13-merkezi_egilim-yayilim_olculeri

DERS: MATEMATİK ÖĞRETİMİ-II
HAFTA : 13
SINIFLAR : SÖP -31 / SÖP-32
KONU: MERKEZİ EĞİLİM ve YAYILIM ÖLÇÜLERİ
ALT ÖĞRENME ALANI:
MOD, MEDYAN, ARİTMETİK ORTALAMA VARYANS, RANJ, CEYREK SAPMA,
STANDART SAPMA
DERSİN SORUMLUSU: Dr. BİROL TEKİN
Cep: 0 505 624 66 81
biroltekin@amasya.edu.tr
NOT:
Bu konuya ait bilgiler benim iznim olmadan alınması ve herhangi bir kitapta
kullanılması veya yayınlanması yasaktır. Böyle bir durumda yasal işlem
başlatılacaktır.

VERİ: Bir konu hakkında sistematik bir şekilde toplanmış bilgilere denir.
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
Gözlenen veriler veya ölçümler düzenlenerek çetelelerle, çizelgelerle, tablolarla, grafiklerle
sunulması çoğu kez yeterli olmaz. Böyle bir durumda, genel durumu hakkında ayrıntılı bilgi
verecek bir takım ölçülere gereksinim bulunmaktadır. Bu tür ölçüler verileri yalnızca özlü bir
biçimde belirtmekle kalmazlar aynı zamanda karşılaştırmalara, genellemelere, yorumlamalara
olanak sağlarlar.
Bir veri grubunun dağılımında kümenin etrafında toplandığı veya etrafında yığılma eğilimi
gösterdiği değerlerdir. Bunlar veri grubu hakkında ayrıntılı bilgi verirler ve bütününü temsil
ederler.
1. MOD ( TEPE DEĞER):
Bir veri grubunda en çok tekrar edilen veriye veya frekansı en yüksek olan ölçme sonucuna o
veri grubunun mod’u denir.
ÖZELLİKLERİ
Merkezi eğilim ölçülerinde en az bilgi veren ölçüdür.
Tüm ölçek düzeyinde mod hesaplanabilir.
Ortalama ve ortancanın hesaplanamadığı durumlarda da kullanılabilen bir merkezi
eğilim ölçüsüdür.
ÖRNEK-1:
1,1,3,5,4,3,8,7,7,15,1 veri grubunun modunu bulunuz.
ÇÖZÜM-1:
1,1,1, 3,3,4,5, 7,7, 8,15
En çok tekrar eden sayı 1 ( üç adet) olduğundan veri gurubunun modu 1 dir.
ÖRNEK-2:
2,5,7,7,7,9,11, 13,13,13, 17 veri grubunun modunu bulunuz.
ÇÖZÜM-2:
En çok tekrar eden sayılar 7 ve 13 sayılarıdır. Her ikisi de 3 defa tekrar etmiştir.
Veri gurubunun modu = (7+13) / 2 = 10 dur.
ÖRNEK-3:
55,70, 85, 98, 100 notlarının modu kaçtır?
ÇÖZÜM-3:
En çok tekrar eden sayı olmadığından bu verilerin modu yoktur.

ÖRNEK-4:
Güreş müsabakasına katılan güreşçilerin kilolarını ve sayılarını gösteren tablo aşağıda
verilmiştir.
Güreşçilerin Kiloları (Kg) 60 70 80 90 100
Güreşçi Sayısı ( f ) 4 5 8 2 1
Buna göre, bu veri gurubunun modu kaçtır?
ÇÖZÜM-4:
60,60,60,60,70,70,70,70,70, 80,80,80,80,80,80,80,80, 90,90, 100
Tablo incelendiğinde en çok tekrar eden güreşçi sayısı 8 rakamının karşılığı olan
80 kiloda bulunan güreşçilerdir. O halde grubun modu 80 dir.
ÖRNEK -5:
Bir veri gurubunun puanları 20,20,20,20, 50,50,50,50, 70,70,70,70 olan dağılımında tüm
ölçümlerin frekansları eşit olduğundan dağılımın modu yoktur.
Frekans (f)
4
3
2
1
0
20 50 70
Puan
ÖRNEK -6:
Bir sınıftaki bazı öğrencilerin Genel Matematik-I dersinin vize sınavından aldıkları puanları
20,20, 50,50,50,50, 70 biçimindedir. Bu puan dağılımında en çok tekrar eden puan 50
olduğundan dağılımın modu 50 dir.
Frekans (f)
4
3
2
1
0
20 50 70
Puan

