Tentamen i Mekanik för F, del 2 - Ftek - Chalmers tekniska högskola

Med hjälp av figuren ser vi att
vilket ger
ω = ω + Ω cosθ
ζ
s
( ˆ + ) ( )( ) ˆ
s + − s + s + ( − )
L = = I ˆ I I cos ˆ I I I I cos ˆ
ξ Ω z ω ζ ζ ζ ξ ω Ω θ ζ ζ = = ξΩ z + ζω ζ ξ Ω θ
ζ
ζ
2
sin
ˆ
Ω
( ) cos ˆ θ
= = I I I I I ˆ I I cos ˆ
ξΩ z +
− ζ + ζ − ξ Ω θ ξΩ − ζ + ξ θ Ω
cosθ
ζ ζ = = z
ζ
ζ
cosθ
där vi använt rullningsvillkoret för att utrycka ωs i Ω. Nästa steg är att bestämma
tidsderivatan av L:
2
dL
sin θ
ˆ ˆ cos ˆ
= ω ω p × L = Ω z × Iξ Ω z − Iζ + Iξ
θ Ωζ
ζ
dt cosθ
= I + I ×
cosθ
2
sin θ
2
cos ˆ ˆ
ζ ξ θ Ω ζ z
Det vektoriella kraftmomentet med avseende på O är
ˆ l
ττ τ τ = l ζ ζ× mgzˆ + ζ
ζˆ
× Nzˆ
2
sin θ
N
= mg + l ˆ
× ˆ
2 ζ z
sin θ
Impulsmomentlagen dL dt = τ ger nu
2
sin θ 2 N
ζ + ξ cosθ
Ω = + 2
I I mg l
cosθ sin θ
2
sin θ
2 2 2 2
N = ( Iζ sin θ + Iξ cos θ ) Ω − mg sin θ
l cosθ
Fv
Fh N
För att N skall vara positiv måste precessionshastigheten Ω uppfylla villkoret
Ω ≥
I sin
mgl
θ + I cos θ
2 2
ζ ξ
Kraftkomponenterna Fv och Fh i punkten O bestäms ur lagen för masscentrums rörelse:
2
2 sin θ
2 2 2
Fv = mg + N = mg cos θ + ( Iζ sin θ + Iξ
cos θ ) Ω
l cosθ
2
F = mΩ l sinθ
h
Nu återstår bara att sätta in utryck för sinθ, cosθ, Iξ och Iζ :
sin θ =
l
;
2 2
r + l
cosθ
=
r
2 2
r + l
1 2 2
Iξ = mr + ml ;
4
Efter lite enkel algebra fås svaret
1 2
Iζ = mr
2
Svar: Villkoret är att
2 2 ( + )
1 4gl
r l
Ω ≥
2 2
r r + 6l
2 2
mlrΩ l
N = r + l − mg
4 r +
l
r + l
2 2
Tryckkraften i kontaktpunkten är ( 6 )
3 2 2
2 2
mg