FORMELBLAD ( Linjär Algebra)

FORMELBLAD ( Linjär Algebra)
Kurser: HF1008, Hf1006. TEN1 ( Linjär Algebra) Program: Elektroteknik, Datateknik
TRIGONOMETRISKA FORMLER
1.
2.
3.
π 1
sin 30°
= sin =
6 2
16.
2
2
sin α + cos α = 1
π
sin 45°
= sin =
4
1
2
17. sin( α)
tan( α ) = ,
cos( α)
cos( α)
cot( α ) =
sin( α)
π
sin 60°
= sin =
3
3
2
18. cos( α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ
4.
π
cos 30°
= cos =
6
3
2
19. cos( α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ
5.
π
cos 45°
= cos =
4
1
2
20. sin( α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
6.
π 1
cos 60°
= cos =
3 2
21. sin( α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ
7.
π
tan 30°
= tan =
6
1
3
22.
tanα + tanβ
tan( α+ β)
=
1−tanα⋅tanβ
8. π
tan 45°
= tan = 1
4
23.
tanα − tanβ
tan( α− β)
=
1+
tanα⋅tanβ 9.
10.
π
tan 60°
= tan =
3
cos( − θ) = cosθ
3
24.
25.
sin2θ= 2sinθ⋅cosθ
2
2
cos2θ
= cos θ − sin θ =
2
1−
2sin
θ =
2
2cos
θ −1
11.
12.
sin( − θ) = −sinθ
tan( − θ) = −tanθ
26.
27.
2tanθ
tan2θ
= 2
1−
tan θ
cos θ = x ⇔ θ = ± arccos x + n ⋅ 2π
13. cot( − ) = −cot
sinθ = x ⇔ θ1
= arcsin x + n ⋅ 2π
; θ 2 = π − arcsin x + n ⋅ 2
14. π
cos( θ) sinθ
2 − = 29. tan θ = x ⇔ θ = arctan x + n ⋅ π
15. π
sin( θ) cosθ
2 − = 30 cotθ
= x ⇔ θ = arc cot x + n ⋅π
KOMPLEXA TAL
Låt z x + yi
θ θ 28. π
= vara ett komplext tal .
z = x + yi = r(cos
θ + i sinθ
) = re
31. Absolutbelopp:
32. z1 ⋅ z2
= z1
⋅ z2
33.
34.
z
=
z
1
2
n
z =
35. z 1 ± z2
≤ z1
+ z2
z
z
z
1
2
n
iθ
2 2
= r = x y 39.
z +
36. arg( z 1⋅
z2
) = arg(
z1
) + arg(
z2
)
37. ⎛ z1
⎞
arg⎜ ⎟ = arg(
z ) − arg(
z )
⎜ z ⎟
⎝ 2 ⎠
1
z n z
n
arg =
⋅ arg
38. ( ) ( )
2
z=x+yi
Formelblad (Linjär algebra, TEN1 HF1006,HF1008. Program: Elektroteknik, Datateknik)
Ver. okt. 2010
yi
⎧ y
⎪
arctan då x > 0
x
⎪ y
⎪π
+ arctan då x < 0
⎪ x
⎪
arg( z)
= θ = ⎨π
då x = 0 , y > 0
⎪ 2
⎪ π
⎪−
då x = 0 , y < 0
⎪ 2
⎪⎩
ej definierat då både x = 0 och y = 0
r
θ
x

