Tentamen i Mekanik för F, del 2 - Ftek - Chalmers tekniska högskola

More documents

Recommendations

Info

$LATEX Command Summary - Ftek$

$Page layout in LATEX - Ftek$

Med hjälp av figuren ser vi att vilket ger ω = ω + Ω cosθ ζ s ( ˆ + ) ( )( ) ˆ s + − s + s + ( − ) L = = I ˆ I I cos ˆ I I I I cos ˆ ξ Ω z ω ζ ζ ζ ξ ω Ω θ ζ ζ = = ξΩ z + ζω ζ ξ Ω θ ζ ζ 2 sin ˆ Ω ( ) cos ˆ θ = = I I I I I ˆ I I cos ˆ ξΩ z + − ζ + ζ − ξ Ω θ ξΩ − ζ + ξ θ Ω cosθ ζ ζ = = z ζ ζ cosθ där vi använt rullningsvillkoret för att utrycka ωs i Ω. Nästa steg är att bestämma tidsderivatan av L: 2 dL sin θ ˆ ˆ cos ˆ = ω ω p × L = Ω z × Iξ Ω z − Iζ + Iξ θ Ωζ ζ dt cosθ = I + I × cosθ 2 sin θ 2 cos ˆ ˆ ζ ξ θ Ω ζ z Det vektoriella kraftmomentet med avseende på O är ˆ l ττ τ τ = l ζ ζ× mgzˆ + ζ ζˆ × Nzˆ 2 sin θ N = mg + l ˆ × ˆ 2 ζ z sin θ Impulsmomentlagen dL dt = τ ger nu 2 sin θ 2 N ζ + ξ cosθ Ω = + 2 I I mg l cosθ sin θ 2 sin θ 2 2 2 2 N = ( Iζ sin θ + Iξ cos θ ) Ω − mg sin θ l cosθ Fv Fh N För att N skall vara positiv måste precessionshastigheten Ω uppfylla villkoret Ω ≥ I sin mgl θ + I cos θ 2 2 ζ ξ Kraftkomponenterna Fv och Fh i punkten O bestäms ur lagen för masscentrums rörelse: 2 2 sin θ 2 2 2 Fv = mg + N = mg cos θ + ( Iζ sin θ + Iξ cos θ ) Ω l cosθ 2 F = mΩ l sinθ h Nu återstår bara att sätta in utryck för sinθ, cosθ, Iξ och Iζ : sin θ = l ; 2 2 r + l cosθ = r 2 2 r + l 1 2 2 Iξ = mr + ml ; 4 Efter lite enkel algebra fås svaret 1 2 Iζ = mr 2 Svar: Villkoret är att 2 2 ( + ) 1 4gl r l Ω ≥ 2 2 r r + 6l 2 2 mlrΩ l N = r + l − mg 4 r + l r + l 2 2 Tryckkraften i kontaktpunkten är ( 6 ) 3 2 2 2 2 mg
2 2 mlrΩ r F = r + l + mg 4 r + l r + l 2 2 Den vertikala kraftkomponenten i O är v ( 6 ) Den horisontella raftkomponenten i O är F h = mΩ l Fv är riktad uppåt och Fh är riktad inåt (centripetalkraft). 3 2 2 2 2 2 2 r + l 2 2 Uppgift 5 Antag att den sammanlagda fjäderkonstanten är k och låt x beteckna motorns koordinat i vertikal led. Rörelseekvationen i närvaro av dämpare men utan extra vikt blir då ν ν 2 Mx = −kx − bx + ma cos t vilket kan skrivas som b k m 2 x + x + x = aν cosν t M M M Detta är en linjär inhomogen differentialekvation som lätt kan lösas. Efter det att insvängningsförloppet har dött ut fås en stationär svängningsrörelse med amplituden (se t.ex. Physics Handbook): A = 2 maν 2 ( k − Mν ) + ( bν ) 2 2 Utan dämpare (b = 0) men med en extra massa K fås i stället A = 2 maν 2 2 ( k − Mν − Kν ) 2 Enligt förutsättningen skall dessa två uttryck för A vara lika vilket innebär att 2 2 2 2 ( k − Mν ) + ( bν ) = ( k − Mν − Kν ) 2 2 Dessutom sägs att resonans uppkommer om både dämpare och extravikt saknas. Det innebär att k = Mν 2 . Villkoret ovan förenklas då till ( ) ( ) 2 2 2 bν = Kν vilket ger svaret. Svar: b = Kν
Page 1 and 2: Tentamen i Mekanik för F, del 2 (g
Page 3 and 4: CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institu
Page 5: a I = Tr − F ρ r där I är trö

Tentamen i Mekanik för F, del 2 - Ftek - Chalmers tekniska högskola

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?