimhir choimpléascach faoi i, is ionann an toradh agus
rothlú tuathal trí 90° gach uair a iolraítear faoi i í.
Ná dearmad z i, rothlaíonn z trí 90°
z i 2 , rothlaíonn z trí 180°
z i 3 , rothlaíonn z trí 270°
Sa
iz
Sampla 1
Agus an léaráid Argand thíos á húsáid agat, scríobh síos na huimhreacha
coimpléascacha z 1 , z 2 agus z 3 .
(i) Má thugtar z 2 a.z 1 , faigh a.
(ii) Má thugtar z 3 z 1 z, faigh z.
7
6
5
4
3
2
1
Samhailteach
z 2
z 1
z 3
3 2 1O
1 2 3 4 5 6 7 8
1
Réadach
Ón léaráid, z 1 2 2i, z 2 6 6i agus z 3 7 3i.
(i) Má tá z 2 a.z 1 , tá 6 6i a(2 2i )
∴ a 3
(ii) Má tá z 3 z 1 z, tá
7 3i 2 2i z
∴ z 7 3i 2 2i
z 5 i
210

Cleachtadh 7.10
1. Breac an uimhir choimpléascach z 4 2i ar léaráid Argand.
Ar an léaráid chéanna breac na huimhreacha coimpléascacha 2z agus 1 2 z.
Fíoraigh go bhfuil (i) |2z| 2|z| (ii) | 1_
2 z| 1_ 2 |z|.
2. Tugtar z 1 2 i. Breac na huimhreacha coimpléascacha z 1 , 3z 1 , 4z 1 agus 2z 1
ar léaráid Argand. Úsáid an léaráid chun cur síos a dhéanamh ar an ngaol idir na
huimhreacha z 1 , 3z 1 , 4z 1 agus 2z 1 .
3. Agus an léaráid Argand thíos á húsáid agat, scríobh síos na huimhreacha coimpléascacha
z 1 agus z 2 .
Sa
6
z 3
z 2
z 4
5
4
3
2
1
z 1
6 5 4 3 2 1O
1 2 3 4 5 6
1
z 5
2
3
4
5
Ré
(i) Taispeáin go bhfuil z 2 iz 1 .
(ii) Cé acu de na pointí z 3 , z 4 nó z 5 a sheasann do i 2 z 1 ?
(iii) Má tá z 6 i 3 (z 2 ),, faigh z 6 san fhoirm a bi.
4. Breactar na huimhreacha coimpléascacha z 1 , z 2 agus z 4 ar léaráid Argand.
Sa
6
z 2
5
4
3
z 1
2
1
5 4 3 2 1O
1 2 3 4 5
1
z 4
2
3
Ré
(i) Má thugtar z 2 az 1 , faigh a. (ii) Má thugtar z 4 bz 1 , faigh b.
211

5. Breac an uimhir choimpléascach z 6 2i ar léaráid Argand.
Ar an léaráid chéanna breac na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas:
(i) iz (ii) i 2 z (iii) i 3 z.
6. Breac ar léaráid Argand na huimhreacha coimpléascacha
z 1 4 i, z 2 7 2i agus z 3 5 5i.
Ceangail na trí phointe agus dathaigh an triantán a dhéanann siad.
Má tá z 4 3 4i, breac gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a
leanas ar an léaráid Argand chéanna:
z 1 z 4 , z 2 z 4 agus z 3 z 4 .
Ceangail na trí phointe agus dathaigh an triantán nua.
Déan cur síos ar an gclaochlú a tharlaíonn de bharr 3 4i a shuimiú le z 1 , z 2 agus z 3 .
7. Scríobh síos aon uimhir choimpléascach z.
Taispeáin go bhfuil i 4 z z
Mínigh, agus tú ag tagairt do rothlú, an éifeacht a bheadh ag uimhir choimpléascach
a iolrú faoi i 4 .
8. Tugtar z 3 2i
Breac z, iz, i 2 z agus i 3 z ar léaráid Argand.
Úsáid compás agus, leis an mbunphointe mar lárphointe, fíoraigh gur féidir ciorcal a
tharraingt trí z, iz, i 2 z agus i 3 z.
9. Breac an pointe z 1 3 i agus z 2 1 2i ar léaráid Argand.
Má tá z 3 z 1 .z 2 , faigh z 3 agus breac ar an léaráid chéanna é.
Ceangail z 1 , z 2 agus z 3 leis an mbunphointe.
Úsáid uillinntomhas chun an uillinn a dhéanann gach ceann de na pointí z 1 , z 2 agus z 3
leis an ais réadach a thomhas.
Úsáid do thorthaí chun a thaispeáint go bhfuil suim an chéad dá uillinn ar cóimhéid
leis an tríú huillinn.
212

Cuir triail ort féin 7
1. (i) Scríobh síos sampla amháin de gach ceann díobh seo a leanas:
(a) Uimhir aiceanta atá níos mó ná 25 agus níos lú ná 40
(b) Slánuimhir atá níos lú ná 5 agus atá ina hiolraí ar 2
(c) Uimhir chóimheasta idir 1 agus 2
(d) Uimhir éagóimheasta idir 8 agus 9.
(ii) Má thugtar z 1 3 4i agus z 2 1 2i,
(a) sloinn 2z 1 3z 2 san fhoirm a bi
(b) sloinn
1__ san fhoirm a bi.
z 1
(c) Má tá z 1 kz 2 6 2i, faigh luach k, áit a bhfuil k R.
(iii) Faigh luach x agus luach y má tá
x(3 2i ) y(2 i ) 5 4i, áit a bhfuil x, y R.
2. (i) Simpligh 3(1 5i) i(3 2i ), agus sloinn do fhreagra san fhoirm p 1i,
áit a bhfuil p, q R.
(ii) Bíodh z 1 10 2i agus z 2 2 3i.
Taispeáin gur féidir __ z 1
a scríobh san fhoirm k(1 i), áit a bhfuil k N agus
z2
uaidh sin scríobh síos luach k.
(iii) Scríobh ______ 3 2i san fhoirm x yi, x, y R.
2 i
Uaidh sin faigh x yi.
3. (i) Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi:
(a) 3 √ ____
16 (b) 2 √ ___
9
(c)
(ii) Bíodh z 1 4i, áit a bhfuil i 2 1.
Breac z agus iz ar léaráid Argand.
(iii) Breac |2 ki| √ ___
29 , faigh dhá luach k R.
10 √ _____
_____________ 100
5
4. (i) Scríobh síos uimhir éagóimheasta a bhfuil luach idir 6 agus 7 aici.
(ii) Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a bi.
(a) 3(2 3i ) i(2 3i ) (b) ______ 2
1 2i
(iii) Má tá z 1 3 4i agus z 2 2 3i, sloinn z 1 z 2 san fhoirm a bi.
Fíoraigh go bhfuil |z 1 z 2 | |z 1 ||z 2 |.
5. (i) Abair an bhfuil siad seo a leanas fíor nó bréagach:
2
(a) 2 N (b) 4 Z (c)
3 Q (d) Tá 16 éagóimheasta
213

(ii) Réitigh an chothromóid z 2 4z 13 0.
Sloinn na fréamhacha san fhoirm a bi.
(iii) Breac z 1 2 4i agus z 2 4 2i ar léaráid Argand.
Faigh z 1 agus z 2 .
Scríobh síos dhá uimhir choimpléascacha eile a bhfuil an modal céanna le z 1 acu.
6. (i) Simpligh 7(2 i ) i(11 9i ), agus sloinn do fhreagra san fhoirm a bi, áit a
bhfuil a, b R agus i 2 1.
(ii) Má tá z 1 etc. agus z 2 etc., faigh
(a) z 1 z 2 (b) z 1 z 2 .
Anois imscrúdaigh an bhfuil |z 1 z 2 | |z 1 z 2 |.
(iii) Bíodh w 3 4i
Réitigh an chothromóid x w 3yi le haghaidh x, y R.
7. (i) Má tá z 2i, breac (a) z 2 agus (b) iz ar léaráid Argand.
(ii) Scríobh síos, san fhoirm a bi, an uimhir choimpléascach z 1 a léirítear ar an
léaráid Argand thíos.
Sa
4
3
2
1
z 1
4 3 2 1O
1
2
3
4
1 2 3 4
Ré
Anois faigh na huimhreacha coimpléascacha iz 1 , i 2 z 1 agus i 3 z 1 agus breac iad ar
chóip den léaráid Argand thuas.
Trí scrúdú a dhéanamh ar an léaráid, déan cur síos ar an gclaochlú céimseatúil a
tharla.
(iii) Más fréamh leis an gcothromóid z 2 8z k 0 é z 1 4 i, faigh luach k agus
uaidh sin scríobh síos z 2 , an fhréamh eile leis an gcothromóid.
Faigh z 1 z 2 agus uaidh sin faigh t, má tá etc, le haghaidh t R.
8. (i) Má tá w 3 i, breac w 4i ar léaráid Argand.
Anois faigh w 4i.
(ii) Má tá z 2 i, sloinn z 2 san fhoirm a bi, áit a bhfuil a, b R.
Uaidh sin réitigh an chothromóid
kz 2 2z t le haghaidh k réadach agus t réadach.
(iii) Más é 2 i fréamh na cothromóide z 2 pz q 0, scríobh síos an fhréamh eile.
Uaidh sin faigh luach p agus luach q.
214

1. Uimhirchórais
N uimhreacha aiceanta 1, 2, 3, 4, …
Z slánuimhreacha … 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …
Q uimhreacha cóimheasta uimhreacha san
fhoirm a , áit ar slánuimhreacha iad a agus b.
b
Uimhreacha éagóimheasta a thugtar
ar uimhreacha ar nós 2, nó deachúlacha
neamh-athfhillteacha.
Is réaduimhreacha (R) iad na huimhreacha thuas ar fad.
R
Q
Z
N
2. Uimhreacha coimpléascacha
(i) Is uimhir í uimhir choimpléascach san fhoirm a bi, áit a bhfuil
i -1, agus i 2 1.
(ii) Is é 3 4i comhchuingeach coimpléascach 3 4i.
Nuair a shuimítear uimhir choimpléascach lena comhchuingeach,
nó nuair a iolraítear faoi chéile iad, is réaduimhir an freagra i gcónaí.
(iii) Chun ______ 2 3i a shloinneadh san fhoirm a bi, iolraigh a bhfuil thuas
4 2i
agus thíos faoi 4 2i, comhchuingeach an ainmneora.
(iv) Má tá z a bi, is é modal z ná |a bi| √ _______
a 2 b 2 .
(v) Má tá a bi c di, tá a c agus b d.
(vi) Is féidir uimhir choimpléascach a léiriú ar léaráid Argand.
An ais réadach a thugtar ar an ais chothrománach.
An ais shamhailteach a thugtar ar an ais ingearach.
(viii) Beidh fréamhacha coimpléascacha ag an gcothromóid
ax 2 bx c 0 má tá b 2 4ac < 0.
3. Uimhreacha coimpléascacha a chlaochlú
Nuair a iolraítear uimhir choimpléascach
faoi i, is ionann an toradh agus rothlú
tuathal trí 90°.
z i, rothlaíonn z trí 90°
z i 2 , rothlaíonn z trí 180°
z i 3 , rothlaíonn z trí 270°
215

8
Tomhais ar an Suíomh agus
ar an Leathadh
mód airmheán meán raon inathraitheacht comhsheasmhach riail eimpíreach
ceathairíl raon idircheathairíle asluiteach dáileadh minicíochta
dáileadh minicíochta grúpáilte lárluach eatraimh diall caighdeánach
Mír 8.1
Mód airmheán meán
Is cuid den ghnáthchaint é meán as Gaeilge, nó ‘average’ as Béarla. Mar shampla, déanaimid
tagairt don mheánphá seachtainiúil, don mheánteocht laethúil, don mheánscór i gcomórtas gailf
nó don mheánmharc i scrúdú.
I ngach ceann de na samplaí thuas, táimid ag léiriú na luachanna ar fad i dtacar sonraí le
luach amháin nó luach tipiciúil ar a dtugaimid an meán staitistiúil.
Bíonn sé an-úsáideach meán staitistiúil a bheith againn mar nach gá ach dhá luach a chur i
gcomparáid le chéile, is iad sin na meáin staitistiúla, le bheith in ann tacar sonraí amháin a
chur i gcomparáid le ceann eile.
Tá bealaí éagsúla ann le meán staitistiúil a chur in iúl, ach is iad na meáin staitistiúla is coitianta
a úsáidtear ná an mód, an t-airmheán agus an meán.
1. An Mód
Is é an mód an luach is coitianta i dtacar sonraí. Bíonn an mód thar a bheith úsáideach
nuair a bhíonn luach amháin ann i bhfad níos minice ná aon luach eile. Tá sé éasca é a fháil
agus is féidir é a úsáid le haghaidh sonraí neamhuimhriúla ar nós dhathanna na gcarranna
a dhíolann garáiste.
Sampla 1
Is iad aoiseanna na ndaltaí ar bhus scoile:
12, 15, 12, 13, 14, 16, 15, 11, 12
16, 15, 16, 14, 10, 13, 17, 15, 17
Nuair a chuirimid iad sin in ord, seo mar atá siad:
10, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17
Is é 15 an uimhir is coitianta (is minice a tharlaíonn) ar an liosta seo.
an mód 15
216

2. An tAirmheán
Má tá n uimhir ar liosta,
Le teacht ar an airmheán do liosta uimhreacha, cuir na
is é an téarma láir ná
huimhreacha in ord de réir méide, ag tosú leis an gceann 1
2
(n 1).
is lú. Is é an t-airmheán an uimhir atá sa lár.
Má tá 1 2
(n 1) 4, is í
Má tá 11 uimhir ar an liosta, is é an uimhir láir ná
an 4ú huimhir an
1
2
(11 1), i.e., an 6ú huimhir.
t-airmheán.
Má tá 10 n-uimhir ar an liosta, is é an uimhir láir ná
1
2 (10 1), i.e., an 51 2 ú huimhir.
Is ionann an luach sin agus leath shuim an 5ú huimhir agus an 6ú huimhir.
Sampla 2
Faigh airmheán na n-uimhreacha seo: 5, 8, 12, 4, 9, 3, 7, 2.
Scríobhaimid na huimhreacha in ord a méide agus
faighimid:
Scríobh na huimhreacha
2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12
in ord a méide chun an
Is é an t-airmheán ná __ 1 (5 7) _____ 5 7 ___ 12
2 2 2 6 t-airmheán a fháil.
an t-airmheán 6
Chun meán tacar uimhreacha a fháil,
1. Faigh suim na n-uimhreacha ar fad.
2. Roinn an tsuim sin ar líon na n-uimhreacha.
Is é an meán an ‘meán staitistiúil’ is mó
a mbaintear úsáid as.
An meán
suim na n-uimhreacha
líon na n-uimhreacha
Tá sé tábhachtach mar go gcuireann sé gach
píosa sonraí san áireamh. Ach is féidir le
luachanna áirithe atá i bhfad ón gcuid eile de na luachanna dul i bhfeidhm ar an meán.
Sampla 3
Ríomh meán na n-uimhreacha seo:
12, 14, 10, 17, 21, 22
Meán __________________________
12 14 10 17 21 22
___ 96
6
6 16
3. An Meán
217

Sampla 4
Ghlac cúigear cailíní agus triúr buachaillí páirt i dtráth na gceist.
Ba é 54 an meánmharc do na cailíní.
Ba é 62 an meánmharc do na buachaillí.
Faigh an meánmharc don ghrúpa ar fad.
Chun an meán a fháil, suimigh iomlán na marcanna do na cailíní le hiomlán na
marcanna do na buachaill agus roinn an freagra ar 8.
Iomlán na marcanna do na cailíní 54 5 270
Iomlán na marcanna do na buachaillí 62 3 186
Iomlán don ochtar 270 186 456
Meán don ghrúpa ar fad 456
8 57
Cleachtadh 8.1
1. Faigh an meán do gach ceann de na heagair uimhreacha seo a leanas:
(i) 2, 6, 10, 14, 18 (ii) 0, 2, 8, 16, 6, 22
(iii) 3, 7, 8, 13, 4, 12, 9 (iv) 5, 12, 3, 4, 3, 6, 9
2. Athscríobh gach ceann de na heagair uimhreacha seo in ord a méide agus ansin
scríobh síos
(i) an mód
(ii) an t-airmheán.
(a) 8, 11, 2, 5, 8, 7, 8, 2, 5 (b) 3, 3, 7, 8, 7, 9, 8, 5, 7, 11, 12
3. Taispeántar thíos luas 11 charr atá ag taisteal ar bhóthar. Is ina chiliméadair san uair a
thugtar an luas:
41, 42, 31, 36, 42, 43, 42, 34, 41, 37, 45
(i) Faigh an luas airmheánach.
(ii) Faigh an meánluas.
4. D’imir foireann rugbaí 10 gcluiche. Seo líon na bpointí a scóráil an fhoireann:
12, 22, 14, 11, 7, 18, 22, 14, 36, 14
(i) Scríobh síos an mód.
(ii) Céard é an líon airmheánach pointí a scóráladh?
(iii) Faigh an meánlíon pointí a scóráladh.
5. Cuir na marcanna thíos in ord agus ansin scríobh síos an t-airmheán i ngach cás.
(i) 9, 5, 8, 3, 2, 7, 6 (ii) 8, 12, 18, 9, 14, 7, 10, 6
6. Scríobh síos seacht n-uimhir dhifriúla arb é 12 a n-airmheán.
218

7. Is é 7 an meán atá ag ceithre uimhir agus trí cinn de na huimhreacha sin ná 5, 12 agus 9.
(i) Faigh suim na gceithre uimhir. (ii) Faigh an ceathrú huimhir.
8. Is é 19 an meán atá ag ceithre uimhir. Trí cinn acu ná 21, 25 agus 16.
Faigh an ceathrú huimhir.
9. Is é 4.90 an meán atá ag ceithre shuim airgid. Nuair a chuirtear an cúigiú suim leo,
is é 5.34 an meán atá ag na cúig shuim sin. Faigh an cúigiú suim airgid.
10. Scríobh cúig uimhir a fhágfaidh gurb é
4 an mód
6 an meán
5 an t-airmheán.
11. (i) Is é 6 an meán atá ag 3, 7, 8, 10 agus x. Faigh x.
(ii) Is é 7 an meán atá ag 1, k, 3, 6 agus 8. Faigh k.
12. Is é 11 an meán atá ag cúig uimhir.
Nuair a chuirtear an séú huimhir leo, is é 12 an meán atá ag na sé uimhir sin.
Faigh an séú huimhir.
13. 50 g an meánmheáchan a bhí i gcúig dháta.
D’ith Cáit ceann amháin acu. 40 g an meánmheáchan a
bhí sna ceithre cinn a bhí fágtha.
Cén meáchan a bhí sa dáta a d’ith Cáit?
14. Is iad na marcanna a fuair Nicky i gceithre thástáil ná:
8, 4, 5, 3
Cén marc a fuair sí sa chúigiú agus sa séú tástáil, más é 4 an marc módúil a bhí aici
agus 5 an meánmharc a bhí aici tar éis na sé thástáil?
15. Taispeántar anseo thíos marcanna Mhaitiú in ocht dtástáil.
Cén marc a fuair sé sa naoú tástáil más é 6 an marc airmheánach a bhí aige?
5 9 7 3 7 4 5 8
16. I suirbhé scríobh grúpa buachaillí agus cailíní síos cé mhéad uair an chloig a chaith
siad ag breathnú ar an teilifís seachtain áirithe.
Buachaillí 17 22 21 23 16 12 Cailíní 9 13 15 19 10 12
0 5 13 15 13 14 9 8 12 14 15 11
(i) Faigh an meán-am do na buachaillí.
(ii) Faigh an meán-am do na cailíní.
(iii) Faigh an t-am airmheánach do gach grúpa.
(iv) An gcaitheann na buachaillí níos mó ama ag breathnú
ar an teilifís ná na cailíní? Mínigh do fhreagra.
DATES
2.59
400g
219

220
17. Tá na huimhreacha 4, 8, 12, 17, x eagraithe in ord a méide.
Má tá meán na n-uimhreacha cothrom leis an airmheán, faigh x.
18. Is é 165 cm meánairde grúpa ochtar daltaí.
(i) Céard é airde iomlán an ochtar daltaí le chéile?
Tagann an naoú dalta isteach sa ghrúpa. Tá sé 168 cm ar airde.
(ii) Céard é meánairde an naonúr daltaí?
19. Is é 39 an meán atá ag cúig uimhir. Dhá cheann de na huimhreacha ná
103 agus 35 agus tá gach ceann de na trí uimhir eile cothrom le x.
Faigh (i) iomlán na gcúig uimhir
(ii) an luach atá ag x.
20. I gceithre thástáil, ar marcáladh gach ceann díobh as 100, ba é 85 mo mheánmharc.
Céard é an marc is ísle a d’fhéadfainn a fháil in aon cheann de na tástálacha sin?
A 0 B 40 C 60 D 81 E 85
Mínigh do fhreagra.
21. Téann Fred ag iascaireacht gach seachtain.
Gach seachtain breacann sé síos an líon éisc a thóg sé.
Tar éis roinnt seachtainí ríomhann sé na meáin staitistiúla seo:
9.3 an meán líon éisc a thóg sé in aghaidh na seachtaine.
12 an líon módúil éisc a thóg sé in aghaidh na seachtaine.
10 an líon airmheánach éisc a thóg sé in aghaidh na seachtaine.
An chéad seachtain eile ní thógann sé iasc ar bith.
Níor tharla sé sin riamh roimhe sin.
Ríomhann Fred a chuid meáin staitistiúla an athuair.
Mír 8.2
(i) Cé acu de na meáin staitistiúla sin nach féidir a bheith athraithe?
Tabhair cúis le do fhreagra.
(ii) Cé acu de na meáin staitistiúla atá athraithe go cinnte?
Mínigh do fhreagra.
Raon agus inathraitheacht
Is é an raon do thacar sonraí ná an luach is airde sa tacar lúide an luach is ísle.
Ní meán staitistiúil é an raon.
Taispeánann sé leathadh na sonraí, i.e., cé chomh scoite
amach agus atá siad. Bíonn sé an-úsáideach agus dhá
thacar sonraí á gcur i gcomparáid lena chéile againn.
Is tomhas an-gharbh ar an leathadh é an raon mar nach
n-úsáideann sé ach an luach is mó agus an luach is lú de na sonraí.
Is ionann raon tacar sonraí
agus an luach is mó lúide
an luach is lú.

Sampla 1
Is iad na marcanna a fuair Sinéad, as 20, i ndeich gcinn de thástálacha matamaitice ná:
8, 8, 14, 12, 12, 10, 14, 12, 18, 12
Is iad na marcanna a fuair Conchúr sna tástálacha céanna ná:
12, 14, 12, 16, 10, 12, 10, 12, 10, 12
Faigh (i) meán
(ii) raon
na marcanna a fuair Sinéad agus na marcanna a fuair Conchúr agus scríobh cúpla
focal mar anailís ar na torthaí.
I gcás Shinéad: (i) an meán 8 _______________________________________
8 14 12 12 10 14 12 18 12
10
____ 120
10 12
(ii) an raon marc is airde marc is ísle
18 8
10
I gcás Chonchúir: (i) an meán 12 ________________________________________
14 12 16 10 12 10 12 10 12
10
____ 120
10 12
(ii) an raon 16 10
6
Cúpla focal
mar anailís:
Cé go bhfuil na meáin mar a chéile, tá raon níos lú ag marcanna
Chonchúir. Léiríonn sé sin go bhfuil torthaí Chonchúir níos
comhsheasmhaí ná torthaí Shinéad.
Tá marcanna Shinéad níos scoite amach ná marcanna Chonchúir i Sampla 1 thuas, rud a
thaispeánann inathraitheacht na sonraí agus an tábhacht a bhaineann leis sin.
Úsáidtear an raon go minic mar thomhas ar an inathraitheacht mar go bhfuil sé éasca é a
ríomh agus éasca é a thuiscint.
Ceathairíleanna agus raon idircheathairíle
Nuair a bhíonn na sonraí eagraithe in ord a méide, is é an t-airmheán an luach leathshlí
isteach sna sonraí, mar atá foghlamtha againn cheana féin.
Mar sin is féidir linn a rá go roinneann an t-airmheán na sonraí ina dhá leath.
Is féidir na sonraí a roinnt ina gceithre cheathrú freisin.
Nuair a eagraítear na sonraí in ord a méide, agus an ceann is lú chun tosaigh:
> an cheathairíl íochtarach a thugtar ar an luach an ceathrú cuid den tslí isteach sna sonraí
> an cheathairíl uachtarach a thugtar ar an luach trí cheathrú cuid den tslí isteach sna sonraí
> an raon idircheathairíle a thugtar ar an gceathairíl uachtarach lúide an cheathairíl íochtarach.
221

Cuir i gcás na sonraí anseo thíos atá eagraithe in ord a méide. Tá 15 uimhir i gceist.
Is í an cheathairíl
íochtarach an luach
an ceathrú cuid den
tslí tríd. Mar seo a
scríobhtar í: Q 1
Is é an t-airmheán
an luach leathshlí
tríd. Mar seo a
scríobhtar é: Q 2
Is í an cheathairíl
uachtarach an luach
trí cheathrú den tslí
tríd. Mar seo a
scríobhtar í: Q 3
0 2 4 5 7 8 10 12 12 12 13 14 14 15 16
Is í an cheathairíl
íochtarach an 4ú luach.
An cheathairíl íochtarach Q 1 5.
An t-airmheán Q 2 12.
An cheathairíl uachtarach Q 3 14.
An raon idircheathairíle Q 3 Q 1
14 5
9
Sampla 2
Is é an t-airmheán
an 8ú luach.
Seo iad na marcanna a fuair 11 dalta i dtástáil:
52, 78, 61, 49, 79, 47, 54, 58, 72, 62, 73
Is í an cheathairíl
uachtarach an 12ú luach.
Faigh (i) an t-airmheán (ii) an cheathairíl íochtarach
(iii) an cheathairíl uachtarach (iv) an raon idircheathairíle.
An chéad rud a dhéanaimid ná na huimhreacha a athscríobh in ord, ag tosú
leis an gceann is lú:
47, 49, 52, 54, 58, 61, 62, 72, 73, 78, 79
(i) Is é an t-airmheán lárluach an liosta.
Ós rud é gur 11 luach atá ann, is é an lárluach ná 1 2
(11 1), i.e. an 6ú luach.
Is é 61 an 6ú luach an t-airmheán 61.
(ii) Is í an cheathairíl íochtarach an luach atá 1 4
den tslí tríd an dáileadh.
Is féidir an luach sin a fháil ach 1 4
(11 1) a fháil an 3ú luach.
Is é 52 an 3ú luach an cheathairíl íochtarach (Q 1 ) 52.
(iii) Is í an cheathairíl uachtarach an luach atá 3 4
den tslí tríd an dáileadh.
Is féidir an luach sin a fháil ach 3 4
(11 1) a fháil an 9ú luach.
Is é 73 an naoú luach sin an cheathairíl uachtarach (Q 3 ) 73.
(iv) An raon idircheathairíle Q 3 Q 1
73 52
21
Is ionann an raon idircheathairíle agus
ceathairíl uachtarach ceathairíl íochtarach
Q 3 Q 1
222

Nóta:
Cuir i gcás gur ré-uimhir é líon na luachanna i ndáileadh, m.sh.,
2, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 17, 20, 25
Is é an lárluach ná 1 2 (10 1) 1 2 (11) 51 2 ú luach
Is ionann an luach sin agus meán an 5ú luach agus an 6ú luach.
Is é an t-airmheán ná 1_ 2 (9 12) 1_ 2 (21) 10 1_ 2 .
Cleachtadh 8.2
1. Faigh an raon do gach ceann de na tacair sonraí seo a leanas:
(i) 6, 3, 8, 2, 9, 5, 10
(ii) 21, 16, 72, 40, 67, 65, 55, 34, 17, 48, 32, 19, 44, 61, 73
(iii) 8, 2, 9, 6, 7, 10, 12, 13, 5, 12, 10, 8, 10, 4
2. Thug Iníon Uí Mhóra tástáil mhatamaitice dá rang.
Seo iad na marcanna do na cailíní:
7, 5, 8, 5, 2, 8, 7, 4, 7, 10, 3, 7, 4, 3, 6
Céard é (i) an marc airmheánach (ii) raon na marcanna?
Ba é 7 an marc airmheánach, agus 4 raon na marcanna, do na buachaillí ina rang.
Déan comparáid idir na torthaí agus, ar an gcaoi sin, abair cén grúpa ab fhearr a
chruthaigh sa tástáil na buachaillí nó na cailíní. Mínigh do fhreagra.
3. Chuir naonúr daltaí a gceachtanna faoi bhráid an mhúinteora. Marcáladh as 40 iad.
Ba iad na marcanna a fuair siad:
37, 34, 34, 29, 27, 27, 10, 4, 34
(i) Scríobh síos raon na marcanna. (ii) Scríobh síos an marc airmheánach.
(iii) Faigh (a) an cheathairíl íochtarach
(b) an cheathairíl uachtarach
(c) an raon idircheathairíle.
4. Faigh (i) an cheathairíl íochtarach
(ii) an cheathairíl uachtarach
(iii) an raon idircheathairíle
don tacar sonraí seo:
4, 12, 7, 6, 10, 5, 11, 14, 2, 3, 9
5. Seo iad na hamanna, ina nóiméid, d’aistear bus:
15, 7, 9, 12, 9, 19, 6, 11, 9, 16, 8
(i) Faigh raon na n-amanna sin.
(iii) Faigh an cheathairíl uachtarach.
(ii) Faigh an cheathairíl íochtarach.
(iv) Scríobh síos an raon idircheathairíle.
223

6. Rinne grúpa buachaillí agus cailíní tástáil Fraincise. Seo iad na marcanna a fuair na
buachaillí:
13, 14, 14, 15, 14, 14, 15, 17, 16, 14, 16, 12
(i) Faigh raon mharcanna na mbuachaillí.
(ii) Ríomh meánmharc na mbuachaillí.
Ba é 13.2 an meánmharc do na cailíní sa rang agus ba é 7 raon mharcanna na gcailíní.
(iii) Déan dhá ráiteas faoi na difríochtaí idir marcanna na mbuachaillí agus marcanna
na gcailíní sa tástáil Fraincise.
7. D’imir Conchúr naoi mbabhta de ghalf mearaí. Seo iad a chuid scór:
51, 53, 50, 41, 59, 64, 66, 65, 50
Faigh (i) an raon (ii) an cheathairíl íochtarach
(iii) an cheathairíl uachtarach (iv) an raon idircheathairíle.
8. Díolann grósaeir málaí úll ó thíortha éagsúla.
Tá 9 n-úll ón bhFrainc i mála amháin.
Tugtar thíos meáchan gach úill, ina ghraim.
101, 107, 98, 109, 115, 103, 96, 112, 104
(i) Ríomh meánmheáchan úill ón bhFrainc.
(ii) Faigh raon mheáchain na n-úll ón bhFrainc.
Tá 9 n-úll ón Afraic Theas i mála eile.
107g a meánmheáchan agus 19g a raon.
(iii) Déan dhá ráiteas faoi mheáchain na n-úll sa dá mhála.
9. Tá na huimhreacha seo ar thacar cártaí
3 3 4 5 6 6 7
(i) Faigh cúig chárta ón tacar seo arb é 6 a n-airmheán agus 4 a raon.
(ii) Faigh ceithre chárta arb é 6 a n-airmheán agus 3 a raon.
10. Réitigh an dá fhadhb seo:
I mo theaghlachsa is iad aoiseanna an
triúr páistí ná 6, 10 agus 16.
Is é 24 meánaois an teaghlaigh
iomláin. Is é 41 an raon.
Cén aois iad mo Mham agus mo Dhaid?
(i)
Tá cúigear clainne ar mo thuismitheoirí.
Tá an páiste is óige 8 mbliana d’aois
agus tá mise 15. Tá an páiste
airmheánach 13 bliana d’aois. Is é 17 an
raon atá ag aoiseanna na bpáistí. Is é 14
meán ár n-aoiseanna. Cén aois muid?
(ii)
224

11. Tomhaiseann an múinteoir corpoideachais i scoil áirithe an t-am, ina shoicindí, a
thógann sé ar bhaill na foirne peile agus ar bhaill na foirne haca 100 méadar a rith.
Foireann peile
13 14 15 11 14 12 12 13 11 13 15
Foireann haca
12 13 14 11 14 16 15 13 15 17 11
Mír 8.3
(i) Ríomh an meán, an t-airmheán agus an raon don dá fhoireann.
(ii) Cé acu grúpa is tapúla, dar leat?
Tabhair cúis le do fhreagra.
Cén meán staitistiúil a úsáidfimid?
Tá na trí mheán staitistiúla, i.e., an meán, an mód agus an t-airmheán, úsáideach ach
d’fhéadfadh ceann acu a bheith níos feiliúnaí ná na cinn eile i suíomhanna éagsúla.
Bíonn an mód úsáideach nuair a theastaíonn uait a fháil amach, mar shampla, cén mhéid
bróige is coitianta.
Bíonn an meán úsáideach chun luach ‘tipiciúil’ a fháil má bhíonn an chuid is mó de na sonraí
grúpáilte go dlúth. Tharlódh nach dtabharfadh an meán luach tipiciúil má bhíonn na sonraí
an-scoite amach nó má bhíonn cúpla luach ann atá an-difriúil leis na luachanna eile.
Asluitigh a thugtar ar na luachanna sin.
Cuir i gcás, mar shampla, comhlacht beag ina dtuilleann an príomhfheidhmeannach 12100
sa mhí agus ina dtuilleann an t-aon fhostaí dhéag eile 2500 an duine sa mhí.
Sa chás seo is é 3300 an meántuarastal míosúil, rud nach bhfuil tipiciúil i gcomhthéacs na
dtuarastal míosúil i gcoitinne.
I gcásanna mar seo, d’fhéadfadh an t-airmheán nó lárluach a bheith níos tipiciúla.
Déanann an tábla thíos cur síos ar na buntáistí agus ar na míbhuntáistí a bhaineann le gach
cineál meán staitistiúil; cabhróidh sé leat an cinneadh ceart a dhéanamh.
Cineál Buntáistí Míbhuntáistí
Mód
Airmheán
Meán
> Éasca é a fháil
> Ní théann luachanna atá an-mhór
nó an-bheag i bhfeidhm air.
> Ní théann luachanna atá an-mhór
nó an-bheag i bhfeidhm air
> Éasca le ríomh má bhíonn na
sonraí in ord
> Úsáideann sé na sonraí ar fad
> Éasca é a ríomh
> An-úsáideach le haghaidh tuilleadh
anailíse
> B'fhéidir nach bhfuil sé ann
> Ní féidir mórán leasa a bhaint
as le haghaidh tuilleadh anailíse
> Ní i gcónaí a bhíonn sé ina
luach sonraí tugtha
> Ní féidir mórán leasa a bhaint
as le haghaidh tuilleadh anailíse
> Cuireann torthaí atá an-mhór nó
an-bheag as a riocht é
> Ní i gcónaí a bhíonn sé ina
luach sonraí tugtha
225

Sampla 1
Tá 10 n-árasán i mbloc.
Is é líon na litreacha a sheachadtar chuig gach ceann de na hárasáin
lá áirithe ná
2, 0, 5, 3, 4, 0, 1, 0, 3, 15
Ríomh meánlíon na litreacha, líon módúil na litreacha agus líon airmheánach na litreacha.
Cé acu de na meáin staitistiúla seo is fearr a d’oirfeadh chun na sonraí sin a léiriú?
Tabhair cúis le do fhreagra.
Meán ___________________________________
2 0 5 3 4 0 1 0 3 15
10
Mód 0
Airmheán: 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 15
Airmheán _____ 2 3
2
5 __
2
2 1_ 2
___ 33
10 3.3
Sa sampla seo tá an meán curtha as a riocht mar gheall ar an ardlíon litreacha a
sheachadtar chuig árasán amháin. Ní tomhas maith é, dá bhrí sin, ar an líon
‘tipiciúil’ litreacha a sheachadtar.
Ní tomhas maith é an mód ach an oiread ar an líon ‘tipiciúil’ litreacha, mar is
amhlaidh go bhfaigheann 7 gcinn de na 10 n-árasán litreacha.
Is é an t-airmheán an tomhas is fearr ar an líon ‘tipiciúil’ litreacha a sheachadtar ós
rud é go bhfaigheann leath na n-árasán níos mó ná an t-airmheán agus go
bhfaigheann an leath eile níos lú ná an t-airmheán.
Cleachtadh 8.3
226
1. Cén meán staitistiúil a d’úsáidfeá i gcás gach ceann díobh seo?
Tabhair cúis le do fhreagra.
(i) An meánmharc i scrúdú.
(ii) An mheánmhéid éide do gach dalta i rang.
(iii) Meánairde na n-imreoirí ar fhoireann cispheile.
(iv) Dathanna na gcarranna a dhíoltar i ngaráiste.
(v) Meántuarastal seachtair a oibríonn do chomhlacht beag.
2. Is iad meáchain criú báid, ina gcileagraim, ná
96, 86, 94, 96, 91, 95, 90, 96, 43
Ríomh (i) an meáchan airmheánach
(ii) an meánmheáchan.
Cé acu den dá mheán staitistiúla sin is fearr a dhéanann cur síos ar na sonraí thuas?
Tabhair cúis le do fhreagra.

3. Faigh (i) meán (ii) airmheán na n-uimhreacha seo:
9, 11, 11, 15, 17, 18, 100
Cé acu den dá mheán staitistiúla sin a roghnófá chun an cur síos is fearr a dhéanamh
ar na huimhreacha sin?
4. Bhreac Seán síos na teochtaí lár lae ar feadh seachtain amháin agus é ar laethanta saoire
sa Spáinn.
Lá 1 2 3 4 5 6 7
Teocht ag meán lae (°C) 32 30 30 28 33 31 30
(i) Faigh an mheánteocht ag meán lae.
(ii) Tabhair cúis a bhfuil an meán oiriúnach do na sonraí seo.
5. (i) Faigh an meán don tacar uimhreacha seo a leanas:
37, 26, 37, 18, 18, 20, 26, 18, 37, 37, 18.
(ii) Cén fáth nach bhfuil an mód oiriúnach mar mheán staitistiúil sa chás seo?
6. Faigh (i) an meán (ii) an t-airmheán don tacar sonraí seo:
3, 5, 4, 7, 29, 9, 2, 4, 10, 8
Cé acu den dá mheán staitistiúla sin is fearr a d’oirfeadh chun na sonraí a léiriú?
Tabhair cúis le do fhreagra.
7. Tá Cáit ag clóscríobh a ceachta don choláiste. Déanann sí cuntas de líon na mbotún a
dhéanann sí ar gach leathanach. Seo líon na mbotún a chonaic sí:
6, 19, 14, 17, 51, 16, 20, 13, 16
(i) Céard é an líon módúil botún atá ann?
(ii) Faigh líon airmheánach na mbotún.
(iii) Faigh an meánlíon botún, ceart go dtí aon phointe deachúlach amháin.
(iv) Scríobh síos an meán staitistiúil is fearr a léiríonn na sonraí sin.
Mínigh do fhreagra.
8. Liostaítear thíos tuarastail bhliantúla na bhfostaithe i gcomhlacht beag:
30,000, 25,000, 24,000, 22,000, 20,000, 105,000
Faigh (i) an meántuarastal (ii) an tuarastal airmheánach.
(iii) Cén fáth nach féidir leat an mód a fháil?
Cé acu de na meáin staitistiúla, an meán nó an t-airmheán, is fearr a léiríonn an tuarastal
‘tipiciúil’?
9. Faigheann ceannaire club óige lascaine ar channaí dí mura gceannaíonn sí ach aon
toirt amháin. Ghlac sí vóta ar cén toirt a bhí daoine a iarraidh. Seo iad na torthaí:
Toirt an channa(ml) 100 200 330 500
Líon vótaí 9 12 19 1
Cén toirt ba chóir di a cheannach?
Mínigh do fhreagra.
Mód 330 ml
Airmheán 200 ml
Meán 245.6 ml,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
227

Mír 8.4
Dáileadh minicíochta
Taispeánann an tábla thíos líon na ríomhphost a fuair 31 duine in oifig lá áirithe.
Líon ríomhphost 0 1 2 3 4 5 6 7
Minicíocht (líon daoine) 4 11 8 6 1 0 0 1
Tábla minicíochta a thugtar ar an tábla sin.
Ón tábla feicimid gurb é 6 líon na ndaoine a fuair 3 ríomhphost.
Taispeánfaimid anois cén chaoi le mód, airmheán agus meán dáileadh minicíochta a fháil.
Taispeánann an tábla minicíochta thíos líon na litreacha sna freagraí ar chrosfhocal.
Líon litreacha san fhocal 3 4 5 6 7
Minicíocht 3 4 9 5 2
Is é an mód an líon litreacha (san fhocal) is coitianta a tharlaíonn.
Mar sin is é an mód atá ann ná 5 mar is é is minice atá ann i gcomparáid le huimhir ar bith eile.
Is é an t-airmheán an uimhir atá sa lár sa dáileadh.
Is é an mhinicíocht iomlán atá ann ná 3 4 9 5 2, i.e., 23.
Is é an lárluach ag 23 luach ná 1 2
(23 1), i.e., an 12ú luach.
D’fhéadfaí an 23 luach a liostú mar seo:
3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7
lárluach
Is í an uimhir láir sa liosta seo ná an 12ú huimhir.
Is é 5 an uimhir sin.
an t-airmheán 5
Nóta:
Is féidir an t-airmheán a léamh ón tábla gan na huimhreacha ar fad a liostú.
Tógaimid líne na minicíochta agus faighimid an colún ina bhfuil an 12ú huimhir.
Is é suim an chéad dá mhinicíocht ná 3 4 7.
Is é suim na gcéad trí mhinicíocht ná 3 4 9 16.
Mar sin tarlaíonn an 12ú luach sa tríú colún, áit arb é 5 líon na litreacha san fhocal.
an t-airmheán 5
Meán dáileadh minicíochta
Taispeánann an tábla thíos na marcanna (ó 1 go 10) a fuair 20 dalta i rang.
Marcanna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Líon daltaí 1 1 1 3 5 3 2 2 1 1
Gheofar meánmharc an dáilte seo ach suim na marcanna a roinnt ar líon iomlán na ndaltaí.
228

Chun líon iomlán na marcanna a fháil, iolraímid gach marc (nó athróg) faoi líon na ndaltaí
(minicíocht) a fuair an marc sin.
1(1) 2(1) 3(1) 4(3) 5(5) 6(3) 7(2) 8(2) 9(1) 10(1)
an meán _________________________________________________________
1 1 1 3 5 3 2 2 1 1
____ 110 5.5 marc
20
Más don athróg a sheasann x agus más don mhinicíocht a sheasann f,
meán Σfx ____
Σf
áit arb é fx suim na n-athróg uile iolraithe faoi na minicíochtaí comhfhreagracha, agus f
suim na minicíochtaí.
Sampla 1
Más é 3 meán an dáilte minicíochta thíos, faigh luach x.
Scríobh síos an mód atá ag an dáileadh.
Cúil a scóráladh 1 2 3 4 5 6
Líon cluichí 7 8 4 4 3 x
7(1) 8(2) 4(3) 4(4) 3(5) x(6)
Meán ________________________________
7 8 4 4 3 x
_________________________
7 16 12 16 15 6x
_______ 66 6x
26 x
26 x
Ós rud é go bhfuil an meán 3 ⇒ _______ 66 6x
26 x 3
⇒ 66 6x 3(26 x)
⇒ 66 6x 78 3x
⇒ 3x 12
⇒ x 4
Tá an mód 2, ós rud é gurb é 2 is minice atá ann.
Meán Σfx ____
Σf
Cleachtadh 8.4
1. Tugann an tábla thíos líon na gcúl a scóráladh i 60 cluiche, deireadh seachtaine
áirithe:
Cúil a scóráladh 1 2 3 4 5 6
Líon cluichí 12 16 10 8 6 8
(i) Scríobh síos an mód atá ag an dáileadh.
(ii) Faigh an líon airmheánach cúl a scóráladh.
229

2. Ríomh an meán atá ag an dáileadh minicíochta seo:
Athróg (x) 1 2 3 4 5 6
Minicíocht (f) 9 9 6 4 7 3
3. Bhí 10 gceist i dtástáil, 1 mharc in aghaidh na ceiste, agus 0 do réiteach mícheart.
Taispeánann an tábla thíos na marcanna a fuair na daltaí i rang áirithe sa tástáil:
Marcanna 3 4 5 6 7 8 9
Líon daltaí 3 2 6 10 0 3 1
(i) Cé mhéad dalta a bhí sa rang?
(ii) Scríobh síos an mód atá ag na sonraí.
(iii) Ríomh an meánmharc a bhí ag na daltaí.
(iv) Cé mhéad dalta a fuair marc ní b’airde ná an meánmharc?
(v) Faigh an marc airmheánach.
4. Tá seisear i dteaghlach Phóilín. Ba mhaith léi a fháil amach cé mhéad atá i dteaghlaigh
a cairde. Cuireann sí an cheist ar a cairde ar fad agus breacann sí síos an fhaisnéis i dtábla.
Líon daoine sa teaghlach 2 3 4 5 6 7 8
Minicíocht 2 4 6 5 2 0 1
(i) Scríobh síos an líon módúil daoine in aghaidh an teaghlaigh.
(ii) Faigh an líon airmheánach daoine in aghaidh an teaghlaigh.
(iii) Ríomh an meán atá ag an dáileadh seo.
5. Tá Caral ag iarraidh meastachán a dhéanamh ar cé mhéad focal atá scríofa aici in aiste.
Déanann sí cuntas de líon na bhfocal a scríobh sí ar gach líne de leathanach amháin.
Tugtar a cuid torthaí sa tábla thíos.
Focail in aghaidh na líne 10 11 12 13 14 15
Líon línte 1 3 6 9 7 4
(i) Cé mhéad líne san iomlán a bhí ar an leathanach?
(ii) Cé mhéad líne a raibh 14 fhocal iontu?
(iii) Cérbh é an líon módúil focal in aghaidh na líne?
(iv) Faigh an líon airmheánach focal in aghaidh na líne.
(v) Ríomh an meán atá ag an dáileadh seo.
6. Léiríonn an tábla thíos líon na gcúl a scóráladh i 100 cluiche haca Satharn
áirithe.
Líon na gcúl 0 1 2 3 4 5
Líon na gcluichí 10 25 30 25 10 0
(i) Scríobh síos an líon módúil cúl a scóráladh.
(ii) Ríomh an meán atá ag an dáileadh seo.
(iii) Faigh an líon is mó cluichí a bhféadfadh comhscór a bheith mar thoradh orthu.
(iv) Cé mhéad cluiche a bhféadfadh comhscór 2-2 a bheith mar thoradh orthu?
230

7. Más é 2 meán an dáilte minicíochta thíos, faigh luach x.
Athróg 0 2 3 4
Minicíocht 4 3 x 3
8. Fuarthas amach gurb é 6 an meánmharc ón tábla minicíochta thíos.
Ríomh an luach atá ag y.
Marcanna 3 5 8
Líon daltaí 3 y 7
9. Tá dhá luach ar iarraidh ón tábla minicíochta thíos.
Athróg (x) 1 3 4 6
Minicíocht (f) 2 4 6 3
(i) Is é 7 an raon atá ag x agus is é 20 suim na minicíochtaí.
Úsáid an fhaisnéis sin chun an tábla a chríochnú.
(ii) Céard é an luach módúil atá ag x?
(iii) Céard é an meánluach atá ag x?
Mír 8.5
1. An Meán
Dáileadh minicíochta grúpáilte
Agus muid ag déileáil le méid mór athróg, cuir i gcás aoiseanna daoine i gceantar áirithe,
is minic gurb áisiúil an rud é na sonraí a eagrú ina ngrúpaí nó ina ranganna. Mar sin
agus sinn ag tuairisciú aoiseanna daoine, d’fhéadfaí na torthaí a ghrúpáil mar seo:
(09) de bhlianta, (1019) de bhlianta … srl.
Is éard atá sa tábla minicíochta grúpáilte seo na marcanna (as 25) a fuair 50 dalta i dtástáil.
Marcanna a fuarthas 1–5 6–10 11–15 16–20 21–25
Líon daltaí 11 12 15 9 3
Ainneoin nach féidir an meán a fháil go cruinn i gcás dáileadh minicíochta grúpáilte,
féadfaimid meastachán ar an meán a fháil ach lárluach eatraimh gach ranga a úsáid.
I gcás an ranga (1 – 5), gheobhaimid an lárluach eatraimh ach 1 agus 5 a shuimiú le chéile,
agus an tsuim sin a roinnt ar 2, i.e., _____ 1 5 3
2
Ar an gcaoi chéanna, is é an lárluach eatraimh i gcás an ranga (610) ná ______ 6 10 8.
2
An tábla a tugadh roimhe seo, tá sé á thabhairt anseo arís agus an lárluach eatraimh
scríofa i gcló beag os cionn gach eatraimh ranga.
231

232
3 8 13 18 23
Marcanna a fuarthas 1–5 6–10 11–15 16–20 21–25
Líon daltaí 11 12 15 9 3
Meán ____ Σfx 11(3) _________________________________
12(8) 15 (13) 9(18) 3(23)
Σf 11 12 15 9 3
2. An Mód agus an tAirmheán
____ 555
50 11.1
Tugtar sa tábla thíos líon na bhfón póca a dhíoltar gach lá i siopa áitiúil.
Líon na bhfón 0–4 5–9 10–14 15–19 20–24
Minicíocht 5 8 4 9 3
Ní féidir linn an mód cruinn a thabhairt ón tábla grúpáilte seo, ach is féidir linn a rá gurb é
an t-eatramh (1519) an rang módúil ós rud é gur san eatramh sin atá an mhinicíocht is mó.
Agus tú ag plé le sonraí grúpáilte, ní bheidh tú go brách in ann a rá céard é an t-airmheán,
ach beidh tú in ann a rá cén t-eatramh ranga ina bhfuil an t-airmheán.
Sa tábla thuas is é an mhinicíocht iomlán ná 5 8 4 9 3, i.e., 29.
Is é lárluach an dáilte seo ná 1 2
(29 1), i.e., an 15ú luach.
Is é suim an chéad dá mhinicíocht ná 5 8 13.
Is é suim na gcéad trí mhinicíocht ná 5 8 4 17.
Mar sin tá an 15ú luach san eatramh ranga (1014).
tá an t-airmheán san eatramh ranga (1014).
Cleachtadh 8.5
1. Iarradh ar dhaoine a bhí ag freastal ar chúrsa ceann de na slánuimhreacha ó 1 go 12
a roghnú. Seo mar a breacadh síos na torthaí:
Uimhir 1–3 4–6 7–9 10–12
Líon daoine 3 17 2 8
(i) Scríobh síos an rang módúil atá ag an dáileadh.
(ii) Bain leas as lárluach eatraimh gach ranga go ndéanfaidh tú meán an dáilte a mheas.
(iii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?
2. Is éard atá sa tábla thíos aois leanaí i gclub óige áirithe:
Aois (blianta) 10–12 12–14 14–16 16–18 18–20
Líon leanaí 12 24 18 12 4
(i) Céard é an t-aoisghrúpa módúil?
(ii) Bain leas as lárluach eatraimh gach ranga go ndéanfaidh tú meán an dáilte a
mheas, agus tabhair an freagra agat go dtí an leathbhliain is gaire.
(iii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?

3. Bain leas as na lárluachanna eatraimh go ndéanfaidh tú meán an dáilte minicíochta
thíos a mheas:
Rang 14–16 16–18 18–20 20–22 22–24
Minicíocht 1 5 12 3 0
Tabhair do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
4. Breacadh síos an fad ama a thóg sé ar 20 dalta rás trastíre a rith, go dtí an nóiméad is
gaire, agus tá na torthaí sa tábla seo a leanas:
An fad ama (ina nóiméid) 12–14 15–17 18–20 21–23
Líon daltaí 3 5 8 4
(i) Bain leas as lárluach eatraimh gach ranga go ndéanfaidh tú meán an dáilte a
mheas, agus tabhair an freagra agat go dtí an nóiméad is gaire.
(ii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?
5. Tá aois roinnt daoine atá ag breathnú ar scannán tugtha sa tábla minicíochta thíos:
Aois (ina blianta) 10–20 20–30 30–40 40–50
Líon daoine 4 15 11 10
(i) Bain leas as lárluach eatraimh gach ranga go ndéanfaidh tú meán an dáilte a
mheas, agus tabhair an freagra agat go dtí an bhliain is gaire.
(ii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?
6. Iarradh ar 100 duine an líon glaonna ó fhón póca a fuair siad lá áirithe a bhreacadh
síos. Taispeántar na torthaí sa tábla thíos.
Líon glaonna 0–4 5–9 10–14 15–19 20–24
Minicíocht 45 29 17 8 1
(i) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?
(ii) Céard é an grúpa módúil?
(iii) Bain leas as na lárluachanna eatraimh go ndéanfaidh tú an meánlíon glaonna a
mheas. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
Mír 8.6
An diall caighdeánach
Cuir i gcás na marcanna a fuarthas sa dá thástáil seo a leanas:
Béarla 46 48 51 53 64 67 70
Matamaitic 14 38 49 58 67 84 89
Is é 57 an meán sa dá chás, ach ní mar a chéile in aon chor leathadh na marcanna sa dá thástáil.
Cé gur léiriú é an meán ar an lárluach nó ar an ngnáthluach, is minic gur mó an tábhacht a
bhíonn le leathadh nó spré na marcanna timpeall ar an meán.
233

Maidir le leathadh, an diall caighdeánach a thugtar ar cheann
de na slite tomhais is tábhachtaí agus is coitianta. Taispeánann
sé cé mhéad éagsúlachta atá ann ón meán. Is féidir smaoineamh
air mar mheándifríocht na scór ón meán, is é sin, cá fhad atá siad
ón meán. Cuireann diall caighdeánach íseal in iúl go bhfuil na
pointí sonraí an-ghar don mheán den chuid is mó; cuireann diall
caighdeánach ard in iúl go bhfuil na sonraí scoite amach thar
raon mór luachanna.
Leis an litir Ghréigise
a chuirtear an diall
caighdeánach in iúl.
Cuir i gcás, mar shampla, gach fear fásta in Éirinn. Thart ar 177 cm atá an mheánairde agus
thart ar 8 cm atá an diall caighdeánach.
Don daonra mór seo, tá airde 68% de na fir taobh istigh de 8 cm den mheán.
Do dhaonra mór ar bith, is féidir linn an ráiteas seo a leanas, atá i bhfad níos láidre, a
dhéanamh. An Riail Eimpíreach a thugtar air de ghnáth.
An Riail Eimpíreach
Do dhaonra mór ar bith ag a bhfuil meán _ x agus diall caighdeánach
(i) beidh thart ar 68% de na luachanna taobh istigh d’aon diall
caighdeánach amháin den mheán, is é sin, idir _ x agus _ x
(ii) beidh thart ar 95% de na luachanna taobh istigh de dhá dhiall
chaighdeánacha den mheán
(iii) beidh beagnach gach luach (99.7%) laistigh de thrí dhiall
chaighdeánacha den mheán.
Cur chuige chun an diall caighdeánach a fháil
Is iad na céimeanna a thugtar le diall caighdeánach tacar uimhreacha a fháil:
1. Meán na n-uimhreacha a ríomh. Mar seo a scríobhtar é sin: _ x .
2. Diall gach athróige, x, ón meán a fháil (nó an difríocht idir í agus an meán).
Is mar seo a chuirtear sin in iúl: (x _ x).
234
3. Gach ceann de na dialltaí sin a chearnú, i.e., (x _ x) 2 a fháil.
4. Suim () na luachanna sin a fháil, i.e., (x _ x) 2 a fháil.
5. An freagra sin a roinnt ar n, líon na n-uimhreacha.
Tugann sé sin
Σ(x _ ________ x ) 2
.
n
6. Ar deireadh, fréamh chearnach an fhreagra ar chéim 5
a fháil.
Ní gá an fhoirmle sin a úsáid má fhéadann tú na céimeanna
atá liostaithe thuas a thabhairt chun do chuimhne.
De rogha air sin, is féidir leat úsáid a bhaint as áireamhán.
An diall caighdeánach
√ ________
Σ(x _ ________ x ) 2
n

Sampla 1
Faigh diall caighdeánach na n-uimhreacha 6, 9, 10, 12, 13.
An meán
___________________
6 9 10 12 13
5
___ 50
5 10.
√ ___________________________________________________
__________________________________________________
(6 10) 2 (9 10) 2 (10 10) 2 (12 10) 2 (13 10) 2
5
√ ____________________________
____________________________
(4) 2 (1) 2 (0) 2 (2) 2 (3) 2
5
_________________ ___
√
_________________
16 1 0 4 9
5 √
___ 30
5 √ __
6 2.45
is é 2.45 an diall caighdeánach.
An diall caighdeánach ar dháileadh minicíochta a fháil
Agus an diall caighdeánach á fháil agat ar dháileadh minicíochta, cearnaigh diall gach
athróige ón meán, agus iolraigh ansin faoi mhinicíocht (f) na hathróige sin é.
Roinn an freagra ansin ar shuim na minicíochtaí.
Agus ar deireadh faigh fréamh chearnach an fhreagra sin.
Is féidir an cur chuige sin a chur in iúl leis an bhfoirmle
√ _________
Σf(x _ _________ x ) 2
Σf
áit arb é f(x _ x) 2 suim an cholúin f(x _ x) 2 agus f suim na
minicíochtaí.
An sampla thíos, taispeánfaidh sé duit cén chaoi le do chuid oibre a leagan amach agus tú
ag iarraidh an diall caighdeánach ar dháileadh minicíochta a fháil.
Sampla 2
Faigh diall caighdeánach an dáilte minicíochta seo a leanas:
Athróg (x) 1 2 3 4 5 6
Minicíocht (f) 9 9 6 4 7 3
I dtosach faigh an meán atá ag an dáileadh.
(9 1) (9 2) (6 3) (4 4) (7 5) (3 6)
An meán _______________________________________________
9 9 6 4 7 3
⇒
_
x ____ 114
38 3
235

Anois leag amach tábla mar seo.
x f x _ x (x _ x ) 2 f (x _ x ) 2
1 9 2 4 36
2 9 1 1 9
3 6 0 0 0
4 4 1 1 4
5 7 2 4 28
6 3 3 9 27
↓
↓
Σf 38 Σf (x _ x ) 2 104
√ _________
Σf (x _ _________ x ) 2 ____
Σf √
____ 104
38 1.65
Nóta:
Chun an diall caighdeánach a ríomh ar dháileadh minicíochta grúpáilte, glac
lárluachanna eatraimh na n-athróg agus déan mar a rinneadh i Sampla 2 thuas.
Úsáid a bhaint as áireamhán chun an diall caighdeánach a fháil
An obair fhadálach a bhaineann le diall caighdeánach tacar mór sonraí a ríomh,
is féidir í a laghdú go mór ach úsáid a bhaint as áireamhán eolaíochta.
Sna samplaí seo a leanas, bainfimid úsáid as an áireamhán Casio fx-83ES chun
cur síos a dhéanamh ar na heochracha agus ar na céimeanna a bhaineann leis
an diall caighdeánach a fháil.
Sampla 3
Faigh (a) meán (b) diall caighdeánach na dtacar uimhreacha seo a leanas:
(i) 5, 3, 1, 8, 2 (ii) 10, 6, 2, 16, 4
(i) Cuir isteach MODE agus roghnaigh 2 do mhodh na staitisticí.
Ansin roghnaigh 1 le haghaidh 1 VAR.
Anois cuir isteach na huimhreacha 5
3
1
8
2
CASIO
x
1 5
2 3
3 1
4 8
5 2
F r e q
1
1
1
1
1
fx-83ES
236

Chun do chuid freagraí a fháil, cuir isteach AC le dul ar ais go dtí an tús,
agus SHIFT 1 le dul go dtí an roghchlár.
Anois roghnaigh 5 chun staitisticí ar athróga a fháil.
Ansin roghnaigh
Is é an meán _ x ná 3.8.
2 le haghaidh _ x (an meán), ansin
Le leanúint ar aghaidh chun an diall caighdeánach a fháil, cuir isteach AC le dul ar ais
go dtí an tús.
Anois cuir isteach SHIFT 1 le dul go dtí an roghchlár agus roghnaigh 5 chun
staitisticí ar athróga a fháil.
Anois cuir isteach 3 le haghaidh x n (diall caighdeánach)
Is é an toradh ná 2.4819… 2.5 diall caighdeánach 2.5
(ii) 10, 6, 2, 16, 4. Seo ord na n-eochracha a úsáidfidh tú chun an meán agus
an diall caighdeánach a fháil.
MODE 2 1
10 6 2 16 4
AC SHIFT 1 5 2
AC SHIFT 1 5 3
7.6 meán
4.963869… 5.0 diall caighdeánach
Sampla 4
Léirítear sa tábla minicíochta seo a
leanas líon na n-éiníní a scóráladh in
aghaidh an bhabhta i gcluiche gailf.
Líon éiníní 0 1 2 3 4 5 6
Minicíocht 5 6 4 6 3 1 0
Faigh an meán agus an diall caighdeánach, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
Cuir isteach MODE agus roghnaigh 2 do mhodh na staitisticí.
Ansin roghnaigh 1 le haghaidh 1 VAR agus cuir isteach na hathróga.
0 5
1 6
REPLAY
2 4
3 6
4 3
5 1
6 0
CASIO
x
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
7 6
F r e q
5
6
4
6
3
1
0
fx-83ES
237

Chun na freagraí a fháil, cuir isteach
AC SHIFT 1 5 2
AC SHIFT 1 5 3
1.96 2.0 meán (éiníní in aghaidh an bhabhta)
1.4554… 1.5 diall caighdeánach
Meán 2.0 agus diall caighdeánach 1.5
Cleachtadh 8.6
1. Ríomh an diall caighdeánach ar gach ceann de na heagair uimhreacha seo a leanas,
agus bíodh an freagra agat ceart go dtí aon ionad deachúlach amháin.
(i) 2, 5, 6, 7 (ii) 3, 6, 7, 9, 10 (iii) 2, 4, 6, 8, 10
(iv) 1, 3, 7, 9, 10 (v) 8, 12, 15, 9 (vi) 1, 3, 4, 6, 10, 12
Bain úsáid as d’áireamhán chun do fhreagra a sheiceáil i ngach cás.
2. Taispeáin gurb é an diall caighdeánach céanna atá ar gach ceann de na tacair uimhreacha
seo a leanas:
(a) 2, 3, 5, 7, 8 (b) 6, 7, 9, 11, 12
3. Faigh an diall caighdeánach ar na huimhreacha
2, 3, 4, 5, 6.
Anois faigh an diall caighdeánach ar na huimhreacha seo
12, 13, 14, 15, 16.
(i) Céard é an gaol idir an dá thacar uimhreacha?
(ii) Céard é an gaol idir a ndialltaí caighdeánacha?
(iii) Cén tátal is féidir leat a bhaint as na torthaí?
4. Deimhnigh gurb é 2 meán an dáilte seo.
Uaidh sin ríomh an diall caighdeánach, ceart go
dtí aon ionad deachúlach amháin.
5. Taispeáin gurb é 3 meán an dáilte minicíochta ar
dheis agus faigh uaidh sin an diall caighdeánach,
ceart go dtí 2 ionad dheachúlacha.
6. Ríomh an diall caighdeánach ar an dáileadh
minicíochta seo a leanas, ceart go dtí aon ionad
deachúlach amháin.
7. Ríomh an meán agus faigh uaidh sin an diall
caighdeánach ar an dáileadh minicíochta seo
a leanas.
Athróg 0 2 3 4
Minicíocht 4 3 2 3
Athróg 1 2 3 4
Minicíocht 1 4 9 6
Athróg 2 4 6 8
Minicíocht 4 3 0 2
Athróg 0 4 6 8
Minicíocht 4 3 2 3
238

8. Thug Iníon Uí Bhroin tástáil litriúcháin thapa don 30 dalta ina rang.
Tá na marcanna a fuarthas curtha i láthair sa tábla thíos.
Marc 0 1 2 3 4 5
Líon daltaí 3 3 3 6 12 3
Ríomh meán agus diall caighdeánach an dáilte, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
9. Tá líon na litreacha a seachadadh chuig áitreabh gnó gach lá de 5 lá na seachtaine
oibre le feiceáil thíos.
18, 26, 22, 34, 25
(i) Ríomh meánlíon na litreacha a seachadadh.
(ii) Ríomh an diall caighdeánach, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(iii) Más é _ x an meán agus an diall caighdeánach, faigh na luachanna atá ag _ x
agus _ x .
(iv) Cé mhéad lá ar a bhfuil líon na litreacha a seachadadh taobh istigh de dhiall
caighdeánach amháin den mheán?
10. Tugann na sonraí thíos líon na leabhar léite le mí anuas ag rang 20 dalta.
Líon leabhar, x 0 1 2 3 4
Líon daltaí, f 2 5 6 5 2
Faigh meán agus diall caighdeánach líon na leabhar.
11. Bain leas as lárluachanna na n-eatramh go bhfaighidh tú an diall caighdeánach ar an dáileadh
minicíochta grúpáilte thíos. Bíodh do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
Eatramh ranga 1–3 3–5 5–7 7–9
Minicíocht 4 3 0 2
12. Taispeántar sa tábla seo a leanas na hamanna a thóg sé ar 15 dhalta fadhb a réiteach.
An fad ama (ina nóiméid) 2–4 4–6 6–10
Líon daltaí 3 5 7
Agus tú ag úsáid lárluachanna eatraimh, ríomh
(i) an meán
(ii) an diall caighdeánach.
13. Tá rogha ag oibrí idir dhá bhealach le taisteal chun na hoifige. Tá soilse tráchta ar an dá
bhealach agus cuirtear moill ar an oibrí dá bharr sin. Déanann sé sraith sé aistear ar
bhealach amháin agus sraith sé aistear ar an mbealach eile, agus breacann sé síos sé an
t-am a thóg gach aistear air. Taispeántar na torthaí sa tábla.
Bealach 1 15 15 11 17 14 12
Bealach 2 12 15 18 16 17 12
(i) Oibrigh amach an meán-am a tógadh le haghaidh an dá bhealach.
(ii) Ríomh an diall caighdeánach ar an dá bhealach.
(iii) Agus tú ag úsáid do chuid freagraí ar (i) agus (ii), cén bealach a mholfá don oibrí?
Tabhair cúis shoiléir le do mholadh.
239

240
Cuir triail ort féin 8
1. (i) 6 an meán atá ag 3, 7, 8, 10 agus x. Faigh x.
(ii) 7 an meán atá ag 3, 3, y, 7, 8, 10 agus y. Faigh y.
2. Seo a leanas líon na gcúl a scóráil gach duine den 11 duine ar fhoireann haca in 2009:
6 0 8 12 2 1 2 9 1 0 11
(i) Faigh an t-airmheán.
(ii) Faigh an cheathairíl uachtarach agus an cheathairíl íochtarach.
(iii) Faigh an raon idircheathairíle.
3. Fuair Sinéad na marcanna seo ar na chéad ocht modúl dá cúrsa.
63 49 51 52 70 67 52 76
(i) Faigh an meánmharc a fuair Sinéad.
(ii) Caithfidh sí meánmharc de 62 san iomlán a fháil ar na 9 modúl chun pas a fháil
sa chúrsa. Cén marc a chaithfidh sí a fháil sa naoú modúl?
4. Is é 40 raon na n-ocht n-uimhir ar dheis. Faigh dhá luach
a d’fhéadfadh a bheith ag an uimhir atá ar iarraidh.
5. Seo na tuarastail a fhaigheann cúigear fostaithe i ngnó beag.
An tUasal A : 45 000 An tUasal B : 35 000 An tUasal C : 42 800
An tUasal D : 45 000 An tUasal E : 170 600
(i) Faigh an meán, an t-airmheán agus an mód do na tuarastail.
(ii) Cé acu nach dtugann meán staitistiúil cóir?
Mínigh an fáth in abairt amháin.
6. Is é 15 an meán atá ag cúig uimhir.
Tá na huimhreacha sa chóimheas 1:2:3:4:5.
Faigh an uimhir is lú.
7. Faigh (i) an t-airmheán (ii) an cheathairíl uachtarach (iii) an cheathairíl íochtarach
do na huimhreacha seo:
12 6 4 9 8 4 9 8 5 9 10
8. Thaistil deichniúr fear le féachaint ar chluiche
rugbaí. Ba é 25 meánaois na bhfear sin agus
ba é 6 a raon aoise.
Scríobh amach gach abairt thíos agus scríobh
síos in aice léi an bhfuil sí
(i) fíor (ii) féideartha nó (iii) bréagach.
(a) An fear ab óige, bhí sé 18 mbliana d’aois.
(b) Bhí gach fear 20 bliain d’aois ar a laghad.
(c) An duine ba shine, bhí sé 4 bliana níos
sine ná an duine ab óige.
(d) Bhí gach fear idir 20 agus 26 bliain d’aois.
27 5 33 42
11 13 19

