المحاضرة 5 - حركة السوائل_2 - جامعة دمشق

جامعة دمشق
آلية الهندسة المدنية
قسم الهندسة المائية
حرآة السوائل
FLUID KINEMATICS

استمرارية الجريان
Continuity of Flow
يعتمد مبدأ انحفاظ الكتلة Conservation of Mass على أن المادة لا تنعدم
ولا يمكن أن تخلق من العدم،‏ باستثناء ما يحدث في التفاعلات النووية.‏ ويمكن
تطبيق هذا المبدأ على جريان السوائل.‏ فإذا اعتبرنا جزءاً‏ ثابتاً‏ من حقل جريان
يشكل حجم تحكم،‏ يكون لدينا:‏
m +
1
= m2
m3
-
-
-
آتلة السائل الداخلة إلى حجم
التحكم في واحدة الزمن.‏
آتلة السائل الخارجة من
التحكم في واحدة الزمن.‏
حجم
معدل تغير آتلة السائل ضمن
حجم التحكم في واحدة الزمن.‏
m 1
m 2
m 3

في حالة الجريان المستقر تبقى آتلة السائل الموجودة في حجم التحكم ثابتة مع الزمن،‏
وتصبح العلاقة السابقة آما يلي:‏
m =
1
m 2
بتطبيق هذا المبدأ على الجريان المستقر الانضغاطي في أنبوب تيار،‏ واعتبار أن
مساحة مقطعه صغيرة بقدر آاف بحيث يمكن اعتبار سرعة الجريان ثابتة عند أي
مقطع،‏ يمكن آتابة العلاقة:‏
δA
u
1
ρ
1
1
δA
u
ρ
2
2
2
ρ
1
⋅
1 1 2
δ
2 2
δA ⋅u
= ρ ⋅ A ⋅u
=
Const

ومن أجل جريان حقيقي خلال أنبوب تتغير سرعة جريان السائل عبر مقطع
الجريان،‏ وباستخدام السرعة الوسطية للجريان V، يمكن آتابة معادلة الاستمرار
في حالة الجريان المستقر الانضغاطي على الشكل:‏
ρ 1
A ⋅V
= ρ ⋅ A ⋅V
=
⋅
1 1 2 2 2
m
وفي حالة جريان مستقر غير قابل للانضغاط حيث:‏
يمكن آتابة المعادلة السابقة على الشكل التالي:‏
ρ
1
= ρ 2
A V = A ⋅V
=
1
⋅
1 2 2
Q
يعد مبدأ انحفاظ الكتلة وبالتالي معادلة الاستمرار من أهم معادلات
ميكانيك السوائل،‏
والتي يمكن بمساعدتها حساب سرعة الجريان عند مقاطع مختلفة من السائل.‏

يمكن تطبيق معادلة الاستمرار أيضا لحساب العلاقة بين جريان السائل الداخل
والخارج من عقدة تفرع عدد من الأنابيب.‏ وبالرجوع إلى الشكل المبين يمكن آتابة:‏
الجريان الكلي الداخل إلى العقدة =
الجريان الكلي الخارج من العقدة
ρ
1
⋅Q1
= ρ
2
⋅Q2
+ ρ3
⋅Q3
ومن أجل جريان غير قابل للانضغاط،‏ حيث:‏
V
ρ ρ = ρ =
1
=
2 3
Q +
1
= Q2
Q3
ρ
1
⋅ A1
= V2
⋅ A2
+ V3
⋅ A3
يكون
أو

وإذا افترضنا بشكل عام أن الجريان نحو العقدة هو الاتجاه الموجب للجريان،‏
والجريان الخارج من العقدة هو الاتجاه السالب،‏ فإن المجموع الجبري للغزارات
عند العقدة يكون مساويا للصفر،‏ أي أن:‏
∑ ± Q
i
= 0

المسألة الثانية
V 1 ,V 2
احسب قيمتي سرعة تدفق الهواء
في الوصلة المبينة في الشكل.‏
علماً‏ بأن
m = 0.07kg
/
s
: mm
، آما أن الغزارة الكتلية
D1 = 250mm,
D1
= 80
ρ =
1.20kg
/ m
3
والكتلة
النوعية للهواء

الحل :
من معادلة الاستمرار لدينا :
m
= ρ ⋅ A ρ
1
⋅V1
= ⋅ A2
⋅V2
أي أن:‏
m 4 ⋅ 0.07
V = =
1.19m
/
1 2
ρ ⋅ A 1.20 ⋅π
⋅ 0.25
=
1
s
و:‏
m 4⋅0.07
V = =
11.61m
/
2 2
ρ ⋅ A 1.20⋅π
⋅0.08
=
2
s

