Segregacija sipkih snovi - Univerza v Ljubljani

Univerza v Ljubljani
Fakulteta za matematiko in fiziko
Oddelek za fiziko
Segregacija sipkih snovi
Seminar, 4. letnik
Jožef Visočnik
pedagoška fizika
Mentor: dr. Daniel Svenšek
Ljubljana, 12. december 2007

KAZALO Segregacija sipkih snovi
Povzetek
Seminar obsega problematiko ločevanja med procesom mešanja sipkih snovi. V
uvodu so podane nekatere osnovne značilnosti sipkih snovi, nato pa sta opisana pojava
segregacije in stratifikacije pri sipanju sipkih snovi na kup. Pri tem so predstavljeni
nekateri modeli, ki poskušajo pojav teoretično razložiti. Na kratko je omenjena tudi
granularna konvekcija ter z njim povezana pojav in obratni pojav brazilskega oreška.
Na koncu so predstavljeni pojavi v vrtečem se bobnu (mešalcu) ter okvirna razlaga
za nastanek teh pojavov.
Kazalo
1 Uvod 4
2 Pojavi pri sipanju sipkih snovi 5
2.1 Segregacija in perkolacija sipke snovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Stratifikacija sipke snovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Teoretični modeli pri sipanju sipke snovi 7
3.1 Model BCRE (Bouchard, Cates, R. Prakash, Edwards) . . . . . . . . 7
3.2 Kanonični model (Boutreux, de Gennes, Makse) . . . . . . . . . . . . 9
3.2.1 Minimalni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.2 Razširitev minimalnega modela . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Model Maxse-a, Cizeau-ja in Stanley-ja . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Pojavi pri stresanju sipkih snovi 13
4.1 Granularna konvekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Pojav brazilskih oreškov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Obratni pojav brazilskih oreškov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Pojavi pri mešanju sipkih snovi v bobnu 16
5.1 Radialna segregacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Aksialna segregacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Sklep 17
2 12. december 2007

Segregacija sipkih snovi SLIKE
Slike
1 Segregacija in perkolacija pri sipanju sipke snovi . . . . . . . . . . . . 6
2 Stratifikacija pri sipanju sipke snovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Skica modela BCRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Možnosti pri trkih delcev ter koncentracija različno hrapavih delcev . 11
5 Koncentracija pri mešanici različno velikih delcev, koncentracija pri
stratifikaciji in model stratifikacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 NMR premika delcev po nekaj stresljajih ter hitrostni profil . . . . . 14
7 Skleda raznih oreškov ter pojav brazilskih oreškov . . . . . . . . . . . 15
8 Konvekcija, vpliv stene nanjo ter obratni pojav brazilskih oreškov . . 15
9 Mešanje sipke snovi v bobnu ter skica slojev . . . . . . . . . . . . . . 16
10 Vzorca radialne segregacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11 Aksialna segregacija ter vpliv radija nanjo . . . . . . . . . . . . . . . 18
Tabele
1 Delitev sipkih snovi po velikosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
12. december 2007 3

1. Uvod Segregacija sipkih snovi
1 Uvod
Velik del vsake industrijske proizvodnje predstavlja transportiranje ter mešanje
raznih snovi v različnih agregatnih stanjih. Eno izmed slabše raziskanih področij pri
tem so procesi pri mešanju snovi v trdnem agregatnem stanju v obliki sipkih snovi
ter njihov transport, ki pa obsega velik delež v raznih panogah industrije. Najbolj
razširjena predstavnika sipkih snovi na Zemlji sta pesek, ki ga v izobilju najdemo v
puščavah, ter sneg v gorah in na obeh polih. V industriji pa najpogosteje sipke snovi
najdemo v
kmetijstvu: umetna gnojila, razna semena, vsi kmetijski pridelki,
farmaciji in kozmetični industriji: zdravila, tablete, pudri, kreme,
prehrambeni industriji: začimbe, sadje, aditivi, kosmiči,
gradbeništvu: cement, apno, gramoz, pesek, asfalt in ostali gradbeni materiali,
rudarstvu: premog, vse vrste rudnin.
V večini naštetih panog je pomembna sestava končnih produktov ter tudi stroški,
nastali pri mešanju in transportu začetnih surovin ali končnih izdelkov. Zato so
raziskave obnašanja sipkih snovi med drugimi pomembne za natančnost ter izkoristek
proizvodnje. V industriji je bilo to področje kar nekaj časa zapostavljeno.
Klasifikacija sipkih snovi se je v 20. stoletju rahlo spreminjala. V tabeli 1 omenimo
le klasifikacijo po Duranu [1, 2] (povzeto po definiciji iz [3] iz leta 1970). Po njem
lahko sipke snovi v grobem razdelimo na praške s premerom 1 − 100 µm in trdnine s
premerom nad 100 µm.
prašek trdnina
poimenovanje hiperfini superfini zrnati zrnata zdrobljena
premer delcev [µm] 0.1-1 1-10 10-100 100-3000 >3000
Tabela 1: Obstaja mnogo delitev sipkih snovi po velikosti. Prikazana delitev po
Duranu (iz leta 1997) sipke snovi grobo deli na praške in trdnine. Vir: [1].
Sipke snovi imajo veliko večji premer delcev, kakor molekule tekočine. Če zlijemo
v posodo dve različni tekočini, postane tekočina zaradi Brownovega gibanja ter difuzije
molekul sčasoma homogena, česar pri mešanju dveh različnih sipkih snovi ni
opaziti. Torej mora biti termična energija delcev sipke snovi zanemarljiva v primerjavi
s potencialno ter kinetično energijo molekul, v kolikor je vdelcev > 0 [18]. Za oceno
si oglejmo najmanjši radij delcev sipke snovi iz stekla, če za potencialno energijo vzamemo
energijo težišča delcev: mgd/2 = kBT/2, pri gostoti stekla ρ = 2500kg/m 3 ter
temperaturi T = 300K. Izrazimo maso m = 3ρπd 3 /4 ter izračunamo:
d = 4
4kBT
3πρg
= 4
4 · 1.38 · 10 −23 · 300J K m 3 s 2
3π2500 · 9.81K kg m
≈ 5.2 · 10 −7 m = 0.52µm . (1)
4 12. december 2007

