utdrag ur Hur många prickar har en gepard - Ncm

Natur och omvärld
som matematikskafferi
Är det sant att matematiken lurar överallt?
Ja, våra elever gör spännande upptäckter när de
får utmaningar och stöd. De upptäcker och lär
sig begrepp, relationer och metoder. Det ger dem
självförtroende.
Att arbeta med matematik ute innebär att flera
sinnen aktiveras. När elevernas rörelsebehov tas
tillvara i medvetna aktiviteter utvecklas lärandet.
Vi har roligt tillsammans och eleverna får variation
i arbetet. Alla som varit i skogen med barn vet
att de sällan lämnar den utan en pinne. Jeanette
Milde berättar inspirerande i sin bok Oscars pinnar
om pojken med ”pinnögon”. Pinnar gör vägen till
och från förskolan intressant – han vet aldrig var
de lurar. Likadant är det med matematiken – vi vet
aldrig var den gömmer sig.
Oscar är nyfiken. Pinnar är hans passion. Han
hittar intressanta pinnar överallt och tar dem med
sig. Hans familj uppmuntrar hans samlarintresse.
När pinnsamlingen inte längre ryms i bostaden,
söker familjen tillsammans upp pinnarnas paradis,
den perfekta pinnplatsen.
Fantasi och verklighet
Varför går vi vägen över en barnbok? Jo, vi menar
att omvärlden och den fantasifulla berättelsen
2
kompletterar varandra och ger barn och lärare
möjlighet för reflektion, inlevelse och återkoppling
med förstärkning och utmaningar.
Ute i naturen frigörs elevers energi. Med utgångspunkt
i boken om Oscar och formulerade uppdrag
kan upptäckarglädjen kanaliseras. Eleverna får
som Oscar ”pinnögon”. De delar hans upplevelser,
tänker hans tankar och besvarar hans frågor. När
vi återsamlas finns ett rikt underlag för matematiksamtal.
Elever berättar med eget språk och egna
begrepp om de egenskaper hos pinnarna som varit
avgörande för att de skulle komma med.
13
Nationellt Centrum för Matematikutbildning

Hur många prickar har en gepard?
14
Konkreta upptäckter och beskrivningar utvecklar
tänkandet. I samspel med vuxna som använder
relevant och rikt talat språk förstärks lärande.
Ett mål är att eleverna ska utveckla sin förmåga
att förstå och föra logiska resonemang samt att
förklara och argumentera för sitt tänkande i linje
med kursplanemål. När de jämför pinnar används
begrepp som lång, kort, smal, tjock, rak, krokig e t c
med komparativa former. Elever söker likheter och
skillnader och får underlag för att sortera och klassificera
sitt material men också för att tolka andras
arbeten. De skapar ordning och struktur och utvecklar
förmågan att upptäcka mönster.
Uppdrag i skogen
I augusti, åk 1, går vi ut i skogen. Eleverna har med
sig tre uppdrag. De ska söka och ta med till skolan:
En pinne, lika stor som ditt lillfinger.
Ett löv, lika stort som din hand.
En sten, lika stor som din tumnagel.
Entusiastiska elever genomför sina uppdrag. Andra
gånger har vi sett elever utan mål springa runt,
ropa och skrika. Sökandet efter lämpliga pinnar,
löv och stenar ger koncentration på uppgiften.
De jämför föremål för att hitta det bästa och diskuterar
för att få stöd i valen. Vi observerar deras
strategier. De flesta plockar upp flera stenar från
marken, jämför var och en med nageln och väljer
den de tycker passar bäst. Andra studerar först sin
nagel och letar sedan efter en lämplig sten. Någon
nöjer sig med den först valda, andra prövar flera.
Uppföljning av uppdrag
Tillbaka i skolan studerar vi gemensamt det eleverna
samlat. Pinnarna är olika långa, olika krokiga,
olika tjocka och har olika färger och struktur. Vi
sorterar dem efter olika kriterier och frågar ”Hur
Nationellt Centrum för Matematikutbildning
kan de vara så olika när alla har samma uppdrag?”
Eleverna konstaterar att alla fingrar inte är likadana,
referensen är olika. Individuella skillnader
ger variation, trots lika villkor. Stenarna har olika
form, färg och storlek. Eleverna berättar hur de
tänkt kring ”stor som din tumnagel”. Det är form
och storlek, arean, som eleverna tittat på. Färg och
tjocklek verkar oväsentligt. Löven ser mest olika
ut. Vad betyder ”lika stor som din hand”? Några
tänker sig en knuten hand. Några visar handen
med fingrarna spretande isär och andra handen
med fingrarna tätt ihop. Variationen är en konsekvens
av att vi medvetet undvek att visa handen
när eleverna fick uppdraget. Elever visar tydligt
hur de jämfört med handen. Vi sorterar även stenar
och löv efter olika kriterier.