δ x,
δy,
δz
معادلة الاستمرار التفاضلية
Differential Continuity Equation
يوضح الشكل حجم تحكم من سائل على شكل متوازي مستطيلات أبعاده
وبفرض أن إحداثيات مرآز المتوازي هي:‏
x , y,
z
الثلاثة والكتلة النوعية في مرآز هذا الحجم هي:‏
وأن مرآبات السرعة في الاتجاهات
u, v,
w,
ρ

نايرجلا ةعرس نإف
ةتسلا هجولأا ىلع ةيعونلا ةلتكلاو
:تاقلاعلاب ىطعت مكحتلا مجحل
2
2
/
x
x
u
u
u
x
x
δ
δ
⋅
∂
∂
+
=
+ 2
2
/
x
x
u
u
u
x
x
δ
δ
⋅
∂
∂
−
=
−
2
2
/
x
x
x
x
δ
ρ
ρ
ρ δ
⋅
∂
∂
+
=
+
2
2
/
x
x
x
x
δ
ρ
ρ
ρ δ
⋅
∂
∂
−
=
−
2
2
/
y
y
v
v
v
y
y
δ
δ
⋅
∂
∂
+
=
+
2
2
/
y
y
v
v
v
y
y
δ
δ
⋅
∂
∂
−
=
−
2
2
/
y
y
y
y
δ
ρ
ρ
ρ δ ⋅
∂
∂
+
=
+
2
2
/
y
y
y
y
δ
ρ
ρ
ρ δ ⋅
∂
∂
−
=
−
2
2
/
z
z
w
w
w
z
z
δ
δ
⋅
∂
∂
+
=
+ 2
2
/
z
z
w
w
w
z
z
δ
δ
⋅
∂
∂
−
=
−
2
2
/
z
z
z
z
δ
ρ
ρ
ρ δ
⋅
∂
∂
+
=
+
2
2
/
z
z
z
z
δ
ρ
ρ
ρ δ
⋅
∂
∂
−
=
−

وبناء عليه يكون معدل جريان الكتلة من خلال الجانب الأيمن مساوياً‏ :
⎛
⎜u
+
⎝
∂u
∂x
δx
⋅
2
⎞
⎟ ⋅
⎠
⎛
⎜ ρ +
⎝
∂ρ
δx
⎞
⋅ ⎟ ⋅δy
⋅δz
∂x
2 ⎠
ومن الجانب الأيسر مساوياً:‏
x
⎛
⎜u
⎝
∂u
−
∂x
δx
⋅
2
⎞
⎟ ⋅
⎠
⎛
⎜ ρ −
⎝
∂ρ
δx
⎞
⋅ ⎟ ⋅δy
⋅δz
∂x
2 ⎠
ويكون المعدل الصافي لجريان الكتلة إلى حجم التحكم في الاتجاه
هو:‏
⎛
⎜u
⎝
∂ρ
∂u
⎞
⋅ + ρ ⎟ ⋅δx
⋅δy
⋅δz
∂x
∂x
⎠
∂
( u ⋅ ρ )
∂x
⋅δx
⋅δy
⋅δz
أو بشكل آخر:‏

وبشكل مماثل يكون المعدل الصافي لجريان الكتلة إلى حجم التحكم في ا لاتجاهين
∂
∂
( v ⋅ ρ)
∂y
( w ⋅ ρ )
∂z
⋅δx
⋅δy
⋅δz
⋅δx
⋅δy
⋅δz
,y z آما يلي:‏
وعليه يكون المعدل الصافي لجريان الكتلة إلى حجم التحكم في الاتجاهات الثلاثة مساوياً:‏
⎛
⎜
⎝
∂
( u ⋅ ρ ) ∂( v ⋅ ρ) ∂( w ⋅ ρ )
∂x
+
∂y
+
∂z
⎞
⎟ ⋅
⎠
δx
⋅δy
⋅δz