ÖRNEK -7:
Bir veri gurubunun puanları 20, 50,50,50,50, 70,70,70,70, 90,90 olan dağılımında tüm ölçümlerin
frekanslarına bakıldığında en çok tekrar eden 50 ve 70 değerlerinin aritmetik ortalamasıdır.
Frekans (f)
4
3
2
1
0
20 50 70
90
Puan
50 + 70
Mod =
2
= 60
ÖRNEK -6:
Bir sınıftaki öğrencilerin Tarih dersinin final sınavından aldıkları notların puan aralıkları ve
puanların frekansları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre, bu puan dağılımının modunun
hangi puan aralığında bulunduğunu tespit ederek dağılımın modunu bulunuz.
Puan Aralığı Frekans( f )
50-59 5
60-69 6
70-79 9
80-89 3
90-99 2
Tablo incelendiğinde en çok tekrar eden puan aralığı 70-79 arasındadır. Bu aralıktaki puanlar
71,72,73, 74,75, 76,77,78 biçimindedir. O halde mod bu puan aralığın ortasında bulunan
74ve 75 puanlarının aritmetik ortalamasıdır.
74 +75
Mod = = 74,5 olarak bulunur.
2

2. MEDYAN(ORTANCA) :
Küçükten büyüğe doğru veya büyükten küçüğe doğru sıralanmış veri grubunun tam
ortasındaki değerdir. İlk önce veri değerleri küçükten büyüğe doğru sıralanır.
n veri sayısını göstermek üzere,
A) Veri sayısı tek(n=tek sayı) ise
n +1
( )’ inci sıradaki veri medyandır. Yani tam
2
ortadaki değerdir.
B) Veri sayısı ( n=çift ) çift ise
n
( ) ‘inci ve
n
( +1)
’ inci sıradaki verilerin aritmetik
2
2
ortalaması veri grubunun medyan değerini verir.
ÖZELLİKLERİ
Medyan puan dağılımını ortadan ikiye bölerek grubun alt yarısını grubun üst yarısından
ayırır.
Medyan değerini hesaplayabilmek için ölçümlerin en az sıralama düzeyinde bir ölçekle
elde edilmiş olması gerekir.
Ortanca uç değerdeki aşırı puanlardan etkilenmez. Bundan dolayı uç değerlerin aşırı
puanlardan çarpık dağılımlarda grubun başarısı hakkında bilgi edinmek için aritmetik
ortalama yerine medyan değerine bakılır.
Medyandan küçük olan sayılara alt grup, büyük olan sayılara ise üst grup adı verilir.
ÖRNEK-1:
100, 75, 30,65, 45, 80,90, sayılarının medyanı kaçtır?
ÇÖZÜM-1:
Sayılar rastgele dizildiği için ilk önce sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
30, 45, 65, 75, 80, 90, 100 toplam 7 adet veri bulunmaktadır. Ortanca değer sağdan ve soldan 3
er verinin tam ortasında bulunan 75 sayısıdır.
30, 45, 65, 75 ,80, 90, 100
ÖRNEK-2:
20,8,13,45, 60, 18, 80, 100 sayılarının medyanı kaçtır?
ÇÖZÜM-1:
Sayılar rastgele dizildiği için ilk önce sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
8, 13,18, 20, 45,60, 80,100 toplam 8 adet veri bulunmaktadır. Ortanca değer sağdan ve
soldan 3 er verinin tam ortasında bulunan 20 ve 45 sayılarının toplamının yarısıdır.
8, 13,18, 20 , 45, 60, 80,100