9. Bhí 16 bhosca cipíní solais ag Ian.
Chomhair sé an líon cipíní solais i ngach bosca.
Tugtar sa tábla thíos na torthaí a fuair sé.
Líon cipíní solais in aghaidh an bhosca 41 42 43 44
Líon boscaí 2 7 4 3
(i) Scríobh síos an líon módúil cipíní solais in aghaidh an bhosca.
(ii) Céard é an líon airmheánach cipíní solais in aghaidh an bhosca?
(iii) Faigh an meánlíon cipíní solais in aghaidh an bhosca.
10. Tá sé chrann éagsúla ag Ailéin ina ghairdín beag. Is breá leis an gharraíodóireacht
agus is mian leis a fhios a bheith aige cé mhéad crann atá ag a chomharsana.
Breacann sé síos líon na gcrann i ngach gairdín ar an tsráid.
Líon crann 3–7 8–12 13–17 18–22
Líon gairdíní 4 9 5 3
(i) Céard é an grúpa módúil?
(ii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?
(iii) Déan meastachán ar an meánlíon crann in aghaidh an ghairdín, ceart go dtí aon
phointe deachúlach amháin.
11. Faigh (i) an meán (ii) an diall caighdeánach do na huimhreacha seo:
7, 11, 6, 8, 13
Bíodh do fhreagra ar (ii) ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
12. Tugtar thíos na hamanna a thóg sé ar ghrúpa 16 dhalta 100 méadar a rith:
Am (ina shoicindí) 11 12 13 14
Líon daltaí 2 5 6 3
Oibrigh amach meán agus diall caighdeánach na sonraí seo, ceart go dtí ionad
deachúlach amháin i ngach cás.
13. Seo iad na scóir a fuair beirt imreoirí i sé bhabhta gailf.
Ruairí 87 69 80 86 84 80
Darren 77 91 90 85 67 70
(i) Ríomh an meánscór do gach galfaire.
(ii) Bain úsáid as d’áireamhán (nó déan ar chaoi éigin
eile é) chun diall caighdeánach na scór a fháil do gach
imreoir, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
Bunaithe ar na sonraí, cé acu imreoir is fearr i do
thuairim?
Tabhair cúis le do fhreagra.
241

Meáin staitistiúla
Is é an mód an luach is coitianta a bhíonn le fáil.
Is é an t-airmheán an uimhir láir i liosta uimhreacha agus iad curtha in
ord.
Is féidir an meán a fháil ach gach uimhir a shuimiú le chéile agus an freagra a
roinnt ar líon na n-uimhreacha.
Is é an meán atá ag dáileadh minicíochta ná:
Raon agus ceathairíleanna
Raon
An luach is airde lúide an
luach is ísle
Ceathairíl
íochtarach, Q 1
Ceathairíl
uachtarach, Q 3
An cheathairíl íochtarach a
thugtar ar an luach an ceathrú
cuid den tslí trí na sonraí.
Q 3 3_ 4
An cheathairíl uachtarach a
thugtar ar an luach trí cheathrú den tslí trí na sonraí.
Raon idircheathairíle An raon idircheathairíle
ceathairíl uachtarach ceathairíl íochtarach, i.e., Q 3 Q 1
Meán ualaithe
An meán ualaithe ____ Σwx , áit arb é w an t-ualach a thugtar do gach luach de x.
Σw
Cén meán staitistiúil ba chóir a úsáid?
Bíonn an mód úsáideach nuair a theastaíonn an luach is coitianta uainn. Is é an t-aon
mheán staitistiúil amháin é le haghaidh sonraí catagóireacha. Tugann an t-airmheán
an lárluach agus bíonn sé an-úsáideach má bhíonn na sonraí an-scoite amach.
Bíonn an meán úsáideach nuair a theastaíonn luach ‘tipiciúil’ uainn nuair a bhíonn
an chuid is mó de na sonraí grúpáilte sách dlúth. Seans nach meán staitistiúil maith
a bheidh ann má bhíonn luachanna sna sonraí atá an-difriúil leis an gcuid eile.
Diall caighdeánach
Is féidir diall caighdeánach, , tacar sonraí a fháil ach
úsáid a bhaint as an bhfoirmle ar dheis. Dá mhéad an diall
√ ________
Σ(x _ ________ x ) 2
n
caighdeánach is ea is mó atá na sonraí scoite amach.
Agus tú ag úsáid áireamháin chun diall caighdeánach 10, 6, 2, 16, 4 a fháil,
bain úsáid as na heochracha seo a leanas (san ord ina dtugtar iad):
MODE 2 1
10 6 2 16 4
AC SHIFT 1 5 2
AC SHIFT 1 5 3
7.6 meán
Meán Σfx ____
Σf
Má tá n luach i dtacar
sonraí,
Q 1 1_ 4
( n 1)ú luach
( n 1)ú luach
4.963869… 5.0 diall caighdeánach
242

Achar agus Toirt
9
imlíne ceathairshleasán comhthreomharán traipéisiam eangach
teascóg imlíne ciorcail stua priosma sorcóir sféar cón
leathsféar An Riail Thraipéasóideach trasghearradh ordanáidí
Mír 9.1
Imlíne agus achar triantán agus
ceathairshleasán
Sa bhosca thíos tá foirmlí i dtaobh achar agus imlíne roinnt fíoracha rialta.
1. Dronuilleog 2. Cearnóg
x
b
x
x
Achar b Achar x 2
Imlíne 2( b)
Imlíne 4x
3. Triantán 4. Comhthreomharán
x
h h a
bonn
Achar 1 2
an bhoinn h Achar b h Imlíne 2(a b)
5. Traipéisiam
Is ceathairshleasán ar a bhfuil dhá shlios chomhthreomhara
é traipéisiam.
Imlíne suim fhaid na gceithre shlios
Achar 1 2 (a b) h nó 1
2
(a b)h
I bhfoirm focal: Tá an t-achar cothrom le leath de
shuim fhaid na sleasa comhthreomhara
iolraithe faoin airde ingearach.
b
h
b
a
243

Teoirim Phíotagarás
Cuid mhaith de na fadhbanna a bhaineann le himlíne agus le
hachar, bainfear leas as teoirim Phíotagarás lena réiteach. De
réir theoirim Phíotagarás:
x
z
x 2 y 2 z 2
y
Sampla 1
Ríomh achar an traipéisiam seo.
12 cm
Achar 1_ 2
( a b) h cm2
1_ 2
(20 12) 11
1_ 2
(32) 11
176 cm 2
11 cm
20 cm
Cleachtadh 9.1
1. Léiríonn an fhíor dronuilleog 8 cm faoi 6 cm.
Ríomh (i) achar na dronuilleoige
(ii) imlíne na dronuilleoige
(iii) fad an trasnáin sa dronuilleog.
8 cm
6 cm
2. Ríomh achar gach ceann de na triantáin thíos:
(i)
(ii)
(iii)
8 cm
12 cm
8.5 cm
7 cm
14 cm
6 cm
3. Ríomh achar na gcodanna scáthaithe den léaráid ar
dheis.
Uaidh sin, ríomh achar na coda nach bhfuil scáthaithe.
5 m
3 m
6 m
7 m
244

4. Ríomh x i ngach ceann de na triantáin seo:
(i)
(ii)
(iii)
x
7
x
8
Achar 24 aonad 2 Achar 42 aonad 2 Achar 36 aonad 2
5. (i) Scríobh síos achar gach triantáin thíos.
(ii) Úsáid na freagraí in (i) thuas chun luach a i ngach triantán a ríomh.
x
9
(a)
(b)
6 cm
h
8 cm
10 cm
12 cm h
14 cm
(c)
24 cm
16 cm
18 cm
h
20 cm
6. Ríomh achar gach ceann de na comhthreomharáin seo:
(i)
(ii)
8 cm
9 cm 10 cm
14 cm
12 cm
(iii)
11 cm
12 cm
13 cm
7. Tá imlíne na dronuilleoige seo 52 cm ar fad. 16 cm
Ríomh (i) leithead na dronuilleoige
(ii) achar na dronuilleoige.
245

8. Ríomh achar gach ceann de na fíoracha seo a leanas:
(i)
(ii)
18 cm
10 cm
7 cm 7 cm
7 cm
(iii)
12 cm
9 cm
3 cm
3 cm
7 cm 7 cm
13 cm
5 cm
9. Is comhthreomharán é ABCD, mar a léirítear.
A
D
(i) Ríomh achar an chomhthreomharáin.
(ii) Ríomh an fad ingearach ó A go DC.
8 cm
B
5 cm
14 cm C
10. Oibrigh amach achar gach ceann de na traipéisiamaí seo:
(i)
7 cm
(ii) 13 cm
11 cm
6 cm
(iii)
13 cm
12 m
3 cm
7 m
4 m
11. Ríomh achar gach ceann de na traipéisiamaí seo:
(i)
9 cm (ii)
(iii)
24 mm
10 cm
8 cm
5 cm
18 mm
6 cm
10 cm
22 mm
246

12. (i) Sloinn i dtéarmaí x imlíne an triantáin.
(ii) Más é 29 imlíne an triantáin, ríomh luach x.
(x 1)
(x 3)
(2x 7)
13. Tugtar achar gach fíorach thíos.
Faigh an airde ingearach a i ngach cás.
(i)
(ii)
(iii)
h
h
20 cm
h
14 cm
Achar 49 cm 2
12 cm
Achar 108 cm 2
Achar 220 cm 2
14. Síleann Séamus nach dtugtar dóthain eolais chun imlíne gach ceann de na cruthanna
seo a fháil.
Mínigh an fáth go bhfuil dul amú ar Shéamus agus faigh imlíne gach crutha.
(i)
9 cm
(ii)
7 cm (iii)
7 m
12 cm
10 cm
11 m
15. Tá cúig thíl chearnógacha ag Dáithí.
Tá na sleasa 1 cm ar fad. Caithfear na
tíleanna a chur ciumhais le ciumhais.
Cár cheart dó an tíl deiridh a chur chun
cruth leis an imlíne is mó a chruthú?
Cár cheart dó an tíl deiridh a chur chun
cruth leis an imlíne is lú a chruthú?
16. 36 cm 2 is ea achar na cearnóige ABCD.
Ríomh achar na cearnóige scáthaithe atá
tógtha agus [AC] mar cheann dá sleasa.
A
D
C
B
247

17. Is traipéisiam é ABCD. Tá [AB] comhthreomhar le [DC]. A
Tá faid [AB] agus [CD] sa chóimheas 1 : 2.
Is é 12 cm an fad ingearach idir [AB] agus [DC].
Is é 72 cm 2 achar ABCD.
D
Ríomh fad [AB].
12 cm
B
C
Mír 9.2
Ciorcail agus teascóga
1. Ciorcal
O
r
2. Teascóg ciorcail
A
r
O x
Achar r 2
Imlíne an chiorcail 2r
B
Achar OAB ____ x
360 r 2
Fad an stua AB ____ x
360 2r
Sampla 1
Ríomh imlíne agus achar na fíorach seo.
Imlíne an leathchiorcail r
14
43.98 … ag úsáid na heochrach
44 cm
35 cm
Imlíne an chrutha 44 28 (2 35)
142 cm
Achar an leathchiorcail r 2 ___
2
_______ 142 307.87 cm
2
2
308 cm 2
Achar an chrutha 308 (35 28)
1288 cm 2
28 cm
248

Sampla 2
Faigh (i) achar na teascóige AOB
(ii) fad an stua AB.
14 cm
A
O
60°
(i) Achar na teascóige AOB (ii) Fad an stua AB
____ 60°
360° r 2 ____ 60°
360° 2r
1 __
6
14 2 1 __
6
2 14
_______ 142
6
__________
2 14
6
102.6 cm 2 14.666 cm 2
14.7 cm 2
B
Sampla 3
Is é 803.84 cm 2 achar ciorcail.
Faigh fad gha an chiorcail, ag úsáid na heochrach ar d’áireamhán.
Achar an chiorcail r 2
⇒ r 2 803.84
⇒ r 2 ______ 803.84 255.87
r 2 255.87 ⇒ r √ ______
255.87 16 cm
Cleachtadh 9.2
1. Úsáid an eochair ar d’áireamhán chun imlíne gach ceann de na ciorcail seo a fháil,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(i)
(ii)
(iii)
14 cm
16 cm
12 cm
249

2. Faigh achar gach ceann de na ciorcail i gCeist 1 in cm 2 , ceart go dtí ionad deachúlach
amháin.
3. Ríomh gach achar, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
Is leathchiorcal, ceathrú ciorcail nó trí-cheathrú ciorcail iad.
(i)
(ii)
(iii)
5 cm
4 cm
10 cm
4. Faigh fad an stua AB i ngach ceann de na teascóga seo thíos.
Tabhair gach freagra in cm, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(i)
7 cm
A
(ii)
O (iii)
O
45°
30°
12 cm
A
16 cm
240°
O
B
A
B
B
5. Taispeánann an léaráid teascóg ciorcail ag a bhfuil lár O.
Is é 6 cm ga an chiorcail.
Uillinn AOB 120°.
A
B
Oibrigh amach imlíne na teascóige.
Scríobh do fhreagra i dtéarmaí san fhoirm is simplí de.
6 cm 120° 6 cm
O
6. Taispeánann an léaráid ar dheis gairdín
dronuilleogach atá 35 m faoi 14 m. Tá ceapach
bláthanna leathchiorclach ag bun agus ag barr
an ghairdín. Tá plásóg fhéir sa chuid scáthaithe.
Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire,
(i) achar an dá cheapach bláthanna le chéile
(ii) imlíne na plásóige.
35 m
14 m
7. Ríomh achar an limistéir ghoirm,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
3.5 cm
6 cm
250

8. Ríomh achar na teascóige scáthaithe den cheathrú
ciorcail seo.
Tabhair do fhreagra in cm 2 , ceart go dtí ionad
deachúlach amháin.
8 cm
8 cm
9. Taispeánann an léaráid réalta a rinneadh nuair a
baineadh ceithre cheathrú ciorcail chomhionanna
ó chúinní cearnóige ar a bhfuil sleasa 30 cm.
Faigh achar na réalta in cm 2 , ceart go dtí an
tslánuimhir is gaire.
30 cm
30 cm
10. Seasann an léaráid seo do phlean faiche spóirt. Is dronuilleog, ar a bhfuil dhá cheann
leathchiorclacha, í an fhaiche. Tá an dronuilleog 100 m ar fad agus 70 m ar leithead.
Tá trastomhas 70 m ag na leathchiorcail.
(i) Faigh achar na faiche in m 2 , ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
100 m
70 m
Caithfear an fhaiche a chlúdach le leasachán a chosnaíonn 5 cent in aghaidh an
mhéadair chearnaigh.
(ii) Oibrigh amach costas an leasacháin a bheidh ag teastáil don fhaiche iomlán.
11. Is é 616 cm 2 achar ciorcail.
Faigh fad gha an chiorcail, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
12. Ceannaíonn Aodán píotsa agus roinneann sé
go cothrom é ar a sheisear cairde agus é féin.
Má tá trastomhas 20 cm ag an bpíotsa, cad é
achar gach slisne, ceart go dtí an cm 2 is gaire?
251

13. Bhí trastomhas 30 m ag an Dublin Eye.
Mhair rothlú iomlán 13 nóiméad.
(i) Cá fhad a thaistealófá sa 13 nóiméad sin ar
an roth, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire?
(ii) Cad é luas an rotha i méadar sa soicind,
ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha?
14. Lúbtar píosa sreinge, atá 72 cm ar fad, agus déantar
leathchiorcal agus trastomhas as, mar a léirítear.
Faigh fad an trastomhais, ceart go dtí an cm is gaire.
15. Tá Cáit ag fanacht ar thraein.
Tá sé a trí a chlog. Tá an traein le teacht ag fiche cúig
nóiméad chun a ceathair. Má thagann an traein ag an
am ceart agus má tá snáthaid bheag an chloig 20 cm ar
fad, cén t-achar d’aghaidh an chloig a rachaidh an
tsnáthaid bheag tríd sula n-imíonn Cáit ar a traein?
Tabhair do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
210°
16. Ar dheis anseo tá cruth déanta as teascóg ciorcail a bhfuil
ga 16 cm aici agus as leathchiorcal.
Is é 60° uillinn na teascóige. Is mar a chéile trastomhas
an leathchiorcail agus ga na teascóige.
(i) Ríomh imlíne an chrutha.
(i) Ríomh achar an chrutha.
Tabhair an dá fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
60°
16 cm
Mír 9.3 Solaid dhronuilleogacha priosmaí
1. An solad dronuilleogach
Toirt b h
Achar an dromchla
2b 2h 2bh
h
b
252

2. Dronphriosmaí
Is ionann priosma agus rud a mbíonn an trasghearradh mar a chéile
ann i gcónaí, is cuma cá ngearrtar é.
Toirt an phriosma achar an trasghearrtha an fad
A
A
Sampla 1
Ríomh toirt an phriosma ar dheis.
Toirt achar an trasghearrtha scáthaithe fad
Dronuilleog agus triantán atá in achar an
trasghearrtha, mar a léirítear.
Achar an trasghearrtha (40 10) 1_ 2
(40 10)
400 200
600 cm 2
Toirt an phriosma achar an trasghearrtha fad
(600 30) cm 3
18 000 cm 3
10 cm
40 cm
40 cm
10 cm
253

3. Eangacha agus cruthanna 3-T
Osclaíodh amach an bosca (ciúbóideach) sa léaráid chun cruth 2-T
a dhéanamh. Eangach an bhosca a thugtar ar an gcruth 2-T seo.
Is ionann eangach agus cruth 2-T ar féidir é a fhilleadh i gcruth 3-T.
Seo dhá chruth fhéideartha do chiúb.
Tá 12 eangach
fhéideartha ag ciúb.
Seo léaráid d’eangach a bhaineann le pirimid chearnach.
Sampla 2
Léirítear eangach bosca dronuilleogaigh.
Sceitseáil léaráid den bhosca agus faigh a
thoirt.
2 cm
3 cm
5 cm
Taispeántar léaráid den bhosca
Toirt fad leithead airde
5 cm 3 cm 2 cm
30 cm 3
2 cm
3 cm
5 cm
3 cm
2 cm
254

Cleachtadh 9.3
1. Faigh toirt na solad dronuilleogach seo:
(i)
3 cm
(ii)
(iii)
7 cm
5 cm
6 cm
3 cm
8 cm
25 mm
4 cm
3 cm
2. Ríomh (i) toirt
(ii) achar dromchla
an tsolaid dhronuilleogaigh a léirítear ar dheis.
8 cm
6 cm
12 cm
3. Is é 2040 cm 3 toirt an tsolaid dhronuilleogaigh seo.
h
Faigh luach a airde, h, in cm.
12 cm
20 cm
4. Faigh an slios x atá in easnamh i ngach ceann díobh seo. Tá na faid uile in cm.
(i)
(ii)
(iii)
2
2
5
x
x
2
5
3
Toirt 35 cm 3 Toirt 24 cm 3 Toirt 60 cm 3
x
5. Faigh toirt na bpriosmaí seo a leanas:
(i)
(ii)
(iii)
66 cm 2 32 cm
9 cm
124 cm 2
280 cm 2
54 cm
255

6. Faigh toirt gach ceann de na priosmaí seo:
(i)
(ii)
6 cm
8 cm
10 cm
6 cm
10 cm
15 cm
7. 140 cm 3 toirt an phriosma thriantánaigh seo.
Faigh fad bhonn a thrasghearrtha.
4 cm
?
10 cm
8. Faigh toirt gach ceann de na priosmaí seo:
(i)
3 cm (ii)
2 cm
3 cm
6 cm
4 cm
4 cm
10 cm
3 cm
7 cm
5 cm
9. Is traipéisiam é trasghearradh an phriosma seo.
(i) Faigh achar an traipéisiam seo.
(ii) Oibrigh amach toirt an phriosma.
10. Taispeánann an léaráid
trasghearradh linn snámha.
Is é 6 m leithead na linne.
Faigh amach céard í toirt an
uisce sa linn.
2 m
4 cm
8 cm
10 cm
15 m
18 cm
1.5 m
11. Faigh toirt an phriosma
seo in cm 3 .
6 cm
2 cm
8 cm
14 cm
15 cm
256

12. Féach thíos eangacha ciúib.
A
1
B
5
2 3 4
4 1 2 3
5
6
6
C
1
2 3 4 5
6
Samhlaigh go bhfilltear gach ceann de na heangacha seo chun ciúb a dhéanamh.
I gcás gach eangaí, cé acu aghaidh a bheadh os comhair aghaidh 1 nuair a fhilltear iad?
13. Filltear an eangach seo chun ciúb a
dhéanamh.
A
B
(i) Cé acu rinn a nascfaidh le N?
(ii) Cé acu líne a nascfaidh le [CD]?
(iii) Cé acu líne a nascfaidh le [IH]?
N
M
L
C
D
K
J
E
F
G
I
H
14. Déanfar dísle as eangach an chiúib seo.
Déan cóip den eangach agus cuir poncanna ar na
cearnóga eile sa chaoi go bhfuil suim na n-aghaidheanna
atá os comhair a chéile cothrom le 7.
15. Seo eangach do bhosca dronuilleogach.
Faigh (i) achar dromchla an bhosca
(ii) toirt an bhosca.
2 cm
4 cm
9 cm
257

16. Seo thíos eangacha le haghaidh roinnt cruthanna 3-T. Ainmnigh iad.
(i) (ii) (iii)
17. Tarraing eangach an phriosma thriantánaigh seo.
3 cm
3 cm
6 cm
3 cm
18. Cé acu ceann de na ciúbanna thíos a d’fhéadfaí a
dhéanamh ach an eangach ar dheis a fhilleadh?
A
B
C
D
E
19. Taispeánann an léaráid eangach neamhchríochnaithe
do chiúbóideach a tarraingíodh ar ghreille
ar a bhfuil cearnóga atá 1 cm ar fad.
(i) Cén cruth atá ar iarraidh chun an eangach a
chríochnú? Luaigh a thomhas freisin.
(ii) D’fhéadfaí an píosa atá ar iarraidh a chur in
áiteanna éagsúla. Déan liosta de na
ciumhaiseanna lena bhféadfaí é a nascadh.
(iii) Nuair a fhilltear an ciúbóideach, cé acu de na
pointí lipéadaithe a nascfaidh le A?
(iv) Scríobh síos toisí an chiúbóidigh chríochnaithe.
(v) Faigh achar dromchla iomlán an chiúbóidigh.
A
L
C
B
K
J
D
E
H
I
F
G
258

Mír 9.4 Sorcóirí agus sféir
Seo agat na foirmlí a theastóidh uait nuair atá tú ag plé le sorcóirí, le sféir agus le leathsféir.
1. An sorcóir
r
r 2
h
2r
h
Toirt r 2 h
r 2
Achar iomlán an dromchla ar an sorcóir soladach
2rh 2r 2
2r (h r )
2. An sféar
Toirt 4_ 3 r 3
Achar an dromchla 4r 2
r
3. An leathsféar
Toirt 2_ 3 r 3
Achar an dromchla ar an leathsféar soladach
3r 2 .
r
Sampla 1
Faigh (i) toirt
(ii) achar iomlán an dromhchla
i gcás an tsorcóra sholadaigh a léirítear ar
dheis.
Tabhair an freagra i dtéarmaí .
5 cm
12 cm
259

(i) Toirt r 2 h
5 2 12
300 cm 3
(ii) Achar iomlán an dromchla 2 rh 2r 2
(2 5 12) (2 5 2 )
120 50
170 cm 2
Sampla 2
Is ionann toirt an tsorcóra agus 15 840 cm 3 .
Má tá an sorcóir 35 cm ar airde, ríomh fad gha an bhoinn.
Toirt 15 840 cm 3
⇒ r 2 h 15 840
⇒ r 2 35 15 840
⇒ r 2 _______ 15 840
35
⇒ r 2 144.06
⇒ r √ ______
144.06 12 cm
Ga an bhoinn 12 cm
Toirt 15840 cm 3
r
35 cm
Cruthanna ar comhthoirt
Má tá dhá chruth dhifriúla ar comhthoirt, scríobhaimid síos an fhoirmle le haghaidh thoirt
gach crutha díobh, agus déanaimid an dá thoirt a chothromú le chéile. Ligeann sé sin dúinn
toise anaithnid a fháil as ceann den dá chruth.
Seo roinnt samplaí de chomhthoirt:
> Má dhoirtear leacht ó chruth amháin isteach i gcoimeádán a bhfuil cruth éagsúil air, ní
athraíonn toirt an leachta.
> Má thumtar rud soladach in uisce i gcoimeádán, is ionann toirt an uisce dhíláithrithe
agus toirt an ruda a tumadh.
260

Sampla 3
Ligeadh sféar ar gha 4 cm anuas i sorcóir a raibh roinnt
uisce ann. Nuair a chuaigh an sféar faoin uisce ar fad,
ardaíodh leibhéal an uisce h cm. Más 8 cm atá i nga an
tsorcóra, ríomh luach h.
Sa léaráid ar dheis, is ionann toirt an sféir agus toirt an
tsorcóra scáthaithe atá h cm ar airde.
Toirt an sféir Toirt an tsorcóra
4 cm
h
⇒
4_
3 r3 r 2 h
⇒
4_
3 (4)3 (8) 2 .h
⇒ 4_ 3
64 64h … roinn an dá thaobh ar
⇒
4_
3
h … roinn an dá thaobh ar 64
h 4_ 3 1 1_ 3 cm
8 cm
Nóta: I Sampla 3 thuas, tugtar dhá sholad ar comhthoirt dúinn, i.e. tá toirt an sféir
cothrom le toirt an tsorcóra.
⇒ 4_ 3 (4)3 (8) 2 h.
Tá ar an dá thaobh den chothromóid seo.
Nuair a tharlaíonn sé sin, ní dhéanaimid ach an dá thaobh a roinnt ar sa tslí is nach
gá luach a chur isteach in áit .
Cleachtadh 9.4
1. Úsáid an eochair ar d’áireamhán chun toirt gach ceann de na sorcóirí seo a fháil.
Tabhair do chuid freagraí in cm 2 , ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(i)
5 cm
9 cm
(ii)
16 cm
(iii)
12 cm
24 cm
80 cm
2. Faigh achar iomlán an dromhchla ar gach ceann de na sorcóirí soladacha a thaispeántar
i gCeist 1. Tabhair do chuid freagraí ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
261

3. Tá ga 7 cm agus airde 10 cm ag sorcóir soladach. Bíodh 22
7
(i) toirt an tsorcóra
(ii) achar iomlán an dromchla ar an sorcóir.
agat agus faigh
4. 350 cm 3 an toirt atá i sorcóir áirithe.
(i) Scríobh síos an fhoirmle a bhaineann le toirt
sorcóra.
(ii) Glac leis gurb é 14 cm airde an tsorcóra. Scríobh
isteach na luachanna uile atá ar eolas san fhoirmle.
(iii) Anois faigh fad gha an tsorcóra.
14 cm
Toirt
350 cm 3
5. Scríobh síos an fhoirmle a bhaineann le hachar an dromchla chuair ar shorcóir.
110 cm 2 achar an dromchla chuair ar shorcóir.
Má tá an sorcóir 5 cm ar airde, ríomh fad an gha ceart go dtí ionad deachúlach
amháin.
6. 252 cm 2 achar iomlán an dromchla ar shorcóir soladach.
Más 6 cm atá i nga an bhoinn, faigh airde an tsorcóra.
7. Faigh toirt gach ceann de na sféir seo a leanas. Tabhair do fhreagra ceart go dtí
ionad deachúlach amháin.
(i)
(ii)
(iii)
5 cm
7 cm
20 cm
8. Faigh achar an dromchla i gcás gach ceann de na sféir i gCeist 7.
Tabhair do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
9. Is é 5 cm fad gha an leathsféir sholadaigh seo.
Faigh, i dtéarmaí , (i) toirt
(ii) achar iomlán an dromchla
ar an leathsféar.
5 cm
10. 288 cm 3 an toirt atá i sféar áirithe.
(i) Ríomh fad an gha sa sféar.
(ii) Ríomh, i dtéarmaí , achar iomlán an dromchla.
262

11. Tá an coimeádán sa léaráid ar dheis i gcruth sorcóra ar bharr 3 cm
leathsféir. Tá ga 3 cm ag an sorcóir, agus tá an coimeádán
15 cm ar airde ina iomláine.
Ríomh toirt an choimeádáin in cm 3 , ceart go dtí an
tslánuimhir is gaire.
15 cm
12. Tá an sorcóir agus an sféar, a léirítear ar
dheis, ar comhthoirt.
Faigh fad gha an tsorcóra, ceart go dtí
an ceintiméadar is gaire.
r
12 cm
8 cm
13. 4 1 2
cm ar airde atá sorcóir áirithe agus 2 cm ar fad atá a gha.
Ar comhthoirt atá an sorcóir le leathsféar.
Ríomh ga an leathsféir.
14. Léirítear sa léaráid ar dheis sféar ar gha 7 cm a théann isteach
go beacht i sorcóir, is é sin, tá an sféar ag teagmháil le barr, le
bun agus le taobhanna an tsorcóra.
(i) Ríomh toirt an tsorcóra in cm 3 , ceart go dtí an tslánuimhir
is gaire.
(ii) Taispeáin go bhfuil achar dromchla an sféir cothrom le
hachar dromchla chuair an tsorcóra.
(iii) Ríomh an cóimheas seo:
Toirt an sféir : Toirt an tsorcóra.
15. Tá a ocht n-oiread toirte i sféar ar gha 3 cm is atá i dtoirt sféir ar gha r cm. Ríomh r.
16. Tá airde sorcóra áirithe cothrom le fad an trastomhais.
100 cm 2 atá in achar an dromchla chuair ar an sorcóir. Ríomh an airde.
263

17. Nuair a ligtear sféar soladach ar gha 6 cm anuas i sorcóir
a bhfuil roinnt uisce ann, ardaíonn leibhéal an uisce h cm,
mar a fheictear ar dheis.
Más 16 cm atá i dtrastomhas an tsorcóra, ríomh luach h.
h cm
6 cm
16 cm
18. Bíonn gloine fíona i bhfoirm leathsféir ar gha 4 cm, mar a
léirítear ar dheis.
Ríomh toirt na gloine i dtéarmaí .
Is leor coimeádán sorcóireach fíona le 21 de na gloiní fíona
seo a líonadh.
Más 8 cm atá i nga an bhoinn ar an sorcóir, ríomh a airde.
4 cm
19. Tá ga 2 cm ag naoi gcinn de sféir mhiotail. Ligtear anuas i sorcóir ina bhfuil roinnt
uisce iad. Má bháitear na sféir go hiomlán, ríomh an méid a ardaíonn leibhéal an
uisce, más 3 cm atá i nga an tsorcóra.
20. Cuirtear trí liathróid leadóige i gcoimeádán sorcóireach lena ndíol.
7 cm ar trastomhas atá gach liathróid. Tá trastomhas inmheánach
an choimeádáin agus trastomhas liathróide leadóige cothrom le
chéile. De bharr airde an choimeádáin, ní chorróidh na liathróidí.
Cén codán de spás an choimeádáin a líontar leis na liathróidí?
Mír 9.5
An cón
Dronchón ciorclach a thugtar ar an gcón ar dheis mar go
bhfuil rinn an chóin go díreach os cionn lárphointe an bhoinn.
An airde ingearach h.
An chlaonairde l.
Ga an bhoinn r.
De réir Theoirim Phíotagarás 2 h 2 r 2 .
h
r
264

An Cón
Toirt an chóin 1_ 3 r2 h
Achar an dromchla chuair rl
Achar iomlán an dromchla
ar an gcón soladach rl r 2
h
r
l
Sampla 1
Tá cón 12 cm ar airde agus ga 5 cm aige.
Úsáid an eochair ar d’áireamhán chun iad seo a leanas a ríomh, ceart
go dtí ionad deachúlach amháin:
(i) toirt an chóin agus (ii) achar an dromchla chuair ar an gcón
De réir Theoirim Phíotagarás
l 2 12 2 5 2
144 25 169
√ ____
169 13 cm
12
5
Toirt an chóin 1_ 3 r2 h
Achar an dromchla chuair rl
1_ 3 52 12 5 13
314.2 cm 3 204.2 cm 2
Sampla 2
Seasann an léaráid ar dheis do shamhail de roicéad.
Sorcóir soladach agus cón soladach atá sa tsamhail.
Bonn ciorclach, 20 cm ar trastomhas, atá ar gach
ceann díobh. 24 cm ar airde atá an cón.
(i) Ríomh toirt an chóin i dtéarmaí .
(ii) Ríomh airde an tsorcóra má tá a cheithre oiread
toirte sa sorcóir is atá sa chón.
(iii) Ríomh luach k más ionann toirt an tsorcóra atá
k cm ar airde agus leath na toirte sa tsamhail
sholadach uile.
h
20 cm
24 cm
k
265

(i)
Toirt an chóin 1 __
3
r 2 h
1 __
3
(10 2 )24 … r 10 cm
______ 2400 800 cm
3
3
(ii) Toirt an tsorcóra 4(800)
3200 cm 3
⇒ r 2 h 3200
⇒ (100)(h) 3200 … r 10 cm
100h 3200 … roinn an dá thaobh ar
h _____ 3200
100
h 32 cm
(iii) Toirt an tsolaid uile Toirt an chóin Toirt an tsorcóra
800 cm 3 3200 cm 3
4000 cm 3
Toirt an tsorcóra atá k ar airde 2000 cm 3 … leath thoirt an tsolaid iomláin
r 2 k 2000
(100)k 2000
⇒ 100k 2000 … roinn an dá thaobh ar
⇒ k _____ 2000 20 cm
100
Cleachtadh 9.5
(Sna ceisteanna a leanas, úsáid an eochair ar d’áireamhán).
1. Ríomh toirt an chóin a léirítear ar dheis.
Tabhair an freagra in cm 3 , ceart go dtí ionad
deachúlach amháin.
8 cm
6 cm
2. Ríomh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, toirt cóin, a bhfuil 8 cm i nga a bhoinn agus
atá 21 cm ar airde.
266

3. Tá an cón thall 13 cm ar claonairde agus 5 cm atá i nga an bhoinn air.
Ríomh (i) achar an dromchla chuair
(ii) achar iomlán an dromchla
(iii) airde an chóin
(iv) toirt an chóin.
5 cm
13 cm
4. 360 cm 3 an toirt i gcón áirithe.
Más 30 cm ar airde atá an cón, ríomh fad gha an bhoinn.
5. 112 cm 2 achar an dromchla chuair ar chón áirithe.
Más é 14 cm a chlaonairde, ríomh fad gha an bhoinn.
6. Leagtar cón ar bharr leathsféir, a bhfuil ga 4 cm aige,
mar a léirítear.
Má tá an rud iomlán 10 cm ar airde, faigh
(i) airde an chóin
(ii) toirt an ruda in cm 2 , ceart go dtí ionad
deachúlach amháin.
4 cm
10 cm
7. Sorcóir agus cón atá sa chruth thall.
(i) Ríomh toirt an tsorcóra i dtéarmaí .
(ii) Ríomh toirt an chóin i dtéarmaí .
3 cm
Uaidh sin, ríomh toirt an chrutha, ceart go
dtí an cm 3 is gaire.
6 cm 4 cm
8. Tá ga 5 cm ag sorcóir soladach miotail agus tá sé 12 cm ar airde.
Leáitear é agus athmhúnlaítear é ina chón a bhfuil ga 10 cm ina bhonn.
Ríomh airde an chóin.
9. 6 cm ar fad atá ga sféir agus ga an bhoinn ar chón áirithe.
Más ionann toirt an sféir agus toirt an chóin, ríomh airde an chóin.
10. Má tá sorcóir 12 cm ar airde agus é ar gha 4 cm, scríobh toirt an tsorcóra i dtéarmaí .
4 cm atá i nga an bhoinn ar chón áirithe. h cm ar airde atá an cón agus é ar
comhthoirt leis an sorcóir a luadh thuas. Ríomh luach h.
267

11. Tá dronchón ar gha 6 cm agus é 12 cm ar airde. Tumtar
é i sorcóir ina bhfuil roinnt uisce, mar a léirítear.
Ríomh, i dtéarmaí , toirt an chóin.
Más 8 cm atá i nga an tsorcóra, ríomh luach h, an méid
a d’ardaigh leibhéal an uisce.
6 cm
12 cm
h
12.
_____ 512 cm
3
3 an toirt atá i gcón áirithe.
Is ionann airde an chóin agus fad a gha.
Ríomh fad a gha.
8 cm
13. Cón ar bharr leathsféir, sin é an chuma atá ar an mbréagán sa
léaráid ar dheis.
6 cm atá ga an leathsféir agus is ionann toirt an chóin agus leath
na toirte sa leathsféar.
(i) Faigh toirt an chóin i dtéarmaí .
(ii) Faigh airde an chóin.
6 cm
14. 4 cm atá i nga sorcóra céarach atá 36 cm ar airde. Leáitear an sorcóir agus déantar
coinnle i gcruth cóin as an gcéir.
6 cm ar airde atá gach coinneal agus 2 cm atá i nga an bhoinn uirthi.
(i) Ríomh an méid coinnle is féidir a dhéanamh mura gcuirtear céir ar bith amú.
(ii) Cuirtear na coinnle ina seasamh ar a mbonn, sé cinn i ngach sraith, sa bhosca
dronuilleogach is lú a thógfaidh iad.
Ríomh, in cm 3 , toirt (toilleadh inmheánach) an bhosca.
15. Ríomh toirt an chrutha seo.
Tabhair do fhreagra in cm 3 , ceart
go dtí ionad deachúlach amháin.
10 cm
6 cm 5 cm 5 cm
16. Léirítear sa léaráid cón a gearradh ina dhá chuid,
cuid A agus cuid B. Ríomh toirt chuid B, ceart
go dtí an tslánuimhir is gaire.
A
10 cm
16 cm
B
24 cm
5 cm
268

17. Chun gléas áirithe a dhéanamh, cuirtear cón ar bharr
leathsféir go beacht, mar a léirítear sa léaráid.
6 cm atá i nga an leathsféir agus is é 21 cm airde
iomlán an ghléis.
(i) Scríobh síos airde an chóin agus uaidh sin, ríomh
toirt an chóin i dtéarmaí .
(ii) Ríomh toirt an leathsféir i dtéarmaí .
(iii) Sloinn é seo a leanas mar chóimheas, san fhoirm is simplí de:
Toirt an chóin : Toirt an leathsféir.
21 cm
Mír 9.6 Fadhbanna atá níos deacra
1. Uisce ag sreabhadh trí phíobán
Má shreabhann uisce trí phíobán
sorcóireach áirithe ar ráta 10 cm/s, is
ionann toirt an uisce a ghabhann tríd
an bpíobán gach soicind agus toirt
píosa den phíobán 10 cm ar fad, mar a
léirítear sa léaráid.
10 cm
An toirt gach soicind
Sampla 1
Ar ráta 14 cm/s a shreabhann an t-uisce trí phíobán sorcóireach áirithe atá 3 cm
ar thrastomhas inmheánach. Cén fad a thógfadh sé sorcóir ar bhonn 14 cm ar
trastomhas agus 25 cm ar airde a líonadh?
Is ionann toirt an uisce a shreabhann tríd
an bpíobán gach soicind agus toirt an
tsorcóra atá le feiceáil ar dheis
Toirt an uisce r 2 h
( 3 __
2
) 2 14 … r 3_ 2 cm
3 cm
____ 63
2 cm3 … fág an freagra i dtéarmaí
Toirt an tsorcóra (7) 2 .45
2205 cm 3 … arís i dtéarmaí
14 cm
An t-am (ina shoicindí) a thógann sé an sorcóir a líonadh 2205 ____ 63
2
__________
2205 2
63
70 soicind
269

2. Cóimheasa nuair nach dtugtar na toisí
Uaireanta ní thugtar toisí na bhfíoracha dúinn ach, má tá cóimheasa dhá fhad chomhfhreagracha
againn, is féidir toirt an dá fhíor a chur i gcomparáid le chéile.
Feictear é seo sa sampla thíos.
Sampla 2
Tá ga sorcóra áirithe agus ga cóin áirithe ar comhfhad.
Má tá an cón dhá oiread níos airde ná an sorcóir, ríomh an cóimheas seo:
Toirt an tsorcóra : Toirt an chóin.
Seasadh r do gha gach fíorach.
Airde an tsorcóra h; Airde an chóin 2h.
Toirt an tsorcóra r 2 h … ga r, airde h
Toirt an chóin 1_ 3 r2 h
r
h
r
2h
1_ 3 r2 (2h) 2r2 h _____
3
Toirt an tsorcóra : Toirt an chóin r 2 h : _____ 2r2 h
3
h : ___ 2h … roinn an dá thaobh ar r2
3
3h : 2h … iolraigh an dá thaobh faoi 3
3 : 2
Cleachtadh 9.6
1. r cm atá sa gha i gCón A agus h cm an airde atá ann.
2r cm atá sa gha i gCón B agus 2h cm an airde atá ann.
Ríomh an cóimheas, Toirt Chón A : Toirt Chón B.
2. Sa chóimheas 1 : 2 atá fad gha an bhoinn ar dhá chón sholadacha ar comh-airde.
Ríomh cóimheas a dtoirteanna.
3. Léirítear sa léaráid ar dheis 2 shorcóir
sholadacha A agus B.
Scríobh toirt gach sorcóra i dtéarmaí .
4 cm
Anois faigh san fhoirm 1 : n an cóimheas
(i) Toirt A : Toirt B.
(ii) Achar an dromchla chuair ar A : Achar
an dromhchla chuair ar B.
B
8 cm
6 cm
A
12 cm
270

4. Ar an ráta 35 cm/s a shreabhann an t-uisce trí phíobán ciorclach ar gha inmheánach
1 cm. Ríomh iad seo:
(i) toirt an uisce a shreabhann tríd an bpíobán gach nóiméad
(ii) an méid lítear a shreabhann tríd an bpíobán gach uair an chloig.
(Bíodh 22
7 agus 1 lítear 1000 cm3 )
5. Ríomh toirt sorcóra atá 7 cm ar airde agus ar gha 2 cm. Ar an ráta 7 cm/s a shreabhann
an t-uisce trí phíobán ciorclach ar gha inmheánach 2 cm. Sreabhann an t-uisce isteach
i ndabhach dhronuilleogach atá 1.2 m ar fad, 1.1 m ar leithead agus 30 cm ar airde.
Cé mhéad nóiméad a thógfaidh sé an dabhach a líonadh?
Tabhair do fhreagra ceart go dtí an nóiméad is gaire.
6. Ar an ráta 20 cm/s a shreabhann ola trí phíobán ciorclach ar gha 4 cm.
Cén fad a thógfaidh sé dabhach shorcóireach a líonadh má tá sí 1.2 m ar trastomhas
agus 3 m ar airde? Tabhair do fhreagra ina nóiméid.
7. Cón ar bharr leathsféir atá sa bhaoi sa léaráid ar dheis.
7 cm atá i nga an bhoinn ar an gcón.
Má tá toirt an leathsféir agus toirt an chóin cothrom le chéile,
ríomh airde an chóin in cm.
7 cm
8. Tá sorcóir ar gha 3 cm agus 20 cm ar airde
lán le huisce.
Tá go leor uisce ann leis an dá choimeádán seo
a líonadh: dronchón ar gha 6 cm agus h cm
ar airde, agus babhla leathsféarach ar gha 3 cm.
Faigh iad seo i dtéarmaí :
(i) toirt an tsorcóra,
(ii) toirt an leathsféir,
(iii) airde, h, an chóin.
3 cm
20 cm
h
3 cm
6 cm
9. Leathsféar agus cón ar a bharr atá sa solad sa léaráid ar
dheis.
(i) 18 cm 3 an toirt atá sa leathsféar.
Ríomh ga an leathsféir.
(ii) 3 5 cm an chlaonairde atá sa chón.
Taispeáin gurb é 6 cm airde ingearach an chóin.
(iii) Taispeáin gurb ionann toirt an chóin agus toirt an
leathsféir.
(iv) Leáitear an solad seo agus athmhúnlaítear é mar
shorcóir soladach. 9 cm ar airde atá an sorcóir.
Ríomh a gha.
3
5 cm
271

10. (i) Scríobh síos, i dtéarmaí agus r, toirt an
leathsféir ar gha r.
(ii) Seasann an léaráid ar dheis d’umar stórála breosla.
Tá sé i gcruth sorcóra agus leathsféar ar gach
foirceann de.
Is é 81 m 3 toilleadh (toirt inmheánach) an umair.
Sa chóimheas 5 : 4 atá toilleadh an tsorcóra i gcóimheas
mheas le suim thoilltí na bhfoirceann leathsféarach.
Ríomh fad an gha inmheánaigh san umar.
Mír 9.7
An Riail Thraipéasóideach
Is minic a chaitheann innealtóirí agus suirbhéirí achar cruthanna, a bhfuil imlínte
neamhrialta acu, a ríomh. In imeacht na mblianta, b’iomaí bealach a bhí ann le garmheastacháin
a fháil ar achar a leithéidí sin de chruthanna. Is gnách gurb éard a bhíonn i gceist leis
na bealaí sin ná an t-achar a roinnt ina stiallacha ar comhleithead agus achar na stiallacha
a shuimiú le chéile ansin go ríomhtar an t-achar iomlán. Seo sampla de sin:
y 1
y 2
y 3
y 4
y 5
y 6
y 7
y 8
h h h h h h h
San fhíor thuas, tarraingítear líne trasna bharr gach stéille chun líon traipéisiam a chruthú.
Ansin ríomhtar suim achair na dtraipéisiamaí uile. Bíonn an tsuim seo beagnach cothrom
leis an achar atá de dhíth.
Níos luaithe sa chaibidil seo, phléamar achar traipéisiam,
– a fhaightear tríd an fhoirmle seo a úsáid:
Achar h __
2
( a b)
a
b
Tugtar suim na n-achar sa chéad fhíor thuas
mar seo:
272
Achar h __
2
[( y 1 y 2 ) h __
2
( y 2 y 3 ) h __
2
( y 3 y 4 ) … h __
2
( y 7 y 8 ) ]
h

Is féidir é seo a shimpliú mar: Achar h __
2
[ y 1 2( y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 ) y 8 ].
An Riail Thraipéasóideach a thugtar ar an modh seo chun meastachán a dhéanamh ar
achar fíorach neamhrialta.
Is féidir an Riail Thraipéasóideach a thabhairt chun cuimhne go héasca má shloinntear i
bhfoirm focal í, mar seo:
An Riail
Thraipéasóideach
Achar h 2
[an chéad airde an airde dheiridh
2(na hairdí atá fanta)]
San fhíor seo, taobhingir nó ordanáidí
a thugtar de ghnáth ar na línte ingearacha
y 1 , y 2 , … y 6 .
Tabhair faoi deara go bhfuil 6 ordanáid
ann ach nach bhfuil ach 5 stiall ann.
Ar an gcaoi chéanna, bheadh 7 n-ordanáid
ann do 6 stiall.
y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6
An chéad ordanáid a thugtar ar y 1 agus
an ordanáid deiridh a thugtar ar y 6 .
Na meánordanáidí (meánairdí) nó na hordanáidí (airdí) atá fanta a thugtar ar y 2 , y 3 , y 4 agus y 5 .
Sampla 1
Ríomh achar an chrutha a bhfuil léaráid anseo de, má tá gach stiall 10 m ar
leithead. Tugtar faid na n-ordanáidí ar an léaráid.
y 2
y 3
y 4
y 5
y 6
y 7
y 1
24 m
28 m 34 m 32 m 26 m 24 m 30 m
10 m
Is fearr dúinn na taobhingir a ainmniú mar y 1 , y 2 , y 3 … y 7
⇒ y 1 24, y 2 28, y 3 34, y 4 32, y 5 26, y 6 24, y 7 30.
273

Achar h [an chéad taobhingear an taobhingear deiridh 2(taobhingir atá fanta)]
2
___ 10 [24 30 2(28 34 32 26 24)]
2
5[54 2(144)]
Achar 1710 m 2
Sampla 2
Léaráid í seo de ghraf na feidhme f(x) x 2 8x 17 san fhearann
0 x 4.
(i) Úsáid an Riail Thraipéasóideach chun meastachán a dhéanamh ar an achar
atá idir an cuar agus an x-ais. 1 aonad ar leithead atá gach stiall.
(ii) Más é 25 1 3
aonad cearnach an t-achar beacht faoin gcuar, bain leas as an
Riail Thraipéasóideach chun an earráid chéatadánach a fháil.
y
20
y 1
16
12
y 2
8 17
y 3
10
4
y
5
4 y5
2 1
0
1 2 3 4 x
f(x) x 2 8x 17
f(0) 0 0 17 17
f(1) 1 2 8(1) 17 10
f(2) 2 2 8(2) 17 5
f(3) 3 2 8(3) 17 2
f(4) 4 2 8(4) 17 1
Is iad seo na taobhingir: y 1 17, y 2 10, y 3 5, y 4 2, y 5 1
(i) Achar h [an chéad taobhingear an taobhingear deiridh 2(taobhingir atá fanta)]
2
1 __
2
[17 1 2(10 5 2)]
__ 1 [18 2(17)] __ 1 [52]
2 2
26 aonad cearnach
(ii) Achar beacht 25 1 3
aonad cearnach. Neas-achar 26 aonad cearnach
Earráid 26 25 1 3 2 3
Earráid chéatadánach
Earráid chéatadánach 2.63%
earráid
fíorluach 100
1 %
2_
____ 3
25 1_ ____ 100
1 % ___ 2
76 ____ 100
1 2.63%
3
274

Nóta: Má bhíonn dhá achar sa chruth, ceann
taobh thuas de líne chothrománach agus
ceann taobh thíos di, ní dhéanaimid ach
na taobhingir os cionn na líne agus na
cinn faoina bun a shuimiú le chéile.
Mar shampla y 2 4 2 6
y 3 4 3 7, etc. …
Freisin, y 1 0 agus y 7 0.
Is é sin, 0 is ea an chéad airde agus an airde dheiridh.
y 1
y
y
y y y
4 4 6 7 6
2 3
4
5
6
y 7
2 3 5 6 4
Sampla 3
Tá ar shuirbhéir áirithe achar stráice talún a ríomh.
Tarraingítear bonnlíne [AB] agus tomhaistear taobhingir ina eatraimh x m.
Bhain an suirbhéir leas as an Riail Thraipéasóideach agus mheas sé an t-achar
mar 612 m 2 . Faigh x.
A
x m
10 m
3 m
x m
8 m
4 m
x m
7 m
2 m
x m
B
Ainmnímid na taobhingir mar seo: y 1 ., y 2 , y 3 , y 4 agus y 5 .
y 1 0, y 2 13, y 3 12, y 4 9, y 5 0.
Achar h [an chéad taobhingear an taobhingear deiridh 2(taobhingir atá fanta)]
2
612 x __
2
[0 0 2(13 12 9)]
612 __ x [68] 2
612 34x
x ____ 612
34
x 18 m
275

Cleachtadh 9.7
1. Sa léaráid thíos, feictear an fhíor ABCD agus trí cinn de línte díreacha agus an chuid
chuarach CD mar imlíne uirthi. Tá na taobhingir ingearach le [AB] agus tugtar a gcuid
fad sa léaráid. 10 m ar leithead atá gach stiall.
C
D
8 m
12 m 16 m 13 m 14 m 17 m 10 m
A
10 m
Bain leas an Riail Thraipéasóideach chun meastachán a dhéanamh ar achar ABCD.
2. Tá meastachán le déanamh ag innealtóir ar achar na láithreach thíos. Roinneann sé an
láthair ina 8 stiall, mar a léirítear. Más é 12 m leithead gach stéille agus má tá na
taobhingir ingearach leis an mbonnlíne, bain leas as an Riail Thraipéasóideach chun
achar na láithreach a mheas.
B
10 m 21 m 26 m 30 m 28 m 26 m 14 m 12 m
12 m
3. Bain leas as an Riail Thraipéasóideach chun achar an réigiúin thíos a mheas.
Tugtar gach toise mar mhéadar.
12 20 23 17 14
20 20 20 20 20 20
14 12 26 22 18
276

4. San fhíor thíos, tugtar gach toise mar mhéadar.
Bain leas as an Riail Thraipéasóideach chun achar na fíorach a mheas.
10 13 12
7
11 11 11 11
13 12 7
10
5. 656 m 2 an meastachán ar achar na fíorach ABCD thíos agus muid ag baint leasa as an
Riail Thraipéasóideach. Ríomh fad na mírlíne marcáilte x.
D
8 m 12 m 16 m 13 m 14 m x 10 m
C
A
8 m
8 m 8 m 8 m 8 m 8 m
B
6. Léaráid í seo a leanas de phíosa páipéir ABCD a bhfuil slios corrach air. Roinntear [BC]
ina heatraimh chothroma de h cm agus déantar tomhais de 12 cm, 8 cm, 9 cm, 6 cm,
5 cm, 7 cm agus de 11 cm suas go dtí an slios uachtarach.
A
D
B
12 cm
h cm
8 cm 9 cm 6 cm 5 cm 7 cm 11 cm
C
Is é 325.5 cm_2 achar an phíosa páipéir, ag baint leasa as an Riail Thraipéasóideach.
Ríomh luach h.
277

7. Sceitse é seo de pháirc ABCD a bhfuil slios corrach amháin uirthi.
Roinntear [BC] ina heatraimh chothroma de 6 m agus déantar tomhais de 7 m, 8 m
10 m, 11 m, 13 m, 15 m agus x m suas go dtí barr na páirce.
D
A
7 m 8 m 10 m 11 m 13 m 15 m x m
B
6 m
C
Is é 399 m 2 achar na páirce, ag baint leasa as an Riail Thraipéasóideach.
Ríomh luach x.
8. Léaráid í seo den chuar y x 2 3, san fhearann 0 x 4.
y
20
15
10
5
0
1 2 3 4
x
(i) Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla ar
dheis trí leas a bhaint as cothromóid an
chuair.
x 0 1 2 3 4
(ii) Uaidh sin, bain leas as an Riail Thraipéasóideach chun meastachán a
dhéanamh ar an achar idir an cuar agus an x-ais.
(iii) Más é 33 1 3
aonad cearnach an t-achar go beacht, faigh an earráid
chéatadánach a bhaineann leis an Riail Thraipéasóideach a úsáid.
y
278

9. Léaráid í seo den chuar y x 2 4.
y
20
15
10
5
0
1 2 3 4
x
Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla thíos trí leas a bhaint as cothromóid an chuair.
x 0 1 2 3 4
y 4
Uaidh sin, bain leas an Riail Thraipéasóideach chun achar na coda daite den
ghraf thuas a fháil.
279

Cuir triail ort féin 9
1. (i) Ríomh achar an traipéisiam seo.
3 cm
8 cm
11 cm
(ii) Díoltar an púdar níocháin Cleano i mboscaí
ciúbacha. 10 cm is ea tomhas thaobh an
bhosca bhig. 600 gram púdair a bhíonn ann.
15 cm is ea tomhas thaobh an bhosca mhóir.
10 cm
Ríomh meáchan an phúdair a bhíonn sa bhosca mór.
(iii) Is ionann toirt an tsorcóra agus toirt an chóin seo.
15 cm
20 cm
h cm
6 cm
12 cm
(a) Faigh toirt an tsorcóra i dtéarmaí .
(b) Ríomh h, airde ingearach an chóin.
2. (i) 384 cm 3 is ea toirt an bhloic
dhronuilleogaigh seo.
Faigh fad an tsleasa a.
4 cm
a
12 cm
(ii) Bain leas as an Riail Thraipéasóideach chun achar na fíorach ABCD a léirítear
thíos a mheas.
C
D
11 m
13 m
15 m
23 m
19 m
26 m
22 m
A
12 m
B
280

29 cm 2 20 cm
(iii) Tá trastomhas inmheánach 40 cm agus
airde 50 cm ag umar uisce sorcóireach.
Tá trastomhas inmheánach 8 cm agus
airde 10 cm ag muga sorcóireach.
(a) Faigh toirt an umair, i dtéarmaí .
(b) Faigh toirt an mhuga, i dtéarmaí .
(c) Cé mhéad muga is féidir a líonadh
as umar lán?
50 cm
40 cm
8 cm
10 cm
3. (i) Scríobh síos achar an
chomhthreomharáin seo.
6 cm
5 cm
7 cm
(ii) Toirt 192 cm 3 atá i gcón soladach áirithe.
Más é 16 cm airde an chóin, faigh ga a bhoinn.
(iii) Tá léaráid de theascóg cáise ar dheis. Is cuid í de
shorcóir ciorclach ar gha 14 cm atá 4 cm ar tiús.
45° atá in uillinn na teascóige, mar atá sa léaráid.
Ríomh, in cm 3 , toirt na teascóige, ceart go dtí an
tslánuimhir is gaire.
14 cm
45°
4 cm
4. (i) Tá achar 68 cm 2 ag an triantán ar dheis.
Ríomh h, airde an triantáin, ina ceintiméadair.
h
16 cm
(ii) Ríomh toirt an phriosma seo.
(iii) (a) Tá anraith i sáspan sorcóireach ar gha inmheánach 12 cm. Is é 18 cm
doimhneacht an anraith.
Ríomh, i dtéarmaí , toirt an anraith sa sáspan.
281

(b) Úsáidtear liach i gcruth leathsféir ar gha
inmheánach 6 cm chun anraith a chur amach.
Ríomh, i dtéarmaí , toirt an anraith a bheadh
i lán léiche amháin.
(c) Cé mhéad lán léiche anraith a líonfadh an
sáspan?
6 cm
5. (i) Ríomh achar na teascóige ar dheis.
Bíodh do fhreagra ceart go dtí an cm 2
is gaire.
A
120°
O 21 cm
B
(ii) Léaráid í seo de bhloc soladach dronuilleogach miotail, atá 75 cm faoi 11 cm
faoi 6 cm. Leáitear é agus déantar é a athmhúnlú ina slata sorcóireacha atá
25 cm ar fad agus iad ar gha 1 cm, mar a léirítear.
Ríomh an méid slat iomlán a dhéanfaí as an mbloc.
6 cm
1 cm
25 cm
75 cm
11 cm
(iii) Is meastachán ar achar na fíorach thíos é 1087.5 m 2 , ag baint úsáide as an
Riail Thraipéasóideach.
17 m
12 m k 27 m
15 m 15 m 15 m 15 m
Faigh fad an taobhingir k ina mhéadair.
282

6. (i) Tá ga 7 cm ag an gciorcal ar dheis.
Faigh achar na coda scáthaithe ceart go
dtí an cm 2 is gaire.
7 cm
7 cm
(ii) Ríomh toirt an phriosma seo.
4 cm
5 cm
3 cm
10 cm
8 cm
(iii) Leathsféar ar bharr sorcóra an cruth atá ar sháiltéar, mar a
léirítear. 2 cm atá i nga an leathsféir.
(a) Sloinn toirt an leathsféir i dtéarmaí .
(b) Más ionann toirt an leathsféir agus 1 2
na toirte sa
sorcóir, ríomh airde an tsorcóra.
2 cm
7. (i) Tá cruth leathchiorcail ar bharr dronuilleoige ar an
bhfuinneog sa léaráid ar dheis. 70 cm ar leithead atá
an chuid dhronuilleogach agus tá sí 90 cm ar airde.
Ríomh achar na fuinneoige in cm 2 , ceart go dtí an cm 2
is gaire.
90 cm
70 cm
(ii) Léaráid í seo thíos de phlean suímh ag a bhfuil imlíne neamhrialta.
Roinntear ina shé stiall é. Tá gach stiall ar comhleithead.
Ag baint úsáide as an Riail Thraipéasóideach, is é 3156 m 2 achar an tsuímh.
Ríomh luach h ina mhéadair.
15 m
20 m 24 m 31 m 23 m 26 m
h h h h h h
283

(iii) Tá ornáid sholadach mhiotail sa chruth seo: cón
soladach ar bharr leathsféir ag a bhfuil gha 4 cm.
(a) Faigh toirt an leathsféir i dtéarmaí .
(b) Tá a dhá oiread toirte sa chón is atá sa leathsféar.
Ríomh h, airde an chóin.
h
4 cm
8. (i) Tá ciorcal ar gha 5 cm sa traipéisiam seo.
Ríomh achar na coda scáthaithe, ceart go
dtí an cm 2 is gaire.
20 cm
20 cm
5 cm
30 cm
(ii) Leáitear earra soladach miotail a bhfuil toirt 144 cm 3 ann. Déantar é a
athmhúnlú mar chón soladach atá 12 cm ar airde. Faigh ga an chóin.
(iii) Toilleann sféar soladach ar gha 8 cm díreach sa sorcóir,
mar a léirítear. Doirtear uisce sa sorcóir go dtí go
mbáitear barr an sféir ar éigean.
(a) Ríomh, i dtéarmaí , toirt an uisce a doirteadh sa
sorcóir.
(b) Ríomh airde an uisce sa sorcóir nuair a thógtar an
sféar amach.
8 cm
284

1. Traipéisiam
Achar traipéisiam 1 2
(a b) h
I bhfoirm focal: Leath de shuim fhaid na sleasa
h
comhthreomhara iolraithe faoin airde ingearach.
2. Ciorcail teascóga stuanna
Achar ciorcail r 2
Imlíne ciorcail 2r
Fad stua 2r ____
360 .
Achar teascóige r 2 ____
360 .
O
A
a
b
stua
teascóg
B
3. Priosma
Is cruth 3-T é priosma a mbíonn an trasghearradh mar
a chéile ann i gcónaí, is cuma cá ngearrtar é.
Toirt priosma
achar an trasghearrtha fad
4. Sorcóir
Toirt r 2 h
trasghearradh
Achar iomlán an dromchla ar an sorcóir soladach
2r 2 2rh
Achar an dromchla chuair 2rh
fad
r
h
5. Sféar
Toirt sféir 4 3 r3
Achar an dromchla 4r 2
r
6. An cón
Toirt cóin 1 3 r2 h
Achar an dromchla chuair rl
Achar iomlán an dromchla ar an
gcón soladach rl r 2
7. An Riail Thraipéasóideach
h
r
Achar h [an chéad airde an airde dheiridh 2(na hairdí atá fanta)]
2
285

10
Patrúin agus Seichimh
patrún seicheamh téarma modh difríochta nú téarma
comhéifeacht seicheamh comhbhreise comhbhreis sraith chomhbhreise
S n , an tsuim go n téarma seicheamh cearnach
Mír 10.1 Patrúin san uimhreas
Tá an cumas patrúin nó seichimh a fheiceáil an-tábhachtach sa mhatamaitic.
Feicimid patrúin uimhreacha ar nós 1, 3, 5, 7, … nó 5, 10, 15, 20, … go rialta.
Feicimid patrúin i ndearthaí ar nós tíliú agus mósáicí.
Seo patrún fáis cearnóg a rinneadh as cipíní.
patrún 1
4
patrún 2
10
patrún 3
18
patrún 4
28
Léiríonn an uimhir dhearg faoi gach patrún an líon cipíní a úsáideadh sa chruth sin.
Cruthaíonn na huimhreacha 4, 10, 18, 28, … a ghineann na patrúin seo seicheamh atá
beagáinín níos casta ná na seichimh 1, 3, 5, 7, … nó 5, 10, 15, 20, … .
Seichimh uimhreacha
Tacar ordaithe uimhreacha é seicheamh uimhreacha, a bhfuil riail ann chun gach uimhir sa
seicheamh a aimsiú. D'fhéadfadh nach mbeadh ag teastáil ach suimiú nó iolrú simplí chun
an riail a thugann ó uimhir go huimhir thú a aimsiú, ach de ghnáth bíonn sé níos casta ná
sin. I seichimh níos deacra, caithfear iad a imscrúdú go cúramach chun an patrún a aimsiú.
Téarma a thugtar ar gach uimhir i seicheamh.
Scríobhtar an chéad téarma mar T 1 ; is ionann T 4 agus an 4ú téarma.
286

Breathnaigh ar na seichimh seo agus ar a rialacha.
4, 8, 16, 32, … ag dúbailt an téarma roimhe gach uair … 64, 128, …
4, 7, 10, 13, … ag suimiú 3 leis an téarma roimhe gach uair … 16, 19, …
36, 32, 28, 24, … ag dealú 4 ón téarma roimhe gach uair … 16, 20, …
Tá na seichimh sin sách simplí nuair atá an nasc ó théarma amháin go dtí an chéad téarma
eile aimsithe agat.
Modh difríochta
I gcás roinnt seicheamh nach bhfuil chomh soiléir céanna láithreach, caithfear breathnú ar
an difríocht idir théarmaí leantacha chun an patrún a oibriú amach.
Déan machnamh ar an seicheamh: 3 6
Difríocht idir théarmaí:
Tá seicheamh dá gcuid féin ag na difríochtaí anseo.
Tá sé i bhfad níos éasca an patrún a oibriú amach sa seicheamh seo.
Is é 11 an chéad difríocht eile.
Anois faighimid an chéad téarma eile den chéad seicheamh trí 11 a shuimiú le 27.
Is ionann an chéad téarma eile agus 27 11, i.e., 38.
3
5
11
7
18
9
27
Cleachtadh 10.1
1. Breathnaigh ar na seichimh uimhreacha seo a leanas. Scríobh síos na chéad trí
théarma eile i ngach cás agus mínigh an chaoi a bhfaightear an seicheamh.
(i) 2, 4, 6, 8, …
(ii) 1, 3, 5, 7, …
(iii) 1, 4, 7, 10, …
(iv) 1, 2, 4, 8, …
(v) 3, 9, 27, …
(vi) 16, 8, 4, …
(vii) 20, 18, 16, …
(viii) 2, 6, 18, …
2. Trí mhachnamh a dhéanamh ar na difríochtaí sna seichimh seo a leanas, scríobh síos
an chéad dá théarma eile i ngach cás:
(i) 2, 4, 7, 11, …
(ii) 1, 2, 5, 10, …
(iii) 2, 6, 12, 20, …
(iv) 2, 3, 6, 11, 18, …
(v) 1, 4, 10, 19, …
(vi) 2, 7, 14, 23, …
3. Breathnaigh go cúramach ar gach seicheamh uimhreacha thíos.
Faigh an chéad dá théarma eile sa seicheamh agus déan iarracht an patrún a mhíniú.
(i) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
(ii) 3, 4, 7, 11, 18, 29, …
(iii) 1, 8, 27, 64, … (iv) 1, 1_ 3 , 1_ 9 , 1 __
27 , …
287

4. Scrúdaigh na patrúin uimhreacha seo:
Scríobh síos an chéad líne eile i ngach patrún gan áireamhán a úsáid.
Anois úsáid áireamhán chun a sheiceáil go bhfuil tú ceart.
(i) 6 9 54 (ii) 9 1 9 (iii) 7 7 49
66 9 594 9 12 108 67 67 4489
666 9 5994 9 123 1107 667 667 444889
9 1234 11106 6667 6667 44448889
Mír 10.2 An nú téarma de sheicheamh
Nuair atá seicheamh uimhreacha á úsáid, amanna bíonn orainn an 50ú nó an 100ú téarma,
mar shampla, a bheith ar eolas againn gan gach ceann den 50 nó 100 téarma a scríobh.
Chun é seo a dhéanamh caithfimid an riail a ghineann an seicheamh a fháil.
An nú téarma nó T n a thugtar ar an riail seo de ghnáth.
Má tá T n 2n 3, beidh T 1 2(1) 3 5
T 2 2(2) 3 7
T 3 2(3) 3 9
…………………
Uaidh seo, is féidir linn a fheiceáil go ngineann T n 2n 3 an seicheamh 5, 7, 9, ...
Leis an riail sin, T n 2n 3, is féidir linn téarma ar bith sa seicheamh a aimsiú.
Sampla 1
Is é an nú téarma de sheicheamh 4n 3.
Scríobh síos na chéad chúig théarma den seicheamh.
T n 4n 3
T 1 4(1) 3 1
T 2 4(2) 3 5
T 3 4(3) 3 9
T 4 4(4) 3 13
T 5 4(5) 3 17
Is iad na chéad 5 théarma: 1, 5, 9, 13, 17.
An nú téarma de sheicheamh a fháil
Cuimhnigh ar an seicheamh 2, 5, 8, 11, ...
Tá an difríocht chéanna idir aon téarma agus an chéad cheann eile anseo.
Is é 3 an difríocht sin.
Beidh an nú téarma de sheicheamh cothrom le 3n uimhir.
Ginfidh 3n an seicheamh 3, 6, 9, 12.
288