إن مبدأ انحفاظ الكتلة ينص على :
المعدل الصافي لجريان آتلة السائل الى حجم التحكم +
معدل تغير آتلة السائل في هذا الحجم في واحدة الزمن=‏‎0‎
⎛
⎜
⎝
∂
( u ⋅ ρ ) ∂( v ⋅ ρ ) ∂( w ⋅ ρ )
∂x
+
⎛
⎜
⎝
∂
∂y
+
∂z
⎞
⎟ ⋅
⎠
δx
⋅δy
⋅δz
( u ⋅ ρ ) ∂( v ⋅ ρ ) ∂( w ⋅ ρ )
∂x
+
∂y
+
∂z
⎞
⎟ +
⎠
وبالتالي يكون لدينا:‏
∂ρ
+ ⋅δx
⋅δy
⋅δz
= 0
∂t
∂ρ
= 0
∂t
وأخيراً،‏ نجد أن:‏
تمثل المعادلة السابقة معادلة الاستمرار بشكلها العام،‏ وهي تصلح لجميع أنواع
الجريانات مستقرة أم غير مستقرة،‏ ولزجة أم غير لزجة،‏ وانضغاطية أم غير قابلة
للانضغاط.‏

ρ =
∂ρ
Const, = 0
∂t
∂u
∂x
وعندما يكون الجريان غير قابل للانضغاط يكون
وتأخذ معادلة الاستمرار الشكل التالي:‏
∂v
∂w
+ + = 0
∂y
∂z
وهي تمثل معادلة الاستمرار للجريان غير الانضغاطي مستقراً‏ آان أم لا.‏
الجريان ثنائي البعد تأخذ المعادلة السابقة الشكل التالي:‏
وفي حال
∂u
∂x
∂v
+ = 0
∂y

الجريان الدوراني والجريان غير الدوراني
Rotational and Irrotational Flow
لو درسنا في الحالة العامة حرآة عنصر من سائل ما بين اللحظة واللحظة ، فإننا نجد أن
هذه الحرآة تتكون من تراآم عدة حرآات.‏ الأولى هي حرآة انسحابية
ينتقل العنصر من موقع إلى آخر دون أن يغير من سرعته،‏ ودون أن يتعرض إلى أي دوران.‏
والثانية هي التشوه الخطي ،Linear Deformation حيث يحصل تغير في سرعة الجزيء
عند انتقاله من وضع لآخر دون تعرضه إلى حرآة دورانية.‏ والثالثة هي دوران الجزيء
في نفس الاتجاه بزاوية حول المحور العمودي على مستوي الورقة.‏ وأخيراً‏
التشوه الزاوي Angular Deformation حيث يتعرض الجزيء إلى تشوه.‏
،Translation حيث
Rotation

يمكن أن يكون الجريان في الحالة العامة دورانيًا أو غير دوراني.‏
ويعرف الجريان
الدوراني ،Rotational Flow بأنه الجريان الذي يعاني فيه السائل حرآة
دورانية
صافية من لحظة لأخرى بالنسبة لإطار مرجعي معين.‏
أما الجريان غير الدوراني
u
:z
فهو عكس ذلك.‏
إن معدل دوران عنصر حول المحور
ω
z
=
1
2
⋅
⎛
⎜
⎝
∂v
∂x
−
∂u
∂y
⎞
⎟
⎠
y
وآما ذآرنا سابقا،‏ فإنه ليكون
x
V
الجريان غير دوراني يجب أن
يكون معدل الدوران مساوياً‏
الصفر.‏

وفي حالة الجريان ثنائي البعد في المستوي (x,y)
يكون الجريان غير دوراني إذا آان:‏
ω z
=
1
2
⋅
⎛
⎜
⎝
∂v
∂x
−
∂u
∂y
⎞
⎟
⎠
=
0
ومنه:‏
∂v
∂x
−
∂u
∂y
= 0
وبشكل مماثل يكون الجريان غير دوراني في حالة الجريان ثلاثي البعد
عندما:‏
∂v
∂w
−
∂z
∂y
∂u
∂w
−
∂z
∂x
= 0
= 0
∂v
∂x
−
∂u
∂y
= 0

الجولان والتدوم Circulation and Vorticity
لنأخذ جزيئاً‏ من سائل يتحرك على مسار معين مغلق،‏ حيث السرعة اللحظية
في آل نقطة .
وبين العنصر الخطي
ولنأخذ عند آل نقطة من هذا المسار
V r
الجداء السلمي بين متجه السرعة
V r
ds
آما يلي:‏ r
d Γ
r r = V ⋅ ds
ندعوdΓ
جولان متجه السرعة
على القوس العنصري
V r
ds
r
فإذا أجرينا التكامل المنحنى على آامل
المسار المغلق رياضياً‏ فإننا نحصل على:‏
معلومة

