Logit - grund
Logit - grund
Logit - grund
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Prognosmodeller – diskreta val<br />
Daniel Jonsson<br />
danjo@infra.kth.se<br />
January 17, 2007<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 1 / 28
Översikt<br />
Modeller?<br />
Systemanalys<br />
Planering<br />
Diskreta val<br />
Analysmetoder<br />
<strong>Logit</strong>modellen<br />
Nyttofunktioner<br />
Estimering<br />
Egenskaper<br />
Övningar<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 2 / 28
Modeller?<br />
Systemanalys<br />
Vad är en modell?<br />
En idealiserad representation av ett fenomen ofta med syfte att förstå eller<br />
påverka fenomenet<br />
Exempel<br />
◮ En analogi<br />
◮ En karta<br />
◮ En byggnadsmodell<br />
◮ En tredimensionell modell av DNA-molekylens dubbelspiral<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 3 / 28
Modeller?<br />
Systemanalys<br />
Vad är en modell?<br />
Men det kan också vara en matematisk modell<br />
◮ En regressionsmodell över hur bilinnehav beror på inkomst, tillgång<br />
till parkeringsplats och kollektivtrafiktillgänglighet<br />
◮ En simuleringsmodell som visar hur fordon kör genom en<br />
signalreglerad korsning<br />
◮ En systemmodell över samspelet mellan markanvändning och<br />
transporter<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 4 / 28
Modeller?<br />
Systemanalys<br />
Vad är en modell?<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 5 / 28
Modeller?<br />
Systemanalys<br />
Modellering<br />
är en konst...<br />
◮ Vad är intressant att modellera?<br />
◮ Hur skall modellen formuleras?<br />
◮ Hur tolkar vi de resultat modellen ger?<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 6 / 28
Modeller?<br />
Systemanalys<br />
Modellering<br />
är en konst...<br />
◮ Vad är intressant att modellera?<br />
◮ Hur skall modellen formuleras?<br />
◮ Hur tolkar vi de resultat modellen ger?<br />
...men också en vetenskap<br />
◮ När vi kalibrerar modellen<br />
◮ När vi validerar modellen<br />
◮ När vi räknar inuti modellen<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 6 / 28
Modeller?<br />
Systemanalys<br />
Varför behöver vi modeller?<br />
Kunna besvara what if-frågor<br />
Sammanfattar vårt vetande om olika orsak-verkan-samband, säg<br />
◮ Trängselavgifter<br />
◮ Förbifart Stockholm<br />
Bästa sättet är naturligtvis experiment<br />
Men dyrt, tar lång tid och kan vara irreversibelt<br />
Får råd att testa många alternativ<br />
Kan detaljutforma de bästa alternativen<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 7 / 28
Modeller?<br />
Systemanalys<br />
Varför behöver vi modeller?<br />
Karl Popper: Vi kan låta våra hypoteser dö i vårt ställe...<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 8 / 28
Modeller?<br />
Systemanalys<br />
Hur kan modeller användas?<br />
Ett referensalternativ jämförs med ett eller flera utredningsalternativ<br />
◮ Beskrivningen av resp alternativ matas in<br />
◮ Yttre förutsättningar som antas lika för alla alternativ matas in<br />
◮ Resultaten tas ut för resp alternativ och jämförs<br />
Optimeringsmodeller<br />
◮ Modellen får räkna fram det alternativ som bäst uppfyller ett givet<br />
mål<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 9 / 28
Modeller?<br />
Planering<br />
Trafik- och stadsplanering – en komplex verksamhet<br />
En stad är ett komplext system<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 10 / 28
Modeller?<br />
Planering<br />
Trafik- och stadsplanering – en komplex verksamhet<br />
En stad är ett komplext system<br />
Hur vi vill att staden skall utvecklas är oklart<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 10 / 28
Modeller?<br />
Planering<br />
Trafik- och stadsplanering – en komplex verksamhet<br />
En stad är ett komplext system<br />
Hur vi vill att staden skall utvecklas är oklart<br />
Olika intressen står ofta emot varandra<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 10 / 28
Modeller?<br />
Planering<br />
Trafik- och stadsplanering – en komplex verksamhet<br />
En stad är ett komplext system<br />
Hur vi vill att staden skall utvecklas är oklart<br />
Olika intressen står ofta emot varandra<br />
Dåligt känt vad olika åtgärder får för konsekvenser<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 10 / 28
Modeller?<br />
Planering<br />
Trafik- och stadsplanering – en komplex verksamhet<br />
En stad är ett komplext system<br />
Hur vi vill att staden skall utvecklas är oklart<br />
Olika intressen står ofta emot varandra<br />
