N-institutionen Rolf Källström 026-64 82 75 Prov i matematik ...

N-institutionen
Rolf Källström
026-64 82 75
Prov i matematik
Ingenjörsprogrammet
Optimeringslära
3mi05a
2002–02–26
Skrivtid: 8.30–13.30. Lösningarna skall vara noggrant motiverade och prydligt nedskrivna
och det skall klart framg˚a att en systematisk metod används. Inga hjälpmedel. För godkänt
krävs minst 13 poäng (betyg 3), för betyg 4 krävs 17 poäng och för betyg 5 krävs 21 poäng.
Det maximala antalet poäng är angivet i parentes efter varje uppgift.
1. Det kända multinationella bolaget ABC tillverkar och säljer tre slags genereratorer (sk
moneyformers). Den första behöver 2 bindningar, den andra 4 bindningar och den tredje
5 bindingar. De tv˚a första generatorerna behöver även varsin spole. Tillg˚angen p˚a bindningar
är 200000 och tillg˚angen p˚a spolar är 48000 per ˚ar. P˚a grund av att installationen är
komplicerad inser man efter en marknadsundersökning att efterfr˚agan p˚a den tredje sortens
generator är begränsad till 6000 per ˚ar. Vinsten för varje s˚ald generator är 1000, 2100 och
2605 kronor, respektive, per ˚ar. ABC:s koncernchef har förhandlat med sin kompis styrelseordföranden
och f˚ar en lön som delvist är prestationsbaserad, genom att det utg˚ar bonus
p˚a 100, 500 och 700 kronor, respektive, för varje s˚ald generator. Men styrelseordföranden
anser i alla fall att bonusen inte bör överg˚a 25 miljoner per ˚ar (eftersom den förväntade
˚arsavkastning p˚a hans egna ABC-aktier knappast blir större än s˚a).
(a) Ställ upp LP-problemet för att maximera vinsten. (2 p.)
(b) Har styrelseordföranden gett chefen villkor som medför produktionsbegränsningar,
dvs medför övriga produktionsbegränsningar automatiskt att bonusniv˚an h˚aller sig
inom gränsen? Förenkla genom att bortse fr˚an eventuella positivitetsvillkor och om
bonusvillkoret är aktivt i optimum, men motivera noga! (3 p.)
2. Vi har tv˚a beslutsvariabler x1, x2 som beskriver antal producerade enheter av produkt 1
och 2; de genererar 3, respektive 2 kronor i vinst per enhet.
Produktionsbetingelserna ger följande LP-problem:
max z = 3x1 + 2x2
⎧
2x1 + x2 ≤ 100 (maximerad tids˚atg˚ang)
⎪⎨
x1 + x2 ≤ 80 (begränsning p˚a r˚avara)
x1 ≤ 40 (efterfr˚agebegränsning)
⎪⎩
x1, x2 ≥ 0
Efter tillägg av slackvariabler s1, s2, s3 f˚ar man en optimal simplextabl˚a enligt följande
tabell:
z x1 x2 s1 s2 s3 HL
0 1 0 1 -1 0 20
0 0 1 -1 2 0 60
0 0 0 -1 1 1 20
1 0 0 1 1 0 180

(a) För vilka vinster per enhet som produceras av första produkten förblir innevarande
val av basvariabler optimal? Om vinst per producerad enhet av första produkten är
3.50 kronor, vad blir d˚a den nya optimala lösningen? (3 p.)
(b) För vilket intervall i tids˚atg˚ang och intervall i efterfr˚agan förblir valet av basvariabler
optimal? Ange för dessa intervall hur vinsten p˚averkas av tids˚atg˚angen och efterfr˚agan.
(3 p.)
3. Vi befinner oss i den idylliska socken Klockarberget som best˚ar av 6 sm˚a byar som är
förenade p˚a med pittoreska grusvägar enligt följande tabell (enheten är först˚as fjärdingsväg=
1/2 gammal svensk mil= 2672 meter):
Urby Visarby Slagby Tickby Timby Ringby
Urby 0 24 - - - 28
Visarby 24 0 11 - - -
Slagby - 11 0 13 - -
Tickby - - 13 0 20 12
Timby - - - 20 0 15
Ringby 28 - - 12 15 0
Ett - -tecken innebär att det inte finns n˚agon direktväg mellan byarna.
(a) Man vill förbinda byarna med bredband till en central uppkoppling i n˚agon av byarna.
Av praktiska skäl vill man bara gräva längs befintliga grusvägar. Ange ett förslag p˚a
ihopkoppling av byarna som ger minsta ˚atg˚angen av bredbandsfiber. (Rita grafer.)
(2 p.)
(b) Rikskabeln kommer fram i Slagby. Därför kan det vara bra att veta kortaste avst˚andet
fr˚an Slagby till alla övriga byar i Klockarberget. Bestäm dessa avst˚and med Dijkstras
algoritm. (3 p.)
4. Visa att du behärskar Branch and Bound (trädsökning) för heltalsprogrammering genom
att använda denna teknik för att lösa följande problem:
max 3x1 + 2x2
⎧
4x1 − 2x2 ≤ 13
⎪⎨
−2x1 + 4x2 ≤ 7
4x1 + 2x2 ≤ 21
⎪⎩
x1 och x2 heltal ≥ 0.
De LP-problem som uppkommer f˚ar du lösa grafiskt om du ritar en noggrann figur och
förklarar vad du gör. (5 p.)
2