Segregacija sipkih snovi 2. Pojavi pri sipanju sipkih snovi
Vidimo lahko, da ima na obnašanje delcev sipke snovi največji vpliv gravitacija [1, 4].
Zaradi mešanja sipkih snovi, ki se med seboj ločijo po velikosti, gostoti, hrapavosti ali
obliki, je sipke snovi zelo težko matematično opisati ter ustvariti natančne teoretične
modele.
2 Pojavi pri sipanju sipkih snovi
Če imamo različne snovi z delci, ki imajo podobne fizikalne lastnosti, in bi jih
radi zmešali, bomo po kakršnem koli mešanju vedno dobili homogeno mešanico teh
snovi. V realnosti pa se delci posameznih sipkih snovi največkrat ločijo med seboj
po gostoti, velikosti, obliki, prožnosti ter hrapavosti površine delcev ali kaki drugi
lastnosti. Tako ne smemo zlahka predpostaviti, da bo mešanica dveh ali več različnih
snovi z različnimi lastnostmi delcev tudi homogena. O tem ne smemo biti prepričani
niti, če npr. v drugo posodo presipamo že homogeno mešanico.
2.1 Segregacija in perkolacija sipke snovi
Za začetek si oglejmo mešanice dveh sipkih snovi z delci različnih velikosti, oblik ter
hrapavosti površine. Pri sipanju homogene mešanice dveh snovi, ki se med seboj ločita
le v velikosti delcev, opazimo, da se večji delci zberejo bolj na dnu in na spodnjem
robu nastalega klanca, manjši delci pa ostanejo raje na sredini in na vrhu klanca
[5, 6]. Pri padanju delcev na vrh že nastalega kupa se delci gibljejo, zato imajo delci
v vrhnji plasti hitrost, različno od nič, hitrostni profil pa sega le nekaj premerov
delcev v globino. Pri premikih delcev se manjši delci zaradi nastalih lukenj vedno
lažje prerinejo pod večje. Pojav poznamo pod imenom perkolacija.
Tako se v zgornji plasti toka ponavadi zberejo večji, v notranjosti pa manjši delci
[5–9]. Zaradi manjše hitrosti ter večjega števila trkov se manjši delci tako ustavijo
blizu vrha klanca, večji delci pa se premaknejo vse do vznožja klanca (slika 1). Do
enakega rezultata pridemo, če so delci obeh snovi enake velikosti, a so delci ene vrste
bolj grobi, drugi pa bolj gladki. Takrat je ob vznožju klanca veliko več delcev z bolj
gladko površino. Rezultat procesa torej ni homogena mešanica, kakor bi predpostavili,
temveč prevladujejo v spodnjem delu klanca delci ene, na vrhu klanca pa delcu druge
vrste, kar je lepo vidno že iz prej omenjene slike 1.
2.2 Stratifikacija sipke snovi
Sipanje mešanice dveh sipkih snovi z delci različnih velikosti po klancu si oglejmo
podrobneje. Na razporeditev delcev po klancu poleg velikosti delcev vpliva tudi hrapavost
njihove površine [5]. Če so večji delci bolj gladki od manjših, dobimo torej že
prej opisan pojav perkolacije: večji delci so bolj na površini toka, manjši v notranjosti.
V obratnem primeru, ko so večji delci bolj grobi od manjših, še vedno lahko opazimo
perkolacijo, ki pa več ni tako izrazita. Namesto tega se opazi drug pojav.
12. december 2007 5

2.2 Stratifikacija sipke snovi Segregacija sipkih snovi
Slika 1: Pri sipanju homogene mešanice dveh vrst sipkih snovi, pri katerih se delci
razlikujejo v velikosti (ali hrapavosti površine), se mešanica loči tako, da so večji (bolj
gladki) delci ob vznožju klanca, manjši (bolj hrapavi) delci pa so blizu vrha klanca.
Izid poskusa kaže slika levo. Vir: [7]. Do samega pojava pride zaradi perkolacije v
tekoči plasti, kar nakazuje slika desno. Vir: [5].
Zaradi večje hrapavosti površine večjih delcev so le-ti bolj upočasnjeni, zato uspe
manjšim delcem pristati dlje po klancu navzdol. Razporeditev delcev po velikosti
v toku po klancu pa ostane zaradi perkolacije vse do vznožja klanca enaka: manjši
delci ostanejo ujeti v notranjosti, večji delci pa se nahajajo na površju. Ko se po
tako nastalem klancu kotali naslednji tok delcev ter se razporedi enako, kot končno
sliko dobimo alternirajočo plast delcev, vzporedno naklonu klanca. Pojav imenujemo
spontana stratifikacija in je prikazana na sliki 2.
V laboratoriju se perkolacija ter stratifikacija ponavadi opazujeta v 2D posodi. Za
to uporabimo ozko dolgo posodo, ki jo ponekod omenjajo pod imenom celica Hele-
Shaw [5]. Vanjo na enem robu vsujemo sipko snov ter opazujemo razporeditev delcev.
Slika 2: Pri sipanju homogene mešanice dveh vrst sipkih snovi v posodo je prevladujoč
pojav stratifikacija, dobro pa se opazi tudi že prej omenjena segregacija zaradi razlik v
velikosti ali hrapavosti delcev. Na klancu dobimo slojevito razporeditev snovi. Desna
slika je povečan izsek leve slike. Vir: [7].
6 12. december 2007