Dåligt känt vad olika åtgärder får för konsekvenser<br />
Åtgärder har långsiktiga konsekvenser och gynnar olika grupper på olika<br />
sätt<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 10 / 28
Modeller?<br />
Planering<br />
Trafik- och stadsplanering – en komplex verksamhet<br />
En stad är ett komplext system<br />
Hur vi vill att staden skall utvecklas är oklart<br />
Olika intressen står ofta emot varandra<br />
Dåligt känt vad olika åtgärder får för konsekvenser<br />
Åtgärder har långsiktiga konsekvenser och gynnar olika grupper på olika<br />
sätt<br />
Förändringar i omgivningen påverkar utfallet<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 10 / 28
Modeller?<br />
Planering<br />
En logisk struktur för planering<br />
Problem<br />
Mål<br />
Möjliga<br />
åtgärder<br />
Effekter<br />
Hinder<br />
Möjliga<br />
strategier<br />
Optimering<br />
Genomförande<br />
Uppföljning<br />
Välja<br />
åtgärder<br />
Jämföra<br />
lösningar<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 11 / 28
Diskreta val<br />
Analysmetoder<br />
Analysmetoder<br />
◮ Naiva och grafiska metoder<br />
◮ Datamining<br />
◮ Regressionsanalys<br />
◮ Diskreta val-modeller (logit och probit)<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 12 / 28
Diskreta val<br />
Analysmetoder<br />
Analysmetoder<br />
◮ Regressionsanalys: “Hur mycket?”<br />
◮ Diskreta val-modeller: “Vilket?”<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 13 / 28
Diskreta val<br />
Analysmetoder<br />
Analysmetoder<br />
Analysen bygger på antagande om valet<br />
Olika möjliga beslutsregler:<br />
◮ Dominans: Det alternativ som är bäst i något avseende och minst<br />
lika bra i övriga<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 14 / 28
Diskreta val<br />
Analysmetoder<br />
Analysmetoder<br />
Analysen bygger på antagande om valet<br />
Olika möjliga beslutsregler:<br />
◮ Dominans: Det alternativ som är bäst i något avseende och minst<br />
lika bra i övriga<br />
◮ Tillräcklighet: Det alternativ som har en viss nivå i respektive<br />
avseende<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 14 / 28
Diskreta val<br />
Analysmetoder<br />
Analysmetoder<br />
Analysen bygger på antagande om valet<br />
Olika möjliga beslutsregler:<br />
◮ Dominans: Det alternativ som är bäst i något avseende och minst<br />
lika bra i övriga<br />
◮ Tillräcklighet: Det alternativ som har en viss nivå i respektive<br />
avseende<br />
◮ Hierarki: Det alternativ som är bäst i det viktigaste avseendet<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 14 / 28
Diskreta val<br />
Analysmetoder<br />
Analysmetoder<br />
Analysen bygger på antagande om valet<br />
Olika möjliga beslutsregler:<br />
◮ Dominans: Det alternativ som är bäst i något avseende och minst<br />
lika bra i övriga<br />
◮ Tillräcklighet: Det alternativ som har en viss nivå i respektive<br />
avseende<br />
◮ Hierarki: Det alternativ som är bäst i det viktigaste avseendet<br />
◮ Nytta: Det alternativ som har störst nytta<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 14 / 28
Diskreta val<br />
<strong>Logit</strong>modellen<br />
Antaganden<br />
Utgångspunkter för valet av logitmodellen<br />
◮ Nyttomaximerande individer<br />
◮ Rationella individer<br />
◮ Konsistens, samma förutsättningar ger samma beteende<br />
◮ Transitivitet: Om A föredras framför B och B framför C så föredras A<br />
framför C.<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 15 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Nyttofunktionen<br />
Nyttan av alternativ i är en summa av<br />
◮ Mätbara nyttan<br />
◮ Ej mätbara nyttan<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 16 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Nyttofunktionen<br />
Nyttan av alternativ i är en summa av<br />
◮ Mätbara nyttan<br />
◮ Ej mätbara nyttan<br />
dvs<br />
U(x i ) = V(x i ) + ε i (1)<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 16 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Slumptermen ε i<br />
Den ej mätbara nyttan ε i beror på<br />
◮ variabler som saknas<br />
◮ preferenser<br />
◮ mätfel<br />
◮ proxyvariabler<br />
◮ nyttan är stokastisk<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 17 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Slumptermen ε i<br />
Antaganden om slumptermens fördelning bestämmer modellens<br />
egenskaper<br />
◮ Normalfördelning ⇒ probit<br />
◮ Gumbelfördelning ⇒ logit<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 18 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Den mätbara nyttan<br />