5. Använd dynamisk programmering för att hitta kortaste vägen fr˚an S till M i figuren nedan.
Siffrorna betecknar avst˚and.
S
3
6
1
12
8
13
16
14
7
7
3
7
4
3
7
2
1
6
5
4
7
4
3
7
4
12
3
2
8
7
5
M
(5 p.)

Lösningar till tentamen i Optimeringslära, 2002–02–26.
1. Beslutsvariablerna x1, x2, x3 är antalet s˚alda geratorer av typ 1,2,3, respektive. LP-problemet
blir (man kan drag bort bonusdelen fr˚an vinsten; detta är en tolkningsfr˚aga s˚a inget avdrag görs
om bonus är fr˚andraget fr˚an vinsten)
max z = 1000x1 + 2100x2 + 2605x3
⎧
2x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 200 000 (tillg˚ang p˚a bindningar)
⎪⎨ x2 + x3 ≤ 48 000 (tillg˚ang p˚a spolar)
x3 ≤ 6 000 (efterfr˚agebegränsning p˚a tredje typen)
0.1x1 + 0.5x2 + 0.7x3 ≤ 25000 (bonusprogrammet)
⎪⎩
x1, x2, x3 ≥ 0
Vi skall avgöra om villkoret fr˚an bonusprogrammet automatiskt är uppfyllt om de tre första
produktions- och marknadsbivillkoren är uppfyllda. Vi för samman de tre första bivillkoren och
skriver detta Ax ≤ b och ignorerar positivitetsvillkoren x1, x2, x3 ≥ 0.
Bonustaket skriver vi c T x ≤ d. Om Ax ≤ b ⇒ c T x ≤ d, s˚a är ju bonustaket betydelselös för
antalet producerade generatorer, vilket skulle innebära att styrelseordföranden inte har gett en
bonus som är produktionsbegränsande. Vi skall allts˚a avgöra om polyedern
Ax ≤ b
c T x > d
är tom. Enligt Farkas lemma saknas punkter i denna polyeder om och endast om det duala
problemet
⎧
⎪⎨ A
⎪⎩
T y = c
yT b ≤ d
y ≥ 0.
har en lösning. Utskrivet blir detta
⎧
⎪⎨ 2y1 = 0.1
4y1 + y2 = 0.5
⎪⎩
5y1 + y2 + y3 = 0.7
⎧
⎪⎨ y1 = 0.05
⇐⇒ y2 = 0.3
⎪⎩
y3 = 0.15
s˚a alla duala värden är ≥ 0 men vi f˚ar yb = 35300 vilket ju är ≥ 25 000. Det duala problemet saknar
s˚aledes en lösning vilket visar att v˚ar polyeder inte är tom. Alla koefficienter i bivillkoren är
≥ 0 finns det i respektive halvrum punkter i första oktanten, varför skärning av dessa halvrum
ocks˚a inneh˚aller punkter ur första oktanten (Detta argument krävs inte). Allts˚a begränsar
bonusprogrammet produktionen varför man kan anse att bonusvillkoren är för generösa (rent geometriskt
allts˚a, alldeles bortsett fr˚an vad man fn i övrigt anser är rimligt, om det är amerikanska
eller euorepeiska chefsförm˚aner). Beräkning med Maple ger xˆx1 = 2000, ˆx2 = 44000, ˆx3 = 4000.
Det ger slack i i bonusvillkoret 25000 − 5200 > 0, s˚a villkoret är inte aktivt, varför det inte
begränsar produktionen för maximal vinst (dock p˚averkas vinsten).
2. Vi ser att x T B = (x1 x2 s3) är basvariabler i optimum. Därför är c T N = (0 0), cT B =
⎛
(3 2 0), AN = ⎝
1 0
1 0
0 0
⎞
⎛
⎠, AB = ⎝
2 1 0
1 1 0
1 0 1
⎞
⎠. Optimal duallösning ˆy T = c T B A−1
B
läses av
fr˚an sista raden i tabl˚an. Vi ser att ˆy1 = 1, ˆy2 = 1 och eftersom det sista villkoret inte är

