Ekvationer, ekvationer ...

Ekvationer, ekvationer ...
Matematik CD för TB
Problem 1. Två tal har summan 53. Tre gånger de mindre talet är 19 enheter större än det största talet.
Vilka är de två talen?
Problem 2. Vi söker tre konsekutiva (på varandra följande) udda heltal. Tre gånger det största är lika
med sju gånger det minsta. Vilket är det mellersta talet?
Problem 3. Herr och fru Pettersson och deras dotter Karin har var sin bil. Karin kör 10 mil längre per
vecka med sin bil än vad hennes pappa gör. Herr Pettersson i sin tur kör dubbelt så långt som fru
Pettersson. Tillsammans kör det 160 mil/veckan. Hur långt kör var och en?
Problem 4. Ett tåg startar kl 13.00 från A och kör, med 50 km/tim, mot B, som ligger 440 km från A.
Samtidigt lämnar ett tåg, med hastigheten 60 km/tim, B med riktning mot A, på samma spår som det
andra tåget. När inträffar olyckan?
Problem 5. En båt framförs med 15 km/tim på lugnt vatten. Båten färdas nu medströms från A till B
på 2/5 av en timme. Den återvänder sedan uppströms till C, som ligger 2 km från A. Bestäm strömmens
fart om den sista turen tog 3/5 av en timme.
Problem 6. Jenny cyklar till hållplatsen varifrån hon fortsätter med buss till arbetet. Hon tillbringar
1/2 timme på cykeln och 2/3 timme på bussen. Sök bussens och cykelns fart om man vet att bussen
går 39 km/tim snabbare än cykeln och att det är 40 km mellan hemmet och arbetsplatsen.
Problem 7. En bonde har 100 liter 70 procentigt insektsmedel. Hur mycket 90 procentigt medel ska
han blanda i dunken för att till slut få en blandning med 75 procentig styrka?
Problem 8. Hur mycket vatten och hur mycket 50 procentig sprit ska man blanda för att få 25 liter 10
procentig sprit?
Problem 9. En apotekare ska tillreda 5 dl 12 procentig lösning utifrån 5 dl 15 procentig och 5 dl 5
procentig lösning. Hur mycket ska hon ta från varje flaska?
Problem 10. Adam har 1 100 kr i spargrisen. Han har dubbelt så många ”tior” som ”tjugor” och tre
gånger så många ”femmor” som ”tjugor”. Hur många mynt och sedlar har han av de olika sorterna?
Problem 11. I en penningpåse finns 227 kr. Det finns sex fler 5-kronorsmynt än 10-kronorsmynt.
Antalet enkronor är två fler än 24 gånger antalet 10-kronorsmynt. Hur många mynt finns där av varje
sort?
Problem 12. Adam är dubbelt så gammal som Bertil. För 10 år sedan var summan av deras åldrar 46
år. Hur gamla är de idag?
Problem 13. Om 20 år kommer Cesar att vara lika gammal som David är idag. Om 10 år kommer
David att vara dubbelt så gammal som Cesar. Hur gamla är de två idag?
Problem 14. En 20 kilos vikt ligger på en gungbräda 12 dm från brädans fästpunkt. Hur stor är den
vikt som vilar på andra sidan 3 dm från brädans fästpunkt då man vet att gungbrädan befinner sig i
jämvikt?
Problem 15. Erik äger aktier från två olika bolag och får från dessa tillsammans 2100 kr i utdelning
varje år. Det totala värdet på aktierna är 40 000 kr och de ger 4% respektive 6% årlig utdelning. Hur
har han fördelat aktiekapitalet mellan de två bolagen?
Problem 16. Őven Filip har investerat sitt kapital på 20 000 kr i två olika aktier. Den ena ger 8% årlig
utdelning och den andra ger 6%. Hur var kapitalet fördelat mellan de två aktiebolagen om skillnaden
mellan utdelningarna endast var 80 kr?
Problem 17. Harald har 10 000 på banken till 5% ränta. Hur mycket ytterligare ska ha sätta in på ett
Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

