Formalny opis rachunku lambda i nie tylko, kolejna wersja

More documents

Recommendations

Info

$res://C:\Program Files\Microsoft ACT\act.exe/RPTSUMMARY.HTM$

Lemat 9.1 Jeżeli M 0 → β M 1 → β M 2 → β M 3 . . . → β M m jest redukcją standardową, a wyrażenie M m jest w postaci normalnej, to ta redukcja jest normalna. Dowód. Przez indukcję ze względu na m, że jeżeli pierwszy redeks L termu M 0 nie został zredukowany, to po wykonaniu m kroków redukcji standardowej otrzymujemy term M m , który nie jest w postaci normalnej. Załóżmy, że redeks L nie został zredukowany podczas redukcji termu M 0 do M 1 . Zgodnie z lematem 8.7 istnieje podterm K termu M 1 taki, że p M0 ,M 1 (K) = L. Z lematu 8.9 otrzymujemy, że K jest redeksem. Gdyby K został zredukowany podczas przekształcania M 1 w M 2 , to na mocy lematu 8.6 redukcja nie byłaby standardowa. Jeżeli nie został zredukowany, to z założenia indukcyjnego otrzymujemy, że term M m nie ma postaci normalnej. ✷ 9.2 Redukcja normalna Twierdzenie 9.2 (o normalizacji) Jeżeli wyrażenie M 0 ma postać normalną, to redukcja normalna M 0 → β M 1 → β M 2 → β M 3 . . . jest skończona, a jeżeli jest też dostatecznie długa, to jej ostatni wyraz jest postacią normalną M 0 . Dowód. Po pierwsze, redukcja normalna jest jednoznacznie wyznaczona. Po drugie, na mocy twierdzenia o standaryzacji 9.7 i lematu 9.1, stosując redukcję normalną term M 0 można sprowadzić do postaci normalnej. Jednoznaczność redukcji normalnej gwarantuje, że dana redukcja jest częścią redukcji normalnej prowadzącej do postaci normalnej. ✷ Wniosek 9.3 Jeżeli istnieje nieskończona redukcja normalna, zaczynająca się termem M 0 , to term ten nie ma postaci normalnej. ✷ Lemat 9.4 Przyjmijmy, że mamy cztery wyrażenia M 0 , M 1 , N 0 , N 1 , które redukują się, jak na rysunku S M 0 −→ β M 1 R 0 ↓ β R 1 ↓ β N 0 N 1 na którym obok symboli redukcji są podane przekształcane redeksy. Jeżeli R 0 = p M0 ,M 1 (R 1 ) i R 0 leży w wyrażeniu M 0 na lewo od S (a więc redukcja M 0 → β M 1 → β N 1 nie jest standardowa), to N 0 → β N 1 (a więc można ją zastąpić bardziej standardową redukcją M 0 → β N 0 → β N 1 ). Ponadto w tej sytuacji, jeżeli R 1 jest pierwszym redeksem w termie M 1 , to R 0 jest pierwszym redeksem w termie M 0 . Dowód. Możemy pokolorować oba przekształcane redeksy (R 0 i S) w termie M 0 . Dla redukcji kolorowych redeksów, redukcja M 0 → β M 1 → β N 1 przekształca M 0 w postać normalną N 1 (jest to redukcja od końca). Term M 0 możemy też przekształcić do N 0 , a następnie N 0 do postaci normalnej, redukując kolorowe redeksy (S lub jego kopie). Ponieważ jest to zawsze wykonalne, a dla redukcji kolorowych redeksów postać normalna jest jednoznacznie wyznaczona, term N 0 też można przekształcić do N 1 . Dalej korzystamy z lematów 8.7, 8.9 i 8.6. ✷ 20
