Kongruent transformation i 2D
Kongruent transformation i 2D
Kongruent transformation i 2D
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Kongruent</strong> <strong>transformation</strong> i <strong>2D</strong><br />
Y<br />
y<br />
x<br />
Yo<br />
a<br />
X<br />
Xo<br />
Två skilda koordinatsystem (XY) och (xy),<br />
men båda systemen är ortogonala (rätvinkliga) och<br />
axlarna har alla samma skala.<br />
De obekanta är här en förflyttning av origo (Xo,<br />
Yo) samt en rotation (a).<br />
X = Xo + x * cosα - y * sinα<br />
Y = Yo + x * sinα + y * cosα<br />
x = xo + X * cosα + Y * sinα<br />
y = yo - X * sinα + Y * cosα<br />
Observera att (Xo,Yo) ej är lika med (xo,yo)
<strong>Kongruent</strong> <strong>transformation</strong> i <strong>2D</strong>
Likformig <strong>transformation</strong> i <strong>2D</strong><br />
Y<br />
y*m<br />
x*m<br />
Yo<br />
a<br />
X<br />
Xo<br />
Två skilda koordinatsystem (XY) och (xy),<br />
systemen kan ha olika skala, men båda<br />
systemen är ortogonala (rätvinkliga).<br />
De obekanta är här en förflyttning av origo<br />
(Xo, Yo), en skalfaktor (m) samt en rotation (a)<br />
X = Xo + x * m * cosα - y * m * sinα<br />
Y = Yo + x * m * sinα + y * m * cosα<br />
X = Xo + a * x - b * y<br />
Y = Yo + b * x + a * y<br />
a = m*cosα<br />
b = m*sinα
Likformig <strong>transformation</strong> i <strong>2D</strong><br />
( Helmert-<strong>transformation</strong>, 4-parameters <strong>transformation</strong> )
Affin <strong>transformation</strong> i <strong>2D</strong><br />
Y<br />
x*mx<br />
b<br />
y*my<br />
a<br />
Yo<br />
X<br />
Xo<br />
Två skilda koordinatsystem (XY) och (xy),<br />
ena eller båda systemen kan ha olika skalor<br />
på axlarna, som inte behöver vara ortogonala.<br />
De obekanta är här en förflyttning av origo<br />
(Xo, Yo), två skalfaktorer (mx, my), en<br />
rotation (a) samt en bristande rätvinklighet<br />
(β).<br />
X = Xo + x * mx*cosα - y * my*sin(α+β)<br />
Y = Yo + x * mx*sinα + y * my*cos(α+β)<br />
X = a 0 + a 1 x + a 2 y<br />
Y = b 0 + b 1 x + b 2 y<br />
a 0= X 0 a 1 = mx*cosα a 2 = -my*sin(α+β)<br />
b 0= X 0 b 1 = mx*sinα b 2 = my*cos(α+β)
Affin <strong>transformation</strong> i <strong>2D</strong><br />
( 6-parameters <strong>transformation</strong> )
Projektiv <strong>transformation</strong> i <strong>2D</strong><br />
x<br />
y<br />
OBS!<br />
<strong>2D</strong>, som t.ex.<br />
filmnegativ - positiv.<br />
Inte 3D, alltså EJ<br />
avbildning av<br />
terrängen!<br />
Y<br />
X<br />
Punkterna i det ena planet projiceras på det<br />
andra planet med räta linjer genom en punkt<br />
(projektionscentrum) utanför båda planen.<br />
De två systemen kan vara olikriktade,<br />
snedvinkliga och ha skilda skalor på axlarna.<br />
X=<br />
a x + a y + a<br />
d1x + d2y + 1<br />
1 2 3<br />
Y=<br />
b x + b y + b<br />
d1x + d2y + 1<br />
1 2 3<br />
a a a<br />
1 2 3<br />
b b b<br />
d1 d2 1<br />
1 2 3<br />
≠0
Projektiv <strong>transformation</strong> i <strong>2D</strong><br />
( 8-parameters <strong>transformation</strong> )
3D likformighets<strong>transformation</strong><br />
(här mellan två plan)<br />
Perspektivcentrum<br />
(projektionscentrum)<br />
Alla strålar som förbinder respektive punktpar<br />
skärs i en och samma punkt utanför planen.<br />
Perspektivitet kan gälla även mellan linjer.<br />
Specialfall: Med perspektivcentrum på<br />
oändligt avstånd erhålls ortogonalprojektion.
Change language