Cuir an seicheamh nua i gcomparáid leis an seicheamh bunaidh go bhfeicfidh tú cén uimhir a
chaithfidh tú a shuimiú le gach téarma nó a dhealú ó gach téarma chun an patrún bunaidh a fháil.
1
2, 5, 8, 11 Anseo dealaítear 1 ó gach téarma
3, 6, 9, 12 chun an téarma bunaidh a fháil.
Mar sin is é an nú téarma 3n 1;
T n 3n 1
Sa seicheamh 6, 10, 14, 18, … is é 4 an difríocht.
Beidh an nú téarma cothrom le T n 4n uimhir.
Gineann 4n an seicheamh 4, 8, 12, …
Ach comparáid a dhéanamh idir an seicheamh bunaidh agus an seicheamh nua faightear:
2
6, 10, 14, 18, … Anseo suimítear 2 le gach téarma chun an
4, 8, 12, 16, … téarma comhfhreagrach den seicheamh bunaidh a fháil.
Is é T n 4n 2 an nú téarma.
Sampla 2
Faigh an nú téarma den seicheamh 3, 7, 11, 15, … .
Sa seicheamh 3, 7, 11, 15, …, is é 4 an difríocht idir na téarmaí.
Mar sin is é an chéad chuid den nú téarma 4n.
Ghinfeadh sé seo an seicheamh 4, 8, 12, 16, …
Cuirimid na seichimh i gcomparáid le chéile: 3, 7, 11, 15
4, 8, 12, 16
Anseo dealaítear 1 ó gach téarma chun an seicheamh bunaidh a fháil.
T n 4n 1
1
Sampla 3
Faigh an nú téarma agus an 20ú téarma den seicheamh 4, 7, 10, 13, 16, …
Sa seicheamh 4, 7, 10, 13, …, is é 3 an difríocht idir na téarmaí.
T n 3n ± uimhir
Gineann 3n an seicheamh 3, 6, 9, 12, …
Á gcur i gcomparáid: 1
4, 7, 10, 13, …
3, 6, 9, 12, …
Anseo suimítear 1 le gach téarma den dara seicheamh chun an chéad seicheamh
a fháil. T n 3n 1
T 20 3(20) 1 … … cuir 20 in ionad n
T 20 61
289

Cleachtadh 10.2
1. Úsáid gach ceann de na rialacha seo a leanas chun na chéad trí théarma den
seicheamh a scríobh:
(i) n 4 do n 1, 2, 3 (ii) 2n 1 do n 1, 2, 3
(iii) 4n 3 do n 1, 2, 3 (iv) 3n 2 do n 1, 2, 3.
2. I ngach ceann de na seichimh seo a leanas, tugtar an nú téarma, T n .
Scríobh síos na chéad cheithre théarma de gach seicheamh:
(i) T n 3n (ii) T n 2n 3 (iii) T n 3n 2
3. Má tá T n 3n 4, faigh T 1 , T 3 agus T 10 .
4. Scríobh síos na chéad trí théarma de na seichimh seo a leanas, áit a dtugtar an nú téarma.
(i) T n n 2 (ii) T n n 2 3 (iii) T n 2n 2 1
5. Má tá T n 2n 2 1, oibrigh amach
(i) T 1 (ii) T 2 (iii) T 5 (iv) T 10 .
6. Má tá T n 2n 6, taispeáin go bhfuil T 1 T 5 0.
7. Faigh an chéad dá théarma eile agus an nú téarma de na seichimh seo a leanas:
(i) 3, 5, 7, 9, 11, …
(ii) 4, 7, 10, 13, …
(iii) 2, 6, 10, 14, 18, …
(iv) 5, 9, 13, 17, …
8. Faigh an nú téarma agus an 20ú téarma de na seichimh seo a leanas:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 6, 8, 10, 12, …
(iii) 4, 9, 14, 19, …
(iv) 2, 7, 12, 17, …
9. I gcás an tseichimh 6, 11, 16, 21, …
faigh (i) T n (ii) T 20 (iii) T 100
10. T n 3n 4 a thugann an nú téarma de sheicheamh.
Cén téarma den seicheamh é 23?
[Nod: Bíodh 3n 4 23.]
Mír 10.3 Seichimh ó chruthanna
Déantar na dearthaí seo trí chnaipí a eagrú i gcearnóga.
Dearadh 1
Dearadh 2
Dearadh 3
Dearadh 4
Dearadh 5
290

Taispeántar líon na gcnaipí i
ngach dearadh sa tábla seo.
Dearadh 1 2 3 4 5
Líon cnaipí 1 4 9 16 25
Uimhreacha cearnacha a thugtar ar na huimhreacha sa seicheamh 1, 4, 9, 16, 25 … .
Ón seicheamh seo, is féidir a fheiceáil go dteastaíonn 6 2 i.e. 36 cnaipe do dhearadh 6, agus
go dteastaíonn n 2 cnaipe do dhearadh n.
Sampla 1
Déantar na dearthaí seo trí chnaipí a eagrú i gcruthanna L.
Dearadh 1
Dearadh 2
Dearadh 3
Dearadh 4
Dearadh 5
(i) Cóipeáil agus críochnaigh
Dearadh 1 2 3 4 5
an tábla seo do na dearthaí
Líon cnaipí 1
sin.
(ii) Cé mhéad cnaipe atá sa 6ú dearadh?
(iii) Cé mhéad cnaipe a theastaíonn chun an 15ú dearadh a dhéanamh?
Déan cur síos ar an gcaoi ar tháinig tú ar do fhreagra.
(iv) Cén dearadh a úsáideann 99 cnaipe?
(v) An féidir ceann de na dearthaí seo a dhéanamh le 40 cnaipe glan?
Mínigh do fhreagra.
(i) Seo an tábla:
Dearadh 1 2 3 4 5
Líon cnaipí 1 3 5 7 9
(ii) Beidh 9 2, i.e. 11 chnaipe sa 6ú dearadh.
(iii) Chun líon na gcnaipí sa 15ú dearadh a fháil, caithfimid an nú téarma a fháil.
1, 3, 5, 7, 9, … . Is é 2 an difríocht anseo.
Mar sin beidh an nú téarma cothrom le 2n ± uimhir.
Gineann 2n 2, 4, 6, 8, … mar sin caithfimid 1 a dhealú ó gach téarma sa
seicheamh seo chun an chéad seicheamh a fháil.
T n 2n 1
Léirítear an 15ú dearadh le T 15 .
T n 2n 1 ⇒ T 15 2(15) 1 29
Mar sin teastaíonn 29 cnaipe don 15ú dearadh.
291

(iv) Chun a fháil amach cén dearadh a úsáideann 99 cnaipe, bíodh T n 99.
T n 99 ⇒ 2 n 1 99
⇒ 2n 100
⇒ n 50
Is é dearadh 50 a úsáideann 99 cnaipe.
(v) Bíodh T n 40
2n 1 40
2n 41
n 20 1_ 2
Ó tharla nach slánuimhir é n, ní úsáideann aon dearadh 40 cnaipe glan.
Cleachtadh 10.3
1. Tógtar patrún triantán le cipíní.
1
2
(i) Tarraing an 5ú tacar triantán sa phatrún seo.
(ii) Scríobh síos seicheamh na n-uimhreacha a ghineann na cipíní sna chéad sé
phatrún.
(iii) Faigh slonn in n don líon cipíní san nú tacar triantán.
(iv) Cé mhéad cipín a theastaíonn don 50ú tacar triantán?
2. Seo seicheamh patrún
3
4
6 mhaide 11 mhaide 16 mhaide
(i) Tarraing an 4ú patrún sa seicheamh seo.
(ii) Scríobh síos seicheamh na n-uimhreacha a ghineann na maidí sna chéad sé
phatrún.
(iii) Taispeáin go dtugann T n 5n 1 an líon maidí san nú patrún.
(iv) Cé mhéad cipín a theastaíonn don 20ú patrún?
(v) Cén patrún a úsáideann 51 maide?
3. Críochnaigh an tábla luachanna don
seicheamh seo de phatrúin cipíní.
Líon cearnóg 1 2 3 4 5
Líon cipíní 4 7
292

(i) Cé mhéad cipín a theastaíonn don 6ú patrún?
(ii) Faigh slonn in n don nú patrún.
(iii) Úsáid an slonn a fuair tú chun an líon cipíní a theastaíonn don 50ú patrún a
fháil.
4. Tógtar patrún cearnóg le cipíní mar a léirítear.
1 2 3
(i) Tarraing an 4ú patrún.
(ii) Faigh slonn in n don líon cearnóg san nú patrún.
(iii) Cé mhéad cearnóg atá sa 30ú patrún?
(iv) Cén patrún a úsáideann 77 cearnóg glan?
5. Breathnaigh ar na cruthanna seo
a rinneadh as cipíní.
(i) Cóipeáil agus críochnaigh an tábla thíos:
5 chipín 9 gcipín
Cruth 1 2 3 4 5
Líon cipíní 5 9 … … …
(ii) Cé mhéad cipín atá i gCruth 7?
(iii) Faigh slonn don líon cipíní i gCruth n.
(iv) Cén cruth a úsáideann 101 cipín glan?
6. (i) Faigh an 8ú téarma den seicheamh ina bhfuil an nú téarma cothrom le 4n 1.
(ii) Faigh an nú téarma den seicheamh ina bhfuil na chéad cheithre théarma cothrom le
2 8 14 20
7. Úsáideann na patrúin thíos tíleanna dubha.
black tiles.
(i) Cé mhéad tíl dhubh a
bheidh i bpatrún 5?
(ii) Cé mhéad tíl dhubh a
bheidh i bpatrún 10? Patrún 1 Patrún 2 Patrún 3 Patrún 4
(iii) Faigh slonn don líon tíleanna dubha i bpatrún n.
(iv) Cé mhéad tíl a bheidh i bpatrún 100?
(v) Cén patrún a úsáidfidh 101 tíl glan?
293

8. Bhí boird in ionad comhdhála a bhféadfadh seisear suí acu.
Nuair a cuireadh boird le chéile, d'fhéadfadh daoine suí chun boird mar a thaispeántar thíos.
1 2 3
(i) Cé mhéad duine a d'fhéadfadh suí ag 4 bhord?
(ii) Cé mhéad duine a d'fhéadfadh suí ag n bord a cuireadh le chéile mar seo?
(iii) Bhí 90 duine ag comhdháil a bhí ag iarraidh na boird a úsáid sa bhealach seo.
Cé mhéad bord a theastódh uathu?
9. Cuirtear gnáthpheinteagáin a bhfuil sleasa atá 1 cm ar fad acu le chéile chun an
patrún a thaispeántar a dhéanamh.
1 2 3 4
(i) Scríobh síos imlíne gach ceann de na chéad 4 chruth.
(Ná háirigh línte inmheánacha.)
(ii) Céard é imlíne an 5ú agus an 6ú cruth?
(iii) Faigh slonn d'imlíne an nú cruth.
(iv) Faigh fad imlíne an 50ú cruth.
(v) Cén cruth ag a bhfuil imlíne atá 92 cm ar fad?
Mír 10.4 Seichimh chomhbhreise
Déan machnamh ar na seichimh seo: (i) 2, 4, 6, 8, 10, …
(ii) 3, 7, 11, 15, 19, …
I gcás (i) faightear gach téarma ach 2 a shuimiú leis an téarma roimhe.
I gcás (ii) faightear gach téarma ach 4 a shuimiú leis an téarma roimhe.
Samplaí iad seo de sheichimh chomhbhreise.
Seicheamh comhbhreise
Seicheamh comhbhreise a thugtar ar sheicheamh inar
féidir téarma ar bith i ndiaidh an chéad téarma a fháil
ach uimhir thairiseach a shuimiú leis an téarma roimhe.
Le a a chuirtear an chéad téarma in iúl.
An chomhbhreis a thugtar ar an uimhir thairiseach agus is leis an litir d a chuirtear in iúl í.
294

Seo roinnt samplaí de sheichimh chomhbhreise:
An chéad téarma (a) An chomhbhreis (d)
(i) 5, 8,11, … 5 3
(ii) 6, 3, 0, … 6 3
(iii) 4, 0, 4, … 4 4
Tá an chomhbhreis d téarma ar bith an téarma roimhe.
I gcás an tseichimh 12, 7, 2, . . .
d 7 12 5.
Ó tharla go bhfuil d diúltach, tá an seicheamh ag laghdú.
An nú téarma de sheicheamh comhbhreise a fháil
Más é a an chéad téarma i seicheamh comhbhreise agus d an chomhbhreis, féadtar an
seicheamh a scríobh mar seo a leanas:
a, a d, a 2d, a 3d, … a (n 1)d
T 1 T 2 T 3 T 4 … T n
Is é seo an nú téarma de
sheicheamh comhbhreise:
T n a (n 1)d
Sampla 1
I gcás an tseichimh chomhbhreise 3, 8, 13, …, faigh
(i) a (ii) d (iii) T n (iv) T 20
(i) a, an chéad téarma 3
(ii) d, an chomhbhreis téarma ar bith an téarma roimhe 8 3 5
(iii) T n a (n 1)d (iv) T n 5n 2
3 (n 1)5 T 20 5(20) 2
3 5n 5 98
5n 2
Sampla 2
(i) Faigh an nú téarma den seicheamh comhbhreise 7, 10, 13, 16, …
(ii) Cén téarma den seicheamh é 97?
(iii) Taispeáin nach téarma den seicheamh é 168.
295

(i) 7, 10, 13, 16, … a 7 agus d 3
T n a (n 1)d
7 (n 1)3
7 3n 3
T n 3n 4
(ii) Bíodh T n 97 ⇒ 3n 4 97
3n 97 4 93
n 31
Is é 97 an 31ú téarma.
(iii) Bíodh T n 168
3n 4 168 ⇒ 3n 168 4
3n 164
n 164 ____
3 54 2_ 3
Ó tharla nach slánuimhir é n, ní téarma den seicheamh é 168.
Cleachtadh 10.4
1. Faigh a agus d do gach ceann de na seichimh chomhbhreise seo a leanas:
(i) 2, 5, 8, … (ii) 7, 12, 17, … (iii) 0, 3, 6, 9, …
(iv) 2, 1, 4, … (v) 60, 55, 50, … (vi) 6, 1, 4, …
2. Scríobh na chéad trí théarma eile de na seichimh chomhbhreise seo a leanas:
(i) 2, 6, 10, … (ii) 8, 4, 0, … (iii) 6, 3, 0, …
3. I gcás an tseichimh 2, 6, 10, 14, … scríobh
(i) a, an chéad téarma
(ii) d, an chomhbhreis
(iii) T n agus uaidh sin luach T 20
4. Faigh T n , an nú téarma de gach ceann de na seichimh seo a leanas:
(i) 1, 5, 9, 13, … (ii) 6, 8, 10, 12, … (iii) 5, 0, 5, 10, …
5. Más ionann T n de sheicheamh agus 3n 4, scríobh síos luach
(i) T 1 (ii) T 2 (iii) T 14 (iv) d, an chomhbhreis.
6. Faigh T n den seicheamh comhbhreise 12, 15, 18, …
Uaidh sin scríobh síos luach (i) T 10 (ii) T 40 .
7. Tá T n 5n 1 i seicheamh comhbhreise.
Faigh T 1 , T 2 , agus T 3 .
Uaidh sin scríobh síos luach a agus luach d.
296

8. Sa seicheamh 4, 7, 10, …, scríobh síos luach a agus luach d.
Faigh slonn do T n agus uaidh sin scríobh síos T 20 .
9. Mar seo a chuirtear síos ar an nú téarma de sheicheamh comhbhreise: T n 4n 1.
Scríobh síos na chéad trí théarma den seicheamh sin.
Uaidh sin faigh luach a agus luach d.
10. Faigh slonn do T n den seicheamh comhbhreise
2, 6, 10, …
Cén luach de n a fhágann go bhfuil T n 46?
11. Faigh T n den seicheamh comhbhreise 1, 3, 5, … .
Cén luach de n a fhágann go bhfuil T n 87?
12. Déantar na dearthaí seo
trí chnaipí a eagrú ina
dtriantáin.
(i) Tarraing an 5ú
triantán.
Triantán 1 Triantán 2 Triantán 3 Triantán 4
(ii) Cé mhéad cnaipe atá i dtriantán 6?
(iii) Scríobh síos an seicheamh uimhreacha a thagann ó na chéad sé thriantán.
Mínigh an fáth nach seicheamh comhbhreise é sin.
13. Críochnaigh an tábla luachanna don
seicheamh seo de phatrúin cipíní.
Líon triantán 1 2 3 4 5
Líon cipíní 3
(i) Mínigh an fáth gur seicheamh comhbhreise an seicheamh a ghineann líon na
gcipíní.
(ii) Scríobh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh.
(iii) Cé mhéad cipín a theastaíonn don 30ú téarma den seicheamh?
(iv) Cén téarma den phatrún a úsáideann 81 cipín?
14. Faigh T n den seicheamh comhbhreise 8, 5, 2, … .
Cén luach de n a fhágann go bhfuil T n -34?
15. Más ionann T n den seicheamh comhbhreise 4, 7, 10, 13, … agus 127, faigh luach n.
16. Cén téarma den seicheamh comhbhreise 6, 11, 16, … é 186?
17. Cén téarma den seicheamh comhbhreise 8, 6, 4, … é 38?
18. Sa seicheamh 15, 20, 25, 30, …, tá T n 215. Faigh n.
297

19. Seo patrún a rinneadh as maidí.
Patrún 1 Patrún 2 Patrún 3
(i) Cé mhéad maide atá sa 5ú patrún?
(ii) Faigh, i dtéarmaí n, an líon maidí a theastaíonn don nú patrún.
(iii) Cé mhéad maide a theastaíonn don 20ú patrún?
(iv) Cén patrún a úsáideann 122 maide?
20. Is ionann T n de sheicheamh agus T n n 2 4.
Faigh T 1 , T 2 , agus T 3 , agus uaidh sin abair an seicheamh comhbhreise é.
Mír 10.5 Luach a agus luach d a fháil
Má thugtar dhá théarma de sheicheamh comhbhreise dúinn, is féidir linn cothromóidí
comhuaineacha a úsáid chun luach a agus luach d a fháil. Ansin is féidir aon téarma eile
den seicheamh a fháil.
Sampla 1
Is ionann T 4 de sheicheamh comhbhreise agus 11 agus tá T 9 21.
Faigh luach a agus luach d agus uaidh sin faigh T 50 .
T n a (n 1)d
T 4 11 ⇒ a 3d 11 … 1
T 9 21 ⇒ a 8d 21 … 2
Ag dealú: 5d 10
⇒ d 2
Nuair a chuirtear 2 in ionad d in 1 faightear T 50 a 49d
a 3(2) 11 5 49(2) 5 98
⇒ a 6 11 ⇒ a 5 103
a 5 agus d 2
Sampla 2
Más trí théarma leantacha de sheicheamh comhbhreise iad x 1, 2x 2, agus
2x 1, faigh luach x.
Uaidh sin scríobh síos T n agus T 100 den seicheamh.
298

Má tá x 1, 2x 2, agus 2x 1 i seicheamh comhbhreise, tá
T 2 T 1 T 3 T 2
⇒ (2x 2) (x 1) (2x 1) (2x 2)
⇒ 2x 2 x 1 2x 1 2x 2
⇒ x 3 3
⇒ x 6
Is iad na chéad trí théarma: 7, 10, 13.
⇒ a 7 agus d 3
T n a (n 1)d
7 (n 1)3
7 3n 3
⇒ T n 3n 4
⇒ T 100 3(100) 4 304
Cleachtadh 10.5
1. Is é 5 an chéad téarma de sheicheamh comhbhreise.
Más é 33 an cúigiú téarma, faigh d, an chomhbhreis.
Uaidh sin faigh T n agus T 20 .
2. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T 4 14 agus T 9 34.
Faigh luach a agus luach d agus uaidh sin faigh luach T 13 .
3. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T 5 21 agus T 10 41.
Faigh luach a agus luach d.
Uaidh sin faigh T n agus T 60 .
4. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá an t-ochtú téarma cothrom le 18 agus tá an
tríú téarma cothrom le 12. Faigh luach a agus luach d.
Uaidh sin faigh T 100 .
5. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T 3 4 agus T 10 17.
Faigh luach a agus luach d.
Scríobh síos T n den seicheamh agus faigh luach n sa chás go bhfuil T n 47.
6. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá an chéad téarma cothrom le 3 agus tá T 6 2T 3 .
(i) Faigh luach na comhbhreise, d.
(ii) Faigh T n , an nú téarma.
7. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T 1 T 5 0 agus T 13 20.
(i) Faigh luach a agus luach d.
(ii) Taispeáin go bhfuil an seachtú téarma dhá oiread chomh mór leis an gcúigiú téarma.
299

8. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T 4 29 agus T 15 31.
Faigh luach a agus luach d. Scríobh síos T n den seicheamh agus uaidh sin oibrigh
amach cén téarma atá cothrom le 81.
9. Cuirtear cuaillí solais in airde ar mhótarbhealach gach 100 m, mar a thaispeántar.
1 2 3
(i) Cé mhéad cuaille solais a theastaíonn do 500 m den mhótarbhealach?
(ii) Scríobh síos, mar sheicheamh comhbhreise, an líon cuaillí solais a theastaíonn
do 100 m, 200 m, 300 m, 400 m, ….
(iii) Faigh slonn in n don nú téarma den seicheamh seo.
(iv) Úsáid an slonn a fuair tú i mír (iii) thuas chun an líon cuaillí solais a theastaíonn
do 8 km den mhótarbhealach a scríobh síos.
(v) Mótarbhealach é an M51 atá á thógáil.
Tá 2402 cuaille solais ordaithe ag an gconraitheoir.
Cé chomh fada is atá an mótarbhealach seo?
10. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T 1 T 3 12 agus T 4 T 6 24.
Faigh luach a agus luach d.
11. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá an séú téarma cothrom le 20 agus tá an
deichiú téarma ceithre oiread chomh mór leis an dara téarma.
Faigh luach a agus luach d. Uaidh sin ríomh T 100 .
12. Más trí théarma leantacha i seicheamh comhbhreise iad x, 2x 3 agus 4x 5, faigh
luach x.
13. Faigh luach x i ngach ceann de na seichimh chomhbhreise seo a leanas:
(i) x 1, x 1, 3x 3
(ii) x 4, 3 x, x 10.
14. Tógann Tomás sconsaí d'fhaid dhifriúla le píosaí adhmaid.
Fad sconsa 1
Fad sconsa 2
Fad sconsa 3
(i) Tarraing sceitse d'fhad sconsa 5.
Chomhair Tomás an líon píosaí a theastaigh uaidh chun gach fad sconsa a thógáil.
Tharraing sé an tábla thíos ansin.
Fad sconsa 1 2 3 4 5 6
Líon píosaí 4 7 10
300

(ii) Críochnaigh an tábla chun an líon píosaí adhmaid a d'úsáidfeadh sé d'fhad
sconsa 4, 5 agus 6 a thaispeáint.
(iii) Scríobh síos, i dtéarmaí n, slonn don líon píosaí adhmaid a theastódh d'fhad
sconsa n.
(iv) Cé mhéad píosa adhmaid a theastaíonn d'fhad sconsa 40?
(v) Dá dteastódh 91 píosa adhmaid, cén fad sconsa é sin?
Mír 10.6 Sraitheanna comhbhreise
Nuair a shuimítear téarmaí seicheamh comhbhreise, déanann siad sraith chomhbhreise.
Mar shampla, is seicheamh comhbhreise é 1, 3, 5, 7, … .
ach is sraith chomhbhreise é 1 3 5 7 … .
Úsáidtear an nodaireacht S n chun suim an chéad n
téarma de shraith a chur in iúl.
Dá bhrí sin, tá S 1 suim téarma amháin, i.e. S 1 T 1
S 2 T 1 T 2
S 3 T 1 T 2 T 3
An comhartha idir
na téarmaí, athraíonn
sé seicheamh go sraith.
Sa bhosca ar dheis tá an fhoirmle le
haghaidh S n de shraith chomhbhreise.
Faightear suim go n téarma
sraith chomhbhreise leis an
bhfoirmle
S n n __
2
{ 2 a (n 1)d }.
Sampla 1
Faigh S n agus uaidh sin S 20 den tsraith 5 8 11 14 … .
Sa tsraith 5 8 11 14 …, tá a 5 agus d 3.
S n n __
2
{ 2 a (n 1)d }
n __
2
{2(5) (n 1)(3)} … (a 5, d 3)
__ n {10 3n 3} S 2 20 ___ 20 {60 7}
2
S n n __
2
{ 3 n 7} 10(67)
670
301

Sampla 2
Tugtar an tsraith chomhbhreise 5 7 9 … .
Má tá S n 192, faigh luach n.
S n 192
n__
2
{2a (n 1)d } 192
n__
2
{10 (n 1)2 } 192 … (a 5 agus d 2)
n__
2
{10 2n 2 } 192
n__ {2n 8 } 192
2
___ 2n 2
2 ___ 8n
2 192
n 2 4n 192 0
(n 12)(n 16) 0
n 12 … déan neamhaird den fhreagra diúltach 16
S 12 192
Nóta: S 4 T 1 T 2 T 3 T 4
S 5 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5
______________________
Ag dealú: S 5 S 4 T 5
Ná dearmad:
T n S n S n 1
Ar an gcaoi chéanna S n S n 1 T n
Sampla 3
I sraith chomhbhreise faoi leith, tá S n n 2 2n.
Faigh S 1 , S 2 agus S 3 agus uaidh sin scríobh síos T 1 , T 2 agus T 3 .
S n n 2 2n ⇒ S 1 1 2 2(1) 3 ⇒ T 1 3
S 2 2 2 2(2) 8 ⇒ T 1 T 2 8 ⇒ T 2 5
S 3 3 2 2(3) 15 ⇒ T 1 T 2 T 3 15
⇒ 3 5 T 3 15
⇒ T 3 7
is iad na chéad trí théarma 3, 5, 7.
302

Cleachtadh 10.6
1. Don tsraith chomhbhreise 2 5 8 …,
(i) faigh luach a agus luach d
(ii) faigh suim an chéad 12 théarma.
2. Faigh suim an chéad 20 téarma den tsraith
3 7 11 15 …
3. Faigh S n agus uaidh sin S 16 den tsraith chomhbhreise
1 4 7 10 …
4. Is iad na chéad cheithre théarma de shraith 7 10 13 16 …
Faigh S 8 , suim na gcéad ocht dtéarma.
5. Scríobh síos luach a agus luach d don tsraith
16 12 8 4 …
Uaidh sin faigh S 24 den tsraith.
6. I sraith chomhbhreise faoi leith, tá an nú téarma, T n 5n 2.
Faigh luach a agus luach d agus uaidh sin faigh T 16 den tsraith.
7. Taispeáin gurb ionann S n den tsraith 1 2 3 … agus n (n 1).
2
Uaidh sin faigh suim na sraithe 1 2 3 … 100.
8. Is ionann S n den tsraith 4 2 0 2 … agus 84.
(i) Scríobh síos luach a agus luach d.
(ii) Faigh luach n.
9. Seo roinnt patrún a rinneadh as cearnóga.
Patrún 1 Patrún 2 Patrún 3
Taispeántar cuid de Phatrún 4 sa léaráid ar dheis.
(i) Cóipeáil agus críochnaigh Patrún 4.
(ii) Cé mhéad cearnóg atá i bPatrún 6?
(iii) Faigh slonn don líon cearnóg i bPatrún n.
(iv) Cé mhéad cearnóg san iomlán atá sa chéad 20
patrún?
Patrún 4
………
10. I sraith chomhbhreise faoi leith, tá T 5 9 agus T 8 27.
(i) Faigh luach a agus luach d.
(ii) Faigh S 10 den tsraith.
303

11. I sraith chomhbhreise faoi leith, tá T 3 0 agus T 8 10.
Faigh luach a agus luach d agus uaidh sin faigh S n den tsraith.
Cé mhéad téarma den tsraith a chaithfear a shuimiú chun go mbeidh a suim
cothrom le 36?
12. Faigh S n den tsraith 5 8 11 14 … . Má tá S n 98, faigh luach n.
13. Dhear mac léinn dearthaí tíle ina raibh tíleanna dearga agus gorma, mar atá thíos.
304
(i) Faigh slonn in n don líon iomlán
(a) tíleanna dearga a úsáideadh san nú dearadh
(b) tíleanna gorma a úsáideadh san nú dearadh.
(ii) Faigh, i dtéarmaí n, slonn don líon iomlán tíleanna a úsáideadh san nú dearadh.
(iii) Cé mhéad tíl san iomlán a theastaíonn chun 10 ndearadh a chríochnú sa
phatrún céanna?
14. Cén téarma den tsraith 3 8 13 … é 98?
Anois faigh suim na dtéarmaí sin.
15. Mar seo a scríobhtar S n de shraith chomhbhreise áirithe: S n n 2 6n.
Faigh S 1 agus S 2 agus uaidh sin scríobh síos luach T 1 agus T 2 .
16. (i) Scríobh síos an 10ú téarma den tsraith a thosaíonn le 3, 7, 11, 15, …
(ii) Scríobh síos slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh sin.
(iii) Taispeáin nach téarma den seicheamh é 1997.
(iv) Ríomh an líon téarmaí sa seicheamh 3, 7, 11, 15, …, 399.
(v) Uaidh sin faigh suim na sraithe 3 7 11 15 … 399.
17. Is é T n 52 4n an nú téarma de shraith chomhbhreise.
(i) Faigh luach a agus luach d.
(ii) Cé acu téarma díobh nialas?
(iii) Faigh suim na dtéarmaí atá deimhneach.
18. Faightear suim an chéad n téarma de shraith chomhbhreise leis an bhfoirmle
S n 4n 2 8n.
………
(i) Úsáid S 1 agus S 2 chun an chéad téarma agus an chomhbhreis a fháil.
(ii) Cé mhéad téarma den tsraith a chaithfear a shuimiú chun go mbeidh a suim
cothrom le 252?

19. I sraith chomhbhreise faoi leith, tá T 5 21 agus T 10 11.
(i) Faigh an chéad téarma agus an chomhbhreis.
(ii) Faigh suim an chéad 20 téarma.
(iii) Cén luach de n a fhágann go bhfuil S n 0?
20. Taispeántar na chéad trí phatrún de sheicheamh tíleanna thíos.
Leanann an seicheamh ar aghaidh ar an mbealach céanna.
Patrún 1
Patrún 2
Patrún 3
I ngach patrún, déanann na tíleanna cearnóg de thíleanna gorma agus glasa.
(i) Sa tábla thíos, scríobh síos líon na dtíleanna gorma a theastaíonn do gach
ceann de na chéad chúig phatrún.
Patrún 1 2 3 4 5
Líon tíleanna gorma 21 33
(ii) Faigh, i dtéarmaí n, slonn don líon iomlán tíleanna gorma a theastaíonn don nú
patrún.
(iii) Úsáid an fhoirmle do T n , atá i mír (ii) thuas, chun an líon tíleanna gorma a
theastaíonn don 10ú patrún a fháil.
(iv) Faigh, i dtéarmaí n, foirmle don líon iomlán tíleanna gorma sa chéad n patrún.
(v) Cé mhéad patrún a d'fhéadfaí a dhéanamh le 399 tíl ghorm?
Mír 10.7 Seichimh chearnacha
Seicheamh d'uimhreacha cearnacha é 1, 4, 9, 16, 25, … .
Ó tharla go bhfuil T 1 1 2 , tá T 2 2 2 , T 3 3 2 , … T n n 2 .
Seichimh chearnacha a thugtar ar sheichimh arb é n 2 an chumhacht is airde san nú téarma
acu.
Scrúdaímis na chéad seacht dtéarma den seicheamh T n n 2 .
1 4 9 16 25 36 49
3 5 7 9 11 13 an chéad difríocht
2 2 2 2 2 an dara difríocht
Tabhair faoi deara go bhfuil na dara difríochtaí ar fad mar an gcéanna, i.e., 2.
305

Anois breathnaímis ar an seicheamh ina bhfuil an nú téarma 2n 2 - n.
Is iad na chéad chúig théarma den seicheamh seo:
1 6 15 28 45
5 9 13 17 an chéad difríocht
4 4 4 an dara difríocht
Tá na dara difríochtaí ar fad mar an gcéanna anseo, i.e., 4.
Tabhair faoi deara i ngach ceann de na seichimh chearnacha thuas go bhfuil comhéifeacht
n 2 san nú téarma cothrom le leath an dara difríocht.
Ná dearmad
I seicheamh cearnach, tá comhéifeacht n 2 san
nú téarma cothrom le leath an dara difríocht.
Scríobh síos na chéad chúig théarma den seicheamh ina bhfuil T n 2n 2 3.
Scríobh síos na chéad difríochtaí agus na dara difríochtaí idir théarmaí leantacha.
Imscrúdaigh an bhfuil comhéifeacht n 2 san nú téarma cothrom le leath an dara
difríocht.
An nú téarma de sheicheamh cearnach a fháil
Beidh an nú téarma de sheicheamh cearnach san fhoirm seo i gcónaí:
T n an 2 bn c
Anois úsáidimid tábla difríochtaí chun luach a, b agus c a fháil mar a léirítear sa sampla seo
a leanas.
Sampla 1
Faigh an nú téarma den seicheamh 3, 10, 21, 36
Taispeántar na téarmaí agus
na chéad agus na dara
difríochtaí ar dheis.
Téarmaí 3 10 21 36
Na chéad difríochtaí 7 11 15
Na dara difríochtaí 4 4
Beidh T n san fhoirm T n an 2 bn c
a 2 … leath luach an dara difríocht
T n 2n 2 bn c
306

Anois sloinnimid T 1 agus T 2 i dtéarmaí b agus c.
T n 2n 2 bn c ⇒ T 1 2 b c
Ach T 1 3 ⇒ 2 b c 3 ⇒ b c 1 … 1
T 2 8 2b c
Ach T 2 10 ⇒ 8 2b c 10 ⇒ 2b c 2 … 2
Anois réitímid na cothromóidí comhuaineacha 1 agus 2
b c 1 … 1 b c 1
2b c 2 … 2 ⇒ 1 c 1
b 1 ⇒ b 1 ⇒ c 0
T n 2n 2 n … a 2, b 1, c 0
Cleachtadh 10.7
1. Faigh an chéad dá théarma eile de na seichimh chearnacha seo trí na chéad agus
dara difríochtaí a fháil:
(i) 3, 4, 6, 9, 13, … (ii) 3, 6, 11, 18, 27, … (iii) 2, 7, 14, 23, 34, …
2. Cé acu de na seichimh seo atá cearnach?
(i) 6, 8, 12, 18, 26, 36, …
(iii) 3, 4, 7, 12, 19, 28, …
(ii) 6, 8, 10, 12, 14, 16, …
(iv) 0, 3, 8, 15, 24, …
3. Faigh na chéad 5 théarma de na seichimh a bhfuil na nú téarmaí seo acu:
(i) T n n 2 4 (ii) T n n 2 1 (iii) T n 2n 2 n 1
4. Faigh an 10ú téarma den seicheamh ina bhfuil T n n 2 2n 4.
5. Scríobh an seicheamh 4, 7, 12, 19, 28, … mar seo a leanas
4 7 12 19 28
– – – – an chéad difríocht
– – – an dara difríocht
Má tá T n an 2 bn c, úsáid an dara difríocht chun luach a a scríobh síos.
6. Faigh slonn don nú téarma de na seichimh chearnacha seo a leanas:
(i) 5, 8, 13, 20, 29, …
(ii) 2, 8, 18, 32, 50, …
7. Faigh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh
7, 10, 15, 22, 31, …
307

8. Taispeáin gurb ionann an nú téarma den seicheamh cearnach 8, 15, 26, 41, 60, …
agus 2n 2 n 5.
9. Úsáid tábla difríochtaí chun an nú téarma den seicheamh seo a oibriú amach:
3, 8, 15, 24, 35, …
10. Is ionann gach sraith de na ciúbanna sna dearthaí seo agus cearnóg.
(i) Cé mhéad ciúb a bheidh
i Samhail 4?
(ii) Úsáid an patrún chun líon
na gciúbanna i Samhail 5
a scríobh síos.
(iii) Taispeáin go dtugann an slonn n __
6
( n 1)(2n 1)
an líon cruinn ciúbanna i Samhail 3 agus i Samhail 4.
Samhail 1 Samhail 2 Samhail 3
(iv) Úsáid an slonn don nú téarma chun líon na gciúbanna i Samhail 10 a fháil.
11. Seo roinnt rugaí a cuireadh i mullach a chéile i ngrúpaí i siopa cairpéad.
Grúpa 1 Grúpa 2 Grúpa 3 Grúpa 4
(i) Cóipeáil agus críochnaigh an
tábla ar dheis.
(ii) Tarraing tábla difríochtaí don
seicheamh don líon rugaí.
Grúpa 1 2 3 4 5 …
Líon rugaí 1 3 …
(iii) Úsáid na difríochtaí chun slonn a fháil le haghaidh an nú téarma den seicheamh
sin.
(iv) Úsáid an nú téarma chun líon na rugaí i nGrúpa 20 a fháil.
308

Cuir triail ort féin 10
1. (i) Is iad na chéad trí théarma i seicheamh comhbhreise 5, 8, 11, …
(a) Scríobh síos an chéad téarma agus an chomhbhreis.
(b) Faigh slonn in n don nú téarma den seicheamh.
(c) Cén téarma den seicheamh é 62?
(ii) I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T 3 11 agus T 7 27.
(a) Faigh luach an chéad téarma agus na comhbhreise.
(b) Faigh suim na gcéad 10 dtéarma den tsraith.
2. (i) Is iad an chéad dá théarma i seicheamh comhbhreise 5, 0, . … .
(a) Faigh d, an chomhbhreis.
(b) Faigh T n agus uaidh sin T 10 den seicheamh.
(ii) Breathnaigh ar na cruthanna seo a rinneadh as maidí.
Cruth 1 Cruth 2 Cruth 3
(a) Cóipeáil agus críochnaigh an
tábla seo.
Cruth 1 2 3 4 5
Líon maidí 8
(b) Faigh slonn in n do líon na maidí san nú cruth.
(c) Cé mhéad maide atá i gcruth 12?
(d) Faigh suim na maidí ar fad a úsáideadh sa chéad 20 cruth.
3. (i) I gcás an tseichimh chomhbhreise 8, . 6, 4, … :
(a) Scríobh síos luach a, an chéad téarma agus d, an chomhbhreis.
(b) Faigh slonn in n don nú téarma den seicheamh.
(c) Cén téarma den seicheamh é 20?
(ii) Scríobh síos an fhoirmle do S n , suim go n téarma sraith chomhbhreise.
Is é 3 comhbhreis na sraithe agus tá S 8 132.
Faigh na chéad 3 théarma den tsraith agus uaidh sin faigh luach T 24 .
4. (i) Mar seo a chuirtear síos ar an nú téarma de sheicheamh comhbhreise: T n 12 4n.
(a) Faigh an chéad téarma agus an chomhbhreis.
(b) Cén téarma den seicheamh é 64?
(ii) Taispeántar patrún cruthanna thíos.
Cruth 1 Cruth 2 Cruth 3
309

(a) Cóipeáil agus críochnaigh
Cruth 1 2 3 4 5
an tábla seo do na cruthanna
Líon cipíní 8
cruthanna thuas.
(b) Faigh slonn in n don nú téarma den seicheamh a ghintear as líon na gcipíní
a theastaíonn do phatrúin leantacha.
(c) Cé mhéad cipín a bheadh i gCruth 20?
(d) Faigh suim na gcipíní ar fad a úsáideadh sa chéad 12 chruth.
5. (i) Cé acu ceann de na seichimh seo a leanas ar seicheamh comhbhreise é?
(a) 6, 4, 0, … (b) 3, 1, 3, … (c) 5, 3, 1, 1, …
Anois faigh T n den seicheamh comhbhreise sin.
(ii) Scríobh síos na chéad difríochtaí agus an dara difríocht idir théarmaí an
tseichimh chearnaigh
8, 15, 26, 41, 60, …
Uaidh sin, faigh slonn in n don nú téarma den seicheamh.
6. (i) I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá an chéad téarma cothrom le 9 agus tá an
chomhbhreis cothrom le 4. Faigh T n , an nú téarma, agus uaidh sin faigh luach T 10 .
(ii) I sraith chomhbhreise faoi leith, tá T 10 19 agus S 10 55.
(a) Scríobh síos an fhoirmle do T n agus S n de shraith chomhbhreise.
(b) Faigh an chéad téarma agus an chomhbhreis don seicheamh thuas.
7. (i) Is iad na chéad trí théarma i sraith chomhbhreise 2 8 14 …
(a) Faigh d, an chomhbhreis.
(b) Faigh T n , an nú téarma den tsraith.
(c) Faigh luach n, ionas go bhfuil T n 200.
(d) Faigh suim an chéad 20 téarma.
(ii) Seo na chéad 3 léaráid de
phatrún cipíní.
(a) Cé mhéad cipín a bheidh
i Léaráid 4?
(b) Agus úsáid á baint as an
seicheamh a rinneadh,
Léaráid 1 Léaráid 2 Léaráid 3
scríobh síos líon na gcipíní i Léaráid 5.
(c) Mínigh cén fáth ar seicheamh cearnach é seo.
(d) Faigh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh.
(e) Úsáid an nú téarma chun líon na gcipíní i Léaráid 10 a fháil.
310

1. Seicheamh a ghiniúint má thugtar T n
Má tá an fhoirmle le haghaidh T n , an nú téarma de sheicheamh, ar eolas
agat, is féidir leat téarma ar bith den seicheamh a fháil ach luach a chur
in ionad n. Tugann n 1, 2, 3, … na chéad trí théarma.
2. An nú téarma a fháil
I gcás an tseichimh 5, 8, 11, … faightear an nú téarma mar seo a leanas
(i) Is é 3 an chomhbhreis idir na téarmaí, mar sin beidh an nú téarma
cothrom le 3n ± uimhir.
(ii) Chun an uimhir sin a fháil, faighimid an uimhir a shuimítear le 3 chun
an chéad téarma, 5, a fháil. Is é 2 an uimhir sin.
T n 3n 2.
3. Seichimh chomhbhreise
I gcás an tseichimh chomhbhreise a, a d, a 2d, a 3d, …
T n a (n 1)d
S n n __
2
{ 2 a (n 1)d }
I seicheamh comhbhreise, tá an chomhbhreis d cothrom le
d téarma ar bith an téarma roimhe
4. T n a fháil ó shuimeanna leantacha
S 6 S 5 T 6
An riail ghinearálta: T n S n S n 1 .
5. Seichimh chearnacha
Beidh téarma in n 2 san nú téarma de sheicheamh cearnach.
Tá comhéifeacht n 2 cothrom le leath luach an dara difríocht.
311

11
Céimseata 1
comhthreomharán airde ingearach comhshleasach teoirim
coinbhéarta aicsím iomchuí comhchosúil comhuilleach
sleasa comhfhreagracha tadhlaí pointe tadhaill corda trasnaí
Mír 11.1 Súil siar ar uillinneacha agus ar thriantáin
Cuirfidh na léaráidí thíos cuid de na torthaí atá feicthe againn sa Chéimseata go dtí
seo i gcuimhne dúinn.
Ainmneacha agus cineálacha uillinneacha
Dronuillinn a thugtar ar
an gceathrú cuid de chasadh.
Más dronuillinneacha atá idir dhá líne,
tá siad ingearach le chéile.
Tá 360° i
gcasadh iomlán.
Tá 180° in uillinn
ar líne dhíreach.
Géaruillinn a thugtar
ar uillinn atá
idir 0° agus 90°.
Maoluillinn a thugtar
ar uillinn atá
idir 90° agus 180°.
Uillinn athfhillteach
a thugtar ar uillinn
atá idir 180° agus 360°.
312

Airíonna uillinneacha
c b a a b
c
b
a
d
a
b
b
a
a b c 180° a b 180° a b c d 360° Má thrasnaíonn dhá líne
180° suim na Uillinneacha 360° suim na dhíreacha a chéile ag
pointe, cruthaíonn siad
n-uillinneacha a forlíontacha n-uillinneacha a
dhá phéire rinnuillinneacha
urchomhair-
thagann le chéile a thugtar ar phéire thagann le chéile
ag pointe ar uillinneacha arb ag pointe.
eacha. Ar cóimhéid a
líne dhíreach. é 180° a suim.
bhíonn rinnuillinneacha
neacha urchomhaireacha.
Tá na hairíonna seo a leanas ag uillinneacha a chruthaítear nuair a thrasnaíonn líne
dhíreach péire línte comhthreomhara:
b
a
a
b
x
y
Ar cóimhéid a bhíonn uillinneacha
comhfhreagracha.
Mar sin a b.
Féadfaidh tú iad a aimsiú ach
cruth F a chuardach.
Ar cóimhéid a bhíonn
uillinneacha ailtéarnacha.
Mar sin a b.
180° suim na n-uillinneacha
inmheánacha x agus y.
x y 180°.
Triantáin agus a n-airíonna
60º
b
a
60º 60º
Triantán comhshleasach:
na 3 shlios ar comhfhad
na 3 uillinn inmheánacha
ar cóimhéid (60°)
Triantán comhchosach:
2 shlios ar comhfhad an
dá bhonnuillinn ar
cóimhéid
c
Triantán
dronuilleach:
90° atá in uillinn
amháin
a 2 b 2 c 2
Triantán corrshleasach
a thugtar ar thriantán
nach bhfuil aon cheann de
na hairíonna sin aige.
313

A
B
∠A ∠B ∠C 180°
∠C ∠A ∠B
B
C
A
C
180° suim na n-uillinneacha i dtriantán. Bíonn uillinn sheachtrach triantáin
cothrom le suim an dá uillinn
inmheánacha urchomhaireacha.
Triantáin iomchuí
Is iomchuí dá chéile dhá thriantán má chomhlíontar aon cheann de na coinníollacha seo:
Tá trí phéire sleasa ar comhfhad (SSS).
Tá dhá phéire sleasa ar comhfhad agus tá na
huillinneacha eatarthu ar cóimhéid (SUS).
Tá dhá phéire uillinneacha ar cóimhéid
agus tá na sleasa eatarthu ar comhfhad
(USU).
Tá dronuillinn sa dá thriantán, tá an dá
thaobhagán ar comhfhad, agus tá slios
amháin ar thriantán amháin ar comhfhad
leis an slios comhfhreagrach ar an triantán
eile (DTS).
314

Cleachtadh 11.1
1. Scríobh síos méid na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu sna léaráidí
seo a leanas, áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara.
32º
b
a
d
c
e
f
46º
120º
70º
g
h
j
40º
l
m
80º
2. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi sna triantáin seo a leanas:
58º
c°
b°
a
72º
42º
128º
71º
140º
d
42º
66º
32º
e 44º f
3. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi sna fíoracha seo a leanas:
a
c
50º
70º
d
b 105º
60º e
315

4. Faigh tomhas na n-uillinneacha x agus y
sa léaráid seo má tá an líne comhthreomhar
leis an líne m.
65º
x
y
m
5. Faigh luach a, b, c agus d sna triantáin seo:
124º
55º
43º
c
35º
b
d
30º
a
6. Sa triantán seo, tá BCDEF.
Faigh |∠DAE|.
A
D
E
125º
F
B
80º
C
7. Sa léaráid seo, tá AC comhthreomhar le BE.
Má tá BCA 80° agus CAB 55°, faigh
(i) x
(ii) y.
A
55º
C
80º
y° x°
B
D
E
8. Sa léaráid seo, tá AB AC agus
BAD 104°.
B
(i)
(ii)
Faigh CAB.
Faigh ABC.
104º
C
A
D
316

9. Faigh tomhas na huillinne a bhfuil litir uirthi sna léaráidí seo a leanas,
áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara:
a
b
c
d
43º
85º
65º
100º
61º
128º
10. Faigh luach x agus luach y sna triantáin seo:
(i) (ii) (iii)
y
3x
x 32º
4x
2x y
50º x y
11. I gcás gach ceann de na triantáin seo, úsáid Teoirim Phíotagarás chun fad an tsleasa
a bhfuil litir air a fháil:
6
x
13
y
z
17
8
12
15
12. Faigh AB sa triantán dronuilleach seo.
A
Anois, faigh achar an triantáin ABC.
7.5
B
4.5
C
13. San fhíor seo, is dronuillinneacha iad na huillinneacha ACB agus ABD.
Má tá AC 3, CB 4 agus BD 12, faigh
(i) |AB|
(ii) |AD|.
D
A
3
12
C
4
B
317

14. Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air sna triantáin dhronuilleacha seo a leanas:
(i) (ii) (iii)
3
7
x
5
x
3
3
x
8
4 2
15. Faigh luach x agus luach y sa léaráid seo.
[Cuimhnigh: ( √ __
5 ) 2 5. ]
13
x
29
y
2
16. Mínigh an fáth arb iomchuí dá chéile an dá thriantán seo.
7 cm
5 cm
5 cm 7 cm
17. Is comhthreomharán é ABCD.
Mínigh an fáth ar triantáin iomchuí iad ABD agus BCD.
A
B
D
C
18. Sa léaráid seo, tá AC AD agus BD CE.
A
B
C
D
E
Cruthaigh gurb iomchuí dá chéile na triantáin ABC agus ADE.
19. San fhíor seo, tá ACB CDB 90°.
Faigh fad na sleasa x agus y.
44
C
6
D
x
y
A
12
B
318

Mír 11.2 Achar triantán agus comhthreomharán
Tá dhá thriantán sna léaráidí seo atá díreach mar an gcéanna.
A
A
Achar triantáin:
an bhoinn airde
1
2
h 1
h 2
B
C
B
C
Achar 1 _
2 |BC| h 1 Achar 1 _
2 |AB| h 2
Sa triantán seo, is é [BC] an bonn
agus is é h 1 an airde ingearach.
Sa triantán seo, is é [AB] an bonn
agus is é h 2 an airde ingearach.
Ó tharla go bhfuil an dá thriantán díreach mar an gcéanna, tá a n-achair cothrom lena chéile.
Fuarthas na hachair seo trí bhoinn dhifriúla
agus airdí ingearacha difriúla a úsáid.
Léiríonn sé seo teoirim thábhachtach faoi
achar triantáin, mar a thugtar ar dheis.
Teoirim
I gcás triantáin ar bith, ní bhraitheann bonn
faoin airde ar an mbonn a roghnaítear.
Sampla 1
Sa triantán seo, BC 16 cm,
AB 12 cm agus AD 10 cm.
Faigh (i) achar ABC
(ii) |EC|.
12 cm
E
A
10 cm
(i) Achar ABC 1 2
an bhoinn airde ingearach
1_ 2
16 cm 10 cm … is é [BC] an bonn
80 cm 2
(ii) Is ionann an t-achar freisin agus 1_ |AB|
2
|EC|.
1_ |AB|
2
|EC| 80 cm2
1_
2
(12) |EC| 80
6|EC| 80
|EC| __ 80
6 __ 40
3 13 1_ 3
|EC| 13 1_ 3 cm
B
16 cm
D
C
319

Achar comhthreomharáin
Taispeántar an comhthreomharán ABCD san fhíor ar dheis.
I gcás comhthreomharáin, bíonn na sleasa urchomhaireacha
comhthreomhar agus ar comhfhad.
Roinneann an trasnán DB an comhthreomharán ina dhá
thriantán, ABD agus BCD.
Is iomchuí dá chéile na triantáin seo mar go bhfuil na
trí shlios ar ABD ar comhfhad leis na trí shlios ar BCD.
Ó tharla gurb iomchuí dá chéile na triantáin,
tá an t-achar céanna acu.
Taispeánann sé seo go ndéroinneann an trasnán [BD]
achar an chomhthreomharáin ABCD.
Sa chomhthreomharán seo,
achar DCB 1 2
bonn airde
_ 1 |DC| h
2
_ 1 b h 2
Achar ABCD dhá oiread achar DCB.
2 [ 1 _
b h ]
2
b h
D
A
Teoirim
Déroinneann trasnán
comhthreomharáin an t-achar.
D
A
Teoirim
Is ionann achar comhthreomharáin agus
an bonn iolraithe faoin airde ingearach.
b
C
C
B
B
h
Sampla 2
h 112
9 12 4_ 9 cm A
(i) Faigh achar an chomhthreomharáin seo ABCD.
(ii) Má tá BC 9 cm, faigh an
airde ingearach, h, ó A go [BC].
D
(i) Achar ABCD bonn airde ingearach
14 8
112 cm 2
(ii) Is é BC h achar ABCD freisin
9 cm h
9h cm 2
Ach tá achar ABCD 112 cm 2 … ó (i) thuas
9h 112
8 cm
14 cm
h
C
9 cm
B
320

Cleachtadh 11.2
1. Scríobh síos achar gach ceann de na triantáin seo:
(i) (ii) 12 cm
(iii)
6 cm
6 cm
8 cm
10 cm
9 cm
2. Sa triantán seo, tá AB 9 cm, BC 12 cm agus
is é 8 cm an airde ingearach ó C go [AB].
Faigh (i) achar an triantáin ABC
(ii) an fad ingearach ó A go [BC].
9 cm
A
8 cm
B
12 cm
C
3. Faigh luach x i ngach ceann de na triantáin seo:
(i) (ii) (iii)
x
7
x
8
x
9
Achar 16 aonad 2 Achar 35 aonad 2 Achar 27 aonad 2
4. Faigh luach h i ngach ceann de na triantáin seo:
(i) (ii) (iii)
6 cm
h
10 cm
h
12 cm
14 cm
8 cm
16 cm
5. Faigh achar gach ceann de na comhthreomharáin seo:
(i) (ii) (iii)
24 cm
h
18 cm
20 cm
8 cm
9 cm 10 cm
11 cm
13 cm
12 cm
14 cm
15 cm
321

6. Faigh achar an chomhthreomharáin seo ABCD.
Anois, faigh fad an tsleasa [BC].
A
14 cm
14 cm
18 cm
B
D
22 cm
C
7. Is comhthreomharáin iad ABCD agus DCEF.
Úsáid an léaráid chun míniú a thabhairt ar an
bhfáth a bhfuil an dá chomhthreomharán ar
comhachar.
D
A F B E
C
h
8. 40 cm 2 achar an chomhthreomharáin ABCD.
Má tá DB 15 cm, faigh AE, i gcás go bhfuil AE DB.
A
B
D
E
C
9. Is comhthreomharán é ABCD agus tá 1 go 5 ar na
huillinneacha.
(i) Ainmnigh trí phéire d’uillinneacha atá ar cóimhéid.
(ii) Mínigh an fáth a bhfuil |∠1| |∠2| 180°.
A
B
2 3
5 1
4
C
D
10. Is comhthreomharáin iad ABCD agus ADBE.
Má tá achar an triantáin DCB 15 cm 2 , faigh
(i) achar an chomhthreomharáin ABCD
(ii) achar an chomhthreomharáin ADBE
(iii) achar na fíorach ADCE
(iv) an airde ingearach ó A go [DC],
má tá DC 7.5 cm.
D
A
C
B
E
P
11. Is comhthreomharán é ABCD. Is é M lárphointe [AB].
(i) Mínigh an fáth a bhfuil DAM MBP.
(ii) Anois, taispeáin gurb iomchuí dá chéile na
triantáin AMD agus MBP.
(iii) Anois, taispeáin gurb é B lárphointe [CP].
A
M
B
D
C
322

12. Sa chomhthreomharán seo, DE AC agus BF AC.
80 cm 2 achar ABCD.
D
F
C
h
(i) Má tá AC 16 cm, faigh DE.
(ii) Mínigh an fáth a bhfuil DE BF.
(iii) Má tá AB 10 cm,
faigh fad na hairde ingearaí, h.
A
E
B
13. Is comhthreomharán é ABCD agus is pointe ar [AB] é E.
A
E
B
(i) Mínigh an fáth a bhfuil achar DCE
cothrom le leath achar ABCD.
(ii) Más é 60 cm 2 achar ABCD agus 20 cm 2 achar ADE,
faigh achar ECB.
D
C
h
Mír 11.3 Triantáin agus cóimheasa
Uillinneacha agus sleasa
Tá an triantán ABC ar dheis tarraingthe de réir scála.
Nóta (i) os comhair an tsleasa is faide atá an uillinn is mó
(ii)
os comhair an tsleasa is giorra atá an uillinn is lú.
Beidh na hairíonna seo fíor i gcás gach triantáin agus
luaitear iad sa teoirim thíos.
B
A
4 cm 100º 2.5 cm
30º
50º
5 cm
C
Teoirim
Bíonn an uillinn os comhair an tsleasa is mó de dhá shlios níos mó ná an uillinn os comhair
an tsleasa is lú.
Sa triantán ABC, tugtar tomhais na dtrí uillinn dúinn.
A
B
63º
85º
32º
C
Ciallaíonn coinbhéarta
‘a mhalairt’ nó ‘droim ar ais’.
Luaitear i gcoinbhéarta na teoirime thuas gurb é [BC] an slios is faide mar gur os comhair na
huillinne is mó atá sé agus gurb é [AB] an slios is giorra mar gur os comhair na huillinne is lú
atá sé.
Coinbhéarta na teoirime:
Bíonn an slios os comhair na huillinne is mó de dhá uillinn níos faide ná an slios os comhair
na huillinne is lú.
323

Éagothromóid an triantáin
Is é an fad is giorra idir dhá phointe ná an líne a cheanglaíonn na pointí sin.
B
A
Dá bhrí sin
|BA| |AC| |BC|
Ar an gcaoi chéanna |AB| |BC| |AC|
C
agus |BC| |CA| |AB|.
Teoirim
Is mó dhá shlios le
chéile ar thriantán
ná an tríú slios.
Trasnaithe
Sa léaráid ar dheis, is línte comhthreomhara iad , m agus n.
Trasnaithe a thugtar ar na línte p agus q.
Don trasnaí p, AB BC.
Sa chás seo, deirimid go ngearrann na línte
comhthreomhara mírlínte cothroma ar an trasnaí.
Is trasnaí eile í an líne q.
Is féidir a léiriú go bhfuil na mírlínte [DE] agus [EF] ar comhfhad freisin.
Tá an t-airí seo fíor do gach trasnaí eile freisin.
C
B
A
p
q
D
E
F
m
n
Teoirim
Má ghearrann trí líne chomhthreomhara mírlínte cothroma ar thrasnaí éigin,
gearrfaidh siad mírlínte cothroma ar thrasnaí ar bith eile.
Sampla 1
Léirítear trí líne chomhthreomhara agus dhá thrasnaí,
x agus y, sa léaráid.
x
A
y
D
l
|AB| |BC|.
Má tá |DE| 6 cm, faigh |EF|.
B
C
E
F
m
n
Ó tharla go ngearrann na línte comhthreomhara mírlínte cothroma ar an trasnaí x,
gearrfaidh siad mírlínte cothroma ar an trasnaí y freisin.
|DE| |EF|
|EF| 6 cm
324

Líne atá comhthreomhar le slios triantáin
Léirítear sa léaráid ar dheis an slios [AB] den
triantán agus é roinnte ina thrí chuid chothroma.
Má tharraingítear línte trí D agus E comhthreomhar
le BC, roinnfidh na pointí X agus an slios [AC]
ina thrí chuid chothroma freisin.
X
D
Léiríonn sé seo go bhfuil ____ |AB|
|DE| ____ |AC|
|DF| ____ |BC|
|EF| 6__
9 2__
3 . E
Y
Sa triantán seo, roinneann X an slios [AB]
B
C
sa chóimheas s : t.
A
Má tá [XY] comhthreomhar le [BC],
roinnfidh Y [AC] sa chóimheas s : t
s
s
freisin, mar a léirítear.
X
Y
t
t
Léiríonn an léaráid seo toradh
céimseatúil an-tábhachtach agus
B
C
an-úsáideach. Tugtar an toradh sin ar dheis.
Sampla 2
Sa triantán seo, léiríonn na saigheada go bhfuil na línte comhthreomhar.
Faigh fad an tsleasa x.
3__
4 __ 2 3 2
x
x 8_ 3 2 2_ 3
3x 8 …iolraigh an dá thaobh faoi 4x
4 x
Triantáin chomhchosúla
Ar cóimhéid atá na huillinneacha sna triantáin ABC agus DEF thíos.
Tabhair faoi deara gurb é an cruth céanna
atá ar an dá thriantán ach go bhfuil ceann
A
amháin níos mó ná an ceann eile.
70º
Deirimid gur triantáin chomhchosúla 6 5
9
nó chomhuilleacha iad na triantáin seo.
Deirimid gur sleasa comhfhreagracha
50º 60º
B
C
iad [AB] agus [DE], toisc go bhfuil siad
araon os comhair na huillinne 60°.
E
Tabhair faoi deara go bhfuil DE 1 1 2 AB agus DF 1 1 2 AC.
Ar an gcaoi chéanna tá EF 1 1 2 BC.
A
Teoirim
Líne a tharraingítear
comhthreomhar le
slios amháin ar
thriantán, roinneann
sí an dá shlios eile sa
chóimheas céanna.
D
70º
7.5
50º 60º
F
325

An toradh tábhachtach seo i dtaca le
triantáin chomhchosúla, tugtar sa
teoirim ar dheis é.
Teoirim
Má tá dhá thriantán ABC agus DEF comhchosúil,
tá a gcuid sleasa i gcomhréir le
chéile, in ord
____ |AB|
|DE| ____ |BC|
|EF| ____ |AC|
|DF|
Sampla 3
(i) Mínigh an fáth a bhfuil an dá thriantán seo comhchosúil.
(ii) Faigh fad an tsleasa x.
5
x
4
(i) Tá dhá uillinn i dtriantán amháin cothrom le dhá uillinn sa triantán eile.
Dá bhrí sin tá an tríú huillinn i dtriantán amháin cothrom leis an tríú huillinn
sa triantán eile.
(ii)
6
x__
5 __ 6 4
Bíonn dhá thriantán comhchosúil má
4 x 30
bhíonn dhá uillinn i dtriantán amháin
x __ 30
4 7 2_ 4 7 1_ cothrom le dhá uillinn sa triantán eile.
2
Cleachtadh 11.3
1. (i) Cé acu slios is faide sa triantán ABC?
(ii) Cé acu slios is giorra?
(iii) Mínigh an fáth a bhfuil BA AC > BC.
A
85º
B
30º
7 cm
65º
C
2. Sa triantán XYZ, XY 7 cm agus YZ 10 cm.
I gcás gach ceann díobh seo a leanas, abair
(i) an bhféadfadh sé a bheith fíor, nó
(ii) an bhfuil sé bréagach?
(a) |XZ| 2 cm
(b) |XZ| 6 cm
(c) |XZ| 18 cm.
Y
7 cm
X
10 cm
Z
326

3. Sa triantán seo, BC 5 cm, AB 8 cm agus [AD] 10 cm.
A
5 cm 8 cm
B
10 cm
C
(i) Ainmnigh an uillinn is mó sa triantán seo. Tabhair cúis le do fhreagra.
(ii) Ainmnigh an uillinn is lú.
4. Is línte comhthreomhara iad a, b agus c.
Is trí thrasnaí iad p, q agus r a thrasnaíonn a, b agus c.
|DE| |EF|, |GH| 8 cm agus |JK| 7 cm.
Faigh (i) |HI| (ii) |GJ|.
p
D
E
F
q
G
H
I
r
J
K
a
b
c
5. Sa léaráid, is línte comhthreomhara iad , m agus n.
Déanann siad idirlínte ar na línte j agus k.
Tugtar faid na n-idirlínte sin sa léaráid.
Tá AB comhthreomhar le j.
(i) Scríobh síos fad [AB].
(ii) Scríobh síos fad [AC].
j
5
5
k
6
B
A
C
m
n
6. Sna triantáin seo a leanas, léiríonn na saigheada go bhfuil na línte comhthreomhar.
Faigh fad na mírlíne x i ngach triantán.
(i)
6
5
(ii)
6
x
(iii) 4
3
3
x
4 6
x 5
7. I gcás gach ceann de na triantáin seo a leanas, faigh fad na mírlíne a bhfuil a uirthi,
áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara:
(i) 4
(ii)
5
(iii)
a
12
14
12
8
5
a
14
3
a
327

8. Sa léaráid seo, DE BC.
Má tá |AD| ____
|DB| 2 __
1
agus |AE| 14 cm,
Faigh |EC|.
A
D
E
B
C
9. Sa léaráid seo, PQ||YZ agus |XQ| ____
|QZ| 5 __
3
.
Má tá PY 4 cm, faigh PX.
X
P
Q
Y
Z
10.
D
A
8 cm y cm
3.5 cm
4 cm
B C E
6 cm
x cm
F
(i) Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin ABC agus DEF comhchosúil.
(ii) Cén slios den triantán DEF a fhreagraíonn don slios [AC]?
(iii) Faigh luach x agus luach y.
11. Tá an dá thriantán seo comhchosúil.
3
y
(i) Cóipeáil agus críochnaigh an ráiteas seo:
‘Tá gach slios ar an triantán is mó … oiread
chomh fada leis an slios comhfhreagrach
ar an triantán is lú’.
(ii) Faigh luach x agus luach y.
4
5
x
7 1 2
12. Na huillinneacha atá marcáilte sna triantáin ar dheis, tá siad ar cóimhéid.
(i) Mínigh an fáth a bhfuil an dá thriantán comhchosúil.
(ii) Faigh luach x agus luach y.
6
7
8 x
y
12
328

13. Tá na triantáin ABC agus XYZ comhchosúil.
(i) Cén slios ar an triantán
XYZ a fhreagraíonn do [AB]?
Mínigh do fhreagra.
(ii) Faigh luach x agus luach y.
B
x
A
15
y
Y
C
10
6
Z
X
9
14. Faigh luach x agus luach y ar na
triantáin chomhchosúla seo.
3
y
6 x
8 6
15. San fhíor seo, BCDE.
Tarraing na triantáin ABC agus ADE mar léaráidí ar leith.
Marcáil fad na sleasa atá ar eolas ar an dá thriantán.
4
A
(i) Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin ABC agus ADE
comhchosúil.
(ii) Anois faigh DE.
D
3
B
8
C
E
16. Is ceathairshleasán é ABCD. ABDC agus DAB DBC.
D
9 cm
C
A
4 cm
B
(i) Ainmnigh dhá uillinn eile san fhíor seo atá ar cóimhéid.
(ii) Anois, mínigh an fáth a bhfuil na triantáin ABD agus DCB comhchosúil.
(iii) Cén slios ar DCB a fhreagraíonn do [DB] ar ABD?
(iv) Cén slios ar ABD a fhreagraíonn do [BC] ar BCD?
17. Sa triantán seo, DEBC.
|AD| 8,
|DB| 4 agus
|AC| 9.
Faigh AE.
[Leid: Bíodh AE x EC 9 x.]
B
4
D
8
A
9
E
C
329

18. Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin ABC agus ADE comhchosúil.
(i) Líon isteach na píosaí atá ar iarraidh sna cóimheasa seo:
A
____ |AD|
|AB|
________ |AE| |DE|
________.
(ii) Úsáid na cóimheasa sin chun luach x agus luach y a fháil.
3
D
5
6
4
E
y
B
x
C
Mír 11.4 Teoirimí i dtaobh an chiorcail
Sa mhír seo, beimid ag plé le céimseata an chiorcail agus féachfaimid ar roinnt torthaí
tábhachtacha matamaitice ar a dtugtar teoirimí i dtaobh an chiorcail.
D’fhoghlaim tú cheana féin gur dronuillinn í an uillinn i leathchiorcal.
C
90°
Sa chiorcal seo, ACB 90°.
A
O
B
Tadhlaithe agus cordaí
Is tadhlaí le ciorcal í líne dhíreach nach mbuaileann leis an gciorcal ach ag aon phointe amháin.
Sa léaráid seo, is tadhlaí leis an gciorcal é .
An pointe tadhaill a thugtar ar T.
A
Is cordaí den chiorcal
iad [AB] agus [CD].
O
B
C
D
T
Sa léaráid seo, tá [OM] ingearach leis an gcorda [AB].
|AM| |MB|
O
A
M
B
Teoirim
An t-ingear ó lárphointe
ciorcail go dtí corda,
déroinneann sé an corda.
330