VEKTORER I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT SYSTEM
Låt A = ( a1,
a2
, a3)
och B = ( b1,
b2
, b3
)
vara två punkter i rummet.
→
Då gäller AB = b − a , b − a , b − a )
( 1 1 2 2 3 3
Låt u r och v r r
vara två vektorer och θ vinkeln mellan dem. Vidare gäller att u = x , y , z )
(1.) Längden (beloppet) av en vektor:
r
u = x + y + z
r r
r r
(2.) Skalärprodukt: u ⋅ v = x x + y y + z z = u v cosθ
(3.) Vektorprodukt (kryssprodukt):
1
2
1
2
r r
u × v =
1
x
x
2
1
2
r
i
1
2
r
j
y
y
2
1
1
2
r
k
z
z
2
1
1
2
{ eller
r
projr
(F )
u = a
Formelblad (Linjär algebra, TEN1 HF1006,HF1008. Program: Elektroteknik, Datateknik)
Ver. okt. 2010
a r
( 1 1 1
u × v =
r r
F r
e
x
x
x
1
2
r
och v = x , y , z ) .
e
y
y
y
1
2
e
z
z
r
z
1
2
( 2 2 2
(4.) Vektorprodukten är en vektor som är vinkelrät mot u r och v r och riktad enligt skruvregeln. Dess absolutbelopp är:
r r r r
u × v = u v sinθ
(5.) Den parallellogram som bestäms (späns upp)
av vektorerna u r och v r har arean
A =
r r
u × v
(6.)Vektorprojektioner:
r r r r
r ( F ) = F ⋅ a a
proj a
( 0 ) 0
där 0 ar betecknar enhetsvektorn
r
a
r
| a
r
r
r
⎛ F ⋅ a ⎞ r
[ Ekvivalent formel: proj r
a ( F ) =
⎜ r r a
a a ⎟ ]
⎝ ⋅ ⎠
|
r r
Vektorn u = projr
a (F ) är den ortogonala projektionen av F r på a r .
Längden av u r r
r
r
| F ⋅ a |
ges av | proj r
a ( F ) | = r .
| a |
r
r
r
(7.) Skalär trippelprodukt: Låt u = ( x1,
y1,
z1)
och v = ( x2,
y2
, z2
) w = ( x3,
y3
, z3
) vara tre
vektorer. Skalär trippelprodukt definieras som talet r r r
( u × v)
⋅ w =
x1
x2
y1
y2
z1
z2
.
x y z
A
B
θ
3
3
3
}

(8.) Den parallellepiped som bestäms (späns upp)
r r r
av u,
v och w har volymen
r r r
V = | ( u × v)
o w | = |
x1
x
y1
y
z1
z |
x
2
3
y
2
3
z
2
3
(9.) Räta linjer:
Låt L vara den räta linjen genom
r
r
punkten P = ( x1,
y1,
z1)
som är parallell med vektorn v = ( v1,
v2
, v3)
≠ 0
Räta linjens ekvation på vektorform:
( x , y,
z)
= ( x1,
y1,
z1)
+ t(
v1,
v2,
v3)
Räta linjens ekvationer på parameterform:
⎧x
= x1
+ t ⋅ v1
⎪
⎨y
= y1
+ t ⋅ v2
⎪
⎩z
= z1
+ t ⋅ v3
(10.) Plan:
N
P
r
r
r
Låt π vara planet genom punkten P = ( x1,
y1,
z1)
som har normalvektorn N = ( A,
B,
C)
≠ 0 .
Planets ekvation på koordinat form (punkt-normalvektor form) :
A ( x − x1
) + B(
y − y1)
+ C(
z − z1)
= 0
Planets ekvation på allmän form:
Ax + By + Cz + D = 0
(11.) Avståndet mellan två punkter
Avståndet d mellan A = x , y , z ) och B = x , y , z ) är
( 1 1 1 ( 2 2 2
= | AB | =
2
2
( x2
− x1)
+ ( y2
− y1)
+ ( z2
2
z1)
→
.
d −
(12.) Avståndet d från punkten A = ( x1,
y1,
z1)
till planet Ax + By + Cz + D = 0 är
Ax1
+ By1
+ Cz1
+ D
d = |
| .
A
2 2 2
A + B + C
(13.) Avståndet d från punkten A = ( x1,
y1,
z1)
till den linje som går genom P
och har riktningsvektorn v r är
r →
| v × PA |
d = r .
| v |
Formelblad (Linjär algebra, TEN1 HF1006,HF1008. Program: Elektroteknik, Datateknik)
Ver. okt. 2010
O
w r
v r
P
C
B
u r
v
π
A
d
A
P
v r