R
r r
Γ = ∫V
⋅ ds
c
حيث يدعى Γ
الجولان Circulation على طول المنحنى المغلق.‏
وبفرض أن جزيئات السائل تتحرك على منحن دائري مغلق نصف قطره
بسرعة زاوية ثابتة مقدارها ω، 0 فإن الجولان على طول هذا المسار الدائري:‏
Γ = ∫ R ⋅ω
ω
c
2
0
⋅ R ⋅ dϕ
= 2 ⋅π
⋅
0
⋅ R
ندعو الجولان في واحدة المساحة بالتدوم Vorticity

الجريان الكموني Potential Flow
يمكن معرفة أشياء آثيرة عن جريان ما عن طريق دراسة سلوك خطوط التيار فيه.‏
فالقوانين التي تتحكم بهذا السلوك،‏ تم بحثها من قبل مدرسة الرياضيين النظريين
) الهيدروديناميكيين (
في القرن الثامن عشر.‏ وبغية الحصول على نماذج رياضية
واضحة للجريان طرح هؤلاء الرياضيون مفهوم السائل المثالي آما تم شرحه
مسبقاً.‏ فالسائل المثالي هو سائل وهمي يفترض عدم لزوجة وانضغاطية للسائل.‏
وعندما يكون جريان السائل المثالي غير دوراني،‏ فإننا ندعو هذا الجريان جريانًا
آمونياً‏
.Potential Flow
وعلى الرغم من أن الجريان الكموني يعتمد على مفهوم سائل مثالي وهمي،‏ إلا أنه
يعطي نتائج جيدة ومعبرة عن الواقع في بعض الحالات.‏ وأآثر الحالات التي تستخدم
فيها نظرية الجريان الكموني بنجاح جريان الماء عبر أجسام السدود الترابية وتحت
أساساتها،‏ وآذلك الجريان تحت البوابات.‏

تابع التيار Stream Function
يعد تابع التيار ψ Stream Function
المعتمد على مبدأ الاستمرار تعبيراً‏ رياضياً‏
لوصف حقل الجريان .
ويوضح الشكل خطي تيار متجاورين في حقل جريان ثنائي البعد.‏
وبفرض أن
( x, y) = 0
يمثل خط التيار الثاني.‏
يمثل الجريان بين خطي تيار.‏
ويمكن من الشكل آتابة:‏
ψ يمثل خط التيار الأقرب إلى مبدأ الإحداثيات و
وحيث أنه لا يوجد جريان عمودي على خط التيار،‏ فإن
ψ + dψ
dψ
dψ
= −v
⋅ dx
+ u ⋅ dy

آذلك يمكن التعبير عن المشتق الكلي لتابع التيار وفق المعادلة:‏
∂ψ
∂ψ
dψ
= ⋅ dx + ⋅ dy
∂x
∂y
وبمقارنة المعادلتين السابقتين،‏ يمكن بسهولة ملاحظة أن:‏
u
= ∂ ψ ∂ψ
v = −
∂y
∂ x
مما سبق نجد أنه إذا أمكن التعبير عن
بدلالة ψ
السرعة عند أية نقطة في حقل جريان ثنائي البعد.‏
وبالعكس فإذا أمكن التعبير عن مرآبات السرعة
x, y
بدلالة u,v
، فإنه يمكننا إيجاد مرآبات
x, y
، فإنه يمكن
إيجاد تابع التيار بإجراء التكامل.‏ وهنا تجدر الإشارة أن استنتاج تابع التيار يعتمد على مبدأ
الاستمرار،‏ لذلك من الضروري أن تتحقق معادلة الاستمرار حتى يمكن وجود تابع الجريان.‏

آما نعلم سابقاً‏ تعطى معادلة الاستمرار في حالة جريان ثنائي البعد غير قابل للانضغاط
بالعلاقة:‏
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= 0
ψ
وبالتعبير عن u,v
بدلالة
يمكن آتابة المعادلة السابقة آما يلي:‏
2
∂ ψ
∂x
⋅∂y
−
2
∂ ψ
∂y
⋅∂x
=
0
وآما ذآرنا سابقاً‏ من خلال تعريف الجريان الكموني على أنه جريان
غيردوراني،‏ لذلك يكون:‏
∂v
∂x
−
∂u
∂y
= 0