Sampla 1
Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail agus tá [OM]
ingearach le [AB].
Má tá OM 5 agus OB 13, faigh AB.
Tá an triantán OBM dronuilleach.
|OB| 2 |OM| 2 |MB| 2
13 2 5 2 |MB| 2
169 25 |MB| 2
|MB| 2 25 169
|MB| 2 169 25
144
|MB| 12
A
5
O
M
13
B
Ó tharla gurb é M lárphointe [AB], AM MB.
|AB| |AM| |MB|
12 12
|AB| 24
Léirítear sa léaráid an tadhlaí PT leis an gciorcal k a bhfuil lárphointe O aige.
k
O
Teoirim (1)
Bíonn tadhlaí ingearach leis an nga
a théann chuig an bpointe tadhaill.
T
Is é T an pointe tadhaill agus is ga é [OT].
P
OT ⊥ TP
Teoirim (2)
Má tá an pointe P ar an gciorcal k, agus má tá an líne ingearach
leis an nga a théann chuig P, tá ina thadhlaí le k.
O
P
k
Sampla 2
Sa léaráid seo, is tadhlaí leis an gciorcal é PT
agus is ga é [OT].
P
T
Má tá TOQ 120°,
faigh méid na n-uillinneacha x agus y.
y
x
120°
O
Q
331

Tá an triantán OTQ comhchosach toisc go bhfuil OT OQ ga.
|∠OTQ| |∠OQT| x
2x 180° 120°
60
x 30°
Ó tharla go bhfuil OT ⊥ PT ⇒ |∠OTP| 90°
x y 90°
30 y 90° … x 30°
y 90° 30°
y 60°
Atoradh
Mura dtrasnaíonn dhá chiorcal a chéile ach in aon phointe
amháin, tá an dá lárphointe agus an pointe tadhaill comhlíneach.
Is ionann atoradh agus
ráiteas a ghabhann le
teoirim a cruthaíodh,
agus a leanann uaithi
go soiléir.
Cleachtadh 11.4
1. Faigh tomhas na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu sna ciorcail seo a leanas a bhfuil
O mar lárphointe acu:
a
O
O
c
O
b
2. Sa chiorcal seo, is é O an lárphointe.
Mínigh an fáth a bhfuil OAC comhchosach.
Anois, scríobh síos
(i) |∠OCA|
(ii) |∠ACB|
(iii) |∠OBC|
A
43°
C
O
B
332

3. Faigh tomhas na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu sna léaráidí seo a leanas,
áit a bhfuil O mar lárphointe na gciorcal.
a
d
f
42°
O
b
c
80°
O
O
70°
e
4. Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail,
AB 6 agus OB 5.
(i) Ainmnigh an triantán dronuilleach.
(ii) OB 5.
Ainmnigh dhá mhírlíne eile
atá 5 aonad ar fad.
(iii) Faigh AC.
(iv) Faigh BC.
(v) Faigh achar ABC.
Achar 1 2
A
6
an bhoinn airde ingearach
O
B
5
C
5. Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail agus
OM AB.
Má tá OM 5 cm agus AB 12 cm, faigh
(i) |AM|
(ii) fad gha an chiorcail.
A
O
M
5 cm
B
6. Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail a bhfuil
ga 26 cm aige.
Tá OX ingearach le CD agus OX 10 cm.
Faigh CD.
O
C X D
7. Is tadhlaí é ST leis an gciorcal seo a bhfuil O mar lárphointe aige.
Má tá PST 40°, faigh
(i) |∠OST|
(ii) |∠OSP|
(iii) |∠OPS|
(iv) |∠SOP|
O
S
40°
P
T
333

8. Sa léaráid seo, is tadhlaí é PT leis an gciorcal a bhfuil
lárphointe O aige, agus BPE 55°.
Faigh
(i) |∠EPO|
(ii) |∠BPO|
(iii) |∠ABP|
(iv) |∠BAP|.
A
B
O
55°
E P T
9. San fhíor seo, is tadhlaí é BX leis an gciorcal
ar lárphointe dó O.
Má tá XOD 120°, faigh OBX.
B
X
O
120°
D
10. Sa léaráid seo, is tadhlaí é PT leis an gciorcal
a bhfuil lárphointe O aige agus fad ga 5 cm.
Má tá PQ 8 cm, faigh PT.
P
8 cm
Q
T
5 cm
O
11. Sa léaráid seo, is tadhlaí é PQ leis an gciorcal
ar lárphointe dó O.
Q
T
Má tá TPO 30°, faigh
(i) |∠POT|
(ii) |∠TOR|
(iii) |∠ORT|
(iv) |∠RTO|.
R 30°
O
P
12. Is tadhlaí é PT leis an gciorcal ar lárphointe dó O.
P
Má tá POT 70° agus PAO 40°,
Faigh (i) |∠OPT|
(ii) |∠OPA|.
A
40° 70°
O
T
334

13. Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail.
Is tadhlaithe leis an gciorcal iad PA agus PB.
(i) Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin
AOP agus BOP iomchuí dá chéile.
(ii) Uaidh sin, taispeáin go bhfuil PA PB.
O
A
P
Ar cóimhéid a bhíonn faid dhá
thadhlaí ó phointe go ciorcal.
B
14. Sa léaráid seo, is tadhlaithe iad PA agus PT leis an gciorcal ar lárphointe dó O.
A
O
T
40°
P
Má tá APT 40°, faigh ATO.
D
15. Sa léaráid seo, is tadhlaí leis an
gciorcal é AB agus is lárlíne é [AD].
Má tá ABD 50° agus AB AE,
Faigh (i) |∠EAB|
(ii) |∠DAE|
(iii) |∠ADE|.
O
A
E
50°
B
Mír 11.5 Cruthúnais fhoirmiúla ar theoirimí
Ar shlí fhoirmiúil nó struchtúrtha a chruthaítear
teoirimí nó freagraí ar cheisteanna céimseatan;
le freagraí seanbhunaithe a mhínítear an cur chuige.
Matamaiticeoir ón nGréig arbh ainm dó Eoiclídéas a
bhain leas den chéad uair as an modh sin le freagraí
ar cheisteanna céimseatan a chruthú.
Is iomaí teoirim a bhfuil cruthúnas ( = cruthú) uirthi
sa leabhar Stoicheia (focal Gréigise a chiallaíonn
‘uraiceacht’ nó ‘bunleabhar’), leabhar céimseatan
mórchlú le hEoiclídéas. Sa lá atá inniu ann, breis agus
2000 bliain níos déanaí, úsáidimid cur chuige
Eoiclídéis fós chun a lán fadhbanna céimseatan a réiteach.
Aicsím a thugtar ar ráiteas
a nglactar leis gan chruthúnas.
Sampla d’aicsím: 180° suim na
n-uillinneacha i líne dhíreach.
Teoirim a thugtar ar ráiteas
a gcruthaítear go bhfuil sé fíor
trí aicsímí agus argóint loighciúil
a úsáid.
Sa mhír seo, tugtar cruthúnais fhoirmiúla ar na deich dteoirim atá ar do chúrsa.
Ní iarrfar ort na cruthúnais seo a thabhairt sa scrúdú. Tugtar anseo iad chun léiriú
a thabhairt ar na céimeanna foirmiúla a leantar agus teoirim chéimseatan á cruthú.
335

Aithneoidh tú torthaí na dteoirimí seo ó na míreanna sa chaibidil seo a rinne tú cheana féin.
Na fadhbanna éagsúla céimseatan a réitigh tú, úsáideadh na torthaí a bhunaítear sna teoirimí
seo chun iad a réiteach.
Teoirim 1
An uillinn os comhair an tsleasa is faide de dhá shlios, bíonn sí
níos mó ná an uillinn os comhair an tsleasa is giorra.
A
2
D
B
1
4
3
C
Tugtha:
Le Cruthú:
Tógáil:
An triantán ABC ar a bhfuil AC > AB.
|∠ABC| |∠ACB|.
Tóg an pointe D ar [AC] ionas go bhfuil AD AB. Ceangail BD.
Ainmnigh na huillinneacha 1, 2, 3 agus 4, mar a léirítear.
Cruthúnas: |∠1| |∠2| …triantán comhchosach
|∠2| |∠3| …uillinn sheachtrach > uillinn inmheánach
⇒ |∠1| |∠3|
⇒ |∠1| |∠4| |∠3|
⇒ |∠ABC| |∠ACB|
Teoirim 2
Suim na bhfad in dhá shlios ar bith ar thriantán,
is mó í ná fad an tríú slios.
D
Tugtha:
Le Cruthú:
An triantán ABC
|BA| |AC| |BC|
A
Tógáil:
Sín BA go dtí D ionas go bhfuil
AD AC. Ceangail DC.
B
C
Cruthúnas: |∠ACD| |∠ADC| …(|AD| |AC|)
Ach |∠BCD| |∠ACD|
⇒ |∠BCD| |∠ADC|
Sa triantán BCD, BD > BC …an slios os comhair na huillinne is mó
Ach |BD| |BA| |AC|
⇒ |BA| |AC| |BC|.
336

Teoirim 3
Má dhéanann trí líne chomhthreomhara mírlínte ar comhfhad ar
thrasnaí, déanfaidh siad mírlínte ar comhfhad ar thrasnaí ar bith
eile freisin.
A
B
X
C
D
m
E
t
Y
F
k
n
Tugtha:
Le Cruthú:
Tógáil:
Cruthúnas:
Trí líne chomhthreomhara, , m agus n, a thrasnaíonn
an trasnaí t ag na pointí A, C agus E ionas go bhfuil AC CE.
Trasnaíonn trasnaí eile, k, na línte ag B, D agus F.
|BD| |DF|.
Tarraing líne trí D atá comhthreomhar le t agus a
thrasnaíonn ag X agus n ag Y.
Is comhthreomharáin iad ACDX agus CEYD.
⇒ |AC| |XD| agus |CE| |DY| …sleasa urchomhaireacha
Ach |AC| |CE|.
⇒ |XD| |DY|
Sna triantáin BDX agus YDF,
|XD| |DY|
|∠BDX| |∠YDF| …rinnuillinneacha urchomhaireacha
|∠DBX| |∠DFY| …uillinneacha ailtéarnacha
⇒ tá na triantáin BDX agus YDF iomchuí dá chéile
⇒ |BD| |DF| …sleasa comhfhreagracha
Teoirim 4
Bíodh ABC ina thriantán. Má tá líne XY comhthreomhar le BC agus
má ghearrann sí [AB] sa chóimheas s : t, gearrann sí [AC] sa
chóimheas céanna.
A
s
s
t
X
Y
t
B
C
337

Tugtha:
Le Cruthú:
Tógáil:
Cruthúnas:
An triantán ABC ina bhfuil XY comhthreomhar le BC.
____ |AX|
|XB| ____ |AY|
|YC|
Roinn [AX] ina s cuid chothrom agus [XB] ina t cuid chothrom.
Tarraing líne comhthreomhar le BC trí gach pointe den roinnt sin.
Déanann na línte comhthreomhara idirlínte ar comhfhad feadh
na líne [AC].
Roinntear [AY] ina s idirlíne chothrom agus roinntear [YC]
ina t idirlíne chothrom.
|AY| ____
|YC| s _
t
Ach |AX| ____
|XB| s _
t
⇒
____ |AX|
|XB| ____ |AY|
|YC|
Teoirim 5
Má tá dhá thriantán ABC agus DEF comhchosúil, tá a gcuid sleasa
i gcomhréir le chéile, in ord:
____ |AB|
|DE| ____ |BC|
|EF| ____ |AC|
|DF|
A
A
D
X
E
F
Y
D
E
E
F
F
B
B
C
C
Tugtha:
Le Cruthú:
Tógáil:
Na triantáin ABC agus DEF, ina bhfuil
|∠A| |∠D|, |∠B| |∠E| agus |∠C| |∠F|.
____ |AB|
|DE| ____ |BC|
|EF| ____ |AC|
|DF| .
Marcáil an pointe X ar [AB] ionas go bhfuil AX DE.
Marcáil an pointe Y ar [AC] ionas go bhfuil AY DF.
Ceangail XY.
338

Cruthúnas:
Tá na triantáin AXY agus DEF iomchuí dá chéile …(SUS)
|∠AXY| |∠DEF| E …uillinneacha comhfhreagracha
|∠AXY| |∠ABC|
XY||BC
|AB|
____
|AX| ____ |AC|
… líne atá comhthreomhar le slios amháin,
|AY|
|AB|
____
|DE| ____ |AC| roinneann sí an slios eile sa chóimheas céanna
|DF|
|AB|
Ar an gcaoi chéanna, is féidir a chruthú go bhfuil ____
|DE| ____ |BC|
|EF| .
|AB|
____
|DE| ____ |BC|
|EF| ____ |AC|
|DF| .
Teoirim 6
I gcás triantáin, ní bhraitheann bonn faoin airde ar
an mbonn a roghnaítear.
A
E
B
D
C
Tugtha:
Le Cruthú:
Cruthúnas:
An triantán ABC ina bhfuil AD BC agus BE AC.
|BC|·|AD| |AC|·|BE|.
Sna triantáin ADC agus BEC,
|∠ADC| |∠BEC| 90°
A
∠Tá ACD i bpáirt ag an
B
C
dá thriantán
⇒ |∠CAD| |∠EBC|
⇒ tá na triantáin ADC
D
C
agus BEC comhchosúil
Ó tharla go bhfuil na sleasa comhfhreagracha sa chóimheas céanna,
⇒
⇒
____ |AD|
|BE| ____ |AC|
|BC|
|BC|·|AD| |AC|·|BE|.
E
339

Teoirim 7
Tugtha:
Le Cruthú:
Cruthúnas:
Déanann trasnán déroinnt ar achar comhthreomharáin.
An comhthreomharán ABCD
agus an trasnán [AC].
Go ndéroinneann an trasnán
[AC] achar ABCD.
Sna triantáin ABC agus ADC,
|AB| |DC| …sleasa urchomhaireacha
|BC| |AD| …sleasa urchomhaireacha
|AC| |AC|
tá na triantáin ABC agus ADC iomchuí dá chéile …(SSS)
achar ABC achar ADC
déroinneann an trasnán [AC] achar ABCD.
A
D
B
C
Teoirim 8
Is ionann achar comhthreomharáin agus an bonn iolraithe faoin airde.
A
B
h
Tugtha:
D
An comhthreomharán ABCD a bhfuil airde ingearach h ann.
Le Cruthú: Achar ABCD DC h.
Cruthúnas:
Achar BCD 1 2
an bhoinn airde ingearach
1_ |DC| 2 h
Achar ABD achar BCD
⇒ Achar ABCD 2 [ 1_ 2 |DC| h ]
Achar ABCD |DC| h
C
… déanann trasnán déroinnt ar
achar comhthreomharáin
Teoirim 9
Bíonn tadhlaí ingearach leis
an nga a théann chuig an
bpointe tadhaill.
Tugtha: Tadhlaí t leis an gciorcal ar lárphointe dó O.
Is é P pointe tadhaill an tadhlaí agus an
chiorcail agus is é [OP] an ga go dtí an
pointe tadhaill.
R
Q
O
P
t
340

Le Cruthú:
Tógáil:
Cruthúnas:
OP ⊥ t
An t-ingear leis an tadhlaí ón lárphointe O, agus an tadhlaí féin,
tagaidís le chéile ag Q. Roghnaigh pointe eile, R, ar t ionas go
bhfuil PQ QR. Ceangail OQ agus OR.
Sna triantáin OPQ agus OQR,
|OQ| |OQ| …slios i bpáirt acu
|PQ| |QR| …tugtha
|∠OQP| |∠OQR| …90° araon
tá na triantáin OPQ agus OQR iomchuí dá chéile …(DTS)
|OR| |OP| …taobhagáin araon
Mar sin is pointe eile é R ag a mbuaileann t leis an gciorcal.
Bréagnaíonn sé seo an fhíric a tugadh, gur tadhlaí é t.
Mar sin, caithfidh t a bheith ingearach le [OP], i.e. OP t.
Nóta:
Is sampla é an cruthúnas thuas de chruthúnas trí bhréagnú.
Teoirim 10
An t-ingear ó lárphointe ciorcail go dtí corda,
déroinneann sé an corda.
Tugtha:
Le Cruthú:
Ciorcal k a bhfuil lárphointe O aige agus
corda [AB]. OM ⊥ AB.
|AM| |MB|
O
k
Tógáil:
Ceangail OA agus OB.
A
M
B
Cruthúnas:
Sna triantáin AOM agus BOM,
|OA| |OB| … ga
| OM| |OM| …slios i bpáirt acu
|∠OMA| |∠OMB| …iad araon 90°
tá na triantáin AOM agus BOM iomchuí dá chéile …(DTS)
|AM| |MB|.
341

Cuir triail ort féin 11
1. Sa triantán seo, ar comhfhad atá na sleasa atá marcáilte agus CAE 124°.
(i) Cén sórt triantáin é ABC?
(ii) Ainmnigh dhá uillinn atá ar cóimhéid.
(iii) Faigh ABC.
A
E
124°
B
C
2. Is comhthreomharán é ABCD.
Má tá CAB 25° agus BDC 55°, faigh AOD.
D
55°
C
O
A
25°
B
3. Faigh achar gach ceann de na comhthreomharáin seo thíos:
(i) (ii) (iii)
9 cm
7 cm
14 cm
10.5 cm
12 cm
8 cm
4. 280 cm 2 achar an chomhthreomharáin seo.
(i) Faigh luach h.
(ii) Má tá AB 28 cm,
faigh an airde ingearach ó A go DC.
20 cm
D
A
h
C
B
5. Is comhthreomharáin iad
ABCD agus ABDE araon.
(i) Mínigh an fáth a bhfuil
ABCD agus ABDE ar comhachar.
(ii) Má tá achar ABC 24 cm 2 ,,
faigh achar na fíorach ABCE.
E
A
D
B
C
6. San fhíor seo, is tadhlaí é BC leis an gciorcal ag B agus
is é O lárphointe an chiorcail.
(i) Mínigh an fáth a bhfuil OB BC.
(ii) Ainmnigh dhá mhírlíne atá ar comhfhad.
(iii) Faigh BOA.
O
24°
B
A
C
342

7. Sa léaráid seo, is tadhlaí é PT leis an gciorcal a bhfuil
lárphointe O aige agus ga 7 cm.
(i) Céard é PTO?
Mínigh do fhreagra.
P
(ii) Scríobh síos PO.
(iii) Faigh PT.
18 cm
R
T
7 cm
O
8. Sa chiorcal seo, is é O an lárphointe, ACD 65° agus AB BC.
(i) Ainmnigh dhá dhronuillinn san fhíor.
(ii) Faigh BAD.
A
O
B
D
65°
C
9. Sa chiorcal seo, is é O an lárphointe agus tá na
huillinneacha x agus y marcáilte.
(i) Cóipeáil an fhíor seo agus marcáil isteach uillinn x eile
agus uillinn y eile.
(ii) Mínigh an fáth a bhfuil x y 90°.
x
y
O
10. Is tadhlaí é PT leis an gciorcal ag T.
Is é O lárphointe an chiorcail.
|PT| 6 cm agus |ON| |NP|.
(i) Céard é OTP?
(ii) Faigh fad gha an chiorcail.
M
O
T
N
P
11. Sa triantán seo, k.
Ríomh luach x.
5
6
l
3
k
x
12. Sa triantán seo, XYBC agus AX : XB 3 : 2.
Má tá YC 10 cm, faigh AY.
A
X
Y
B
C
343

13. Sa léaráid seo, DEBC.
(i) Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin
ADE agus ABC comhchosúil.
(ii) Faigh fad na mírlínte x agus a.
A
6 9
7
D
x
B
a
E
3
C
14. Sa chiorcal seo, is é O an lárphointe agus is tadhlaí é AD ag A.
Tá an triantán AOB comhshleasach.
(i) Ainmnigh dhá dhronuillinn san fhíor.
(ii) Faigh OAB
(iii) Faigh BAD
(iv) Faigh CAO.
C
O
A
4 cm
B
D
15. San fhíor seo, is dronuillinneacha iad CAB agus ABD araon.
|AC| 6, |AB| 8 agus |AD| 17.
(i) Faigh DB.
(ii) Faigh achar ACBD.
D
17 8
A
B
6
C
16. Is comhthreomharáin iad ABCD, AEBD agus AEFC.
Achar ABE 12 aonad chearnacha.
E
A
B
F
D
C
(i) Mínigh an fáth arb é 12 aonad chearnacha achar ABD freisin.
(ii) Mínigh an fáth a bhfuil na comhthreomharáin ABCD agus AEBD ar comhachar.
(iii) Faigh achar na fíorach ADCE.
(iv) Faigh achar ABC.
(v) Faigh achar ACE.
(vi) Faigh achar na fíorach ADCFE.
344

1. Suim na bhfad in dhá shlios ar bith ar thriantán, is mó í ná fad an tríú slios.
2. An uillinn os comhair an tsleasa is faide de dhá shlios, bíonn sí níos mó
ná an uillinn os comhair an tsleasa is giorra.
3. I gcás triantáin ar bith, ní bhraitheann bonn faoin airde ar an mbonn
a roghnaítear.
4. Déroinneann trasnán comhthreomharáin an t-achar.
5. Is ionann achar comhthreomharáin agus an bonn
iolraithe faoin airde ingearach.
6. Má ghearrann trí líne chomhthreomhara mírlínte
cothroma ar thrasnaí éigin, gearrfaidh siad mírlínte
cothroma ar thrasnaí ar bith eile.
a
Bonn
7. Líne a tharraingítear comhthreomhar le slios amháin ar thriantán,
roinneann sí an dá shlios eile sa chóimheas céanna.
8.
D
x
z
x__ __ z
y r
A
y
r
B C E F
Má tá dhá thriantán ABC agus DEF comhchosúil, tá a gcuid sleasa i gcomhréir
le chéile in ord:
____ |AB|
|DE| ____ |BC|
|EF| ____ |AC|
|DF| .
9. Déroinneann an t-ingear ó lárphointe
ciorcail an corda.
O
10. Bíonn tadhlaí ingearach leis
an nga a théann chuig an
bpointe tadhaill.
O
t
345

12
Céimseata Chomhordanáideach
An Ciorcal
lárphointe ga trastomhas cothromóid taobh istigh de
taobh amuigh de ball de trasnú tadhlaí cothrománach ingearach
Mír 12.1 Cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0)
Taispeánann an léaráid thíos ciorcal ar lárphointe
dó (0, 0) agus ar ga dó r.
Is ionann p(x, y) agus pointe ar bith ar an gciorcal.
Ón triantán dronuilleach, feicimid go bhfuil
x 2 y 2 r 2
Is éard a deirimid gurb ionann x 2 y 2 r 2 agus cothromóid
an chiorcail.
Gheobhaimid cothromóid an chiorcail ach an méid seo a bheith
ar eolas againn:
(i) lárphointe an chiorcail
(ii) fad an gha.
Ciorcal ar lárphointe dó (0, 0) agus ar ga dó r, is é seo a chothromóid: x 2 y 2 r 2
y
(0, 0)
r
x
P(x, y)
y
x
Sampla 1
Faigh cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0) agus ar ga dó
(i) 3 (ii) 1 1_ 4 .
(i) Is é seo an chothromóid: x 2 y 2 r 2
⇒ x 2 y 2 9 … (r 3)
(ii) Sa chás seo, tá r 1 1 4 5 4
⇒ x 2 y 2 ( 5_ 4 ) 2
⇒ x 2 y 2 __ 25
16
⇒ 16x 2 16y 2 25 … iolraigh an dá thaobh faoi 16
346

Sampla 2
Faigh cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0)
agus a bhfuil an pointe (4, 1) ann.
Is ionann ga an chiorcail agus an fad ó (0, 0) go dtí (4, 1).
⇒ r √ __________________
(4 0) 2 (1 0) 2 (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )
↓ ↓
√ ______
16 1 √ ___
17
(0, 0) (4, 1)
Is é an chothromóid: x 2 y 2 r 2
⇒ x 2 y 2 ( √ ___
17 ) 2 ( √ __
8 ) 2 8
i.e. x 2 y 2 17
( √ __
a ) 2 a
y
(0, 0)
O
r
x
(4, 1)
An ga a fháil nuair a bhíonn an chothromóid againn
(0, 0) an lárphointe agus r an ga sa chiorcal x 2 y 2 r 2 .
⇒ i gcás an chiorcail x 2 y 2 16, (i) ag (0, 0) atá a lárphointe (ii) a gha 16 4
Ach más ionann cothromóid an chiorcail agus 4x 2 4y 2 9, roinn gach téarma ar 4 ar
dtús go gcuirfear an chothromóid san fhoirm x 2 y 2 r 2 .
__
⇒ 4x 2 4y 2 9 ⇒ x 2 y 2 9__ ⇒ fad an gha
4
√
9__
4 ___
√__ 9
√ 4 3__
2
Sampla 3
I gcás an dá chiorcal seo, faigh fad an gha:
(i) x 2 y 2 8 (ii) 9x 2 9y 2 16
(i) x 2 y 2 8
⇒ r √ __
8
√ __
4 . √ __
2
⇒ r 2 √ __
2
(ii) 9x 2 9y 2 16
⇒ x 2 y 2 __ 16
9
… roinn an dá thaobh ar 9.
⇒ r √ __
__ 16
9
⇒ r 4_ 3
Cleachtadh 12.1
1. Scríobh síos cothromóidí na gciorcal ar lárphointe dóibh (0, 0) agus arb iad seo faid
na ngathanna iontu:
(i) 2 (ii) 3 (iii) 1 (iv) 5 (v) √ __
2
2. Scríobh síos cothromóidí na gciorcal ar lárphointe dóibh (0, 0) agus arb iad seo faid
na ngathanna iontu:
(i) √ __
8 (ii) 2 √ __
2 (iii) 3 √ __
2 (iv)
2_
3 (v) 4_
3
347

3. Faigh an fad ó (0, 0) go dtí (3, 4). Scríobh síos uaidh sin cothromóid an chiorcail ar
lárphointe dó (0, 0) agus a bhfuil an pointe (3, 4) ann.
4. Faigh cothromóidí na gciorcal ar lárphointe dóibh (0, 0), ciorcail a ghabhann trí
na pointí seo:
(i) (2, 3) (ii) (1, 2) (iii) (4, 3) (iv) (4, 0)
5. Taispeánann an léaráid ar dheis dhá chiorcal a
agus b. Is lárphointe dóibh (0, 0).
Tá an pointe (5, 0) i gciorcal a.
Tá an pointe (3, 0) i gciorcal b.
(i) Scríobh síos cothromóid chiorcal a.
(ii) Scríobh síos cothromóid chiorcal b.
(iii) Scríobh síos comhordanáidí na bpointí
ina dtrasnaíonn ciorcal a an y-ais.
(iv) Scríobh síos comhordanáidí na bpointí
ina dtrasnaíonn ciorcal b an x-ais.
6. Tarraing sceitse den chiorcal x 2 y 2 16.
Marcáil air comhordanáidí na bpointí ina
dtrasnaíonn an ciorcal an x-ais agus an y-ais.
y
O
b
a
3 5 x
7. Scríobh, i dtéarmaí , achar an
chiorcail x 2 y 2 36.
Achar an chiorcail r 2 .
8. Scríobh síos ga gach ceann de na ciorcail seo:
(i) x 2 y 2 9 (ii) x 2 y 2 49 (iii) x 2 y 2 1
(iv) x 2 y 2 12 (v) x 2 y 2 27 (vi) x 2 y 2 5
9. Scríobh gach ceann de na ciorcail seo i bhfoirm x 2 y 2 k.
Uaidh sin, scríobh síos fad gha gach ciorcail:
(i) 4x 2 4y 2 9 (ii) 9x 2 9y 2 25 (iii) 4x 2 4y 2 49
10. Is iad na pointí (4, 3) agus (4, 3) foircinn
an trastomhais i gciorcal áirithe.
Faigh
(i) comhordanáidí lárphointe an chiorcail
(ii) fad an gha
(iii) cothromóid an chiorcail.
y
(4, 3)
O
x
(4, 3)
348

11. Faigh fad an trastomhais sa chiorcal x 2 y 2 81.
12. Fíoraigh go bhfuil (2 5) 2 20.
Uaidh sin, scríobh síos cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0) agus ar ga dó 2 5.
13. Scríobh síos cothromóidí na gciorcal ar lárphointe dóibh (0, 0) agus arb iad seo faid a
gcuid gathanna:
(i) √ __
6 (ii) 2 √ __
6 (iii) 3 √ __
2 (iv) 2 √ __
3 (v) 3 √ __
5 .
14. Is é x 2 y 2 9 cothromóid ciorcail áirithe, c.
Faigh cothromóid ciorcail eile, d, ar lárphointe dó (0, 0) más ar comhfhad le chéile atá
ga d agus trastomhas c.
Mír 12.2 Pointí agus ciorcail
Féadfaidh pointe ar leith a bheith taobh istigh de chiorcal, ar chiorcal, nó taobh amuigh
de chiorcal.
P
P
P
O
O
O
Tá pointe P taobh istigh
de chiorcal má tá an fad ó
lárphointe an chiorcail go dtí
an pointe P níos lú ná an ga.
Tá pointe P ar chiorcal má
tá an fad ó lárphointe an
chiorcail go dtí an pointe P
ar comhfhad leis an nga.
Tá pointe P taobh amuigh
de chiorcal má tá an fad ó
lárphointe an chiorcail go dtí
an pointe P níos mó ná an ga.
Sampla 1
Tá an ciorcal x 2 y 2 13 againn. Cé acu taobh istigh den chiorcal, taobh amuigh
den chiorcal nó ar an gciorcal atá na pointí (i) (1, 3) agus (ii) (3, 2)?
Is ionann an fad i nga an chiorcail agus 13.
(i) An fad ón lárphointe (0, 0) go dtí (1, 3), is ionann é agus:
√ __________________
(1 0) 2 (3 0) 2 √ _____
1 9 √ ___
10
Ó tá √ ___
10 √ ___
13 ⇒ taobh istigh den chiorcal atá (1, 3)
(ii) An fad ón lárphointe (0, 0) go dtí (3, 2), is ionann é agus:
√ __________________
(3 0) 2 (2 0) 2 √ _____
9 4 √ ___
13
Ós ionann 13 agus fad gha an chiorcail,
⇒ is ar an gciorcal atá (3, 2).
349

Modh eile
Seo slí eile chun a fháil amach cé acu
taobh amuigh de chiorcal, ar chiorcal
chiorcal, nó taobh istigh de, atá pointe
áirithe: comhordanáidí an phointe a
chur isteach i gcothromóid an chiorcail.
Má tá x 2 y 2 < r 2 , is taobh istigh den chiorcal atá an pointe.
Má tá x 2 y 2 r 2 , is ar an gciorcal atá an pointe.
Má tá x 2 y 2 > r 2 , is taobh amuigh den chiorcal atá an pointe.
Sampla 2
Fiosraigh cé acu taobh istigh den chiorcal, ar an gciorcal, nó taobh amuigh den
chiorcal x 2 y 2 16 atá an pointe (3, 4).
Má chuirimid isteach 3 in áit x agus 4 in áit y sa chothromóid x 2 y 2 16, faighimid
(3) 2 (4) 2 16?
9 16 16
i.e. 25 16 … (níos mó ná r 2 )
taobh amuigh den chiorcal atá (3, 4).
Cleachtadh 12.2
350
1. (i) Taispeáin go bhfuil an pointe (3, 1) ar an gciorcal x 2 y 2 10.
(ii) Taispeáin go bhfuil an pointe (5, 1) taobh amuigh den chiorcal x 2 y 2 20.
(iii) Taispeáin go bhfuil an pointe (1, 2) taobh istigh den chiorcal x 2 y 2 8.
2. Faigh amach cé acu taobh istigh de, taobh amuigh de, nó ar an gciorcal x 2 y 2 10
atá an pointe (3, 2).
3. Fíoraigh go bhfuil an pointe (3, 4) ar an gciorcal x 2 y 2 25. Scríobh síos
comhordanáidí na gceithre phointe ina dtrasnaíonn an ciorcal an x-ais agus an y-ais.
4. Taispeáin go bhfuil na pointí seo a leanas ar na ciorcail a thugtar:
(i) (2, 1): x 2 y 2 5 (ii) (2, 5): x 2 y 2 29
(iii) (4, 0): x 2 y 2 16 (iv) ( √ __
5 , √ __
5 ): x 2 y 2 10
5. Faigh amach cé acu taobh istigh de, taobh amuigh de, nó ar an gciorcal a thugtar, atá
gach ceann de na pointí seo a leanas:
(i) (1, 4): x 2 y 2 16 (ii) (2, 3): x 2 y 2 13
(iii) (5, 2): x 2 y 2 26 (iv) (3, 1): x 2 y 2 12
6. Cé acu ceann de na pointí seo a leanas atá taobh amuigh den chiorcal x 2 y 2 34?
(i) (5, 2) (ii) (5, 3) (iii) (4, 5)
7. Tarraing sceitse den chiorcal x 2 y 2 16.
Trasnaíonn an ciorcal an y-ais ag na pointí P agus Q.
(i) Faigh comhordanáidí P agus Q. (ii) Faigh |PQ|.
8. x 2 y 2 18.
Tá an pointe (4, k) taobh amuigh den chiorcal. Faigh an luach is lú ar k, má tá k N.

Mír 12.3 Cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (h, k)
agus ar ga dó r
Taispeánann an léaráid ar dheis ciorcal ar lárphointe dó C(h, k) agus ar ga dó r.
y
P(x, y)
C(h, k)
r
(x h)
(y k)
O
x
Bíodh P(x, y) ina phointe ar bith ar an gciorcal. Tá an fad ó C go P ar comhfhad le ga an chiorcail.
Má úsáidimid foirmle an fhaid, faighimid:
|CP| √ ________________
(x h) 2 (y k) 2 r ⇒ (x h) 2 (y k) 2 r 2
Is é sin cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (h, k) agus ar ga dó r.
Chun an fhoirmle thuas a úsáid chun cothromóid ciorcail a fháil, is gá go mbeadh an t-eolas
seo againn:
(i) lárphointe an chiorcail, (h, k) (ii) ga an chiorcail, r.
Ciorcal ar lárphointe dó (h, k) agus ar ga dó r, is é seo a chothromóid:
(x h) 2 (y k) 2 r 2 .
Sampla 1
Faigh cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (2, 3) agus ar ga dó 5.
Is é seo an chothromóid: (h, k) r 5
↓
(x h) 2 (y k) 2 r 2
(2, 3)
⇒ (x 2) 2 (y 3) 2 (5) 2
⇒
(x 2) 2 (y 3) 2 25 an chothromóid
An lárphointe agus an ga a fháil nuair a bhíonn an chothromóid againn
Sa chothromóid (x h) 2 (y k) 2 r 2 , is é (h, k) an lárphointe agus r an ga.
Feicimid sa chothromóid (x 2)2 (y 3)2 16
go bhfuil h 2 agus k 3; freisin tá r 16 4.
⇒ lárphointe (2, 3) agus ga 4.
351

Sampla 2
Faigh lárphointe agus ga an chiorcail (x 3)2 (y 4)2 8.
Cuir na cothromóidí i gcomparáid le chéile: (x h) 2 (y k) 2 r 2
Feicimid go bhfuil h 3, k 4 agus r 2 8
⇒ r √ __
8
tá an lárphointe (3, 4) agus an ga 8.
agus (x 3) 2 (y 4) 2 8
Sampla 3
Gabhann an ciorcal ar lárphointe dó (1, 3)
tríd an bpointe (3, 5).
Faigh cothromóid an chiorcail.
y
5
r
(3, 5)
Is é an ga an fad ó (1, 3) go dtí (3, 5).
Ga √ __________________
(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2
√ ________________
(3 1) 2 (5 3) 2
√ _____
4 4 √ __
8
2
(1, 3)
O 3
x
Cothromóid an chiorcail: (x h) 2 (y k) 2 r 2 (h, k) r √ __
8
⇒ (x 1) 2 (y 3) 2 ( √ __
8 ) 2
⇒ (x 1) 2 (y 3) 2 8
↓
(1, 3)
Cleachtadh 12.3
352
1. Faigh cothromóid gach ceann de na ciorcail seo a leanas; tugtar lárphointe agus ga
an chiorcail i ngach cás:
(i) lárphointe (3, 1); ga 2 (ii) lárphointe (3, 4); ga 3
(iii) lárphointe (1, 4); ga 5 (iv) lárphointe (3, 5); ga 4
(v) lárphointe (3, 2); ga 1 (vi) lárphointe (3, 0); ga 6
(vii) lárphointe (3, 5); ga 10 (viii) lárphointe (0, 2); ga 2 2
2. Is é (2, 4) lárphointe ciorcail agus tá an pointe (1, 3) ann.
Faigh (i) fad an gha
(ii) cothromóid an chiorcail.
3. Faigh cothromóid an chiorcail a ghabhann tríd an bpointe (1, 5) agus ar lárphointe
dó (5, 2).

4. Tá lárphointe (2, 2) ag an gciorcal tugtha.
Má tá an pointe (5, 1) ann, faigh an
chothromóid.
y
(2, 2)
O
(5, 1)
x
5. Is trastomhas ciorcail í an mhírlíne a cheanglaíonn (3, 5) agus (1, 1) le chéile.
Faigh (i) lárphointe an chiorcail
(ii) fad an gha sa chiorcal
(iii) cothromóid an chiorcail.
Faigh lárphointe agus ga gach ceann de na ciorcail seo a leanas:
6. (x 2) 2 (y 3) 2 16 7. (x 4) 2 (y 3) 2 9
8. (x 2) 2 (y 5) 2 64 9. (x 5) 2 (y 1) 2 81
10. x 2 (y 4) 2 25 11. (x 3) 2 y 2 9
12. (x 1) 2 (y 5) 2 __ 16
9 12. x 2 (y 2) 2 12
14. Tadhlaíonn an ciorcal seo trasna an x-ais agus an y-ais.
Más ionann gá an chiorcail agus 3, scríobh síos
comhordanáidí C, an lárphointe.
Uaidh sin, scríobh síos cothromóid an chiorcail.
y
C
O
x
15. Taispeánann an léaráid dhá chiorcal, C 1 agus C 2 .
Tá lárphointe C 1 ar an x-ais. Is ionann a gha
agus 4.
(i) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe C 1 .
(ii) Scríobh síos cothromóid C 1 .
(iii) Cad é fad gha C 2 ?
(iv) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe C 2 .
(v) Scríobh síos cothromóid C 2 .
(vi) Scríobh síos comhordanáidí an phointe
atá i bpáirt ag C 1 agus C 2 .
y
O 4
C 2
C 1
8
x
353

16. Taispeánann an léaráid ceithre chiorcal arb
ionann fad ga dóibh.
Tadhlaíonn na ciorcail a chéile mar a fheictear.
Is é x 2 y 2 4 cothromóid k 1 .
(i) Scríobh síos ga k 1 .
(ii) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe k 3 .
(iii) Scríobh síos cothromóid k 3 .
(iv) An é x 2 (y 4)2 4 cothromóid k 2 nó k 4 ?
Mínigh do fhreagra.
y
k 2
k 1
O
k 4
k 3
x
17. Is iad A (1, 2) agus B (5, 4) na foircinn ar thrastomhas an chiorcail k.
Faigh comhordanáidí lárphointe k agus scríobh síos uaidh sin cothromóid k.
18. Is é an pointe (4, 3) lárphointe an chiorcail c. Más tadhlaí í an x-ais le c, faigh
(i) fad gha c (ii) cothromóid c.
19. Taispeánann an léaráid ar dheis ceithre
leathchiorcal.
Tá lárphointí na gciorcal uile ar an x-ais.
Tá fad an gha sna trí leathchiorcal bheaga
cothrom le 2.
(i) Faigh comhordanáidí lárphointe C 3 .
(ii) Scríobh síos cothromóid C 3 .
(iii) Faigh cothromóid C 1 .
(iv) Faigh amach an bhfuil imlíne an
leathchiorcail C 1 cothrom le suim
imlínte na dtrí leathchiorcal bheaga.
y
O
C 1
C 2 C 3 C 4
I ngach cás, beidh tú ag fáil
chothromóid an chiorcail iomláin.
x
20. Taispeánann an léaráid trí leathchiorcal C 1 ,
C 2 agus C 3 .
1 aonad an fad atá i nga gach leathchiorcail.
Is iad P, Q agus R lárphointí na gciorcal, mar
a léirítear.
(i) Scríobh síos cothromóid an chiorcail
C 1 .
(ii) Scríobh síos comhordanáidí R.
(iii) Faigh cothromóid an chiorcail C 2 .
(iv) Scríobh, i dtéarmaí , achar na coda
scáthaithe sa léaráid.
y
O
C 2
C 1
R
C 3
P
Q
Is é r 2 achar ciorcail.
x
354

Mír 12.4 Pointí trasnaithe líne agus ciorcail
Taispeánann an léaráid ar dheis líne a thrasnaíonn ciorcal ag na pointí A agus B.
y
A
T
t
(0, 0)
B
x
Ní thrasnaíonn an líne t an ciorcal ach ag aon phointe amháin. Deirtear gur tadhlaí leis
an gciorcal í an líne seo.
Chun pointe/pointí trasnaithe líne agus ciorcail a fháil, scríobhaimid an líne san fhoirm
y … nó x …
Agus tú ag roghnú y … nó x …, seachain na codáin, más féidir.
Ansin, úsáidimid cothromóidí comhuaineacha chun pointe/pointí trasnaithe líne agus ciorcail
a fháil.
Más tadhlaí le ciorcal í líne áirithe, ní thrasnóidh an líne sin an ciorcal ach
ag aon phointe amháin.
Sampla 1
Faigh pointí trasnaithe na líne x 3y 5 0 agus an chiorcail x 2 y 2 5.
Céim 1 Scríobh x i dtéarmaí y i gcothromóid na líne.
x 3y 5 0 ⇒ x 3y 5… 1
Céim 2 Cuir (3y 5) in áit x i gcothromóid an chiorcail.
⇒ Athraíonn x 2 y 2 5 go
(3y 5) 2 y 2 5
⇒ 9y 2 30y 25 y 2 5
⇒ 10y 2 30y 20 0
⇒ y 2 3y 2 0… roinn gach téarma ar 10.
⇒ (y 2)(y 1) 0
⇒ y 2 nó y 1
Má chuirimid na luachanna seo do y isteach i gcothromóid 1 , faighimid
y 2 ⇒ x 3(2) 5 ⇒ x 1 i.e. an pointe (1, 2)
y 1 ⇒ x 3(1) 5 ⇒ x 2 i.e. an pointe (2, 1)
Mar sin, is iad (1, 2) agus (2, 1) an dá phointe trasnaithe.
355

Sampla 2
Taispeáin gur tadhlaí leis an gciorcal x 2 y 2 10 í an líne 3x y 10 0. Faigh
an pointe tadhaill.
Má tá 3x y 10 0 y 3x 10 … 1
Scríobhaimid y i dtéarmaí x
anseo chun codáin a sheachaint.
Cuirimid (3x 10) in áit y i gcothromóid
an chiorcail:
x 2 (3x 10) 2 10
⇒ x 2 9x 2 60x 100 10
⇒ 10x 2 60x 90 0
⇒ x 2 6x 9 0 … roinn gach téarma ar 10
⇒ (x 3)(x 3) 0
⇒
x 3 … tabhair faoi deara nach bhfuil ach luach amháin ar x
Anois cuirimid 3 in áit x i gcothromóid 1
x 3 ⇒ y 3(3) 10
9 10 1 i.e. an pointe (3, 1)
Mar sin, is é (3, 1) an pointe trasnaithe.
Ós rud é nach bhfuil ach pointe trasnaithe amháin ann, is tadhlaí leis an gciorcal í an líne.
Cleachtadh 12.4
356
1. Faigh pointí trasnaithe na líne agus an chiorcail c i ngach ceann díobh seo:
(i) : x y 1; c: x 2 y 2 13
(ii) : x y 4 0; c: x 2 y 2 10
(iii) : x 2y 5 0; c: x 2 y 2 25
(iv) : x 3y 10 0; c: x 2 y 2 20
2. Faigh an pointe ina dtrasnaíonn an líne 2x y 5 0 agus an ciorcal x 2 y 2 5
a chéile.
3. Taispeáin gur tadhlaí leis an gciorcal k í an líne i ngach ceann díobh seo a leanas,
agus faigh an pointe tadhaill i ngach cás:
(i) : x y 2 0; k: x 2 y 2 2
(ii) : x 3y 10 0; k: x 2 y 2 10
(iii) : x y 4 0; k: x 2 y 2 8
4. Faigh an pointe/na pointí ina dtrasnaíonn an líne x y 3 0 agus an ciorcal
x 2 y 2 9 a chéile. An tadhlaí leis an gciorcal í an líne? Mínigh do fhreagra.
5. Faigh na pointí ina dtrasnaíonn an líne x 2y 0 agus an ciorcal x 2 y 2 20 a chéile.

6. Faigh cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0) agus ina bhfuil an pointe (3, 1).
Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal seo agus an líne
x y 4 0 a chéile.
7. Is dhá phointe iad A(4, 1) agus B(1, 4). Faigh cothromóid AB.
Anois faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an líne AB agus an ciorcal
x 2 y 2 5 a chéile.
8. Faigh an pointe tadhaill agus, tríd sin, léirigh gur tadhlaí leis an gciorcal x 2 y 2 20 í
an líne x 2y 10 0.
9. Ciorcal ar lárphointe dó C agus ar ga dó 3 atá sa léaráid thíos.
Tadhlaíonn an ciorcal an x-ais agus an y-ais.
t
y
2
t 1
C
O
x
(i) Scríobh síos comhordanáidí C.
(ii) Scríobh síos cothromóid an chiorcail.
(iii) Is tadhlaí leis an gciorcal í an líne t 1 . Tá sí comhthreomhar leis an x-ais.
Scríobh síos cothromóid t 1 .
(iv) Is tadhlaí leis an gciorcal í an líne t 2 freisin. Tá sí comhthreomhar leis an y-ais.
Scríobh síos cothromóid t 2 .
(v) Scríobh síos comhordanáidí an phointe ina dtrasnaíonn t 1 agus t 2 a chéile.
Mír 12.5 Ciorcal a thrasnaíonn na haiseanna
Trasnaíonn an ciorcal léirithe an x-ais sna pointí (1, 0) agus (4, 0).
I gcás gach ceann de na pointí, is é nialas an y-luach.
Is fíor sin sa chás ginearálta freisin; má thrasnaíonn aon líne
nó aon chiorcal an x-ais, is nialas a bheidh mar luach y ag
na pointí trasnaithe.
Ar an mbealach céanna, trasnaíonn líne nó ciorcal an y-ais
sna pointí ina bhfuil x 0.
y
(1, 0) (4, 0)
O
x
Sampla 1
Faigh comhordanáidí na bpointí seo:
(i) an pointe ina dtrasnaíonn an ciorcal x 2 y 2 16 an x-ais
(ii) an pointe ina dtrasnaíonn an ciorcal (x 3)2 (y 2)2 10 an y-ais.
357

(i) Sna pointí ina bhfuil y 0 a thrasnaíonn x 2 y 2 16 an x-ais.
y 0 ⇒ x 2 0 16
⇒ x 2 16 ⇒ x 4
⇒ Sna pointí (4, 0) agus (4, 0) a thrasnaíonn x 2 y 2 16 an x-ais.
(ii) Sna pointí ina bhfuil x 0 a thrasnaíonn (x 3)2 (y 2)2 10 an y-ais.
x 0 ⇒ (0 3) 2 (y 2) 2 10
⇒ 9 y 2 4y 4 10
⇒ y 2 4y 3 0
⇒ (y 1)(y 3) 0
⇒ y 1 nó y 3
⇒ Sna pointí (0, 1) agus (0, 3) a thrasnaíonn (x 3)2 (y 2)2 10 an y-ais.
Cleachtadh 12.5
358
1. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn gach ceann de na ciorcail seo an x-ais:
(i) x 2 y 2 4 (ii) x 2 y 2 25 (iii) x 2 y 2 81.
2. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal x 2 y 2 49 an y-ais.
3. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn gach ceann de na ciorcail seo an x-ais:
(i) (x 5) 2 (y 4) 2 25 (ii) (x 2) 2 (y 3) 2 25
4. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal (x 2)2 (y 3)2 20
an y-ais.
5. Léirigh go bhfuil an pointe (3, 2) ar an gciorcal (x 6)2 (y 6)2 25.
6. Scríobh síos lárphointe agus fad an gha sa chiorcal
(x 4) 2 (y 1) 2 9.
Anois, léirigh go bhfuil an pointe (3, 0) taobh istigh den chiorcal.
7. Maidir leis an gciorcal seo a leanas, féach cé acu taobh istigh den chiorcal, ar an
gciorcal, nó taobh amuigh den chiorcal atá an pointe (3, 2):
(x 2) 2 (y 1) 2 4.
8. Is iad (2, 3) agus (4, 3) na foircinn ar thrastomhas ciorcail.
Faigh cothromóid an chiorcail.
Trasnaíonn an ciorcal an y-ais sna pointí A agus B. Faigh |AB|.
9. Is tadhlaí í an x-ais leis an gciorcal ar lárphointe dó (2, 4).
(i) Cad é fad gha an chiorcail?
(ii) Scríobh síos cothromóid an chiorcail.

Cuir triail ort féin 12
1. Is é x 2 y 2 49 cothromóid an chiorcail c.
(i) Scríobh síos lárphointe agus ga c.
(ii) Deimhnigh go bhfuil an pointe (5, 5) taobh amuigh den chiorcal c.
2. Is é (0, 0) lárphointe an chiorcail k agus tá an pointe (3, 4) ann.
Faigh cothromóid k.
Anois, scríobh síos comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal k an x-ais.
3. Is é x 2 y 2 36 cothromóid an chiorcail c.
(i) Scríobh síos fad gha c.
(ii) Tá lárphointe (0, 0) ag ciorcal eile, agus tá a gha cothrom le dhá oiread fhad gha c.
Scríobh síos cothromóid an chorcail seo.
4. Faigh cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (2, 3) agus ar ga dó 4.
5. Tá an chothromóid (x 3)2 (y 4)2 25 ag an gciorcal c.
(i) Scríobh síos lárphointe c agus fad a gha.
(ii) Léirigh go bhfuil an pointe (6, 0) ar an gciorcal c.
6. Faigh an pointe trasnaithe agus, uaidh sin, léirigh gur tadhlaí leis an gciorcal
x 2 y 2 10 í an líne x 3y 10.
7. Tá an chothromóid x 2 y 2 36 ag ciorcal.
(i) Faigh fad gha an chiorcail.
(ii) Taispeáin, trí áireamh, gur taobh amuigh den chiorcal atá an pointe (7, 1).
(iii) Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal an y-ais.
8. Taispeánann an léaráid thíos trí chiorcal, a, b agus c, ar lárphointí dóibh A, O agus C
faoi seach. Ar an x-ais atá na trí lárphointe.
a
y
b
c
A
O
C
x
Tá ga an chiorcail a agus ga an chiorcail c ar comhfhad le trastomhas an chiorcail b.
An ciorcal a agus an ciorcal c, tadhlaíonn siad an ciorcal b, mar a léirítear.
Más é x 2 y 2 9 cothromóid b, faigh
(i) comhordanáidí A agus C
(ii) cothromóidí na gciorcal a agus c.
(iii) cothromóidí an dá thadhlaí atá i bpáirt ag a agus c ach nach dtadhlaíonn b.
359

9. Trasnaíonn an líne y 10 2x an ciorcal x 2 y 2 40 sna pointí A agus B.
(i) Faigh comhordanáidí A agus comhordanáidí B.
(ii) Léirigh an líne, an ciorcal agus na pointí trasnaithe ar léaráid chomhordanáideach.
10. Is iad na pointí (1, 1) agus (3, 3) na foircinn ar thrastomhas ciorcail, s.
(i) Faigh lárphointe s agus fad an gha ann.
(ii) Faigh cothromóid s.
(iii) Taispeáin, trí áireamh, go bhfuil an pointe (1, 1) taobh istigh den chiorcal.
11. Is iad A (1, 0) agus B (5, 0) na foircinn ar thrastomhas
ciorcail, k. Is é C an lárphointe, mar a léirítear.
(i) Scríobh síos comhordanáidí C agus fad an gha in
k.
(ii) Faigh cothromóid k.
(iii) Is tadhlaithe leis an gciorcal k iad na línte t 1 agus t 2 .
Tá siad comhthreomhar leis an x-ais.
Scríobh síos cothromóid t 1 agus cothromóid t 2 .
y
A C B
(1, 0) O
(5, 0) x
k
t 1
t 2
12. Trasnaíonn an líne x 3y 0 an ciorcal x 2 y 2 10 sna pointí A agus B.
(i) Faigh comhordanáidí A agus comhordanáidí B.
(ii) Léirigh gur trastomhas de chuid an chiorcail é [AB].
13. Scríobh síos lárphointe an chiorcail seo agus fad an gha ann:
(x 3) 2 (y 4) 2 20.
Trasnaíonn an ciorcal an x-ais sna pointí A agus B.
Faigh comhordanáidí A agus B.
Uaidh sin, scríobh síos |AB|.
14. Is trastomhas ciorcail é A(0, 1) agus B (8, 1), mar a léirítear.
y
O
x
A (0, 1)
B (8, 1)
E
(i) Faigh lárphointe an chiorcail agus fad an gha ann.
(ii) Scríobh síos cothromóid an chiorcail.
Trasnaíonn an líne an ciorcal sna pointí A agus E. Is é 4 5
fána .
(iii) Scríobh síos fána EB. Mínigh do fhreagra.
360

15. Tá an chothromóid (x 2) 2 (y 3) 2 25 ag an gciorcal k.
Is iad P agus Q na foircinn ar thrastomhas de chuid k. Tá PQ cothrománach.
(i) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe k agus fad a gha.
(ii) Tarraing sceitse de k ar an bplána comhordanáideach.
(iii) Faigh comhordanáidí P agus comhordanáidí Q.
(iv) Scríobh síos cothromóidí dhá thadhlaí le k atá ceartingearach.
(v) Tá ciorcal eile ann freisin a bhfuil an dá líne cheartingearacha seo mar
thadhlaithe leis. Tá lárphointe an chiorcail seo ar an x-ais.
Faigh cothromóid an chiorcail seo.
16. Tá an chothromóid x 2 y 2 13 ag ciorcal áirithe.
Tá na pointí A(2, 3), B(2, 3) agus C(3, 2) ar an gciorcal.
(i) Deimhnigh gur trastomhas de chuid an chiorcail é [AB].
(ii) Deimhnigh gur dronuillinn é |∠ACB|.
17. Sa léaráid thíos, is ciorcal é k 1 ar lárphointe dó A(0, 2) agus ar ga dó 2.
y
C
k 3
A (0, 2)
k 1
O
B (0, 2)
k 2
x
D
Is ciorcal é k 2 ar lárphointe dó B(0, 2) agus ar ga dó 2.
Scríobh síos cothromóidí k 1 agus k 2 .
Is ciorcal é k 3 ar lárphointe dó (0, 0) agus a thadhlaíonn k 1 sa phointe C agus k 2 sa
phointe D. Scríobh síos cothromóid k 3 .
Freisin, scríobh síos cothromóid an tadhlaí atá i bpáirt ag k 1 agus k 3 sa phointe C.
18. Tá an chothromóid (x 4) 2 (y 3) 2 36 ag an gciorcal k.
(i) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe k agus fad a gha.
(ii) Tarraing sceitse de k ar an bplána comhordanáideach.
(iii) Is foirceann amháin ar thrastomhas de chuid k é an pointe (2, 3).
Faigh comhordanáidí an fhoircinn eile.
19. Is ciorcal é c ar lárphointe dó (1, 2) agus ar ga dó 5.
Scríobh síos cothromóid c.
Tá an chothromóid (x 8) 2 (y 14) 2 100 ag an gciorcal k.
Taispeáin go bhfuil P(2, 6) ar an gciorcal k.
Taispeáin freisin go bhfuil P(2, 6) ar an líne a cheanglaíonn lárphointí an dá chiorcal.
361

Cothromóid an chiorcail
Ciorcal ar lárphointe dó (0, 0) agus ar ga dó r, is é seo a chothromóid:
x 2 y 2 r 2
Ciorcal ar lárphointe dó (h, k) agus ar ga dó r, is é seo a chothromóid:
(x h) 2 (y k) 2 r 2
An lárphointe agus an ga a fháil nuair a bhíonn an chothromóid againn
I gcás an chiorcail x 2 y 2 a 2 , lárphointe (0, 0), ga a.
I gcás an chiorcail (x h) 2 (y k) 2 a 2 , lárphointe (h, k), ga a.
Pointí agus ciorcail
P
P
P
O
O
O
Taobh istigh atá an
pointe má tá |OP| ga
Ar an gciorcal atá an
pointe má tá |OP| ga
Taobh amuigh atá an
pointe má tá |OP| ga
Pointí trasnaithe líne agus ciorcail
Úsáidimid cothromóidí comhuaineacha chun pointe/pointí trasnaithe líne
agus ciorcail a fháil.
Chun pointí trasnaithe na líne x 3y 5 0 agus an chiorcail x 2 y 2 5
a fháil,
(i) scríobh x i dtéarmaí y i gcothromóid na líne,
i.e. x 3y 5
(ii) cuir an luach sin in áit x i gcothromóid an chiorcail,
i.e. (3y 5) 2 y 2 5
(iii) réitigh an chothromóid seo chun dhá luach a fháil do y
(iv) faigh an dá luach chomhfhreagracha do x.
Ciorcal a thrasnaíonn na haiseanna
Is sna pointí ina bhfuil y 0 a thrasnaíonn ciorcal an x-ais.
Is sna pointí ina bhfuil x 0 a thrasnaíonn ciorcal an y-ais.
A chruthú gur tadhlaí le ciorcal í líne
Is tadhlaí le ciorcal í líne nuair nach bhfuil ach pointe trasnaithe amháin ann.
362

Sonraí a Chur i Láthair
13
barrachairt léaráid líne píchairt histeagram eatraimh ranga chothroma
cruth sonraí leanúnacha dáileadh siméadrach sceabha deimhneach
sceabha diúltach léaráid ghais is duillí léaráid ghais is duillí chúl le cúl
sonraí dé-athráideacha scaipghraf comhchoibhneas gaol cúisíoch
Mír 13.1 Barrachairteacha agus píchairteacha
1. Barrachairteacha
Is bealach simplí, ach éifeachtach mar sin féin, iad barrachairteacha chun sonraí a
chur i láthair.
Is é a bhíonn i mbarrachairt ná barraí ar an leithead céanna, a tharraingítear go
ceartingearach nó go cothrománach ó ais.
Léiríonn airde (nó fad) na mbarraí na minicíochtaí i gcónaí.
De ghnáth bíonn na barraí scartha óna chéile ag bearnaí cúnga atá ar comhleithead.
Sampla 1
Líon na
Sa tábla minicíochta taispeántar
dteachtaireachtaí
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
líon na dteachtaireachtaí téacs
a fuair grúpa daltaí Domhnach
Minicíocht 0 1 2 4 6 9 11 14 9 4
áirithe.
Cuir an fhaisnéis i láthair le barrachairt.
Taispeántar an bharrachairt thíos.
Minicíocht
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Líon na dteachtaireachtaí téacs
363

2. Léaráidí líne
Baintear úsáid as léaráid líne chun tacair bheaga de shonraí scoite nó catagóireacha
a chur i láthair. Tá sí cosúil le barrachairt ach úsáidtear poncanna () nó crosa (×) in áit
barraí. Léiríonn gach ponc aonad amháin den athróg.
An léaráid líne seo trasna, taispeánann sí
díolacháin na bróg ar mhéideanna éagsúla
ag siopa bróg lá áirithe.
Líon na bpéirí bróg a díoladh ná
3 2 3 6 5 3 6 3 1 32
3. Píchairteacha
Is bealach maith í píchairt le sonraí a chur i láthair nuair is mian leat a thaispeáint conas a
roinntear nó a dháiltear rud éigin. Feileann sé go háirithe do shonraí catagóireacha a chur
i láthair.
Taispeánann an phíchairt thíos conas a chaith Séan an 24 uair an chloig dheireanach.
6
1 1 1 1 1
62
7 7 2 8 8 2 9 9 2 10 102
Méid bróige
Scoil
Am
saor
Teilifís
Codladh
Eile
Tá an phíchairt roinnte ina codanna.
Seasann an ciorcal iomlán don 24 uair an chloig.
Is féidir linn a fheiceáil gur chaith Seán thart ar an méid céanna ama ina chodladh agus
a chaith sé ar scoil.
Tá uillinn gach teascóige i gcomhréir le
minicíocht na catagóire a seasann sí di.
Feileann píchairteacha go háirithe do
shonraí catagóireacha a chur i láthair.
Sampla 2
I suirbhé ar laethanta saoire, iarradh ar 120 duine a rá cén córas taistil a d'úsáid
siad agus iad ar a saoire dheireanach. Taispeánann an tábla seo torthaí an tsuirbhé.
Tarraing píchairt chun na sonraí a léiriú.
Córas taistil Traein Cóiste Carr Long Eitleán
Minicíocht 24 12 59 11 14
364

Caithfimid an codán de 360° a fháil a fhreagraíonn do gach córas taistil.
Déantar é sin i dtábla de ghnáth, mar a thaispeántar thíos.
Córas taistil Minicíocht Ríomh
Traein 24 ___ 24 360 72°
120
Cóiste 12 ___ 12 360 36°
120
Carr 59 ___ 59 360 177°
120
Long 11 ___ 11 360 33°
120
Eitleán 14 ___ 14 360 42°
120
Iomláin 120 360°
Tá an phíchairt le feiceáil ar dheis. Baineadh úsáid as
uillinntomhas chun na huillinneacha a thomhas.
Eitleán
Traein
Long
33° 42° 72°
36° Cóiste
177°
Carr
Tugann an phíchairt seo faisnéis faoi na boinn an bhuaigh Club Lúthchleasaíochta ag
comhthionól lúthchleas.
Má buadh 24 bonn, seo mar a fhaighimid líon gach saghais:
(i) Boinn óir:
(ii) Boinn airgid:
____ 75°
360° ___ 24
1 5
____ 150°
360° ___ 24
1 10
(iii) Is é an uillinn sa teascóg chré-umha ná 360° 150° 75° 135°.
Boinn chré-umha: ____ 135°
360° ___ 24
1 9
Cleachtadh 13.1
1. Déantar cuntas de dhath gruaige na
ndaltaí ar fad i rang áirithe.
Taispeátar na torthaí sa bharrachairt
ar dheis.
(i) Cé mhéad dalta a bhfuil gruaig
dhubh orthu?
(ii) Cé acu dath gruaige an mód?
(iii) Cé mhéad dalta atá sa rang?
Líon na ndaltaí
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Cré-umha
Dubh Fionn Donn
Dath gruaige
75°
150°
Dath gruaige na ndaltaí
Ór
Airgead
Rua
365

2. Taispeánann an bharrachairt seo líon na bpictiúr ar chuimhnigh gach dalta orthu i
dturgnamh cuimhne.
7
Minicíocht
6
5
4
3
2
1
0
5
6 7 8 9 10
Líon na bpictiúr ar cuimhníodh orthu
(i) Cé mhéad dalta a ghlac páirt sa turgnamh?
(ii) Cad é an líon módúil pictiúr ar cuimhníodh orthu?
(iii) Cé mhéad dalta a chuimhnigh ar níos lú ná 7 bpictiúr?
(iv) Cad é an raon atá ag an líon pictiúr ar cuimhníodh orthu?
(v) Cad é an líon airmheánach pictiúr ar cuimhníodh orthu?
3. Fuair rang Phóil na marcanna seo ar thionscadal.
19 16 45 43 40 39 36 30 28 42 35 40
32 38 41 48 27 18 29 38 42 26 41 35
(i) Bain úsáid as cóip den tábla seo. Líon isteach í.
Marc 11–20 21–30 31–40 41–50
Cuntas
Minicíocht
(ii) Tarraing barrachairt do na sonraí seo.
4.
Minicíocht
5
4
3
2
1
0
50-99
Scóir i gcluiche ríomhaire
100-149 150-199 200-249 250-299 300-349
Scór
Taispeánann an graf seo na scóir i gcluiche ríomhaireachta.
(i) Scóir de 250 nó níos mó, bhuaigh siad duais. Cé mhéad duine a bhuaigh duais?
(ii) Cé mhéad duine san iomlán a d'imir an cluiche?
(iii) Is é a bhí i nuachtán ‘Scóráil cúigear idir 270 agus 299 pointe.’
An bhfuil sé sin ceart?
Roghnaigh ceann de na freagraí seo.
(a) Tá (b) Níl (c) Ní fios
366

5. Sa bharrachairt seo taispeántar líon na ndaoine a d'fhreastail ar chúig sheisiún
oiliúna garchabhrach agus na míonna inar tharla na seisiúin sin.
Líon
60
50
40
30
20
10
0
Ean
Már Beal Iúil Lún
Mí oiliúna
(i) Faigh an líon iomlán daoine a d'fhreastail ar sheisiún.
(ii) Den líon iomlán daoine a d'fhreastail ar sheisiún, is i gcaitheamh dhá mhí ar leith
a bhí siad ann. Cad iad an dá mhí sin?
(iii) Cad é an meánlíon daoine a d'fhreastail ar gach seisiún ar leith?
6. Sa bharrachairt seo taispeántar an mheánteocht mhíosúil ag meán lae le haghaidh
gach ceann de cheithre mhí. 'Taispeánann an líne bhriste an meán do na ceithre mhí'
arsa Breanda. Úsáid an bharrachairt le míniú cén fáth nach bhfuil an ceart ag Breanda.
Meánteocht
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Feabhra
Meánteocht ag meán lae
Márta Aibreán Bealtaine
Mí
7. Léiríonn an léaráid líne thíos líon na gcúl in aghaidh an chluiche a scóráil foireann haca.
0
1 2 3 4 5 6
Líon na gcúl
(i) Cé mhéad cluiche atá imeartha ag an bhfoireann?
(ii) Cé acu líon cúl é an mód?
(iii) Cad é an raon atá ag líon na gcúl a scóráladh?
(iv) Cén céatadán de na cluichí a bhí gan scór?
367

8. Sna barrachairteacha seo taispeántar líon na n-uaireanta cloig teilifíse ar ar fhéach
ceathrar buachaillí i seachtain amháin.
Líon na n-uaireanta cloig
Líon na n-uaireanta cloig
4
3
2
1
0
4
3
2
1
0
Ailéin
L M C D
L M C D
Conchúr
A S D
A S D
Líon na n-uaireanta cloig
Líon na n-uaireanta cloig
4
3
2
1
0
4
3
2
1
0
Barra
L M C D
Dara
L M C D
A S D
A S D
Cé leis an graf a mheaitseálann na ráitis seo a leanas?
(i) Is i dtús agus ag deireadh na seachtaine ba mhó a d'fhéach mé ar an teilifís.
(ii) D'fhéach mé ar an méid céanna teilifíse, a bheag nó a mhór, gach lá.
(iii) D'fhéach mé ar chuid mhaith teilifíse ceithre lá ach níor fhéach mé ar mhórán na trí lá eile.
(iv) Gach lá d'fhéach mé ar níos mó teilifíse ná an lá roimhe.
9. Barrachairt dhéach a thugtar ar an mbarrachairt thíos. Cuireann sí dhá thacar sonraí i gcomparáid
lena chéile. Tugann sí líon na n-othar a d'fhreastail ar lialanna ar maidin agus sa
tráthnóna ar feadh sé lá.
70
60
Maidin
Tráthnóna
50
Líon na n-othar
40
30
20
10
368
0
Luan Máirt Céad Déar Aoi Sath
Othair a d’fhreastail ar lialanna
(i) Cé acu lá ar fhreastail an líon ba mhó othar ar lialann?
(ii) Cé acu lá ar fhreastail an líon ba lú othar ar lialann?
(iii) Cé acu lá nach raibh aon lialann ar oscailt sa tráthnóna?
(iv) Cé acu lá ar fhreastail 90 othar ar lialann?
(v) Cé mhéad othar níos mó a d'fhreastail ar lialann maidin Dé Máirt ná mar a
d'fhreastail ar lialann tráthnóna Dé Máirt?