ÖRNEK-3:
Bir ilde, bir ay boyunca alınan sıcaklıklar ve gün sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Gün Sayıları 3 5 10 8 4
Ölçülen Sıcaklıklar(Derece)( 0 C ) 12 15 23 20 25
Buna göre, bu sıcaklık değerlerinin medyanını bulunuz.
ÇÖZÜM-3:
Gün sayıları toplamı=3+5+10+8+4= 30 ( Verilerin toplamı çifttir)
Tabloda verilen sıcaklıkları öncelikle küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Gün Sayıları 3 5 8 10 4
Ölçülen Sıcaklıklar(Derece)( 0 C ) 12 15 20 23 25
Medyan=30/2 =15 yani 15. ve 16. sırada bulunan verilerin aritmetik ortalamasıdır.
12,12,12, 15,15,15,15,15, 20,20,20,……,20, 20,20, 20,20,.…,20, 23,23, …….23,25,25,25,25
Sağdan ve soldan 14 adet veriyi gruplandırırsak 14+14=28 olur. Verilerin medyanı ortada
bulunan iki sayı olan 20 ile 20 nin toplamının yarısıdır. Medyan=(20+20)/2 =20 0 C olur.
3. ARİTMETİK ORTALAMA
Bir grup elde edilen ölçümlerin( verilerin, puanların vb.) toplamının veri sayısına ( toplam
frekans) bölünmesiyle elde edilen değere denir. Aritmetik ortalama
_
x sembolüyle gösterilir.
x 1,x 2,x 3, ………….,x n biçimindeki veri gurubunun( veya elde edilen ölçümlerin-puanların)
_ x1
+ x2
+ x3
+........+ xn
aritmetik ortalaması x =
formülüyle hesaplanır
n
ÖZELLİKLERİ
Bir dağılımdaki puanların veya verilerin ağırlık merkezini temsil eder.
Dağılımlara yeni verilerin (ölçümlerin, puanların vb.) eklenmesi aritmetik ortalamayı
etkiler.
Normal dağılımlarda aritmetik ortalama grubun öğrenme düzeyi hakkında bilgi verir.
Aritmetik ortalama dağılımın iki ucundaki puanlardan oldukça fazla etkilenen bir
merkezi eğilim ölçüsüdür.

Dağılım simetrik veya simetriğe yakın olduğu durumlarda; grubun başarı düzeyi,
öğrencilerin öğrenme seviyesi ve kullanılan ölçme aracının güçlük düzeyi hakkında
bilgi edinmek için aritmetik ortalamadan faydalanılır.
ÖRNEK-1:
6,7, 10,17 sayılarının aritmetik ortalamasını bulunuz.
ÇÖZÜM-1:
A.O=Sayıların Toplamı/ Sayı adedi= (6+7+10+17) /4 =40/4 =10
ÖRNEK-2:
Bir sınavdaki öğrencilerin matematik dersinden aldıkları notları gösteren tablo aşağıdaki
gibidir.
Alınan Notlar 60 70 80 90 100
Öğrenci Sayısı 3 5 1 2 2
Buna göre, bu öğrencilerin Matematik dersinden aldıkları notların ortalamasını bulunuz.
ÇÖZÜM-2:
Sınıfta bulunan toplam öğrenci sayısı= 3+5+1+2+2=13
A.O= ( 3.60+5.70+1.80+2.90+2.100 )/ =990 /13=76.15
ÖRNEK-3:
Bir sınıfta bulunan öğrencilerin yaşları ve öğrenci sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Öğrencilerin Yaşları 11 12 13
Öğrenci Sayısı 9 10 8
Buna göre bu öğrencilerin yaş ortalamasını bulunuz.
ÇÖZÜM-3:
Sınıfta bulunan toplam öğrenci sayısı= 9+10+8=27 dir.
Öğrencilerin Yaş Ortalaması= (11.9+12.10+13.8) / 27=323/27=11.96

