(flytvillkor) Flytyta

21
Flytvillkor och effektivspänningar (Plasticitetsteori)
21
Flytvillkor och effektivspänning σ e
• Du ska kunna bestämma effektivspänningar:
• Tresca
• von Mises
• Känna till
• Motiven för Trescas och von Mises effektivspänningar
• Skillnaden mellan dem
• Plasticering enaxligt σ = σ s
• Fleraxligt:
Hur jämföra spänningsmatrisen med skalären flytspänning?
⎛
⎜σ τ τ
⎜
⎜
S=
⎜τ σ τ
⎜
⎜τ τ σ
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
x xy xz
yx y yz
zx zy z
• Plasticering fleraxligt då effektivspänning σ e (σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ) = σ s
Tre utgångspunkter för effektivspänning (flytvillkor)
1. Hydrostatisk spänning påverkar ej
• σ h = (σ x +σ y +σ z )/3 = (σ 1 +σ 2 +σ 3 )/3 påverkar ej plasticering
σ 2
2. Lika i huvudspänningsriktningarna (isotropt)
σ 1
σ 3
Flytyta
σ 3 σ 3
1)
σ s 2)
−σ s
σ 2
3)
3. Reversering av spänningstillståndet ger samma plasticering
• σ s,drag = σ s,tryck
σ 1
1. Ober. σh – Rör
2. HS lika
3. Reversibelt
- Konvex
- Symmetri
σ 1
Går ej
30°
σ 2
1

von Mises (1913)
Tresca (1864)
−σ s
J1 = Sx
+ Sy
+ Sz
= 0
1 2 2 2 2 2 2 von Mises:
J 2 = ( Sx
+ Sy
+ Sz
+ 2Sxy
+ 2Sxz
+ 2Syz
)
2
Basera σ e på J 2
• Sexkantform
σ s
σ 3
Invarianter till S’
• Plasticering: glidning av atomplan mot varandra
• Flytvillkoret är funktion av spänningsmatrisens invarianter
⇒ skjuvning
• Plasticering då τ max = τ s
• Bilda spänningsdeviatorn:
S’ = S - σ h ·EE
⎡ Sx
Sxy
Sxz
⎤ ⎡σ
x τ xy τ xz ⎤
⎡1
0 0⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ σ x + σ y + σ z
τ max = 1/2 max{|σ 1 -σ 2 |, |σ 2 -σ 3 |, |σ 3 -σ 1 |} = τ ⎢ ⎥
s
S'
= ⎢Sxy
Sy
Syz
⎥ = ⎢τ
xy σ y τ yz ⎥ −
⎢
0 1 0
3
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
Sxz
Syz
Sz
⎦ ⎣
τ xz τ yz σ z ⎦
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
• Enaxlig dragning σ 1 = σ s ⇒ τ s = σ s /2
• Effektivspänning σ e,T = max{|σ 1 -σ 2 |, |σ 2 -σ 3 |, |σ 3 -σ 1 |} = σ s FS 3.26
Ger formändring
Ger volymändring
σ 1
σ 2
J3 = det S'
Flytytan
von Mises (1913)
−σ s
• Cirkel
σ 3
σ s
σ 1
σ 2
• Flytvillkoret är funktion av spänningsmatrisens invarianter
σ 3
• Låt σ =(c· ½
e,M J 2 )
von Mises
σ s
• Enaxlig dragning σ e,M = σ s ⇒ c = 3
• Effektivspänning:
−σ s
1
Tresca
M 1
2
2
2 2
σ [( ) ( ) ( ) ]
FS 3.24
e = σ1
−σ
2 + σ 2 −σ
3 + σ 3 −σ1
2
2 2 2
2 2 2
=
[ σ 3 3
3
] 1
x + σ y + σ z −σ
xσ
y −σ
yσ
z −σ
zσ
x + τ xy + τ yz + τ xz
2
σ 1
σ 2
2

Förutsägelse av plasticering
Plastisk bearbetning
σ s = 390 MPa
r
Valsning
Al 4212
z
Smidning
Skärande bearbetning
Valsning
Valsning
Om man drar
här minskar
valskraften
Med dragning
Enbart valstryck
3