När elever får uppdrag att ta med föremål av olika
slag skapas en särskild relation till dessa, som
engagerar dem i undersökningar eller aktiviteter
av olika slag. Uthållighet och nyfikenhet fokuseras
kring ”det egna”.
För att utveckla god taluppfattning bör elever
lära sig uppskatta storlek och antal. De bör möta
strategier i olika sammanhang vid många tillfällen.
McIntosh (2007) menar att detta under en tid
varit undervärderat i undervisningen. Vi frågar:

”Hur många stenar, så stora som din tumnagel, får
plats på din handflata?” Ingen svarar direkt. De
flyttar runt stenen i handen för att se hur många
som får plats. När de bestämt sig antecknar vi deras
kvalificerade gissningar, hypoteser. Variationen
är stor. Det minsta antalet är 7, det största 7 miljoner.
De flesta ligger mellan 20 och 60. Eftersom
vi känner våra elever inser vi att de som har minst
och störst skattning, märkligt nog menar samma
sak. Han som säger 7, tar det största tal han känner
till. Hans talrad räcker till just 7. Den andre menar
att det måste vara väldigt, väldigt många. 7 miljoner
är det största tal han kan tänka sig.
Stämmer hypoteserna?
Någon säger: ”Jag räknar under tiden jag flyttar
runt stenen.” Det är svårt att veta om stenarna
ligger tätt ihop. En elev föreslår att vi ska rita av
handen. Då får vi en bild att markera och räkna på
– en lysande idé. Det är svårt att rita runt handen
och runt stenen. Eleverna fokuserar. För att jämföra
med hypotesen målar de det antal stenar som
de gissat. Några har skattat nära resultatet. För andra
är skillnaden stor – ”det var ganska nära”, ”oj så
långt ifrån, det trodde jag inte!”
Den ritade kurvan runt handen avgränsar området.
Eleverna bestämmer arean med stenen som enhet.
De får en aning om vad area är. Antalet stenar på
olika händer är ganska lika. Det finns ett samband
mellan storleken på handen och storleken på tumnageln.
Eleverna får möta ett sätt att resonera som liknar
ett vetenskapligt förhållningssätt, kanske för
första gången. De ställer en hypotes, prövar och ser
hur ”sann” den är.
Fyrfärgsproblem
Tack vare att vi tidigare arbetat med fyrfärgsproblem
med en annan elevgrupp, upptäcker vi att
bilderna ser ut som kartor och kan användas som
underlag för följande problemställning:
Måla stenarna på handen med fyra färger, så att de
som finns bredvid varandra inte har samma färg.
Vi ser hur viktigt språket är. Vad betyder bredvid,
intill, jämte? Några elever missförstår, kanske
beroende på en lokal eller dialektal definition.
När vi rett ut missförstånd tar de itu med arbetet.
Strategin är viktig. Några börjar spontant uppifrån,
eller nedifrån, och behåller riktningen. Andra startar
mitt i handen och arbetar sig utåt, vilket verkar
mest framgångsrikt. En del målar en sten här och
där. Det går inte ihop på slutet. Vad gör man? Det
är omöjligt att radera. Vi sätter en ”lapp” över felet.
Eleven ritar nya stenar och går vidare.
När vi studerar bilderna noga, funderar vi över
lösningarnas kvalitet. ”Kartan” visar områden där
det är glest mellan ”stenarna”. De kan packas tätare.
Nu väljer vi att låta det vara, utmaningen är tillräckligt
stor och det har ingen avgörande betydelse
för det matematiska resonemanget. Senare blir det
förstås viktigt att inte utelämna delar av det avgränsade
området.
Nationellt Centrum för Matematikutbildning
Natur och omvärld som matematikskafferi
Fyrfärgsproblemet
Räcker det med fyra
färger för att måla en
karta så att två intill-
liggande länder inte får
samma färg? Ja, det har
lockat många problemlösare
att undersöka. Att
det går bevisades 1977.
15

Hur många prickar har en gepard?
16
Sortering och relationer
Vi förändrar avgränsningar efterhand och ger nya
uppdrag, t ex:
Leta reda på en pinne som räcker dig till knäna.