Matematik CD för TB
konto, där han får 8%, för att på det viset få en 7% ränta på hela sitt kapital?
Problem 18. Ivar och Jacob är målare. Jacob kan måla de 10 rummen på 3 dagar. Tillsammans klarar
de arbetet på en dag. Hur lång tid skulle det ta om Ivar själv målade de 10 lika stora rummen?
Problem 19. Karl, Lars och Martin antog jobbet att måla ett staket. Karl har kapaciteten att måla 300
meter staket på 8 timmar. Lars kan hinna med dubbelt så mycket på samma tid, medan Martin klarar
av 400 meter på 8 timmar.
Redan efter 3 timmar tyckte Martin att jobbet var tråkigt och slutade. Efter ytterligare 1/2 timme gav
Lars upp. Hur lång tid fick Karl hålla på innan 600 meter staket var målade?
Problem 20. Nils, Olle, Peter och Rudolf samlade in pengar till en skolresa genom att tvätta bilar. Nils
kunde tvätta en bil ensam på 10 minuter. För Olle tog samma arbete 12 minuter, för Peter 8 minuter
och för Rudolf 15 minuter.
De påbörjade alla den första bilen, men efter 2 minuter kom en andra bil in som Peter och Rudolf
genast började arbeta med. Efter ytterligare 1 minut kom en tredje bil in för tvätt, som Nils tog över.
Efter hur lång tid var Olle klar med den första bilen?
Problem 21. Den ena sidan i en triangel är dubbelt så lång som den andra. Den tredje är 20 meter
kortare än tre gånger den andras längd. Hur långa är sidorna om man vet att omkretsen är 106 meter?
Problem 22. Längden hos en rektangel är 8 meter längre än bredden. Om bredden ökas med 4 meter
och längden minskas med 5 meter, så blir arean den samma. Bestäm rektangelns ursprungliga längd
och bredd.
Problem 23. Tiotalssiffran i ett tvåsiffrigt heltal är dubbelt så stor som entalssiffran. Om de två siffrorna
byter plats bildas ett tal som är 36 mindre än ursprungstalet. Bestäm talet.
Problem 24. ´Rtta gånger summan av det tvåsiffriga talets siffror överskrider talet själv med 19. Bestäm
talet där tiotalssiffran är tre enheter större än entalssiffran.
Här följer ytterligare problem som alla leder till ekvationer av första graden. Hämtade från läroboken A.
Weimer, Elementen i Algebra jämte serier och logaritmer, tryckår 1893. Här återgivna i originalversion.
Problem 25. En person tog en arbetare i tjänst på det villkoret, att arbetaren skulle för hvarje dag han
arbetade få 50 öre; men för hvarje dag han försummade skulle han icke blott få ingen dagspenning,
utan han skulle äfven förlora 25 öre af sin innestående arbetslön. Efter 48 dagar uppgjordes räkningen,
då arbetaren hade att uppbära 10 kr, 50 öre. Huru många dagar hade han arbetat och huru många
dagar hade han försummat?
Problem 26. En fästning har en garnison af 3520 man, hvaribland finnas 3 gånger så många artillerister
som kavallerister och 4 gånger så många infanterister som artillerister; huru många man finnas af
hvadera slaget?
Problem 27. Dela ett arf, stort 19 000 kr, mellan en moder, 3 söner och 2 döttrar, så att hvardera
sonen får dubbelt mot systern och modern så mycket som de 5 barnen tillsammans och dessutom 1400
kr. Huru mycket får hvardera?
Problem 28. En fader gaf sin son hvarje födelsedag så många kronor, som han själf var år gammal;
efter 8 födelsedagar, då fadern dog, hade sonen på detta sätt bekommit 348 kr; huru många år hade
fadern fyllt, då han dog?
Problem 29. En verkmästare å en fabrik hade sig betingad årlig lön af 50 hektoliter råg och 1500 kr i
pengar; efter 7 månader afskedades han och erhöll då säden jämte 6662 3 kr i aflöning; hvad ansågs en
hektoliter råg kosta?
Problem 30. En person tillfrågades om sin ålder och svarade: får jag lefva ännu 12 år, så blir min ålder
Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge

Matematik CD för TB
dubbelt så stor, som den var för 9 år sedan. Huru gammal var han?
Problem 31. En person köpte 5 hektoliter hafre och sade: I fjor kostade mig 9 hektoliter blott 1 kr
mer än nu 5, och således är hektolitern i år 3 kr dyrare än i fjor. Vad hade han givit för hektolitern?
Problem 32. Två köpmän dela en gemensamt erhållen vinst på det sätt, att den ene får 540 kr, mer
än den andre. Hela vinsten var 490 kr mindre än 3 gånger den mindre delen. Huru stor var vinsten?
Problem 33. Två resande, A och B, hade hvardera 80 kr. De blefvo under resan plundrade, hvarvid A
förlorade 5 kr mer än dubbelt så mycket som B. Därigenom blef A:s kassa så förminskad, att den blef
13 kr, mindre än hälften af B:s plundrade kassa. Hur mycket förlorade hvardera?
Problem 34. En hare jagas af en hund; haren är 90 språng förut, och gör 5 språng på samma tid som
hunden gör 4; men 7 harsprång utgöra lika mycket som 5 hundsprång; huru många språng ska hunden
göra, innan han upphinner haren?
Vi avslutar med några uppgifter som leder till ekvationer av andra graden, hämtade från samma källa.
Problem 35. En fader utdelade äpplen bland sina 8 barn och gaf 24 till gossarne och 30 till flickorna,
hvarvid det inträffade, att hvarje flicka fick 2 äpplen mindre än en gosse. Huru många var gossarne
och huru många flickorna?
Problem 36. En skräddare köpte ett stycke kläde för 510 kr. Sedan han användt 15 meter däraf, sålde
han det återstående för 405 kr och vann 50 öre på metern. Huru många meter hade han köpt, och
hvad hade han givit för metern?
Problem 37. Tvenne ångfartyg afgå på samma gång, det ena från Kalmar till Stockholm och det andra
från Stockholm till Kalmar. Sedan de mött hvarandra på vägen, erfordras för det förra att komma till
Stockholm 9 timmar och för det senare att komma till Kalmar 16 timmar. Huru många timmar har
hvardera tillbragt på vägen?
Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge

Matematik CD för TB
Svar 1. Antagande: Det ena talet är x och det andra är 53 − x.
Solve[3x==(53-x)+19]
{{x -> 18}}
De två talen är 18 och 35
Svar 2. Antagande: De tre udda talen är x, x + 2 och x + 4.
Solve[3(x+4)==7x]
{{x -> 3}}
De eftersökta talen är 3, 5 och 7.
Svar 3. Antagande: Herr Pettersson kör x, Fru Pettersson kör x/2 och unga fröken Pettersson kör
x + 10
Solve[x+x/2+x+10==160]
{{x -> 60}}
Herr Pettersson kör 60 mil, Fru Pettersson 30 mil och unga fröken kör 70 mil.
Svar 4. Antagande: Tågen möts efter x timmar. Med hjälp av
kan vi uttrycka sträckan 440 km genom 50x + 60x
Solve[50x+60x==440]
{{x -> 4}}
v = s
t
Olyckan inträffar 4 timmar efter starten, det vill säga kl 17.00.
Svar 5. Antagande: Strömmen flyter med x km/tim. Ekvationens led uttrycker t · v, avståndet från A
till B på två olika sätt.
Ibland känns det enklare att arbeta med flera obekanta. I den andra lösningen nedan står y för strömmens
fart och x för avståndet mellan A och B.
Solve[2/5(15+x)==3/5(15-x)+2]
{{x -> 5}}
Solve[{2/5(15+y)==x,3/5(15-y)==x-2}]
{{x -> 8, y -> 5}}
Strömmen flyter med 5 km/tim.
Svar 6. Antagande: Cykelns fart är x km/tim och bussens är x + 39 km/tim.
Solve[x/2+2/3(x+39)==40]
{{x -> 12}}
Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

Matematik CD för TB
Jenny cyklar med 12 km/tim och bussens fart är 51 km/tim.
Svar 7. Antagande: Bonden ska blanda ner x liter 90 procentigt insektsmedel i dunken. I täljaren
tecknar vi mängden rent, 100 procentigt, medel i flaskan. I nämnaren tecknar vi den totala mängden
vätska.
Solve[(7/10*100+9/10*x)/(100+x)==75/100]
{{x -> 100/3}}
När bonden blandar ner 100/3 liter 90 procentigt insektsmedel i dunken med 100 liter 70 procentigt
medel blir slutprodukten ett 75 procentigt insektsmedel.
Svar 8. Antagande: Genom x liter vatten kommer resultatet att nås.
Solve[(0*x+(25-x)5/10)/25==1/10]
{{x -> 20}}
Genom att tillsätta 20 liter vatten till 5 liter 50 procentg sprit.
Svar 9. Antagande: Från flaskan med 15 procentig lösning ska apotekaren ta x dl och från den med
12% tas 5 − x dl.
Solve[(15/100*x+5/100(5-x))/5==12/100]
{{x -> 7/2}}
Med 7/2 dl från 15% flaskan och 3/2 dl från 12% uppnås målet.
Svar 10. Antagande: Adam har x tjugokronorssedlar, 2x tiokronor och 3x femkronor.
Solve[20x+10*2x+5*3x==1100]
{{x -> 20}}
Börsen innehåller 20 stycken tjugokronorssedlar, 40 tiokronor och 60 femkronor.
Svar 11. Antagande: I påsen finns x tiokronor, x + 6 femkronor och 24x + 2 enkronor.
Solve[10x+5(x+6)+24x+2==227]
{{x -> 5}}
Påsen innehåller 5 tiokronor, 11 femkronor och 122 enkronor.
Svar 12. Antagande: Adam är x år och Bertil är 2x år.
Solve[x-10+2x-10==46]
{{x -> 22}}
Adam är 22 år och Bertil är 44 år.
Svar 13. Antagande: Cesar är x år och David är x + 20 år.
Solve[2(x+10)==(x+20)+10]
{{x -> 10}}
Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