Segregacija sipkih snovi 3. Teoretični modeli pri sipanju sipke snovi
3 Teoretični modeli pri sipanju sipke snovi
Poskušajmo sedaj s fizikalnimi prijemi opisati dogajanje pri segregaciji ter stratifikaciji.
Najpogosteje preučevanje sipkih snovi poteka preko eksperimentalno pridobljenih podatkov,
iz katerih poiščemo parametre opazovanega pojava, ter zgradimo ustrezen
model, ki bi se čim bolje ujemal z izmerjenimi podatki. Zaradi kompleksnosti pojavov
se velikokrat oblikuje več neodvisnih teoretičnih modelov, ki so zgrajeni na različnih
temeljih z različnimi predpostavkami. Včasih se ti modeli povezujejo in nadgrajujejo,
včasih pa iz podobnih temeljev izhaja več različnih med seboj neodvisnih modelov.
Ker je modelov veliko, bodo v nadaljevanju na kratko opisani model BCRE, kanonični
model ter model Makse-ja, Cizeau-ja in Stanley-ja ter s fizikalnim znanjem pojasnili
segregacijo ter stratifikacijo mešanice dveh sipkih snovi z različnimi delci.
3.1 Model BCRE (Bouchard, Cates, R. Prakash, Edwards)
Model BCRE je bil prvi resnejši model, ki je pokazal, kako opisati dinamiko vrhnje
plasti kupa (klanca) sipkih snovi. Na podlagi predhodnih del Hwaja in Kardarja
[10, 11] so ga razvili Bouchaud, Cates, R. Prakhas in Edwards [12, 13]. Za razliko od
izhodiščnega (podobnega) modela so predpostavili dve fazi pri sipanju sipke snovi po
klancu: podlago iz mirujočih delcev ter gibajoč se sloj delcev na njej (slika 3).
Tako so izhajali iz dveh hidrodinamskih količin: višine mirujočih delcev h(x, t)
ter dolžinske gostote gibljivih delcev R(x, t) v točki x, ob času t. Povezavo obeh
spremenljivk opisuje kontinuitetna enačba
∂R(x, t)
∂t
∂[vR(x, t)]
= − +
∂x
∂
∂x
D
∂R(x, t)
+ Γ(R(x, t), h(x, t)) , (2)
∂x
kjer je v(x, t) hitrost premikajočih se delcev na koordinati x, z D pa je označena difuzijska
(ali disperzijska) konstanta. Zaradi enostavnosti model predpostavlja hitrost
delcev ter difuzijsko konstanto kot konstantni količini v prostoru in času. Prvi člen
enačbe nam predstavlja prispevek pretoka delcev v točki x, člen z difuzijsko konstanto
D pa opisuje vpliv delcev na okolico točke x, saj gibajoč delec lahko vpliva na višje
ležeč delec, ki se npr. zaradi večjega lokalnega naklona začne gibati. Ta člen prispeva
torej k širjenju motnje po klancu navzgor ali navzdol in poskrbi tudi za “zgladitev”
motenj na klancu (npr. lukenj). Člen Γ(R(x, t), h(x, t)) pa prikazuje izmenjavo gibajočih
se delcev v mirujoče in obratno.
Izpeljimo sedaj še funkcijo Γ. Zato predpostavimo, da
• mirujoči delci ne morejo brez interakcije z že gibajočimi se delci pridobiti hitrosti,
različne od 0,
• mora biti naklon klanca −dh/dx v točki x večji od neke kritične vrednosti Sc,
če želimo mirujoče delce uspešno izbiti (jim dati gibalno količino),
• se pri naklonu, manjšem od kritičnega, vsak gibajoč delec (samostojno) zagozdi
ter postane mirujoč,
12. december 2007 7

3.1 Model BCRE (Bouchard, Cates, R. Prakash, Edwards) Segregacija sipkih snovi
H
ϕ
0
R(x,t)
v
x
h (x,t)
Slika 3: Izhodišče modela BCRE je bil 2D klanec snovi, postavljen na vodoravni plošči.
Na vrh kupa sipljemo sipko snov z volumskim tokom φ. Model opisuje dogajanje na
klancu s spremenljivkami višina mirujočega kupa delcev h(x, t) ter dolžinska gostota
R(x, t) gibljivih delcev, ki imajo hitrost v. Na koncu klanca nas dogajanje pri tem
modelu ne zanima, zato tam sipka snov pada čez rob plošče. Vir: [12].
• se poskuša površina pri ∂h/∂x = Sc, a ∂ 2 h/∂x 2 = 0 (luknja, izboklina) čim bolj
napolniti ali izravnati.
• sta procesa pri zadnjih dveh alinejah sorazmerna z R(x, t)
Iz predpostavk dobimo najosnovnejšo obliko funkcije Γ:
Γ(R(x, t), h(x, t)) = −R(x, t)(γ ∂h
∂x + κ∂2 h
) (3)
∂x2 s konstantama γ, κ > 0. Funkcija je linearno odvisna od R in h, vendar sama ni
linearna. Z določitvijo Γ lahko sedaj izračunamo še višino mirujočih delcev h(x, t) z
upoštevanjem izmenjave delcev v mirujočem in gibajočem se sloju:
∂h
∂t
= −Γ(R, h) = R(x, t)
γ ∂h
∂x + κ∂2
h
∂x
X
. (4)
Zapisane enačbe so osnova za model BCRE, ki poskuša z matematičnimi enačbami
napovedati razvoj površine sipke snovi, katere naklon je blizu kota mirovanja. Kot
mirovanja ∗ je tisti naklon klanca, pri katerem se z zunanjo motnjo (npr. padajoč
delec) še lahko sprožijo plazovi. Z modelom so najprej napovedali razvoj površine pri
majhni izboklini, pri motnji v obliki sinusnega vala ter izračunali čas, pri katerem se
na klancu z motnjo ob njegovem vznožju vzpostavi ravnovesno stanje.
∗ Pri sipkih snoveh je definiranih še več različnih kotov, ki pa pri teh pojavih niso pomembni.
Obširnejša razlaga kotov se najde v npr. [1].
8 12. december 2007

