Hilberts och Clay problemen

Hilberts problem
&
Millennium-problemen

David Hilbert (1862-1943)
•Königsberg
•Ferdinand von Lindemann
•Professor 1893
•Göttingen 1895
•Hilbert's Basis Theorem (1888)
If k is a field, then every ideal in the
polynomial ring k[x 1 , …, x n ] is finitely
generated
“I do not doubt that this is the most
important work on general algebra that
the Annalen has ever published”
•Grundlagen der Geometri (1899)
•”We must know, we shall know”

Das Instrument, welches die Vermittlung
bewirkt zwischen Theorie und Praxis,
zwischen Denken und Beobachten, ist die
Mathematik; sie baut die verbindende
Brücke und gestaltet sie immer tragfähiger.
Daher kommt es, daß unsere ganze
gegenwärtige Kultur, soweit sie auf der
geistigen Durchdringung und
Dienstbarmachung der Natur beruht, ihre
Grundlage in der Mathematik findet.
[…]
Wir dürfen nicht denen glauben, die heute
mit philosophischer Miene und
überlegenem Tone den Kulturuntergang
prophezeien und sich in dem Ignorabimus
gefallen. Für uns gibt es kein Ignorabimus,
und meiner Meinung nach auch für die
Naturwissenschaft überhaupt nicht. Statt
des törichten Ignorabimus heiße im
Gegenteil unsere Losung:
Wir müssen wissen,
Wir werden wissen.
The instrument that mediates between
theory and practice, between thought and
observation, is mathematics; it builds the
bridge and makes it stronger and stronger.
Thus it happens that our entire present day
culture, to the degree that it reflects
intellectual achievement and the
harnessing of nature, is founded on
mathematics.
[…]
We must not believe those, who today with
philosophical bearing and deliberative tone
prophesy the fall of culture and accept the
ignorabimus. For us there is no
ignorabimus, and in my opinion none
whatever in natural science. In opposition
to the foolish ignorabimus I offer our
slogan:
We must know,
We will know.

Hilberts problem
”De konkreta problemens livgivande
betydelse för matematikens utveckling”
Who among us would not be happy to lift the veil
behind which is hidden the future; to gaze at the
coming developments of our science and at the
secrets of its development in the centuries to
come? What will be the ends toward which the
spirit of future generations of mathematicians will
tend? What methods, what new facts will the
new century reveal in the vast and rich field of
mathematical thought?

Hilberts problem
1. Kontinuumhypotesen
2. Aritmetikens motsägelsefrihet
3. Likheten i volym av två tetraedrar med lika bas och lika höjd
4. Den räta linjen som kortaste avståndet mellan två punkter
5. Liegrupper utan differentierbarhetsantagande
6. Matematisk axiomatisering av fysiken
7. Irrationalitet och transcendens av vissa tal
8. Riemannhypotesen
9. Bevis av den allmänaste reciproitetslagen för godtyckliga talkroppar
10. Finns det en universell algoritm för att lösa diofantiska ekvationer?
11. Generalisera resultaten om kvadratiska former med godtyckliga algebraiska numeriska koefficienter
12. Generalisera Kroneckers teorem för abelska kroppar till godtyckliga rationalitetsområden
13. Visa omöjligheten att lösa den allmänna 7:e-gradsekvationen med funktioner med endast två
argument
14. Bevis för ändlighet av vissa kompletta funktionssystem. Generalisering av teorin för algebraiska
invarianter
15. Etablera en rigorös grund för Schuberts enumerativa kalkyl
16. Utveckla en topologi för algebraiska kurvor och ytor
17. Finn en representation för definita former med kvadrater
18. Uppbyggnaden av ett rum utifrån kongruenta polyedrar
19. Är lösningar till ”reguljära” problem i variationskalkylen nödvändigtvis analytiska?
20. Det allmänna randvärdesproblemet
21. Visa existensen av linjära differentialekvationer av fuchsisk klass med givna singulariteter och
monodroma grupper
22. Att göra analytiska relationer uniforma med hjälp av automorfa funktioner
23. Fortsatt utveckling av variationskalkyl