10. Sa tábla thíos tugtar méideanna na ngúnaí a díoladh i siopa seachtain áirithe:
Méid 8 10 12 14 16 18
Minicíocht 3 7 10 12 6 2
Tarraing píchairt chun na sonraí sin a léiriú.
11. Sa phíchairt ar dheis léirítear na gráid a fuair
grúpa 264 dalta.
Faigh líon na ndaltaí a fuair grád E.
D
E
90°
C
60°
45°
45°
A
B
12. Sa phíchairt ar dheis léirítear na hábhair is fearr le
120 dalta Teastais Shóisearaigh i scoil i gCorcaigh.
I gcás an dá ábhar seo a leanas, cé mhéad dalta a
dúirt gurb é sin an t-ábhar is fearr leo?
(i) matamaitic (ii) corpoideachas (CO)
Cén céatadán de na daltaí a dúirt gurb í an
eolaíocht an t-ábhar is fearr leo?
13. Díoltar uachtar reoite fanaile, sútha talún agus seacláide ag
stainnín uachtair reoite. Sa phíchairt léirítear na díolacháin
uachtair reoite don Satharn seo caite. Bhí líon na n-uachtar
reoite fanaile agus líon na n-uachtar reoite seacláide a
díoladh mar a chéile. Díoladh 60 uachtar reoite sútha talún
ag an stainnín. Cé mhéad uachtar reoite seacláide a díoladh?
Matamaitic
120°
Béarla
75°
Stair
27°
39°
45°
54°
Fanaile 90°
Tíreol
CO
Eolaíocht
Sútha talún
Seacláid
14. I suirbhé, iarradh ar 320 duine ar eitleán agus ar 800 duine ar
bhád farantóireachta a rá cén tír arbh as iad.
Éire
An Fhrainc
Eitleán
320
duine
An Ísiltír
Éire
Bád farantóireachta
800
duine
An Ghearmáin
An Ghearmáin
S.A.M.
An Fhrainc
An Iodáil
An Iodáil
D'fhéach Sinéad ar na cairteacha agus dúirt 'Bhí an líon céanna daoine ón Iodáil, a
bheag nó a mhór, ar an eitleán agus a bhí ar an mbád farantóireachta'.
Mínigh cén fáth a bhfuil Sinéad mícheart.
369

Mír 13.2 Histeagraim
Histeagram a thugtar ar cheann de na slite is coitianta le dáileadh minicíochta a chur i láthair.
Tá histeagraim an-chosúil le barrachairteacha ach tá roinnt difríochtaí tábhachtacha eatarthu:
> ní bhíonn aon bhearnaí idir na barraí i histeagram
> baintear úsáid as histeagraim chun sonraí leanúnacha a thaispeáint
> bíonn na sonraí grúpáilte i gcónaí; ranganna a thugtar ar na grúpaí
> seasann achar gach barra nó dronuilleoige don mhinicíocht.
Is féidir le heatraimh na ranganna ar histeagram a bheith cothrom le chéile nó a bheith éagsúil
lena chéile.
Agus muid ag déanamh staidéir ar histeagraim sa chúrsa seo, ní bheimid ag plé ach leis an gcás
ina bhfuil eatraimh na ranganna cothrom le chéile.
Ach eatraimh na ranganna a bheith cothrom le chéile, bíonn an-chosúlacht ag an histeagram
leis an mbarrachairt.
Sampla 1
Taispeántar sa tábla thíos na hamanna a thóg sé ar 32 dalta fadhb a réiteach.
Am (ina shoic) 0–10 10–20 20–30 30–40 40–50 50–60
Líon na ndaltaí 1 2 8 12 6 3
(i) Tarraing histeagram chun na sonraí sin a léiriú.
(ii) Scríobh síos an rang módúil.
(iii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?
An chéad rud a dhéanaimid ná dhá ais a tharraingt agus iad ag dronuillinneacha
lena chéile.
Breacaimid na hathróga (am sa chás seo) ar an ais chothrománach agus breacaimid
na minicíochtaí (líon na ndaltaí) ar an ais cheartingearach.
12
(i) Seo é an histeagram.
Minicíocht
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 10 20 30 40 50 60
[NÓTA: Tá sé tábhachtach lipéad a chur ar an dá ais.] Am (soicindí)
370

(ii) Is é an rang módúil an rang a bhfuil an mhinicíocht is airde aige.
Is é sin an rang (3040) soicind.
is é (3040) soicind an rang módúil.
(iii) Is é an t-airmheán an luach leathshlí tríd an dáileadh.
Tá 32 dalta ar fad ann; mar sin is iad na daltaí láir ná an 16ú dalta agus an
17ú dalta.
Is é suim na líonta daltaí sna chéad trí eatramh ná
1 2 8 i.e. 11
Beidh an 16ú dalta agus an 17ú dalta sa chéad eatramh eile, (3040) soicind.
Mar sin is san eatramh (3040) soicind atá an t-airmheán.
Cleachtadh 13.2
1. Ag deireadh a n-aistear, cuireadh ceist ar 30 tiománaí cé mhéad ciliméadar a thaistil
siad. Taispeántar a gcuid freagraí sa tábla thíos:
Fad slí (ina km) 0–20 20–40 40–60 60–80 80–100
Minicíocht 6 12 7 4 1
[Is éard a chiallaíonn 020 ná 0 agus < 20]
(i) Tarraing histeagram chun na sonraí sin a léiriú.
(ii) Cé mhéad tiománaí a bhí tar éis 40 km nó níos mó a thaisteal?
(iii) Cad é an rang módúil?
(iv) Cén céatadán de na tiománaithe a thaistil idir 20 km agus 40 km?
2. Sa histeagram thíos taispeántar aois na ndaoine atá ina gcónaí i sráidbhaile.
(i) Cé mhéad duine a
bhí idir 30 agus 40
bliain d'aois?
(ii) Cad é an rang
módúil?
(iii) Cé mhéad duine a
bhí níos lú ná 30
bliain d'aois?
(iv) Cé mhéad duine a
bhí ina gcónaí sa
sráidbhaile?
Líon na ndaoine
18
0
0
(v) Cén t-eatramh ina bhfuil 20% de na daoine ar cuireadh an suirbhé orthu?
(vi) Cén t-eatramh ina bhfuil an aois airmheánach?
16
14
12
10
8
6
4
2
10
20 30 40 50 60 70 80
Aois ina blianta
371

3. Sa tábla minicíochta ar dheis tugtar na hamanna
feithimh do ghrúpa othar ag lialann dochtúra.
(i) Tarraing histeagram chun na sonraí sin a léiriú.
(ii) Cé mhéad othar a bhí sa suirbhé?
(iii) Cad é an rang módúil?
(iv) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?
(v) Cad é an líon othar is mó a d'fhéadfadh a bheith
ag feitheamh ar feadh níos mó ná 10 nóiméad?
Am feithimh
(ina nóiméid)
Líon na
n-othar
0–4 2
4–8 6
8–12 10
12–16 12
16–20 8
372
4. Sa histeagram thíos taispeántar an t-am, ina shoicindí, a thóg sé ar ghrúpa daltaí
puzal a réiteach.
16
Líon na ndaltaí
14
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10 15 20 25
Am (soicindí)
(i) Cé mhéad dalta ar thóg sé 15 shoicind nó níos mó orthu an puzal a réiteach?
(ii) Cé mhéad dalta a ghlac páirt sa tástáil?
(iii) Cad é an rang módúil?
(iv) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?
(v) Cad é an líon daltaí is mó a bhféadfadh an puzal a bheith réitithe acu i níos lú ná
8 soicind?
(vi) Cad é an líon daltaí is lú a bhféadfadh an puzal a bheith réitithe acu i níos lú ná
12 shoicind?
5. Sa tábla minicíochta grúpáilte thall taispeántar an líon
nóiméad a chaith roinnt daoine in ionad
Nóiméid
siopadóireachta:
(i) Tarraing histeagram chun na sonraí a léiriú.
(ii) Scríobh síos an rang módúil.
(iii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?
(iv) Cén t-eatramh ina bhfuil 20% go baileach de na
daoine?
(v) Cad é an líon daoine is mó a bhféadfadh níos mó
ná 30 nóiméad a bheith caite acu san ionad siopadóireachta?
Líon na
ndaoine
5–15 8
15–25 14
25–35 28
35–45 20
(vi) Bain úsáid as lárluachanna na n-eatramh chun an meánmhéid ama a caitheadh
san ionad siopadóireachta a ríomh, ceart go dtí an nóiméad is gaire.

Mír 13.3 Cruth an dáilte
Sa mhír roimhe seo bhíomar ag plé le histeagraim le cruthanna éagsúla.
Taispeánann na léaráidí thíos ceithre histeagram, agus cruth difriúil ar gach ceann acu.
A B C D
Níl cuma chothromaithe ná shiméadrach ar aon cheann acu ach amháin histeagram D mar
go bhfuil ais siméadrachta aige. Tá níos lú cothromaíochta ag baint leis na trí histeagram
eile, i.e. tá siad sceabhach ar bhealach éigin.
Bíonn histeagraim an-úsáideach nuair is mian leat a fheiceáil cá bhfuil na sonraí agus, ar an
gcaoi sin, léargas soiléir ar chruth an dáilte a fháil. Mar shampla, i histeagram A thuas, is léir
go bhfuil an chuid is mó de na sonraí sna luachanna is ísle. I histeagram C tá an chuid is mó
de na sonraí sna luachanna is airde.
Tá cruthanna áirithe ann a bhíonn ar dháileadh go minic agus ba chóir go mbeifeá in ann
iad a aithint agus a ainmniú. Déantar cur síos thíos ar na cruthanna is coitianta.
1. Dáileadh siméadrach
Tá ais siméadrachta síos tríd an lár ag an dáileadh seo.
Dáileadh siméadrach a thugtar air.
Meán
Airmheán
Mód
Meán Airmheán Mód
> Tá sé ar cheann de na dáiltí is coitianta agus is tábhachtaí sa staitistic.
An dáileadh normalach a thugtar air de ghnáth.
> Seo roinnt samplaí ón saol de dháileadh siméadrach (nó normalach):
(i) airde sampla randamach daoine
(ii) sainuimhir intleachta (IQ) daonra
373

2. Sceabha deimhneach
> Nuair atá an chuid is mó de na sonraí i ndáileadh ag na luachanna
níos ísle, deirtear gur sceabha deimhneach atá faoi.
Taispeánann an histeagram seo a leanas sceabha deimhneach
mar go bhfuil formhór na sonraí, léirithe ag na barraí níos
airde, ar chlé.
Má bhíonn sceabha
deimhneach ann, bíonn
an chuid is mó de na
sonraí ar chlé.
Tabhair faoi deara go bhfuil eireaball fada ar thaobh na láimhe deise den dáileadh.
Eireaball ar dheis
Eireaball ar dheis
Mód
Airmheán
> Seo roinnt samplaí ón saol de dháileadh
Meán
a bhfuil sceabha deimhneach faoi:
Meán > Airmheán > Mód
(i) an líon páistí i gclann
(ii) an aois ag a bhfoghlaimíonn daoine rothaíocht
(iii) an aois ag a bpósann daoine.
3. Sceabha diúltach
> Nuair atá an chuid is mó de na sonraí i ndáileadh ag na luachanna níos airde,
deirtear gur sceabha diúltach atá faoi.
Más sceabha diúltach atá faoi dháileadh, is ar chlé a bheidh an t-eireaball.
Eireaball ar chlé
Más sceabha deimhneach atá faoi dháileadh, is ar dheis
a bheidh an t-eireaball; más sceabha diúltach atá faoi, is
ar chlé a bheidh an t-eireaball.
Mód
Airmheán
Meán
Meán < Airmheán < Mód
> Seo roinnt samplaí ón saol de dháileadh a bhfuil sceabha diúltach faoi:
(i) an aois ag a mbíonn ar dhaoine a gcéad phéire spéaclaí léitheoireachta a fháil
(ii) airde na n-imreoirí i sraith cispheile.
374

Cleachtadh 13.3
1. Déan cur síos ar an dáileadh atá le feiceáil ar dheis.
(i) Cén t-ainm a thugtar ar an dáileadh seo de
ghnáth?
(ii) Tabhair sampla amháin ón saol den dáileadh seo.
2. Déan cur síos ar an dáileadh atá le feiceáil ar dheis.
Tabhair sampla amháin ón saol den dáileadh seo.
3. An sceabha deimhneach nó sceabha diúltach atá
faoin dáileadh seo?
Tabharfaidh tú faoi deara go bhfuil formhór na
luachanna ar an taobh níos ísle den dáileadh.
Tabhair sampla amháin ón saol den chineál seo dáilte.
4. Seo trí dháileadh:
(a) (b) (c)
(i) Cé acu de na dáiltí seo atá siméadrach?
(ii) Cé acu dáileadh a bhfuil sceabha deimhneach faoi?
(iii) Cé acu dáileadh a bhfuil sceabha diúltach faoi?
(iv) Cén dáileadh is dóichí a léireoidh na sonraí seo?
'Meáchain imreoirí rugbaí idirnáisiúnta'.
(v) Cé acu dáileadh is fearr a dhéanann cur síos ar na sonraí seo?
'Sainuimhreacha intleachta (IQ) líon mór daltaí dara leibhéal.'
5. Déan cur síos ar an dáileadh a thaispeántar.
Cé acu de na trí mheán staitistiúla, an mód,
an meán nó an t-airmheán, is oiriúnaí chun
cur síos a dhéanamh ar na sonraí seo?
375

6. Taispeántar thíos dhá dháileadh, A agus B :
A
B
I gcás gach ceann de na suíomhanna seo, ainmnigh an dáileadh ar dócha go léireoidh
sé an suíomh sin.
(i) ‘Na marcanna a bhain na daltaí ardteistiméireachta go léir amach sa mhatamaitic
an bhliain seo caite.’
(ii) ‘Na marcanna a bhain rang 30 dalta amach sa bhitheolaíocht.’
(iii) Cén t-ainm a thugtar ar dháileadh B de ghnáth?
7. Sa histeagram seo trasna taispeántar an
dáileadh don mhéid ama a thóg sé chun
puzal a réiteach.
(i) An sceabha deimhneach nó sceabha
diúltach atá faoin dáileadh?
(ii) Mínigh an fáth a bhfuil an mód níos
airde ná an meán sa dáileadh seo.
Minicíocht
25
20
15
10
5
Méid ama chun puzal a réiteach
8. Déan cur síos ar an dáileadh atá le feiceáil ar dheis.
Don mhód, don mheán agus don airmheán atá
ag an dáileadh seo,
(i) abair cé acu de na trí cinn sin is lú
(ii) abair cé acu de na trí cinn sin is mó.
0
0
5
10 15 20 25
Méid ama (nóiméid)
9. Breacann oifigeach sábháilteachta síos luasanna na gcarr a ghabhann thar scoil áirithe.
Taispeántar sa tábla na luasanna a bhreac sé síos.
Luas (km/u) 25–30 30–35 35–40 40–45 45–50
Minicíocht 25 20 10 5 3
(i) Tarraing histeagram chun na sonraí sin a thaispeáint.
(ii) An sceabha deimhneach nó sceabha diúltach atá faoin dáileadh? Mínigh do fhreagra.
(iii) Déan cóip den ráiteas thíos agus cuir na siombailí > nó < sna boscaí i ndáil leis na
sonraí a thugtar sa tábla thuas.
Mód Airmheán Meán
376

Mír 13.4 Léaráidí gais is duillí
Is bealach an-úsáideach í léaráid ghais is duillí chun sonraí a chur i láthair. Bíonn sí úsáideach
mar go dtaispeánann sí na sonraí bunaidh ar fad agus, ina theannta sin, go dtugann
sí pictiúr iomlán duit ar chruth an dáilte.
Bíonn sí cosúil le barrachairt chothrománach, ach gurb iad na figiúirí féin na barraí.
Níl léaráidí gais is duillí oiriúnach ach do líon beag sonraí.
Go minic is é an gas a thaispeánann digit na ndeicheanna de na luachanna agus is iad na duillí a
thaispeánann digit na n-aonad. Má chuireann tú le chéile iad, gheobhaidh tú an luach bunaidh.
Mar shampla seasann 4|2 do 42.
Taispeántar thíos léaráid ghais is duillí thipiciúil.
0 6 9
1 2 5 7
Seasann sé seo do 17.
2 3 3 6 8
3 0 2 7
4 1 2 6
5 3 Eochair: 3|2 32
Is iad na sonraí atá léirithe thuas:
6, 9, 12, 15, 17, 23, 23, 26, 28, 30, 32, 37, 41, 42, 46, 53
Ní mór duit eochair a chur isteach i
gcónaí le taispeáint conas a thagann
an gas agus an duille le chéile.
Sampla 1
Seo iad na marcanna a fuair rang daltaí i dtástáil eolaíochta.
58 65 40 59 68 63 81 76 63 57 44 47 53 70 80
68 81 61 57 49 70 54 75 69 65 59 52 63 63 74
(i) Déan léaráid ghais is duillí chun na sonraí sin a chur i láthair.
(ii) Cad é an mód atá ag na sonraí?
(iii) Cad é an t-airmheán?
(iv) Cad é an raon atá ag na sonraí?
(i) Tarraing gas na léaráide i dtosach.
4
5
6
7
8
Is é 40 an luach is lú ar an liosta agus is é 81
an luach is mó.
Is é gas na léaráide ná digití na ndeicheanna
ó 4 go 8.
377

Téigh síos trí na luachanna sonraí anois agus cuir an dara digit ar an
líne chuí.
Don chéad luach, 58, cuirfidh tú an 8 ar an líne dar tús 5.
4 0 4 7 9
5 8 9 7 3 7 4 9 2
6 5 8 3 3 8 1 9 5 3 3
7 6 0 0 5 4
8 1 0 1
Is iad na huimhreacha ar thaobh na láimhe deise den léaráid na duillí.
Ar deireadh, scríobh an léaráid arís agus bíodh na duillí ar fad in ord. Is é
an ceann is lú an ceann is gaire don ghas.
Bí cinnte go gcuirfidh tú isteach eochair.
4 0 4 7 9
5 2 3 4 7 7 8 9 9
6 1 3 3 3 3 5 5 8 8 9
7 0 0 4 5 6
8 0 1 1 Eochair: 6|3 63
(ii) Is é 63 an mód mar gurb é sin an luach is coitianta atá ann.
(iii) Ós rud é gur 30 luach atá ann, is é an t-airmheán meán an 15ú luach
agus an 16ú luach.
Déan comhaireamh ar na luachanna sa léaráid ghais is duillí chun an
15ú luach agus an 16ú luach a fháil.
Ós rud é go bhfuil an dá luach sin cothrom le 63, is é 63 an t-airmheán.
Más 30 luach atá ann, is é an lárluach ná 1 2
(30 1)
i.e. 15 1_ 2
. Is ionann an luach sin agus leath shuim an
15ú luach agus an 16ú luach.
(iv) Is é an raon an luach is airde lúide an luach is ísle.
81 40
41
378

Luachanna difriúla do na gais
Seo an méid ama, ina shoicindí, a thóg sé ar gach iomaitheoir rás 60 méadar a rith.
6.6 4.9 5.7 7.6 8.2 6.3 6.5 7.4 5.1 5.3 6.2 7.8
An uair seo beidh na haonaid mar ghais againn.
Céim 1 Tarraing an chéad léaráid.
Is iad na haonaid na gais.
Is iad na deichiú codanna na duillí.
4 9
5 7 1 3
6 6 3 5 2
7 6 4 8
8 2
Léaráidí gais is duillí cúl le cúl
Eochair : 6|3 6.3 soicind
Céim 2 Cuir na duillí in ord a
méide.
4 9
5 1 3 7
6 2 3 5 6
7 4 6 8
8 2
Is féidir dhá léaráid ghais is duillí a tharraingt agus an gas céanna ag an dá cheann acu.
Léaráidí gais is duillí cúl le cúl a thugtar orthu sin.
Cuirtear duillí a bhaineann le tacar amháin sonraí ar thaobh na láimhe deise den ghas.
Cuirtear duillí a bhaineann leis an tacar sonraí eile ar chlé.
Bíonn léaráidí gais is duillí cúl le cúl an-úsáideach chun dhá thacar sonraí a chur i
gcomparáid lena chéile.
Chuir Jeaic agus Ciara an méid ama a chaith siad gach tráthnóna ar a gcuid obair bhaile i
gcomparáid lena chéile.
Taispeántar a gcuid amanna sa léaráid ghais is duillí chúl le cúl.
Eochair: 5|3 35 nóiméad
Jeaic
6 5 5 3 2 2
Léimid amanna Jeaic ón ngas ar chlé.
Mar sin is iad amanna Jeaic:
22, 23, 25, 25, 26, 35, 36, …
Is iad amanna Chiara:
36, 37, 44, 46,46, 52, …
Ciara
8 6 5 3 6 7
3 2 4 4 6 6
1 5 2 3 4 5
6 4 8
Eochair: 4|6 46 nóiméad
Uaireanta tugtar an eochair mar seo: 5|3|6.
Ciallaíonn sé sin 36 do Chiara agus 35 do
Jeaic.
Taispeántar sa sampla seo a leanas conas is féidir úsáid a bhaint as léaráid ghais is duillí chúl
le cúl chun dhá thacar sonraí a chur i gcomparáid lena chéile.
379

Sampla 2
Chuir Roibeard agus Sinéad na faid ama a chaith siad gach tráthnóna ag féachaint
ar an teilifís i gcomparáid lena chéile.
Taispeántar a gcuid amanna sa léaráid ghais is duillí chúl le cúl seo a leanas.
Eochair: 3|4 43 nóiméad
Roibeard
7 4 4 2 3 2
Sinéad
9 6 4 3 4 6
5 3 4 5 7 7
2 5 3 3 4 6
6 5 7
Eochair: 4|5 45 nóiméad
(i) Cad a thaispeánann an léaráid faoi na faid ama a chaith Roibeard agus
Sinéad ag féachaint ar an teilifís?
(ii) Cad é an fad ama airmheánach a chaith Sinéad ag féachaint ar an teilifís?
(iii) Cad é an fad ama airmheánach a bhí ag Roibeard?
(iv) An dtagann na faid ama airmheánacha sin le do thátal in (i) thuas?
(i) Má fhéachaimid ar an léaráid, feicfimid go bhfuil an chuid is mó d'amanna
Roibeaird idir 23 agus 39 nóiméad.
Tá an chuid is mó d'amanna Shinéad idir 45 agus 67 nóiméad.
Taispeánann sé sin go gcaitheann Sinéad níos mó ama ag féachaint ar an
teilifís ná mar a chaitheann Roibeard.
(ii) Do Shinéad, is é 53 an luach atá leathshlí tríd an dáileadh. Mar sin is é an
fad ama airmheánach a chaitheann sí ag féachaint ar an teilifís ná 53 nóiméad.
(iii) Is é 34 nóiméad fad ama airmheánach Roibeaird.
(iv) Ós rud é go bhfuil fad ama airmheánach Shinéad níos mó ná fad ama
airmheánach Roibeaird, tagann sé leis an dearcadh a cuireadh in iúl in (i)
thuas go gcaitheann sí níos mó ama ná Roibeard ag féachaint ar an teilifís.
An raon idircheathairíle a fháil ó léaráid ghais is duillí
I gCaibidil 8, d'fhoghlaimíomar gurb í an cheathairíl íochtarach an luach sna sonraí atá aon
cheathrú den tslí tríd an dáileadh. Is í an cheathairíl uachtarach an luach atá trí cheathrú den
tslí tríd an dáileadh. Is é an raon idircheathairíle an difríocht idir an cheathairíl uachtarach
agus an cheathairíl íochtarach.
Taispeánfaimid anois conas an dá cheathairíl agus an raon idircheathairíle a fháil i gcás dáileadh
a chuirtear i láthair mar léaráid ghais is duillí.
380

Sampla 3
Taispeánann an léaráid ghais is duillí ar dheis na
marcanna, as 50, a fuair daltaí i dtástáil mhatamaitice.
Faigh (i) an marc airmheánach
(ii) an cheathairíl íochtarach
(iii) an cheathairíl uachtarach
(iv) an raon idircheathairíle.
(i) Is é an marc airmheánach an marc atá leathshlí tríd an dáileadh.
Tá 15 luach sonraí ann.
1
Is é atá sa luach leathshlí ná
2
(15 1) i.e. an 8ú luach.
Ag tosú ag an luach is ísle dúinn, is é 31 an 8ú luach.
an t-airmheán 31
(ii) Is í an cheathairíl íochtarach an luach atá aon cheathrú den tslí tríd an
dáileadh.
Is é atá sa luach sin 1 4
(15 1) i.e. an 4ú luach.
Is é 24 an luach sin.
an cheathairíl íochtarach 24
(iii) Is í an cheathairíl uachtarach an luach atá trí cheathrú den tslí tríd an
dáileadh.
Is é atá sa luach sin 3 4
(15 1) i.e. an 12ú luach.
Is é 41 an luach sin.
an cheathairíl uachtarach 41
1 2 8
Marcanna
2 1 4 7 7 8
3 1 4 5 7
4 1 2 8
5 0
Eochair: 2|1 21
(iv) An raon idircheathairíle ceathairíl uachtarach lúide ceathairíl íochtarach
41 24
17
Cleachtadh 13.4
1. Sa léaráid ghais is duillí ar dheis
gas duillí
taispeántar na marcanna a fuair grúpa
5 1 4 6
daltaí i dtástáil Spáinnise.
6 2 3 3 6
(i) Cé mhéad dalta a rinne an tástáil seo?
7 2 3 5 7 8
(ii) Cé mhéad dalta a fuair idir 70 agus
79 marc?
8 0 0 2 4 6 6
(iii) Cad é an marc ab airde a baineadh 9 3 4 Eochair: 7|3 73 marc
amach?
(iv) Cad é an marc ab ísle?
(v) Cé mhéad dalta a fuair 80 marc nó níos mó?
381

2. Taispeántar sa léaráid ghais is duillí thíos aois, ina blianta, 25 duine a bhí ag iarraidh
páirt a ghlacadh i gcomórtas siúil 10 km.
1 4 4 6 9
2 1 3 7 7 7 8
3 3 6 6 7 9
4 0 2 3 3 8 8
5 1 3 4 7 Eochair: 1|6 16 bliana d'aois
(i) Cé mhéad duine a bhí níos óige ná 20 bliain d'aois?
(ii) Scríobh síos an aois mhódúil.
(iii) Cé mhéad duine a bhí idir 35 agus 45 bliain d'aois?
(iv) Cén aois airmheánach a bhí ann?
3. Tá an méid peitril, ina lítir, a cheannaigh 20 tiománaí le feiceáil thíos.
16 23 27 10 35 42 26 25 24 17
23 41 33 35 25 19 16 31 12 29
Déan léaráid ghais is duillí chun an fhaisnéis sin a chur i láthair.
4. Fiafraíodh de cheithre dhalta is fiche cé mhéad CD a bhí acu ina mbailiúchán.
Leagtar amach na torthaí thíos:
23 2 18 14 7 4 25 21 32 26 31 6
17 6 18 19 31 21 12 1 0 8 14 15
(i) Tarraing léaráid ghais is duillí chun an t-eolas sin a léiriú.
(ii) Cé mhéad dalta a raibh níos mó ná 20 CD acu?
(iii) Cad é an líon airmheánach CD in aghaidh an dalta?
5. Feicfidh tú thíos an fad ama a thóg sé chun 24 glao teileafóin a fhreagairt. Soicindí atá i gceist.
3.2 5.6 2.4 3.5 4.3 3.6 2.8 5.8 3.3 2.6 3.5 2.8
5.6 3.5 4.2 1.5 2.7 2.5 3.7 3.1 2.9 4.2 2.4 3.0
Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid ghais is duillí chun an fhaisnéis sin a chur i láthair.
1
2
3 2
4
5 Eochair: 3|2 3.2 soicind
(i) Cé mhéad de na glaonna ar thóg sé níos faide ná 4 shoicind chun iad a fhreagairt?
(ii) Cad é an difríocht idir an fad ama is mó agus an fad ama is lú a thóg sé chun glao
a fhreagairt? Bíodh an freagra ina shoicindí.
(iii) Cad é an fad ama airmheánach a thóg sé chun glao a fhreagairt?
(iv) Cad é an fad ama módúil?
382

6. Taispeánann an léaráid ghais is duillí thíos na marcanna a fuair 19 ndalta i dtástáil.
gas
2 2
duillí
3 4 6
4 2 7 9
5 3 4 5 8 9
6 0 2 6 7
7 2 6
8 1 4 Eochair: 4|2 42 marc
(i) Scríobh síos raon na marcanna.
(ii) Cén luach atá ag an gceathairíl íochtarach?
(iii) Cad é an cheathairíl uachtarach?
(iv) Cad é an raon idircheathairíle?
7. Feicfidh tú thíos aoiseanna, ina mblianta, na mball i gclub leadóg bhoird.
15 17 12 16 24 29 36 25 38 42 17
53 44 49 53 29 21 11 38 14 29
(i) Tarraing léaráid ghais is duillí chun na haoiseanna sin a chur i láthair.
(ii) Cad é an cheathairíl íochtarach?
(iii) Faigh an cheathairíl uachtarach.
(iv) Cad é an raon idircheathairíle?
8. Taispeántar sa léaráid ghais is duillí chúl le cúl thíos na torthaí a fuair rang daltaí i
scrúduithe san Eolaíocht agus sa Fhraincis:
Eochair: | 1 7 71 marc
Eolaíocht
7 5 2
8 0 3 6
Fraincis
5 5 4 0 5 7 8
9 5 4 3 2 5 1 5 8
9 7 5 6 2 4 4 5 7
3 1 7 2 4 5 6
6 3 8 3 5
1 9
(i) Cé mhéad dalta a rinne na scrúduithe?
(ii) Cad é raon na marcanna
(a) san Eolaíocht (b) sa Fhraincis?
(iii) Cad é an marc airmheánach san Eolaíocht?
(iv) Cad é raon idircheathairíle na marcanna Fraincise?
Eochair: 3|6 36 marc
383

384
9. D'imir Brian agus Máirtín deich mbabhta ar chúrsa gailf 9 bpoll.
Taispeánann an léaráid ghais is duillí líon na mbuillí a thóg siad i ngach babhta.
Brian Máirtín
9 7 3
9 5 5 3 1 0 4 5 9
3 2 5 0 2 3 5 7
6 2 4
Eochair: 2|5 52 buille 7 1 Eochair: 4|5 45 buille
Scríobh síos (i) an scór ab ísle a fuair Brian (ii) an scór airmheánach a bhí ag Brian
(iii) an scór airmheánach a bhí ag Máirtín
(iv) an raon a bhí ag scóir Bhriain (v) an raon a bhí ag scóir Mháirtín.
Cé acu den bheirt imreoirí is fearr ag an ngalf? Mínigh do fhreagra.
10. Taispeánann an léaráid ghais is duillí chúl le cúl thíos na rátaí cuisle ag grúpa mic
léinn choláiste i nGaillimh. Tá siad roinnte ina dhá ngrúpa - iad siúd a chaitheann
tobac agus íoc siúd nach gcaitheann.
Caitheann tobac Ní chaitheann tobac
5 0 8 9
9 8 5 6 0 4 4 5 6 6 6 8 8
6 6 5 0 0 7 0 1 1 8 9
8 8 6 3 0 8 0 1 6 8 8
Eochair: 5|6 65 2 0 9
Eochair: 5|8 58
(i) Faigh airmheán agus raon na rátaí cuisle don ghrúpa a chaitheann tobac.
(ii) Faigh airmheán agus raon na rátaí cuisle don ghrúpa nach gcaitheann tobac.
(iii) Má léiríonn ráta cuisle níos lú go bhfuil an duine níos aclaí, cé acu den ghrúpa
atá níos aclaí? Mínigh do fhreagra.
11. Fiafraíodh de dheichniúr fear agus de dheichniúr ban cé mhéad teilifíse ar ar fhéach
siad an deireadh seachtaine roimhe sin. Seo iad a gcuid amanna, ina nóiméid:
Fir 40 41 42 52 52 52 64 65 65 71
Mná 40 41 51 62 63 75 87 88 93 95
Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid
Fir Mná
ghais is duillí chúl le cúl ar dheis.
4 0
(i) Cad é an fad ama módúil do na fir?
5
(ii) Cad é an fad ama airmheánach do na
4 6
(a) fir (b) mná?
7
(iii) Cad é raon na n-amanna do na
(a) fir (b) mná?
8
(iv) Bain úsáid as na freagraí ar (ii) Eochair: 4|6 64 nóim. 9 Eochair: 4|0 40 nóim.
agus (iii) le taispeáint go gcaitheann na mná níos mó ama ag féachaint ar an teilifís
ná mar a chaitheann na fir.

12. D'imir Áine agus Conchúr naoi mbabhta de ghalf mearaí agus iad ar laethanta
saoire an tsamhraidh. Taispeántar a scóir sa léaráid ghais is duillí chúl le cúl thíos.
Eochair: 1|4 41
Áine
9 3 1 0 0 5 2
Conchúr
3 0 0 2
1 4 1 1 1 2
6 5 4 6 8
Eochair: 4|1 41
(i) Ba é 30 an scór ab ísle a fuair Conchúr. Cad é an scór ab ísle a fuair Áine?
(ii) Cad é an scór módúil a fuair Conchúr?
(iii) Cad é an scór airmheánach a fuair Áine?
Sa ghalf mearaí, is ag an duine a fhaigheann an scór is ísle a bhíonn an bua. Is
amhlaidh go bhfuair Conchúr an scór ab airde an samhradh sin ach fós féin ba é a
roghnaíodh mar an t-imreoir ab fhearr.
(iv) Tabhair cúis leis an rogha sin.
13. Tugtar sa tábla thíos na marcanna a fuair rang 20 dalta ina gcuid scrúduithe sa
Fhraincis agus sa Bhéarla.
Fraincis
75
81
69
61
58
61
58
45
46
31
44
44
32
53
50
66
53
47
78
57
Béarla
52
65
58
79
68
44
77
71
38
84
85
72
43
63
44
69
56
72
65
79
(i) Déan léaráid ghais is duillí chúl le cúl chun na torthaí sin a chur i láthair.
(ii) Cad é an marc airmheánach sa Fhraincis?
(iii) Cad é an marc airmheánach sa Bhéarla?
(iv) Cé acu den dá ábhar inar chruthaigh na daltaí níos fearr? Mínigh do fhreagra.
Mír 13.5 Scaipghraif
Is minic a dhéantar ráitis sna meáin ar nós 'Beidh tú i mbaol timpiste má bhíonn tú ag tiomáint
faoi thionchar an óil' agus 'Beidh tú i mbaol taom croí má bhíonn tú ró-ramhar'. D'fhéadfadh an
tÚdarás um Shábháilteacht ar Bhóithre, mar shampla, sonraí a chur ar fáil le taispeáint go bhfuil
gaol idir tiomáint faoi thionchar an óil agus timpistí bóthair.
Taispeánann an mhír seo duit conas comparáid a dhéanamh idir dhá thacar sonraí le fáil amach
an bhfuil gaol eatarthu. Mar shampla, d'fhéadfá a bheith ag súil leis go mbeadh gaol idir líon na
gcón uachtair reoite a dhíoltar i siopa cois farraige agus an mheánteocht i gcaitheamh an lae.
Bhailigh Sinéad agus a cara na sonraí seo a leanas chun é sin a fháil amach.
Meánteocht (°C) 10 12 16 20 13 16 14 17 19 20 21 16
Líon na gcón a díoladh 1 5 20 50 15 25 14 30 32 42 50 30
385

Bhreac siad gach péire luachanna, (10, 1), (12, 5), (13, 15) agus mar sin de, ar ghrafpháipéar.
D'úsáid siad an ais chothrománach don teocht agus an ais cheartingearach do líon na gcón
uachtair reoite a díoladh.
Líon na gcón
a díoladh
60
50
40
30
20
10
0
5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Meánteocht i rith an lae (°C)
Sonraí
dé-athráideacha
a thugtar ar
shonraí ar nós
(10, 1) agus
(12, 5) a bhíonn
ina bpéirí.
Scaipléaráid nó scaipghraf a thugtar ar na pointí atá breactha thuas.
Taispeánann an léaráid go dtagann ardú ar líon na gcón uachtair reoite a dhíoltar de réir
mar a thagann ardú ar an teocht. Léiríonn sé sin go bhfuil gaol idir an teocht agus líon na
gcón uachtair reoite a dhíoltar.
Má bhíonn na pointí ar scaipghraf ar líne dhíreach, a bheag nó a mhór, deirimid go bhfuil
gaol líneach idir an dá thacar sonraí. Dá ghaire na pointí do líne dhíreach is ea is láidre a
bheidh an gaol.
Sampla 1
Agus é ar aistear idir dhá bhaile, bhreac Aindriú síos líon na gciliméadar a bhí
fágtha ar an aistear. Rinne sé é sin gach deich nóiméad.
Taispeántar sa tábla thíos na sonraí a bhreac sé síos.
Fad ama (nóim.) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Líon na gciliméadar 72 60 50 42 40 32 25 18 10 0
Tarraing scaipghraf chun na sonraí
sin a léiriú.
Taispeánann an scaipghraf go bhfuil
gaol líneach idir an dá thacar sonraí.
Dá mhéad an t-am atá caite ag
taisteal, is ea is lú líon na gciliméadar
atá fágtha.
Líon na gciliméadar atá fágtha
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Fad ama (nóiméid)
386

Uaireanta ní bhíonn aon ghaol idir dhá thacar sonraí.
Sa tábla thíos taispeántar an gaol idir teocht agus báisteach gach Domhnach i gcaitheamh
tréimhse 11 seachtain.
Teocht (ina °C) 20 21 24 26 30 33 34 35 38 40 44
Báisteach (mm) 12 4 22 8 16 4 2 10 14 0 2
Seo é scaipghraf na sonraí.
Dealraíonn sé nach bhfuil aon ghaol idir
an dá thacar sonraí mar go bhfuil na pointí
scaipthe go maith óna chéile agus nach
bhfuil aon phatrún líneach ann.
Comhchoibhneas
Comhchoibhneas a thugar ar neart an ghaoil idir dhá thacar sonraí. Má bhíonn na pointí
ar scaipghraf ar líne dhíreach nó gar do bheith ar líne dhíreach, deirtear go bhfuil
comhchoibhneas láidir ann.
Sna trí scaipghraf thíos taispeántar cineálacha éagsúla gaoil idir dhá thacar sonraí.
Báisteach (mm)
20
10
0
20
25
30 35 40 45
Teocht (°C)
De réir mar a thagann méadú
ar luach amháin, tagann méadú
ar an gceann eile freisin. Tá comhchoibhneas
deimhneach ann.
De réir mar a thagann méadú
ar luach amháin, tagann laghdú
ar an gceann eile. Tá comhchoibhneas
diúltach ann.
Tá na pointí eagraithe go randamach
agus tá siad scaipthe amach
go leathan óna chéile. Níl aon
chomhchoibhneas ann.
D'fhéadfadh comhchoibhneas deimhneach láidir nó lag a bheith ann, agus d'fhéadfadh
comhchoibhneas diúltach láidir nó lag a bheith ann.
Sna scaipléaráidí thíos léirítear cineálacha éagsúla comhchoibhnis.
Comhchoibhneas
deimhneach láidir
Comhchoibhneas
deimhneach lag
Comhchoibhneas
diúltach láidir
Comhchoibhneas
diúltach lag
Níl comhchoibhneas
ann
387

Sampla 2
Taispeántar meáchan agus airde dháréag sa tábla.
Airde(cm) 150 152 155 158 158 160 163 165 170 175 178 180
Meáchan(kg) 57 62 63 64 58 62 65 66 65 70 66 67
(i) Tarraing scaipghraf chun na sonraí sin a thaispeáint.
(ii) Déan cur síos ar neart agus ar chineál an chomhchoibhnis idir na hairdí
agus na meáchain sin.
(i) Tarraingímid dhá ais ag dronuillinneacha.
Cuirimid na hairdí ar an ais chothrománach.
Tosaímid le 140 cm agus téimid suas go dtí 180 cm.
Cuirimid na meáchain ar an ais cheartingearach, ag tosú ag 55 kg agus
ag dul suas go dtí 70 kg.
Ansin breacaimid na pointí (150, 57), (152, 62), … etc.
Taispeántar an scaipghraf thíos.
70
Meáchan (kg)
65
60
55
140
150
160 170 180
Airde (cm)
(ii) Is comhchoibhneas deimhneach lag atá ann mar nach bhfuil na pointí
an-ghar do bheith i líne dhíreach. Tá an comhchoibhneas deimhneach mar
go méadaíonn an meáchan de réir mar a mhéadaíonn an airde go ginearálta.
388

Cleachtadh 13.5
1. Taispeántar ceithre scaipghraf thíos.
A B C D
(i) Cé acu de na graif sin a thaispeánann an comhchoibhneas deimhneach is láidre?
(ii) Cé acu de na graif sin a thaispeánann comhchoibhneas diúltach?
(iii) Cé acu de na graif sin a thaispeánann an comhchoibhneas is laige?
2. Seo sceitsí de shé scaipghraf:
A B C
D E F
Cé acu léaráid(í) a thaispeánann
(i) comhchoibhneas deimhneach (ii) comhchoibhneas diúltach
(iii) nach bhfuil comhchoibhneas ann (iv) comhchoibhneas diúltach láidir?
Déan cur síos ar an gcomhchoibhneas i ngraf F.
3. Sa scaipghraf seo taispeántar líon na leabhar atá léite ag roinnt páistí agus aois
léitheoireachta na bpáistí sin. 11
(i) Cé mhéad páiste a
bhfuil níos mó ná 100 10
leabhar léite acu?
(ii) Tá 50 leabhar léite ag 9
duine de na páistí sin.
Cad é aois léitheoireachta
8
an pháiste sin?
(iii) Déan cur síos ar an ngaol
7
0 20 40 60 80 100 120 140 160
a thaispeánann an scaipghraf.
Líon na leabhar atá léite
Aois léitheoireachta (blianta)
389

4. Taispeántar sa scaipghraf ar dheis na marcanna
a fuair 100 dalta ina dtriailscrúduithe agus ina
scrúduithe deiridh.
(i) Déan cur síos ar an gcomhchoibhneas a
thaispeántar sa ghraf.
(ii) Cad is féidir leat a rá faoin ngaol idir na
marcanna a fuair na daltaí sna triailscrúduithe
agus na marcanna a fuair siad sna scrúduithe
deiridh?
Marc deiridh
100
90
80
70
60
0
0
60
70 80 90 100
Marc trialach
5. Taispeántar sa scaipléaráid seo meáchan, ina kg, agus airde, ina cm, 20 ball de chlub
cispheile (is fir iad ar fad).
100
90
Meáchan (kg)
80
70
60
50
160
170
180 190 200 210
Airde (cm)
(i) Scríobh síos meáchan an fhir is troime.
(ii) Scríobh síos airde an fhir is ísle.
(iii) Tá fear amháin an-trom ar fad i gcomparáid lena airde.
Scríobh síos airde agus meáchan an fhir sin.
(iv) Déan cur síos ar an gcomhchoibhneas a thaispeántar sa ghraf seo.
6. Cuirtear dhá thástáil ar gach duine de dheichniúr páistí. Roinnt puzal a bhaineann le
huimhreacha atá i gceann de na tástálacha. Sa tástáil eile ní mór do na páistí na botúin i
bpictiúir a thabhairt faoi deara. Taispeántar sa tábla na scóir a fuair na páistí sin sna
tástálacha.
Páiste A B C D E F G H I J
Scór i bpuzal na n-uimhreacha 12 7 10 3 7 10 5 5 12 14
Scór i bpuzal na bpictiúr 3 12 7 16 10 5 14 12 5 1
(i) Tarraing scaipghraf chun na sonraí sin a thaispeáint.
(Cuir scór na n-uimhreacha ar an ais chothrománach.)
(ii) Déan cur síos ar neart agus ar chineál an chomhchoibhnis idir na scóir seo.
An gcuireann an cineál comhchoibhnis iontas ort? Mínigh.
390

7. Ba mhian le Ben rothar athláimhe a cheannach. Feiceann sé an ceann atá uaidh
ar láithreán gréasáin agus breacann sé síos an aois agus an praghas.
Aois (blianta) 6 3 2 4 6 1 4 8 2 7
Praghas () 60 180 240 120 100 280 160 40 200 50
(i) Tarraing scaipghraf den fhaisnéis seo ar ghrafpháipéar, ag cur na haoise ar an
ais chothrománach.
(ii) Cad a insíonn an scaipghraf duit faoin gceangal idir aois na rothar seo agus a
bpraghas?
(iii) Déan cur síos, in dhá fhocal, ar an gcomhchoibhneas atá ann.
8. Taispeántar sa tábla na marcanna a fuair 15 dhalta a rinne Páipéar 1 agus Páipéar 2
de scrúdú matamaitice. Marcáladh an dá pháipéar as 40.
9.
Páipéar 1 36 34 23 24 30 40 25 35 20 15 35 34 23 35 27
Páipéar 2 39 36 27 20 33 35 27 32 28 20 37 35 25 33 30
(i) Tarraing scaipléaráid chun an fhaisnéis sin a thaispeáint.
(ii) Déan cur síos ar an gcomhchoibhneas a thaispeántar sa scaipléaráid.
A B C D
Taispeántar ceithre scaipghraf thuas. I gcás gach ceann de na cásanna seo a leanas,
roghnaigh an ceann is oiriúnaí de na scaipghraif. Mínigh do rogha i ngach cás.
(i) Airde buachaillí agus a méid bróige.
(ii) Meáchan fear agus an t-am a thógann sé orthu crosfhocal a chríochnú.
(iii) Aois carranna agus a bpraghas díola.
(iv) Na marcanna a baineadh amach i bPáipéar 1 na Matamaitice agus i bPáipéar 2 na
Matamaitice.
10. Déan cur síos ar an gcineál comhchoibhnis a mbeifeá ag súil leis idir:
(i) aois báid agus a praghas díola athláimhe,
(ii) airde páistí agus an aois atá acu,
(iii) méid bróige páistí agus an fad a thaistealaíonn siad chun na scoile,
(iv) an méid ama a chaitear ag féachaint ar an teilifís agus an méid ama a chaitear ag
staidéar,
(v) líon na gcarranna ar an mbóthar agus líon na dtimpistí.
391

Mír 13.6 Comhchoibhneas a thomhas
Tá na pointí ar an scaipghraf ar dheis i líne dhíreach.
Sa chás seo deirimid go bhfuil comhchoibhneas deimhneach
foirfe idir an dá athróg.
Má úsáidimid an litir r le seasamh don chomhchoibhneas agus
má bhíonn comhchoibhneas deimhneach foirfe ann, deirimid
go bhfuil r 1.
Sa léaráid thíos, tá comhchoibhneas diúltach foirfe ann agus
tá r 1.
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1 2 3 4 5 6 7
r 1
Tá luach idir 1 agus 1 ag gach comhchoibhneas eile.
Mura mbíonn aon chomhchoibhneas ann, bíonn r 0.
Comhéifeacht an chomhchoibhnis a thugtar ar luach r.
Tugann na scaipléaráidí thíos samplaí de roinnt luachanna de r.
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1 2 3 4 5 6 7
r 1
Comhchoibhneas
diúltach foirfe
r 1
Comhchoibhneas
diúltach ard
r 0.7
Níl comhchoibhneas
ann
r 0
Roinnt comhchoibhneas
deimhneach
r 0.5
Comhchoibhneas
deimhneach foirfe
r 1
392

Sampla 1
Taispeántar thíos ceithre scaipghraf A, B, C agus D.
A
B
Seo sé cinn de chomhéifeachtaí comhchoibhnis (i.e. luachanna do r)
0.2, 0.8, 0.2, 0, 0.9, 0.6
I gcás gach ceann de na scaipghraif A, B, C agus D thuas, roghnaigh an chomhéifeacht
comhchoibhnis (as na cinn atá tugtha) ar mó an seans go maitseálfaidh sí an scaipghraf.
A: 0.6 B: 0.9 C: 0 D: 0.8
C
D
Cleachtadh 13.6
1. Déan cur síos in dhá fhocal ar an gcomhchoibhneas
atá léirithe thíos.
Cé acu de na huimhreacha seo is dóichí a sheasfaidh
don chomhchoibhneas seo?
0.8, 0.9, 0, 0.1, 0.7
2. Taispeántar thíos ceithre scaipghraf A, B, C agus D.
A B
C D
Meaitseáil ceann de na huimhreacha seo a leanas le gach ceann de na graif thuas ionas
gurb í an uimhir sin is fearr a léiríonn an comhchoibhneas:
0.1, 0.4, 1, 1, 0.6 0.8, 0.8
393

3. Tarraing scaipghraf ar leith chun gach ceann de na comhéifeachtaí comhchoibhnis
seo a leanas a léiriú:
(i) 1 (ii) 0.9 (iii) 0.5 (iv) 0
4. Cé acu de na huimhreacha seo a léiríonn ‘comhchoibhneas diúltach láidir’?
(i) 0.3 (ii) 0.1 (iii) 1 (iv) 0.9 (v) 0.5
5. Cé acu de na comhéifeachtaí comhchoibhnis seo is fearr a léiríonn an
comhchoibhneas a thaispeántar sa léaráid thíos?
(i) 0.8 (ii) 0.8 (iii) 1 (iv) 0.5
6. Cé acu de na comhéifeachtaí comhchoibhnis seo a thaispeánann an
comhchoibhneas is láidre?
(i) 0.7 (ii) 0.2 (iii) 1 (iv) 0.9
7. Cé acu de na comhéifeachtaí comhchoibhnis seo a thaispeánann an
comhchoibhneas is laige?
(i) 0.8 (ii) 0.1 (iii) 1 (iv) 0.9
8. Maidir le gach cur síos thíos, meaitseáil ceann de na comhéifeachtaí comhchoibhnis
seo leis:
0.9, 0.1, 1, 0.8 0, 0.2
(i) Comhchoibhneas deimhneach láidir
(iii) Níl comhchoibhneas ann
(v) Comhchoibhneas diúltach an-lag
(ii) Comhchoibhneas diúltach láidir
(iv) Comhchoibhneas diúltach foirfe
(vi) Comhchoibhneas deimhneach an-lag
Mír 13.7 Gaolta cúisíocha agus comhchoibhneas
Braitheann praghas carr athláimhe, i measc rudaí eile, ar aois an chairr. Aois an chairr is
cúis le praghas an chairr a bheith ag laghdú. Deirimid go bhfuil gaol cúisíoch idir praghas
an chairr agus aois an chairr.
Sainmhíniú
Cuir i gcás go dtagann athrú ar athróg amháin. Más cúis é sin le
hathrú ar athróg eile, deirimid go bhfuil gaol cúisíoch eatarthu.
394

Sa scaipghraf thíos taispeántar an gaol idir díolacháin deochanna fuaraithe agus an teocht.
Tá an comhchoibhneas láidir agus deimhneach. Bheifeá ag súil leis sin mar, de ghnáth,
thiocfadh méadú ar dhíolacháin deochanna fuaraithe mar thoradh ar ardú teochta.
Teocht (°C)
35
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20 30 40 50 60
Díolacháin deochanna fuaraithe
Mar sin bheadh sé réasúnta an tátal a bhaint go bhfuil gaol cúisíoch idir díolacháin
deochanna fuaraithe agus ardú teochta.
Sa scaipléaráid thíos taispeántar líon na ríomhairí glúine agus líon na gcuisneoirí a dhíol
siopa earraí leictreacha i gcaitheamh tréimhse deich mí.
Líon na gcuisneoirí a díoladh
60
40
20
0
0 10 20 30 40 50 60
Líon na ríomhairí glúine a díoladh
Taispeánann an graf go bhfuil comhchoibhneas deimhneach
cuibheasach láidir idir líon na ríomhairí glúine a díoladh agus
líon na gcuisneoirí a díoladh. Ní chiallaíonn sé sin, áfach, go
bhfuil gaol cúisíoch eatarthu; ní cheannóidh tú cuisneoir toisc
gur cheannaigh tú ríomhaire glúine.
Má bhíonn
comhchoibhneas ann, ní
gá go gciallódh sé sin go
bhfuil gaol cúisíoch ann.
Cleachtadh 13.7
1. Cé acu de na péirí athróg seo a leanas ar dócha go bhfuil gaol cúisíoch eatarthu?
(i) Díolacháin teilifíseanna agus díolacháin taifeadáin DVD.
(ii) Méid innill cairr agus an méid peitril a chaitheann sé.
(iii) Marcanna i do thástáil mhatamaitice agus an fad ón scoil atá cónaí ort, ina
chiliméadair.
(iv) Díolacháin glasraí agus díolacháin seacláide.
(v) Díolacháin ríomhairí agus díolacháin bogearraí.
(vi) An teocht taobh amuigh agus an méid gáis a úsáidtear le haghaidh teas lárnach.
395

2. Sa scaipghraf taispeántar aois carranna agus líon na gciliméadar atá déanta acu.
50 000
Líon na gciliméadar atá déanta
40 000
30 000
20 000
10 000
0
0
1
2 3 4 5 6
Aois (blianta)
(i) Tá ceann de na carranna sin 4 bliana d'aois.
Cé mhéad ciliméadar atá déanta ag an gcarr sin?
(ii) Déan cur síos ar an ngaol a thaispeánann an scaipghraf seo.
(iii) An bhfuil gaol cúisíoch idir na hathróga sin? Mínigh do fhreagra.
(iv) I gcás ceann amháin de na carranna sin, níl a aois agus líon na gciliméadar atá
déanta aige ag teacht leis an bpatrún ginearálta.
(a) Cén aois atá ag an gcarr sin agus cé mhéad ciliméadar atá déanta aige?
(b) Tabhair cúis a d’fhéadfadh a bheith leis na torthaí don charr sin a bheith
difriúil leis na torthaí don chuid eile de na carranna.
3. Sa scaipghraf thíos taispeántar an gaol idir aois agus praghas gluaisrothar
athláimhe.
2000
Praghas an ghluaisrothair
1000
0
0
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aois (blianta)
(i) Déan cur síos ar an gcomhchoibhneas a thaispeántar sa scaipghraf seo.
(ii) An bhfuil gaol cúisíoch idir na hathróga?
Mínigh do fhreagra.
396

4. Tomhaiseadh líon na n-uaireanta cloig gréine agus an uasteocht ag ionad saoire
cois farraige seacht lá i mí an Mheithimh.
Uaireanta cloig gréine 5 9 8 6 5 2 4
Teocht (°C) 26 30 29 26 24 19 23
(i) Breac na sonraí sin ar scaipghraf.
Bain úsáid as na scálaí atá le feiceáil thíos.
Teocht (°C)
25
24
23
22
21
20
19
18
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Uaireanta cloig gréine
(ii) Déan cur síos ar an ngaol a thaispeánann do scaipghraf.
(iii) An bhfuil gaol cúisíoch idir líon na n-uaireanta cloig gréine agus an uasteocht
ag an ionad saoire?
Mínigh do fhreagra.
5. Tá siopa beag earraí leictreacha sa bhaile mór. Bhreac an bainisteoir síos líon na
dteilifíseanna agus líon na raidiónna a díoladh gach bliain ar feadh 10 mbliana.
Taispeántar na torthaí sa tábla thíos.
Bliain 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Líon na dteilifíseán 60 68 73 80 85 88 90 96 105 110
Líon na raidiónna 80 60 72 65 60 55 52 44 42 36
(i) Agus tú ag úsáid scálaí ó 50 go 120 do dhíolacháin na dteilifíseán agus ó 30 go
90 do dhíolacháin na raidiónna, tarraing scaipghraf.
(ii) Cén sórt comhchoibhnis a chuireann an scaipghraf in iúl?
(iii) An bhfuil gaol cúisíoch idir díolacháin na dteilifíseán agus díolacháin na raidiónna?
Mínigh do fhreagra.
397

Cuir triail ort féin 13
1. Breacadh síos líon na ríomhairí glúine a dhíol siopa gach mí ar feadh tréimhse 23 mí.
Taispeántar na torthaí sa léaráid ghais is duillí thíos.
gas
duillí
1 8 9
2 3 6 7 9
3 2 6 6 6 7 8
4 4 5 5 7 7 7 7
5 2 7 8 9 Eochair: 1|8 18 ríomhaire glúine
(i) Cad é an líon ríomhairí glúine módúil a díoladh?
(ii) Scríobh síos an t-airmheán.
(iii) Faigh an cheathairíl íochtarach.
(iv) Faigh an cheathairíl uachtarach.
(v) Oibrigh amach an raon idircheathairíle.
2. Seo na marcanna a fuair 19 gcailín i dtástáil eolaíochta:
54 42 61 47 24 43 55 62 30 27
28 43 54 46 25 32 49 73 50
(i) Déan léaráid ghais is duillí chun na torthaí sin a chur i láthair.
(ii) Scríobh síos raon na marcanna.
(iii) Cad é an cheathairíl íochtarach?
(iv) Cad é an cheathairíl uachtarach?
(v) Scríobh síos an raon idircheathairíle.
3. Sa léaráid ghais is duillí seo a leanas taispeántar na méideanna airgid a chaith grúpa
mic léinn choláiste oíche Aoine áirithe.
398
Eochair: 5|4 45
Mic léinn fir
8 0 6
Mic léinn mhná
7 6 5 1 0 5 5 5 8 8
9 9 9 8 6 6 2 5 5 8 8 9
8 8 5 5 5 3 5 5
8 5 4 0
Eochair: 3|5 35
(i) Cé mhéad mac léinn a bhí sa ghrúpa?
(ii) Scríobh síos an méid airgid ba mhó a chaith na mic léinn fir.
(iii) Cad é an méid airgid airmheánach a chaith na mic léinn mhná?
(iv) Cad é an méid airgid airmheánach a chaith na mic léinn fir?
(v) An iad na mic léinn fir nó na mic léinn mhná a chaith an méid ba mhó airgid?
Mínigh do fhreagra.

4. 1800 an costas iomlán a bhí ar shaoire áirithe.
Taispeántar sa phíchairt na codanna éagsúla den chostas sin.
(i) Cé mhéad a caitheadh ar bhia?
(ii) Cé mhéad a caitheadh ar thaisteal?
(iii) Cé mhéad a caitheadh ar an óstán?
(iv) Cé mhéad a caitheadh ar rudaí eile?
Rudaí eile
30°
Taisteal
60°
170°
100°
Bia
Óstán
5. Taispeántar sa tábla teocht uisce agus é ag fuarú i reoiteoir.
Fad ama(nóiméid) 5 10 15 20 25 30
Teocht(°C) 36 29 25 20 15 8
(i) Tarraing scaipléaráid chun an fhaisnéis sin a léiriú.
Bíodh an teocht ar an ais chothrománach.
(ii) Cén cineál comhchoibhnis a thaispeántar?
6. Taispeántar thíos ceithre scaipléaráid A, B, C agus D.
A B C D
(i) Cén léaráid a thaispeánann nach bhfuil comhchoibhneas ann?
(ii) Cén léaráid a thaispeánann comhchoibhneas diúltach?
(iii) Cén léaráid a thaispeánann comhchoibhneas deimhneach lag?
(iv) I gcás gach ceann de na comhéifeachtaí comhchoibhnis seo, cén ceann de na
léaráidí thuas lena mbaineann sé?
(a) 0.8 (b) 0 (c) 0.7 (d) 0.3
7. Dá mbreacfá síos torthaí a bhaineann leis na hathróga seo agus dá dtarraingeofá
scaipléaráid, cén cineál comhchoibhnis a mbeifeá ag súil leis?
Déan cur síos ar gach comhchoibhneas ar cheann de na bealaí seo:
(a) deimhneach (b) diúltach (c) níl comhchoibhneas ann
(i) líon na ndaoine i siopa; earraí a díoladh
(ii) díolacháin cumhráin; méid airgid caite ar fhógraíocht le haghaidh cumhráin
(iii) ráta breithe; ráta boilscithe
(iv) an teocht taobh amuigh; díolacháin uachtar gréine
(v) fad (ó thuaidh) ón meánchiorcal; uaireanta cloig solais ón ngrian sa gheimhreadh.
399

8. I gcás gach ceann de na cineálacha sonraí seo a leanas, mol an cineál léaráide a
bheadh oiriúnach chun é a chur i láthair:
(i) dathanna na ngeansaithe i siopa
(ii) an fad slí ón scoil agus an t-am a thógann sé chun taisteal go dtí an scoil
(iii) comparáid a dhéanamh idir na torthaí a fuair na buachaillí agus na torthaí a
fuair na cailíní i dtástáil mhatamaitice nuair is 30 dalta atá sa rang
(iv) tír bhunaidh grúpa inimirceach go hÉirinn
(v) an sciar faoin gcéad de mhargadh grósaireachta na hÉireann atá ag sé
mhórshraith ollmhargaí
(vi) luas carranna agus líon na dtimpistí tráchta.
9. Taispeánann an histeagram ar dheis dáileadh
áirithe.
(i) Déan cur síos ar an dáileadh seo.
(ii) Tabhair dhá shampla ón saol de
dháileadh den chineál seo.
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10. Cuireann an histeagram thíos dáileadh i láthair.
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(i) Mínigh an fáth a bhfuil sceabha faoin dáileadh.
(ii) An sceabha deimhneach nó diúltach atá faoi?
(iii) Tabhair sampla amháin ón saol den chineál seo dáilte.
11. (i) Déan cur síos ar an dáileadh a thaispeántar thíos.
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(ii) Tabhair sampla ón saol de dháileadh atá sceabhach ar an gcaoi seo.
400

12. Seo léaráid ghais is duillí chúl le cúl a thaispeánann rátaí cuisle grúpa fear agus
ban.
Eochair: 1|4 41 bsn
Fir
5 1 4
7 4 2 5 3
8 2 0 6 1 2
Mná
5 2 7 4 4 5 8 9
6 2 8 2 5 7
4 9 2 8
Eochair: 5|3 53 bsn
(i) Cé mhéad fear a ndearnadh tástáil orthu?
(ii) Cén ráta cuisle airmheánach a bhí ag na
(a) fir (b) mná?
(iii) Cad é an raon rátaí cuisle a bhí ag na fir?
(iv) I do thuairim, cén grúpa a raibh an ráta cuisle ab airde acu ar an iomlán?
Cosain do fhreagra.
401

Barrachairteacha agus píchairteacha
1. Is féidir úsáid a bhaint as barrachairteacha chun patrúin nó treochtaí sna sonraí
a thaispeáint. Bíonn na barraí ar comhleithead agus bíonn bearnaí eatarthu.
2. Taispeánann píchairteacha conas a roinntear nó a dháiltear cainníocht éigin.
Freagraíonn uillinn do gach teascóg sa phíchairt agus is é 360° suim na
n-uillinneacha sin ar fad.
Léaráidí gais is duillí
1. Coinníonn léaráid ghais is duillí na luachanna sonraí ar fad agus taispeánann
sí cruth an dáilte.
2. Is féidir comparáid a dhéanamh idir dhá thacar sonraí le léaráid ghais is duillí
chúl le cúl ach úsáid a bhaint as leathadh na sonraí nó as tomhas éigin eile,
m.sh. an t-airmheán.
Cruth an dáilte
Taispeánann histeagraim leathadh na sonraí agus cruth an dáilte.
Taispeántar thíos trí cinn de na cruthanna is coitianta.
Dáileadh siméadrach
Dáileadh a bhfuil
sceabha diúltach faoi
Dáileadh a bhfuil
sceabha deimhneach faoi
Scaipghraif agus comhchoibhneas
1. Baintear úsáid as scaipghraif le taispeáint an bhfuil gaol idir dhá thacar sonraí.
2. Is éard is comhchoibhneas ann ná tomhas ar cé chomh láidir is atá an gaol
idir dhá athróg.
3. Dá ghaire na pointí ar scaipghraf do líne dhíreach is ea is láidre atá an gaol.
Comhchoibhneas
deimhneach láidir
Comhchoibhneas
deimhneach lag
Comhchoibhneas
diúltach láidir
Comhchoibhneas
diúltach lag
Níl comhchoibhneas
ann
4. Cuir i gcás go dtagann athrú ar athróg amháin. Más cúis dhíreach é sin le
hathrú ar athróg eile, deirtear go bhfuil gaol cúisíoch eatarthu.
5. Má bhíonn comhchoibhneas ann, ní gá go gciallódh sé sin go bhfuil gaol
cúisíoch ann.
402

Triantánacht
14
Píotagarás triantán dronuilleach síneas comhshíneas tangant
slios urchomhaireach slios cóngarach taobhagán compás teascóg
riail an tsínis riail an chomhshínis stua ceathrúna uillinn tagartha foirm surda
Mír 14.1 Teoirim Phíotagarás
Taispeántar triantán dronuilleach san fhíor ar dheis.
An taobhagán a thugtar ar an slios atá os comhair na dronuillinne
(= urchomhaireach leis an dronuillinn).
Is le matamaiticeoir as an nGréig darbh ainm Píotagarás a
luaitear cruthú teoirime an-tábhachtaí a bhaineann le
triantáin dhronuilleacha.
Teoirim Phíotagarás a thugtar ar an teoirim sin agus
tugtar thíos í.
Teoirim Phíotagarás
I dtriantán dronuilleach, bíonn achar na cearnóige a
tharraingítear ar an taobhagán cothrom le suim achair
na gcearnóg a tharraingítear ar an dá shlios eile.
Sampla 1
Taobhagán
a b
c
a 2 b 2 c 2
Faigh fad an tsleasa x ar an triantán
dronuilleach seo.
x 2 8 2 5 2
x 2 64 25
x 2 89
x √ ___
89
x 9.4 cm
x
5 cm
8 cm
403

Cleachtadh 14.1
1. 23 cm 2 atá in achar chearnóg A agus 35 cm 2
atá in achar chearnóg C.
Faigh achar chearnóg B.
C
A
B
2. Bain úsáid as an bhfíor i gCeist 1 chun achar chearnóg C a fháil sa chás gur 17 cm 2
atá in achar chearnóg A agus 14 cm 2 atá in achar chearnóg B.
3. Tá achair 18 cm 2 , 21 cm 2 agus 39 cm 2 i dtrí chearnóg.
An féidir na cearnóga a chur ina luí go díreach ar feadh shleasa triantáin dhronuilligh?
Tabhair míniú le do fhreagra.
4. Ríomh fad an tsleasa atá marcáilte le litir i ngach ceann de na triantáin seo:
(Tabhair an freagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin nuair is gá.)
(i) (ii) (iii)
9 cm
a
3 cm
b
11 cm
3 cm
c
2 cm
6 cm
(iv) d
(v) (vi)
6 cm
4 cm
e
12 cm
f
13 cm
9 cm
(vii) (viii) 5.2 cm (ix)
g
9 cm
3.8 cm
h
13 cm
5. Tá dronuilleog 10 cm ar fad agus 8 cm ar leithead.
Ríomh fad an trasnáin.
Tabhair do fhreagra ina cheintiméadair,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
5 cm
14 cm
10.8 cm i
8 cm
10 cm
404

6. Bain úsáid as an ngreille ar dheis chun
faid [PR] agus [QR] a scríobh síos.
Uaidh sin faigh fad [PQ], ceart go dtí
ionad deachúlach amháin.
y
6
5
4
3
2
1
O
P
1 2
Q
3 4 5 6 7 8 9 10
R
x
7. Caitheann bratach ghailf scáth 3 m ar fad.
Más 4 m atá san fhad ó bharr an chrainn bhrataí
go deireadh an scátha, faigh an airde, f, ina méadair,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
f
4 m
3 m
8. I gcás na fíorach ar dheis, AB 10 cm,
AD 5 cm agus DC 6 cm.
Is dronuillinneacha iad na huillinneacha
ag A agus D. Faigh fad [BC].
D
5 cm
A
6 cm
10 cm
C
B
9. Taispeántar sa léaráid an triantán dronuilleach ABC.
(i) Faigh fad [BD].
(ii) Faigh an fad [AD] ina cheintiméadair,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
5 cm
B
A
D
13 cm
9 cm
C
10. Tá an dá dhronuillinn marcáilte san
fhíor ar dheis.
Faigh fad c agus fad d.
8 cm
6 cm
c
d
26 cm
11. Taispeánann an léaráid seilf chothrománach [AB].
Tá an tseilf daingnithe i mballa ceartingearach ag A.
Tá an taca [CD] daingnithe sa bhalla ag C agus
sa tseilf ag D.
AB 23 cm, AC 20 cm agus BD 8 cm.
Ríomh fad [CD].
A
20 cm
C
23 cm
D
8 cm B
405