Cesar är 10 och David är 30 år.
Svar 14. Antagande: Vikten väger x kg.
Solve[20*12==3x]
{{x -> 80}}
Vikten väger 80 kg.
Matematik CD för TB
Svar 15. Antagande: Erik har x kr placerade i 4%-aktier och 40 000 − x kr placerade i 6%-aktier.
Solve[4/100*x+6/100(40000-x)==2100]
{{x -> 15000}}
Erik har 15 000 kr i 4%-aktier och 25 000 kr 6%-aktier.
Svar 16. Filip har investerat x kr i 6%-aktier och 20 000 − x kr i 8%-aktier
Solve[6/100*x-8/100(20000-x)==80]
{{x -> 12000}}
Filip har 12 000 kr i 6%-aktier och 8 000 kr i 8%-aktier.
Svar 17. Antagande: Harald ska sätta in x på 8%-kontot.
Solve[(5/100*10000+8/100*x)/(10000+x)==7/100]
{{x -> 20000}}
Med 20 000 kr på 8%-kontot och 10 000 kr på 5%-kontot kommer Harald att få 7% ränta på sina 30 000
kr.
Svar 18. Antagande: Det tar Ivar x dagar att utföra arbetet själv. Man behöver inte blanda in antalet
rum i problemet utan kan se allt som ett arbete. Ett arbete på 3 dagar innebär ”farten” 1/3 arbeten/dag.
Jacobs fart 1/3 arbeten/dag (gånger en dag) plus Ivars fart 1/x (gånger en dag) är lika med ett arbete!
Solve[1/3+1/x==1]
{{x -> 3/2}}
Det skulle ta Ivar en och en halv dag att utföra arbetet själv.
Svar 19. Antagande: Det tar Karl x timmar att avsluta jobbet. Med samma teknik som i uppgiften ovan
kan vi bestämma arbetsfarten för de tre herrarna: Karl 300/8 m/tim, Lars 600/8 m/tim och Martin 400/8
m/tim.
Solve[3*400/8+3.5*600/8+x*300/8==600]
{{x -> 5.}}
Karl får måla i 5 timmar (en och en halv timme helt ensam).
Svar 20. Antagande: Den första bilen är färdigtvättad efter x min.
Solve[2*1/10+2*1/12+2*1/8+2*1/15+1*1/10+1*1/12+x*1/12==1]
{{x -> 4/5}}
Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

Matematik CD för TB
4/5 minuter efter att den tredje bilen anlänt är den första bilen färdigtvättad.
Svar 21. Antagande: Den ena sidan är x meter.
Solve[x+2x+(3x-20)==106]
{{x -> 21}}
Sidorna är 21, 42 respektive 43 meter långa.
Svar 22. Antagande: Rektangelns bredd är x meter och längden x + 8 meter.
Solve[(x+4)(x+8-5)==(x+8)x]
{{x -> 12}}
Ursprungligen hade rektangeln måtten 12 × 20 meter.
Svar 23. Antagande: Entalssiffran är x och tiotalssiffran är 2x.
Solve[2x*10+x-(x*10+2x)==36]
{{x -> 4}}
Det eftersökta talet är 84.
Svar 24. Antagande: Entalssiffran är x och tiotalssiffran är x + 3
Talet är 85.
Solve[8(x+3+x)-((x+3)*10+x)==19]
{{x -> 5}}
Svar 25. Antagande: Han arbetade x dagar.
Solve[x/2-(48-x)/4==21/2]
{{x->30}}
Han arbetade 30 dagar och försummade 18.
1 1 21
x − (48 − x) =
2 4 2
Svar 26. Antagande: Det finns x kavallerister, 3x artillerister och 12x infanterister.
Solve[x+3x+12x==3520]
{{x->220}}
x + 3x + 4(3x) = 3520
Det finns 220 kavallerister, 660 artillerister och 2640 infanterister.
Svar 27. Antagande: Varje dotter får x kr och varje son 2x kr.
2x + 3(2x) + 2x + 3(2x) + 1400 = 19000
Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

