בעיית קושי ויחידות הפתרון

א''‏
( x)
ϕ −∞ < x < +∞
1 ,
( x)
ϕ −∞< x 0
x+
at
1 1 ⎛
⎞
. u( x, t) = ( ϕ0( x− at) +ϕ 0( x+ at)
) + ϕ1( θ)
dθ , t > 0, −∞ < x < +∞
2 2a
⎜ ∫
⎟
⎝ x−at
⎠
הוכחה.‏
2.1. מציאת פתרון כללי של משוואת גלים
נשתמש בהחלפת משתנים
(6)
(6.1)
(6.2)
(7)
(8)
(9)
(10)
.
s = x−at,
τ= x+
at
פותרים את המערכת
s = x−at,
τ= x+
at
x, . מקבלים:‏
t
τ+ s τ−s
. x = , t =
לפי
2 2a
נסמן:‏
( , ) ( s s
τ = , )
V s u τ+ τ− 2 2a
מתקיים:‏
′ ′ ⎛s+τ τ− s⎞1 ′ ⎛s+τ τ−s⎞
1
Vs ( s, τ ) = ux⎜ , ⎟ − ut⎜ , ⎟ =
⎝ 2 2a ⎠2 ⎝ 2 2a ⎠2a
1⎛
′ ⎛s+τ τ− s⎞ ′ ⎛s+τ τ−s⎞1⎞
= ux
, ut
, ;
2
⎜ ⎜ ⎟−
⎜ ⎟
2 2a 2 2a a
⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠
′′ 1⎛
′′ ⎛s+τ τ− s⎞1 ′′ ⎛s+τ τ−s⎞
1 ⎞
Vsτ
( s, τ ) = ⎜ , ⎟ + ⎜ , ⎟ −
2
⎜uxx uxt
2 2 2 2 2 2
⎟
⎝ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ a⎠
1⎛
′′ ⎛s+τ τ− s⎞ 1 ′′ ⎛s+τ τ−s⎞
1
− , ,
2
⎜utx
⎜ ⎟ + utt
⎜ ⎟
⎝ ⎝ 2 2a ⎠2a ⎝ 2 2a ⎠2a
1⎛
′′ ⎛s+τ τ− s⎞ 1 ′′ ⎛s+τ τ−s⎞⎞
= ⎜ , ⎟− , = 0,
2 ⎜ ⎟
4
⎜uxx
utt
2 2 2 2
⎟
⎝ ⎝ a ⎠ a ⎝ a ⎠⎠
′′
( s )
2
⎞
⎟
⎠
ז
. Vsτ , τ = 0
′
s
( , τ ) = ( ), ( , τ ) = ( ) = ( ) + ( τ)
. V s C s V s ∫C s ds C s C
3 3 2 1
( ) ( s)
מתקיים:‏
′′ ′
V s, τ = V ′
= 0
sτ
מ-(‏‎17‎‏)‏ נובע,‏ ש-‏
לכן
τ
2