Sissejuhatus - Tallinna Tehnikaülikool

YMM3731 Matemaatilne analüüs I 

Gert Tamberg 

Matemaatikainstituut 

Tallinna Tehnikaülikool 

gtamberg@staff.ttu.ee 

http://www.ttu.ee/gert-tamberg 

G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 1 / 25

Õppeaine sisu 

Õppeaine jaotub kahte ossa: 

1 Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9) 

2 Integraalarvutus (loengud 10-16) 

Õppeaine lõpphinne pannakse välja viiepallisüsteemis. Tudengil on 

võimalik saada oma hinne kätte semestri jooksul sooritatud 

kontrolltööde põhjal. Selleks tuleb kirjutada kolm teooria tööd 

(kollokviumi) loengumaterjali kohta ja kaks ülesannete tööd 

harjutustundide materjali kohta. Eksmihindest poole moodustab 

teooriatööde hinne, teise poole ülesannete tööde hinne. 

Esimene kontrolltöö harjutustunni materjali kohta toimub umbes 9. 

õppenädalal, teine 15. nädalal. Mõlema ülesannete kontrolltöö eest on 

võimalik saada max 100 punkti. Eksamieelduseks on mõlema 

ülesannete kontrolltöö sooritamine vähemalt 51 punktile või kahe töö 

punktide summa vähemalt 111. 


Diferentsiaalarvutus I 

Kasutatav sümboolika. Funktsiooni mõiste ja omadused. 

Elementaarfunktsioonid. 

Jada piirväärtus. Arv e. 

Funktsiooni piirväärtus. Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja 

lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate 

funktsioonide omadused. 

Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. 

Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata 

funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste 

elementaarfunktsioonide tuletised. 

Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni 

diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne 

ekstreemum. 


Diferentsiaalarvutus II 

Keskväärtusteoreemid. L’Hospitali reegel. 

Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi 

jääkliige. 

Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. 

Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 

Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 


Integraalarvutus 

Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide 

tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi 

integreerimine määramata integraalis. 

Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni 

osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude 

integreerimine. 

Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 

Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed 

integraalid. 

Määratud integraal ja selle omadused. 

Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi 

valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine määratud 

integraalis. 

Määratud integraali rakendused. Päratud integraalid. 


Kirjandus 

Tammeraid I. Matemaatiline analüüs I. Tallinn, TTÜ kirjastus, 2003. 

Piskunov N. S. Diferentsiaal- ja integraalarvutus I. Tallinn, Valgus, 

1981. 

Kangro G. Matemaatiline analüüs I. Tallinn, Valgus, 1978. 

Lõhmus A., Petersen I., Roos H. Kõrgema matemaatika 

ülesannete kogu. Tallinn, Valgus, 1982. 

Reimers E. Matemaatilise analüüsi praktikum I. Tallinn, Valgus, 

1988. 

Ruustal E., Jõgi T., Tuutmaa V. Matemaatiline analüüs I. 

Harjutused. Tallinn, TTÜ kirjastus, 1999. 


Matemaatiline analüüs 

Reaalarvud 

Matemaatiline analüüs on matemaatika osa, milles funktsioone ja 

nende üldistusi uuritakse piirväärtuste meetodil. 

Piirväärtuse mõiste on tihedalt seotud lõpmata väikese suuruse 

mõistega. Võib ka väita, et matemaatiline analüüs uurib funktsioone ja 

nende üldistusi lõpmata väikeste meetodil. 

Guillaume François Antoine de l’Hôpital (l’Hospital), Sainte-Mesme’ 

markii, d’Entremont’i krahv (1661–1704) 

Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes 

(1696). 



Reaalarvud 









(1696). 



Reaalarvud 









(1696). 


Reaalarvud Ümbrused 

Reaalarvu absoluutväärtus 

|x| = 

x, x 0 

−x, x < 0, 

4 

3 

y 

2 

1 

4 2 

0 

2 x 4 

Reaalarvu absoluutväärtusel on järgmised omadused: 

1◦ |a| 0; 2◦ |−a| = |a| ; 3◦ |a| a; 4◦ |a| −a; 

5◦ |a| − |b| |a + b| |a| + |b| ; 6◦ |a| − |b| |a − b| |a| + |b| ; 

7◦ ||a| − |b|| |a + b| ; 8◦ ||a| − |b|| |a − b| ; 

9 ◦ |ab| = |a| |b| ; 10 ◦ 

 

 

a 

 

 

= 

b 

|a| 

|b| ; 

11 ◦ |a| b ⇔ −b ≤ a b (b 0) ; 

12 ◦ |a| 0) . 


