Noviser och experter löser problem - Ncm

alexander engström & alan sola
Noviser och experter
löser problem
Hur beter vi oss när vi ställs inför ett nytt problem? Frågan är relevant
för problemlösare på alla stadier. Artikeln behandlar resultat av en
undersökning om reaktioner och tillvägagångssätt
vid problemlösning.
Denna artikel är en förkortad version
av en uppsats skriven inom ramen
för en doktorandkurs i matematikdidaktik
vid Kungliga Tekniska högskolan
och Stockholms universitet under vårterminen
2007.
Vi är doktorander i matematik och möter
således regelbundet matematiska problem
som ska lösas. Båda är vi intresserade av problemlösning.
Det var inte i första hand specifika
problemlösningsstrategier eller allmänna
matematiska metoder för att lösa
problem som intresserade oss. Vi ville istället
förstå och beskriva hur olika personer reagerar
när de blir ställda inför matematiska
problem, hur de beter sig under problemlösningsprocessen
och vad de gör efter att
de har löst ett problem. Vilka olika känslor
och sinnesstämningar, såsom frustration,
upprymdhet och besatthet kan uppstå hos
den som försöker lösa ett matematiskt problem?
Övergripande strategier och handlingssätt
vid problemlösning var av intresse
i vår studie, då vi tror att de i stor utsträckning
påverkas av vilka känslor problemlösaren
upplever. Vi ville också försöka förstå
hur sådana beteendemönster vid problemlösning
uppkommer, hur de påverkas av studier
av matematik och i vilken grad de är gemensamma
för olika individer. Kortfattat
skulle man kunna säga att vi är intresserade
av hur man känner och vad man gör snarare
än vilka speciella metoder och ”tricks” man
tillämpar när man försöker lösa ett matematiskt
problem. Slutligen vill vi diskutera
vilka konsekvenser för grundutbildningen
i matematik som skulle kunna följa av våra
resultat.
Den empiriska undersökningen grundar
sig på ett antal intervjuer med olika personer,
både noviser och experter, som på ett
eller annat sätt bedriver matematikstudier.
Ur dessa intervjuer har vi sedan försökt dra
slutsatser. Eftersom det statistiska underlaget
är högst begränsat kan vi inte generalisera
eller dra alltför långtgående slutsatser.
Vår förhoppning är emellertid att de slutsatser
vi drar och de påståenden vi gör utgående
från våra intervjuer ändå ska vara
av intresse och kunna antyda förekomsten
av gemensamma drag i olika individers problemlösningsbeteende.
NämNareN Nr 1 • 2008
51

Tillvägagångssätt
Sammanlagt ligger sex intervjuer till grund
för denna uppsats. En intervju genomfördes
med en professor i matematik och en
annan med en universitetslektor i matematik.
Vidare intervjuade vi två doktorander
och två studenter på grundutbildningen.
Vi ställde frågor utifrån en på förhand
utarbetad intervjuguide, men tillät oss att
göra avsteg från formuläret för att förtydliga
frågor och för att följa upp intressanta
svar. De intervjuade hade inte informerats
om frågornas karaktär i förväg, utan hade
bara fått veta att intervjun skulle handla
om problemlösning. Detta betyder att svaren
var spontana i intervjusituationen. En
av de seniora problemlösarna valdes eftersom
vi var medvetna om dennes intresse för
ämnet. Doktoranderna valdes ut mer eller
mindre slumpmässigt. Studenterna i grundutbildning
valdes ut ur författarnas bekantskapskrets
såsom personer som kunde förväntas
lämna uppriktiga svar. Studenterna
stod inte i någon beroendeställning till oss.
Det råder knappast någon tvekan om att de
intervjuade forskarna kan betraktas som
experter i matematik och i någon mening
även på matematisk problemlösning. Vi har
även ansett att doktorander i matematik
tillhör gruppen experter, men det är vår förhoppning
att deras svar i viss utsträckning
bär spår av deras erfarenheter från grundstudier
i matematik. Grundutbildningsstudenterna
har vi ansett vara noviser, även om
en av dem har läst relativt mycket matematik
och är på god väg att bli expert. Intervjuerna
genomfördes på följande sätt. En av oss
ställde frågorna, medan den andre antecknade
och inflikade följdfrågor. Den som antecknade
skrev sedan ner ett kort referat av
samtalet. Referaten skickades sedan ut till
samtliga deltagare efter intervjutillfällena
och godkändes väsentligen utan invändning
av de intervjuade. Överlag fick vi intrycket
att samtliga personer vi intervjuade svarade
spontant och uppriktigt på frågorna vi ställde.