Hilberts problem
1. Kontinuumhypotesen
2. Aritmetikens motsägelsefrihet
3. Likheten i volym av två tetraedrar med lika bas och lika höjd
4. Den räta linjen som kortaste avståndet mellan två punkter
5. Liegrupper utan differentierbarhetsantagande
6. Matematisk axiomatisering av fysiken
7. Irrationalitet och transcendens av vissa tal
8. Riemannhypotesen
9. Bevis av den allmänaste reciproitetslagen för godtyckliga talkroppar
10. Finns det en universell algoritm för att lösa diofantiska ekvationer?
11. Generalisera resultaten om kvadratiska former med godtyckliga algebraiska numeriska koefficienter
12. Generalisera Kroneckers teorem för abelska kroppar till godtyckliga rationalitetsområden
13. Visa omöjligheten att lösa den allmänna 7:e-gradsekvationen med funktioner med endast två
argument
14. Bevis för ändlighet av vissa kompletta funktionssystem. Generalisering av teorin för algebraiska
invarianter
15. Etablera en rigorös grund för Schuberts enumerativa kalkyl
16. Utveckla en topologi för algebraiska kurvor och ytor
17. Finn en representation för definita former med kvadrater
18. Uppbyggnaden av ett rum utifrån kongruenta polyedrar
19. Är lösningar till ”reguljära” problem i variationskalkylen nödvändigtvis analytiska?
20. Det allmänna randvärdesproblemet
21. Visa existensen av linjära differentialekvationer av fuchsisk klass med givna singulariteter och
monodroma grupper
22. Att göra analytiska relationer uniforma med hjälp av automorfa funktioner
23. Fortsatt utveckling av variationskalkyl

Hilberts problem, sammanfattning
• 1-2, 10 Matematikens grunder
• 3-6 Grunder inom specifika områden
• 7-9, 11-12 Talteori
• 14-18 Algebra och geometri
• 13, 19-23 Analys

Lösningar till Hilberts problem
19
Bernstein
6
Carathéodry
11
Hasse
2
Gödel
11
Siegel
1
Gödel
13
5 Kolmogor
Gleason Arnold
Montgomery
Zippin
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960
3
Dehn
22
Koebe
Poincaré
9
17
Artin
7
Gelfond
Schneider
6
Wightman
N
16
Taniyama-Shimur

Hilberts problem nr 1 - Kontinuumhypotesen
Visa att det inte finns någon mängd vars
kardinalitet är strikt mellan kardinaliteten
av mängden av heltal och kardinaliteten av
mängden av reella tal?
Kan de reella talen välordnas?

Hilberts problem nr 1
• Oändligheter av olika
storlek
• Räkning med
oändligheter som en
särskild sorts tal
Georg Cantor

Hilberts problem nr 1
Kardinalitet: ℵ = antalet element i en mängd.
ℵ 0 , det minsta oändliga talet
= mängden av alla naturliga tal.
ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0
2ℵ 0 = ℵ 0
ℵ 0 ⋅ ℵ 0 = ℵ 0

Hilberts hotell
Ett hotell med ett oändligt antal rum....
Alla rum är fullbelagda, men så dyker
ännu en gäst upp?
ℵ + 1 = ℵ
En buss med oändligt många
passagerare dyker upp?
ℵ + ℵ = ℵ

Hilberts problem 1
Mängden av alla delmängder till en given
mängd har större kardinalitet än mängden
själv:
2 ℵ > ℵ
På detta vis kan större mängder bildas.

2,485901982019071 _R
=
{2,4,85,901,98201,90,71} ⊂N
Varje reellt tal motsvaras av en delmängd
av de naturliga talen. Det vill säga, det
finns lika många delmängder av de
naturliga talen som det finns reella tal.
ℵ R = 2 ℵ N
Alltså: Mängden av alla delmängder till de
naturliga talen har samma kardinalitet som
mängden av de reella talen?

Kontinuumhypotesen
En mängd av oändligt många tal:
Har antingen samma kardinalitet som de
naturliga talen, eller samma kardinalitet som
de reella talen?
Innebär detta att det inte finns något
kardinaltal mellan de uppräkneliga naturliga
talen och de reella talen?

Valaxiomet
• Oändligt många mängder, med vardera
oändligt många element
• Kan man välja ett element ur vardera till
att bilda en ny oändlig mängd?
Detta kräver ett nytt axiom!
Ernst Zermelo

Hilberts problem 1
• ”Valaxiomet och den generaliserade
kontinuumhypotesens förenlighet med
mängdlärans axiom”
• Om mängdläran är motsägelsefri utan
valaxiomet är den också motsägelsefri
med valaxiomet
Kurt Gödel
• Visade att kontinuumhypotesen inte
motsäger mängdlärans övriga axiom.
Bevisidé:
A 2 A

Hilberts problem 1
Paul Cohen
• Gödels elev
• Visade att kontinuumhypotesen
inte kan härledas ur mängdlärans
övriga axiom
• Visade att man kan konstruera
mängdteorier med eller utan
valaxiom
• Fick Fieldsmedaljen 1966 för sitt
arbete med detta problem

Hilberts problem nr 1
• Gödels och Cohens resultat visar
tillsammans att både kontinuumhypotesen
och valaxiomet är oavgörbara satser:
axiomsystemet räcker inte för att avgöra
om de gäller eller inte.
• Matematikerna är oeniga huruvida detta
ska räknas som en lösning på problemet
eller inte...