Segregacija sipkih snovi 3.2 Kanonični model (Boutreux, de Gennes, Makse)
3.2 Kanonični model (Boutreux, de Gennes, Makse)
S kanoničnim modelom, ki so ga postopoma iz modela BCRE oblikovali Boutreux,
de Gennes in Makse, želimo dobiti veljaven model, s katerim bi pojasnili segregacijo
mešanice dveh sipkih snovi, ki se razlikujejo po velikosti in/ali površinskih lastnosti
delcev, ko jih sipljemo v 2D silos (posodo). Celotna izpeljava je sestavljena iz
treh člankov. V prvem delu [14] so predstavljeni temeljni prijemi poenostavljenega
kanoničnega modela, s katerimi lahko izračunamo segregacijo mešanice dveh snovi z
enako velikimi delci, a različno hrapavostjo površine, ter določimo profil koncentracije
v 2D kupu (silosu). Tak model sta avtorja poimenovala minimalni model. Ker ga je
najlažje razumeti, si ga bomo v nadaljevanju tudi ogledali. V drugem delu [15] je minimalni
model posplošen še na segregacijo delcev z enakimi površinskimi lastnostmi,
a različno velikimi delci. V tretjem delu [16] pa je opisan splošen kanonični model ter
predstavljeni primeri z razlikami v različnih lastnostih delcev.
3.2.1 Minimalni model
Na podlagi minimalnega modela spoznajmo sedaj osnovno kanoničnega modela.
Imejmo 2D posodo širine 2L, ki jo pri x = L polnimo z volumskim tokom 2Q. Podobno
kaže slika 3, le da posoda tokrat sega od 0 < x < 2L. Mešanica sipke snovi naj vsebuje
enako velike delce z enakimi fizikalnimi lastnostmi, a različno hrapavostjo površine.
Zaradi simetričnosti opazujemo le eno polovico posode 0 ≤ x ≤ L. Enačba (2) se pri
kanoničnem/minimalnem modelu preoblikuje v
∂R(x, t)
∂t
∂R(x, t)
= v(x, t) + γθ(x,
t) − θ0 R(x, t) , (5)
∂x
kjer je v tem primeru θ(x, t) kot naklona (tan[θ(x, t)] = ∂h(x, t)/∂t ≈ θ(x, t)), θ0
kot mirovanja, konstanta γ pa ima vlogo frekvence in označuje pogostost trkov enega
delca. Višinski profil kupa dobimo iz enačbe (4):
∂h(x, t)
∂t
= −Γ(R, h) = −γ
θ − θ0 R(x, t). (6)
Razlikujmo sedaj delce ene ter druge sipke snovi. Potrebovali bomo kot mirovanja
θ0 obeh sipkih snovi, opazovali pa volumski delež mirujočih delcev φ(x, t) ter gostoto
gibajočih se delcev R(x, t). Bolj grobi delci naj imajo indeks “↑” ter večji kot mirovanja,
manj grobi pa indeks “↓” ter manjši kot mirovanja. Vemo φ↑(x) + φ↓(x) = 1
ter predpostavimo, da je razlika med kotoma mirovanja posamezne čiste sipke snovi
majhna: ψ = θ↑0 − θ↓0. Enačbo pretoka za posamezne delce (↑ in ↓) zapišemo sedaj
v obliki
∂Ri
∂t
∂Ri
= vi
∂x +
∂Ri
∂t trk
, (7)
kjer pomeni (∂Ri/∂t)trk celoten prispevek delcev i ∈ {↑, ↓} k R zaradi trkov z mirujočimi
delci. Omejimo se le na trke med dvema delcema ter si oglejmo različne možnosti
pri trku gibajočega se delca i z mirujočim delcem j, ki je lahko enak ali drugačen,
i, j ∈ (↑, ↓), vendar i = j (slika 4 levo):
12. december 2007 9

3.2 Kanonični model (Boutreux, de Gennes, Makse) Segregacija sipkih snovi
• povečanje števila gibajočih se delcev: pri izbitju delca i z enakim delcem i zapišimo
(∂Ri/∂t)trk = ai(θ)φiRi, pri izbitju drugega delca j (z delcem i) pa
(∂Rj/∂t)trk = xi(θ)φjRi,
• zmanjšanje števila gibajočih se delcev: pri absorpciji delca i lahko označimo
(∂Ri/∂t)trk = −bi(θ)2Ri,
• izmenjava delca prispeva člen oblike (∂Ri/∂t)trk = −zi(θ)φjRi ter (∂Rj/∂t)trk =
zi(θ)φjRi,
• odboj delca ne vpliva na (∂Ri/∂t)trk
Funkcije ai(θ), xi(θ), bi(θ) in zi(θ) so pozitivne ter odvisne le od kota mirovanja θ.
Pri minimalnem modelu zanemarimo izmenjavo delcev zaradi zanemarljivega števila
izmenjanih delcev glede na skupno število povečanih ter odbitih (gibajočih se) delcev.
S tem se enačbe zelo poenostavijo (ai = bi = xi = mi), posamezne prispevke pa lahko
zapišemo v matriko trkov:
(∂R↑/∂t)trk
=
(∂R↓/∂t)trk
ˆ
R↑
M ,
R↓
ˆ
γ↑(θ − θ↑) − m↑φ↓
m↓φ↑
M =
. (8)
m↑φ↓
γ↓(θ − θ↓) − m↓φ↑
Zgoraj zapisana matrika (8) je kanonična oblika matrike trka.
Enačbe (5 – 8) tvorijo osnovo minimalnega modela, ki ga dobimo s poenostavitvijo
nekaterih spremenljivk kanoničnega modela. Za oceno koncentracij zanemarimo
izmenjavo delca z delcem druge vrste ter izenačimo: m↑ = m↓ = m, γ↑ = γ↓ = γ in
v↑ = v↓ = v. Privzamemo, da so ti parametri ter θ↑ in θ↓ neodvisni od koncentracije
obeh snovi v zmesi. Z modelom izračunamo koncentracijo delcev v mirujočem ter
“tekočem” delu sipke snovi:
φ↑ = 1 + r R↓
R↑
R R , R↑(x) =
φ↓ = 1 − r R↑
R↓
R R , R↓(x) =
R(x)
1 + Q↓
Q↑
R(x)
1 + Q↑
Q↓
L
x
x
L
r
(9)
r , (10)
kjer je R(x) = (Q/L)x/v in r = γψ/m. Zavedamo se, da se grobost delcev s kotaljenjem
po klancu zmanjšuje (zaradi vedno večje koncentracije gladkih delcev), zato
nas zanima koncentracija mešanice ob vznožju klanca ter pri d/ψ ≤ x ≪ L. Če velja
Q↓/Q↑(ψL/d) r ≤ 1, je ob vznožju več delcev (↓), vendar dobimo v splošnem še vedno
mešanico obeh delcev. V primeru, da pa je Q↓/Q↑(ψL/d) r ≫ 1, imamo ob vznožju
klanca situacijo (slika 4 desno)
R↓
R 1 , φ↓ 1 (11)
R↑
R
Q↑
Q↓
x
L
r
≪ 1 in θ θ↓ + ψ Q↑
Vidimo, da ob vznožju klanca sipke snovi prevladujejo delci iste vrste (↓).
Q↓
x
L
r
. (12)
10 12. december 2007