AĞIRLIKLI ORTALAMA (Ağ.O)
Puanların (verilerin) veya ölçümlerin ortalamaya etkilerinin farklı ağırlıkta olduğu durumlarda
ağırlık ortalama formülü kullanılır.
X 1,X 2,X 3, ………….,X n veriler (puanlar, ölçümler ) ve k 1,k 2,k 3, ………….,k n n –tane puanın
ağırlıkları olmak üzere ;
formülüyle hesaplanır.
k1.x1
+ k
2.x
Ağ.O =
k + k
1
2
2
+ k
+ k
3
.x
3
+ ...........
+ kn.x
+ .............
+ k
3
ÖRNEK-1:
Dersler Kredisi Alınan Notlar
1 Bilgisayar 2 90
2 Tarih 2 85
3 Genel Matematik 2 65
4 Materyal Tasarım 4 75
5 Matematik Öğretimi 3 80
6 Müzik 1 90
n
n
İlköğretim Matematik Öğretmenliği bölümünün 1. sınıfında okuyan Sibel’in aldığı derslere ait
kredi ve 100 üzerinden aldığı puanları yukarıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre, Sibel’in ağırlıklı
ortalamasını bulunuz.

ÇÖZÜM-1:
Alınan derslerin sayısı 6 olduğundan n=6 olur.n={1,2,3,4,5,6 }
x 1,x 2,x 3, ………….,x 6 puanlar ve k 1,k 2,k 3, ………….,k 6 6 –tane puanın ağırlıklı ortalaması
Dersler Kredisi ( t n ) Alınan Notlar ( x n ) t n.x n
1 Bilgisayar 2 90 2.90=180
2 Tarih 2 85 2.85=170
3 Genel Matematik 2 65 2.65=130
4 Materyal Tasarım 4 75 4.75=300
5 Matematik Öğretimi 3 80 3.80=240
6 Müzik 1 90 1.90=90
Toplam 14 1 110
k1.x1
+ k
2.x
2
+ k
3.x
3
+ ...........
+ k
6.x
Ağ.O =
k + k + k + .............
+ k
1
2
3
6
6
1110
= = 79,3
14
olarak bulunur.
2. MERKEZİ DAĞILIM (YAYILIM) ÖLÇÜLERİ
Bir dağılımda ölçümler arasında gözlenen farklılık ve değişikliğe değişim; veriler
arasındakideğişimden kaynaklanan farklılıkların istatiksel ölçülerine de değişim ölçüleri
denir.Merkezi yayılım ölçüleri aşağıda verilmiştir.
1. Ranj
2. Çeyrek Sapma (Kayma)
3. Varyans
4. Standart Sapma
5. Değişim Katsayısı

1. RANJ (GENİŞLİK-ARALIK) : Bir veri grubunda bulunan en büyük veri ile en
küçük veri arasındaki farka denir.
Ranj = Maksimum Puan- Minimum Puan
Ranjın büyük olması sınavın ayırt ediciliğinin yüksek olduğu anlamına gelir.
Ranj ortalamaları eşit ve örneklem sayıları eşit olan iki grubun karşılaştırılmasında
kullanılır.
Ranj gruptaki veriler hakkında çok az bigi verir.Ranj sadece maksimum ve minimum
değerlerinden etkilenir.Arada kalan diğer ölçümlerin ranj üzerinde hiçbir etkisi yoktur.
A) Gruplandırılmamış veriler (ölçümler ) için Ranjın Hesaplanması: En büyük
ölçüm(veri- puan) ile en küçük ölçüm arasındaki farka eşittir.
ÖRNEK-1: Bir Fizik dersinin sınavda alınan en yüksek puan 95 ve en düşük puan 45 ise
ranj değeri= 95-45=50 ‘ ye eşittir.Buna göre, bu sınavın puanları 50 puanlık bir aralığa
dağılmaktadır.
ÖRNEK-2:
25, 20, 25, ,30,45, 85, 45,45, 50, 45, verileri veriliyor.Buna göre, bu veri grubunun ranjı
kaçtır?
ÇÖZÜM-2:
Öncelikle veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır.
20, 25, 25 , 30 , 45 , 45 , 45, 45 , 50 , 85
n=10 ise veri gurubunun ranjı = 85-20= 65 olarak bulunur.
ÖRNEK-1:
B) Gruplandırılmış veriler (ölçümler ) için Ranjın Hesaplanması: En büyük grup
aralığının orta değeri ile ile en küçük grup aralığının orta değeri arasındaki farka
eşittir.
Puan aralığı Frekans ( f )
45-51 1
52-58 3
59-65 2
66-72 4
73-79 7