indande ger komplementaritetssatsen att ˆy3 = 0. Vi behöver även A −1
B AN =
(kolonnerna i tabl˚an som hör till ickebasvariablerna s1, s2) och A −1
B =
⎛
⎝
⎛
⎝
1 −1 0
−1 2 0
−1 1 1
1 −1
−1 2
−1 1
Villkoren för optimum är ˆxB = A −1
B b ≥ 0 samt ¯cT N = cT N − cT BA−1 B AN ≤ 0 (reducerad kostnad
definierad med motsatt tecken jämfört med Winston).
(a) Sätt cT B = (c1
⎛ ⎞
1 −1
2 0). Kravet för optimum är d˚a (0 0) − (c1 1 0) ⎝ −1 2 ⎠ ≥ 0,
−1 0
dvs c1 − 2 ≥ 0, −c1 + 4 ≥ 0, 2 ≤ c1 ≤ 4 . Om nu c1 = 3.50 s˚a ändras inte optimala
lösningen, ˆx1 = 20, ˆx2 = 60 .
(b) Om högerledet sätts bT = (b1 80 b2) s˚a blir villkoret för att innevarande val av basvariabler
inte behöver ändras att A −1
⎛
⎞
1 −1 0
B b ≥ 0. Dvs ⎝ −1
−1
2
1
0 ⎠ (b1
1
80 b2) T ≥ 0, dvs
b1 − 80 ≥ 0, −b1 + 160 ≥ 0, −b1 + 80 + b2 ≥ 0, dvs 80 ≤ b1 ≤ 160, b2 ≥ b1 − 80.
3. (a) Graf med avst˚ander ges av
28
1
6
24
15
2
12
5
Ett minimalt uppspännande träd f˚as genom att starta med en godtycklig nod, tag sedan
den nod i resten av grafen som är närmast, därefter den nod som ligger närmast den del av
5
11
20
3
4
13
⎞
⎠
⎞
⎠

trädet som är konstruerad. Det finns flera minimala uppspännande träd. Om man börjar
med nod 1 f˚ar man trädet
Totala längden blir 75 fjärdingsvägar.
24 11 13 12 15
1 2 3 4
6 5
(b) Vi numrerar noderna i den ordning som anges i tabellen. Dijkstras algoritm ger följande
iterationer
Iterationsomg˚ang
By (1) (2) (3) (4) (5)
1 ∞ 35 35 35 35
2 11 11* 11* 11* 11*
3 0* 0* 0* 0* 0*
4 13 12 13* 13* 13*
5 ∞ ∞ 33 33 33*
6 ∞ ∞ 25 25* 25*
I sista kolumnen är alla utom en nod permanent markerad med ∗ varför den kolumnen ger
avst˚andet fr˚an Slagby till alla övriga byar.
4. Om man släpper p˚a heltralskraven s˚a blir den optimala LP-lösningen
x1 = 3.5, x2 = 3.5 och z = 17.5
Vi separerar (t ex) först p˚a x1 och f˚ar d˚a ett sökträd, där numreringen av delproblemen är i
samma ordning som problemen genereras.
P1(x1 ≤ 3) : x1 = 3, x2 = 3.25, z = 15.5 ∗
P2(x1 ≥ 4) : x1 = 4, x2 = 2.5, z = 17
P3(x2 ≤ 2) : x1 = 4.25, x2 = 2, z = 16.75
P4(x2 ≥ 3) : otill˚atet LP-problem. ∗
P5(x1 ≤ 4) : x1 = 4, x2 = 2, z = 16 ∗
P6(x1 ≥ 5) : otill˚atet LP-problem. ∗
P4, P6 är uttömda pga att de saknar till˚atna punkter. Därmed saknar de även till˚atna
heltalspunkter. P5 är uttömt pga att LP-lösningen är heltalig. P1 är uttömt pga att z-värdet
för LP-lösningen är sämre än z-värdet för den till˚atna heltalslösningen i P5. Optimal lösning är
x1 = 4, x2 = 2, z = 16 i P5
5. Jag ger ingen fullständig lösning. Svaret är 20 l enh, vägen är, med angivand av avst˚and,
S-1-8-6-3-2-M.
6