Pinnarna sorteras efter längd. Varför är de så olika
långa? Eleverna menar att de har olika långt mellan
fotsula och knä. De jämför med kamraterna. Lotta
undrar om en elev som är kort alltid har kortare avstånd
till knäet än en som är längre? Eleverna vill
undersöka men hur? Lotta menar att de ska ställa
sig i ordning efter pinnarnas längd. Om idén stämmer,
borde eleverna stå i ordning efter längd. Men
det visar sig inte stämma.
Jesper funderar över vad uttrycket ”når dig till
knäna” betyder. Var och en visar med sina pinnar
strax under ”knölen”, precis under, mitt på eller
ovanför knäskålen. De har tänkt på olika sätt. Mätningarna
är olika noggranna. Hur olika får de vara?
Eleverna upptäcker att begrepp
kan tolkas olika och
därför behöver vi bestämma
vilka förutsättningar
som ska gälla. De som är lika
långa har olika avstånd mellan
fotsulan och knäna, även
om de mäter lika på knäet.
Några har långa ben i förhållande
till resten av kroppen.
De som är olika långa
kan ha lika långa underben.
Att upptäcka variationer i
relationer – ”det beror på”
– är viktiga för det fortsatta
lärandet kring t ex proportionalitet
och funktioner.
Samtal leder oss in på
längdmätningens idé och förståelse
för behov av standar­
Nationellt Centrum för Matematikutbildning
diserade enheter. Elever mäter – sig själva, klassrum,
arbetsbord, muggar e t c med olika ickestandardiserade
enheter. När vi ska möblera om
i klassrummet tycker Sebastian att en karta över
rummet skulle vara bra. Då kan vi se i förväg hur
det ska bli och flytta möblerna. Kamraterna håller
med.
Vad är en karta? De menar att det är en bild av
verkligheten som den ser ut ovanifrån på långt
håll. Allting ser mindre ut än i verkligheten. Vi
pratar om naturlig storlek och ”förminskning”. För
att göra en karta måste vi ha mått.
De bestämmer sig – först ska de mäta med den
egna foten. Snart stoppar Lisa arbetet: ”Om vi gör
så här får alla olika svar. Vi måste bestämma vems
fot vi ska mäta med.” Hon övertygar kamraterna om
hur hon tänker. De enas om att mäta med Fannys
fot. Sedan ska de förminska. De tittar runt i rummet
efter något lämpligt. Sebastian föreslår gem. En
fot i verkligheten är ett gem i förminskningen, en
lysande idé igen. Gem sätts samman i länkar, de förminskade
längderna är lätta att hantera.
Dokumentationen betonar att de valt att använda
en bestämd fot och ett gem i bestämd storlek som
mått. Gruppen inser att mätningen av klassrummets
med Fannys fot, gäller just den dagen. Senare
växer hennes fot och relationen till gemet gäller
inte. Storleken på gem kan också variera. Behovet av
enhetliga mått växer fram. Många känner till längdenheter
som centimeter och meter och har använt
mätverktyg med dessa enheter.
Relationer mellan tal och omvärld
Det är viktigt att få erfarenheter och känsla för
olika avstånd – en del av det vi kallar rumsuppfattning
– att skapa minnen och referenser med hjälp
av syn, hörsel, känsel och rörelse. För att ge elever
riktmärken att förhålla sig till, markerar vi tio

meter på golvet i korridoren, två meter vid dörröppningen
osv. Eleverna arbetar med uppdrag:
Tänk efter hur många steg du behöver gå för att
komma tio meter i korridoren.
Mät sträckan som du gått och jämför med tiometersmarkeringen.
Hur stor är omkretsen på trädet vid trappan?
Hur höga är fönstren i klassrummet?
Hur högt upp på väggen sitter klockan?
De prövar mätverktyg – måttband, linjal, tumstock,
mäthjul. När är olika redskap lämpliga? Vi
använder orden omkrets, ungefär och cirka i olika
sammanhang, pratar om längder i förhållande till
elevers kroppar, letar referenser på och utanför oss
själva. Hur hög är skolans skorsten? Anne som är
1 m lång får ställa sig vid skorstenens fot och vi tar
fingermått för att få en uppfattning av höjden.
10 cm är ungefär den omkrets eleverna greppar
mellan tum­ och pekfingertoppen. Det vet de när
de får hemuppdrag:
Leta i skogen reda på en pinne, som är ungefär en
meter lång och har en omkrets på cirka 10 cm.
