בעיית קושי ויחידות הפתרון

בעיית קושי ויחידות הפתרון
(1)
(2)
(3)
נתבונן במשוואה חלקית מסדר שני
1. קיום ויחידות
2 2 2
∂ u ∂ u ∂ u ⎛ ∂u ∂u⎞
Axy ( , ) + 2 Bxy
2
( , ) + C( xy , ) + F xyu , , , , = 0,
2
( xy , ) ∈D⊆
x
∂∂ xy
⎜
y
∂x ∂y
⎟
R
∂ ∂ ⎝ ⎠
נתונה עקומה L בעלת ערך סופי ומוגדרת על-יד משוואות פרמטריות
(1)
( ) ( )
.(Caushy)
z = u( x,
y)
( ) ( )
( ) ( )
. x = x s , y = y s ,0≤s≤l
בעיית קושי
בסביבה של עקומה L מצא פתרון
של המשוואה
המקיים את תנאי שפה הבאים:‏
( ) ( )
ϕ s , ψ s ,0≤ s≤l
,( x,
y)
( )
xy , ∈L
( ) ( )
u x, y = u x s , y s =ϕ s ,0 ≤ s≤l,
∂u
∂n
∂u
x, y = ( x( s) , y( s)
) =ψ( s)
,0 ≤s≤l,
( xy , ) ∈L
∂n
∂u L
( x , y )
∂n
2
כאשר
גזירות.‏
היא נגזרת לפי נורמל לעקומה
בנקודה
הן שתי פונקציות
( ) ( ) ( ) ( )
x s , y s , ϕ s , ψ s ,0 ≤ s≤l,
משפט 1 ‏(של קושי-קוולווסקי Covalevsky) .((Caushy and
אם:‏
א)‏ הפונקציות
, A( xy , ), Bxy ( , ), C( xy , ), ( xy , ) ∈ D והפונקציות
,(1)
הן פונקציות אנאליטיות,‏
ב)‏ העקומה היא אינו עקומה אופיינית של המשוואה
(2)
.(3)
(1)
u( x,
אזי בסביבה של העקומה L קיים פתרון אנאליטי (y
יחיד של המשוואה
המקיים את התנאי השפה
(1)
,(1)
בלי הוכחה.‏
הבחנה.‏
אם העקומה היא כן עקומה אופיינית של המשוואה
השפה קיים ויחיד.‏
אזי לא תמיד פתרון של המשוואה
המקיים את התנאי
(2)
(3)
(4)
(5)
בעיית קושי עבור משוואות היפרבוליות.‏
(4)
2 2
u 2 ∂
.2
נתבונן במשוואת גלים
∂ u
. = a , 2 2
( x , t) ∈ D = ( x , t)
: t >
∂t
∂x
0
D = {( x, t)
: t > 0}
( ) ( )
{ }
בעיית קושי.‏
בחצי משור
מצא פתרון של המשוואה
המקיים את תנאי התחלה
u x,0 =ϕ x , −∞< x

א''‏
( x)
ϕ −∞ < x < +∞
1 ,
( x)
ϕ −∞< x 0
x+
at
1 1 ⎛
⎞
. u( x, t) = ( ϕ0( x− at) +ϕ 0( x+ at)
) + ϕ1( θ)
dθ , t > 0, −∞ < x < +∞
2 2a
⎜ ∫
⎟
⎝ x−at
⎠
הוכחה.‏
2.1. מציאת פתרון כללי של משוואת גלים
נשתמש בהחלפת משתנים
(6)
(6.1)
(6.2)
(7)
(8)
(9)
(10)
.
s = x−at,
τ= x+
at
פותרים את המערכת
s = x−at,
τ= x+
at
x, . מקבלים:‏
t
τ+ s τ−s
. x = , t =
לפי
2 2a
נסמן:‏
( , ) ( s s
τ = , )
V s u τ+ τ− 2 2a
מתקיים:‏
′ ′ ⎛s+τ τ− s⎞1 ′ ⎛s+τ τ−s⎞
1
Vs ( s, τ ) = ux⎜ , ⎟ − ut⎜ , ⎟ =
⎝ 2 2a ⎠2 ⎝ 2 2a ⎠2a
1⎛
′ ⎛s+τ τ− s⎞ ′ ⎛s+τ τ−s⎞1⎞
= ux
, ut
, ;
2
⎜ ⎜ ⎟−
⎜ ⎟
2 2a 2 2a a
⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠
′′ 1⎛
′′ ⎛s+τ τ− s⎞1 ′′ ⎛s+τ τ−s⎞
1 ⎞
Vsτ
( s, τ ) = ⎜ , ⎟ + ⎜ , ⎟ −
2
⎜uxx uxt
2 2 2 2 2 2
⎟
⎝ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ a⎠
1⎛
′′ ⎛s+τ τ− s⎞ 1 ′′ ⎛s+τ τ−s⎞
1
− , ,
2
⎜utx
⎜ ⎟ + utt
⎜ ⎟
⎝ ⎝ 2 2a ⎠2a ⎝ 2 2a ⎠2a
1⎛
′′ ⎛s+τ τ− s⎞ 1 ′′ ⎛s+τ τ−s⎞⎞
= ⎜ , ⎟− , = 0,
2 ⎜ ⎟
4
⎜uxx
utt
2 2 2 2
⎟
⎝ ⎝ a ⎠ a ⎝ a ⎠⎠
′′
( s )
2
⎞
⎟
⎠
ז
. Vsτ , τ = 0
′
s
( , τ ) = ( ), ( , τ ) = ( ) = ( ) + ( τ)
. V s C s V s ∫C s ds C s C
3 3 2 1
( ) ( s)
מתקיים:‏
′′ ′
V s, τ = V ′
= 0
sτ
מ-(‏‎17‎‏)‏ נובע,‏ ש-‏
לכן
τ
2

