בעיית קושי ויחידות הפתרון

(11)
(12)
(13)
( , τ ) = 1( τ ) + 2( )
C ( s) , C ( τ)
V s C C s
כאשר 2 1
על-ידי
הן פונקציות גזירות פעמיים כלשהן.‏
(6.1)
. u x, t = V ( x − at, x + at)
= C x − at + C x + at
ו-(‏‎6.2‎‏)‏ מקבלים פתרון כללי:‏
( ) ( ) ( )
1 2
2.2. מציאת פתרון פרטי של משוואת גלים
מתקיים:‏
( 1 2 )
( , ) = − ( − ) + ( + )
′ ′ ′
t
u x t a C x at C x at
( ) =ϕ ( ) = ( ) + ( )
u x,0 x C x C x ,
0 1 2
( )
( ) =ϕ ( ) = − ( ) + ( )
′ ′ ′
t
1 1 2
u x,0 x a C x C x .
מכאן -
(14)
1 1
C x − C x = ϕ x dx = ϕ θ d θ+ C, ∀ C ∈ .
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 1
a
a
0
x
∫ ∫ R
מי-(‏‎14)-(13‎‏)‏ נובכי ש-‏
(15)
(16)
(17)
C1 ( x−
at)
( ),
( )
. C x C x מקבלים:‏
x
2 1
( ) + ( ) =ϕ ( )
C x C x x
2 1 0
1
C x − C x = ϕ θ dθ+
C.
( ) ( ) ( )
2 1 1
a
0
(15)
x
∫
,
פותרים את המערכת
לפי
x
1⎛
1
⎞
C1( x) = ϕ0( x) − ϕ1( θ)
dθ−C , ∀C∈
,
2 ⎜
a
∫
R
⎟
⎝
0
⎠
x
1⎛
1
⎞
C2( x) = ϕ 0( x) + ϕ1( θ)
dθ+ C , ∀C∈
.
2 ⎜
a
∫
R
⎟
⎝
0
⎠
x + at
מציבים x x − at
במקום
ל-(‏‎11‎‏).‏ מקבלים:‏
ו-‏ ל-(‏‎16‎‏)‏
במקום
ל-(‏‎16‎‏)‏
ולאחר מציבים את
ו-‏
2
( + )
C x at
x− at
x+
at
1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1
⎞
u( x,
t) = ϕ0( x−at) − ϕ1( θ) dθ− C + ϕ 0( x+ at) + ϕ1( θ)
dθ+ C =
2⎜ a
∫
⎟ 2⎜ a
∫
⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝ 0
⎠
x− at
x+
at
1 1 ⎛
⎞
= ( ϕ0( x− at) +ϕ 0( x+ at)
) + − ϕ1( θ) dθ− C+ ϕ1( θ)
dθ+ C =
2 2a
⎜ ∫ ∫
⎟
⎝ 0 0
⎠
0
x+
at
1 1 ⎛
⎞
= ( ϕ0( x− at) +ϕ 0( x+ at)
) + ϕ1( θ) dθ+ ϕ1( θ)
dθ =
2 2a
⎜ ∫ ∫ ⎟
⎝ x−at
0 ⎠
1 1 ⎛
= ( ϕ0( x− at) +ϕ 0( x+ at)
) +
2 2a
⎜
⎝
3
⎞
x+
at
∫ ϕ1 ( θ)
dθ
,
⎟
x−at
⎠
ז''א הפתרון הפרטי המבורש מתקבל על-ידי:‏