Signum-funktsioon 

⎧ 

⎨ 1, x > 0 

sgn(x) = 0, 

⎩ 

−1 

x = 0 

x < 0 


1 

y 

0.5 

4 2 

0 

2 x 

4 

Kasutades signum-funktsiooni saame absoluutväärtuse esitada kujul 

|x| = x sgn x. Absoluutväärtuse tuletis (|x|) ′ = sgn x. 

G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 9 / 25 

0.5 

1

Definitsioon (Norm) 


Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V 

seab vastavusse skalaari u ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised 

tingimused: 

1 ∀u ∈ V u 0; u = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u ∈ V , α ∈ R αu = |α|u 

3 ∀u, v ∈ V u + v u + v 

Reaalarvu x ∈ R korral sobib normiks absoluutväärtus 

 

x, x 0 

|x| := 

−x, x < 0 

n-mõõtmelise ruuumi Rn vektori x = (x1, . . . , xn) normi x2 ehk vektori 

pikkuse võime defineerida kujul 

 

|x| := x2 = x 2 1 + . . . + x 2 n 

Võttes n = 1 saame absoluutväärtuse esitada kujul |x| = x2 = √ x 2 . 






tingimused: 

1 ∀u ∈ V u 0; u = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u ∈ V , α ∈ R αu = |α|u 

3 ∀u, v ∈ V u + v u + v 


 

x, x 0 

|x| := 

−x, x < 0 



 

|x| := x2 = x 2 1 + . . . + x 2 n 







tingimused: 

1 ∀u ∈ V u 0; u = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u ∈ V , α ∈ R αu = |α|u 

3 ∀u, v ∈ V u + v u + v 


 

x, x 0 

|x| := 

−x, x < 0 



 

|x| := x2 = x 2 1 + . . . + x 2 n 



Definitsioon (Kaugus) 


Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi 

elemendile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari d(u, v) ∈ R, kusjuures 

on täidetud järgmised tingimused: 

1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u 

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) 

3 ∀u, v, w ∈ V d(u, v) d(u, w) + d(w, v) 

Kui meil on ruumis V defineeritud norm, siis võime kahe elemendi 

u, v ∈ V vahelise kauguse defineerida kujul 

d(u, v) := v − u 

Seega on kahe reaalarvu x1, x2 ∈ R vaheline kaugus leitav kujul 

d(x1, x2) = |x2 − x1| 







1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u 

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) 




d(u, v) := v − u 


d(x1, x2) = |x2 − x1| 







1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u 

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) 




d(u, v) := v − u 


d(x1, x2) = |x2 − x1| 


Ümbrused 

Definitsioon 


Hulka Uε(a) := {x ∈ V |d(a, x) < ε, ε > 0} nimetatakse punkti a ∈ V 

ε-ümbruseks. 

Reaalarvu a ∈ R korral saame 

Definitsioon 

Uε(a) = {x ∈ R|a − ε < x < a + ε}. 

Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku 

(a − ε, a], kus ε > 0. 

Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] parajasti 

siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st 

|x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a. 


Ümbrused 

Definitsioon 


Hulka Uε(a) := {x ∈ V |d(a, x) < ε, ε > 0} nimetatakse punkti a ∈ V 

ε-ümbruseks. 

Reaalarvu a ∈ R korral saame 

Definitsioon 

Uε(a) = {x ∈ R|a − ε < x < a + ε}. 

Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku 

(a − ε, a], kus ε > 0. 

Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] parajasti 


|x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a. 


Definitsioon 


Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku 

[a, a + ε), kus ε > 0. 

Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a + ε) parajasti 


|x − a| < ε, ja x ei asetse a-st vasakul, st x > a. 

Definitsioon 

Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), 

kus M > 0. 

Definitsioon 

Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku 

(−∞, −M), kus M > 0. 


Definitsioon 


Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku 

[a, a + ε), kus ε > 0. 

Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a + ε) parajasti 


|x − a| < ε, ja x ei asetse a-st vasakul, st x > a. 

Definitsioon 

Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), 

kus M > 0. 