Det är emellertid möjligt att vissa svar
påverkades av att den intervjuade – kanske
undermedvetet – vet att matematiker förväntas
bete sig på ett visst sätt.
52 NämNareN Nr 1 • 2008
Intervjuerna
I denna del genomför vi en analys av de intervjuer
som gjorts. Vi behandlar varje fråga
i intervjuguiden separat.
Vad är det första du gör när du får ett problem?
De flesta försökte att sätta in problemet
i en kontext och att visualisera det; ibland
genom att konkret rita på papper och ibland
genom att skapa sig en inre bild. Att avgöra
om lösningen på problemet är känd eller
om problemet är olöst kunde vara avgörande
på ett psykologiskt plan för att man skulle
kunna bestämma hur det ska angripas.
En av de intervjuade försökte medvetet
att endast skriva mycket lite i början för att
tvinga fram abstraktioner som uppstår när
man tänker på matematik utan skriftliga
hjälpmedel. Det var också viktigt att vara
säker på att man är på det klara med alla
nödvändiga begrepp och ingående definitioner.
De kunde betrakta små enkla exempel,
som kunde ge uppslag till hur det allmänna
problemet skulle angripas. Det verkade vara
viktigt att de hade mycket tid på sig att tänka
på problemet.
Om du vänder dig till litteraturen, hur går
du i sådana fall tillväga?
De flesta kunde tänka sig att använda litteratur
för att slå upp definitioner och vanliga
satser inom problemområdet. Det verkade
inte som om problemlösarna letade efter
färdiga lösningar i böcker eller liknande.
Det hade vi möjligtvis kunnat förvänta oss.
Det fanns till och med en tendens till att
de mer seniora problemlösarna undvek litteratur
helt för att inte fastna i andras tankegångar.
De äldre problemlösarna var väl
förtrogna med matematikdatabasen Math­
SciNet och använde denna som en källa till
relevant information.
Hur gör du när du kör fast?
Här fick vi intrycket att det fanns två huvudalternativ.
Det ena var att variera proble­

met, att förenkla det och titta på triviala fall
eller att släppa på någon av förutsättningarna
och se varför ett påstående blir falskt. Vi
skulle vilja sammanfatta detta med att man
förenklar problemet. Det andra alternativet
var att helt lägga problemet ifrån sig och
låta det vila när man inte längre kände att
man kom någonstans. De flesta vi intervjuade
verkade ha upplevt att de kom på en lösning
på ett problem de tidigare hade tänkt
på flera veckor senare, och i ett helt annat
sammanhang – till exempel när de var ute
och promenerade.
Blir du stressad när du inte klarar av att
lösa ett visst problem? Hur hanterar du situationen?
Stress verkade främst uppkomma i samband
med tidspress eller om de kände att de
av någon anledning verkligen borde kunna
lösa ett problem – exempelvis för att man
själv hade formulerat det som en uppgift för
egna studenter, eller för att det allmänt ansågs
vara lätt. Det kunde också resultera i
stress om problemet var en del av ett större
projekt som man verkligen ville få klart.
Deltagarna i studien verkade ha förlikat sig
med att man ibland inte kan lösa problem
som ställs; de hade blivit vana vid detta. En
av de intervjuade ansåg emellertid att det
kunde vara direkt smärtsamt att misslyckas
eftersom han inte kunde sluta tänka på
vissa problem ibland. Detta var ibland nödvändigt
för att nå en lösning.
Hur brukar det kännas när du hittar en lösning?
Växer lösningen fram med tiden eller
finns den plötsligt där?
Här märktes en slags dikotomi. De flesta
upplevde att mindre delproblem ofta löses
genom en plötslig insikt, men att större
problem löses i små steg genom idogt arbete.
Det var vanligt förekommande att man
missförstod eller gjorde fel på vägen. Detta
stod i konstrast till den utbredda uppfattningen
att matematiska problem alltid låter
sig lösas genom plötsliga insikter.
Hur länge väntar du med att skriva ner en
lösning? Brukar du göra detta genast eller
väntar du?
På denna punkt skilde sig svaren åt. Flera av
de intervjuade lät medvetet tiden gå innan
de skrev ner lösningar, de ville kunna pröva
lösningen och reflektera kring den. I andra
fall skrev man ner lösningen omedelbart –
och lämnade in den, om det rörde sig om en
inlämningsuppgift.
I vissa fall skrev problemlösarna aldrig
ner lösningen. De ansåg då inte att det var
själva lösningen, eller ens tillfredsställelsen
av att ha löst problemet, som var det viktiga,
utan att man hade skaffat sig ny kunskap
och insikter på vägen.