2019-2020 eğitim ve öğretim yılının bahar dönemi Analiz-II
dersinin final sınavında, alınan puanlar ve puanların
frekans değerleri yandaki tabloda verilmiştir.Buna göre,
bu puan dağılımının ranjını bulunuz.
ÇÖZÜM-1:
80-86 5
87-93 3
94-100 2
Ranj =( En büyük puan aralığın – (En küçük puan aralığın
orta noktası ) orta noktası )
94-100 95, 96 , 97 , 98,99 ortadaki değer 97 dir.
45-51 46,47, 48 , 49, 50 ortadaki değer 48 dir.
Ranj = 97- 48 = 49 olarak bulunur.
2) VARYANS ( σ 2 ) :
Bir dağılımdaki puanların ortalamadan olan sapmalarının kareleri toplamının ölçüm sayısının
bir eksiğine bölünmesiyle bulunur.Varyansın karekökü alınırsa standart sapma bulunur.bu
nedenle standart sapma için yapılan yorumlar varyans için de yapılabilir. ( σ 2 ) sembolüyle
gösterilir.
X 1,X 2,X 3, ………….,X n biçimindeki veri gurubunun ilk olarak aritmetik ortalaması
_ x1
+ x2
+ x3
+........+ xn
x =
formülüyle hesaplanır.Daha sonrada verilerin (ölçümlerinpuanların
) varyansı
n
hesaplanır.
Varyans = σ
2
_
2
(x1
- x)
+(x
=
2
- x)
2
_
+ (x3
- x)
n - 1
2
+........+(x
n
_
- x)
2
3) ÇEYREK SAPMA: Tüm ölçümlerin yerine sadece ölçümleri veya verilerin % 50 ‘ si
dikkate alınarak hesaplanan bir değişim ölçüsüdür. Merkezi eğilim ölçüsü olarak ortalama
yerine ortancanın kullanıldığı çarpık değişimlerden, değişkenlik ölçüsü olarak ortancadan olan
sapmaya ilişkin bilgiyi çeyrek sapmayı kullanarak elde ediliriz. Çünkü çeyrek sapma uç
değerlerden etkilenmez.