Segregacija sipkih snovi 3.2 Kanonični model (Boutreux, de Gennes, Makse)
1
2
1
1
a b
1
x z
1
1
2
1
1
1
1
φ α (x)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 20 40 60 80 100
Slika 4: Imamo štiri možnosti pri trku gibajočega ter mirujočega delca (slika levo):
delec lahko izbije sebi enak delec (a1) ali nasproten delec (x1). Pri tem se oba delca
premikata naprej. Lahko pa se delec zaustavi na sebi enakemu delcu (b1) ali pa na
nasprotnem delcu (z1). Slika desno prikazuje končno volumsko koncentracijo mirujočih
delcev v kupu sipke snovi pri segregaciji mešanice različno hrapavih delcev s slike
1. Z indeksom “r” so označeni bolj grobi, z “m” pa bolj gladki delci. Vir: [16].
3.2.2 Razširitev minimalnega modela
Minimalni model opiše torej segregacijo enako velikih delcev, ki se razlikujejo le v
hrapavosti površine. Sedaj želimo v model segregacije vključiti še razliko v velikosti
delcev, pri čemer upoštevamo že prej omenjene prijeme pri razlikovanju delcev po
masi ter površinskih lastnostih. Pri tem so enačbe (5 – 7) izhodišče za tak model.
Razlika do minimalnega modela je le, da moramo na novo izračunati le izmenjavo
delcev (∂Ri/∂t)trk kot funkcijo θ in Ri, torej tudi funkcije ai(θ), xi(θ), bi(θ) in zi(θ).
V splošnem nam te funkcije opisujejo interakcije med delci, in sicer opisujeta funkciji
a in x povečevanje števila gibajočih se zrnc (izbitje mirujočih delcev), funkciji b in z
pa zmanjševanje števila zrnc (zaustavitev gibajočih se delcev).
Spet ločimo primere trkov z delci, tokrat za večje ter manjše delce enako, kakor
za minimalni model. Razlika je le ta, da tokrat upoštevamo tudi izmenjavo gibajočih
delcev z mirujočimi ter zaustavitev delca na delcu druge vrste. Pri splošnem modelu
pride do izraza še posebej zaustavitev delca na drugačnem delcu zaradi različnih
velikosti delcev ter s tem tudi do različne verjetnosti za zaustavitev ali izbitje večjih
in manjših delcev. Za mešanico sipke snovi, katere delci se razlikujejo le v velikosti
(indeks “v” - večji, “m” - manjši), za matriko trkov dobimo:
ˆM =
γ(θ − θm(φv)) − xm(θ)φv
xm(θ)φv
kjer se lahko funkciji xm(θ) in xv(θ) zapišeta kot
x
φ
r
φ
m
xv(θ)φm
γ(θ − θv(φm)) − xv(θ)φm
L
, (13)
xm(θ) = γ
2 (θ − θ0) + x0 , xv(θ) = xm(θ) + (xv − xm) . (14)
Pri enakih začetnih pogojih, kakor za minimalni model ter pri privzetku, da se delci
12. december 2007 11

3.3 Model Maxse-a, Cizeau-ja in Stanley-ja Segregacija sipkih snovi
obeh snovi ločijo le v velikosti, za rezultat dobimo
φm = 1 + ξ
φv = 1 − ξ
Rv
Rm
R
xvRv + xmRm
Rm Rv
xvRv + xmRm R
(15)
, (16)
kjer je ξ = γψ − (xv(θ) − xm(θ)). Zgornje enačbe so predstavljene na sliki 5 levo.
S kanoničnim modelom tako lahko opišemo segregacijo mešanice sipke snovi za
različne lastnosti delcev posamezne sipke snovi [16]. Za pojav stratifikacije pa moramo
upoštevati še segregacijo snovi v tekoči plasti, ki se zgodi zaradi pronicanja manjših
delcev pod večje. Poskusi so pokazali, da se stratifikacija zgodi, kadar je razmerje
premerov delcev dv/dm > 1.5. V kanonični model ta pojav vključimo tako, da namesto
Rm(x, t) pišemo Rm(x, t) exp[−λRv(x, t)/R(x, t)]. Eksponentni člen poskrbi, da pri
Rm ≪ Rv/λ večji delci ne interagirajo z mirujočimi delci sipke snovi (torej so večji
delci na površini tekočega sloja). Brezdimenzijski parameter λ > 0 meri stopnjo
perkolacije. Rezultati modela (slika 5 desno) se lepo ujemajo z eksperimentalnimi
podatki ter podobnimi modeli.
φ α (x)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 20 40 60 80 100
Slika 5: Na podlagi enačbe (16) dobimo volumsko koncentracijo mirujočih delcev v
kupu sipke snovi pri segregaciji mešanice različno velikih delcev. Zelo lepo se opazi
segregacija delcev. Z indeksom “s” so označeni manjši, z “l” pa večji delci. Vir: [15].
Na podlagi kanoničnega modela lahko predstavimo pojav stratifikacije mešanice sipke
snovi z delci različnih lastnosti. Slika (a) prikazuje potek koncentracije velikih gladkih
zrnc ter majhnih grobih zrnc, (b) pa sliko izračunanega modela. Vir: [16].
3.3 Model Maxse-a, Cizeau-ja in Stanley-ja
Model je postavljen na temeljih eksperimentalnih opazovanj, kjer so prišli do zaključkov,
da je segregacija povezana z razliko v velikosti delcev, stratifikacija pa povezana
z razliko med kotom mirovanja obeh čistih sipkih snovi [17]. S pomočjo zvezne
obravnave se osredotoča na izračune segregacije ter stratifikacije mešanice manjših,
bolj grobih, ter večjih, gladkejših delcev. Predpostavimo, da je kot mirovanja manjših
delcev θ11 manjši od kota mirovanja večjih delcev θ11 < θ22, kot mirovanja večjih
delcev nad manjšimi delci θ21 pa manjši od kota mirovanja manjših delcev nad večjimi
delci θ21 < θ12. Velja še θ21 < θ11 < θ22 < θ12. Izhodišče modela so enačbe
12 12. december 2007
x
φ
φ
2
1
(a)
L
(b)