(11)
(12)
(13)
( , τ ) = 1( τ ) + 2( )
C ( s) , C ( τ)
V s C C s
כאשר 2 1
על-ידי
הן פונקציות גזירות פעמיים כלשהן.‏
(6.1)
. u x, t = V ( x − at, x + at)
= C x − at + C x + at
ו-(‏‎6.2‎‏)‏ מקבלים פתרון כללי:‏
( ) ( ) ( )
1 2
2.2. מציאת פתרון פרטי של משוואת גלים
מתקיים:‏
( 1 2 )
( , ) = − ( − ) + ( + )
′ ′ ′
t
u x t a C x at C x at
( ) =ϕ ( ) = ( ) + ( )
u x,0 x C x C x ,
0 1 2
( )
( ) =ϕ ( ) = − ( ) + ( )
′ ′ ′
t
1 1 2
u x,0 x a C x C x .
מכאן -
(14)
1 1
C x − C x = ϕ x dx = ϕ θ d θ+ C, ∀ C ∈ .
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 1
a
a
0
x
∫ ∫ R
מי-(‏‎14)-(13‎‏)‏ נובכי ש-‏
(15)
(16)
(17)
C1 ( x−
at)
( ),
( )
. C x C x מקבלים:‏
x
2 1
( ) + ( ) =ϕ ( )
C x C x x
2 1 0
1
C x − C x = ϕ θ dθ+
C.
( ) ( ) ( )
2 1 1
a
0
(15)
x
∫
,
פותרים את המערכת
לפי
x
1⎛
1
⎞
C1( x) = ϕ0( x) − ϕ1( θ)
dθ−C , ∀C∈
,
2 ⎜
a
∫
R
⎟
⎝
0
⎠
x
1⎛
1
⎞
C2( x) = ϕ 0( x) + ϕ1( θ)
dθ+ C , ∀C∈
.
2 ⎜
a
∫
R
⎟
⎝
0
⎠
x + at
מציבים x x − at
במקום
ל-(‏‎11‎‏).‏ מקבלים:‏
ו-‏ ל-(‏‎16‎‏)‏
במקום
ל-(‏‎16‎‏)‏
ולאחר מציבים את
ו-‏
2
( + )
C x at
x− at
x+
at
1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1
⎞
u( x,
t) = ϕ0( x−at) − ϕ1( θ) dθ− C + ϕ 0( x+ at) + ϕ1( θ)
dθ+ C =
2⎜ a
∫
⎟ 2⎜ a
∫
⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝ 0
⎠
x− at
x+
at
1 1 ⎛
⎞
= ( ϕ0( x− at) +ϕ 0( x+ at)
) + − ϕ1( θ) dθ− C+ ϕ1( θ)
dθ+ C =
2 2a
⎜ ∫ ∫
⎟
⎝ 0 0
⎠
0
x+
at
1 1 ⎛
⎞
= ( ϕ0( x− at) +ϕ 0( x+ at)
) + ϕ1( θ) dθ+ ϕ1( θ)
dθ =
2 2a
⎜ ∫ ∫ ⎟
⎝ x−at
0 ⎠
1 1 ⎛
= ( ϕ0( x− at) +ϕ 0( x+ at)
) +
2 2a
⎜
⎝
3
⎞
x+
at
∫ ϕ1 ( θ)
dθ
,
⎟
x−at
⎠
ז''א הפתרון הפרטי המבורש מתקבל על-ידי:‏