4) STANDART SAPMA
Standart sapmanın hesaplanabilmesi için tüm
ölçümlerin değeri ve ölçüm sayısının bilinmesi
gerekmektedir. Standart sapma, çeşitli
örneklemlerin tümünün bir veri kümesinde
ortalama etrafında ne kadar sıkı bir şekilde
kümelendiğini anlatan bir istatistiktir. Örnekler
oldukça sıkı bir şekilde bir araya getirildiğinde ve
çan eğrisi şeklindeki eğri dik olduğunda, standart
sapma küçüktür. Örnekler dağıldığında ve çan
eğrisi nispeten düz olduğunda, bu size nispeten
büyük bir standart sapmaya sahip olduğunuzu söyler. Standart sapma, verileri yorumlayanlara,
verilerin ne kadar güvenilir olduğunu veya tüm verilerin ortalamasına ne kadar yakın olduğunu
göstererek veri parçaları arasında ne kadar fark olduğunu söyler.
Standart Sapma Kullanımları
Standart sapmanın verilerin değerini anlamaya yardımcı olabileceği durumlara bazı örnekler:
Bir sınıf öğrencisi matematik sınavına girdi. Öğretmenleri testteki ortalama puanın% 85
olduğunu bulmuşlardır. Daha sonra diğer test puanlarının standart sapmasını hesapladı ve
çoğu öğrencinin% 85'e çok yakın puan aldığını gösteren çok küçük bir standart sapma buldu.
Köpeğini gezdiren bir kişi, yolundaki köpeklerin ağırlıklarının kendi köpeğinin ağırlığına yakın
olup olmadığını belirlemek istiyor. On köpeğin ağırlığının ortalamasını alır. Daha sonra varyansı
ve sonra standart sapmayı hesaplar. Standart sapması son derece yüksektir. Bu, köpeklerin
birçok farklı ağırlığa sahip olduğunu veya ağırlıklarını verilerin gerçek değerlere aykırı olan
birkaç köpeğe sahip olduğunu göstermektedir.
Bir pazar araştırmacısı yakın zamanda yapılan bir müşteri anketinin sonuçlarını analiz ediyor.
Daha büyük bir grubun aynı soruları nasıl cevaplayabileceğini tahmin etmek için ankette alınan
cevapların güvenilirliğini ölçmek istiyor. Düşük standart sapma, cevapların daha büyük bir
grup insan için çok öngörülebilir olduğunu göstermektedir.
Bir hava durumu muhabiri, her tarihte kaydedilen gerçek yüksek sıcaklığa karşı bir dizi tarih
için öngörülen yüksek sıcaklığı analiz eder. Düşük standart sapma güvenilir bir hava durumu
tahmini gösterir.
Bir grup öğrenci Dil Sanatları alanında bir teste girdi. Öğretmen sınavdaki ortalama notun% 65
olduğunu belirler. Bunun çok düşük olduğundan endişe duyuyor, bu nedenle çoğu öğrencinin
ortalamaya yakın olup olmadığını görmek için standart sapmayı belirliyor. Öğretmen standart
sapmanın yüksek olduğunu bulur. Tüm sınavları yakından inceledikten sonra öğretmen, çok
düşük puanlara sahip birkaç öğrencinin, tüm sınıfın puanlarının ortalamasını aşağı çeken aykırı
değerler olduğunu belirleyebilir.
Bir işveren, bir bölümde çalışanların tüm maaşlarının adil görünüp görünmediğini veya büyük
bir eşitsizlik olup olmadığını belirlemek istiyor. O bölümde çalışanların maaşlarının
ortalamasını bulur ve sonra varyansı ve ardından standart sapmayı hesaplar. İşveren, standart
sapmanın beklediğinden biraz daha yüksek olduğunu tespit ettiğinden verileri daha fazla
inceliyor. Çoğu çalışan benzer bir ücret aralığında yer alırken, 20 yıl veya daha uzun süredir
bölümde bulunan ve üç sadık çalışanın çok daha uzun süre şirket ile uzun ömürlü olmaları
nedeniyle diğerlerinden çok daha fazla ücret alması gerektiğini tespit ediyor. Analizi yapmak
işverenin bölümde çalışanların maaş aralığını anlamasına yardımcı olmaktadır.

X 1,X 2,X 3, ………….,X n biçimindeki veri gurubunun ilk olarak aritmetik ortalaması
_ x1
+ x2
+ x3
+........+ xn
x =
formülüyle hesaplanır.Daha sonrada verilerin
n
(ölçümlerin-puanların ) varyansı hesaplanır. Aryansın karekökü alınarak standart sapma
bulunur.
Varyans = σ
2
_
2
(x1
- x)
+(x
=
2
- x)
2
_
+ (x3
- x)
n - 1
2
+........+(x
n
_
- x)
2
S tan dart
Sapma
=
Varyans
ÖZELLİKLERİ
Dağılımdaki puanlar birbirine yaklaştıkça standart sapma küçük, puanlar
birbirinden uzaklaştıkça standart sapma büyük olur.
Standart sapmanın olabilmesi için farklı puanların (ölçümlerin veya verilerin)
olması gerekmektedir. Ölçümlerin aynı olduğu durumlarda ise standart sapma
sıfır (0) değerini alır.
Standart Sapma Büyük( yüksek olması) Değeri Alması Durumunda

