Formalny opis rachunku lambda i nie tylko, kolejna wersja

More documents

Recommendations

Info

$res://C:\Program Files\Microsoft ACT\act.exe/RPTSUMMARY.HTM$

Z dowiedzionych równości prefiksów otrzymujemy, że pref Bi (Q i ) = pref Bi−1 (N) i dodatkowo, że słowo pref Bi−1 (N) jest prefiksem pref Bi−1 (Q i−1 ). Przyjrzyjmy się więc redukcji B i−1 → β B i . Z lematów 8.7 i 8.6 znajdujemy podterm K wyrażenia B i taki, że N = p Bi−1 ,B i (K) oraz pref Bi (K) = pref Bi−1 (p Bi−1 ,B i (K)) = pref Bi−1 (N) = pref Bi (Q i ). Z kolei z lematów 8.8 i 8.9 wynika, że podterm K jest abstrakcją. Dla abstrakcji operacja prefiksu jest różnowartościowa. Wobec tego K = Q i i p Bi−1 ,B i (Q i ), czyli N, leży na lewo od Q i−1 . To jednak przeczy założeniu, że redukcja B 0 , B 1 , B 2 , . . . jest standardowa. ✷ 10 Lambda definiowalność 10.1 Minimum historii Alonzo Church chyba w pierwszej chwili uważał rachunek lambda za system formalny, który mógłby być podstawą sformalizowanej – a więc być może pozbawionej sprzeczności – matematyki. Wcześniej próby zbudowania podobnego, formalnego systemu prowadził Emil Post, który rozważał bardzo skomplikowane gramatyki. Post i jego prace nie odziaływały istotnie na współczesne badania naukowe. Church dość szybko (chyba ok. 1932 roku) zorientował się, że rachunek lambda pozwala na sformalizowanie pojęcia obliczalności i może doprowadzić do rozwiązania problemu znanego jako Entscheidungsproblem, postawionego przez Dawida Hilberta, polegającego na skonstruowaniu procedury pozwalającej na rozstrzyganie hipotez matematycznych. Zaproponował utożsamienie pojęcia obliczalności z lambda definiowalnością. Stwierdzenie, że tak jest, jest jedną z wersji tezy Churcha. Church o słuszności swojej tezy przekonywał przytaczając twierdzenia o równoważność różnych definicji obliczalności, opartych o różne intuicje. W pierwszym rzędzie powoływał się równoważność lambda definowalności i definicji związanych z pracami Kurta Gödla, w tym przytoczonej dalej definicji klasy funkcji rekurencyjnych udoskonalonej przez Stephena Kleene’ego. Podobne rozważania prowadził Alan Turing, a wyniki swoich badań ujawnił w 1936 roku prawie równocześnie z Churchem. W przeciwieństwie do Churcha, Turing uzasadniał swoją definicję obliczalności argumentami filozoficznym opartymi o analizę pracy mózgu i obliczeń dokonywanych przez ludzi. Przekonywał, że maszyny Turinga działają podobnie, jak ludzie wykonujący obliczenia, i są w stanie zrealizować wszelkie obliczenia wykonywane przez ludzi. 10.2 Numerały Churcha Aby mówić w lambda rachunku o obliczalności należy w pierwszym rzędzie w tym rachunku reprezentować liczby naturalne. Pierwszy sposób reprezentowania zaproponował Church. Termy reprezentujące w ten sposób liczby naturalne nazywamy numerałami Churcha. Przyjmijmy, że M i N są termami rachunku lambda. Wtedy M k (N) oznacza term zdefiniowany wzorami M 0 (N) = N oraz M k+1 (N) = M(M k (N)). 24
Liczbę naturalną k będziemy w lambda rachunku reprezentować jako tzw. numerał Churcha c n dany wzorem c n = λfx.f n (x). Z twierdzenia Churcha-Rossera wynika, że różne liczby naturalne są reprezentowane przez numerały Churcha, o których w lambda rachunku nie można dowieść, że są równe. Numerały Churcha są oczywiście termami w postaci normalnej. Znane są też inne sposoby reprezentowania liczb naturalnych w lambda rachunku. Przyjrzyjmy się jeszcze numerałom Churcha. Ich intuicyjna interpretacja jest następująca: 1) c n fx = f n (x) to n-krotne aplikowanie funkcji f do x, 2) c n f = λx.f n (x) to funkcja, która jest n-krotnym złożeniem funkcji f, 3) c n = λfx.f n (x) to abstrakcyjna operacja n-krotnego składania. Mamy wzór c n f(fx) = c n+1 fx. Stąd term S = λafx.af(fx) spełnia Sc n = λfx.c n f(fx) = λfx.f n+1 (x) = c n+1 . Tak więc term S definiuje operację następnika (przyporządkowującą liczbie naturalnej n liczbę n + 1). Mamy także (λafx.f(afx))c n = λfx.f(c n fx) = λfx.f(f n (x)) = c n+1 . Podobnie, z wzoru c n f(c m fx) = f n+m (x) wynika, że termy λabfx.af(bfx) oraz λabfx.bf(afx) definiują dodawanie liczb naturalnych. Natomiast z wzoru c m (c n f)x = f mn (x) otrzymujemy, że termy λabfx.a(bf)x oraz λabfx.b(af)x definiują mnożenie liczb naturalnych. Powyższy wzór, także przytoczona wyżej interpretacja numerałow Churcha sugerują także wzór: c m (c n f) = f mn . Zauważmy, że także (λabf.a(bf))c m c n = c mn . 10.3 Lambda definiowalność wg Churcha Będziemy rozważać częściowe funkcje wielu zmiennych naturalnych przyjmujące wartości naturalne. Funkcje częściowe n zmiennych to takie, które niekoniecznie są określone dla wszystkich możliwych układów n liczb naturalnych. Funkcje określone dla dla wszystkich możliwych układów argumentów nazywamy całkowitymi. Tak więc funkcje całkowite są szczególnym przypadkiem funkcji częściowych. Funkcja częściowa dwóch zmiennych f : N 2 → N jest lambda definiowalna, jeżeli dla pewnego termu F ∈ Λ są spełnione dla dowolnych m, n ∈ N następujące warunki: 25
Page 1 and 2: Formalizacja podstawowych pojęć r
Page 3 and 4: 2) jeżeli M, N ∈ Λ, to (MN) ∈
Page 5 and 6: 2.7 Przekształcanie wyrażeń w wy
Page 7 and 8: 3.4 Konwersje Mając relację reduk
Page 9 and 10: Dowód. Taki jak poprzedni lub z le
Page 11 and 12: Dowód. Dowodzimy to przez indukcj
Page 13 and 14: 1) jeżeli M = N, to M → N, 2) je
Page 15 and 16: Pojęcia α-konwersji, podstawiania
Page 17 and 18: 8.2 Porządek podwyrażeń W zbiorz
Page 19 and 20: Zwróćmy uwagę, że w przypadku R
Page 21 and 22: Wniosek 9.5 Przyjmijmy, że M 0 →
Page 23: Na chwilę pomalujmy na czerwono re
Page 27 and 28: 10.5 λ-definiowalność funkcji pi
Page 29 and 30: 10.6 Operacja minimum Operacją min
Page 31 and 32: Pokażemy, że term F = Hc 0 defini
Page 33: Twierdzenie 10.11 Niech g : N 2 →

Formalny opis rachunku lambda i nie tylko, kolejna wersja

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?