ל''‏
x+
at
1 1 ⎛
⎞
(18) . u( x,
t) = ( ϕ0( x− at) +ϕ 0( x+ at)
) + ϕ1( θ)
dθ
2 2a
⎜ ∫
⎟
⎝ x−at
⎠
.D’Alambert
הנוסחה (18)
נקראת נוסח של
(19)
,(5)
(4)
( )
( )
( ) ( )
הגדרה 1.
יהיו
פתרון של המשוואה
פתרון של המשוואה
המקיים את תנאי התחלה
המקיים את תנאי התחלה
ו-‏
(4)
u x, t , −∞ < x < +∞ , t > 0
v x, t , −∞ < x < +∞ , t > 0
v x,0 =ψ x , −∞< x

ל''‏
בעיית קושי עבור משוואות
פרבוליות.‏
2
.3
נתבונן במשוואת חום
∂u
2 ∂ u
(19) . = a , 2
( x , t) ∈ D = ( x , t)
: t >
∂t
∂x
0
(20)
(19)
D = {( x, t)
: t > 0}
( ,0) ( ),
{ }
בעיית קושי.‏
בחצי משור
מצא פתרון של המשוואה
המקיים את תנאי התחלה
, u x =ϕ x −∞< x ⇔
. →∞
→∞ L ⎝ 2 ⎠
⇔ u xt , = 0, ∀ xt , ∈D⇔ u xt , = u xt , , ∀ xt , ∈D
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
על-ידי
מש
מקבלים:‏
.
5

ל''‏
(20)-(19)
ϕ ( x),
−∞< x

ל''‏
(25)
,(20)
(19)
( )
( )
( ) ( )
הגדרה 2.
יהיו
פתרון של המשוואה
פתרון של המשוואה
המקיים את תנאי התחלה
המקיים את תנאי התחלה
ו-‏
(19)
u x, t , −∞ < x < +∞ , t > 0
v x, t , −∞ < x < +∞ , t > 0
v x,0 = ψ x , −∞< x 0
(19)
אזי
אזי אומרים,‏ שפתרון של המשוואה
תלוי בתנאי התחלה
ברצף.‏
משפט 7.
פתרון של המשוואה (18) תלוי בתנאי התחלה (20) ברצף.‏
( x) ( x) , x
הוכחה.‏
יהיו
(26) . ϕ − ψ < δ −∞ < < +∞
2 2
+∞ ( x−s)
+∞ ( x−s)
1 −
2 1 −
2
u
4 4
( x, t) − v ( x,
t)
=
at
ϕ( ) −
at
ψ( )
2 π
∫ e s ds
2 π
∫ e s ds
a t a t
−∞
מתקיים:‏
2
+∞ ( x−s)
+∞
1 −
2
1
2
4
− y
= ( ϕ( ) −ψ ( )) = ϕ( −2 ) −ϕ( −2
) ≤
2 π
∫ e
at
s s ds
π
∫ e x ay t x ay t ds
a t
−∞
−∞
−∞
≤δ
1
π
+∞
∫
−∞
e
− y
2
ds =δ=ε
מש .
בעיית קושי עבור משוואות אליפטיות.‏
2 2
.4
נתבונן במשוואת לפלס
∂ u ∂ u
(27) . = − , 2 2
( xt , ) ∈ D= ( xt , ) : t>
∂t
∂x
0
(28)
(4)
D = {( x, t)
: t > 0}
( ) ( )
{ }
בעיית קושי.‏
בחצי משור
מצא פתרון של המשוואה
המקיים את תנאי התחלה
u x,0 =ϕ x , −∞< x

(29)
,(20)
(19)
( )
( )
( ) ( )
הגדרה . 3
יהיו
פתרון של המשוואה
פתרון של המשוואה
המקיים את תנאי התחלה
המקיים את תנאי התחלה
ו-‏
(19)
u x, t , −∞ < x < +∞ , t > 0
v x, t , −∞ < x < +∞ , t > 0
v x,0 =ψ x , −∞< x
0 }
∂t
∂x
u( x,0) =ϕ 0 ( x)
= 0, −∞< x

ל''‏
(32)
(33)
t t
⎛ 2 t ⎞ 2 1 2⎛
− ⎞
ε ε
lim ε sinh =
t
⎜ ⎟ limε sinh
ε =
2
limε
⎜e
− e ⎟ =
ε→0 ε ε→0 ε→0
⎝ ⎠
.
⎝ ⎠
1
= − =+∞+ =+∞∀ >
t
2
2
1
ε
ε
2
limε
e lim t
ε→0 2 ε→0
eε
0 , t 0
לכן
2 x t
lim max uε
( x, t) = lim max ε sin sinh =
ε→0 x∈
ε→0
x∈
ε ε
x 2 t 2 t
= max sin limε
sinh = limε
sinh =∞
x∈
ε ε→0 ε ε→0
ε
(30)
( ) ( )
u0 x, t ≡ 0, ∀ x,
ברור,‏ שהפונקציה t D∋
היא פתרון של המשוואה
עם תנאי התחלה
(33)
( ) ( )
u x,0 =ψ 0 x = 0, −∞< x