Hilberts problem nr 2
Axiomatisera hela aritmetiken!
Ett axiomsystem ska vara:
• Fullständigt – alla teorem ska kunna härledas ur
axiomen genom ett ändligt antal logiska
slutledningar
• Oberoende – inget axiom ska kunna härledas ur
de övriga
• Konsistent – inga härledningar ska kunna leda
till motsägelser i systemet

Kurt Gödel
Första ofullständighetssatsen
I varje motsägelsefritt formellt system som är tillräckligt
komplext för att kunna beskriva aritmetik för naturliga tal,
går det att formulera satser som varken kan bevisas
eller motbevisas inom ramen för det formella systemet.
Andra ofullständighetssatsen
Inget "tillräckligt starkt" motsägelsefritt formellt
system kan bevisa sin egen motsägelsefrihet.

Hilberts problem nr 2
Ett konsistensbevis för vilket system
som helst...kan bara genomföras med
slutledningsmetoder som inte är
formaliserade i systemet självt.
- Kurt Gödel

3. Likheten i volym av två tetraedrar med
lika bas och lika höjd
4. Den räta linjen som kortaste avståndet
mellan två punkter

5. Liegrupper utan
differentierbarhetsantagande
z, z
6. Matematisk axiomatisering av fysiken

7. Irrationalitet och transcendens av vissa
tal
a b 2 √-2 e !
8. Riemannhypotesen

9. Bevis av den allmänaste
reciproitetslagen för godtyckliga
talkroppar
10.Finns det en universell algoritm för att
lösa diofantiska ekvationer?
ax+by=cz

11.Generalisera resultaten om kvadratiska
former med godtyckliga algebraiska
numeriska koefficienter
F(x) = ax 2
F(x,y) = ax 2 + by 2 + cxy
F(x,y,z) = ax 2 + by 2 + cz 2 + dxy + exz + fyz
12.Generalisera Kroneckers teorem för
abelska kroppar till godtyckliga
rationalitetsområden

Hilberts problem nr 13
Visa omöjligheten att lösa den allmänna 7:egradsekvationen
med funktioner med endast
två argument
x 7 + ax 3 + bx 2 + cx + 1 = 0
f(a,b,c)

14.Bevis för ändlighet av vissa kompletta
funktionssystem. Generalisering av
teorin för algebraiska invarianter
15.Etablera en rigorös grund för Schuberts
enumerativa kalkyl

16.Utveckla en topologi för algebraiska
kurvor och ytor
17.Finn en representation för definita former
med kvadrater

18.Uppbyggnaden av ett rum utifrån
kongruenta polyedrar

Tätpackningsproblemet

19.Är lösningar till ”reguljära” problem i
variationskalkylen nödvändigtvis
analytiska?
20.Det allmänna randvärdesproblemet

19.Visa existensen av linjära
differentialekvationer av fuchsisk klass
med givna singulariteter och monodroma
grupper
20.Att göra analytiska relationer uniforma
med hjälp av automorfa funktioner
21.Fortsatt utveckling av variationskalkyl

Hilberts problem
1. Kontinuumhypotesen
2. Aritmetikens motsägelsefrihet
3. Likheten i volym av två tetraedrar med lika bas och lika höjd
4. Den räta linjen som kortaste avståndet mellan två punkter
5. Liegrupper utan differentierbarhetsantagande
6. Matematisk axiomatisering av fysiken
7. Irrationalitet och transcendens av vissa tal
8. Riemannhypotesen
9. Bevis av den allmänaste reciproitetslagen för godtyckliga talkroppar
10. Finns det en universell algoritm för att lösa diofantiska ekvationer?
11. Generalisera resultaten om kvadratiska former med godtyckliga algebraiska numeriska koefficienter
12. Generalisera Kroneckers teorem för abelska kroppar till godtyckliga rationalitetsområden
13. Visa omöjligheten att lösa den allmänna 7:e-gradsekvationen med funktioner med endast två
argument
14. Bevis för ändlighet av vissa kompletta funktionssystem. Generalisering av teorin för algebraiska
invarianter
15. Etablera en rigorös grund för Schuberts enumerativa kalkyl
16. Utveckla en topologi för algebraiska kurvor och ytor
17. Finn en representation för definita former med kvadrater
18. Uppbyggnaden av ett rum utifrån kongruenta polyedrar
19. Är lösningar till ”reguljära” problem i variationskalkylen nödvändigtvis analytiska?
20. Det allmänna randvärdesproblemet
21. Visa existensen av linjära differentialekvationer av fuchsisk klass med givna singulariteter och
monodroma grupper
22. Att göra analytiska relationer uniforma med hjälp av automorfa funktioner
23. Fortsatt utveckling av variationskalkyl

Hilberts problem
• Har, precis som Hilbert avsåg, satt prägel
på matematikens utveckling under 1900-
talet.
• 2000-talets problem?

