Tala är guld – tiga är bara mässing - Ncm

Tala är guld – tiga är bara mässing
Gunnar Askemur
Den här artikeln handlar om olika sätt att uttrycka sig språkligt, beroende
på nivå, situation och krav på förståelse.
Nya kursplaneförslaget (SOU 1993:2) säger:
Strävan skall vara att eleven utvecklar
sin förmåga att använda och inse värdet av
matematikens språk, symboler och uttrycksformer.
Då är det viktigt att elevens matematiska
språk har flera nivåer – från den lägsta, som
beskriver matematiska operationer med konkreta
ord, till den högsta, som uttrycker det
matematiska tänkandet med abstrakta termer.
Valet av nivå måste alltid styras av kravet
på förståelse i den aktuella situationen.
Ta t ex uttrycket: 7° – 2°. Om jag bara är
intresserad av talen + 7 och – 2 och deras
placering på tallinjen, säger jag ”plus sju”
och ”minus två”. När jag ska beräkna uttryckets
värde, har jag i den situationen inget
intresse av att veta, om tänkesättet (räknesättet)
är addition eller subtraktion. Jag beskriver
därför bara räkneoperationen: ”Sju
ta bort två är fem”.
Då jag beräknar dygnsmedeltemperaturen
en vårdag, när dagsmedelvärdet är + 7°C
och nattmedelvärdet är – 2°C, kan jag säga:
Summan av plus sju och minus två är (plus)
fem.
Är tänkesättet subtraktion blir tolkningen
annorlunda. Bakgrunden kan vara denna:
Högsta dagstemperaturen är + 7°C och
lägsta nattemperaturen + 2°C. Hur mycket
varmare är det på dagen? Då säger jag:
”Differensen av + 7° och + 2° är 5°” eller
ännu hellre: Skillnaden mellan + 7° och + 2°
är 5°.
30
Gunnar Askemur är pensionerad ämneslärare
i matematik och fysik. Han har
medverkat i Nämnaren med ett flertal artiklar
genom åren.
Egentligen borde jag då skriva:
+7° – (+ 2°) = 5°, men 7° – 2° = 5° är ju
vedertaget skrivsätt (se Matematikterminologi
i skolan, MIS, 1979, sid 23).
Term och faktor är nyckelbegrepp i undervisningen.
Aritmetikens begrepp får inte
skilja sig från algebrans. Tyvärr har MIS
1979 olika termdefinitioner på sid 80 och
sid 23 (22). Om termen innehåller en produkt,
är alltid en av faktorerna ”grundterm”,
och produkten av övriga faktorer (jämte
plus- eller minustecknet) bör då kallas ”termens
koefficient” (se MIS 1979 sid 80). I
likheten 21 – 3 · 5 = 6 kan faktorn + 5 vara
grundterm, och ”– 3” blir då termens koefficient.
Likheten utläses därför: 21 ta bort 3
termer 5 är 6, och på tallinjen får man detta
operationsschema:
Koefficientens minustecken anger att talvektorn
+5 ska ”läsas baklänges”. Vi får då
samma vektorbild för den omvända likheten
21 = 6 + 3 · 5. MIS 1979 sid 126 har
tyvärr ett annat synsätt, som medför olika
vektorbilder för de två likheterna.
Alla matematiska uttryck kan utläsas på
mer än ett sätt. När man beräknar uttrycket
21 – 3 · 5 kan man också säga: 21 ta bort 5
termer 3. Om man diskuterar tänkesättet, kan
det t ex utläsas: Skillnaden mellan 21 och
produkten av 3 och 5 eller 21 adderat med
produkten av (-3) och 5. Många elever säger:
21 minus 3 gånger 5 utan att förstå, hur
uttrycket kan tolkas.
Nämnaren nr 2, 1993

Låt oss titta på kvoten 23412 / 6. Tänkbar
bakgrund: Hur många smultronplantor, som
kostar 6 kr/st, kan jag köpa för 23412 kr?
Det är alltså fråga om innehållsdivision: Hur
många gånger innehålles 6 kr i 23412 kr?
(jag kan köpa plantorna en och en).
Begreppsmässigt betyder det en upprepad
borttagning.
När man beräknar kvoten, är det mest
praktiskt att tänka så här: Jag ska fördela
23412 ental på 6 högar. För att spara tid
och arbete, tar jag först bort 6 tusental från
23 tusental och lägger ett tusental i varje hög.
Detta upprepas så länge det går – i detta
fall 3 gånger. Men det är enklare att ta bort
alla 18 tusental på en gång, Därför säger jag:
23 tusental ta bort 6 tusental går 3 gånger.
Jag skriver kvotsiffran 3 i tusentalsrutan.
Sedan fördelar jag 54 hundratal och 12 ental
på samma sätt. Ett tiotal ta bort 6 tiotal
går inte, därför skriver jag kvotsiffran noll i
tiotalsrutan.” (se Nämnaren nr 4 - 1982/83,
sid 32 - 33.)
Den fullständiga divisionsuppställningen ses
ovan, ty ingen behöver väl kontrollera att 9
gånger 6 hundratal är 54 hundratal, eller att
2 gånger 6 ental är 12 ental. När nämnaren
är ensiffrig, bör dock kvoten beräknas med
kort division:
eller
På beräkningsnivån ska språket vara konkret.
Därför bör man säga t ex: 54 hundratal ta
bort 6 hundratal går 9 gånger. Detta uttryckssätt
kan inte missförstås eller blandas
ihop med vanlig borttagning, eftersom uppställningen
eller teckningen visar att uttryckssättet
avser division. Det underlättar
också användandet av en tankegång, som
ingick i den medeltida ”järndivisionen”, och
som gör att man slipper radera i divisionsuppställningen
på grund av alltför stor kvotsiffra.
När man beräknar kvoten 29190 / 42, avrundar
man nämnaren uppåt till storlekssiffran.
Det avrundade värdet 50 skrivs utanför
nämnaren 42. Sedan tänker man: 291 ta bort
50 (obs!) går 5 gånger. 5 gånger 42 (obs!)
är 210. Resten 81 visar att jag kan ta bort 42
en gång till. 291 ta bort 42 (obs!) går alltså
en gång till, dvs 6 gånger. När jag senare
får resten 105, vet jag att 399 ta bort 42 går
två gånger till, dvs 9 gånger.
Om man försöker beräkna kvoten 19600 /
7 med delningsdivision och därför säger: En
sjundedel av 19 tusental, är man tvungen att
5
skriva ”2 ” i kvotens tusentalsruta, eftersom
matematik kräver entydighet och kon-
7
sekvens på alla nivåer. Därför måste man beräkna
kvoten med innehållsdivision, även om
lösningens tänkesätt är delningsdivision, t ex
19600 kr / 7 eller
1
· 19600 kr.
7
Målet för ”språkundervisningen” i matematik
bör vara att eleverna utvecklar sin ”uttrycksfantasi”,
så att de t ex slipper utläsa de
matematiska uttrycken tecken-för-tecken. Å
andra sidan får de inte sväva ut så mycket,
att de inte förstår varandra under de gemensamma
diskussionerna. Det är viktigt att alla
tar fasta på ”att budskapet går fram, att man
förstår vad han menar”, även om han inte
valt ”rätt” formulering (se Nämnaren nr 3
- 1992, sid 16). Men framför allt bör eleven
själv förstå det han/ hon säger eller tänker
rent konkret.
Nämnaren nr 2, 1993
31