Testin uygulandığı grup homojendir.
Uygulanmış olan testin güvenirliği düşüktür.
Dağılım dar bir alana yayıldığı için sivri bir görünüm halini alır.
Ölçümler (puanlar-veriler) arasındaki fark azdır.
Öğrenciler arasındaki seviye farkı azdır.
Bilen öğrencilerle bilmeyen öğrencileri birbirinden ayırt etmemiştir. Bundan
dolayı da uygulanmış olan testin ayırt ediciliği düşüktür
Standart Sapma Küçük Değeri Alması Durumunda
Testin uygulandığı grup heterojendir.
Uygulanmış olan testin güvenirliği yüksektir.
Dağılım geniş bir alana yayıldığı için basık bir görünüm halini alır.
Ölçümler (puanlar-veriler) arasındaki fark fazladır.
Öğrenciler arasındaki seviye farkı fazladır.
Bilen öğrencilerle bilmeyen öğrencileri birbirinden ayırt etmiştir. Bundan dolayı
da uygulanmış olan testin ayırt ediciliği yüksektir.
5.BAĞIL DEĞİŞKENLİK KATSAYISI (B.D.K) :
Puan dağılımının heterojenlik veya homojenlik açısından incelenmesine imkân
veren ve standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünmesiyle elde edilen
katsayının yüzde olarak ifade edilmesidir. Bağıl değişkenlik katsayısı küçük olan
grubun diğerlerine göre daha homojen, büyük olan grubun diğerlerine göre
daha heterojen olduğunu söylenir.
Bağıl değişkenlik katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranının
100 ile çarpılması sonucunda elde edilen sayıdır.
S tan dart Sapma
B .D.K =
x100
Aritmetik Ortalama
UYGULAMALAR
ÖRNEK-1:
2, 4,4,4, 5,5,7,9 sayılarının standart sapmasını bulunuz.
ÇÖZÜM-1:
Toplam veri sayısı 8 adettir. n=8
Verilerin aritmetik ortalaması (A.O)=(2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 =5

Şimdi ise aritmetik ortalama ile her bir veri arasındaki farkların karelerini bulalım.
(2-5) 2 =(-3) 2 =9 (5-5) 2 =(0) 2 =0
(4-5) 2 =(-1) 2 =1 (5-5) 2 =(0) 2 =0
(4-5) 2 =(-1) 2 =1 (7-5) 2 =(2) 2 =4
(4-5) 2 =(-1) 2 =1 (9-5) 2 =(4) 2 =16
Tüm bu değerlerin varyansını bulalım. n=8 ise n-1=8-1=7 olur.
Varyans( 2 ) =(9+1+1+1+0+0+4+16 )/ 7 =32/7 =4,57
Standart sapma varyansın kareköküne eşittir.
S.P = 32 = 4,57 ≈2,14
(Virgülden sonra iki basamak yuvarlanılmıştır.)
7
ÖRNEK-2:
6, 2, 3, 1 sayılarının standart sapmasını bulunuz.
ÇÖZÜM-2:
Aritmetik
Ortalama
_
6 + 3 + 2 +1
= x =
=
4
12
4
= 3
Veri Sayısı
x
i
_
_
x ( - x)
x i
( x
i
_
- x)
2
1 6 3 6-3=3 9
2 3 3 3-3=0 0
3 2 3 2-3=-1 1
4 1 3 1-3=-2 4
Toplam 12 14
9 + 0 + 1+
4
σ 2 =
4 - 1
14
=
3
= 4,7
S tan dart Sapma = Varyans = 4,7 ≈2,2 ( Virgülden sonra bir basamak yuvarlanılmıştır.)