β är parametrar som ska estimeras<br />
V(x i ) = β 1 X i1 + β 2 X i2 (2)<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 19 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Den mätbara nyttan<br />
V(x i ) = β 1 X i1 + β 2 X i2 (2)<br />
β är parametrar som ska estimeras<br />
Modellutveckling:<br />
◮ vilka är alternativen i?<br />
◮ vilka variabler x ska ingå?<br />
◮ hur ska x mätas/beräknas?<br />
◮ hur estimeras β<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 19 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Exempel – bil eller kollektivtrafik<br />
Valmängden: bil, koll<br />
Vi behöver uttryck för U bil , U koll<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 20 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Exempel – bil eller kollektivtrafik<br />
Valmängden: bil, koll<br />
Vi behöver uttryck för U bil , U koll<br />
Vanligen något i stil med:<br />
U bil = β t t bil + β c c bil + ε bil (3)<br />
U koll = β t t koll + β c c koll + ε koll (4)<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 20 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Vad gör en logitmodell?<br />
Vi kan inte beräkna vilket alternativ individen uppfattar som bäst. Vi kan<br />
enbart beräkna sannolikheten att ett visst alternativ väljs.<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 21 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Vad gör en logitmodell?<br />
Vi kan inte beräkna vilket alternativ individen uppfattar som bäst. Vi kan<br />
enbart beräkna sannolikheten att ett visst alternativ väljs.<br />
Sannolikheten att välja ett visst alternativ beror av detta alternativs nytta<br />
i förhållande till nyttan för alla alternativ individen överväger.<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 21 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Valsannolikheter<br />
P i =<br />
sannolikheten att välja alternativ i =<br />
Pr(U i > U j ), ∀ j ≠ i<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 22 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Valsannolikheter<br />
P i =<br />
sannolikheten att välja alternativ i =<br />
Pr(U i > U j ), ∀ j ≠ i<br />
ger uttrycket (för ε i.i.d. Gumbel (0,µ))<br />
P i = eµV(x i)<br />
∑<br />
j eµV(x j)<br />
(5)<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 22 / 28
Diskreta val<br />
Nyttofunktioner<br />
Exempel – bil vs. T-bana<br />
bil<br />
t-bana<br />
P tbana =<br />
e βtt tbana+β cc tbana<br />
e βtt bil+β cc bil + e βtt tbana+β cc tbana<br />
(6)<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 23 / 28
Diskreta val<br />
Estimering<br />
Estimering av logitmodellen<br />
◮ Metod: Maximum likelihood<br />
◮ Sök de parametervärden som maximerar sannolikheten att modellen<br />
återskapar de val som faktiskt observerats<br />
◮ Standardprogram<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 24 / 28
Diskreta val<br />
Egenskaper<br />
Skalparametern<br />
Skalparametern µ kan inte estimeras separat, m.a.o. den ingår som en del<br />
i de andra parametrarna.<br />
β = β 0 µ (7)<br />
β – estimerade parametrar<br />
β – ’sanna’ parametrar<br />
µ – skalparameter<br />
µ 2 = Π2<br />
6var(ε)<br />
(8)<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 25 / 28
Diskreta val<br />
Egenskaper<br />
Skalparametern<br />
µ<br />
√ 6 * var (ε)<br />
ß = ß 0 * Π 2<br />
P(i)<br />
µ =0<br />
0
Övningar<br />
Övningsuppgift 1<br />
Förutsättningar<br />
En logitmodell för val mellan bil och<br />
buss har skattats. Modellen<br />
innehåller endast två variabler: tid<br />
och kostnad. Kostnadsparametern<br />
har värdet β c = −0.1 och<br />
restidsparametern har värdet<br />
β t = −0.05. Bussen tar 20 minuter<br />
och kostar 10 kr per resa. Att åka bil<br />
tar 10 minuter.<br />
Frågor<br />
◮ Vad får bilresan kosta för att det<br />
skall vara lika sannolikt att välja<br />
bil som buss?<br />
◮ Hur stort är restidsvärdet i<br />
modellen?<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 27 / 28
Övningar<br />
Övningsuppgift 2<br />
Förutsättningar<br />
Mellan A-stad och B-stad är restiden<br />
med bil 30 minuter och med buss 40<br />
minuter. Kostnaden för båda<br />
alternativen är 15 kr. Använd en<br />
logitmodell med tidsparameter<br />
β t = −0.01 och kostnadsparameter<br />
β c = −0.02.<br />
Frågor<br />
◮ Hur många procent ändras<br />
bilåkandet med om priset för bil<br />
ökar med 5 kr?<br />
Daniel Jonsson danjo@infra.kth.se () Prognosmodeller – diskreta val January 17, 2007 28 / 28
Change language