Segregacija sipkih snovi 4. Pojavi pri stresanju sipkih snovi
kanoničnega modela (5) in (6). Razlika med kanoničnim modelom ter tem modelom
(MCS) je drugačna obravnava interakcije trkov med gibajočimi ter mirujočimi delci,
saj predpostavlja, da je Γi = Γi(Ri, φj, θ(x, t)). Tako izpeljava pripelje do sklepa
Γi =
γi(θ − θi(φj))Ri , če θ < θi(φj)
γiφi(θ − θi(φj))Ri , če θ > θi(φj)
. (17)
Člen interakcije Γi upošteva dva procesa: zaustavitev delcev, če je θ < θi(φj), ter
izbitje novega delca iz mirujoče podlage pri θ > θi(φj). Na podlagi teh predpostavk
lahko napovemo, da se pri pogoju θ11 > θ22 v snovi pojavi le segregacija, pri θ11 < θ22
pa tudi stratifikacija. Napoved modela se ujema tako z eksperimentalnimi opazovanji,
kakor tudi s kanoničnim ter ostalimi modeli.
4 Pojavi pri stresanju sipkih snovi
Že v uvodu je bilo poudarjeno, da ima termalna energija na gibanje delcev sipke
snovi zanemarljiv vpliv. Če vseeno želimo opazovati gibanje delcev, moramo sipki
snovi dovajati energijo. Izmed mnogih načinov največkrat energijo dodajamo z vertikalnimi
ali horizontalnimi vibracijami. Ker je pojavov, ki jih pri tako izvajanih
poskusih opazimo, veliko, se bomo osredotočili le na granularno konvekcijo ter pojave,
ki pri tem nastanejo.
4.1 Granularna konvekcija
Vertikalno stresanje posode sipke snovi z z(x) = A sin(ωt) povzroči, da se delci
sipke snovi premaknejo glede na svojo trenutno lego. Če je pospešek delcev (ponekod
zapisan v razmerju Γ = Aω 2 /g) dovolj velik (torej Γ > 1), se delci premaknejo s svoje
stare lege na neko bližnjo lego. Ob nenehnem stresanju posode lahko v sami posodi
govorimo o hitrosti delcev. Hitrostni profil na sliki 6 nam pokaže, da imajo delci na
sredi posode pozitivno hitrost, ob robovih pa negativno [18].
Na sredi ter ob stenah posode imajo delci vertikalno hitrost. Na vrhu in na dnu
posode pa je gibanje omejeno le na horizontalno ravnino, vendar tok delcev velikokrat
povzroči, da se na površini oblikuje kup. Snov ob nenehnem stresanju posode kroži,
zato tako gibanje imenujemo granularna konvekcija. Če si hitrostni profil (slika 6
desno) ogledamo natančneje, vidimo, da se hitrost v notranjosti posode z radijem ne
spreminja veliko, v zelo ozkem pasu ob stenah pa opazimo močno negativno hitrost.
To nas privede do sklepa, da na konvekcijo vpliva trenje med delci ter steno posode,
ki je večje, kakor trenje med samimi delci.
4.2 Pojav brazilskih oreškov
Pri stresanju sipke snovi ponavadi posodo stresamo v navpični smeri. V kapljevinah
je vzrok za nastanek sile vzgona posameznega dela tekočine razlika v gostoti
12. december 2007 13

4.3 Obratni pojav brazilskih oreškov Segregacija sipkih snovi
Slika 6: Že po nekaj tresljajih se delci sipke snovi premaknejo tako, da se na skrbno
pripravljenem vzorcu, sestavljenega iz vodoravno postavljenih slojev steklenih kroglic
ter makovih zrnc, opazi smer, v katero se posamezen del snovi premakne. Slika levo
je nastala s pomočjo jedrske magnetne resonance, slika desno pa predstavlja hitrostni
profil v treh posodah različnega premera (črtkane črte). Vir: [18].
oz. razlika v temperaturi dela tekočine z okoliškimi deli [2]. V sipki snovi so namesto
teh pojavov odločilne lastnosti delcev sipke snovi. Zanimiv pojav opazimo, kadar se
v sipki snovi med delci enakih velikosti znajdejo delci, veliko večji od ostalih. Pri poskusih
se pokaže, da se večji delci sčasoma pojavijo na površju ter tam tudi ostanejo.
Enako se zgodi pri stresanju mešanice raznih oreškov, kjer na vrhu najdemo vedno
najdebelejše - brazilske oreške, zato pojav zasledimo pod imenom pojav brazilskih
oreškov (angl. brazil nut effect - BNE, slika 7 levo). Možnih razlag za nastanek tega
pojava je več.
Velik vpliv na pojav brazilskih oreškov ima razlika v velikosti delcev. Manjši
delci pri stresanju zaradi nastalih lukenj lažje preidejo pod večje (perkolacija), zaradi
česar se ti začnejo počasi dvigovati proti površju [19]. Če je velikih delcev v mešanici
snovi veliko, se s perkolacijo zniža težišče sistema, ki v prvotnem stanju ni najnižje.
Manjši delci namreč delno zapolnijo prazne prostore med velikimi delčki, zato se
težišče celotnega sistema zniža (slika 7 desno). Druga razlaga tega pojava se opira na
statistiko, saj je manj verjetno, da več manjših delcev naredi mesto enemu večjemu,
kakor pa en večji delec naredi mesto vsaj enemu manjšemu. Zanimivo dejstvo pa je,
da se večji delci pojavijo na površini, tudi če imajo mnogo večjo gostoto, kakor manjši
delci. Razlaga za pojav brazilskih oreščkov je lahko tudi granularna konvekcija. Trenje
med steno ter delci povzroči konvekcijo, s katero večji delci “priplavajo” na površje.
Zaradi ozkega toka ob steni posode (slika 6) pa večji delci ne sledijo toku navzdol ter
zato ostanejo na površini [4, 20] (slika 8 levo).
4.3 Obratni pojav brazilskih oreškov
Ves ta čas smo privzeli, da je trenje med steno posode ter delci večje, kakor trenje
med samimi delci. Zaradi tega je ob tresenju posode v sredini tok delcev potoval
14 12. december 2007