Hur avgör du om din lösning är korrekt?
Genomför du rimlighetskontroller?
De flesta verkade inte vara särskilt oroliga
för att lösningar de väl kommit fram
till och godkänt skulle visa sig vara felaktiga.
Det var vanligt att man testade lösningen
i enkla specialfall och försökte förenkla
lösningsgången. En annan möjlighet som
nämndes var att undersöka om man verkligen
hade använt alla förutsättningar som
var givna. Om detta inte var fallet fanns det
en risk att lösningen var felaktig. De kunde
även presentera lösningen för kolleger och
be dem försöka hitta fel.
Vad gör du efter att du har löst ett problem?
Denna fråga tolkades på olika sätt av deltagarna
i studien. Vissa beskrev bara den matematiska
formalismen som måste införas,
andra berättade hur de hade gått till en kompis
eller en annan matematiker och berättat
om att de hade löst problemet – eller att de
hade hämtat en kopp kaffe för att fira.
Tycker du att det är roligt att lösa problem?
Svaret på denna fråga var i samtliga fall ja.
De flesta svarade att de förknippade problemlösning
nästan enbart med positiva
känslor. Det fanns bland de mer seniora en
känsla att matematiken hade övergått från
att vara en hobby till att bli ett yrke och då
kunde rutinen få problemlösandet att delvis
tappa sin attraktionskraft. Dessutom kunde
de stressmoment som omnämns tidigare i
vissa situationer göra det mindre roligt att
lösa problem.
NämNareN Nr 1 • 2008
53

Brukar du spara och återkomma till problem
du har misslyckats med att lösa?
På denna fråga skiljde sig svaren mycket.
Vissa hade byggt upp en omfattande samling
av problem, eventuellt tillsammans
med dellösningar på problemen, andra
slängde regelbundet – exempelvis varje år –
alla gamla anteckningar.
Finns det något i din utbildning som du
tycker har gjort att du har blivit en bättre
problemlösare?
Det framstod som att de intervjuade var
överrens om att man i alla fall blir bättre på
problemlösning genom att öva sig på det. De
flesta ansåg att de problem som man får i
form av inlämningsuppgifter och övningar i
läroböcker kunde bidra till detta. En av de intervjuade,
en lektor, deltog under studietiden
i en grupp där problemlösning övades, vilket
han bedömde var bra för hans matematiska
utveckling. Det var under denna tid han
lärde sig de tillvägagångssätt han fortfarande
använder när han arbetar med problem.
Kan man lära ut problemlösning?
Det var svårt att utläsa någon särskild trend
i svaren på denna fråga, förutom att många
tyckte att man indirekt kan lära ut problemlösning
genom att dela ut bra problem och
presentera eleganta lösningar för studenter.
Slutsatser
Vid sammanställningen av intervjuerna
sökte vi besvara de frågor vi ställde oss i inledningen,
och speciellt ville vi jämföra svaren
från de mer erfarna matematikerna med
de yngre studenternas svar. Vi kunde inte
fastställa några större skillnader efter en
analys av våra anteckningar. Det framgick
relativt tydligt att de intervjuade uppvisar
samma grundläggande reaktioner och känslor
i problemlösningssituationer. Man såg
det som en rolig utmaning att lösa problem,
och det var särskilt spännande om problemformuleringen
var enkel och lösningen blev
elegant. Tidspress uppfattades över lag som
negativ av deltagarna i studien, man ville
54 NämNareN Nr 1 • 2008
gärna ha mycket tid på sig att tänka på problemen.
Själva problemlösningsuppgiften i
sig verkade inte framkalla stress, inte heller
eventuella misslyckanden. Några av personerna
vi intervjuade verkade ha svårt att
släppa ifrån sig problem, men vi misstänker
att detta kunde bero mer på deras personlighet
än vilken matematisk nivå de befinner
sig på. Vi har inte kunnat se att yngre studenter
skulle vara mer benägna att leta efter
färdiga lösningar i större utsträckning än de
äldre. Däremot bidrog erfarenhet till självförtroendet,
och en större kunskap gjorde
att man kunde inleda arbetet utan att behöva
slå upp definitioner och påminna sig
grundläggande satser. Det verkade vara gemensamt
för deltagarna i studien att de inte
helt lämnade ett problem när de inte aktivt
arbetade med det – det undermedvetna
fortsatte arbetet med att försöka bemästra
problemet. Även de övergripande strategierna
tedde sig mycket lika. De intervjuade
inledde sin problemlösning på snarlika sätt.
