4.2, 4.6

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4
LP 4.2
y
Systemets masscentrum G måste på
grund av symmetri ligga på x-axeln.
⇒ z G
= 0, y G
= 0
R
m 1
m 2
Vi betecknar kropparna, halvcirkelskivan
och triangeln, med index 1 och
x 2.
x g2
2R
Massorna bestäms som areadensiteten
gånger arean.
m
1
1 2 1
= ρ π R , m2
R R
2
= ρ 2 2 ⋅2
Masscentrum för en halvcirkelskiva och triangel har bestämts i teori-häftet. Vi
utnyttjar resultaten här
x
g1
4R
=− , x
3 π
g2
2R
= ,
3
Masscentrum för den sammansatta kroppen är allmänt
x
G
=
mx
m
+ mx
1 g1 2 g2
+ m
1 2
Insättning ger
x
G =
1 R
R
R R R
2
⋅ ⎛ 4 ⎞
−
R R
⎝ ⎠ + 1
ρ π
ρ ⋅ ⋅ − +
2 3π
2 2 2 4 8
23
= 3 3
1 2 1
ρ πR + ρ R⋅
R
π +
2 2 2 2 4
=
4R
3 π + 4
( )

LP 4.6
y
Väggen kan sägas bestå av många
smala, höga rektanglar. En av dessa
rektanglar ligger på avståndet x ifrån
y-axeln. Den har bredden dx och
höjden y = a+
bx
2 . Dess masscentrum
har läget
dm
x
g =
x
x
x
y = 1
g
y = 1
a + bx
2 2
2
( )
L
Denna rektangel väljs här som
masselement.
Masselementet är
ρ( )
2
dm = a + bx dx
Hela kroppens masscentrum fås då enligt formeln för en sammansatt kropps
masscentrum:
xg
m
xG
= ∫ d
yg
m
; yG
= ∫ d
∫ dm
∫ dm
Insättning ger
( )
( )
2
x a bx x
x = ∫ ρ + d
G 2
∫ ρ a+
bx dx
=
3
ax + bx dx
∫ ( )
∫ ( )
2
a+
bx dx
x
G
=
L
∫ ( )
0
L
3
ax + bx dx
2
a+
bx dx
∫ ( )
0
=
⎡1
2 1 4⎤
ax + bx
⎣⎢ 2 4 ⎦⎥
L
⎡ 1 3⎤
ax + bx
⎣⎢ 3 ⎦⎥
0
L
0
1 1
aL + bL
= 2 4
1 3
aL + bL
3
2 4
=
2
6a+
3bL
a+
bL L 2
12 4
y
G
L
1
L
2 2 1 2 2 2 4
∫ ( a + bx ) ρ( a + bx ) dx
∫ ( a + 2abx + b x ) dx
0
=
2
0
L
=
2
L
2
2
∫ ρ a+
bx dx
∫ ρ a+
bx dx
0
( )
1 ⎡ 2 2 3 1 2 5⎤
a x + abx + b x
2
=
⎣⎢ 3 5 ⎦⎥
L
⎡ 1 3⎤
ax + bx
⎣⎢ 3 ⎦⎥
0
L
0
0
( )
2 2 1
aL+
abL + b L
1
= ⋅ 3 5
2 1 3
aL + bL
3
3 2 5
15a + 10abL + 3b L
=
2
30a+
10bL
2 2 2 4