Undersök också hemma om du har en strumpa som
inte används längre. Fråga om du kan få ta med den
till skolan – vi ska förvandla den till ...! Ta med pinnen
och strumpan på fredag.
Nästan alla skolans tvåor kommer släpande på sina
pinnar. Många anar vad de ska förvandlas till ... jo
till käpphästar i ett temaarbete som uppföljning av
besök på en lantgård tidigt på höstterminen. Där
fanns mycket matematik att utforska. Elevernas
pinnar är olika, raka och krokiga, tjocka och smala,
färgerna varierar. Redan på gården jämförs de. Alla
berättar i text hur de valt ut sin pinne (stavningen
korrigerad).
Jag har hittat en pinne som var någonting på 2 m
lång och så fick jag såga av den så den ungefär
blev 1 m lång och så gick jag till skolan med den.
När jag skulle hitta min pinne tog jag ett snöre och
mätte 10 cm och sen tog jag ett snöre och mätte 1 m
på längden sen gick jag ut med min mamma sen
kunde vi inte hitta nån pinne då tog vi en av min
brors sen såg vi att den var för lång då bröt vi av
en bit. Sen gick vi in igen.
Hur lång är en pinne på 1 m?
Vad innebär det att en pinne är 1 meter lång? Hur
tänker elever? Piaget beskriver hur det lilla barnet
uppfattar avstånd, som ett tomrum mellan
två punkter. Avståndet blir kortare om något placeras
däremellan. Senare uppfattar barn avstånd
som lika långa oberoende av om vägen mellan
punkterna är rak eller krokig. Erfarenheter leder
till vidgad och fördjupad förståelse. Våra elever har
mätt avståndet mellan pinnens ändar. Det är så vi
ofta beskriver längder. Alltför sällan funderar vi
Nationellt Centrum för Matematikutbildning
Natur och omvärld som matematikskafferi
En förälder undrar om
de kan få helgen på sig.
Det är svårt att hitta pinnar
i skogen höstmörka
vardagskvällar efter jobbet.
Vi är tacksamma för
frågan. Vi glömmer ibland
bort hur föräldrar ska
kunna stödja sina barn
med hemuppgifter.
17

Hur många prickar har en gepard?
Cirkeldiagram med dockor.
Cirkeldiagram med sockor.
Stapeldiagram med kapsyler.
18
över längder på annat än ”raka” föremål, som kan
avbildas som sträckor. Hade vi tittat på pinnens
verkliga längd, borde vi följt pinnens krökning:
Om vi lägger ett snöre utmed pinnen och sedan
sträcker det, ser vi tydligt skillnaden mellan uppfattad
och verklig längd. Jämför med avståndet
mellan två orter, där det finns två vägar att välja.
En av dem är rakare och därmed kortare. Vi talar
sällan om avståndet mellan punkter – fågelvägen
– som liknar hur vi förhåller oss till pinnars längd.
När vi använder begreppet höjd, avser vi oftast
kortaste avståndet t ex bergs höjd över havet.
Hur olika är pinnarna?
Eleverna ser att pinnarna är olika långa. Hur olika?
De mäter den egna pinnen noga och antecknar
längden. Vi får en stor variation. I ena klassen
antecknar vi följande:
98, 100, 100, 75, 81, 100, 100, 88 100, 98, 89, 99, 108, 98, 98,
99, 100, 100, 101, 100, 99, 102
För att få en överskådlig bild vill vi göra ett diagram.
Eleverna har tidigare erfarenheter av såväl
stapel­ som cirkeldiagram.
Nu inför vi stam-blad-diagram. Tiotalen i mätvärdena
bildar ”stammen” och entalen ”blad”.
Eleverna skriver måtten på en papperslapp, tiotalen
till vänster om den vikta mittlinjen och entalen
till höger. Ett exempel:
Nationellt Centrum för Matematikutbildning
Vi fick ett papper och vek det på mitten. Sen skrev
vi till exempel hur lång vår pinne var. På den ena
sidan skrev jag 10 och på den andra skrev jag 1 för
min pinne var 101 cm lång. Sen klistra vi fast ...
dom som var 75 först. Det var bara 1.
Sen dom som var 81. Det var 1.
Sen dom som var 88. Det var 1.
Sen dom som var 89. Det var 1.
Sen dom som var 98. Det var 4.
Sen dom som var 99. Det var 3.
Sen dom som var 100. Det var 8.
Sen dom som var 101. Det var 1.
Sen som som var 102. Det var 1.
Sen dom som var 108. Det var 1.