De såg till att förstå problemet och alla definitioner
som användes, och de undersökte
i ett första steg olika specialfall eller försökte
sätta in problemet i något abstrakt
sammanhang. Nästan intuitivt verkade alla
deltagare i undersökningen inse att den tid
man i början lägger ner på att verkligen förstå
problemet är väl investerad. Den grundläggande
tanken att förenklade eller varierade
problem, även triviala sådana, kunde
innehålla väsentliga ledtrådar till det ursprungliga
problemets lösning var vanligt
förekommande. Alla var medvetna om att
matematisk problemlösning ofta förutsätter
hårt arbete och kan ta tid. De verkade
också vara beredda att uppbåda både tid
och ansträngning för att behandla problem,
trots att de inte var säkra på att de skulle
lyckas. Vi har i vår studie alltså inte kunnat
observera den av Schoenfeld (se s 57) nämnda
missuppfattningen att problemlösning
alltid ska gå fort.
Deltagarna i studien var likaså medvetna
om att en lösning på ett problem inte är något
statiskt – de försökte ibland förenkla eller
variera sina egna lösningar. Sammanfattningsvis
uppvisade alla deltagarna i studien
en mycket mogen inställning till matematisk
problemlösning.

Diskussion
Resultatet av vår undersökning blev i ganska
hög utsträckning som vi förväntade oss.
Doktorander och disputerade tyckte att det
var roligt att lösa matematiska problem och
blev snarare motiverade än avskräckta av
utmanande uppgifter. Vi fann det däremot
lite överraskande att precis samma inställning
fanns hos de yngre studenterna vi intervjuade.
Detta antyder att matematisk
problemlösning skulle kunna vara ett motivationshöjande
inslag i grundutbildningen.
Vi tycker oss se en antydan att det inte nödvändigtvis
måste vara dåligt om ett problem
är så svårt att man inte alls lyckas lösa det.
Tvärtom verkar det faktum att man arbetar
med ett olöst problem vara en sporre för
somliga. Svåra och utmanande problem kan
leda till att man lär sig nya tekniker under
arbetets gång eller att man får en djupare
insikt i vad man kan och vad man inte kan.
Möjligen skulle det kunna vara tänkbart att
i kurser byta ut åtminstone några standardproblem
mot svårare problem där man inte
kräver en lösning, men väl ett ärligt försök.
Att göra klart för sig själv varför man inte
lyckas lösa problemet, och hur man reagerar
på ett misslyckande, kan vara nyttigt inför
fortsatta matematikstudier. Av svaren att
döma verkar det vara viktigt att ha mycket
tid till sitt förfogande; dels för att man verkligen
ska kunna tänka igenom problemformuleringen
och hur problemet hänger samman
med övrig teori, dels för att man ska
kunna arbeta kreativt och avslappnat på
att lösa problemet. Många matematikkurser
på KTH är komprimerade och ges under
en kort tidsperiod, vilket knappast gynnar
en eventuell framväxande problemlösningsförmåga
hos studenterna. I någon mening
tjänar man ju mer på att lära sig typtalen på
kort tid och på så sätt vara säker på att klara
en kontrollskrivning än på att försöka förstå
ett ämnes grunder genom djup eftertanke.
Det rådde viss oenighet bland personerna
vi intervjuat om huruvida man kan lära
ut problemlösning. Några av deltagarna i
våra samtal tyckte att detta definitivt är
möjligt, andra ställde sig skeptiska till tanken.
Vi borde nämna att det faktiskt har givits
kurser i problemlösning vid matematikinstitutionen
vid KTH. Även Schoenfeld (se
andra delen av kap 3) anser att det är möjligt
att undervisa om problemlösning och är av
åsikten att sådana kurser är ett bra sätt att
till studenter förmedla en bild av vad matematik
egentligen är. Vi tror inte att det viktiga
i ett sådant sammanhang är att demonstrera
särskilda tekniker för problemlösning.
Vi är snarare av åsikten att det främst är lärarens
uppgift att hitta lagom svåra och stimulerande
problem, samt att fungera som
insatt diskussionspartner.
LITTerATur
Schoenfeld, A. H. (red) (1994). Mathematical
thinking and problem solving. Hillsdale, N.J:
Lawrence Erlbaum
Denna uppsats kommer att ingå i ett matematikdidaktikkompendium
utgivet av Stockholms
universitet. Uppsatsen finns också på nätet:
www.math.kth.se/~alexe/md.pdf
NämNareN Nr 1 • 2008
55