وبالتعبير عن
بدلالة
ψ في المعادلة السابقة،‏ نحصل على:‏
u,v
2
∂ ψ
+
2
∂x
∂
2
∂y
ψ
2
=
0
تدعى هذه المعادلة معادلة
لابلاس التفاضلية .Laplace's Equation
ومن هنا
نستنتج أن تابع التيار يجب أن يحقق معادلة لابلاس التفاضلية في الجريان الكموني.‏

φ
( x, y)
تابع آمون السرعة Velocity Potential
يعرف تابع آمون السرعة Velocity Potential
في الإحداثيات الديكارتية آما يلي:‏
في جريان ثنائي البعد
u
= ∂ φ ∂
v = φ
∂x
∂ y
وبمقارنة هاتين المعادلتين مع معادلتين سابقتين،‏ نجد أن:‏
∂φ
∂ψ
=
∂x ∂y
∂φ
∂ψ
= −
∂y ∂x
تحمل المساواتان السابقتان اسم شروط ‏(آوشي – ريمان)‏ نسبة للعالمين آوشي وريمان
.Couchy (1789-1857), Reimann (1826-1866)

ولو عوضنا المعادلتين في معادلة الاستمرار،‏ نحصل على :
2
∂ φ
+
2
∂x
2
∂ φ
=
2
∂y
0
أي أن تابع آمون السرعة يحقق معادلة لابلاس التفاضلية .Laplace's Equation

العلاقة بين خطوط التيار وخطوط تساوي الكمون
Relation between Streamline and Equipotenial Line
dψ
=
∂ψ
⋅ dx
∂x
+
∂ψ
⋅ dy
∂y
وجدنا سابقاً‏ أن:‏
dψ
= −v
⋅ dx
+
u
⋅ dy
أي أن:‏
ووجدنا أيضاً‏ أن:‏
dφ
=
∂φ
⋅ dx
∂x
+
∂φ
⋅ dy
∂y
أي أن:‏
dφ
=
u
⋅
dx
+
v
⋅
dy

ψ
بالنسبة لخط تيار معين يكون ( x , y) = Const
على طول خط التيار،‏ أي أن
= 0 dψ ، وهذا يعني أن:‏
dψ = −v
⋅ dx + u ⋅ dy
dy =
dx
v
u
= 0
ومنه:‏
φ
وبشكل مشابه،‏ بالنسبة لخط آمون فإن ( x , (y = Const
على طول الخط،‏ أي أن
. وهذا يعني أن:‏
dφ = 0
dφ = u ⋅ dx + v ⋅ dy
dy
dx
= −
u
v
= 0
ومنه:‏

ويدل ذلك هندسيا على أن خطوط التيار وخطوط الكمون تكون متعامدة فيما بينها،‏
لأن جداء ميل
وخطوط التيار
المماسات يساوي.‏
وتكو ِّن خطوط الكمون
φ
( x , y) = C1
ψ
( x , y) = C2
شبكة من الخطوط المتعامدة تدعى شبكة الجريان
خطوط التيار وخطوط تساوي الكمون لجريان عبر زاوية قائمة

مثال
ψ = 4 ⋅ x − 2
⋅
يعطى تابع التيار لأحد الجريانات بالعلاقة:‏ y
أثبت أن هذا الجريان هو جريان آموني،‏ ثم استنتج تابع آمون السرعة .
الحل:‏
إذاً‏ :
ليكون الجريان آمونياً‏ يجب أن يحقق معادلة
لابلاس التفاضلية.‏
∂
2
∂ ψ ∂ ψ
= 4 , = 0
2
∂ x ∂ x
2
∂ψ
∂ ψ
= −2,
= 0
2
∂y
∂y
2
∂x
ψ
2
+
∂
2
∂y
ψ
2
= 0 + 0 =
0
و:‏
بالتالي:‏

ومنه نستنتج أن تابع التيار يحقق معادلة لابلاس التفاضلية،‏ أي أن الجريان الذي
∂φ
=
∂y
∂φ
∂x
φ =
F′
=
∂ψ
∂y
=
يمثله هذا التابع هو جريان آموني.‏
ولاستنتاج تابع آمون السرعة لدينا:‏
−2
−2 ⋅ x + F(
y)
، نجد أن :
∂ψ
∂x
y
( y) = − = −4
F ( y)
= −4
⋅ y +
C
φ = −2
⋅ x + −4
⋅ y +
C
وبالمكاملة نجد :
وبالاشتقاق بالنسبة للمتغير
ومنه :
بالتالي يكون تابع الكمون هو :