Matematik CD för TB
Solve[2x+3(2x)+2x+3(2x)+1400==19000]
{{x->1100}}
Varje dotter får 1100 kr. Varje son får 2200 kr. Modern får 10200 kr.
Svar 28. Antagande: Fadern var x år när allting började.
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6) + (x + 7) = 348
Solve[8x+28==348]
{{x->40}}
Fadern var 47 år då han dog.
Svar 29. Antagande: En hektoliter råg värderas till x kr.
7(50x + 1500)
12
Solve[7(50x+1500)/12==50x+2000/3]
{{x->10}}
En hl råg beräknades kosta 10 kr.
Svar 30. Antagande: Han var x år
Solve[2(x-9)==x+12]
{{x->30}}
Han var 30 år.
= 50x + 2000
3
2(x − 9) = x + 12
Svar 31. Antagande: Havren kostade x kr/hl i fjor.
Solve[9x-5(x+3)==1]
{{x->4}}
Havren kostade i år 7 kr/hl.
9x − 5(x + 3) = 1
Svar 32. Antagande: Den mindre vinstandelen var x kr
Solve[x+(x+540)+490==3x]
{{x->1030}}
Den totala vinsten var 1030 + 1570 = 2600 kr.
Svar 33. Antagande: B förlorade x kr
x + (x + 540) + 490 = 3x
80 − (2x + 5) + 13 =
80 − x
2
Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge

Solve[80-(2x+5)+13==(80-x)/2]
{{x->32}}
Herr B blev av med 32 kr och Herr A med 69 kr.
Matematik CD för TB
Svar 34. Antagande: Hunden måste göra x språng
Solve[7x/5-5x/4==90]
{{x->600}}
Hunden måste ta 600 språng.
7 5
x − x = 90
5 4
Svar 35. Antagande: Det var x gossar och 8 − x flickor.
Solve[24/x-30/(8-x)==2]
{{x->3},{x->32}}
Svar: Det var 3 gossar och 5 flickor.
24
x
30
− = 2
8 − x
Svar 36. Antagande: Han hade köpt x meter och hade betalt 510/x kr/m.
Solve[405/(x-15)-510/x==1/2]
{{x->-255},{x->60}}
Rötterna blir x1 = 60 m och (x2 = −255).
405 510 1
− =
x − 15 x 2
Svar: Han köpte 60 m och han hade givit 8.50 kr/m.
Svar 37. Antagande: Det har gått x timmar sedan de startade. Vi använder oss av sambandet s = t · v
och att avståndet mellan Stockholm och Kalmar är a.
Solve[x/(x+9)+x/(x+16)==1]
{{x->-12},{x->12}}
ax ax
+ = a
x + 9 x + 16
Den ena båten klarar färden på 21 timmar och den andra på 28 timmar.
Svar 38. Antagande: Den ena roten är r och den andra 7 − r
Solve[r^3+(7-r)^3==91]
{{r->3},{r->4}}
r 3 + (7 − r) 3 = 91
Håkan Strömberg 9 KTH Syd Haninge

Matematik CD för TB
De två rötterna är 4 respektive 3. Är detta en tredjegradsekvation?
Svar 39. Som bekant har ekvationen x2 + px + q = 0 rötterna
r1,2 = − p
2 ±
p2 − 4q
4
”Kuben på det inverterade värdet av rötterna” är
s1,2 =
⎛
⎞
⎜
1
⎝
− p
2 ±
⎟
⎟
p2 ⎠
− 4q
4
Den eftersökta ekvationen kan nu skrivas (x − s1)(x − s2) = 0. Med hjälp av Mathematica får vi
r1=-p/2+Sqrt[(p^2-4q)/4];
r2=-p/2-Sqrt[(p^2-4q)/4];
s1=(1/r1)^3;
s2=(1/r2)^3,
(x-s1)(x-s2)//Expand//Simplify
Den sista satsen lämnar ifrån sig uttrycket
vilket betyder att den eftersökta ekvationen är
q 3 x 2 + (p 3 − 3pq)x + 1
q 3
q 3 x 2 + (p 3 − 3pq)x + 1 = 0
Håkan Strömberg 10 KTH Syd Haninge
3