Wniosek 9.5 Przyjmijmy, że M 0 → β N 1 oraz M 0 → β N 0 i w każdej z tych redukcji (chociaż raz) redukujemy pierwsze redeksy. Wtedy M 0 → β N 1 . ✷ Wniosek 9.6 Jeżeli istnieje nieskończona redukcja quasi-normalna, zaczynająca się termem M 0 , to term ten nie ma postaci normalnej. ✷ 9.3 Standaryzacja Twierdzenie 9.7 (o standaryzacji) Jeżeli M → β N, to istnieje redukcja standardowa M do N. Dowód. Twierdzenie to dowodzimy przez indukcję korzystając z lematu 9.10. ✷ Najpierw pokażemy lematy pomocnicze. Lemat 9.8 Przypuśćmy, że w każdym kroku redukcji C 0 → β C 1 → β C 2 → β . . . → β C n jest redukowany najbardziej lewy pokolorowany redeks. Niech M 0 będzie podtermem C 0 , który jest abstrakcją i leży na lewo od wszystkich kolorowych redeksów. Wtedy istnieje podterm N wyrażenia C n , który jest abstrakcją, taki że p ∗ C 0 ,C n (N) = M 0 oraz pref C0 (M 0 ) = pref Cn (N). Dowód. Z lematu 8.7 wynika, że istnieje podterm M 1 wyrażenia C 1 taki, że p C0 ,C 1 (M 1 ) = M 0 . Z lematu 8.6 otrzymujemy, że pref C0 (M 0 ) = pref C1 (M 1 ) a z lematu 8.9 – że M 1 jest abstrakcją. Jeżeli pokażemy, że M 1 leży w termie C 1 na lewo od wszystkich pokolorowanych redeksów, to tezę otrzymamy z zasady indukcji. Przypuśćmy, że redukcja C 0 → β C 1 polegała na zastąpieniu redeksu X reduktem Y . Wtedy pref C0 (X) = pref C1 (Y ). Ponieważ X jest pierwszym kolorowym redeksem, więc prefiks pref C0 (X) nie zawiera kolorowych opreratorów abstrakcji. Zawiera za to prefiks pref C0 (M 0 ). Wobec tego także prefiks pref C1 (M 1 ) nie zawiera żadnych kolorowych operatorów i leży na lewo od wszystkich kolorowych redeksów. ✷ Lemat 9.9 Przypuśćmy, że w każdym kroku redukcji C 0 → β C 1 → β C 2 → β . . . → β C n jest redukowany najbardziej lewy pokolorowany redeks. Niech M będzie podtermem C n , który jest abstrakcją i p ∗ C 0 ,C n (M) leży w termie C 0 na lewo od wszystkich kolorowych redeksów. Wtedy pref C0 (p ∗ C 0 ,C n (M)) = pref Cn (M). Dowód. Podobny do dowodu poprzedniego lematu. ✷ Lemat 9.10 Przypuśćmy, że A 0 → β B 0 → β B i redukcja B 0 do B jest standardowa. Wtedy A 0 też można standardowo zredukować do B. 21
Page 1 and 2: Formalizacja podstawowych pojęć r
Page 3 and 4: 2) jeżeli M, N ∈ Λ, to (MN) ∈
Page 5 and 6: 2.7 Przekształcanie wyrażeń w wy
Page 7 and 8: 3.4 Konwersje Mając relację reduk
Page 9 and 10: Dowód. Taki jak poprzedni lub z le
Page 11 and 12: Dowód. Dowodzimy to przez indukcj
Page 13 and 14: 1) jeżeli M = N, to M → N, 2) je
Page 15 and 16: Pojęcia α-konwersji, podstawiania
Page 17 and 18: 8.2 Porządek podwyrażeń W zbiorz
Page 19: Zwróćmy uwagę, że w przypadku R
Page 23 and 24: Na chwilę pomalujmy na czerwono re
Page 25 and 26: Liczbę naturalną k będziemy w la
Page 27 and 28: 10.5 λ-definiowalność funkcji pi
Page 29 and 30: 10.6 Operacja minimum Operacją min
Page 31 and 32: Pokażemy, że term F = Hc 0 defini
Page 33: Twierdzenie 10.11 Niech g : N 2 →

Formalny opis rachunku lambda i nie tylko, kolejna wersja

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?