Sen såg vi efter vad som var vanligast. Det var
100 cm för det var flest 8 som var 100.
Sen tittade vi efter om alla hade lämnat. Det såg
vi. För vi räknade på stam-blad-diagrammet.
Ett mer formaliserat stam­blad­diagram, som vi
gjorde tillsammans såg ut så här. Det förklarar
flickans beskrivning varför vi vek papperet:
7 5
8 1
8 8
8 9
9 8 8 8 8
9 9 9 9
10 0 0 0 0 0 0 0 0
10 1
10 2
10 8
I ett stam­blad­diagram ser vi tydligt frekvensen för
olika värden. Vi kan avgöra typvärde (det vanligaste)
och medianvärde (mittenvärdet). Mer om stamblad­diagram
finns i (Dunkels, 1996).

Statistik och diagram
Att förstå, analysera och kritiskt granska statistik
blir allt viktigare – i vardag, utbildning och samhälle.
Tabeller och diagram används för att snabbt
ge omfattande och slagkraftig information.
En samhällsmedborgare måste kunna ta del
av, tolka och förstå innehållet. När elever redovisar
egna undersökningar i diagram utvecklar de
förståelse för hur dessa konstrueras. Lika viktigt
är det att kunna tolka statistik som presenteras.
Eleverna ska utveckla förmågan att förstå och använda
statistiska begrepp. De ska kunna samla in
och hantera data, beskriva och jämföra statistisk
information samt använda elementära lägesmått.
Elever som möter och konstruerar olika slags tabeller
och diagram tidigt, blir bekanta med detta
sätt att beskriva data. Arbete med statistik i vardagen
ger möjlighet att upptäcka samband både
mellan olika delar inom matematiken t ex tal och
rum och mellan matematik och andra ämnesområden.
Efterhand lär de sig att allt säkrare använda
och förstå olika diagram. Förståelsen för proportionalitet
i diagram utvecklas successivt. Elever
behöver återkommande erfarenheter för att säkerställa
sådana kunskaper. De lär sig genom medvetet
arbete redan i de första skolåren. Många har en
grundläggande uppfattning om diagram redan i
förskolan. Vi har sett att det går bra att bygga på
och arbeta vidare med detta under de första veckorna
i grundskolan. (Bergius & Emanuelsson, 1997;
Emanuelsson 2006; Åberg­Bengtsson, 1999)
I materialet lurar matematiken
Det är viktigt att ta vara på möjligheter till olika
lärande. Huvudsyftet kanske är matematik men
materialet kan också användas i t ex bild­ och konstruktionsarbete.
Våra elever förvandlar nu pinnar
och strumpor till käpphästar, som inspirerar till
annat kreativt arbete – dikter, berättelser m m.
Pinnproblem åk 2
Vi lägger 4 lika långa pinnar så att de avgränsar
ett rum i planet. Pinnarna motsvarar ”väggar”. Vi
studerar formen. Utrymmet förändras med vinkeln
mellan väggarna (se marginalen). När en del
av väggen utgörs av en del av pinnen, kan vi bilda
rum med olika form.
Hur kan vi få flera rum? Eleverna prövar. De
låter pinnarna korsa varandra, hittar olika former
och försöker beskriva dem. I början ser de främst
på antalet ”kanter”, t ex fyrkant.
Matematiken definierar ofta former utifrån antalet
sidor eller vinklar. Vi uppmärksammar eleverna
på detta. Efterhand bestämmer antalet hörn
formernas namn. Vi inför begreppet vinkel. Vinkel
och hörn används parallellt. Uttryck som elever
möter i vårt vuxenspråk blir successivt en del av
deras aktiva ordval. Vardagsspråk närmar sig genom
medvetet arbete på sikt det generella matematiska.
Eleverna fortsätter undersökningar med
fem pinnar.
Lägg pinnarna så att de tillsammans bildar många
rum. Hur kan dessa se ut? Hur många rum kan du få?
Avbilda dina lösningar.
De dokumenterar. Några drar linjer på fri hand,
andra lägger ett papper under och ritar längs
pinnarna. Några markerar pinnarnas ändar på
papperet, en färg för varje. Det blir lättare att
dra linjer mellan rätt punkter och ger en sannare
bild. Alltfler gör så. Bilderna får större precision
när eleverna utvecklar sina strategier. När de färglägger
rummen blir formen lättare att studera. De
blir också vackra dekorationer eller konstbilder.
Nationellt Centrum för Matematikutbildning
Natur och omvärld som matematikskafferi
19