Dedicated to increasing and disseminating
mathematical knowledge
• Grundat 1998 av affärsmannen Landon T Clay
• Ideell stiftelse
• Cambridge Massachusetts
• Priser och stipendier till lovande matematiker
• Millenniumproblemen 2000

Riemann-hypotesen
(Riemanns zeta-hypotes)
• Hilberts problem nr 8 OCH ett av Millenniumproblemen
Hitta alla nollställen till Riemanns zeta-funktion.
Zetafunktionen definieras för komplexa tal z med Re z>1
genom summan
Icketriviala lösningar måste uppfylla
0 ≤ Re(z) < 1

"If I were to awaken after having slept
for a thousand years, my first
question would be: has the Riemann
hypothesis been proven?"
— David Hilbert

Poincarés förmodan
För en vanlig 2-sfär så kan varje ögla kontinuerligt dras ihop till en punkt på
ytan.
Det har länge varit känt att detta karakteriserar 2-sfären.
Poincarés förmodan handlar om samma fråga, men för 3-sfären,
som inte är lika lätt att föreställa sig.
Grigorij Perelman har bevisat att svaret är ja även i detta fall (?)

P vs NP Problemet
Detta är ett problem inom teoretisk datalogi och handlar om huruvida två
klasser av beräkningsproblem, P och NP, är olika eller inte.
Problemet lyder:
Finns det något beräkningsproblem som kan lösas av en icke-deterministisk
turingmaskin i polynomiell tid, dvs det ligger i komplexitetsklassen NP, men
inte av en deterministisk turingmaskin, dvs det ligger inte i
komplexitetsklassen P?
NP-problem
P-problem
NP-komplett

Navier-Stokes ekvationer
Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent
air currents follow our flight in a modern jet.
Mathematicians and physicists believe that an explanation for and
the prediction of both the breeze and the turbulence can be found
through an understanding of solutions to the Navier-Stokes
equations.
Although these equations were written down in the 19th Century, our
understanding of them remains minimal. The challenge is to make
substantial progress toward a mathematical theory which will unlock
the secrets hidden in the Navier-Stokes equations.

Hodges förmodan
Hodgeförmodan är ett problem i algebraisk geometri.
Låt X vara en projektiv, icke-singuljär algebraisk varietet över
de komplexa talen. Då finns de Rham-kohomologigrupper
H n (X,C) som har en hodgedekomposition
Hodgeförmodan handlar om de rationella klasserna i
diagonalen i denna dekomposition, alltså gruppen
av hodgeklasser. Nämligen, varje algebraisk cykel Z av
kodimension p i X ger upphov till en kohomologiklass i H 2p (X,Z)
vars bild i H 2p (X,Z) man kan visa är av typ (p,p). Därför finns
en homomorfi från gruppen av cykler av kodimension p till
gruppen av (p,p)-hodgeklasser. Hodgeförmodan säger nu att
varje hodgeklass är en rationell linjärkombination av
algebraiska cykler.

Yang-Mills-teori
The laws of quantum physics stand to the world of elementary particles in the
way that Newton's laws of classical mechanics stand to the macroscopic world.
Almost half a century ago, Yang and Mills introduced a remarkable new
framework to describe elementary particles using structures that also occur in
geometry. Quantum Yang-Mills theory is now the foundation of most of
elementary particle theory, and its predictions have been tested at many
experimental laboratories, but its mathematical foundation is still unclear. The
successful use of Yang-Mills theory to describe the strong interactions of
elementary particles depends on a subtle quantum mechanical property called
the "mass gap:" the quantum particles have positive masses, even though the
classical waves travel at the speed of light. This property has been discovered
by physicists from experiment and confirmed by computer simulations, but it
still has not been understood from a theoretical point of view. Progress in
establishing the existence of the Yang-Mills theory and a mass gap and will
require the introduction of fundamental new ideas both in physics and in
mathematics.

Birch-Swinnerton-Dyers förmodan
Låt E vara en elliptisk kurva, det vill säga en icke-singulär, projektiv
kurva av genus 1, definierad över en talkropp K. Man kan visa att de
K-rationella punkterna bildar en grupp under den additionsoperation
som ges av att tre kolinjära punkter summerar till 0. Denna grupp
består av en torsionskomponent samt ett antal kopior av Z. Detta
antal kallas rangen för E.
Associerad till E finns också en meromorf funktion L(E,s), kallas L-
funktionen för E. Den definieras som en viss eulerprodukt där
faktorerna beror på antalet punkter på E över de ändliga kropparna.
Birch-Swinnerton-Dyers förmodan lyder:
Rangen för E är lika med nollställeordningen för L i 1.
Till exempel innebär alltså förmodan att gruppen av rationell punkter
är en ändlig grupp om L-funktionen inte har ett nollställe i 1.