בעיית קושי ויחידות הפתרון

ל''‏
(25)
,(20)
(19)
( )
( )
( ) ( )
הגדרה 2.
יהיו
פתרון של המשוואה
פתרון של המשוואה
המקיים את תנאי התחלה
המקיים את תנאי התחלה
ו-‏
(19)
u x, t , −∞ < x < +∞ , t > 0
v x, t , −∞ < x < +∞ , t > 0
v x,0 = ψ x , −∞< x 0
(19)
אזי
אזי אומרים,‏ שפתרון של המשוואה
תלוי בתנאי התחלה
ברצף.‏
משפט 7.
פתרון של המשוואה (18) תלוי בתנאי התחלה (20) ברצף.‏
( x) ( x) , x
הוכחה.‏
יהיו
(26) . ϕ − ψ < δ −∞ < < +∞
2 2
+∞ ( x−s)
+∞ ( x−s)
1 −
2 1 −
2
u
4 4
( x, t) − v ( x,
t)
=
at
ϕ( ) −
at
ψ( )
2 π
∫ e s ds
2 π
∫ e s ds
a t a t
−∞
מתקיים:‏
2
+∞ ( x−s)
+∞
1 −
2
1
2
4
− y
= ( ϕ( ) −ψ ( )) = ϕ( −2 ) −ϕ( −2
) ≤
2 π
∫ e
at
s s ds
π
∫ e x ay t x ay t ds
a t
−∞
−∞
−∞
≤δ
1
π
+∞
∫
−∞
e
− y
2
ds =δ=ε
מש .
בעיית קושי עבור משוואות אליפטיות.‏
2 2
.4
נתבונן במשוואת לפלס
∂ u ∂ u
(27) . = − , 2 2
( xt , ) ∈ D= ( xt , ) : t>
∂t
∂x
0
(28)
(4)
D = {( x, t)
: t > 0}
( ) ( )
{ }
בעיית קושי.‏
בחצי משור
מצא פתרון של המשוואה
המקיים את תנאי התחלה
u x,0 =ϕ x , −∞< x