Segregacija sipkih snovi 4.3 Obratni pojav brazilskih oreškov
Slika 7: Pojav, da se večji delci pri stresanju sipke snovi znajdejo vedno na vrhu, se
imenuje po brazilskih oreških, ki se tako izrazito ločijo v mešanici različnih oreškov
(slika levo). Vir: [21]. Pojav brazilskih oreškov se lahko pojasni tudi s pomočjo
perkolacije ter z nižanjem težišča, ki nastane zaradi zapolnitve praznih prostorov med
večjimi delci, kakor je vidno na desnih slikah. Vir: [19].
proti površini, ob robovih pa proti dnu posode. Toda trenje ob steno posode se da
zmanjšati, zaradi tega pa konvekcijski tok v sipki snovi lahko poteka obratno: ob
stenah proti vrhu posode, na sredi proti dnu posode. Takrat pa ne pride do pojava
brazilskih oreškov, temveč se večji delci znajdejo na dnu posode, kjer spet ostanejo
ujeti [4]. Pojav se imenuje obratni pojav brazilskih oreškov (angl. reverse brazil nut
effect - RBNE). Na konvekcijo v sipki snovi pa lahko vplivamo tudi na drugačen način:
vzamemo posodo stožčaste oblike (slika 8 desno), kjer dobimo enak učinek, kakor pri
posodi z gladkimi stenami.
Slika 8: Vpliv na segregacijo pri stresanju sipke snovi ima tudi konvekcija, ki na površje
potisne večje delce (sliki levo). Na trenje delcev s steno posode lahko vplivamo z izbiro
sten posode. Srednja slika predstavlja posodo z gladkimi stenami, ki je v ozkem pasu
na desni steni prevlečena z grobozrnatim peskom. Na smer konvekcije poleg ustrezne
gladkosti sten lahko vplivamo tudi z obliko posode, npr. slika desno. Pri tem dobimo
obratni pojav brazilskih oreškov, saj veliki delci potonejo na dno ter tam ostanejo.
Vir: [4, 18].
12. december 2007 15

5. Pojavi pri mešanju sipkih snovi v bobnu Segregacija sipkih snovi
5 Pojavi pri mešanju sipkih snovi v bobnu
Obstaja veliko načinov, kako več vrst sipkih snovi med seboj zmešati. Najenostavnejši
način je mešanje v bobnu, raznih mešalcih okrogle, elipsaste ali drugih
oblik. Prvi, ki se je lotil preučevanja mešanja sipke snovi v bobnu (valj, katerega
os je postavljena vodoravno), je bil Oyama (1939). Največkrat se bobni uporabljajo v
gradbeništvu ter pri predelavi, čiščenju ali mešanju raznih rudnin. Običajno mešanica
med vrtenjem delno napolnjenega bobna ne zdrsuje, temveč se ob prevelikem naklonu
snovi, ki preseže kot mirovanja, zgornja plast začne kotaliti ter se sipati proti spodnjemu
koncu snovi [22]. V industriji skušajo največkrat prav na ta način zagotoviti
enakomernost mešanice snovi. Pri takem mešanju snovi v bobnu ločimo dva sloja:
pasivnega ter aktivnega (slika 9). V spodnjem, pasivnem, sloju se snov le prenaša
na višjo lego, medtem ko se snov v aktivnem sloju sproža v plazovih ter se kotali
proti dnu snovi [23]. Aktivni sloj je proti pasivnemu veliko tanjši in je približno nekaj
premerov delcev globok, podobno kakor pri sipanju sipke snovi po klancu.
Slika 9: Mešanica snovi v bobnu na levi sliki ne zdrsuje, temveč se pri prevelikem
naklonu vrhnja plast siplje. Vir: [24]. Vrteči boben v sipki snovi izoblikuje dva sloja:
pasivnega ter aktivnega. V pasivnem sloju se snov le prenaša, dokler ne preide v
aktiven sloj, kjer pa se sprožajo plazovi in delci se tako odkotalijo do dna bobna. Vir:
[22].
5.1 Radialna segregacija
Pri mešanju dveh ali več različnih vrst sipkih snovi, katerih delci se med seboj
razlikujejo po velikosti, hrapavosti površine ali gostoti, spet gre za segregacijo delcev.
Že po nekaj obratih bobna se manjši ali bolj hrapavi delci znajdejo v osrednjem delu
(notranjosti) vzdolž celotne osi bobna, na robu pa ostanejo večji ali bolj gladki delci.
Pojav poznamo kot radialno segregacijo delcev. Pri poskusih [24] mešanja delcev
z razliko v masi ter velikosti se je izkazalo, da pri delcih iste velikosti, a različnih
gostotah, do segregacije pride zelo hitro, že po nekaj obratih. Težji delci ostanejo ujeti
na sredi snovi (v jedru), lažje pa najdemo na obrobju, saj težji delci pri kotaljenju
16 12. december 2007

Segregacija sipkih snovi 5.2 Aksialna segregacija
zaradi teže preidejo v notranjost. Pri enakih masah, a različno velikih delcih, v jedru
zaradi perkolacije ostanejo manjši delci, obrobje pa tvorijo večji delci. Če je razlika
med delci tako v masi, kakor v velikosti, pa dobimo jedro, ki ni okrogle oblike, temveč
tvori presek jedra neke vrste vzorec (slika 10 levo). To se zgodi, če so manjši delci
težji od večjih. Do pojava pride zaradi perkolacije ter izpodrivanja večjih delcev. Pri
mešanici delcev, kjer so večji delci težji, manjši pa lažji, pa se pojava izpodrivanja
ter perkolacije skušata uravnovesiti, saj težji, večji delci skušajo v globino prehajati
zaradi teže, manjši, lažji delci pa zaradi razlike v velikosti (slika 10 desno).
Slika 10: Pri mešanju v bobnu pride do različnih vzorcev radialne segregacije, odvisno
od razlike v velikosti delcev ter njihove mase. Leva slika prikazuje radialno segragacijo
manjših, lažjih delcev ter težjih, večjih. Desna slika prikazuje segregacijo manjših,
težjih delcev z večjimi, lažjimi delci. Vir: [24].
5.2 Aksialna segregacija
Popolnoma drugačen pojav nastane, če boben vrtimo počasi in počakamo zelo
dolgo, ponavadi nekaj 100 ali nekaj 1000 obratov. Takrat opazimo, da se je mešanica
snovi vzdolž osi bobna razdelila na pasove, sestavljene iz delcev iste vrste [25, 26].
Pri tem gre za pojav aksialne segregacije, ki se izoblikuje iz radialne segregacije, ko se
jedro, sestavljeno iz delcev iste vrste, začne na nekaterih mestih tanjšati, na drugih
pa debeliti (slika 11), kar potrjujejo tudi poskusi [26, 27]. Pri spreminjanju radija
bobna ugotovimo, da segregacija take vrste nastane le pri radiju, večjem od nekega
minimalnega radija bobna [25].
6 Sklep
Sipke snovi se obnašajo popolnoma drugače, kot tekočine ali trdne snovi. Marsikateri
pojavi še niso pojasnjeni, pri nekaterih obstajajo le delne razlage, večinoma
pridobljene na podlagi eksperimentalnih opazovanj. Pri tem velik delež proučevanja
eksperimentov zavzemajo razni modeli ter simulacije, brez katerih je težko napovedati
natančnejše obnašanje snovi pri proučevanih pojavih.
12. december 2007 17