12. Faigh an toise atá ar iarraidh chun imlíne an tseomra ar
dheis a oibriú amach. Bíodh do fhreagra ina mhéadair,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
3 m
2 m
6 m
Mír 14.2
Cóimheas an tsínis, an chomhshínis,
agus an tangaint
Ceann de na bealaí is coitianta a n-úsáidtear an triantánacht ná chun faid na sleasa ar
thriantáin dhronuilleacha, agus méid na n-uillinneacha iontu, a oibriú amach. Tugtar sa bhosca
thíos trí chóimheas an-speisialta a dhéanann ceangal idir uillinneacha agus sleasa.
8 m
slios urchomhaireach
sin A ______________________
taobhagán
slios cóngarach
cos A _______________
taobhagán
slios urchomhaireach
tan A ___________________
slios cóngarach
A
taobhagán
slios cóngarach (do A)
slios urchomhaireach
(le A)
Cuimhnigh: Sé hUibhe Tanaí, Cúig Chearc Thanaí, Trí hUibhe Caola.
Má thugtar dúinn go bhfuil cos A 3 4
, is féidir linn sceitse
de thriantán dronuilleach a tharraingt, triantán ar a
bhfuil an slios cóngarach do A cothrom le 3 agus an
taobhagán cothrom le 4.
Bainfimid úsáid anois as Teoirim Phíotagarás
chun an tríú slios a fháil.
Sampla 1
Má tá tan B ___
√__ 5
, faigh luach sin B agus luach cos B.
2
tan B ___
√__ 5
2 ⇒ is ionann 5 agus an slios urchomhaireach le B,
agus is ionann 2 agus an slios cóngarach do B.
Anois tarraing sceitse garbh de thriantán dronuilleach.
Tugaimis x ar fhad an taobhagáin.
x 2 2 2 ( √ __
5 ) 2 … ( √ __
5 ) 2 5
x 2 4 5
x 2 9 ⇒ x 3
Ón triantán: sin B ___
√__ 5
3
agus cos B 2 __
3
.
A
4
3
Bíodh an tríú slios x.
x 2 3 2 4 2
x 2 9 16
x 2 7 x 7
B
x
2
x
5
406

Cleachtadh 14.2
1. I gcás an triantáin ar dheis, luaigh cé acu síneas, comhshíneas nó tangant
a dhéanann ceangal idir
(i) 3, 4 agus an uillinn A
(ii) 4, 5 agus an uillinn A
A
(iii) 3, 5 agus an uillinn A.
5
4
3
2. Faigh sin, cos agus tan na huillinne a bhfuil ceannlitir uirthi i ngach ceann de
na triantáin seo a leanas:
A
5
4
3 13 2
5
12
B
3
C
1
3. Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air ar an triantán dronuilleach ar dheis.
Scríobh síos uaidh sin a luach seo:
(i) sin A (ii) cos A (iii) tan A.
4. Faigh luach a ar an triantán dronuilleach ar dheis.
Scríobh síos uaidh sin a luach seo:
(i) sin B (ii) cos B (iii) tan B.
a
B
A
13
12
13
x
5. Feicfidh tú sa léaráid ar dheis an uillinn agus na trí shlios ar
thriantán dronuilleach. Luaigh cé acu sin , cos nó tan
atá i ngach ceann de na cóimheasa seo:
41
(i)
4__
(ii) ____ 4
5 √ (iii) ____ 5
41
√ 41 .
5
6. Má tá cos B 5 13
, tarraing sceitse garbh de thriantán dronuilleach agus bain úsáid
as chun na cóimheasa sin B agus tan B a scríobh síos.
7. (i) Má tá tan A 1 2 , faigh sin A. (ii) Má tá cos B 2 5
, faigh tan B.
8. Má tá tan C ___ 1
√ , faigh luach sin C agus luach cos C.
3
9. Má tá tan A 3 4 , faigh luach (sin2 A cos 2 A).
3
4
10. Scríobh síos a luach seo de réir an triantáin ar dheis:
(i) sin 2 A cos 2 A (ii) sin 2 B cos 2 B.
Má tá an méid sin i gceart agat,
tá tú tar éis rud fíorthábhachtach
a fhíorú i dtaobh gach uillinne, i.e.,
sin 2 A cos 2 A 1.
A
10
8
B
6
407

Mír 14.3 Áireamhán a úsáid
Úsáidimid na heochracha sin , cos agus tan ar áireamhán leictreonach chun síneas, comh-
-shíneas agus tangant aon uillinne a fháil.
Chun sin 35º a fháil, cuir isteach sin 35 .
Is é an toradh ná 0.573576… 0.5736, ceart go dtí 4 ionad dheachúlacha.
Codanna de chéim
Is féidir céim a roinnt ina 60 cuid.
Nóiméad a thugtar ar gach cuid. 1an nod air sin.
Chun tan 34.5° nó 34°30 a fháil ar an áireamhán, is féidir ceachtar den dá mhodh seo a úsáid:
(34.5° 34°30)
1. Le haghaidh tan 34.5° 2. Le haghaidh tan 34°30
cuir isteach tan 34.5 cuir isteach tan 34 °,,, 30 °,,,
Toradh 0.6873 Toradh 0.6873
Na heochracha sin 1 cos 1 agus tan 1 a úsáid
Má insítear dúinn go bhfuil sin A 0.8661, gheobhaimid A ach an eochair sin 1 a úsáid.
Gheobhaimid an eochair sin 1 ach SHIFT sin a chur isteach.
Mar sin má tá sin A 0.8661, gheobhaimid A ach SHIFT sin 0.8661 a chur isteach.
Is é an toradh ná 60.008° 60°.
Ar an gcaoi chéanna, má tá tan B 1.2734, gheobhaimid an uillinn B ach
a chur isteach.
Is é an toradh ná 51.86°… ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.
Sampla 1
(i) Faigh cos 72°18, ceart go dtí 4 ionad dheachúlacha.
(ii) Má tá sin A 0.5216, faigh A, ceart go dtí an chéim is gaire.
(i) Chun cos 72°18 a fháil, cuir isteach cos 72 °,,, 18 °,,,
Is é an freagra ná 0.3040.
Nó 18 __ 18°
60
0.3° ⇒ 72°18 72.3°
Mar sin, chun 72.3° a fháil, cuir isteach cos 72.3
(ii) Má tá sin A 0.5216, gheobhaimid A ach é seo a chur isteach:
SHIFT sin 0.5216
1° 60
Is é an freagra ná 31.44°. A 31°, ceart go dtí an chéim is gaire.
SHIFT tan 1.2734
Úsáidtear °,,,
faoi dhó.
408

Nóta: Má thugtar sin A 4 7
duit, is féidir leat an uillinn A a fháil ar an áireamhán ar an gcaoi seo:
SHIFT sin 4 7
Is é an freagra ná 34.8°.
Cleachtadh 14.3
1. Bain úsáid as an áireamhán chun luach gach ceann díobh seo a leanas a fháil, ceart go
dtí 4 ionad dheachúlacha:
(i) sin 48° (ii) cos 74° (iii) tan 15° (iv) sin 72° (v) cos 28.5°
2. Bain úsáid as an áireamhán chun a luach seo a fháil, ceart go dtí 4 ionad dheachúlacha:
(i) sin 32°18 (ii) cos 43°24 (iii) tan 30°36 (iv) cos 73°54
3. Bain úsáid as an áireamhán chun tomhas gach ceann de na huillinneacha seo a fháil,
ceart go dtí an chéim is gaire:
(i) sin A 0.7453 (ii) cos B 0.3521 (iii) tan C 1.4538
(iv) cos A 0.2154 (v) tan B 0.8923 (vi) sin C 0.2132
4. Faigh an luach atá ar A i ngach ceann díobh seo a leanas.
Bíodh do fhreagra ina chéimeanna, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(i) sin A 0.6 (ii) cos A 0.7534
(iii) tan A 3.84 (iv) cos A 0.2715
5. Faigh tomhas na huillinne , ceart go dtí an uillinn is gaire, i ngach ceann díobh seo
a leanas:
(i) sin 2_ 3 (ii) cos 3_ 5 (iii) tan 7_ 8 (iv) sin 2_ 5
(v) tan 6
11 (vi) sin 1_ 5
9
(vii) cos 11 (viii) tan 1 3_ 5
6. Má tá cos A 0.5484 agus A 90°, faigh A agus, uaidh sin, faigh luach sin A,
ceart go dtí 2 ionad dheachúlacha.
7. Faigh, ceart go dtí an chéim is gaire, méid na n-uillinneacha AB agus C sna triantáin
thíos:
A
10
6
8
B
C
3 5
4
Mír 14.4 Triantáin dhronuilleacha a réiteach
Sa roinn seo bainfimid leas as cóimheas an tsínis, as cóimheas an chomhshínis agus as cóimheas an
tangaint le slios nach fios ar thriantán dronuilleach a fháil, nó le huillinn nach fios a fháil ann.
Nuair a bhíonn tú ag úsáid áireamháin chun síneas, comhshíneas nó tangant uillinne a fháil,
scríobh an luach ceart go dtí 4 ionad dheachúlacha.
409

Sampla 1
Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air ar an triantán ar dheis.
tan 32° x ___
14
x 14 tan 32°
x 14 0.6249
32°
14
x
x 8.75, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.
Sampla 2
I gcás an triantáin ar dheis, AB 9 agus BC 13.
Faigh ACB, ceart go dtí an chéim is gaire.
A
tan ∠ACB __ 9
13
|∠ACB| tan 1 __ 9
13
|∠ACB| 34.695° Cuir isteach SHIFT tan 9 13
35°, ceart go dtí an chéim is gaire
C
13
9
B
Cleachtadh 14.4
1. I gcás gach ceann de na triantáin seo, scríobh síos cén cóimheas triantánachta
a theastaíonn chun fad an tsleasa x a ríomh:
(i) (ii) (iii)
10
x
40°
32°
54°
x
12
10
x
2. Oibrigh amach fad an tsleasa a bhfuil litir air i gcás gach ceann de na triantáin seo a
leanas. Bíodh gach freagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(i) (ii) (iii)
7
x
y
15
58°
12
33°
42°
z
410

3. Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air ar na triantáin seo:
Bíodh do chuid freagraí ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(i) (ii) (iii)
29°
6
x
15
48° 20
x
x
34°
4. Faigh méid na huillinne a bhfuil A uirthi i ngach ceann de na triantáin seo:
Bíodh do chuid freagraí ceart go dtí an chéim is gaire.
(i) (ii) (iii)
5
10
7
3
A
7
A
A
3
5. Faigh tomhas na n-uillinneacha p,q agus r i ngach ceann de na triantáin seo:
Bíodh gach freagra ceart go dtí an chéim is gaire.
(i) (ii) q (iii)
9
5
13
p 25
10
r
15
6. Cóipeáil agus críochnaigh an méid seo a leanas chun fad an tsleasa a bhfuil x air a fháil.
8__ cos 32°
x
x cos 32° 8
x _______ 8
cos 32°
7. Faigh fad an taobhagáin, x, ar gach ceann de na triantáin seo:
(i) (ii) (iii)
8
x
42°
51°
10
Bíodh gach freagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
x
73°
32°
x
x
8
18
8. I gcás an triantáin ar dheis, faigh luach x agus luach y,
ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
x
62°
8
y
37°
411

9. I gcás an triantáin ar dheis, faigh
(i) x, ceart go dtí ionad deachúlach amháin
(ii) an uillinn A, ceart go dtí an chéim is gaire.
x
20
60°
A
8
10. Is dronuilleog í ABCD, mar atá le feiceáil.
Má tá DC 11 cm agus BDC 28°, faigh fad
an trasnáin [DB].
Tabhair do fhreagra ina cheintiméadair, ceart go
dtí ionad deachúlach amháin.
A
D
28°
11 cm
B
C
11. I gcás an triantáin ABC ar dheis, AB 5 cm agus ABC 90°.
Pointe ar [CB] is ea D, agus AD CD.
Má tá DB 12 cm, faigh
(i) |AD|
(ii) |∠ACB|, ceart go dtí an chéim is gaire. C
D
12 cm
A
5 cm
B
12. Sa léaráid ar dheis, AD 6 cm, DB 9 cm,
|∠CAD| 35° agus CDAB.
Faigh
(i) |CD|, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(ii) |∠CBD|, ceart go dtí an chéim is gaire.
A
35°
6 cm
C
D
9 cm
B
13. Tá Paula ina seasamh ag pointe P ar bhruach abhann.
Tá crann, C, ar an mbruach eile, trasna uaithi
go ceartingearach. Siúlann sí fad slí 25 méadar
ar feadh bhruach na habhann go dtí pointe Q.
Tomhaiseann sí an uillinn idir QC agus QP agus
is é 38° an freagra a fhaigheann sí.
Faigh leithead na habhann, ceart go dtí an
méadar is gaire.
Q
38°
25 m
C
P
14. Ó phointe ar an talamh 20 m ó bhonn crainn, 47°
atá san uillinn airde go dtí barr an chrainn.
Ríomh airde an chrainn, ceart go dtí
47°
20 m
412

15. Ó phointe ar an talamh 10 m ó bhloc árasán, 76° atá san uillinn airde go dtí barr an bhloic.
Ríomh airde an bhloic árasán, ceart go dtí an méadar is gaire.
16. Taispeántar sa léaráid trasghearradh dín.
7.5 m ar fad atá na sleasa.
7.5 m
Tá an dá shlios claonta ar uillinn 32° leis
h
7.5 m
an gcothromán.
(i) Faigh an airde, h.
32°
32°
(ii) Faigh leithead, w, an taca dín.
w
Bíodh gach freagra ina mhéadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
17. Feicfidh tú sa léaráid thíos trasghearradh gleanna, ABCD.
Ríomh
50 m
A
P
120 m
x
B
130 m
C
23°
D
Q
50 m
(i) an uillinn x, ceart go dtí an chéim is gaire
(ii) PB, ina mhéadair, ceart go dtí an méadar is gaire
(iii) CQ, ceart go dtí an méadar is gaire
(iv) an fad go díreach trasna an ghleanna ó A go D,
ceart go dtí an méadar is gaire.
18. Tá Ryan agus Eimíle ag déanamh meastacháin ar airde
crann tarchurtha fóin.
Seasann Ryan 15 m ón gcrann agus tomhaiseann sé gur
60° atá san uillinn airde go dtí an barr.
Seasann Eimíle 25 m ón gcrann agus tomhaiseann
sí gur 46° atá san uillinn airde go dtí an barr.
An féidir go bhfuil siad beirt ceart? Pléigh.
19. I gcás an triantáin ar dheis, AB 10 m, BD 2 m
agus ABC 53°.
(i) Scríobh síos BAC.
10 m
(ii) Faigh BC agus, uaidh sin, faigh DC.
A
uillinn airde
B
53°
2 m
D
C
20. 44° atá in uillinn luasctha iomlán luascadáin áirithe
(22° an dá bhealach).
Maidir le hairde bhun an luascadáin, oibrigh amach an difríocht idir
an pointe is ísle sa luascadh agus an pointe is airde sa luascadh.
Bíodh do fhreagra ceart go dtí an ceintiméadar is gaire.
44°
40 cm
413

Mír 14.5 Achar triantáin
Taispeántar sa léaráid an triantán ABC.
c
A
A
b
Úsáidimid ceannlitreacha le seasamh do na huillinneacha ag na reanna A, B agus C.
Úsáidimid na litreacha beaga a, b agus c le seasamh do na sleasa os comhair na n-uillinneacha
A, B agus C.
Is é achar an chéad triantáin eile ar dheis ná 1 2
bonn airde ingearach
Ach
⇒
1_ 2 a h
h__
c
sin B
h c sin B
Mar sin is ionann 1 2 a h agus 1 2 a c sin B
Achar 1 2ac sin B
B
B
Is foirmle an-áisiúil é sin le hachar triantáin a fháil, má bhíonn a fhios agat cén fad atá in
dhá shlios air, agus má bhíonn an uillinn eatarthu sin ar eolas agat.
a
C
B
C
B
c
a
A
h
C
Achar triantáin
Achar triantáin 1_ 2
ab sin C
a
I bhfocail:
Achar An freagra a fhaigheann tú nuair a
C
iolraíonn tú dhá shlios ar bith faoina chéile,
agus an toradh a iolrú faoi shíneas na huillinne eatarthu.
b
Sampla 1
Faigh achar an triantáin ar dheis.
Tá a fhios againn sa chás seo an fad atá in dhá shlios,
agus an mhéid atá san uillinn eatarthu.
Achar 1_ 2
(7)(8) sin 46°
(0.5)(7)(8) sin 46°
Agus áireamhán in úsáid agat, cuir isteach 0.5 7 . 8 sin 46
Is é an freagra ná 20.14 aonad cearnach, ceart go dtí 2 ionad dheachúlacha.
7
46°
8
414

Sampla 2
Más ionann achar an triantáin ar dheis agus 40 cm 2 ,
faigh an uillinn A, ceart go dtí an chéim is gaire.
Achar an 1_ 2
(10)(14) sin A
⇒
1_
2
(10)(14) sin A 40
⇒ 70 sin A 40
⇒ sin A __ 40
70
1 40
⇒ A sin __
70
14 cm
10 cm
A
Chun A a fháil, cuir isteach SHIFT sin 40 70
Is é an freagra ná 34.85°
A 35°, ceart go dtí an chéim is gaire.
Cleachtadh 14.5
1. Faigh achar gach ceann de na triantáin thíos.
Bíodh do chuid freagraí ina cm 2 , ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(i) (ii) (ii)
8 cm
4 cm
4 cm
72°
6 cm
37° 48°
10 cm
5 cm
2. Faigh achar gach ceann de na triantáin seo ina cm 2 , ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
(i) (ii) (iii)
6.4 cm
11 cm 9 cm
23 cm
14 cm
28°
38° 48°
28° 120°
7.8 cm
3. Faigh achar na fíorach ABCD.
Bíodh do fhreagra ceart go
dtí an tslánuimhir is gaire.
D
A
7
48°
12
68°
10
B
C
415

4. Faigh achar an chomhthreomharáin seo, ceart go dtí an cm 2 is gaire.
15 cm
Is féidir caitheamh
le comhthreomharán
mar dhá thriantán chomhionanna.
70°
24 cm
5. Faigh achar an triantáin ar dheis má tá sin 0.7.
Bíodh do fhreagra ceart go dtí an cm 2 is gaire.
18 cm
22 cm
6. Tugtar achar an dá thriantán thíos.
Ríomh tomhas an dá uillinn A agus B.
Bíodh do fhreagra ceart go dtí an chéim is gaire sa dá chás.
6 cm
18 cm
A
Achar 29 cm 2
10 cm
B
Achar 47 cm 2
14 cm
7. 30 aonad cearnach atá in achar an triantáin ar dheis.
Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
12
x
37°
8. 43.3 cm 2 an t-achar atá i dtriantán comhshleasach.
Faigh fad an tsleasa ar an triantán.
9. I gcás an triantáin ar dheis, cos A 4 5 .
Faigh luach sin A, gan áireamhán a úsáid.
Uaidh sin faigh achar an triantáin.
20
A
28
416
10. Is ceapach talún thriantánach í RST. Tá RT 18 m agus TS 23 m.
207 m 2 atá in achar na ceapaí.
(i) Tarraing sceitse garbh den cheapach seo. (ii) Faigh RTS. .
(iii) Má dhúblaítear faid na sleasa ar an gceapach ach mura n-athraítear tomhas RTS,
fiosraigh an ndúblaítear achar na ceapaí freisin.
Tabhair míniú le do fhreagra.

11. Is mian le feirmeoir ceapach talún thriantánach
a thabhairt dá iníon ar a mbeidh sí in ann teach
a thógáil. Ar thaobh amháin den cheapach,
tá fál ina theorainn agus, ar thaobh eile,
tá bóthar ina theorainn.
Déanann an fál uillinn 78° leis an mbóthar.
Más 20 méadar ar fad atá teorainn na Bóthar
ceapaí leis an mbóthar, cá fhad atá
teorainn na ceapaí leis an bhfál
más 1500 m 2 atá inachar na ceapaí?
Bíodh do fhreagra ceart go dtí
an méadar is gaire.
78°
20 m
12. I gcás an triantáin ABC ar dheis, cos BAC 1 5 .
(i) Faigh sin BAC i bhfoirm surda.
(ii) Taispeáin gur féidir achar an triantáin ABC
a scríobh san fhoirm k √ __
k , k N.
Scríobh síos uaidh sin luach k.
Mír 14.6 Riail an tSínis
Inár gcuid staidéir ar an triantánacht go dtí seo, is le triantáin dhronuilleacha den chuid ba
mhó a bhíomar ag plé.
Sa mhír seo beimid ag plé le Riail an tSínis, rud a chuireann ar ár gcumas sleasa agus uillinneacha
triantáin a fháil nuair nach bhfuil dronuillinn ar bith sa triantán.
Riail an tSínis
B
5 cm
A
6 cm
C
I gcás triantáin ar bith ABC,
_____ a
sin A _____ b
sin B _____ c
sin C
c
A
b
nó
sin A _____
a
_____ sin B
b
_____ sin C
c
B
a
C
Is féidir Riail an tSínis a chur i bhfocail freisin, mar a dhéantar sa bhosca thíos.
_______________________
Slios ar bith
síneas na huillinne os a chomhair _________________________
Slios ar bith eile
síneas na huillinne os a chomhair sin
Chun úsáid a bhaint as Riail an tSínis le triantán a réiteach,
ní mór go mbeadh slios amháin agus an uillinn os a chomhair
ar eolas againn, chomh maith le huillinn nó slios amháin eile.
Slios
?
417

Cé go bhfuil níos mó ann i dteoiric, ní úsáidtear i ngníomh ach dhá chuid de Riail an tSínis
agus muid ag réiteach fadhbanna,
_____ a
sin A _____ b
nó _____ sin A
sin B a
_____ sin B
Chun slios a fháil, bíodh na sleasa ar barr.
Chun uillinn a fháil, bíodh na huillinneacha
b
ar barr.
Sampla 1
Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, fad an tsleasa
a bhfuil x air ar an triantán sa léaráid ar dheis.
12
Tá slios amháin 12 aonad ar fad, agus 34° atá
san uillinn urchomhaireach.
De réir Riail an tSínis tá: ______ x
sin 62° ______ 12
sin 34°
⇒ ______ x
0.8829 ______ 12
0.5592
62°
cuir isteach
34°
sin 62 agus sin 34
⇒ x(0.5592) 12(0.8829)
⇒ x _________
12(0.8829) 18.946 ⇒ x 19
0.5592
x
Sampla 2
Faigh méid na huillinne A, ceart go dtí an chéim is gaire.
A
Uaidh sin faigh achar an triantáin ABC.
A
12 cm
_______ 12
sin 53° _____ 14
sin A
⇒ ______ 12
0.7986 53°
_____ 14
B
sin A
14 cm
⇒ 12 sin A 14(0.7986)
⇒ sin A _________
14(0.7986) 0.9317
12
⇒ A sin 1 0.9317
Chun A a fháil, cuir isteach SHIFT sin 0.9317 .
Is é an freagra ná 68.70°
A 69°, ceart go dtí an chéim is gaire
Ach an uillinn B a fháil anois, gheobhaimid achar ABC.
B 180° 53° 69° ⇒ B 58°
Achar ABC 1_ |AB|.|BC|
2
sin B
(0.5)(12)(14) sin 58°
71.236
Achar 71.2 cm 2
C
418

Cleachtadh 14.6
1. Faigh, ceart go dtí ionad deachúlach amháin, fad an tsleasa a bhfuil x air ar gach ceann
de na triantáin seo:
(i) (ii) (iii)
44°
58°
9
x
10
x
68°
33°
38°
x
21°
26
2. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na triantáin seo.
Bíodh gach uillinn ceart go dtí an chéim is gaire agat.
(i) (ii) (iii)
14
B
18
11
9
12
A
66°
C
26°
3. I gcás an triantáin thíos, BAC 71°, BC 22 cm agus AC 15 cm.
A
16
56°
71°
15 cm
B
22 cm
Faigh (i) |∠ABC|, ceart go dtí an chéim is gaire
(ii) |AB|, ceart go dtí an cm is gaire.
C
4. I gcás an triantáin ar dheis, AB 22, BAC 65°
agus ABC 71°.
Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire,
(i) |BC|
(ii) achar an triantáin ABC.
B
22
71°
A
65°
C
5. I gcás an triantáin ar dheis, CD 15 m, ADC 30°,
CAD 23° agus ABC 90°.
Faigh ina méadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin,
iad seo a leanas:
(i) |AC|
(ii) |AB|.
B
A
23°
C
30°
15 m
D
419

6. 40° atá in uillinn airde barr túir, [BC], ón bpointe A
ar leibhéal na talún. Ach 50 m a shiúl i dtreo an túir,
60° atá san uillinn airde.
Faigh, ceart go dtí an méadar is gaire,
(i) |CD|
(ii) airde an túir [BC].
A
40°
50 m
60°
D
C
B
7. 73 km ó chéile atá dhá theach solais, P agus Q.
52 km ó Q atá teach solais eile, R.
Má tá RPQ 31.5°, faigh
(i) |∠PRQ|, ceart go dtí an chéim is gaire
(ii) |PR|, ceart go dtí an ciliméadar is gaire.
R
52 km
P
31.5°
73 km
Q
8. Triantán is ea ABC agus pointe ar an líne BC is ea D.
Má tá BD 4 cm, AC 6 cm, ACD 65° agus
DAC 70°, faigh
(i) |DC|, ceart go dtí an cm is gaire
(ii) achar ABC, ceart go dtí an cm 2 is gaire.
A
70°
6 cm
B
4 cm
D
65°
C
9. Feicfidh tú sa léaráid dhá bhruach abhann atá
comhthreomhar lena chéile. 38° agus 47° atá
sna huillinneacha ó dhá phointe R agus S ar
bhruach amháin go dtí crann ar an mbruach
eile, mar a thaispeántar.
Faigh, ceart go dtí an méadar is gaire,
(i) an fad ó R go dtí an crann
(ii) leithead, w, na habhann.
R
Crann
w
38° 47°
50 m
S
10. Déanann feirmeoir cró triantánach. Is iad na teorainneacha atá timpeall air ná claí
59 méadar ar fad, fál 68 méadar ar fad, agus balla.
49° atá san uillinn idir an balla agus an fál.
Tarraing sceitse garbh den triantán.
(i) Faigh tomhas na huillinne idir an fál agus an balla, ceart go dtí an chéim
is gaire.
(ii) Faigh fad an bhalla, ceart go dtí an méadar is gaire.
(iii) Faigh achar an chró, ceart go dtí an cm 2 is gaire.
420

Mír 14.7 Riail an Chomhshínis
Trí bhlúire eolais atá le baint as gach ceann de na triantáin thíos.
Maidir le triantán A de, fad dhá shlios a thugtar, agus méid na huillinne eatarthu.
Fad gach ceann de na trí shlios ar thriantán B a thugtar.
7
48°
A
8
Ní féidir leas a bhaint as Riail an tSínis leis na sleasa eile ar cheachtar den dá thriantán sin
a fháil, ná na huillinneacha iontu.
Le riail eile a réitímid na triantáin sin, Riail an Chomhshínis. Seo agat í sin:
4
B
6
5
I gcás triantáin ar bith, ABC
C
nó
nó
a 2 b 2 c 2 – 2bc cos A
b 2 c 2 a 2 – 2ca cos B
c 2 a 2 b 2 – 2ab cos C
A
A
b
c
C
a
B
B
Baintear úsáid as Riail an Chomhshínis
1. le huillinn a fháil nuair a bhíonn na trí shlios
ar eolas againn.
2. leis an tríú slios a fháil nuair a bhíonn dhá
shlios agus an uillinn eatarthu ar eolas againn.
7
6
11
?
A
?
9
36°
13
Sampla 1
I gcás an triantáin ar dheis, AB 6, AC 8 agus BAC 48°.
Faigh BC, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
Bíodh [BC] a.
6
Gheobhaimid an slios a ach leas a bhaint as an leagan de
Riail an Chomhshínis ar tosach dó a 2 .
a 2 b 2 c 2 – 2bc cos A… (b 8 agus c 6)
B
a
8 2 6 2 – 2.8.6 cos 48°
b 8
c 6
64 36 – 96(0.6691)
35.77
⇒ a 5.98 i.e. |BC| 5.98 6, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
A
48°
8
C
421

Sampla 2
Faigh ABC, i gcás an triantáin ar dheis.
A
∠ABC B
Gheobhaimid an uillinn B ach leas a bhaint as an
leagan de Riail an Chomhshínis ar tosach dó b 2 . B
b 2 c 2 a 2 2ca cos B
⇒ 25 16 36 2(4)(6) cos B
25 52 48 cos B
25 52 48 cos B
27 48 cos B
48 cos B 27
cos B 27
48
B cos 1 27
48
B 55.77°
|∠ABC| 56°, ceart go dtí an chéim is gaire.
a 6
b 5
c 4
… [cuir isteach SHIFT cos 27 48 ]
4
B
6
5
C
Nóta: 1. Is í Riail an tSínis an chéad riail ar gnách úsáid a bhaint aisti agus sinn ag iarraidh
triantán a réiteach. Mura féidir úsáid a bhaint as Riail an tSínis, is í Riail an Chomhshínis
a úsáidtear.
2. Más diúltach a bhíonn comhshíneas uillinne i dtriantán, is idir 90° agus 180° a bheidh
an uillinn sin.
Airde an Chompáis
Cuid d’airde an chompáis atá sa
léaráid ar dheis.
Is éard a bhíonn in airde an chompáis
ná T (i.e. ó thuaidh) nó D (i.e. ó dheas) agus
méid áirithe céimeanna O
(i.e. oirthear soir) nó I (i.e. iarthar siar).
Cleachtadh 14.7
I 30° T
I 48° D
48° 35°
1. Faigh, ceart go dtí ionad deachúlach amháin, fad an tsleasa a bhfuil litir air ar gach
ceann de na triantáin seo a leanas:
(i) C
(ii) A
(iii)
A
7
a a
7
I
b b
30°
T
D
60°
O 60° T
O
O 35° D
76°
14 9
A
39°
6
B
B
72°
11
C
B
a
C
422

2. Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, fad an tsleasa a bhfuil litir air ar gach
ceann de na triantáin seo:
(i) (ii) (iii)
84°
14
a 8
15 16
c
11
32°
b
37°
15
3. Faigh tomhas na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na triantáin seo a leanas.
Bíodh gach uillinn ceart go dtí an chéim is gaire agat.
(i) (ii) (iii)
C
5
6
7 9
12
5
A
8
10
B
8
4. Faigh méid na huillinne is lú sa triantán ar dheis.
Bíodh do fhreagra ceart go dtí an chéim is gaire.
4
A
6
5. I gcás an triantáin thíos, PQ 15 cm, PR 12 cm agus RQ 5 cm.
B
8
C
Faigh PQR, ceart go dtí an chéim is gaire.
Q
15 cm 5 cm
P
12 cm
R
6. 190 méadar atá san fhad ón tí go dtí an sprioc
ar an bplásóg.
Buaileann galfaire buille ar uillinn 20°
amach ón líne dhíreach go dtí an poll.
Má thaistealaíonn an liathróid 170 m,
faigh an fad idir an liathróid agus an poll.
Bíodh do fhreagra ceart go dtí an méadar is gaire.
190 m
20°
170 m
liathróid
T
423

7. Bain leas as an eolas a thugann an fhíor ar dheis go bhfaighidh tú
(i) AC, ceart go dtí an méadar is gaire.
6 m
(ii) Bain leas as fad [AC] ansin go bhfaighidh tú
A
ABC, ceart go dtí an chéim is gaire.
10 m
D
120°
9 m
12 m
C
8. Léaráid de bhord snúcair atá ar dheis.
Tabhair faoi deara an áit a bhfuil an liathróid
liathróid bhán agus an áit a bhfuil an dhubh
liathróid dhubh.
Faigh an fad is gá don liathróid bhán a
thaisteal sula mbuailfidh sí an liathróid dhubh.
Bíodh do fhreagra ceart go dtí an
ceintiméadar is gaire.
50 cm
32°
140 cm
B
póca
láir
9. Ag an am céanna a chuireann dhá long, A agus B,
chun farraige ón gcalafort, C.
O 80° T atá A ag gluaiseacht ar luas 24 km/uair.
O 60° D atá B ag gluaiseacht ar luas 32 km/uair.
Cá fhad óna chéile atá na longa uair an chloig
tar éis dóibh cur chun farraige?
Bíodh do fhreagra ceart go dtí an ciliméadar is gaire.
liathróid bhán
T
80°
C
60°
A
D'fhéadfadh go mbeadh úsáid Riail an tSínis chomh maith
le húsáid Riail an Chomhshínis i gceist sna fadhbanna seo a leanas.
10. I gcás an triantáin ABC ar dheis, is pointe ar [BC] é D.
|BD| 6 cm, |AC| 9 cm, |∠DCA| 80° and |∠CAD| 50°.
(i) Faigh DC
(ii) Faigh AB, ceart go dtí an cm is gaire.
11. I gcás an triantáin XYZ, XY 22 cm, YZ 15 cm
agus XYZ 74°.
Faigh (i) XZ, ceart go dtí an cm is gaire.
(ii) YXZ, ceart go dtí an chéim is gaire.
X
B
D
6 cm
D
Y
A
50°
B
80°
9 cm
74°
22 cm 15 cm
C
Z
424

12. I gcás an cheathairshleasáin ABCD, AC 5, BC 4,
BCA 110°, ACD 33° agus CDA 23°.
Faigh, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha,
(i) |AB|
(ii) |CD|.
A
5
33°
23°
D
B
4
110°
C
13. Feicfidh tú sa léaráid ar dheis sreanga agus
iad ceangailte le haeróg chumarsáide.
Faigh an fad h, ceart go dtí an méadar is gaire.
32 m
h
12°
25 m
14. I gcás an triantáin ABC ar dheis, BC 60 m
agus ACB 150°.
Má tá achar ABC 450 m 2 , faigh
(i) |AC|
(ii) imlíne an triantáin ABC,
ceart go dtí an méadar is gaire.
A
C
150°
60 m
B
15. I gcás an triantáin PQR, PR 7 cm, QR 13 cm
agus PRQ 80°.
(i) Faigh fad [PQ] ina cheintiméadair,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(ii) Faigh QPR, ceart go dtí an chéim is gaire.
Q
13 cm
P
80°
7 cm
R
16. Is dhá phointe iad A agus B atá 300 méadar ó chéile
ar chonair dhíreach atá ag dul ó thuaidh díreach.
Tá piléar, P, O 40° T de A.
Tá an piléar O 70° T de B.
T
70°
B
d
P
(i) Faigh an fad ó B go dtí an piléar,
ceart go dtí an méadar is gaire.
(ii) Faigh an fad is gaire, d, ón gconair go dtí
an piléar, ceart go dtí an méadar is gaire.
A
40°
O
425

17. Ó phointe A ar an leibhéal céanna le
bonn crann tarchurtha raidió, is é 25°
uillinn airde bharr an chrainn tarchurtha.
Ó phointe B, 20 méadar níos gaire don
chrann tarchurtha, agus ar an leibhéal
céanna, is é 32° an uillinn airde. Faigh
airde an chrainn tarchurtha raidió ina
méadair, ceart go dtí an méadar is gaire.
18. Taispeántar sa léaráid pointe, A, atá 10 km
ó dheas díreach de phointe eile, B. Tá bóthar
díreach ann, AD, sa chaoi is go bhfuil D O 43° T de A.
Is pointí ar an mbóthar seo iad P agus Q.
Tá siad araon 8 km ó B.
(i) Faigh BPA, ceart go dtí an chéim is gaire.
(ii) Faigh ABP, ceart go dtí an chéim is gaire.
Mír 14.8 Na huillinneacha 30°, 45° agus 60°
Is an-mhinic a bhaintear leas as na huillinneacha 30°, 45° agus 60° agus bainfimidne leas as
triantáin chun cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an tangaint ar na
huillinneacha sin a chur in iúl ina gcodáin nó ina surdaí.
An uillinn 45°
Is triantán comhchosach é an triantán ar dheis.
1 aonad ar fad atá na sleasa atá ar comhfhad. 2 aonad ar fad atá an taobhagán.
Is féidir cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an
tangaint a fháil ón triantán.
2
sin 45° ___ 1
√ 2
cos 45° ___ 1
√ 2
Na huillinneacha 30° agus 60°
tan 45° 1
Tá uillinneacha 60° agus 30° sa triantán dronuilleach ar dheis.
Is féidir linn úsáid a bhaint as an triantán seo chun cóimheasa triantánachta
an dá uillinn sin a scríobh síos.
sin 60° ___
√__ 3
2
sin 30° __ 1 cos 30° ___
√__ 3
2 2
cos 60° __ 1 tan 60° √ __
3
2
A
25°
tan 30° ___ 1
√ 3
20 m
B
43°
32°
Ó thuaidh
B
10 8
A
Q
8
45°
2
60°
P
1
1
D
30°
45°
3
1
Nóta:
Tugtar cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an tangaint le
haghaidh 30°, 45° agus 60° ar leathanach 13 de Foirmlí agus Táblaí.
426

Sampla 1
Faigh luach x agus luach y ar an triantán dronuilleach
ar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.
⇒
⇒
x__
4 tan 60° 4 __
y
cos 60°
x__
4 ___
√__ 3
1
⇒
4__ __ 1
y 2
x 4 √ __
3 ⇒ y 8
60°
y
4
x
Cleachtadh 14.8
Scríobh luach gach ceann díobh seo a leanas ina chodán san fhoirm is simplí nó ina shurda,
gan leas a bhaint as áireamhán:
1. cos 60° 2. tan 45° 3. sin 30° 4. cos 45° 5. sin 2 30°
6. cos 30° 7. sin 60° 8. cos 2 45° 9. sin 2 60° 10. tan 2 30°
11. Taispeáin go bhfuil (i) 1 sin 2 30° cos 2 30° (ii) sin 60° 2 sin 30° cos 30°
12. Faigh luach x agus luach y ar an triantán
ar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.
6
y
60°
x
13. Faigh luach x agus luach y ar an triantán
ar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.
3
2
y
45°
60°
x
2
14. Faigh luach x, luach y agus luach z sa léaráid thíos,gan leas a bhaint as áireamhán.
8
y
z
30°
x
60°
427

15. Cruth triantáin chomhshleasaigh atá ar pháirc, mar atá le feiceáil ar dheis.
Tá gach slios 40 m ar fad.
Mol dhá mhodh le hachar na páirce seo a fháil,
40 m
gan leas a bhaint as áireamhán.
Bain leas as gach ceann de na modhanna sin chun an t-achar a fháil.
Tabhair an freagra agat i bhfoirm surda.
40 m
40 m
Mír 14.9 Achar teascóige fad stua
D’fhoghlaim tú cheana cén chaoi le himlíne agus achar ciorcail a fháil.
Tugtar thíos na foirmlí lena n-aghaidh sin.
Imlíne ciorcail 2 r
imlín e
Achar ciorcail r 2
r
Sa mhír seo, foghlaimeoimid cén chaoi le:
(i) fad stua ciorcail a fháil
(ii) achar teascóg ciorcail a fháil.
Taispeánann an léaráid thíos ciorcal ar lárphointe dó O.
stua
teascóg
A
O
Teascóg den chiorcal is ea OAB agus
tá AOB .
An mionstua a thugtar ar AB.
B
Achar na teascóige
____
360° r 2
Fad an mhionstua AB ____
360° 2r
Sampla 1
Ga 9 cm atá sa chiorcal sa léaráid ar dheis, agus AOB 120°.
Bíodh 22
7
, agus faigh
(i) fad an mhionstua AB
(ii) achar na teascóige scáthaithe AOB.
9 cm
O 120°
A
B
428

(i) Fad an stua AB 120° ____
360° 2r
____ 120
360 __ 2 ___ 22
1 7 __ 9 1
18.86 cm
(ii) Achar na teascóige AOB 120° ____
360° r2
____ 120
360 ___ 22
7 __ 92 84.86 cm 2
1
Sampla 2
Tá achar na teascóige AOB 205 cm 2 .
Faigh fad gha an chiorcail.
Tugaimis r ar an nga.
Achar AOB 120 ____
⇒
r 2 ____
3 205
360 r 2 205 cm 2
⇒ r 2 205 3… iolraigh an dá thaobh faoi 3
⇒ r 2 _______ 205 3
195.76… úsáid an eochair ar an áireamhán
⇒ r √ ______
195.76 13.99
⇒
ga 14 cm, ceart go dtí an cm is gaire.
O 120°
A
B
Cleachtadh 14.9
1. Faigh achar gach ceann de na teascóga seo, ceart go dtí an cm 2 is gaire:
(i) (ii) (iii)
8 cm
120°
200°
5 cm
60°
11 cm
429

2. Faigh fad an stua ar gach ceann de na teascóga i gceist 1 ar an leathanach roimhe seo.
Tabhair do fhreagra ina cheintiméadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
3. Faigh, ceart go dtí ionad deachúlach amháin,
(i) achar na teascóige AOB
(ii) fad an stua AB sa léaráid ar dheis.
A
240°
14 cm O
B
4. 18 cm ar fad atá ga an chiorcail ar dheis.
Tá tomhas AOB 75°.
(i) Faigh fad an stua AB, ceart go dtí an
ceintiméadar is gaire.
(ii) Faigh achar na teascóige AOB, ceart go dtí
an cm 2 is gaire.
A
O 75°
18 cm
B
5. Féach ar an léaráid ar dheis.
Faigh fad gha an chiorcail seo más 77 cm 2 atá in achar na teascóige.
A
O
45° 77 cm 2
B
6. I gcás na teascóige ar dheis, AOB 140° agus
276 cm 2 atá san achar.
Faigh fad gha an chiorcail,
ceart go dtí an cm is gaire.
A
140°
O
276 cm 2
B
7. Is féidir le galfaire liathróid a bhualadh 220 m le
cruinneas de 15° ar cheachtar taobh den spriocthreo.
Faigh fad an stua ar a bhféadfadh sé a liathróid
a fháil, ceart go dtí an méadar is gaire.
15°
15°
220 m
430

8. Déanann radar garda cósta cuar 55° óna bhunáit, B.
Más 3.5 km atá i raon an radair, faigh achar na
teascóige ina ndéanann an radar an cuar.
Bíodh do fhreagra ina km 2 ,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
B
55°
3.5 km
9. Is teascóg de chiorcal í OPQ agus tá a ga 20 cm ar fad.
Is é X lárphointe [OP] agus is é Y lárphointe [OQ].
Uillinn POQ 65°.
Ríomh
(i) an t-achar XPQY
(ii) imlíne XPQY.
Bíodh gach freagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
O
65°
X
P
20 cm Y Q
10. Ga 18 cm atá ag an teascóg ar dheis.
80° atá san uillinn sa teascóg.
Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire i ngach cás,
(i) fad an stua AB
(ii) fad an chorda [AB]
(Leid: Bain úsáid as Riail an Chomhshínis)
(iii) achar na teascóige OAB
(iv) achar an triantáin OAB
(v) achar an réigiúin scáthaithe.
O
18 cm
80°
corda
B
A
stua
11. Cuid de pháirc pheile atá sa léaráid.
P
A
M
B
Stua pionóis
Is cuid de chiorcal é an stua pionóis; 10 méadar atá sa gha agus is é P an lárphointe.
Is é M lárphointe [AB] agus PM 6 mhéadar.
(i) Faigh méid APB, ceart go dtí an chéim is gaire.
(ii) Ríomh fad an stua pionóis, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
431

Mír 14.10 Cóimheasa uillinneacha níos mó ná 90°
1. Ciorcal an Aonaid
Ag (0, 0) atá lárphointe an chiorcail ar dheis, agus
1 aonad ar fad atá ga an chiorcail.
Ciorcal an aonaid a thugtar air sin de ghnáth.
Bíodh P(x, y) ina phointe ar bith ar an gciorcal, mar atá sa léaráid.
O
1
x
P(x, y)
y
C
Ón triantán OPC,
x__
1 cos __ y
sin 1
⇒ x cos ⇒ y sin
is iad comhordanáidí P ná (cos , sin )
Is ionann P(cos , sin ) agus
comhordanáidí pointe ar bith ar
imlíne chiorcal an aonaid.
O
P(cos, sin)
Féach ar chiorcal an aonaid thíos. Trasnaíonn sé an x-ais agus an y-ais sna pointí atá léirithe.
(cos 180°, sin 180°)
(0, 1)
(1, 0)
O 1
(1, 0)
(0, 1)
Is féidir linn úsáid a bhaint as na pointí sin chun luach sin agus cos a scríobh síos i gcás
na n-uillinneacha 0°, 90°, 180°, 270° agus 360°.
Mar sin tugann (1, 0) luachanna cos 180° agus sin 180°,
i.e. cos 180° 1 agus sin 180° 0.
2. Na Ceithre Cheathrú
90°
Déanann an x-ais agus an y-ais imrothlú iomlán 360°
a roinnt ina cheithre cheathrú, mar atá le feiceáil ar
dheis.
180°
An Dara
Ceathrú
An Tríú
Ceathrú
An Chéad
Cheathrú
An Ceathrú
Ceathrú
360°
270°
432

An ciorcal aonaid ar dheis, taispeánann sé uillinn,
, i ngach ceann de na ceithre cheathrú.
Cuireann na comharthaí ar gach triantán in iúl
cé acu deimhneach nó diúltach a bhíonn na
nó diúltach a bhíonn na cóimheasa sa
cheathrú sin.
180°
Sin
Cos
Tan
90°
Sin
Cos
Tan
0°
360°
Taispeántar sa bhosca thíos na cóimheasa
deimhneacha sna ceithre cheathrú.
Sin
Cos
Tan
270°
Sin
Cos
Tan
(i) Sa chéad cheathrú, gach ceann (G) deimhneach
(ii) Sa dara ceathrú, níl ach sin (S) deimhneach
(iii) Sa tríú ceathrú, níl ach tan (T) deimhneach
(iv) Sa cheathrú ceathrú, níl ach cos (C) deimhneach
S
T
G
C
3. Cóimheas uillinne idir 90° agus 360° a fháil
Tabharfaidh áireamhán leictreonach síneas, comhshíneas agus tangant uillinne ar bith duit,
an comhartha diúltach san áireamh nuair is ann dó. Ach más ina chodán nó ina shurda a
bhíonn cóimheas uillinne áirithe uait, seo iad na céimeanna a bhíonn le tabhairt agat:
1. Déan sceitse garbh den uillinn go bhfaighidh tú amach cén cheathrú ina bhfuil sí.
2. Bain leas as
S
T
G
C
go bhfaighidh tú amach cé acu deimhneach nó diúltach atá an
cóimheas.
3. Faigh an uillinn ( 90°) idir an líne imrothlaithe agus an x-ais.
An uillinn tagartha a thugtar ar an uillinn sin.
Uillinn
tagartha
180°
30° 150°
0°
4. Bain úsáid as áireamhán nó as na triantáin 30°, 45° agus 60° chun an cóimheas atá uait a fháil.
Bain úsáid as an léaráid in 2 thuas chun comhartha an chóimheasa a fháil.
433

Sampla 1
Faigh i bhfoirm surda (i) sin 120° (ii) cos 225°
(i) sin 120°:
Tá 120° sa dara ceathrú
60° 120°
⇒ tá cóimheas an tsínis deimhneach
O
An uillinn tagartha ná 180° 120° 60°.
Ag úsáid an triantáin ar dheis,
sin 60° ___
√__ 3
⇒ sin 120° ___
√__ 3
2
2
2
60°
1
(ii) cos 225°:
Tá 225° sa tríú ceathrú
⇒ tá cóimheas an chomhshínis diúltach
45°
An uillinn tagartha ná 225° 180° 45°.
225°
Ag úsáid an triantáin 45° ar dheis,
cos 45° ___ 1
√ ⇒ cos 225° ___ 1
2
√ 2 . 2
3
1
45°
1
Sampla 2
Tá cos A 0.4153 agus tá 0° A 360°.
Bain úsáid as d’áireamhán chun luachanna A ina gcéimeanna a fháil, ceart go
dtí ionad deachúlach amháin.
cos A 0.4153
Ná bac leis an gcomhartha diúltach, agus faigh an uillinn tagartha.
Chun an uillinn tagartha sin a fháil, cuir isteach SHIFT cos 0.4153
434

Is é an freagra ná 65.46°
65.5°, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
Diúltach atá an comhshíneas sa dara ceathrú agus sa tríú ceann.
Mar sin, is iad an dá luach ar A ná
180° 65.5° agus 180° 65.5°
A 114.5° agus 245.5°
Cleachtadh 14.10
1. Bain úsáid as an gciorcal aonaid ar dheis
(0.6428, 0.7660)
chun na luachanna seo a scríobh síos:
(i) sin 50°
220° 50°
(ii) cos 220°
(iii) cos 50°
(iv) sin 220°
(0.7660, 0.6428)
2. Scríobh síos, le cabhair áireamháin, luach gach ceann de na cóimheasa seo, ceart go dtí
ceithre ionad dheachúlacha:
(i) sin 138° (ii) cos 212° (iii) tan 318° (iv) cos 159°
(v) tan 193° (vi) sin 236° (vii) cos 317° (viii) tan 254°
3. Má tá cos 120° cos 60°, déan cóip díobh seo a leanas agus comhlánaigh (críochnaigh)
ar an gcaoi chéanna iad:
(i) sin 130° … (ii) cos 115° … (iii) tan 160° …
(iv) cos 220° … (v) sin 250° … (vi) tan 300° …
4. Bain leas as na triantáin ar dheis go scríobhfaidh tú
síos gach ceann díobh seo a leanas ina chodán nó ina shurda:
30°
(i) sin 120° (ii) cos 135°
2
2
3
(iii) sin 240° (iv) sin 210°
1
(v) cos 330° (vi) tan 225°
45°
60°
(vii) cos 150° (viii) sin 300°
1
1
(ix) tan 150°
5. Faigh, ceart go dtí an chéim is gaire, an dá luach ar A má tá sin A 0.2167 agus 0° A 360°.
6. Faigh, ceart go dtí an chéim is gaire, an dá luach ar B i gcás 0° B 360°, más fíor iad seo:
(i) cos B 0.8428
(ii) tan B 1.2464.
7. Má tá sin 1 2
, faigh dhá luach ar , má tá 0° 360°.
8. Má tá cos ___ 1
√ 2 , faigh dhá luach ar tan , má tá 0° 360°.
435

9. Má tá tan A etc, faigh dhá luach ar cos A, má tá 0° A 360°.
10. Má tá sin ___
√__ 3 , faigh dhá luach ar cos , gan áireamhán, má tá 0° 360°.
2
11. Faigh A, ceart go dtí an chéim is gaire, má tá sin A 4 5 agus cos A 3 5
i gcás A 360°.
12. Má tá sin B 3 5 agus cos B 4 5
, faigh luach tan B, gan áireamhán, má tá 0° B 360°.
13. Má tá tan B etc agus sin B 1 2
, scríobh cos B ina shurda.
14. Má tá tan A 1 2
agus 180° A 270°, faigh sin A i bhfoirm surda.
Cuir triail ort féin 14
1. Bain úsáid as an triantán dronuilleach ar dheis chun iad seo a scríobh síos:
(i) sin A
(ii) tan A
5
Anois faigh méid na huillinne A, ceart go dtí an chéim is gaire.
A
4
3
2. Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air ar an triantán ar dheis.
Uaidh sin, scríobh síos mar chodáin
(i) tan A (ii) cos A.
A
13
x
5
3. I gcás an triantáin ar dheis, ACB 34°, ABC 90°, agus
AB 12 cm.
Faigh BC ina cm, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
A
12 cm
C
34°
B
4. I gcás an triantáin ar dheis, AB 12 cm, CD 20 cm,
ABC 43° agus ACD 90°.
A
(i) Faigh AC, ceart go dtí an cm is gaire.
(ii) Faigh ADC, ceart go dtí
an chéim is gaire.
B
12 cm
43°
C
20 cm
D
436

5. I gcás an triantáin ABC ar dheis, AB 5 cm, AC 8 cm
agus BAC 52°.
Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire
i ngach cás,
(i) achar an triantáin ABC
(ii) fad [BC]
A
(iii) BCA.
5 cm
52°
B
8 cm
C
6. Sa léaráid ar dheis, AD 6 cm, DB 9 cm,
CAD 35° agus tá CD ingearach le AB.
C
(i) Faigh CD ina cm, ceart go dtí ionad
deachúlach amháin.
(ii) Faigh CBD, ceart go dtí an chéim is gaire.
A
35°
6 cm
D
9 cm
B
7. (i) Faigh méid na huillinne A san fhíor ar dheis.
Bíodh do fhreagra ina chéimeanna,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(ii) 51 cm 2 atá in achar an triantáin ar dheis.
Faigh méid na huillinne A,
ceart go dtí an chéim is gaire.
10 cm
A
8
5
A
15 cm
8. 7 cm atá i nga an chiorcail ar dheis, agus tá AOB 95°.
(i) Faigh achar na teascóige AOB ina cm 2 ,
ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.
(ii) Faigh fad an stua [AB] ina cheintiméadair,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
A
95°
O
7 cm
B
9. I gcás na fíorach ar dheis, YZ 15 m, XYW 40°,
YZW 20° agus WXY 90°.
Faigh ina méadair, ceart go dtí ionad deachúlach
amháin, iad seo a leanas:
(i) |WY|
(ii) |WX|.
W
X
40°
Y
20°
15 m
Z
437

10. I gcás na fíorach ar dheis, is teascóg í OAB ar ga di 8 cm agus tá
AOB 40°. Faigh iad seo ina cm 2 ,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin:
8 cm
(i) achar na teascóige OAB
(ii) achar an réigiúin scáthaithe.
40°
O
B
8 cm 3 cm A
C
11. I gcás an triantáin PQR, PQ PR, QR 15 cm
agus RPQ 40°.
(i) Faigh PR, ceart go dtí an ceintiméadar is gaire.
(ii) Is pointe ar an líne QR é S sa chaoi is go bhfuil
RS 10 cm.
Faigh PS, ceart go dtí an ceintiméadar is gaire.
Q
P
40°
15 cm 10 cm
R
S
12. (i) Má tá sin A 0.8660, faigh dhá luach ar A, i gcás 0° A 360°.
(ii) Bain úsáid as an triantán ar dheis chun a luach seo a scríobh:
sin 2 60° cos 2 30° san fhoirm __ a , a, b N.
b
2
30°
3
60°
1
13. I gcás an cheathairshleasáin ABCD, BAD 90°,
BDC 63°, AB 12 cm, AD 9 cm
agus DC 14 cm.
Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire,
(i) fad [BD]
(ii) achar ABCD.
B
12 cm
A
9 cm
63°
D
14 cm
C
14. Féach ar an túr sa léaráid ar dheis.
Ag A, 43° atá san uillinn airde go
dtí barr an túir.
Ag B, 74° atá san uillinn airde go
dtí barr an túir.
10 m atá san fhad AB.
Ríomh airde an túir ina méadair,
ceart go dtí ionad deachúlach
amháin.
A
43°
10 m
B
74°
438

15. 66 cm 2 an t-achar atá sa triantán ABC.
AB 16 cm agus BAC 55°.
(i) Faigh BC ina cheintiméadair,
ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
(ii) Faigh ABC, ceart go dtí an chéim is gaire.
16 cm
A
55°
B
C
16. I gcás na dteascóg ar dheis, BOC 40°, OD 5 cm
agus OC 9 cm.
Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire,
(i) achar ABCD
(ii) imlíne ABCD.
O
40°
5 cm
A
9 cm
D
B
C
17. Más 42 cm 2 atá in achar an triantáin PQR, faigh PR, ina
cheintiméadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.
Má tá RQ 11 cm, bain úsáid as an luach atá
faighte agat le haghaidh PR chun tomhas na huillinne
RQP a fháil, ceart go dtí an chéim is gaire.
R
P
68°
10 cm
Q
18. Tá dhá dhéantúsóir radair ag iarraidh a gcuid táirgí a dhíol leis an ngarda cósta.
Tugtar thíos sonraíochtaí an dá tháirge, A agus B:
A
4 km
Raon 4 km
Cuar 55°
B
Raon 3.5 km
Cuar 70°
55°
70°
3.5 km
(i) Más é achar na teascóige a bhíonn clúdaithe ag an radar an ghné is tábhachtaí,
cén radar ba chóir a roghnú? Tabhair míniú le do fhreagra.
(ii) Má tá 75,000 ar radar A agus má tá 73,500 ar radar B, cén radar a thugann an
luach is fearr ar airgead?
Tabhair míniú le do fhreagra.
439

19. (i) Má tá cos A ___
√__ 3
, faigh an dá luach ar A, 0 A 360°,
2
gan úsáid a bhaint as áireamhán.
(ii) Faigh luach a agus luach b i gcás na léaráide ar dheis,
áit a bhfuil na dronuillinneacha marcáilte.
Tabhair gach freagra ina shurda.
a
b
60°
1
1
20. Is mian le suirbhéir meastachán a dhéanamh ar an achar atá i bpaiste triantánach
de thalamh coille.
Déantar sceitse ina dtaispeántar na tomhais.
Déan meastachán ar achar an talaimh choille ina km 2 , ceart go dtí ionad deachúlach
amháin.
B
C
2.3 km
Talamh
coille
36° 40°
A
5.4 km
440

Teoirim Phíotagarás
Ar thriantán dronuilleach, bíonn an
chearnóg ar an taobhagán cothrom le
suim na gcearnóg ar an dá shlios eile.
Cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an tangaint
sin urchomhaireach
__________________
taobhagán
cos cóngarach
___________
taobhagán
Achar triantáin
Achar an triantáin ABC:
Achar 1 2
ab sin C
Riail an tSínis
_____ a
sin A _____ b
sin B _____ c
sin C
nó
sin _____ A
a
sin _____ B
b
sin _____ C
c
tan ________________
urchomhaireach
cóngarach
taobhagán
Cóimheasa 30°, 45° agus 60°
Is féidir luachanna na gcóimheas triantánachta
le haghaidh na n-uillinneacha 30°, 45° agus
60° a fháil ó na triantáin ar dheis.
Teascóg ciorcail
Achar na teascóige AOB ____
360° r 2
Fad an stua AB
____
360° 2r
C
Riail an Chomhshínis
a 2 b 2 c 2 – 2bc cos A
Cóimheasa uillinneacha níos mó ná 90°
Taispeánann an léaráid na cóimheasa deimhneacha sna ceithre cheathrú.
(i) Sa chéad cheathrú, gach ceann (G) deimhneach
(ii) Sa dara ceathrú, níl ach sin (S) deimhneach
S
(iii) Sa tríú ceathrú, níl ach tan (T) deimhneach
(iv) Sa cheathrú ceathrú, níl ach cos (C) deimhneach.
T
C
a
A
B
b
b
c
45°
2
1
O
A
a
a
b
a 2 b 2 c 2
cóngarach
1
A
B
2
60°
1
c
urchomhaireach
30°
G
C
3
441

15
Céimseata 2 ---
Méaduithe agus Tógálacha
méadú fachtóir scála lárphointe an mhéadaithe bunfhíor íomhá
rinn sleasa comhfhreagracha tóg tadhlaí déroinnteoir
inchiorcal imchiorcal meánlíne meánlár líníocht de réir scála
Mír 15.1 Méaduithe
Tá dhá ghrianghraf anseo.
Tháinig an dá ghrianghraf ón
gclaonchló céanna.
Tá toisí an ghrianghraif ar dheis dhá oiread thoisí an ghrianghraif ar chlé.
Deirimid gur méadú é grianghraf amháin ar an ngrianghraf eile.
Ós rud é go bhfuil fad agus leithead an ghrianghraif mhóir dhá oiread fhad agus leithead an
ghrianghraif eile, deirimid gurb ionann fachtóir scála an mhéadaithe agus 2.
Sa léaráid seo is méadú é ABCD ar an dronuilleog ABCD.
D
C
D
C
A
B
A
B
Anseo AB 3 agus AB 9 AD 2 agus AD 6
Tá sleasa na dronuilleoige ABCD trí oiread chomh fada le sleasa na dronuilleoige ABCD.
Is é 3 an fachtóir scála.
442

Dhá thriantán ABC agus ABC atá léirithe thíos.
A
A
O
B
B
C
Is méadú é an triantán ABC ar an triantán ABC.
Lárphointe an mhéadaithe a thugtar ar an bpointe O.
Ós rud é go bhfuil OA 2OA, is é 2 an fachtóir scála.
Ós rud é gurb é 2 an fachtóir scála, AB 2AB, AC 2AC agus BC 2BC.
An bhunfhíor a thugtar ar an triantán ABC.
An íomhá a thugtar ar an triantán ABC.
‘Línte teilgin’ nó gathanna a thugtar ar na línte briste.
C
Méaduithe a tharraingt
Chun íomhá fíorach áirithe atá faoi mhéadú a thógáil, is éard a theastaíonn uainn ná:
(i) lárphointe an mhéadaithe
(ii) fachtóir scála an mhéadaithe.
Taispeántar sa léaráid thíos an chearnóg ABCD agus lárphointe an mhéadaithe O.
Méadóimid ABCD anois le O mar lárphointe agus fachtóir scála 3.
A
B
A
B
O
D
C
Gheobhaimid íomhá A ach O a cheangal le A agus í sin a leanúint go dtí A, ionas
go mbeidh OA 3OA.
Ar an gcaoi chéanna, ceangail O le B agus í sin a leanúint go dtí B, ionas go mbeidh
OB 3OB.
Tá an rud céanna le déanamh arís le haghaidh pointí C agus D.
Is íomhá na cearnóige ABCD í an chearnóg ABCD.
SÓs rud é gurb é 3 an fachtóir scála, AB 3AB agus AD 3AD.
D
C
443

Nuair is rinn é lárphointe an mhéadaithe
Taispeántar sa léaráid thíos an chaoi leis an gcruth ABCD a mhéadú faoi fhachtóir scála 2,
ag baint úsáide as A mar lárphointe an mhéadaithe.
B C B
C
B
C
B
C
B
C
A
D
A
D D A D D
Tabhair faoi deara nach mbogann lárphointe an mhéadaithe, A.
San fhíor dheireanach, tá AB 2AB, AD 2AD agus AC 2AC.
Taispeánann an léaráid ar dheis méadú ina bhfuil lárphointe an
mhéadaithe, X, taobh istigh den fhíor.
Sa mhéadú seo, is é 2 an fachtóir scála.
Tarraing an líne [XA] agus í sin a leanúint sa chaoi
is go mbeidh XA 2XA.
Lean [XB] ionas go mbeidh XB 2XB.
Déan an rud céanna do [XC].
Tá gach slios ar an triantán ABC dhá oiread chomh fada leis an slios comhfhreagrach ar ABC.
Maidir le gach méadú, faightear an fachtóir scála ach fad shlios na híomhá a roinnt ar fhad
shlios comhfhreagrach na bunfhíorach.
An fachtóir scála
fad shlios na híomhá
fad shlios comhfhreagrach na bunfhíorach
B
B
A
A
X
C
C
Méaduithe nuair a bhíonn an fachtóir scála níos lú ná 1
Más fachtóir scála níos lú ná 1 a bhíonn ag an méadú, is fíor níos lú a gheofar, ceann níos
gaire do lárphointe an mhéadaithe.
A
Is é ABC san fhíor seo íomhá ABC faoi mhéadú
arb é 1 2
an fachtóir scála atá aige.
Dá bhrí sin, tá OA 1 2 OA agus tá AB 1 2 AB.
Nuair is ionann an fachtóir scála agus
codán deimhneach níos lú ná 1, is laghdú
ar an mbunfhíor a bhíonn dá bharr.
O
B
A
C
B
C
Más ionann an fachtóir scála agus k,
(i) má tá k > 1, is méadú a bhíonn ann (ii) má tá k < 1, is laghdú a bhíonn ann.
444

Lárphointe an mhéadaithe a fháil
Nuair a bhíonn fíor agus méadú na fíorach sin againn, gheobhaimid lárphointe an mhéadaithe
ach dhá thacar de phointí comhfhreagracha a cheangal dá chéile agus na línte a leanúint
nó go mbuailfidh siad lena chéile. Sa léaráid thíos, buaileann AA agus CC lena chéile ag O.
Is é an pointe sin, O, lárphointe an mhéadaithe.
A
A
B
B
O
C
C
Sampla 1
Méadú ar an triantán ABC is ea an fhíor ABC atá
sa léaráid ar dheis, áit arb é A lárphointe an mhéadaithe.
Má tá AC 6, CC 9 agus BC 12.5, faigh iad seo:
(i) fachtóir scála an mhéadaithe
(ii) |BC|
(iii) an cóimheas AB : AB.
(i) D'fhéadfadh sé go ndéanfadh sé do chuid oibre níos fusa
dá dtarraingeofá an dá thriantán ar léaráidí ar leith.
An fachtóir scála
fad na híomhá
fad na bunfhíorach
|AC| _____
|AC|
15 ___
6 2.5
(ii) Ós rud é gurb é 2 1 2 an fachtóir scála, BC 21 2 BC
|BC| 2 1_ |BC|
|BC|
2
⇒ |BC| _____
2 1_ ____ 12.5
2.5 5
2
|BC| 5
(iii) |AB| 2 1_ 2 |AB|
_____ |AB|
2 1_ |AB| 2 __ 5 2
|AB| : |AB| 5 : 2
⇒ |AB| : |AB| 2 : 5
A
6
A
B
C
A
B
x__ __ 3
y 4
⇒ x : y 3 : 4
6 C 9
15
B
12.5
C
B
12.5
C
445

Méadú agus achar
Léirítear sa ghreille ar dheis gur méadú é triantán amháin ar
an triantán eile. Is é 2 an fachtóir scála.
Achar an triantáin níos lú 1_ 2
(2) (2)
2 aonad chearnacha
Achar an triantáin níos mó 1_ 2
(4) (4)
8 n-aonad chearnacha
Tabhair faoi deara go bhfuil achar an triantáin
is mó ceithre oiread achar an triantáin is lú.
Tabhair faoi deara freisin gurb ionann 4 agus
(fachtóir scála) 2 .
Más é k an fachtóir scála, ansin
Achar na híomhá k 2 (Achar na bunfhíorach).
Sampla 2
Méadú ar an bhfíor
PQRS is ea PQRS.
Más é 12 cm 2 achar
PQRS agus más é 48 cm 2
achar PQRS, faigh
fachtóir scála an
mhéadaithe.
Más é k fachtóir scála an mhéadaithe,
achar PQRS k 2 (achar PQRS)
⇒ 48 k 2 (12)
12k 2 48
k 2 4
k 2
Is é 2 fachtóir scála an mhéadaithe.
O
S
S
P
R
Q
2 4
Más de réir fachtóir scála k a mhéadaítear
fíor, is méadú de réir fachtóir scála k 2 a
thiocfaidh ar achar na híomhá.
2
P
R
Q
4
I sampla 2 thuas, méadaítear fíor PQRS de réir fachtóir
scála 2.
Má thosaímid leis an bhfíor PQRS agus má
mhéadaímid í chun an íomhá PQRS a fháil, is léir gurb
é 1 2
an fachtóir scála.
Is é sin, beidh gach slios ar PQRS cothrom le leathfhad
an tsleasa chomhfhreagraigh ar PQRS.
An méadú inbhéartach a thugtar ar an ngluaiseacht ón íomhá ar ais go dtí an bhunfhíor
de ghnáth.
446
Más de réir fachtóir scála k a
mhéadaítear ar fhíor, is é 1 k
an fachtóir scála don mhéadú
inbhéartach.