ÖRNEK-3:
Bir sınıfta bulunan 5 öğrencinin boyları metre kullanılarak ölçülerek aşağıdaki tablo
oluşturuluyor.
Öğrenciler Orhan Salih Burhan Ahmet Mehmet
Boylarının
Uzunluğu(Cm.)
67 72 76 76 84
Buna göre, bu öğrencilerinin boylarının standart sapmasını bulunuz
ÇÖZÜM-3:
Aritmetik Ortalama
_
67 + 72 + 76 + 76 + 84 375
= x =
= = 75
5
5
Veri Sayısı
x
i
_
x
_
( x
i
- x)
2
( x - x)
i
_
1 67 75 67-75=-8 64
2 72 75 72-75=-3 9
3 76 75 75-76=-1 1
4 76 75 75-76=-1 1
5 84 75 84-75=9 81
Toplam 375 156
σ 64+
9 + 1+
1+
81 156
2 =
= 39
5 - 1 4
=

Stan dart
Sapma
=
Varyans =
39
≈6,24
ÖRNEK-4:
Bir üniversite kütüphanesinin rafında bulunan 12 farklı kitabın sayfa sayıları aşağıdaki tabloda
verilmiştir.
Buna göre,
Kitaplar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sayfa Sayısı 271 354 296 301 333 326 285 298 327 312 287 314
A) Bu kitapların ortalama sayfa sayısını bulunuz.
B) Sayfa sayılarının standart sapmasını bulunuz
ÇÖZÜM-4:
Sayfa sayılarının toplamı T olsun.
1. Adım:
2.Adım:
T=(271 + 354 + 296 + 301 + 333 + 326 + 285 + 298 + 327 + 316 + 287 + 314) = 3 708
Aritmetik Ortalama = 3 708 / 12=309 bulunur.
Şimdi de varyansı hesaplayalım.
Her bir kitap sayfasından ortalama kitap sayfasını çıkararak karelerini alarak toplayalım.
T 2= (271 - 309) 2 + (354 - 309) 2 + (296 - 309) 2 + (301 - 309) 2 + (333 - 309) 2 + (326 - 309) 2 +
(285 - 309) 2 + (298 - 309) 2 + (327 - 309) 2 + (316 - 309) 2 + (287 - 309) 2 + (314 - 309) 2
= (-38) 2 + (45) 2 + (-13) 2 + (-8) 2 + (24) 2 + (17) 2 + (-24) 2 + (-11) 2 + (18) 2 + (7) 2 + (-22) 2 + (5) 2
= 1,444 + 2,025 + 169 + 64 + 576 + 289 + 576 + 121 + 324 + 49 + 484 + 25
= 6,146
3.Adım:
n=12 ise n-1=12-1=11 olur.
Varyans = 6 146 / 11= 558,73 (Virgülden sonra iki basamak yuvarlama yapılmıştır.)
4.Adım:

S tan dart Sapma = Varyans =
558,73
≈23,64
DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Fibonacci dizisinin ilk 10 teriminin ortalamasını ve standart sapmasını bulunuz.
2. Elinizde bulunan roman, hikaye, bilimsel kitap vb. kitaplardan 5 tanesinin kaç
sayfa olduğunu tespit ederek ortalama kitap sayfasını ve standart sapmasını bulunuz.
3. Evinizde bulunan bireyleri yaşlarını belirleyerek yaş ortalamasını ve standart
sapmasını bulunuz.
4. Evinizde bulunan bireyleri boylarının uzunluklarını ölçerek ortalama boy
uzunluğunu, standart sapmasını ve bağıl değişkenlik katsayısını bulunuz.
5. Kendiniz bu konuya ait ve günlük hayatla ilişkili iki soru yazınız ve çözünüz.
Sonra; ad ve soyad, sınıf, öğrenci numarası ve dersin ismi olacak şekilde benim
mail adresime gönderiniz. biroltekin@amasya.edu.tr
DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜR EDERİM…..