6. Sklep Segregacija sipkih snovi
Slika 11: Pri mešanju v bobnu pride do aksialne segregacije le pri radijih bobna,
večjega od nekega minimalnega (d ≈ 2.2cm). Pojav je odvisen tudi od razlike v
velikosti delcev ter njihove mase (leva slika). Vir: [25]. Aksialna segregacija nastane,
ko se jedro pri radialni segregaciji na nekaterih mestih začne sčasoma tanjšati ali
debeliti, kar se opazi na desni sliki. Vir: [26].
Opazimo, da je področje sipkih snovi relativno majhno, ozko področje, kjer so
si pojavi podobni, a vendar je pri izgradnji teoretičnih modelov potrebno vključiti
spoznanja iz mnogih fizikalnih področij. Zaradi nelinearnosti enačb ter zanemarljivi
termični energiji na gibanje delcev je oblikovanje veljavne teorije težavno delo, zato
je iskanje razlag pojavov v sipkih snoveh vse prej kot enostavno.
V tem prispevku so bili predstavljeni osnovni pojavi pri sipanju, stresanju ter
mešanju suhih sipkih snovi v prisotnosti zraka pri normalnem zračnem tlaku. Okvirno
so bili pojasnjeni pojavi segregacije, stratifikacije pri sipanju sipke snovi na kup, pojav
konvekcije ter perkolacije pri stresanju sipkih snovi ter radialna in aksialna segregacija
pri mešanju mešanice sipke snovi v bobnu.
18 12. december 2007

Segregacija sipkih snovi LITERATURA
Literatura
[1] J. Duran, Sands, Powders, and Grains: An Introduction to the Physics of Granular
Materials (Springer-Verlag, New York, 2000).
[2] S. Lasič, Sipka snov, seminar (Ljubljana, 2003).
[3] R. L. Brown, J. C. Richards, Principles of powder mechanics (Pergamon Press,
Oxford, 1970).
[4] J. B. Knight, H. M. Jaeger, S. R. Nagel, Phys. Rev. Lett. 70, 3728 (1993).
[5] H. Makse, Eur. Phys. J. B 7, 271 (1999).
[6] N. Harnby, M. F. Edwards, A. W. Nienow, Mixing in the process industries
(Butterworths, London, 1985).
[7] H. A. Makse, S. Havlin, P. R. King, H. E. Stanley, Nature 386, 379 (1997).
[8] M. J. Rhodes, Principles of powder technology (John Wiley & Sons, Chicester,
1990).
[9] S. P. Pudasaini, J. Mohring, Gran. Matt. 4, 45 (2002).
[10] T. Hwa, M. Kardar, Phys. Rev. Lett. 62 1813 (1989).
[11] T. Hwa, M. Kardar, Phys. Rev. A 45 7002 (1992).
[12] J.-P. Bouchard, M. E. Cates, J. Ravi Prakash, S. F. Edwards, J. Phys. I France
4, 1383 (1994).
[13] J.-P. Bouchard, M. E. Cates, J. Ravi Prakash, S. F. Edwards, Phys. Rev. Lett.
74, 1982 (1995).
[14] T. Boutreux, P. G. de Gennes, J. Phys. I France 6, 1295 (1996).
[15] T. Boutreux, Eur. Phys. J. B 6, 419 (1998).
[16] T. Boutreux, H. A. Makse, P. G. de Gennes, Eur. Phys. J. B 9, 105 (1999).
[17] H. A. Makse, P. Cizeau, H. E. Stanley, Phys. Rev. Lett. 78, 3298 (1997).
[18] H. M. Jaeger, S. R. Nagel, R. P. Behringer, Rev. Mod. Phys. 68, 1259 (1996).
[19] A. Rosato, K. J. Strandburg, F. Prinz, R. H. Swendsen, Phys. Rev. Lett. 58,
1038 (1987).
[20] X. Z. Kong, M. B. Hu, Q. S. Wu, Y. H. Wu, Gran. Matt. 8, 119 (2006).
[21] http://en.wikipedia.org/wiki/Brazil_nut_effect, obiskano decembra 2007
12. december 2007 19

LITERATURA Segregacija sipkih snovi
[22] S. Chakraborty, P. R. Nott in J. R. Prakash, Eur. Phys. J. E 1, 265 (2000).
[23] C. M. Dury, G. H. Ristow, J. Phis. I France 7, 737 (1997).
[24] N. Jain, J. M. Ottino, R. M. Lueptow, Gran. Matt. 7, 69 (2005).
[25] C. R. J. Charles, Z. S. Khan, S. W. Morris, Pattern scaling in the axial segregation
of granular materials in a rotating tube, Phys. Rev. E., preprint (2005).
[26] K. M. Hill, A. Caprihan, J. Kakalios, Phys. Rev. Lett. 78 50 (1997).
[27] Z. S. Khan, W. A. Tokaruk, S. W. Morris, Oscillatory granular segregation in a
long drum mixer, Europhys. Lett., preprint (2004).
20 12. december 2007