Méadú is ea A ar B, san fhíor ar dheis.
Tá an fachtóir scála, k, cothrom le 1 1 2 .
Anois, más méadú ar A é B, is é __ 1 an fachtóir scála.
k
1__ ___ 1
k 1 1_ __ 2 3
2
an fachtóir scála inbhéartach 2 3 .
6
A
4
B
Cleachtadh 15.1
1. Tá fíor agus a méadú sa léaráid ar dheis.
(i)
(ii)
Bain úsáid as an ngreille chun fachtóir
scála an mhéadaithe a scríobh síos.
Tugtar faid dhá shlios.
Faigh faid na sleasa
marcáilte x agus y.
x
9 cm
12 cm
y
bunfhíor
íomhá
2. Is é an triantán ABC sa léaráid ar dheis
íomhá an triantáin ABC faoi mhéadú, áit arb é
O an lárphointe agus arb é 2 an fachtóir scála.
Má tá BC 4, AC 6 agus AB 10, faigh iad seo:
A
10
A
(i)
(ii)
(iii)
|BC|
|AC|
|AB|.
O
B
4
6
C
B
C
3. Déan cóip den dronuilleog ABCD, a thaispeántar.
Tarraing méadú de chuid ABCD, áit arb é A
lárphointe an mhéadaithe agus 2 an fachtóir scála.
Cuir lipéid ABCD ar an íomhá.
Cé acu pointe den dronuilleog seo a fhanann ina
bhunsuíomh?
D
A
C
B
4. Déan cóip den triantán seo.
Anois tarraing méadú den triantán seo, áit arb é Z
lárphointe an mhéadaithe agus 3 an fachtóir scála.
Cuir lipéid XYZ ar fhíor na híomhá.
Scríobh síos fad na sleasa seo:
(i) [ZY] (ii) [ZX]
3 cm
Z
X
2 cm
Y
447

5. Léaráid í seo den fhíor ABCD agus
dá méadú PQRS.
(i) Úsáid an ghreille chun fachtóir
scála an mhéadaithe a scríobh síos.
(ii) Déan cur síos ar an gcaoi le
lárphointe an mhéadaithe a fháil.
(iii) Úsáid corr dhíreach le
comhordanáidí lárphointe an
mhéadaithe a fháil.
y
6
5
4
3
2
1
2 1 0
P
Q
A
B
D C
S
R
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
6. Is é an triantán B sa léaráid ar dheis,
íomhá an triantáin A faoi mhéadú.
Úsáid an ghreille agus scríobh síos:
(i) fachtóir scála an mhéadaithe
(ii) comhordanáidí lárphointe an
mhéadaithe.
(iii) Úsáid an ghreille le hachar an
triantáin A agus le hachar an
triantáin B a scríobh síos.
(iv) Más é k an fachtóir scála, taispeáin
go bhfuil achar an triantáin B k 2
oiread achar an triantáin A.
y
10
9
8
7
6
5
A
4
3
2
B
1
2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
Is ionann achar triantáin agus leath den bhonn iolraithe faoin airde ingearach.
7. Is é an triantán ORS íomhá an triantáin OPQ faoi mhéadú,
áit arb é O an lárphointe.
OP 4, PR 6 agus SR 8.
Tarraing léaráidí ar leith de na triantáin OPQ agus ORS.
Bain úsáid as na triantáin agus scríobh síos:
(i) fachtóir scála an mhéadaithe
O
(ii) |PQ|
(iii) an cóimheas OQ : OS.
Má tá achar OPQ 4 aonad chearnacha, faigh achar ORS.
Q
S
4 P 6
8
R
8. Déan cóip den triantán PQR tugtha.
Anois tarraing méadú den triantán le
lárphointe A agus fachtóir scála 2.
P
A
Q
R
448

9. Is méaduithe iad na triantáin ABC agus A 2 B 2 C 2 ar an triantán ABC.
y
9
8
4
A 2
B 2
C 2
7
6
A
5
3
B
C
2
A
1
B
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
(i) Ceann de na triantáin, is toradh é ar mhéadú a bhfuil fachtóir scála níos lú ná
1 aige. Cén triantán é sin?
(ii) Scríobh síos an fachtóir scála le haghaidh
(a) ABC (b) A 2 B 2 C 2 .
(iii) Má tá BC 12 cm, faigh
(a) |BC| (b) |B 2 C 2
|.
10. I gcás gach péire cruthanna seo a leanas, luaigh cé acu atá an cruth is mó ina
mhéadú den chruth is lú nó nach bhfuil.
Mínigh do fhreagra i ngach cás.
D
C
H
G
C
F
A
B
A
B
E
F
D
E
449

11. Sa léaráid thíos, is méadú í fíor amháin ar an bhfíor eile.
y
10
9
8
7
6
B
5
4
A
3
2
1
2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
(i) Bain úsáid as an ngreille agus rialóir le comhordanáidí lárphointe an
mhéadaithe a scríobh síos.
(ii) Más méadú é B ar A, scríobh síos an fachtóir scála.
(iii) Más méadú é A ar B, scríobh síos an fachtóir scála.
(iv) Má tá achar A 15 aonad chearnacha, faigh achar B.
12. Méadú ar an triantán ABC is ea ABC atá sa léaráid
ar dheis, áit arb é A lárphointe an mhéadaithe.
Má tá AC 8, CC 12 agus BC 25, faigh
(i) fachtóir scála an mhéadaithe
(ii) |BC| (iii) an cóimheas AB : AB
(iv) achar ABC má tá achar ABC cothrom le
16 aonad chearnacha.
A
B
8 C
B
12
25
C
13. Rinneadh an léaráid seo ar dheis a laghdú ar ghléas fótachóipeála go 2 3
dá bunmhéid.
(i) Más é 156 mm airde na bunléaráide, cén airde a bheidh
ag an léaráid laghdaithe?
(ii) Más é 28 mm airde an lipéid ar an léaráid laghdaithe, faigh
airde lipéad na bunléaráide.
14. San fhíor a thugtar, is méadú é bosca B ar bhosca A.
15 cm
5 cm
2 cm
A
6 cm
B
2 cm
6 cm
(i) Scríobh síos luach k, fachtóir scála an mhéadaithe.
(ii) Cad é an gaol idir k agus an fachtóir scála don toirt?
450

15. Tá an dearadh ar leabhar faoi chlúdach crua le húsáid ar an leagan den leabhar faoi
chlúdach bog. Chun é seo a dhéanamh, déanfar an dearadh a laghdú go dtí 3 5 dá
bhunmhéid. Cén airde a bheidh sa dearadh ar an leabhar faoi chlúdach bog más 18 cm
ar airde atá sé ar an leabhar faoi chlúdach crua?
16. Mhéadaigh Donncha léaráid de réir fachtóir scála 2 dá thionscadal eolaíochta. Shocraigh
sé nach raibh sí mór go leor go fóill, agus mar sin de rinne sé an méadú a mhéadú de réir
fachtóir scála 1.5.
Painéal gréine
Gaothrán
Mótar S.D.
(i)
(ii)
Cén fachtóir scála aonair a d’fhéadfadh sé a úsáid chun an léaráid deiridh a
fháil ón mbunléaráid?
Más rud é gurb iad 42 cm faoi 28 cm toisí an mhéadaithe dhúbailte, cad iad
toisí na bunléaráide?
17. Is é 1 : 1000 an scála ar léarscáil.
Déanann Anna an léarscáil a mhéadú de réir fachtóir scála 2.
(i) Cad é an scála ar an léarscáil mhéadaithe?
(ii) Tá sráid Anna 6 cm ar fad ar an mbunléarscáil.
Cad é fad na sráide go fírinneach?
Tabhair do fhreagra ina mhéadair.
Glacann Seán bunléarscáil Anna ar iasacht agus méadaíonn sé í de réir fachtóir scála 1 2 .
(iii) Cad é an scála ar léarscáil mhéadaithe Sheáin?
(iv) Má tá 1 km idir dhá stáisiún traenach, cá fhad atá siad óna chéile ar léarscáil
mhéadaithe Sheáin?
Mír 15.2 Tógálacha
Sa staidéar a rinne tú ar thógálacha don Teastas Sóisearach d’fhoghlaim tú:
> Conas mírlíne a dhéroinnt
> Conas uillinn a dhéroinnt
> Conas triantáin éagsúla a thógáil
> Conas línte comhthreomhara agus ingearacha a tharraingt
Sa mhír seo beimid ag plé le sé thógáil nua atá ar an
gcúrsa Ardteistiméireachta chomh maith le
feidhmeanna na dtógálacha seo sa ghnáthshaol.
Beidh compás, rialóir agus uillinntomhas de dhíth ort
chun na tógálacha seo a dhéanamh.
Nuair a úsáideann tú compás ní
mór duit stuanna na dtógálacha
a fhágáil mar fhianaise gur
úsáid tú an modh ceart.
451

2
2
1. Uillinn 60° a thógáil
60° atá i ngach uillinn i dtriantán comhshleasach.
Bainfimid úsáid as an eolas sin chun uillinn 60° a
tharraingt.
Ar thriantán comhshleasach,
is ar comhfhad atá na sleasa.
Z
Z
X
Tarraing mírlíne
[XY].
Y
60º
X Y X X Y
Socraigh an compás le ga XY.
Le X mar lárphointe agus ga XY,
tarraing stua. Déan seo
arís ag Y. Buaileann na
stuanna lena chéile ag Z.
Ceangail XZ.
|∠ZXY| 60°.
Tá an triantán XYZ comhshleasach.
2. Conas tadhlaí a thógáil ag pointe áirithe ar an gciorcal
k
t
O
O
O
X
k
X
k
X
Maidir le ciorcal k
agus an pointe X atá
air, is é O lárphointe
an chiorcail.
Ceangail X le O, lárphointe an
chiorcail. Leag rialóir ar feadh OX
agus sleamhnaigh an dronbhacart
ar feadh imeall an rialóra go dtí go
sroicheann sé an pointe X.
Tarraing líne t trí X ingearach
le OX.
Is tadhlaí é t leis an gciorcal k.
3. Conas comhthreomharán a thógáil, agus faid na sleasa agus
méideanna na n-uillinneacha ar eolas agat
Léiríonn na treoracha ar an gcéad leathanach eile
conas comhthreomharán ABCD a thógáil, áit a bhfuil
AB 3.5 cm, AD 4 cm agus DAB 55°.
452
Déanaimid sceitse garbh de ABCD ar dtús.
A
4 cm
55º
D
3.5 cm
B
C

D
D
23
D
C
4 cm
4 cm
A
55º
3.5 cm
B
A
55º
B
A
3.5 cm
B
Tarraing líne
chothrománach
[AB] 3.5 cm.
Úsáid uillinntomhas chun
uillinn 55° a thomhas ag A.
Tarraing líne trí A agus
tomhais AD 4 cm.
Leag dronbhacart ar feadh
na líne AB. Úsáid rialóir agus
sleamhnaigh an dronbhacart
ar feadh imeall an rialóra go
dtí go sroicheann sé an
pointe D.
Tarraing líne trí D
comhthreomhar le AB.
Úsáid compás, le ga 3.5 cm
(mar an gcéanna le AB),
chun stua a tharraingt ar an
líne. |DC| 3.5 cm.
Ceangail BC.
Is é ABCD an
comhthreomharán a
theastaíonn.
Ciorcail agus triantáin
O
O
Is é is imchiorcal triantáin ann ná
ciorcal a théann trí na trí rinn, mar a
thaispeántar. Imlár an triantáin a
thugtar ar O, lárphointe an chiorcail
sin.
Is é is inchiorcal triantáin ann ná ciorcal atá
iniata i dtriantán sa chaoi go bhfuil gach ceann
de na trí shlios ag bualadh le himlíne an chiorcail.
Ionlár an triantáin a thugtar ar lárphointe an
inchiorcail. Is é O an t-ionlár san fhíor thuas.
Beidh dhá thógáil a bhfuil staidéar déanta agat orthu do scrúdú an Teastais Shóisearaigh
i gceist le himchiorcal agus le hinchiorcal an triantáin a thógáil.
453

Cabhróidh na léaráidí thíos leat na céimeanna a bhaineann leis na tógálacha sin a
thabhairt chun cuimhne.
Déroinnteoir ingearach
mírlíne
Déroinnteoir uillinne
A
B
Ba chóir duit cleachtadh a dhéanamh ar na tógálacha sin sula dtugann tú faoi imchiorcal
agus faoi inchiorcal triantáin a tharraingt.
4. Conas imchiorcal triantáin a thógáil
X
X
X
O
O
Y
Z
Y
Z
Y
Z
Tóg déroinnteoir ingearach
[XY].
Tóg déroinnteoir ingearach
[XZ]. Buaileann an dá
dhéroinnteoir lena chéile ag
an pointe O, mar a thaispeántar.
Is é O an t-imlár.
Is é O an lárphointe agus is
é OX an ga. Tarraing ciorcal
trí X, Y agus Z.
Is é seo imchiorcal an
triantáin.
454

5. Conas inchiorcal triantáin a thógáil
Baineann tógáil inchiorcal triantáin le déroinnteoir uillinne a thógáil, rud a thugtar ar an
leathanach roimhe seo.
X
X
X
I
I
Y
Z
Y
Z
Y
H
Z
Tóg déroinnteoir
XYZ, mar a
thaispeántar.
Anois, tóg déroinnteoir XZY.
Buaileann an dá dhéroinnteoir
lena chéile ag an bpointe I.
Is é I an t-ionlár.
Úsáid dronbhacart chun ingear
a tharraingt ó I go dtí an líne YZ.
Buaileann an t-ingear le YZ ag
H. Agus IH mar gha, tarraing
ciorcal a bhuailfidh leis na trí
shlios. Is é seo inchiorcal an
triantáin XYZ.
6. Conas meánlár triantáin a thógáil
Meánlíne a thugtar ar an mírlíne a cheanglaíonn rinn triantáin le lárphointe an tsleasa
urchomhairigh.
Is meánlíne é [XM] sa triantán thíos.
|ZM| |MY|, mar a thaispeántar.
Z
meánlíne
M
X
Y
An meánlár a thugtar ar phointe trasnaithe na dtrí mheánlíne i dtriantán.
G
Is é G an meánlár.
455

Chun lárphointe mírlíne ar bith a fháil, ní mór dúinn déroinnteoir ingearach na mírlíne sin
a thógáil, mar a thaispeántar thíos.
P
P
A B A B
A
M
B
Q
Q
Socraigh do chompás ag fad
atá níos mó ná leath [AB].
Agus A mar lárphointe
tarraing stua os cionn na
líne agus fúithi.
Agus an ga céanna ar do
chompás agus B mar lárphointe,
tarraing dhá stua eile.
Trasnaíonn na stuanna seo
an chéad dá stua ag P agus Q.
Ceangail P agus Q.
Is é PQ déroinnteoir
ingearach [AB].
Is é M lárphointe [AB].
Léiríonn na trí léaráid thíos na céimeanna a bheidh le leanúint le meánlár a thógáil i
dtriantán.
X
X
X
M
N
M
N
G
M
Y
Z
Y
Z
Y
Z
Tóg déroinnteoir ingearach
[XZ], mar a thaispeántar.
Is é M lárphointe [XZ].
Anois, tóg déroinnteoir
ingearach [XY]. Is é N
lárphointe [XY].
Ceangail YM agus ZN. Buaileann
siad lena chéile ag an bpointe
G. Is é G meánlár an triantáin.
Feidhmeanna na dtógálacha sin
Sa léaráid ar dheis, is í an líne déroinnteoir
ingearach [AB].
Tá gach pointe ar an déroinnteoir
seo ar comhfhad ó A agus B.
X
Mar sin AX XB.
A
B
456

Tóg trí phointe X, Y agus Z.
Conas a aimsímid pointe atá ar comhfhad
ó gach ceann de na trí phointe sin?
Tóg déroinnteoirí ingearacha na línte
[XY] agus [YZ].
Tabhair agus m ar na línte seo.
Tá gach pointe ar ar comhfhad ó X agus Y.
Tá gach pointe ar m ar comhfhad ó Y agus Z.
Trasnaíonn na línte agus m a chéile ag K.
Tá K ar comhfhad ó X, Y agus Z.
Is é an ciorcal is mó is féidir a tharraingt taobh
istigh de thriantán ná an t-inchiorcal, is é sin,
an ciorcal a bhuaileann le gach ceann de na trí shlios.
Is ionann ‘ar comhfhad ó’ agus
‘an fad céanna ó’.
Cleachtadh 15.2
1. Tarraing líne 5 cm ar fad.
Gan ach compás agus rialóir in úsáid agat, tóg déroinnteoir ingearach na líne.
2. Bain úsáid as d’uillinntomhas le huillinn 70° a tharraingt.
Anois, bain úsáid as do chompás agus do rialóir le déroinnteoir na huillinne a thógáil.
3. Tóg an triantán ABC le bonn BC 6 cm, AB 4.5 cm agus ABC 60°.
4. Gan ach compás agus rialóir in úsáid agat, tóg uillinn 60°.
5. Tóg an comhthreomharán a thaispeántar ar dheis.
D
C
3.5 cm
A
50º
6 cm
B
6. Tóg dronuilleog dar fad 6 cm agus dar leithead 4 cm.
7. Tóg an comhthreomharán PQRS sa chaoi go mbeidh PQ 7 cm, PS 5 cm agus
QPS 55°. Tomhais PR.
8. Is é atá sa léaráid ar dheis ná sceitse garbh den
chomhthreomharán ABCD.
Tóg an comhthreomharán más rud é gurb
ionann an airde ingearach agus 4 cm.
D
4 cm
C
A
65°
7 cm
B
457

9. Tarraing an comhthreomharán ABCD ar a bhfuil an bonn AB 4.5 cm, BC 3 cm
agus AC 6 cm. Tomhais ABC.
10. Tarraing triantán le sleasa 6 cm, 5 cm agus 4 cm.
Anois, tóg imchiorcal an triantáin.
Taispeáin na línte tógála.
11. Tarraing an triantán dronuilleach, mar a thaispeántar ar
dheis.
Anois tóg imchiorcal an triantáin.
4.5
Cad a thugann tú faoi deara faoi imlár an triantáin?
Anois tarraing triantán dronuilleach ar bith eile agus
tóg an t-imchiorcal.
An bhfuair tú an toradh céanna agus a fuair tú leis an gcéad triantán?
Cén tátal is féidir leat a bhaint maidir le himlár triantáin dhronuilligh?
6
12. Taispeántar sa léaráid trí shráidbhaile, an Droim, an Múr agus an Tobar.
Taispeántar na faid idir na sráidbhailte.
An Droim
6.5 km
4 km
An Tobar
6 km
An Múr
Bain úsáid as an scála 1 cm 1 km agus tarraing líníocht chruinn den léaráid thuas.
Tá sé beartaithe scoil a thógáil atá ar comhfhad ó gach ceann de na trí shráidbhaile.
Taispeáin an áit ar chóir an scoil a thógáil ar do líníocht.
13. Tarraing triantán ar a bhfuil sleasa 6.5 cm, 5 cm agus 4 cm.
Bain úsáid as déroinnteoirí dhá uillinn ar bith den triantán le lárphointe an inchiorcail
a fháil. Anois tarraing an t-inchiorcal.
14. Is í an líne XD déroinnteoir AXB.
Is pointe ar XD é K, KZ AX agus KY XB .
Taispeáin gur triantáin iomchuí iad XKZ agus XKY.
Taispeáin uaidh sin go bhfuil KZ KY.
Cén tátal is féidir leat a bhaint maidir
X
le pointe ar bith ar dhéroinnteoir
uillinne?
Z
K
A
D
Y
B
458

15. Tóg an triantán a thaispeántar.
Anois, tóg na meánlínte [AM] agus [BN].
Trasnaíonn na meánlínte a chéile ag an bpointe G.
4.5 cm
Tomhais AG agus GM.
Anois, faigh an cóimheas _____ |AG| |BG|
agus ____ chomh maith.
|GM| |GN| B
Bunaithe ar na freagraí a fuair tú, comhlánaigh an ráiteas seo:
'Roinneann meánlínte triantáin a chéile sa chóimheas …. : ……'
A
G
M
5.5 cm
4 cm
N
C
16. Tá triúr A, B agus C ina seasamh ar an gcladach agus
feiceann siad bád san fharraige.
Tá an bád ar comhfhad ó gach duine den triúr.
Déan cur síos ar an gcaoi le suíomh an bháid a aimsiú.
A
B
17. Tarraing ciorcal dar ga 3 cm agus marcáil an lárphointe O.
Marcáil pointe X ar an gciorcal. Anois, úsáid rialóir agus
dronbhacart chun tadhlaí leis an gciorcal seo a tharraingt ag an bpointe X.
C
18. Taispeántar san fhíor ar dheis ciorcal agus dhá chorda [AB] agus [CD].
Cad is féidir leat a rá faoi dhéroinnteoir ingearach [AB]?
Anois, dean cur síos ar conas is féidir an dá chorda sin a úsáid
chun lárphointe an chiorcail a aimsiú.
C
19. Tarraing ciorcal dar ga 3.5 cm. [Ná marcáil an lárphointe.]
Tarraing dhá chorda ar bith cosúil leis na cinn i gceist 18 thuas.
Bain úsáid as an dá chorda chun lárphointe an chiorcail a aimsiú.
A
B
D
20. I gCeist 19 bhaineamar úsáid as dhá chorda chun lárphointe
an chiorcail a aimsiú. Taispeántar sa léaráid ar dheis ciorcal
agus dhá phointe ar an gciorcal sin.
Déan cur síos ar bhealach eile chun lárphointe an chiorcail seo
a aimsiú agus tú ag úsáid na bpointí X agus Y.
Y
21. Cruth triantáin atá ar láithreán campála agus tá bóithre gnóthacha X
ag rith ar feadh gach ceann de thrí thaobh an láithreáin.
Tá taobhanna an láithreáin 110 m, 150 m agus 170 m ar fad. 110 m 150 m
(i) Agus scála 10 m 1 cm in úsáid agat, tarraing léaráid
de réir scála den láithreán seo.
(ii) Taispeáin ar an léaráid an áit is fearr le puball a chur sa
170 m
chaoi go mbeidh sé chomh fada agus is féidir ó gach ceann de na trí bhóthar.
459

Cuir triail ort féin 15
1. Sa léaráid seo, is méadú é KLMN ar KLMN.
M
N
M
N
K
L
K
L
O
(i) Bain úsáid as an ngreille chun fachtóir scála an mhéadaithe a fháil.
(ii) Má tá KN 5 cm, faigh KN. (iii) Má tá NM 21 cm, faigh NM.
(iv) Mínigh cén fáth arb é O lárphointe an mhéadaithe.
(v) Má tá ON 16 cm, faigh ON .
2. Tá dhá fhíor P agus Q sa léaráid thíos. Is méadú ar cheann amháin é an ceann eile.
10
9
8
7
6
5
Q
4
3
2
1
P
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
(i) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe an mhéadaithe.
(ii) Más méadú ar P é Q, faigh an fachtóir scála.
(iii) Más méadú ar Q é P, faigh an fachtóir scála.
(iv) Má tá achar P 24 cm 2 , faigh achar Q.
3. San fhíor ar dheis, is méadú é ABCD ar ABCD.
(i) Ainmnigh lárphointe an mhéadaithe.
(ii) Faigh fachtóir scála an mhéadaithe.
(iii) Faigh DC.
(iv) Má tá AC 9.4 m, faigh AC.
(v) Más méadú é ABCD ar ABCD, cad é
fachtóir scála an mhéadaithe?
D
D
A
5 m
B
C
8 m
B
C
12 m
460

4. Is méadú é an triantán ABC ar an triantán ABC, áit
arb é A an lárphointe agus arb é 1.5 an fachtóir scála.
Má tá AC 8, BC 9 agus BB 3, faigh
(i) |AC|
(ii) |BC|
(iii) |AB|.
Má tá achar ABC 20 aonad cearnach,
A
faigh achar ABC.
8
B
C
3
9
B
C
5. Tóg triantán dar sleasa 5 cm, 4 cm agus 3.5 cm.
Anois tóg imchiorcal an triantáin.
6. Déan tógáil bheacht den chomhthreomharán
a thugtar ar dheis.
Tomhais AC.
3 cm
D
C
A
48°
5.5 cm
B
7. Is trí scoil iad X, Y agus Z.
X
Is é 15 km an fad ó X go Y, is é 12 km an fad ó Y go Z
agus is é 18 km an fad ó X go Z.
Déan líníocht de réir scála de na faid seo, ag úsáid 1 cm 3 km.
Anois, tóg suíomh na páirce imeartha atá ar comhfhad
ó gach scoil.
Y
Z
8. Rinneadh an léaráid trí thriantán a mhéadú de A
réir fachtóir scála 2.5.
(i) Cé acu an buntriantán?
B
(ii) Má tá BE 4.5 cm, faigh CD.
(iii) Más é an triantán ABE íomhá an triantáin ACD?
faoi mhéadú, cad é an fachtóir scála
(iv) Má tá AEB 28°, faigh méid na huillinne ADC.
(v) Má tá achar ABE 4.2 cm 2 , faigh achar ACD.
C
E
D
9. Méadaíodh Cruth C go cruth C.
4 cm C
3 cm
C
6 cm
(i) Cén fachtóir scála a bhí in úsáid?
(ii) Cad é fad an tsleasa marcáilte x i gcruth C?
(iii) Más é 18 cm 2 achar C, faigh achar C.
x
461

10. Ní féidir le grúpa siúlóirí siúl díreach ó Áth na hAbhann go Baile na Cé, mar a dhéanann
siad de ghnáth. Ina áit sin, caithfidh siad chun dul trí Chaiseal chun limistéar caomhantais
a sheachaint. Tá Caiseal 7.2 km ó Áth na hAbhann agus 5.4 km ó Bhaile na Cé.
Caiseal
7.2 km
C
5.4 km
Áth na Abhann
A
30º Limistéar 40º
caomhantais
Baile na Cé
B
(i) Tóg líníocht scála chruinn den bhealach, áit a bhfuil 1 cm 1 km.
(ii) Cad é an fad breise a shiúil an grúpa, i gcomparáid leis an mbealach díreach ó
Áth na hAbhann go Baile na Cé?
Bíodh do fhreagra ina chiliméadair, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.
11. Is méadú é an triantán XYZ ar an triantán DHG, áit arb é O an lárphointe.
DG 8, XZ 12 agus XY 9.
X
9
8
D
H
12
Y
O
G
Z
(i) Faigh fachtóir scála an mhéadaithe.
(ii) Faigh DH .
(iii) Is é achar an triantáin XYZ ná 27 aonad cearnach. Faigh achar an triantáin DHG.
12. I ngach ceann de na péirí léaráidí a thaispeántar,
is méadú é cruth Q ar chruth P.
(a)
8
Do gach péire léaráidí, scríobh síos:
(i) fachtóir scála an mhéadaithe
(ii) luach x.
x
5
P
12
Q
9
(b)
x
P
Q
10
8
462

0
20
10
30
40
50
60
70
80
90
100
110
160
170
180
Méaduithe
Nuair a mhéadaítear cruth
> bíonn an bhunfhíor agus a híomhá comhchosúil lena
chéile; athraíonn an mhéid ach ní athraíonn an cruth.
> tugann an fachtóir scála an uimhir faoinar méadaíodh
fad gach mírlíne
> má bhíonn an fachtóir scála k …
níos mó ná 1 (k > 1), bíonn an íomhá níos mó ná an bhunfhíor
níos lú ná 1 (k < 1), bíonn an íomhá níos lú ná an bhunfhíor
> má mhéadaítear fíor de réir fachtóir scála k, méadófar a hachar de réir fachtóir
scála k 2
> faightear lárphointe an mhéadaithe ach línte a tharraingt trí dhá thacar de
phointí comhfhreagracha. Is é pointe trasnaithe na línte sin an lárphointe.
> más ionann fachtóir scála an mhéadaithe agus k, is ionann an fachtóir scála don
mhéadú inbhéartach agus 1__
k .
Tógálacha
Imchiorcal
Inchiorcal
Is é lárphointe an imchiorcail ná
pointe trasnaithe dhéroinnteoirí
ingearacha na sleasa.
A
Is é lárphointe an inchiorcail ná pointe
trasnaithe dhéroinnteoirí na n-uillinneacha.
Meánlár Uillinn 60°
C
G
M
B
Meánlíne a thugtar ar an líne AM.
Meánlár an triantáin a thugtar ar an bpointe G, an áit a dtagann na meánlínte le chéile.
Tadhlaí le ciorcal
Comhthreomharáin
60°
O
D
C
P
3.5 cm
120
130
140
150
70° 7
A
5 cm
B
463

Freagraí
Caibidil 1: Ailgéabar 1
Cleachtadh 1.1
1. 5 2. 4 3. 6
4. 8 5. 3 6. 4
7. 3 8. 4 9. 10
10. 2 11. 12 12. 3
13. 2 14. 7 15. 4
16. 72 17. 30 18. 42
19. 48 20. 63 21. 63
22. 36 23. 24 24. 24
25. 3 26. 3 27. 4
28. 9 29. 2 30. 27
31. 12 32. 9 33. 30
34. 21 35. 27 36. 1
37. 18 38. 72 39. 11
40. 0 41. 4 42. 4
43. 12 44. 6 45. 2
46. (i) 2 (ii) 4 (iii) 2
(iv) 5 (v) 2 (vi) 6
Cleachtadh 1.2
1. 13x 2. 3x 3. 7a 4. 6a
5. a 6. 2y 7. 5x 2 8. 3x 2 2x
9. 7a 2 2b 10. 2x 2
11. 4a 4 12. 6x 2 2
13. (i) x 2 7x 12 (ii) 2x 2 5x 3
(iii) 2x 2 5x 12 (iv) 2x 2 8x 10
(v) 6x 2 13x 5 (vi) 2x 2 15x 18
14. (i) 19x 17 (ii) 2x 2 17x
(iii) x 10 (iv) 2x 2 6x 3
15. (i) x 2 4x 4 (ii) x 2 6x 9
(iii) 4x 2 12x 9 (iv) 9x 2 12x 4
16. (i) 2x (ii) 2 (iii) 4x, 15 (iv) 4x, 8
17. 12x 24
18. (i) 3 (ii) a 6
19. (i) 18ab 6b 2 (ii) 12a 10b
20. x 2 19x 24
Cleachtadh 1.3
1. 8 2. 2 3. 12 4. 4
5. 21 6. 24 7. 0 8. 22
9. 19 10. 21 11. 69 12. 15
13. (i) 33 (ii) 21 (iii) 7 (iv) 2
14. (i) A, D, F (ii) C, D, E
15. (i) 11 (ii) 4 (iii) 4 (iv) 2
Cleachtadh 1.4
1. x 4 2. x 5 3. x 5
4. x 8 5. x 6 1_ 2 6. x 3
7. x 2 8. x 6 9. x 5
10. x 3 11. x 6 12. x 5
13. x 7 14. x 7 15. x 5
16. x 2 17. x 5 18. x 1
19. x 10 20. x 10 21. x 5
22. x 3 23. x 3 24. x 9
25. x 2
26. (i) 15 (ii) 60 2x
(iii) 9 1_ 2
(iv) 10
27. x 35°; 101°, 64°, 15°
Cleachtadh 1.5
1. x 12 2. x 1 3. x 7
4. x 21 5. x 11 6. x 6
7. x 4 8. x 3 9. x 2
10. x 5 11. x 5 12. x 7 1_ 2
13. x 4 14. x 7 15. x 7
16. x 3 17. x 6 18. x 8
19. x 8 20. x 2 21. x 24
22. x 30 23. x 2
25. x 1 26. x 1_ 2
24. x 1 1_ 2
27. x 11
28. 8 cm
29. (i)
3(x _______ 6)
x 4
5
Cleachtadh 1.6
1.
4.
7.
10.
13.
15.
17.
19.
13 ___
12
5x ___
6
10x 9 _______
12
x 6 _______
6
2x 3 _______
x(x 3)
2.
5.
8.
11.
5x 14
____________
(x 2)(x 4)
25x 7
______________
(4x 1)(3x 1)
22 ______________
(3x 1)(2x 3)
13 ___
10
9x ___
4
9x 17 _______
6
3x 5 ______
12
14.
16.
18.
20.
(ii) 15 cm
3.
6.
9.
12.
5x 15 _______
x(x 5)
11 ___
24
7x ___
6
17x 24 ________
15
13x 7 _______
20
14x 15
______________
(2x 1)(2x 3)
x 17
_____________
(3x 1)(x 3)
3x 13
_________
4(3x 5)
464

21. ______________
x 20
(2x 7)(3x 5)
23. k 34
24. (i) 13a ____
12
22.
(ii) 9a ______ 4
12
x 7
_____________
(2x 1)(x 2)
(iii) 7a ______ 5
6
Cleachtadh 1.7
1. A, F; B, D; C, H; E, G 2. D agus E
3. A, D; B, G; F, H; C, E 4. x 3
5. x 3 6. x 4
7. x 3 8. x 3
9. x 12 10. x 4
11. x 1 12. x 5
13. x 8 14. x 1
15. x 2 16. x 1
17. 3 x 3 18. 1_ 2 x 3
19.
1_
2
x 8 20. x 2, 3, 4
21. (i) (b) atá fíor (ii) 9
Cleachtadh 1.8
1. x 4, y 1 2. x 5, y 2
3. x 3, y 2 4. x 3, y 1
5. x 1, y 2 6. x 2, y 3
7. x 4, y 2 8. x 5, y 2
9. x 13
2
, y 1 10. x 3, y 1
11. x 2, y 3 12. x 6, y 3
13. x 2, y 3 14. x 4, y 3
15. x 1, y 1 16. x 1, y 5
17. x 3_ 2
, y 2 18. x 2, y 1
19. x 2, y 3 20. x 8, y 3
21. x 6, y 4
22. (i) x 1_ 2 , y 5_ 2
(ii) 6.5 cm
Cleachtadh 1.9
1. 7, 2 2. 10, 3
3. 9, 6 4. 28, 15
5. 196 g, 366 g
7. 40 bó, 10 gcearc
6. (ii) a 2 1_ 2 , b 3
8. (i) 80 g (ii) 120 g
9. Ruairí – 9, Sorcha – 3
10. (i) x 1, y 2 (ii) x 3, y 0
(iii) x 1, y 2
11. (i) (a) x 1, y 3 (b) x 0, y 4
(ii) Línte comhthreomhara
níl aon phointe trasnaithe ann
12.
__ 14
49
, __ 15
50
13. |AB| 21 cm, |BC| 2 cm
Cleachtadh 1.10
1. (i) x y _____ 4
2
(ii) b a 6 _____
8
(iii) d c _____ 1
4
2. (i) b a _____ 5
3
(iii) e d ______ 12
6
3. (i) t v _____ u
a
(iii) g 5(p 3h)
(iv) k h _____ 2
2
(ii) w b _____ 2
(iv) h
4
g ________ 18
5
(ii) p k bq ______
a
4. (i) x y 2z (ii) x b ______ 4c
3
(iii) x 6y ________ 7 (iv) x 6y 24
3
5. (i) a 2b ______ 1
4
(iii) a
4b _______ 21
7
(ii) a
6. (i) a b(k 2) (ii) v
5 _____
b 3
u ______
s 10
7. (i) a 2(c 4b) (ii) a ________ 4b 3c
2
(iii) x y _____ 1 (iv) b a ______ 30
6
10
(v) z 3x ________ y
2
8. (i) a ______ mn
m n
(vi) b
4a _______ 3c
2
(ii) n b _________ a d
d
9. (i) y ___ 3x
20 z (ii) b _______ 6c
2a 3c
(iii) y x tz ______
2
10. (i) a b ______ xb
x 1
pq
(iii) r _____
p q
11. k
abe ______
ab d
q
(iv) t _____
2
p q
(ii) x y _____ 4
y 3
12. D, E, F
13. (i) b x 2 a (ii) y __ x
a 2
(iii) b ___ 4a
k 2
14. F
9C ________ 160
5
8p
15. (i) q ______
pt 8
(ii) b
am _______
ac m
Cuir triail ort féin 1
1. (i) x 1 (ii) x 3, y 4
(iii) b c ______ ax
y
2. (i) x 2 1_ 2
(ii) A, B, D, E
(iii) 2 3
(iv) v 23, w 5
10
465

3. (i) 2x 9 (ii) x 1_ 4
(iii) x 1 (iv) x 3 1_ 2
4. (i) 10 (ii) x 4 (iii) 2 x 5
(iv) (a) A: x y 3
B: y 2x
C: x 2y 3
(b) (i) x 1, y 2
(ii) x 3, y 0
(iii) x 1, y 2
5. (i) x 3 (ii) B, E
(iii) a 5, b 2 (iv)
9x _______ 13
; x 7
6
6. (i) x 4 (ii) (2, 1) (iii) 1
___
(iv) (a) r √
___ 3V
(b) r 3.5 cm
h
7. (i) 1 (ii) Megan: 21, Olivia: 26
pq
(iii) r ______
3q p
(iv) (b) r ______ P
(c) h ______ 30
6
6
Caibidil 2: Cothromóidí Cearnacha
Cleachtadh 2.1
1. (x 6)(x 1) 2. (x 3)(x 4)
3. (2x 1)(x 2) 4. (2x 1)(x 4)
5. (2x 1)(x 7) 6. (3x 2)(x 2)
7. (3x 4)(x 1) 8. (5x 2)(x 3)
9. (2k 1)(2k 3) 10. (4x 1)(x 3)
11. (10x 7)(x 1) 12. (3x 10)(2x 1)
13. (x 3)(x 4) 14. (x 4)(x 9)
15. (2x 1)(x 3) 16. (2x 1)(x 9)
17. (2x 3)(x 5) 18. (4x 1)(2x 3)
19. (3x 1)(2x 3) 20. (4x 1)(2x 3)
21. (4x 1)(2x 3) 22. (3x 2)(x 5)
23. (2x 9)(x 6) 24. (6x 11)(x 2)
25. (6x 5)(4x 3) 26. (6x 1)(x 3)
27. (5x 2)(3x 4) 28. x(x 4)
29. x(x 8) 30. x(2x 3)
31. (x y)(x y) 32. (x 5y)(x 5y)
33. (4x 1)(4x 1) 34. (4x 5y)(4x 5y)
35. (7x 10)(7x 10) 36. (6x 7y)(6x 7y)
Cleachtadh 2.2
1. x 4 nó x 1 2. x 1_ 2
nó x 2
3. x 0 nó x 5_ 2
4. x 1 nó x 3
5. x 2 nó x 6 6. x 1 nó x 5
7. x 2 nó x 4 8. x 3 nó x 5
9. x 1_ 2 nó x 2 10. x 2_ 3 nó x 1_ 2
11. x 1_ 4 nó x 7 12. x 4_ 3 nó x 7_ 3
13. x 1_ 2 nó x 5_ 2 14. x 2_ 3 nó x 5
15. x 1_ 6
nó x 3 16. x 0 nó x 7
17. x 0 nó x 5_ 2 18. x 0 nó x 4_ 3
19. x 0 nó x 9_ 2
10
20. x 0 nó x 3
21. x 0 nó x 12 22. x 3
5
23. x 7 24. x 3_ 2
25. x 5_ 2 26. x 4_ 3
27. x 1_ 2
28. x 2 nó x 7
29. x 1_ 2 nó x 5 30. x 5_ 2 nó x 6
31. (ii) (a) x 3_ 2 (b) 4 cm, 3 1_ 2 cm
32. (i) (a) (x 2 6x) cm 2 (b) (8x 24) cm 2
(ii) x 6; l 12 cm, w 6 cm;
caithfidh x a bheith deimhneach
33. (i) (3x 4) 2 (2x 6) 2 (x 2) 2
(ii) x 3
(iii) 13 cm
34. (i) x 3 nó x 5
(ii) x 2 nó x 4
(iii) x 1 nó x 2
35. (ii) x 3, imlíne 30 cm
Cleachtadh 2.3
1. x 1 nó x 4 2. x 3 nó x 4
3. x 2 nó x 3 4. x 3 nó x 5
5. x 3_ 2
nó x 1 6. x 1 nó x 3
7. x 0 nó x 4 8. x 2_ 3 nó x 2
9. x 3_ 2
nó x 2 10. x 3 nó x 4
11. x 2_ 3
nó x 1 12. x 1 nó x 3
13. x 2 nó x 4 14. x 5 nó x 3_ 2
15. x 3_ 2 nó x 6 16. x 1_ 2
nó x 3
17. x 2 nó x 2_ 3 18. x 1 nó x 1_ 2
19. (i) x 3_ 5
(ii) x 2 (iii) x 0
Cleachtadh 2.4
1. 3.41, 0.59 2. 5.24, 0.76
3. 3.45, 1.45 4. 1.83, 3.83
5. 0.81, 0.31 6. 0.43, 0.77
7. 0.42, 1.58 8. 2.91, 0.57
9. 0.35, 1.15 10. 2.39, 0.28
11. 0.36, 1.86 12. 2.59, 0.26
13. 1.55, 0.80 14. 0.72, 2.78
15. 2.14, 0.47 16. 0.3, 6.7
17. 0.3, 3.2 18. 2.8, 1.3
19. 4.3, 3.3 20. 1.4, 1.8
21. 0.8, 3.5
22. (i) x 2 3x 4
(ii) x 2.53
(iii) 6.53 cm
466

Cleachtadh 2.5
1. (2, 1), (1, 2) 2. (3, 1), (1, 3)
3. (3, 3), (3, 3) 4. (1, 1), (3, 9)
5. (4, 2), (4, 2) 6. (4, 3), (3, 4)
7. (3, 0), (0, 3) 8. (4, 3), (3, 4)
9. (1, 0), (6, 5) 10. (2, 2), (1, 4)
11. (1, 2), (4, 4) 12. (5, 1), (7, 5)
13. (1, 1), (3, 9) 14. (1, 1); tadhlaí
15. (3, 5), (4, 12)
Cleachtadh 2.6
1. x 2 6x 8 0 2. x 2 6x 5 0
3. x 2 5x 6 0 4. x 2 2x 3 0
5. x 2 2x 8 0 6. x 2 7x 12 0
7. x 2 4x 12 0 8. x 2 5x 0
9. 2x 2 3x 2 0 10. x 2 9x 20 0
11. 2x 2 7x 4 0 12. 4x 2 33x 8 0
13. x 2 4x 0 14. 4x 2 1 0
15. x 2 9 0 16. 4x 2 x 0
17. a 1, b 2
Cleachtadh 2.7
1. (i) a 7 (ii) a 6 (iii) a 4 (iv) 6x 3
(v) 3a 5 (vi) x 3 (vii) a 3 (viii) 3a 4
(ix) a 6 (x) 1
2. (i) 5 2 (ii) 8 2 (nó 4 3 nó 2 6 ) (iii) 3 3
(iv) 2 5 (v) 5 3 (vi) 9 2 (nó 3 4 )
3. A: 3 3 , B: 3 2 , C: 2 6 , D: 6 3 , E: 1, F: 2 2 ,
G: 3 2 , H: 5 5
4. (i) 8 (ii) 4 (iii) 1
(iv) 2 (v) 4 (vi) 2
5. (i) 5n 11 (ii) 6n 3 (iii) 21n 13
(iv) 30n 9 (v) 16n 2 (vi) 8n 3
(vii) 125n 6 (viii) 32n 15
6. (i) 2m 7 (ii) ___ m2
5
(iv) ____ 2m3
3
(v) _____ 3m2
2
(iii) 2m 4
7. A & E; B & H; C & G; D & F
8. (i) 5 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 4 (v) 6 (vi) 5
9. (i) 36 (ii) 1_ 8 (iii) 4_ 9 (iv) 1_ 9
(v) 12
10. A & I; B & H; C & G; D & F
11. (i) 1_ 4 (ii) 1 (iii) 8 (iv) 3_ 4 (v) 2_ 3
12. (i) x 1_ 2
(ii) a 1_ 3
(iii) a 1_ 4
(iv) x 2_ 3
(v) a 3_ 4
13. (i) __
√ x
(iv) 2 √ __
a 5
(ii) 4 √ __
a
(v) 3 √ ____
( a __
x )
(iii) 3 √ __
x 2
14. (i) 2 (ii) 4 (iii) 8 (iv) 8
(v) 9 (vi) 64 (vii) 16 (viii) 1000
(ix) 27 (x) 25
15. (i) 1_ 3 (ii) __ 1
16
(iii) 1_ 2 (iv) 2 (v) 1_ 4
16. (i) 1_ 4 (ii) 4 (iii) 1_ 8 (iv) ____ 1
1000 (v) 1_ 8
17. (i) 2 3 (ii) 2 1_ 2
(iii) 2 3_ 2
(iv) 2 5_ 2
(v) 2 1_ 2
18. (i) 5 2 (ii) 5 1_ 2
(iii) 5 3_ 2
(iv) 5 3_ 2
(v) 5 1_ 2
19. (i) 2 4 (ii) 3 5_ 2
20. 5
Cleachtadh 2.8
1. (i) 2 3 (ii) 2 4 (iii) 2 2 (iv) 2 3 (v) 2 5
2. (i) 3 2 (ii) 3 3 (iii) 3 4 (iv) 3 3 (v) 3 4
3. 3 4. 3 5.
5_
2
6.
3_
2
7.
3_
2
8.
3_
2
9.
5_
3
10.
5_
4
11. 2 12. 3 13. 3_ 2
14. 3
15. 3_ 2 16. 4_
3
17. 4 18. 3
19. 5_ 2
20. 3 21. 2 22. 3
23. (i) 2 1_ 2
(ii) 2 3_ 2
(iii) 2 3_ 2
(iv) 2 3_ 2
(v) 2 3_ 2
(vi) 2 1_ 2
24. (i) 3_ 2 (ii) 3_ 2 (iii) 1_ 2 (iv) 5_ 3
25. (i) x 1_ 2 (ii) x 3_ 2
(iii) x 2 (iv) x 5_ 4
26. 3 7_ 2
; 3_ 4 27. 2 4_ 3
; 4_ 3 28. 3 5_ 2
; 3 1_ 4
29. 2 5_ 2
; 9_ 4 30. 3 5_ 2
; 17
4
31. (i) 2 4 (ii) 2 3_ 2
; x 17
Cleachtadh 2.9
1. (i) 3 (ii) 6 (iii) 12 (iv) 5 (v) 4
2. (i) 2 √ __
2 (ii) 2 √ __
3 (iii) 3 √ __
2
(iv) 3 √ __
3 (v) 3 √ __
5
3. (i) 5 √ __
3 (ii) 6 √ __
2 (iii) 5 √ __
5
(iv) 12 √ __
3 (v) 8 √ __
3
4. (i) 8 √ __
3 (ii) 5 √ __
2 (iii) 5 √ __
2
(iv) 7 √ __
2 (v) 5 √ __
3 (vi) 3 √ __
3
5. (i) 5 (ii) 18 (iii) 60 (iv) 21
6. (i) 5 2 √ __
5 (ii) 6 4 √ __
3 (iii) 6 √ __
6
7. (i) 2 √ ___
10 10 (ii) 1 (iii) 22
(iv) 9 (v) 11 (vi) 3
8. (i) 2 (ii) 7 13 √ __
2 (iii) 1
9. 24 8 √ __
5 10. 4 √ ___
15
Cleachtadh 2.10
1. 5 2. 9 3. 5
4. 6 5. 7 6. 9
7. 6 8. 2 9. 5
10. 2 11. 1, 4 12. 9
13.
3_
2
14. 10 2_ 3 15. 3
16. x 2 x; x 3
4
467

17. x __ 4 ; x 4 18. k __ 1
x 10
Cuir triail ort féin 2
1. (i) (2x 1)(x 3); 3, 1_ 2
(ii) (3, 4), (5, 0) (iii) (a) 3_ 4 (b) 3
2. (i) 3x 13 (ii) 7.77, 0.77
(iii) 5 √ __
2 (iv) 3 3_ 2
; x 2
3. (i) b 5 (ii) (5, 1), (7, 5)
(iii) 8 cm, 3 cm
4. (i) 4x 2 (ii) 1_ 3
,2 (iii) A, C, D, E
5. (i) k 3 (ii) (a) x 5_ 2 (b) x 1_ 4
(iii) (1, 1), (4, 7)
(iv) 2 √ __
3
6. (i) (a) 4 (b) 125 (c)
(ii) ( 1_ 4 , 1_ 4 ), ( 1_ 2 , 1_ 2 )
(iii) 3 √ __
2
__ 1
27
(iv) x 3_ 4
7. (i) (a) (x 7) cm (b) (x 2 7x) cm 2
(ii) (a) x 4
(b) 30 cm
8. (i) 3_ 5 (ii) _____ 1
x 1 ; √ __
3
(iii) x 1_ 8
(iv) 4, 5
Caibidil 3: Céimseata Chomhordanáideach
An Líne
Cleachtadh 3.1
1. A (5, 4), B (6, 1), C (3, 2), D (4, 3),
E (4, 0), F (3, 3), G (0, 2),
H (4, 2), I (3, 0)
3. (i) Céad (ii) Tríú (iii) Ceathrú
(iv) Dara (v) Ceathrú (vi) Tríú
4. (i) x-ais (ii) x-ais (iii) y-ais
(iv) y-ais (v) An dá ais/bunphointe
5. (i) A(4, 2), B(3, 2), C(5, 2), D(5, 3)
(ii) 1.3 km (iii) 1.3 km
6. (i) (0, 8), (9, 1) (ii) (4, 11), (0, 15)
(iii) (7, 1), (3, 11), (10, 2)
Cleachtadh 3.2
1. (i) √ ___
34 (ii) √ ___
50 (iii) √ ___
53 ; No
2. (i) |FE| 6, |ED| 3 (ii) √ ___
45
3. (i) √ ___
10 (ii) √ __
5 (iii) √ ___
13
(iv) √ ___
89 (v) √ ___
53 (vi) 5
4. (i) √ ___
26 (ii) √ __
8 (iii) √ ___
10 (iv) √ __
8
6. |XY| √ ___
65 ; |XZ| √ ___
65 ; |YZ| √ ___
26 ;
|XY| |XZ| ⇒ Tá XYZ comhchosach
7. A(2, 0), B(6, 7), C(10,0), D(6,0); 2 √ ___
65 aonad
8. √ ___
53
9. (i) √ ___
18 (ii) √ ___
34 ; Níl
10. k 1 nó k 3
11. k 5 nó k 1
12. √ ___
26 km
Cleachtadh 3.3
1. (i) (4, 3) (ii) (1, 3) (iii) (3, 1)
(iv) (1, 1) (v) (1, 2) (vi) (2, 0)
2. (0, 11
2
); y-ais
3. (2, 4) 4. (1, 1
__ 2 )
5. (1, 1) 6. (1, 6)
Cleachtadh 3.4
1. (i) a c (ii) b d
2. (i) b (ii) 2_ 3 (iii) 2
3. Tá an líne ag titim ó chlé go deis; 1_ 2
4. (i) 1 (ii) 3_ 2 (iii) 8
(iv) 1 (v) 1 (vi) 2_ 3
5. Tá siad comhthreomhar
6. Tá siad comhthreomhar
8. a 1_ 2 , b 1, c 2
9. (i) 3_ 4 (ii) 4_ 3
10. (i) 3_ 2 (ii) 5_ 4 (iii) 4_ 3
(iv) 5_ 2 (v) 2
11. (i) 1 (ii) 1
12. (i) 1 (ii) 1
13. k 5
14. k 8_ 3
15. (i) 1_ 2 (ii) _____ 2
(iii) 5
k 1
16. (i) Tá gach ceann de na línte sin ag titim
ó chlé go deis
(ii) 2, m 1, n 1_ 2 , k 0
Cleachtadh 3.5
1. (i) 2x y 2 0 (ii) 4x y 1 0
(iii) 5x y 13 0 (iv) 3x y 6 0
(v) 5x y 17 0 (vi) 2x 3y 9 0
2. (i) 3x 4y 19 0 (ii) 3x 5y 22 0
3. (i) 4x y 11 0 (ii) 2x y 1 0
(iii) 3x 4y 18 0 (iv) 2x 3y 5 0
4. 3x y 0
5. (i) 3x y 0 (ii) 5x y 0
(iii) x 3y 0 (iv) 3x 2y 0
6. 3; 3x y 5 0
7. (i) 3x 2y 0 (ii) 2x y 0
(iii) x 6y 1 0 (iv) 4x 5y 7 0
(v) x y 5 0 (vi) 2x y 1 0
8. 5x 4y 2 0
9. (i) A(4, 3), B(7, 5), C(10, 3)
(ii) 2_ 3
(iii) 2x 3y 1 0
468

Cleachtadh 3.6
1. (i) y x 4; 1 (ii) y 3x 5; 3
(iii) y 2_ 3 x 7_ 3 ; 2_ 3 (iv) y 5_ 2 x 3_ 2 ; 5_ 2
(v) y 3_ 4 x 1_ 2 ; 3_ 4 (vi) y 3_ 4 x 3_ 2 ; 3_ 4
2. y 2_ 3 x 7_ 3 ;
(i) 2_ 3 (ii) 2_ 3 (iii) 3_ 2
3. 2
5. (i) y 3x 6 (ii) y 1_ 3 x 11
6. Tá siad comhthreomhar
7. (i) 3 (ii) (0, 2)
8. (i) a f (ii) a e nó b d
(iii) e
(iv) a
9. x 2y 2 0 nó y 1_ 2 x 1
10. k 4 11. k 2 12. k 6
Cleachtadh 3.7
1. 2; 2x y 8 0
2. 3x y 9 0
3.
2_
3 ; 3_ 2
; 3x 2y 10 0
4. 2x 3y 7 0
5. 3x y 12 0
6. x 3y 0
7. P(2, 4); 5x y 6 0
8. 2x y 5 0
9. x 4y 28 0
10. C
11. x 2y 10 0
12. (i) 5_ 3
(ii) (b) 3x 5y 2
Cleachtadh 3.8
1. a: y 1; b: y 3; c: x 3; d: x 1
3. (i) x 3 (ii) (0, 6) (iii) 4
(iv) 1
(v) 9 n-aonad chearnacha
4. x-ais: (6, 0); y-ais: (0, 3)
6. x-ais: (5, 0); y-ais: (0, 5_ 2 )
7. 9 n-aonad chearnacha
9. (i) A (ii) B
(iii) Níl siad ingearach (iv) 7.5 aonad 2
11. (i) d (ii) c (iii) a (iv) b
12. (iv) Níl sé ar an líne
14. k 6
15. k 3
16. (i) k 2 (ii) t 5
Cleachtadh 3.9
1. (4, 1) 2. (1, 4) 3. (2, 3)
4. (3, 1) 5 (2, 1) 6. (3, 1)
7. (2, 3) 8. (3, 1) 9. (1, 2)
10. (3, 4) 11. (2, 5)
Cleachtadh 3.10
1. (i) 5_ 27
2
aonad cearnach (ii) __
2
aonad cearnach
(iii) 5_ 2
aonad cearnach (iv) 5 aonad chearnacha
(v) 3 aonad chearnacha (vi) 9 n-aonad chearnacha
2. B(7, 2); C(1, 2); 8 aonad cearnach
3. (i) 9_ 33
2
aonad cearnach (ii) __
2
aonad cearnach
(iii) 15 aonad 2 (iv) 4 aonad cearnach
4. 14 aonad chearnacha; 14 aonad cearnach
5. 14 aonad cearnach
6. 14 aonad cearnach
7. 4 aonad cearnach
8. Ní triantán é, i.e. is líne dhíreach é
9. k 1
Cuir triail ort féin 3
1. (i) √ ___
10 (ii) 1_ 3
2. (ii) 4_ 3
(iii) 4x 3y 10 0
3. (i) 2 (ii) (0, 4)
(iii) (2, 0) (iv) 1_ 2
4. (ii) k 3
5. (i) (0, 5); y-ais (ii) 4_ 3
(iii) 3_ 4
(iv) 3x 4y 0
6.
1_
2 ; y 1_ 2 x 1
7. (i) 2 (ii) (0, 4)
8. (ii) 1_ 2
(iii) 2x y 10 0
9. (i) k 2
(ii) A(3, 0), B(0, 2); 3 aonad chearnacha
10. (i) 3x y 6 0 (ii) 6 m
(iii) 6.3 m
11. (2, 2)
12. (i) 2x y 12 0
(ii) x-ais: (6, 0); y-ais: (0, 12)
(iii) 36 aonad cearnach
13 (i) 2x y 1 0
14. (i) b agus c (ii) 2
(iii) D, a; E, b; F, c
15. (i) c 7 (ii) 3x 2y 4 0
16. (iii) 10 n-aonad chearnacha
17. (i) 95°F (ii) 58°F (iii) 10°C
(iv) 38°C; 5x 9y 160 0
Caibidil 4: Sonraí a Bhailiú agus
Sampláil
Cleachtadh 4.1
1. (i) Scoite (ii) Scoite
(iii) Leanúnach (iv) Scoite
(v) Leanúnach
2. Leanúnach; am tomhaiste ar scála
3. Scoite
469

470
4. (i) Scoite (ii) Scoite (iii) Leanúnach
5. Leanúnach; scoite
6. (i) Scoite (ii) Leanúnach (iii) Scoite
(iv) Leanúnach (v) Scoite
(vi) Leanúnach (vii) Scoite
Cleachtadh 4.2
1. (i) Uimhriúil (ii) Catagóireach
(iii) Uimhriúil (iv) Catagóireach
2. (i) Catagóireach (ii) Uimhriúil
(iii) Uimhriúil; tá líon na gcnaipí scoite
3. (i) Ní hea (ii) Is ea (iii) Is ea (iv) Ní hea
5. (ii) Líon na n-uibheacha (iii) An méid plúir
6. Uimhriúil … Catagóireach
7. (i) Catagóireach (ii) Uimhriúil
(iii) Uimhriúil
(iv) Catagóireach; Is é an méid bróige atá scoite;
Sonraí leanúnacha dé-athráideacha
8. (i) Fíor (ii) Bréagach (iii) Bréagach
(iv) Bréagach (v) Fíor (vi) Bréagach
(vii) Fíor (viii) Fíor
Cleachtadh 4.3
1. (i) Príomhúil (ii) Tánaisteach
(iii) Príomhúil (iv) Tánaisteach
2. (i) Sonraí tánaisteacha
(ii) Roy; is gaire don am i láthair a chuid torthaí
3. Sonraí príomhúla
5. (i) Ní bheadh (ii) Príomhúil
Cleachtadh 4.4
1. (i) (c) (ii) (a) (iii) (b) (iv) (b)
2. C(i); tugann C(ii) ar dhaoine freagra faoi leith
a thabhairt
3. (i) Róphearsanta (ii) Róscaoilte
4. (i) Ceist róphearsanta; Freagraí róscaoilte
5. (i) Róphearsanta
(ii) Ceist a thugann ar dhaoine freagra faoi
leith a thabhairt
(iii) (a) Tá na huimhreacha ag dul isteach
ina chéile
6. Is ceisteanna iad B agus D a thugann ar dhaoine
freagra faoi leith a thabhairt, nó atá laofa
7. Níl sí oiriúnach – róscaoilte
8. (i) Róphearsanta – d’fhéadfadh sí náire a
chur ar dhaoine
9. CA: Róphearsanta; CB: Ceist a thugann ar
dhaoine freagra faoi leith a thabhairt
10. (i) Róscaoilte
11. (i) Róscaoilte – d’fhéadfadh sí náire a chur ar
dhaoine
(ii) Ba chóir boscaí do na freagraí a chur isteach
(iii) Róscaoilte – d’fhéadfaí níos mó ná ciall
amháin a bhaint aisti
15. (i) (a) Róscaoilte; ba chóir go mbeadh rogha
chuí freagraí curtha ar fáil
(b) Róphearsanta;
d’fhéadfadh sí náire a chur ar dhaoine
Cleachtadh 4.5
1. B 2. B
3. Daoine atá ag an bpictiúrlann cheana féin,
seans go bhfuil suim acu i scannáin agus gur
minice a théann siad ann ná an chuid is mó
de dhaoine.
4. Ní thugann sé léiriú ceart ar an daonra mar go
bhfuil an fráma ama rótheoranta agus róchúng.
5. Daoine ag siopa spóirt, tá suim acu sa spórt
cheana féin agus is mó an seans go n-imríonn
siad roinnt spórt.
6. Laofa ó thaobh inscne de; ní dhearnadh suirbhé
ach ar ollmhargaí; am rótheoranta agus, dá
bhrí sin, d’fhéadfadh nach ndéanfadh sé léiriú
ceart ar an daonra.
7. Modh 2; Randamach amach is amach
11. (i) Níl laofa (ii) Laofa
(iii) Laofa
13. 300
Cuir triail ort féin 4
1. (i) Uimhriúil (ii) Catagóireach
(iii) Catagóireach (iv) Uimhriúil
(v) Catagóireach (vi) Uimhriúil
(vii) Catagóireach
2. (i) Scoite (ii) Scoite
(iii) Leanúnach (iv) Leanúnach
(v) Scoite
(vi) Leanúnach
3. (i) Príomhúil (ii) Tánaisteach
(iii) Príomhúil (iv) Tánaisteach
(v) Tánaisteach
4. (i) Aonathráideach (ii) Dé-athráideach
(iii) Dé-athráideach (iv) Aonathráideach
(v) Dé-athráideach
5. (i) A (ii) A (iii) C
(iv) B (v) B (vi) A
(vii) B (viii) A (ix) A nó C
(x) C
6. (i) B agus C (ii) A agus D
9. (i) 219
11. D’fhéadfadh
12. (i) D’fhéadfadh
13. Níl ach B agus F laofa
Caibidil 5: Uimhríocht
Cleachtadh 5.1
1. (i) 3_ 5 (ii) __ 4
15
(iii) 3_ 4 (iv) 5_ 8
2. (i) 5_ 8 (ii) 1 __ 5
19
(iii) 11
(iv) 1 24
42
18

3. (i) 5 1_ 4
11
(ii) 3 12 (iii) 4 __ 3
10 (iv) 6 1_ 5
4. (i) 1 3
10 (ii) 2 1_ 6 (iii) 2 __ 1
15 (iv) 2 __ 5
24
5. (i) 10 (ii) 21 (iii) 39 (iv) 49
6. (i) 3_ 2 (ii) 4 2_ 7 (iii) 3_ 2
(iv) 10
7. (i) 1_ 6 (ii) __ 5
5
36
(iii) __
5
12
(iv) __
18
8. (i) 0.125 (ii) 0.625 (iii) 0.875
(iv) 0.0625 (v) 0.4375
9. (i) 0.58, 0.6, 5_ 8 , 13
20 (ii) __ 3
10
, 0.35, 0.4, 9
20
10. (i) 750 m (ii) 250 m
11. (i) 2.57 (ii) 2.6
12. (i) 1720.6 (ii) 8.1 (iii) 9.1
13. (i) 0.3 (ii) 0.4 (iii) 0.4
14. (i) 3 (ii) 2 (iii) 2 (iv) 3
(v) 4 (vi) 3 (vii) 1 (viii) 3
(ix) 4 (x) 3
15. (i) 3200 (ii) 650 (iii) 2900
(iv) 29 000 (v) 41 000
16. (i) 7520 (ii) 294 (iii) 14.3
(iv) 0.627 (v) 1.07
17. 1024
18. 63
19. 90
Cleachtadh 5.2
1. 56, 24 2. 104 3. 5508
4. 210 5. 81 kg 6. 6 : 3 : 1
7. 225 8. 2100 cm 2 9. 438
10. (i) 10 kg (ii) 15 kg
11. 250
12. (i) 50 cm (ii) 16 m
13. (i) 3 km (ii) 18 cm
14. 80 m 15. 1.2 m
16. 10.00 17. 9.6 km/
18. (i) 86:5 (ii) 86 (iii) 80
19. (i) 80 km (ii) 100 míle (iii) 30 ft
(iv) 360 cm (v) 88 lb (vi) 40 kg
(vii) 70 pionta (viii) 48
20. 500 m 21. 14 kg
Cleachtadh 5.3
1. (i) 25% (ii) 34% (iii) 25%
(iv) 40% (v) 15%
2. (i) 0.75 (ii) 0.5 (iii) 0.64
(iv) 0.06 (v) 0.025
3. (i) 11.25 (ii) 56 (iii) 54
(iv) 31.50 (v) 221 (vi) 174 cm
4. (i) 7.5 (ii) 28.50 (iii) 480
5. (i) 25% (ii) 15% (iii) 25%
6. (i) 85% (ii) 5%
7. 850
8. (i) 45 (ii) 112 (iii) 49
(iv) 57.6 (v) 32 kg (vi) 60.72
9. (i) 18 (ii) 161 (iii) 60
(iv) 242.5 (v) 135 (vi) 42.75
10. 1600
11. (i) 245 (ii) 240
12. 650
13. (i) 320 (ii) 17%
14. (i) 4050 (ii) 370 000
15. 41% 16. 20%
17. 21 1_ 3
% 18. 1104
19. (i) 12.5% (ii) 4000 kg
20. (i) 800 (ii) 18 000
21. 84
22. Beidh Stór B 23.50 níos ísle
23. 479
Cleachtadh 5.4
1. 8.7% 2. 7.7% 3. 4.7%
4. 7.4% 5. 1.3%
6. (i) 5.8% (ii) 2.3%
7. 2.6%
8. (i) F 68° (ii) 2.9%
9. (i) 28.5 m (ii) 27.5 m (iii) 441 3_ 4 m 2
10. (i) 88 m (ii) 410 3_ 4 m 2
11. (i) 2.85 kg (ii) 165 kg (iii) 555 3_ 4 kg
12. (i) 12.5 cm (ii) 515 5_ 8 cm3
(iii) 179 1_ 4 cm3 (iv) 14.6%
Cleachtadh 5.5
1. (i) 1363.64 (ii) $3696
2. 2150.74
3. (i) 1764.71 (ii) £1700
4. (i) $1680 (ii) Y268 800
(iii) 3409.09 (iv) 964.29
(v) $450 (vi) Y636 363.64
5. 596 Franc Eilvéiseach
6. 57.99
7. 1625
8. 2%
9. 29 931; brabús 3975
Cleachtadh 5.6
1. (i) 13 160 (ii) 9960
2. (i) 275.20 (ii) 231.20
3. 8080 4. 156.90
5. 7850 6. r 22
7. 1000 8. 4950
9. 35 000 10. 46 000
11. (i) 3308.80 (ii) 53.40
(iii) 3728.80 (iv) 70.90
12. (i) 11 200 (ii) 5600
(iii) 5600 (iv) 14 000
(v) 42 000
471

Cleachtadh 5.7
1. (i) 0.04 (ii) 0.055 (iii) 0.12
(iv) 0.145 (v) 1.12
2. (i) 1.06 (ii) 1.055 (iii) 1.1
(iv) 0.96 (v) 1.125
3. (i) 61.50 (ii) 338.58
(iii) 848.04 (iv) 848.00
4. 423.20 5. 9235.20
6. 4.5% 7. 6400
8. 8904; 4% 9. 800
10. 11 475; 4% 11. 8200
12. 11.5%
13. (i) 5434 (ii) r 4%
14. 8500
15. (i) 15% (ii) 4500
16. 4.6% 17. 26.8% 18. 19.6%
19. (i) 31 Bealtaine (ii) 212.28
20. (i) 4664 (ii) 6%
21. B 8000
22. A – 78%, B – 93.2%, C – 103.9%, D – 112.9%
23. 5.5%
24. 10 837.50
25. (i) 11 776 (ii) 18 000
26. 16% 27. 39%
28. 458 29. 28 000
30. (i) 1 nóim 39 soic (ii) Lá 6
(iii) 5 nóim 17 soic
Cleachtadh 5.8
1. 70 km/u 2. 4 1_ 2
uair an chloig
3. (i) 120 km/u (ii) 112 km/u
(iii) 136 km/u (iv) 112 km/u
(v) 128 km/u (vi) 135 km/u
4. (i) 76 km/u
(iii) 65 km/u
(ii) 53 1_ 3 km/u
5. 72 km/u
6. (i) 240 km (ii) 260 km (iii) 198 km
7. (i) 3 u (ii) 2 1_ 2
u (iii) 20 nóim
8. 5 u 12 nóim 9. 53 1_ 3 km/u
10. 12 m/s 11. 75 km/u
12. (i) 1 1_ 3
u (ii) 1 u 20 nóim
13. 2 u 9 nóim 14. 125 m
15. 8.3 km/u 16. 8.35 a.m.
17. (i) 30 km (ii) 1 uair an chloig
(iii) 45 km
(iv) 75 km
18. (i) 20 km (ii) 2_ 3 km/nóim
(iii) 40 km/u (iv) 30 km/u
19. (i) 20 km (ii) 30 nóim
(iii) 30 km
(iv) 2 uair an chloig
20. (i) 55 nóim (ii) 10 nóim
(iii) 30 km/u (iv) 24 km/u
21. (i) 1 1_ 2
m/s (ii) Laghdaíonn sé
(iii) 3_ 4 m/s
(iv) 3 m/s
(v) 1 1_ 2 soic
(vi) 4 m/s
Cleachtadh 5.9
1. (i) 600 (ii) 450 (iii) 6800
(iv) 51 000 (v) 67 000 (vi) 516
(vii) 7050 (viii) 18 600
2. (i) 4 10 2 (ii) 5.8 10 2
(iii) 6.2 10 3 (iv) 5.7 10 3
(v) 6 10 4 (vi) 7.6 10 4
(vii) 9.2 10 4 (viii) 7.2 10 5
3. (i) 0.25 (ii) 0.06
(iii) 0.0048 (iv) 0.00092
4. (i) 4 10 2 (ii) 6.2 10 2
(iii) 7 10 3
(iv) 6.5 10 3
5. (i) 8 10 3 (ii) 7.9 10 3
(iii) 6 10 4
(iv) 5.3 10 4
6. A, D
7. (i) 2080 (ii) 660.6
(iii) 8230 (iv) 570
8. (i) 5.4 10 5 (ii) 1.702 10 2
(iii) 3.276 10 3 (iv) 1.44 10 2
9. (i) 7 10 3 (ii) 6 10 2
(iii) 5.6 10 3
10. (i) 2.8 10 3 (ii) 8 10 2
11. (i) 1.62 10 8 (ii) 5 10 3
(iii) 8 10 4 (iv) 2 10 1
(v) 5 10 1
(vi) 1.6 10 5
12. (i) An Domhan (ii) 5900 km
(iii) 1.95 10 4
13. 2.4 10 4
14. 0.0005
15. (i) 340,000,000
(ii) An Chríostaíocht
(iii) An Confúiceachas
(iv) An tIoslam agus an Chríostaíocht
16. (i) 19.625 (ii) 78.4
Cuir triail ort féin 5
1. (i) 2080 (ii) (a) 420
(iii) 9930
(b) 31 1_ 4 %
2. (i) A & I, B & H, C & G, D & F
(ii) 5.5%
(iii) 192 cm
3. (i) 210
(ii) (a) 824 (b) 168.92 (c) 21%
(iii) 2%
4. (i) 252 cm 2 (ii) 7806
(iii) (a) 5040 (b) 5%
5.
7
(i) (a) __
36
(b) 8
(ii) Is ceart di glacadh le B (beagán níos fearr)
(iii) (a) 1080 (b) 56 000
472

