בעיית קושי ויחידות הפתרון

ל''‏
(32)
(33)
t t
⎛ 2 t ⎞ 2 1 2⎛
− ⎞
ε ε
lim ε sinh =
t
⎜ ⎟ limε sinh
ε =
2
limε
⎜e
− e ⎟ =
ε→0 ε ε→0 ε→0
⎝ ⎠
.
⎝ ⎠
1
= − =+∞+ =+∞∀ >
t
2
2
1
ε
ε
2
limε
e lim t
ε→0 2 ε→0
eε
0 , t 0
לכן
2 x t
lim max uε
( x, t) = lim max ε sin sinh =
ε→0 x∈
ε→0
x∈
ε ε
x 2 t 2 t
= max sin limε
sinh = limε
sinh =∞
x∈
ε ε→0 ε ε→0
ε
(30)
( ) ( )
u0 x, t ≡ 0, ∀ x,
ברור,‏ שהפונקציה t D∋
היא פתרון של המשוואה
עם תנאי התחלה
(33)
( ) ( )
u x,0 =ψ 0 x = 0, −∞< x