Definitsioon 

Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku 

(−∞, −M), kus M > 0. 


Tõkestatud hulgad 

Definitsioon 

Reaalarvud Tõkestatud hulgad 

Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub 

selline positiivne arv K nii, et iga a ∈ A korral kehtib võrratus |a| < K . 

Hulk A on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli 

ümbrusesse U K (0) = (−K , K ) mingi K > 0 korral. 


Funktsioon 

Definitsioon (Funktsioon) 

Funktsioon 

Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y 

hulgast Y , siis öeldakse, et hulgal X on määratud (ühene) funktsioon f 

f 

ja seda vastavust tähistatakse kas y = f (x) (x ∈ X) või x ↦−→ y. 

Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka 

f (X) = {y| x ∈ X ∧ y = f (x)} ⊂ Y 

funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni 

f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja elementi y sõltuvaks 

muutujaks 


Definitsioon 

Funktsioon 

Kui hulga X ⊂ R igale elemendile x on vastavusse seatud element y 

hulgast Y ⊂ R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud (ühene) ühe 

(reaal-)muutuja (reaalsete väärtustega) funktsioon f . Arvupaaride 

hulka 

{(x, y)| x ∈ X ∧ y = f (x)} 

nimetatakse funktsiooni f graafikuks 


Funktsioon 

Mõiste ”funktsioon” asemel kasutatakse ka mõistet ”kujutus.” Hulka 

f (X) nimetatakse hulga X kujutiseks kujutamisel funktsiooniga f . Kui 

analüütiliselt esitatud funktsiooni y = f (x) korral ei ole funktsiooni 

määramispiirkond fikseeritud, siis funktsiooni määramispiirkonnaks X 

loetakse kõigi nende argumendi x väärtuste hulka, mille korral antud 

eeskiri y = f (x) omab mõtet. Olgu edaspidi lihtsuse mõttes 

Y = f (X). 


Funktsioon 

Enam levinud funktsiooni esitusviisid on: 

1) analüütiline esitus valemi abil, mis näitab, milliseid tehteid millises 

järjekorras tuleb teostada argumendi väärtusega, et saada vastavat 

funktsiooni väärtust; 

2) geomeetriline esitus graafiku abil; 

3) numbriline esitus tabeli abil; 

4) esitus arvutiprogrammi abil. 


Funktsioon 

Definitsioon (Mitmene funktsioon) 

Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud vähemalt üks 

hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse 

seatud mitu elementi hulgast Y , siis öeldakse, et hulgal X on määratud 

mitmene funktsioon 


Definitsioon (Liitfunktsioon) 

Funktsioonide 

ja 

Funktsioon 

y = f (x) (x ∈ X) 

z = g(y) (y ∈ Y ∧ f (X) ⊂ Y ) 

liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni 

z = g(f (x)). 


Definitsioon (Paarisfunktsioon) 

Funktsioon 

Funktsiooni f , mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti 

suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f (−x) = f (x). 

Definitsioon (Paaritu funktsioon) 

Funktsiooni f , mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti 

suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui 

∀x ∈ X : f (−x) = −f (x). 


Funktsioon 

Definitsioon (Perioodiline funktsioon) 

Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T = 0, 

et iga x ∈ X korral ka x ± T ∈ X ja f (x + T ) = f (x). Vähimat 

positiivset 

arvu T , mille korral f (x + T ) = f (x) ∀x ∈ X, nimetatakse funktsiooni 

f (x) perioodiks 


Funktsioon 

Definitsioon (Rangelt kasvav funktsioon) 

Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas 

X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, 

kehtib võrratus f (x1) < f (x2). 

Definitsioon (Rangelt kahanev funktsioon) 

Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks 

piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust 

x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f (x2). 


Funktsioon 

Definitsioon (Monotoonne funktsioon) 

Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma 

määramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav 

funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). 

Definitsioon (Rangelt monotoonne funktsioon) 

Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis 

kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev. 


Definitsioon (Pöördfunktsioon) 

Funktsioon 

Funktsiooni y = f (x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse 

funktsiooni x = f −1 (y) , mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab 

vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f (x), st 

y 

f −1 

↦−→ x ⇔ x 

f 

↦−→ y.

Sissejuhatus - Tallinna Tehnikaülikool

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?