6. (i) 124 (ii) (a) 886.73 (b) 2.8%
(iii) (a) 320 (b) 120 (c) 1100
7. (i) 150 km (ii) Níor cheart (iii) 6000
8.
7
(i) __
16
(ii) (b) 0.64
(iii) (a) 6000 (b) 5250
(c) 15 000 (d) 45 000
9. (i) 84 km/u (ii) (a) 108 1_ 2
km (b) 1.6%
(iii) 8000
Caibidil 6: Dóchúlacht
Cleachtadh 6.1
1. (i) Dodhéanta (ii) Seans Cothrom
(iii) Cinnte (iv) Seans Cothrom
(v) Dodhéanta
2. (i) Dodhéanta (ii) An-dóchúil
(iii) An-neamhdhóchúil (iv) An-neamhdhóchúil
(v) Seans Cothrom (vi) Cinnte
(vii) Neamhdhóchúil
3. (i) Níos mó ná 5 (ii) Tá
5. (i) B (ii) C (iii) C
(iv) A (v) B (vi) C
6. (i) 6 (ii) 4 (iii) 0 (iv) 2
7. (i) 6 (ii) 8 (iii) 2
Cleachtadh 6.2
1. (i) 1_ 6 (ii) 1_ 3 (iii) 1_ 2 (iv) 1_ 2 (v) 1_ 3 (vi) 1_ 2
2. (i) 1_ 4 (ii) 3_ 8 (iii) 1_ 4 (iv) 1_ 8 (v) 3_ 8
3. (i) 1_ 8 (ii) 1_ 4 (iii) 3_ 8
4. (i) 1_ 4 (ii) 3_ 4 (iii) 1_ 4 ; 3_ 4
5. (i) 1_ 2 (ii) 1_ 4 (iii) __ 1
1
13
(iv) __
26
5
6. (i) __
12
(ii) 1_ 4 (iii) 3_ 4 (iv) 2_ 3
7. (i) 1_ 4 (ii) 3_ 8 (iii) 5_ 8 (iv) 1_ 4
8. (i) 1_ 5 (ii) 1_ 5 (iii) 2_ 5 (iv) 1_ 2
9. (i) 1_ 7 (ii) 2_ 7 (iii) 2_ 7
10. (i) 1_ 6 (ii) 1_ 3
11. (i) 1_ 5 (ii) __ 1
21
(iii) 0
2
12. (i) __
15
(ii) 2_ 5 (iii) 2_ 3
13. (i) (a)
1_
4 (b) 1_ 6 (ii) (a) 1_
4
(b)
14. (i) 2_ 5 (ii) __ 3
10
(iii) 11
25 ; 1_ 6
15.
2_
5
16. (i) 1_ 2 (ii) __ 8
8
25
(iii) __
25
17. (i) 2_ 5 (ii) 3_ 5 (iii) __ 4
4
25
(iv) __
15
(v) 2_ 5
18. (i) 1_ 7
(ii) 5 cheathair
3
19. (i) __
49
(ii) 12
49
20.
G G
U D
U
D
D
D
__ 5
12
Cleachtadh 6.3
1
1. (i) __
12
(ii) 1_ 4 (iii) 1_ 3 (iv) 1_ 6
2. (i) 1_ 9 (ii) __ 1
1
12
(iii) __
5
12
(iv) __
36
3. (i) 1_ 8
4. (i) __ 1
12 (ii) 1_ 8
(ii) 1_ 6 (iii) 3_ 8
2 ; 9 is minice; 1_ 4
5. GGD, DGG; 2_ 3
6. (i) (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 5),
(3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)
(ii) 12
(iii) (a)
1_
3
(b) 1_ 6
7. ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA;
(c) 1_
4
(i) 1_ 6 (ii) 1_ 3
8. (i) 1_ 6 (ii) 2_ 3 (iii) 1_ 4
9. (i) 1_ 8 (ii) 3_ 8 (iii) 1_ 8 (iv) 7_ 8
Cleachtadh 6.4
1. 50
2. (i) 10 (ii) 10 (iii) 20
3. (i) 50 (ii) 150
4. (i) 13
20
(ii) 100 (iii) Yes
5. (i) 35 (ii) 70 (iii) 105
6. (i) (a)
1_
5
2
(b) __
15
(ii) (a)
1_
6
(b) 1_ 6
(iii) Níl
7. Dá mbeadh sé cóir – 6 huaire; Níl
__ 7
10
8.
9. (i) 0.15 (ii) ‘1’ (iii) 50
10. Ag Ben; ag Jósaí
11. (i) x 0.1 (ii) 0.6 (iii) 200
12. (i) Ciara (ii) 0.4, 0.3, 0.2, 0.1 (1, 2, 3, 4)
(iii) Tá
13. An dísle dearg atá cóir
14. (i) Ag Liam (ii) Tá an rothlóir laofa
63
(iii) ___
290
15. (ii) 1 (iii) Tá
(iv) Is fíorbheag an seans go mbeidh
Cleachtadh 6.5
1. (i) 1_ 6 (ii) 1_ 2 (iii) 2_ 3
2. (i) 1_ 2 (ii) 1_ 4 (iii) 3_ 4
(v) Miontas
3. (i) 4_ 9 (ii) 2_ 9 (iii) 2_ 3
4. (i) 1_ 4 (ii) __ 3
26
(iii) 19
52
5. (i) 1_ 2 (ii) 1_ 3 (iii) 2_ 3
6. (i) 1_ 4 (ii) __ 1
4
13
(iii) __
13
(iv) 1_ 2 (v) __ 1
13
7
(vi) __
13
1
7. (i) __
36
(ii) 1_ 6 (iii) 1_ 6
8. (i) buí 3 curtha san áireamh faoi dhó (ii) 3_ 5
9. (ii) Tá (iii) Níl (iv) Níl (v) Tá
473

Cleachtadh 6.6
1. (i) __ 11
20 (ii) __ 3
3
10
(iii) __
40
(iv) 3_ 8
2. (i) 35 (ii) 4_ 7 (iii) __ 8
35
(iv) 1_ 5 (v) __ 6
35
(vi) 4_ 5
3. (i) __ 13
41 (ii) __ 6
41
(iii) __ 13 26
41
(iv) __ 15
41
(v) __
41
4. (i) 12 (ii) 3_ 5 (iii) __ 1
10
(iv) __ 21 37
25
(v) __
50
5. (ii) 1_ 5 (iii) __ 4
7
15
(iv) __ 8
15
(v) __
15
6. (i) __ 19
30 (ii) __ 3
9
10
(iii) __ 1
10
(iv) __ 1
15
(v) __
10
(vi) __ 14
15
7. (i) 24
(ii) Thaitin idir sheacláid agus uachtar reoite leo
3
(iii) __
20
(iv) 3_ 4
Cleachtadh 6.7
1. (i) 1_ 4 (ii) 1_ 4
1
2. (i) __
12
(ii) 1_ 4 (iii) 1_ 6
1
3. (i) __
36
(ii) 1_ 4 (iii) 1_ 9
4. (i) 25
20
(ii) 20
(iii) 81
__ 1
81
81
__
12
__ 1
5. (i) 24
(ii) 1_ 4 (iii) 1
6.
4
(i) __
49
1
(ii) __
49
(iii) 49
9
(iv) __
49
7. (i) 1_ 4 (ii) 1_ 2 (iii) __ 1
16
(iv) 1_ 8
8. (i) 1_ 5 (ii) (a) __ 1
25
(b) 1_ 5
9. (i) 2_ 5 (ii) __ 2
4
25
(iii) __
8
25
(iv) __
25
10. (i) 1_ 7 (ii) __ 1
4
49
(iii) __
49
11. (i) 1_ 4 (ii) 1_ 8
12. (i) 1_ 6 (ii) ___ 25
216
8
13. (i) __
27
(ii) (a) 2_ 9 (b) __ 2
27
14.
1
(i) __
64
9
(ii) __
16
9
(iii) __
64
15. (i) 2_ 5 (ii) ___ 18
125
4
16. (i) __
4
25
(ii) ___
125 (iii) ___ 1
125
7
17. (i) __
9
10
(ii) ___
100 (iii) ____ 147
1000
18. (i) 1_ 3 (ii) 2_ 9 (iii) __ 2
27
19. (i) 1_ 4 (ii) __ 9
64
(iii) 27
64
20. (i) 1_ 8 (ii) 3_ 8 (iii) 3_ 8
21. (i) 1_ 5 (ii) __ 9
2
50
(iii) __
3
25
(iv) __
25
22. (i) 1_ 6 (ii) 1_ 6 (iii) __ 1
36
(iv) 6, 6, 6, nó 5, 6, 5 nó 5, 5, 6 (v)
Cleachtadh 6.8
1. (i) 4 (ii) 1_ 4
2.
8
(i) __
15
7
(ii) __
15
3.
4
(ii) (a) __
4. (ii) 13
5. (ii)
6. (i) 12
7. (i)
35
(b) 16
35 (c) __ 19
35
__
18 (iii) __ 5
36
__ 9
25
(iii) 12
25
__
35 (ii) __ 6
35
(iii) 18
35
__ 9
49
(ii) 16
49
12
(iii) 49
__ 1
72
8. (ii) (a)
9.
4
(ii) __
15
__ 7
60
(b) 1_ 3
10. (i) 1_ 8 (ii) 3_ 8
11. (ii) 21
50
Cleachtadh 6.9
2. 5 1_ 2
3. 11.50
4. 8
5. 3.33 a chailleadh
6. 1 a chailleadh
7. 4.50 a chailleadh
8. 0.55
9. (i) 1_ 9
; 1 a bhuachan; Níl sé cóir
10. 2.38 a chailleadh; Níl sé cóir
Cleachtadh 6.10
1. 12 2. 12 3. 504 4. 20
5. 12 6. 54 7. 20 8. 27
9. 90 10. 120 11. 336
Cleachtadh 6.11
1. 120
2. 720; (i) 120 (ii) 24
3. 24
4. 60; (i) 12 (ii) 24
5. 720; (i) 240 (ii) 24 (iii) 48
6. 120
7. (i) 720 (ii) 120
8. 720; (i) 120 (ii) 360 (iii) 144
9. 96
10. 120; 48
11. 720; 240
12. 24; (i) 12 (ii) 1_ 2
13. (i) 24 (ii) DABC, CABD, DBAC, CBAD
(iii) 1_ 6
14. (i) 120 (ii) 24 (iii) 6
15. (i) 120 (ii) 5040 (iii) 120 (iv) 144
16. (i) Níl (ii) Níl
17. (i) 8(7!) (ii) 56(6!)
18. k 11
Cleachtadh 6.12
1. (i) 10 (ii) 35 (iii) 70
(iv) 120 (v) 120 (vi) 120
3. 210
4. 190
5. (i) 924 (ii) 462
6. (i) 330 (ii) 210
7. 28
8. 15; 10
474

9. 252; (i) 120 (ii) 60
10. (i) 21 (ii) 15 (iii) 10
11. (i) 330 (ii) 150
12. 21
13. (i) 126 (ii) 20 (iii) 60
14. (i) n 8 (ii) n 11
15. (i) 2925 (ii) 1260
16. (i) 330 (ii) 120 (iii) 150 (iv)
Cuir triail ort féin 6
1. (i) 1_ 4 (ii) 3_ 4 (iii) 3_ 8
(iv) 0 (v) 1
2. (i) 50 uair (ii) 150 uair
3. (i) 1_ 7 (ii) 4_ 7
__ 1
22
4. (i) 1_ 6 (ii) 1_ 3 (iii) 1_ 2 (iv) 1_ 2
5. (i) 1_ 4
(ii) Go gcailleann tú
(iii) 19
20
(iv) 60 uair
6. (i) 11
20 (ii) 1_ 4
(iii) 18
7. 90
1
8. (i) __
1
12
(ii) __
5
36
(iii) __
18
(iv) 1_ 6
9.
1_
3 10. 1_
6
11. (i) 1_ 2 (ii) 1_ 4
12. (i) 2_ 7 (ii) 1_ 2 (iii) 3_ 4 (iv) 5_ 7
13. (i) (a) 0.52 (b) Tá sé cóir
14. (i) 1_ 9 (ii) __ 2
27
2
15. (i) __
15
(ii) 2_ 5 (iii) __ 8
7
15
(iv) __
15
16. 0.50 a chailleadh; Níl sé cóir
17. (i) 0.25 (ii) 60
18. (i) (a) (ii) 11
15
19. (i) 1_ 3 (ii) 1_ 9 (iii) __ 4
27
20. Tugann; tá seans cothrom ag an mbeirt acu
é a bhuachan
21. 60; (i) 12 (ii) 36
22. 5040; (i) 720 (ii) 1_ 7
23. (ii) (a) 0.24 (b) 0.62
24.
1
(i) __
72
1
(ii) __
24
1
(iii) __
24
1
25. (i) __
10
, 7
50 , 4
25 , 1_ 4 , 7
20
(ii) 40 (iii) Níl
Caibidil 7: Uimhreacha Coimpléascacha
Cleachtadh 7.1
3. (i) F (ii) F (iii) B (iv) F
(v) B (vi) F (vii) B (viii) F
7
4. (i) __
10
(ii) 6_ 5
13
(iii) 5
(iv) 41
5 (v) __ 1
20
5. (i), (iii), (iv), (v)
6. Is uimhreacha aiceanta iad (i), (iii) agus (iv)
7. (i) Aiceanta (ii) Aiceanta (iii) Slánuimhir
(iv) Cóimheasta (v) Éagóimheasta
(vi) Éagóimheasta
8. x 4_ 9
9. (i) 7_ 16
9
(ii) 9 (iii) __ 7
45
10. (i), (ii), (iv), (v)
11. (i) √ ___
17 (ii) √ ___
37 (iii) √ ____
0.75 (iv) √ ____
108
12. (i), (iii)
13. (i) 3 agus 4 (ii) 3 agus 4
(iii) 9 agus 16 (iv) 16 agus 9
Cleachtadh 7.2
1. (i) 2i (ii) 10i (iii) 8i (iv) 7i (v) i
2. (i) 2, 5 (ii) 6, 2 (iii) 1, 9 (iv) 3, 1
(v) a, b (vi) 1_ 2
, 3 (vii) 4, 0 (viii) 0, 3
(ix) 0, 1 (x) x 2, 6
3. (i) 6 4i (ii) 0 11i
(iii) 2 10i (iv) 2 2 √ __
2 i
Cleachtadh 7.3
1. (i) 8 5i (ii) 5 10i (iii) 3 4i
(iv) 1 4i (v) 2 7i (vi) 3 4i
(vii) 8 6i (viii) 2 i
(ix) (a 3) (b 2)i
(x) (a x) (b y)i
2. (i) 1 3i (ii) 2 6i (iii) 5 6i
(iv) 1 10i (v) 1 5i (vi) 11 i
(vii) 3 4i (viii) 3 3i
(ix) (a 5) (b 2)i
(x) (x p) (y q)i
3. (i) 6 9i (ii) 11 8i (iii) 17 0i
(iv) 24 2i (v) 7 15i (vi) 16 10i
4. (i) 2 5i (ii) 5 7i (iii) 3 3i
(iv) 1 0i (v) 3 i (vi) 4 2i
5. 8 13i
6. (i) 4 i (ii) 1 6i (iii) 5 5i
(iv) 4 9i
Cleachtadh 7.4
1. 2 3i
2. 15 3i
3. 6 8i
4. 11 10i
5. 8 i
6. 5 i
7. (i) 6 9i (ii) 11 8i (iii) 17 0i
(iv) 24 2i (v) 7 15i (vi) 16 10i
7. 10 10i
8. 5 3i
9. 13 0i
10. 2 11i
11. 5 12i
12. 12 16i
13. (i) 3 11i (ii) 8 14i (iii) 14 18i
(iv) 7 17i
475

Cleachtadh 7.5
1. (i) 2 3i (ii) 3 4i
(iii) 4 6i (iv) (x 2) yi
2. (i) 2 3i (ii) 6 8i (iii) 5 7i
(iv) 18 i (v) 6 17i
3. (i) 3 2i (ii) 3_ 2 i
(iii) 7_ 4 3_ 4 i (iv) 2_ 3 2i
6
4. (i) __
13
4
13 i (ii) 3_ 5 4_ 5
i
18
(iii) 37 3
37 i
(iv) 4_ 5 7_ 5 i (v) __ 6
13
17
13 i (vi) 1_ 2 1_ 2 i
(vii) 3
13 28
13
i (viii) 2 6i
5. (i) 25 0i (ii) 2 i (iii) 11 23i
(iv) 2
25 11
25 i (v) 9_ 5 8_ 5 i
6. (i) 4 6i (ii) 4 2i
(iv) 2 3i (v) 1 (iii) 2_ 5 1_ 5 i
8. (i) 41 (ii)
9. 5 5i; a 1_ 2
10. (i) 6 3i
13 8
13 i
__ 9
41
__ 40
41 i
Cleachtadh 7.6
2. (i) 2 2i (ii) 2 i
(iii) 0 3i
(iv) 1 3i
3. (i) 2 i (ii) 3 2i
(iii) 5 5i
(iv) 3 i
4. (i) 6 4i (ii) 3 2i (iii) 1 5i
6. Breac (i) 4 2i (ii) 1 2i
(iii) 8 0i
(iv) 5 0i
Cleachtadh 7.7
1. 5 2. 10 3. √ ___
13 4. √ __
5
5. √ ___
13 6. √ ___
26 7. √ ___
10 8. √ ___
37
9. 4 10. 5 11. 3 12. 5
13. (i) 2 √ __
5 (ii) 2 (iii) 2 √ ___
10
14. 3 4i, 3 4i, 3 4i, 0 5i srl
15. (i) √ ___
13 (ii) √ ___
10 (iii) √ ___
17 (iv) √ ____
130
16. (i) √ ___
34 (ii) √ __
5 (iii) √ ___
53
17. (i) √ ___
13 (ii) √ __
5 (iii) 8 i (iv) √ ___
65
18. 13 0i; 13
19. (i) √ __
5 (ii) 5 (iii) √ ___
26 ; Níl
20. (i) 3 5i (ii) √ ___
34
21. √ _______
a 2 64 ; a 6
23. √ ___
26 , √ ___
13
24. __ 5
13 __ 12
13 i; k √ ___
13
Cleachtadh 7.8
1. x 3, y 3 2. x 2, y 4
3. x 0, y 1 4. x 1_ 3 , y 1_ 9
5. x 1, y 5 6. x 5_ 2 , y 15
2
7. x 2, y 1_ 2
8. x 1, y 3
9. x 2, y 7 10. x 2, y 3
11. a 6_ 5 , b 3_ 5
12. a 2, b 1
13. a 1_ 2 , b 1_ 2
14. x 5, y 10
15. (i) x 1, y 3 (ii) x 3, y 8
Cleachtadh 7.9
1. (i) 2 i (ii) 3 2i (iii) 1 3i
(iv) 3 5i (v) 5 2i (vi) 1 4i
2. (i) 2 5i (ii) 4 3i (iii) 6 i
3. k 10 4. k 34
5. a 8, b 17
Cleachtadh 7.10
2. |3z 1 | 3|z 1 |
3. z 1 4 3i, z 2 3 4i; (ii) z 5 (iii) 4 3i
4. (i) a 3 (ii) b 1
5. (i) 2 6i (ii) 6 2i (iii) 2 6i
6. aistriú
7. rothlú 360° tuathal
9. z 3 1 7i
Cuir triail ort féin 7
3
1. (ii) (a) 9 2i (b) __
25
__ 4
25
i (c) k 3
(iii) x 3, y 2
2. (i) 5 18i (ii) k 2 (iii) 4_ 5 7_ 5
i; __ 13
√__ 5
3. (i) (a) 3 4i (b) 2 3i (c) 2 2i
(ii) k 5
4. (i) 2 √ ___
12 (ii) (a) 3 7i (b) 2_ 5 4_ 5 i
(iii) 18 i
5. (i) (a) B (b) F (c) F (d) B
(ii) 2 3i
(iii) |z 1 | 2 √ __
5 , |z 2 | 2 √ __
5 ; 2 4i, 2 4i
6. (i) 5 18i
(ii) (a) 7 2i (b) 3 4i; Tá
(iii) x 3, y 4_ 3
7. (i) (a) z 2 4 0i (b) iz 2 0i
(ii) 3 3i; 3 3i; 3 3i; 3 3i;
Rothlú 360°
(iii) k 17; z 2 4 i; t √ ___
17
8. (i) 3 3i; 3 √ __
2
(ii) 3 4i; k 1_ 2 , t 5_ 2
(iii) 2 i; p 4, q 5
Caibidil 8: Tomhais ar an Suíomh
agus ar an Leathadh
Cleachtadh 8.1
1. (i) 10 (ii) 9 (iii) 8 (iv) 6
2. (a) (i) 8 (ii) 7
(b) (i) 7 (ii) 7
3. (i) 41 km/u (ii) 39.5 km/u
4. (i) 14 (ii) 14 (iii) 17
5. (i) 6 (ii) 9.5
6. Sampla: 2, 6, 9, 12, 13, 13, 22
7. (i) 28 (ii) 2
476

8. 14 9. 7.10
10. Sampla: 4, 4, 5, 8, 9
11. (i) x 2 (ii) k 17
12. 17 13. 90 g 14. 4 agus 6
15. 6
16. (i) 14 1_ 4 uair an chloig (ii) 12 1_ 4 uair
(iii) Buachaillí: 14.5; Cailíní: 12 (iv) Caitheann
17. x 19
18. (i) 1320 cm (ii) 165 1_ 3 cm
19. (i) 195 (ii) 19
20. B 40
21. (i) Mód (ii) Meán
Cleachtadh 8.2
1. (i) 8 (ii) 57 (iii) 11
2. (i) 6 (ii) 8
3. (i) 33 (ii) 29
(iii) (a) 18.5 (b) 34 (c) 15.5
4. (i) 4 (ii) 11 (iii) 17
5. (i) 13 nóim (ii) 8
(iii) 15 (iv) 7
6. (i) 5 (ii) 14.5
7. (i) 25 (ii) 50 (iii) 64.5 (iv) 14.5
8. (i) 105 g (ii) 19 g
9. (i)
(ii)
3 5 6 6 7
4 6 6 7
10. (i) 41 agus 47 (ii) 8, 9, 13, 15, 25
11. (i) Peil: 13, 13, 4; Haca: 13.7, 14, 6
(ii) Foireann peile
Cleachtadh 8.3
1. (i) Meán (ii) Mód (iii) Meán
(iv) Mód (v) Airmheán
2. (i) 94 kg
(ii) 87 4_ 9
kg; an t-airmheán is fearr a dhéanann
cur síos ar na sonraí
3. (i) 25 6_ 7
(ii) 15; Airmheán
4. (i) 30 4_ 7 °C
(ii) Sonraí grúpáilte go dlúth
(gan aon asluiteach)
5. (i) 26 6
11
(ii) Ní luach tipiciúil é an mód ( 37)
6. (i) 8.1 (ii) 6; Airmheán
7. (i) 16 (ii) 16
(iii) 19.1
(iv) Mód nó airmheán
8. (i) 37 667 (ii) 24 500
(iii) Níl aon dá thuarastal mar a chéile;
an t-airmheán
9. Cannaí 330 ml
Cleachtadh 8.4
1. (i) 2 chúl (ii) 3
2. 3
3. (i) 25 (ii) 6 mharc (iii) 5.6
(iv) 14 (v) 6
4. (i) 4 (ii) 4 (iii) 4.25
5. (i) 30 (ii) 7 (iii) 13
(iv) 13 (v) 13
6. (i) 2 (ii) 2 (iii) 5 (iv) 10
7. x 2
8. y 5
9. (ii) 4 (iii) 4.6
Cleachtadh 8.5
1. (i) (4 6) (ii) 6.5 (iii) (4 6)
2. (i) (12 14) (ii) 14 bliana (iii) (12 14)
3. 18.6
4. (i) 18 nóim (ii) (18 20)
5. (i) 32 bliain (ii) (30 40)
6. (i) (5 9) (ii) (0 4) (iii) 7
Cleachtadh 8.6
1. (i) 1.9 (ii) 2.4 (iii) 2.8
(iv) 3.5 (v) 2.7 (vi) 3.9
3. (i) Suimítear 10 le gach uimhir
(ii) Mar a chéile (iad araon √ __
2 )
(iii) Dialltaí caighdeánacha cothrom lena chéile
4. 1.6
5. 0.84
6. 2.3
7. Meán 4; √ ___
10
8. Meán 3; 1.14
9. (i) 25 (ii) 5.3
(iii) 30.3; 19.7 (iv) 3
10. Meán 2; 1.5
11. 2.3
12. (i) 6 (ii) 2
13. (i) Bealach 1 14; Bealach 2 15
(ii) Bealach 1 2; Bealach 2 2.3
(iii) Bealach 1 a mholfá
Cuir triail ort féin 8
1. (i) x 2 (ii) y 9
2. (i) 2 (ii) 1, 9 (iii) 8
3. (i) 60 (ii) 78
4. 2 nó 45
5. (i) Meán 67 840; Mód 4500;
Airmheán 45 000
(ii) Meán
6. 5
7. (i) 8 (ii) 9 (iii) 5
8. (a) Bréagach (b) Fíor
(c) Bréagach (d) Féideartha
477

9. (i) 42 (ii) 42 (iii) 42.5
10. (i) (8 12) (ii) (8 12) (iii) 11.7
11. (i) 9 (ii) 2.6
12. Meán 12.6; 0.9
13. (i) Ruairí, 81; Darren, 80
(ii) Ruairí, 6; Darren, 9.3; is é Ruairí is fearr
Caibidil 9: Achar agus Toirt
Cleachtadh 9.1
1. (i) 48 cm 2 (ii) 28 cm (iii) 10 cm
2. (i) 56 cm 2 (ii) 42 cm 2 (iii) 25 1_ 2 cm2
3. 20 m 2 ; 25 m 2
4. (i) 6 aonad (ii) 12 aonad (iii) 8 n-aonad
5. (i) (a) 24 cm 2 (b) 84 cm 2 (c) 216 cm 2
(ii) (a) 4 4_ 5 cm (b) 10 1_ 2 cm (c) 21 3_ 5 cm
6. (i) 112 cm 2 (ii) 108 cm 2 (iii) 132 cm 2
7. (i) 10 cm (ii) 160 cm 2
8. (i) 102 cm 2 (ii) 94 1_ 2 cm2 (iii) 68 cm 2
9. (i) 70 cm 2 (ii) 8 3_ 4 cm
10. (i) 110 cm 2 (ii) 48 cm 2 (iii) 56 m 2
11. (i) 75 cm 2 (ii) 65 cm 2 (iii) 414 mm 2
12. (i) 4x 5 (ii) x 8 1_ 2
13. (i) 7 cm (ii) 9 cm (iii) 11 cm
14. (i) 42 cm (ii) 34 cm (iii) 36 m
15. Imlíne is mó 12 cm, Imlíne is lú 10 cm
16. 72 cm 2
17. 4 cm
Cleachtadh 9.2
1. (i) 88.0 cm (ii) 100.5 cm (iii) 37.7 cm
2. (i) 615.8 cm 2 (ii) 804.2 cm 2 (iii) 113.1 cm 2
3. (i) 19.6 cm 2 (ii) 39.3 cm 2 (iii) 37.7 cm 2
4. (i) 5.5 cm (ii) 6.3 cm (iii) 67.0 cm
5. 4( 3)
6. (i) 154 m 2 (ii) 114 m
7. 74.6 cm 2
8. 18.3 cm 2
9. 193 cm 2
10. (i) 10 848 m 2 (ii) 542.40
11. 14 cm
12. 180 cm 2
13. (i) 188 m (ii) 0.24 m/s
14. 28 cm
15. 733 cm 2
16. (i) 58 cm (ii) 235 cm 2
Cleachtadh 9.3
1. (i) 105 cm 3 (ii) 60 cm 3 (iii) 72 cm 3
2. (i) 576 cm 3 (ii) 432 cm 2
3. 8.5 cm
4. (i) 3.5 cm (ii) 6 cm (iii) 4 cm
5. (i) 2112 cm 3 (ii) 1116 cm 3 (iii) 15 120 cm 3
6. (i) 240 cm 3 (ii) 450 cm 3
7. 7 cm
8. (i) 156 cm 3 (ii) 145 cm 3
9. (i) 36 cm 2 (ii) 648 cm 3
10. 157.5 m 3
11. 1080 cm 3
12. A, 5; B, 3; C, 6
13. (i) F (ii) [BC] (iii) [LK]
14.
15. (i) 124 cm 2 (ii) 72 cm 3
16. (i) Sorcóir iata (ii) Cón
(iii) Pirimid thriantánach
18. E amháin
19. (i) Dronuilleog; 4 cm 2 cm
(ii) [AL], [FG], [CD] agus [JI] (iii) C
(iv) 4 cm 3 cm 2 cm (v) 52 cm 2
Cleachtadh 9.4
1. (i) 706.9 cm 3 (ii) 4825.5 cm 3 (iii) 9047.8 cm 3
2. (i) 440 cm 2 (ii) 1608 cm 2 (iii) 3242 cm 2
3. (i) 1540 cm 3 (ii) 748 cm 2
4. (i) V r 2 h (ii) 350 14r 2
(iii) 5 cm
5. 2rh; 3.5 cm
6. 15 cm
7. (i) 523.6 cm 3 (ii) 1436.8 cm 3 (iii) 4188.8 cm 3
8. (i) 314 cm 2 (ii) 616 cm 2 (iii) 1257 cm 2
9. (i) 83 1_ 3 cm3 (ii) 75 cm 2
10. (i) 6 cm (ii) 144 cm 2
11. 396 cm 3 12. 8 cm
13. 3 cm
14. (i) 2155 cm 3 (iii) 2 : 3
15. 1 1_ 2
cm 16. 10 cm
17. 4 1_ 2 cm 18. 42 2_ 3 cm3 ; 14 cm
19. 10 2_ 3 cm 20. 2_
3
Cleachtadh 9.5
1. 301.6 cm 3
2. 1407 cm 3
3. (i) 65 cm 2 (ii) 90 cm 2
(iii) 12 cm (iv) 100 cm 3
4. 6 cm
5. 8 cm
6. (i) 6 cm (ii) 234.6 cm 3
7. (i) 54 cm 3 (ii) 12 cm 3 ; 207 cm 3
8. 9 cm
9. 24 cm
10. 192 cm 3 ; h 36 cm
11. 144 cm 3 ; 2 1_ 4 cm
478

12. 8 cm
13. (i) 72 cm 3 (ii) 6 cm
14. (i) 72 (ii) 6912 cm 3
15. 811.6 cm 3
16. 1592 cm 3
17. (i) 15 cm; 180 cm 3 (ii) 144 cm 3
(iii) 5 : 4
Cleachtadh 9.6
1. 1 : 8
2. 1 : 4
3. A 192 cm 3 , B 384 cm 3 ;
(i) 1 : 2 (ii) 1 : 1
4. (i) 6600 cm 3 (ii) 396
5. 28 cm 3 ; 75 nóim
6. 56 1_ 4 nóim
7. 14 cm
8. (i) 180 cm 3 (ii) 18 cm 3 (iii) 13.5 cm
9. (i) 3 cm (iv) 2 cm
10. (i) 2_ 3 r3 (ii) 3 m
Cleachtadh 9.7
1. 810 m 2 2. 1932 m 2
3. 3560 m 2 4. 830 1_ 2 m 2
5. x 18 m 6. h 7 cm
7. x 12 m
8. (ii) 34 aonad cearnach (iii) 2%
9. 38 aonad cearnach
Cuir triail ort féin 9
1. (i) 56 cm 2 (ii) 2025 g
(iii) (a) 720 cm 3 (b) 15 cm
2. (i) 8 cm (ii) 1350 m 2
(iii) (a) 20 000 cm 3 (b) 160 cm 3 (c) 125
3. (i) 30 cm 2 (ii) 6 cm (iii) 308 cm 3
4. (i) 8.5 cm (ii) 580 cm 3
(iii) (a) 2592 cm 3 (b) 144 cm 3 (c) 18
5. (i) 462 cm 2 (ii) 63 (iii) 25 m
6. (i) 14 cm 2 (ii) 400 cm 3
16
(iii) (a) ___
3
cm 3 (b) 2 2_ 3 cm
7. (i) 8224 cm 2 (ii) h 24 m
128
(iii) (a) ____
3 (b) 16 cm
8. (i) 421 cm 2 (ii) 6 cm
(iii) (a) 341 1_ 3 cm3 (b) 5 1_ 3 cm
Caibidil 10: Patrúin agus Seichimh
Cleachtadh 10.1
1. (i) 10, 12, 14 (ii) 9, 11, 13
(iii) 13, 16, 19 (iv) 16, 32, 64
(v) 81, 243, 729 (vi) 2, 1, 1_ 2
(vii) 14, 12, 10 (viii) 54, 162, 486
2. (i) 16, 22 (ii) 17, 26
(iii) 30, 42 (iv) 27, 38
(v) 31, 46 (vi) 34, 47
3. (i) 21, 34 (ii) 47, 76
1
(iii) 125, 216
(iv) __ 1
81
, ___
243
4. (i) 6666 9 59 994
(ii) 9 12 345 111 105
(iii) 66 667 66 667 4 444 488 889
Cleachtadh 10.2
1. (i) 5, 6, 7 (ii) 3, 5, 7
(iii) 7, 11, 15 (iv) 1, 4, 7
2. (i) 3, 6, 9, 12 (ii) 5, 7, 9, 11 (iii) 1, 4, 7, 10
3. 1, 5, 26
4. (i) 1, 4, 9 (ii) 4, 7, 12 (iii) 3, 9, 19
5. (i) 1 (ii) 7 (iii) 49 (iv) 199
7. (i) 13, 15; 2n 1 (ii) 16, 19; 3n 1
(iii) 22, 26; 4n 2 (iv) 21, 25; 4n 1
8. (i) T n 3n 1, T 20 59
(ii) T n 2n 4, T 20 44
(iii) T n 5n 1, T 20 99
(iv) T n 5n 3, T 20 97
9. (i) 5n 1 (ii) 101 (iii) 501
10. T 9
Cleachtadh 10.3
1. (i) (ii) 3, 5, 7, 9, 11, 13
(iii) 2n 1 (iv) 101
2. (i)
(ii) 6, 11, 16, 21, 26, 31
(iv) 101 (v) T 10
3. Líon cearnóg 1 2 3 4 5
Líon cipíní 4 7 10 13 16
(i) 19 (ii) 3n 1 (iii) 151
4. (i)
(ii) 4n 3 (iii) 117 (iv) 20ú
5. (i)
Cruth 1 2 3 4 5
Líon cipíní 5 9 13 17 21
(ii) 29 (iii) 4n 1 (iv) Cruth 25
479

6. (i) 31 (ii) 6n 4
7. (i) 13 (ii) 23 (iii) 2n 3
(iv) 203 (v) Patrún 49
8. (i) 18 (ii) 4n 2 (iii) 22
9. (i) 5 cm, 8 cm, 11 cm, 14 cm
(ii) 17 cm, 20 cm (iii) 3n 2
(iv) 152 cm
(v) 30ú
Cleachtadh 10.4
1. (i) a 2, d 3 (ii) a 7, d 5
(iii) a 0, d 3 (iv) a 2, d 3
(v) a 60, d 5 (vi) a 6, d 5
2. (i) 14, 18, 22 (ii) 4, 8, 12
(iii) 3, 6, 9
3. (i) 2 (ii) 4 (iii) 4n 2; 78
4. (i) 4n 3 (ii) 2n 4 (iii) 5n 10
5. (i) 1 (ii) 2 (iii) 38 (iv) 3
6. 3n 9; (i) 39 (ii) 129
7. T 1 4, T 2 9, T 3 14; a 4, d 5
8. a 4, d 3; T n 3n 1; T 20 61
9. T 1 3, T 2 7, T 3 11; a 3, d 4
10. T n 4n 2; n 12
11. T n 2n 1; n 44
12. (i)
(ii) 21
10. a 4, d 2
11. a 5, d 3; T 100 302
12. x 1
13. (i) x 3 (ii) x 2
14. (i)
(ii)
Fad sconsa 1 2 3 4 5 6
Líon píosaí 4 7 10 13 16 19
(iii) 3n 1 (iv) 121
(v) Fad sconsa 30
Cleachtadh 10.6
1. (i) a 2, d 3 (ii) 222
2. 820
3. S n n_ 2
(3n 1); 376
4. 140
5. a 16, d 4; 720
6. a 3, d 5; S 16 648
7. 5050
8. (i) a 4, d 2 (ii) n 12
9. (i) (ii) 25
13.
(iii) 1, 3, 6, 10, 15, 21; níl aon chomhbhreis ann
Líon triantán 1 2 3 4 5
Líon cipíní 3 5 7 9 11
(i) tá comhbhreis ann
(ii) 2n 1 (iii) 61 (iv) 40ú téarma
14. T n 11 3n; n 15
15. 42
16. T 37
17. T 24
18. 41
19. (i) 22 (ii) 4n 2
(iii) 82
(iv) 30ú
20. T 1 5, T 2 8, T 3 13;
ní seicheamh comhbhreise é
Cleachtadh 10.5
1. d 7; T n 7n 2; T 20 138
2. a 2, d 4; T 13 50
3. a 5, d 4; T n 4n 1; T 60 241
4. a 24, d 6; T 100 570
5. a 10, d 3; T n 3n 13; n 20
6. (i) d 3 (ii) T n 3n
7. (i) a 4, d 2 (ii) Iad araon 8
8. a 3, d 2; T n 2n 1; T 40 81
9. (i) 12 (ii) 4, 6, 8, 10, …
(iii) 2n 2 (iv) 162 (v) 120 km
(iii) T n 4n 1 (iv) 860
10. (i) a 15, d 6 (ii) 120
11. (i) a 4, d 2 (ii) S n n(n 5); 9
12. S n n_ 2
(3n 7); n 7
13. (i) (a) n 1 (b) 2n
(ii) T n 3n 1 (iii) 175
14. T 20 ; 1010
15. S 1 7, S 2 16; T 1 7, T 2 9
16. (i) 39 (ii) T n 4n 1
(iv) 100 (v) 20 100
17. (i) a 48, d 4 (ii) T 13
(iii) 312
18. (i) a 4, d 8 (ii) 9
19. (i) a 29, d 2 (ii) 200
(iii) n 30
20. (i)
Patrún 1 2 3 4 5
Líon tíleanna gorma 21 33 45 57 69
(ii) T n 12n 9 (iii) 129
(iv) S n n_ 2
(30 12n) (v) 7
Cleachtadh 10.7
1. (i) 18, 24 (ii) 38, 51 (iii) 47, 62
2. (i) Tá (ii) Níl (iii) Tá (iv) Tá
3. (i) 5, 8, 13, 20, 29 (ii) 0, 3, 8, 15, 24
(iii) 4, 11, 22, 37,56
4. 116
480

5. 4 7 12 19 28 ; a 1
3 5 7 9
2 2 2
6. (i) T n n 2 4 (ii) T n 2n 2
7. T n n 2 6
9. T n n 2 2n
10. (i) 30 (ii) 55
(iv) 385
11. (iii) T n n2 ______ n
2
(iv) 210
Cuir triail ort féin 10
1. (i) (a) a 5, d 3 (b) T n 3n 2
(c) 20ú
(ii) (a) a 3, d 4 (b) 210
2. (i) (a) d 5
(b) T n 10 5n; T 10 40
(ii) (a)
Cruth 1 2 3 4 5
Líon maidí 8 15 22 29 36
(b) T n 7n 1
(c) 85
(d) 1490
3. (i) a 8, d 2 (b) T n 10 2n
(c) 15ú
(ii) S n n_ 2
{2a (n 1)d}; 6, 9, 12; 75
4. (i) (a) a 8, d 4 (b) 19ú
(ii) (a)
Cruth 1 2 3 4 5
Líon cipíní 8 13 18 23 28
(b) T n 5n 3 (c) 103 (d) 426
5. (i) (c); T n 2n 7
(ii) 1ú: 7, 11, 15, 19, …;
2ú: 4; T n 2n 2 n 5
6. (i) T n 4n 5; T 10 45
(ii) (a) T n a (n 1)d,
S n n_ 2
{2a (n 1)d}
(b) a 8, d 3
7. (i) (a) d 6 (b) T n 6n 4
(c) n 34 (d) 1180
(ii) (a) 24 (b) 35
(c) 2ú difríocht 2
(d) T n n 2 2n (e) 120
Caibidil 11: Céimseata 1
Cleachtadh 11.1
1. a 32°, b 148°, c 46°, d 134°, e 60°,
f 120°, g 110°, h 70°, j 140°, 80°,
m 100°
2. a 50°, b 86°, c 111°, d 74°, e 48°,
f 112°
3. a 65°, b 40°, c 52.5°, d 60°, e 30°
4. x 65°, y 50°
5. a 62°, b 110°, c 55°, d 34°
6. 25°
7. (i) 55° (ii) 45°
8. (i) 76° (ii) 52°
9. a 95°, b 115°, c 39°, d 85°
10. (i) x 116°, y 52°
(ii) x 20°, y 140°
(iii) x 80°, y 30°
11. x 10, y 5, z 8
12. |AB| 6 aonad; Achar 13.5 aonad 2
13. (i) 5 (ii) 13
14. (i) √ ___
76 (ii) √ ___
32 (iii) √ ___
44
15. x 5, y 12
16. DTS
17. SSS nó SUS
18. SUS
19. x 10, y 8
Cleachtadh 11.2
1. (i) 30 cm 2 (ii) 36 cm 2 (iii) 36 cm 2
2. (i) 36 cm 2 (ii) 6 cm
3. (i) 4 (ii) 10 (iii) 6
4. (i) 4 4_ 5 cm (ii) 10 1_ 2 cm (iii) 21 3_ 5 cm
5. (i) 96 cm 2 (ii) 126 cm 2 (iii) 143 cm 2
6. 308 cm 2 ; |BC| 17 1_ 9 cm
7. Is é DC h achar an dá cheann
8. 2 2_ 3 cm
9. (i) (1, 3), (2, 4), (2, 5), (4, 5)
(ii) Uillinneacha inmheánacha nó forlíontacha
10. (i) 30 cm 2 (ii) 30 cm 2
(iii) 45 cm 2 (iv) 4 cm
11. (i) Uillinneacha ailtéarnacha (ii) ASA
12. (i) 5 cm (iii) 8 cm
13. (i) 1_ 2
|DC| h : |DC| h (ii) 10 cm2
Cleachtadh 11.3
1. (i) [BC] (ii) [AC]
2. (a) (i) (b) (i) (c) (ii)
3. (i) BAC (ii) ACB
4. (i) 8 cm (ii) 7 cm
5. (i) 5 (ii) 6
6. (i) 2.5 (ii) 9 (iii) 6 2_ 3
7. (i) 6 2_ 5 (ii) 5 5_ 6 (iii) 2 4_ 7
8. 7
9. 6 2_ 3
10. (i) uillinneacha ar cóimhéid (ii) [DF]
(iii) x 12 cm, y 7 cm
11. (i) 1 1_ 2
oiread (ii) x 6, y 4.5
12. (ii) x 9, y 10 1_ 2
13. (i) [XY]
14. x 4.5, y 4
(ii) x 10, y 16 2_ 3
15. (ii) 14
481

16. (i) ABD BDC (iii) [DC]
(iv) [AD]
17. 6
18. (i) ____ |AE|
|AC| ____ |DE|
|BC|
(ii) x 48
5 , y 12
5
Cleachtadh 11.4
1. a 90°, b 90°, c 45°
2. Mar |AO| |OC| ga;
(i) 43° (ii) 90° (iii) 47°
3. a 42°, b 48°, c 50°, d 40°, e 55°,
f 35°
4. (i) ABC (ii) [AO] [OC]
(iii) 10 n-aonad (iv) 8 n-aonad (v) 24 aonad 2
5. (i) 6 cm (ii) √ ___
61 cm
6. 48 cm
7. (i) 90° (ii) 50° (iii) 50° (iv) 80°
8. (i) 90° (ii) 35° (iii) 90° (iv) 55°
9. 30°
10. 12 cm
11. (i) 60° (ii) 120° (iii) 30° (iv) 30°
12. (i) 20° (ii) 30°
14. 20°
15. (i) 80° (ii) 10° (iii) 80°
Cuir triail ort féin 11
1. (i) Comhchosach (ii) ABC ACB
(iii) 62°
2. 80°
3. (i) 84 cm 2 (ii) 126 cm 2 (iii) 84 cm 2
4. (i) 14 cm (ii) 10 cm
5. (ii) 72 cm 2
6. (ii) |OB| |OA| (iii) 132°
7. (i) 90° (ii) 25 cm (iii) 24 cm
8. (i) ADC ABC (ii) 70°
9. Uillinn i leathchiorcal
10. (i) 90° (ii) 2 √ __
3
11. 3 3_ 5
12. 15 cm
13. x 2, a 9 1_ 3
14. (i) CAB AOD (ii) 60°
(iii) 30° (iv) 30°
15. (i) 15 aonad (ii) 92 aonad 2
16. (iii) 36 aonad 2 (iv) 12 aonad 2
(v) 24 aonad 2 (vi) 60 aonad 2
Caibidil 12: Céimseata
Chomhordanáideach An Ciorcal
Cleachtadh 12.1
1. (i) x 2 y 2 4 (ii) x 2 y 2 9
(iii) x 2 y 2 1 (iv) x 2 y 2 25
(v) x 2 y 2 2
2. (i) x 2 y 2 8 (ii) x 2 y 2 8
(iii) x 2 y 2 18 (iv) x 2 y 2 4_ 9
(v) x 2 y 2 16
9
3. 5; x 2 y 2 25
4. (i) x 2 y 2 13 (ii) x 2 y 2 5
(iii) x 2 y 2 25 (iv) x 2 y 2 16
5. (i) x 2 y 2 25 (ii) x 2 y 2 9
(iii) (0, 5), (0, 5) (iv) (3, 0), (3, 0)
7. 36
8. (i) 3 (ii) 7 (iii) 1
(iv) 2 √ __
3 (v) 3 √ __
3 (vi) √ __
5
9. (i) x 2 y 2 9_ 4 ; 3_ 2 (ii) x2 y 2 25
9 ; 5_ 3
(iii) x 2 y 2 49
4 ; 7_ 2
10. (i) (0, 0) (ii) 5 (iii) x 2 y 2 25
11. 18
12. x 2 y 2 20
13. (i) x 2 y 2 6 (ii) x 2 y 2 24
(iii) x 2 y 2 18 (iv) x 2 y 2 12
(v) x 2 y 2 45
14. x 2 y 2 36
Cleachtadh 12.2
2. Taobh amuigh
3. (5, 0), (5, 0); (0, 5), (0, 5)
5. (i) Taobh amuigh (ii) Ar an gciorcal
(iii) Taobh amuigh (iv) Taobh istigh
6. (iii)
7. (i) P(0, 4), Q(0, 4) (ii) 8
8. k 2
Cleachtadh 12.3
1. (i) (x 3) 2 (y 1) 2 4
(ii) (x 3) 2 (y 4) 2 9
(iii) (x 1) 2 (y 4) 2 25
(iv) (x 3) 2 (y 5) 2 16
(v) (x 3) 2 (y 2) 2 1
(vi) (x 3) 2 y 2 36
(vii) (x 3) 2 (y 5) 2 10
(viii) x 2 (y 2) 2 8
2. (i) √ ___
10
(ii) (x 2) 2 (y 4) 2 10
3. (x 5) 2 (y 2) 2 85
4. (x 2) 2 (y 2) 2 10
5. (i) (1, 3) (ii) √ __
8
(iii) (x 1) 2 (y 3) 2 8
6. (2, 3); 4
7. (4, 3); 3
8. (2, 5); 8
9. (5, 1); 9
10. (0, 4); 5
11. (3, 0); 3
12. (1, 5); 4_ 3
482

13. (0, 2); 2 √ __
3
14. (3, 3); (x 3) 2 (y 3) 2 9
15. (i) (4, 0) (ii) (x 4) 2 y 2 16
(iii) 2 (iv) (4, 2)
(v) (x 4) 2 (y 2) 2 4 (vi) (4, 4)
16. (i) 2 (ii) (4, 4)
(iii) (x 4) 2 (y 4) 2 4 (iv) k 4
17. (2, 3); (x 2) 2 (y 3) 2 10
18. (i) 3 (ii) (x 4) 2 (y 3) 2 9
19. (i) (4, 0) (ii) (x 4) 2 y 2 4
(iii) (x 4) 2 y 2 36 (iv) Tá
20. (i) (x 1) 2 y 2 1 (ii) (2, 1)
(iii) (x 2) 2 (y 1) 2 1
(iv) (2 __ 2 ) aonad cearnach
Cleachtadh 12.4
1. (i) (2, 3), (3, 2) (ii) (3, 1), (1, 3)
(iii) (5, 0), (3, 4) (iv) (4, 2), (2, 4)
2. (2, 1)
3. (i) (1, 1) (ii) (1, 3) (iii) (2, 1)
4. (3, 0), (0, 3); Ní hea; Dhá phointe trasnaithe
5. (4, 2), (4, 2)
6. x 2 y 2 10; (1, 3), (3, 1)
7. x y 3 0; (2, 1), (1, 2)
8. Pointe tadhaill (2, 4)
9. (i) (3, 3) (ii) (x 3) 2 (y 3) 2 9
(iii) y 6 (iv) x 6 (v) (6, 6)
Cleachtadh 12.5
1. (i) (2, 0), (2, 0) (ii) (5, 0), (5, 0)
(iii) (9, 0), (9, 0)
2. (0, 7), (0, 7)
3. (i) (2, 0), (8, 0) (ii) (6, 0), (2, 0)
4. (0, 1), (0, 7)
6. (4, 1); 3
7. Taobh amuigh
8. (x 3) 2 y 2 10; 2
9. (i) 4 (ii) (x 2) 2 (y 4) 2 16
Cuir triail ort féin 12
1. (i) (0, 0); r 7
2. x 2 y 2 25; (5, 0), (5, 0)
3. (i) 6 (ii) x 2 y 2 144
4. (x 2) 2 (y 3) 2 16
5. (i) (3, 4); ga 5
6. Pointe trasnaithe (1, 3)
7. (i) 6 (iii) (0, 6), (0, 6)
8. (i) A(9, 0), C(9, 0)
(ii) a: (x 9) 2 y 2 36; c: (x 9) 2 y 2 36
(iii) y 6, y 6
9. (i) A(2, 6), B(6, 2)
10. (i) (1, 2); r √ __
5
(ii) (x 1) 2 (y 2) 2 5
11. (i) C(2, 0); r 3 (ii) (x 2) 2 y 2 9
(iii) t 1 : y 3; t 2 : y 3
12. (i) A (3, 1), B (3, 1)
13. (3, 4); r 2 √ __
5 ; A (1, 0), B (5, 0); |AB| 4
14. (i) (4, 1); r 4
(ii) (x 4) 2 (y 1) 2 16
(iii) 5_ 4
; AE EB (uillinn i leathchiorcal)
15. (i) (2, 3); r 5 (iii) P (7, 3), Q (3, 3)
(iv) x 7, x 3 (v) (x 2) 2 y 2 25
17. k 1 : x 2 (y 2) 2 4; k 2 : x 2 (y 2) 2 4;
k 3 : x 2 y 2 16; y 4
18. (i) (4, 3); r 6 (ii) (10, 3)
19. (x 1) 2 (y 2) 2 25
Caibidil 13: Sonraí a Chur i Láthair
Cleachtadh 13.1
1. (i) 7 (ii) Donn (iii) 22
2. (i) 25 (ii) 10 (iii) 3
(iv) 5 (v) 9
4. (i) 6 (ii) 16 (iii) Ní fios
5. (i) 180 (ii) Márta agus Lúnasa
(iii) 36
6. Meán 12.5; líne ró-íseal
7. (i) 15 (ii) 1 (iii) 5 (iv) 20%
8. (i) Conchúr (ii) Barra (iii) Dara (iv) Ailéin
9. (i) Luan (ii) Satharn (iii) Satharn
(iv) Aoine (v) 25
11. 88
12. (i) 40 (ii) 15; 15%
13. 90
Cleachtadh 13.2
1. (ii) 12 (iii) (20 40) km
(iv) 40%
2. (i) 10 (ii) (40 50) bl.
(iii) 12 (iv) 60
(v) (50 60) bl. (vi) (40 50) bl.
3. (ii) 38 (iii) (12 16) nóim
(iv) (12 16) nóim (v) 30
4. (i) 19 (ii) 54
(iii) (10 15) soic (iv) (10 15) soic
(v) 20 (vi) 20
5. (ii) (25 35) nóim (iii) (25 35) nóim
(iv) (15 25) nóim (v) 48
(vi) 29 nóim
Cleachtadh 13.3
1. Dáileadh siméadrach;
(i) Dáileadh normalach
(ii) Airde daoine
2. Sceabha diúltach
3. Sceabha deimhneach
483

4. (i) (c) (ii) (a) (iii) (b)
(iv) (b) (v) (c)
5. Airmheán
6. (i) B (ii) A
(iii) Dáileadh normalach
7. (i) Sceabha diúltach
(ii) Bíonn an mód níos airde de ghnáth nuair
is sceabha diúltach atá faoin dáileadh
8. Sceabha diúltach; (i) Meán (ii) Mód
9. (i) Sceabha deimhneach
(ii) Mód Airmheán Meán
Cleachtadh 13.4
1. (i) 20 (ii) 5 (iii) 94 (iv) 51 (v) 8
2. (i) 4 (ii) 27
(iii) 8
(iv) 36 bliain d’aois
4. (ii) 8 (iii) 16
5. (i) 6 (ii) 4.3 soic
(iii) 3.5 soic
(iv) 3.5 soic
6. (i) 62 (ii) 47 (iii) 67 (iv) 20
7. (ii) 16.5 (iii) 40 (iv) 23.5
8. (i) 19 (ii) (a) 66 (b) 49
(iii) 55 (iv) 26
9. (i) 37 (ii) 44 (iii) 54
(iv) 16 (v) 26; Brian
10. (i) Airmheán 76; Raon 27
(ii) Airmheán 68; Raon 38
(iii) An grúpa nach gcaitheann tobac
11. (i) 52 nóim
(ii) (a) 52 nóim (b) 69 nóim
(iii) (a) 31 nóim (b) 55 nóim
12. (i) 41 (ii) 41 (iii) 53
13. (ii) 55 (iii) 66.5 (iv) Sa Bhéarla
Cleachtadh 13.5
1. (i) B (ii) C (iii) D
2. (i) C agus F (ii) A agus E (iii) B agus D
(iv) A; Comhchoibhneas deimhneach foirfe
3. (i) 6 (ii) 8.2 bliain
(iii) Deimhneach lag
4. (i) Deimhneach láidir
(ii) Gaol láidir nó dlúthghaol
5. (i) 100 kg (ii) 170 cm
(iii) 175 cm, 85 kg (iv) Deimhneach lag
6. (ii) Comhchoibhneas diúltach láidir;
Cuireann, mar go mbeifeá ag súil le
comhchoibhneas deimhneach
7. (ii) Is saoire rothair níos sine
(iii) Diúltach láidir
8. (ii) Comhchoibhneas deimhneach láidir
9. (i) B (ii) C (iii) A (iv) D
10. (i) Diúltach láidir (ii) Deimhneach láidir
(iii) Níl comhchoibhneas ann
(iv) Diúltach láidir (v) Deimhneach láidir
Cleachtadh 13.6
1. Deimhneach láidir; 0.7
2. A: 0.1; B: 1; C: 0.4; D: 0.8
4. 0.9 5. 0.8
6. 1 7. 0.1
8. (i) 0.9 (ii) 0.8 (iii) 0
(iv) 1 (v) 0.1 (vi) 0.2
Cleachtadh 13.7
1. (i), (ii), (v) agus (vi)
2. (i) 39 000 km
(ii) Comhchoibhneas deimhneach láidir
(iii) Tá (Níos sine níos mó ciliméadar déanta)
(iv) (a) 2 bhliain, 40 000 km
3. (i) Comhchoibhneas diúltach láidir
(ii) Tá; Níos sine luach níos ísle
4. (ii) Comhchoibhneas deimhneach láidir
(iii) Tá; Bíonn an teocht níos airde de dheasca
na gréine
5. (ii) Comhchoibhneas diúltach láidir
(iii) Níl
Cuir triail ort féin 13
1. (i) 47 (ii) 38 (iii) 29 (iv) 47 (v) 18
2. (i) 49 (ii) 30 (iii) 54 (iv) 24
3. (i) 32 (ii) 48 (iii) 25 (iv) 29
(v) Na fir a chaith an méid ba mhó
4. (i) 850 (ii) 300 (iii) 500 (iv) 150
5. (ii) Comhchoibhneas diúltach láidir
6. (i) D (ii) C (iii) A
(iv) (a) B (b) D (c) C (d) A
7. (i) Deimhneach
(ii) Deimhneach
(iii) Níl comhchoibhneas ann
(iv) Deimhneach
(v) Diúltach
8. (i) Barrachairt nó píchairt
(ii) Scaipghraf
(iii) Léaráid ghais is duillí chúl le cúl
(iv) Barrachairt nó píchairt
(v) Píchairt nó barrachairt
(vi) Scaipghraf
9. (i) Dáileadh siméadrach (nó normalach)
10. (i) Tá an chuid is mó de na luachanna ag
an gcuid íochtarach (nó tosach) an dáilte.
(ii) Sceabha deimhneach
(iii) An aois ag a bhfoghlaimíonn daoine conas
léamh
11. (i) Sceabha diúltach
(ii) An aois ag a mbíonn daoine
ina seantuismitheoirí
12. (i) 13 (ii) (a) 62 (b) 78
(iii) 53
(iv) mná
484

Caibidil 14: Triantánacht
Cleachtadh 14.1
1. 12 cm 2
2. 31 cm 2
3. Is féidir
4. a 3.6 cm, b 9.2 cm, c 9.5 cm,
d 4.5 cm, e 15 cm, f 12 cm,
g 9.4 cm, h 6.4 cm, i 8.9 cm
5. 12.8 cm
6. 8.1 aonad
7. 2.6 m
8. 6.4 cm
9. (i) 3 cm (ii) 5.8 cm
10. c 10 cm, d 24 cm
11. 25 cm
12. 25.7 m
Cleachtadh 14.2
1. (i) tan A (ii) cos A (iii) sin A
2.
3_
5
, 4_ 5 , 3_ 4 ; __ 5
13 , __ 12
13 , __ 5
12 ; ___ √__ 3
2 , 1_ 2 , √ __
3
5
3. 5; (i) __
13
(ii) __ 12
13 (iii) __ 5
12
4. 2; ____ 3
√ (ii) ____ 2
13
√ (iii) 3_ 13
2
5. (i) tan (ii) sin (iii) cos
6. sin B __ 12
13 , tan B __ 12
5
7. (i) ___ 1
√ (ii) ____ √___ 21
5
2
8. sin C 1_ 2 , cos C ___ √__ 3
2
9. 1
10. (i) 1 (ii) 1
Cleachtadh 14.3
1. (i) 0.7431 (ii) 0.2756 (iii) 0.2679
(iv) 0.9511 (v) 0.8788
2. (i) 0.5344 (ii) 0.7266 (iii) 0.5914
(iv) 0.2773
3. (i) 48° (ii) 69° (iii) 55°
(iv) 78° (v) 42° (vi) 12°
4. (i) 36.9° (ii) 41.1° (iii) 75.4°
(iv) 74.2°
5. (i) 42° (ii) 53° (iii) 41°
(iv) 24° (v) 29° (vi) 12°
(vii) 35° (viii) 58°
6. A 56.7°; sin A 0.84
7. A 37°; B 68°; C 39°
Cleachtadh 14.4
1. (i) comhshíneas (ii) tangant (iii) comhshíneas
2. x 3.8, y 10.0, z 10.2
3. (i) 3.3 (ii) 16.7 (iii) 13.5
4. (i) 37° (ii) 46° (iii) 23°
5. p 67°, q 24°, r 37°
6. x 9.4
7. (i) 12.0 (ii) 15.9 (iii) 18.8
8. x 15, y 20
9. (i) 13.9 (ii) 44°
10. 12.5 cm
11. (i) 13 cm (ii) 11°
12. (i) 4.2 cm (ii) 25°
13. 20 m
14. 21 m
15. 40 m
16. (i) 4.0 m (ii) 12.7 m
17. (i) 25° (ii) 107 m
(iii) 118 m (iv) 355 m
18. Is féidir
19. (i) 37° (ii) |BC| 6 m, |DC| 4 m
20. 3 cm
Cleachtadh 14.5
1. (i) 24.1 cm 2 (ii) 7.4 cm 2 (iii) 11.4 cm 2
2. (i) 12 cm 2 (ii) 49 cm 2 (iii) 85 cm 2
3. 87 aonad cearnach
4. 338 cm 2
5. 139 cm 2
6. A 75°; B 22°
7. 8.3
8. 10 cm
9. sin A 3_ 5
; 168 aonad cearnach
10. (ii) 90° (iii) Ní dhúblaítear; is faoi
cheathair a mhéadaítear é
11. 153 m
12. (i) ____ √___ 24
(ii) 6 √ __
6 ; k 6
5
Cleachtadh 14.6
1. (i) 15.3 (ii) 11.3 (iii) 11.0
2. (i) A 34° (ii) B 51° (iii) 75°
3. (i) 40° (ii) 22 cm
4. (i) 29 aonad (ii) 302 aonad cearnach
5. (i) 19.2 m (ii) 15.3 m
6. (i) 94 m (ii) 81 m
7. (i) 47° (ii) 98 km
8. (i) 8 cm (ii) 33 cm 2
9. (i) 37 m (ii) 23 m
10. (i) 60° (ii) 74 m (iii) 1899 m 2
Cleachtadh 14.7
1. (i) a 4.4 (ii) b 11.1 (iii) a 14.7
2. a 6, b 21, c 9
3. A 49°, B 43°, C 29°
4. 29°
5. 45°
6. 66 m
7. (i) 13 m (ii) 72°
485

8. 101 cm
9. 21 km
10. (i) 9 cm (ii) 16.1 cm
11. (i) 23 cm (ii) 39°
12. (i) 7.39 (ii) 10.61
13. 9 m
14. (i) 30 m (ii) 177 m
15. (i) 13.7 cm (ii) 69°
16. (i) 386 m (ii) 363 m
17. (i) 37 m
18. (i) 58° (ii) 79°
Cleachtadh 14.8
1.
1_
2
2. 1
3.
1_
2
4. ___ 1
√ 2
5.
1_
4
√ __
3
6. ___
2
√ __
3
7. ___
2
8.
1_
2
9.
3_
4
10.
1_
3
12. x 3, y 3 √ __
3
13. x 3, y 4
14. x 4 √ __
3 , y 4, z ___ 8
√ 3
(nó 8 √ __
____ 3
3
)
15. 400 √ __
3
Cleachtadh 14.9
1. (i) 34 cm 2 (ii) 127 cm 2 (iii) 44 cm 2
2. (i) 8.4 cm (ii) 23.0 cm (iii) 17.5 cm
3. (i) 410.5 cm 2 (ii) 58.6 cm
4. (i) 24 cm (ii) 212 cm 2
5. 14 cm
6. 15 cm
7. 115 m
8. 5.9 km 2
9. (i) 170 cm 2 (ii) 54 cm
10. (i) 25 cm (ii) 23 cm (iii) 226 cm 2
(iv) 160 cm 2 (v) 66 cm 2
11. (i) 106° (ii) 18.5 m
Cleachtadh 14.10
1. (i) 0.7660 (ii) 0.7660
(iii) 0.6428 (iv) 0.6428
2. (i) 0.6691 (ii) 0.8480
(iii) 0.9004 (iv) 0.9336
(v) 0.2309 (vi) 0.8290
(vii) 0.7314 (viii) 3.4874
3. (i) sin 50° (ii) cos 65°
(iii) tan 20° (iv) cos 40°
(v) sin 70° (vi) tan 60°
4. (i) ___ √__ 3
(ii) ___ 1
2
√ (iii) ___ √__ 3
2
2
(iv) __ 1 (v) ___ √__ 3
(vi) __ 1
2
2
1
(vii) ___ √__ 3
(viii) ___ √__ 3
(ix) ___ 1
2
2
√ 3
5. 13° agus 167°
6. (i) 147° agus 213° (ii) 129° agus 309°
7. 30° agus 150°
8. 1 agus 1
√ __
3
9. ___ agus ___ √__ 3
2 2
10.
1_
2 agus 1_ 2
11. 233°
12. 3_ 4
13. ___ √__ 3
2
14. ___ 1
√ 5
Cuir triail ort féin 14
1. (i) 3_ 5 (ii) 3_ 4 ; A 37°
5
2. x 12; (i) __
12
3. 17.8 cm
(ii) 12
13
4. (i) 8 cm (ii) 22°
5. (i) 16 cm 2 (ii) 6 cm (iii) 41°
6. (i) 4.2 cm (ii) 25°
7. (i) 32.0° (ii) 43°
8. (i) 41 cm 2 (ii) 11.6 cm
9. (i) 15 m (ii) 9.6 m
10. (i) 22.3 cm 2 (ii) 6.0 cm 2
11. (i) 22 cm (ii) 27 cm
12. (i) 240° agus 300°
13. (i) 15 cm (ii) 148 cm 2
(ii) 3_ 2
14. 12.7 m
15. (i) 13.1 cm (ii) 39°
16. (i) 20 cm 2 (ii) 18 cm
17. 9.1 cm; 50°
18. (i) Radar A (ii) Radar A
19. (i) 150° agus 210° (ii) a 2 √ __
2 , b √ __
6
20. 6.0 km 2
Caibidil 15: Céimseata 2
Méaduithe agus Tógálacha
Cleachtadh 15.1
1. (i) 2 (ii) x 6 cm, y 18 cm
2. (i) 8 (ii) 12 (iii) 5
486

3. An pointe A
4. (i) 6 cm (ii) 9 cm
5. (i) 2 (iii) (2, 3)
6. (i) 2 (ii) (8, 9)
(iii) A 2 aonad 2 , B 8 n-aonad 2
7. (i) 2.5 (ii) 3.2 aonad
(iii) 2 : 5; 25 aonad cearnach
9. (i) ABC
(ii) (a)
1_
3
(b) 4_ 3
(iii) (a) 4 cm (b) 16 cm
10. Tá; Níl
11. (i) (0, 2) (ii) 2
(iii) 1_ 2
(iv) 60 aonad2
12. (i) 2.5 (ii) 10 n-aonad
(iii) 2 : 5 (iv) 100 aonad 2
13. (i) 104 mm (ii) 42 mm
14. (i) 3
(ii) Toirt na híomhá k 3 oiread thoirt na bunfhíorach
15. 10.8 cm
16. (i) 3 (ii) 14 cm faoi 9 1_ 3 cm
17. (i) 1 : 500 (ii) 60 m
(iii) 1 : 2000
(iv) 50 cm
Cleachtadh 15.2
7. 10.7 cm
9. 105°
11. Fuair, an toradh céanna
14. Bíonn an pointe ar comhfhad
ó dhá shlios na huillinne
15. |AG| : |GM| 2 : 1; |BG| : |GN| 2 : 1; 2 : 1
16. Pointe trasnaithe dhéroinnteoirí
ingearacha [AB] agus [BC]
Cuir triail ort féin 15
1. (i) 2
(ii) 10 cm
(iii) 10.5 cm
(iv) Trasnaíonn NN agus LL a chéile ag O
(v) 32 cm
2. (i) (0, 2) (ii) 2 (iii) 1_ 2
(iv) 96 cm2
3. (i) A (ii) 3_ 2
(iii) 7.5 m (iv) 14.1 m
(v) 2_ 3
4. (i) 12 aonad (ii) 6 aonad
(iii) 6 aonad; 45 aonad cearnach
6. 7.8 cm
7. Páirc spóirt ag an imlár
8. (i) ABE (ii) 11.25 cm
(iv) 28° (v) 26.25 cm 2
(iii) 2_ 5
9. (i)
4 3_ (ii) 4.5 cm (iii) 32 cm2
10. (ii) 2.2 km
11. (i) 1.5 (ii) 6 aonad (iii) 12 aonad 2
12. (i) (a)
8_
5 (b) 4_ 5
(ii) (a) 7.5 (b) 7.2
487