Formalny opis rachunku lambda i nie tylko, kolejna wersja

More documents

Recommendations

Info

$res://C:\Program Files\Microsoft ACT\act.exe/RPTSUMMARY.HTM$

2) Jeżeli term ma postać normalną, to ma też głowową postać normalną. 3) Jeżeli term ma głowową postać normalną, to jest rozwiązalny. ✷ Podany lemat jest łatwy do wykazania, ale prawdziwa jest też trudniejsza do udowodnienia implikacja odwrotna do ostatniej z wymienionych, a więc mamy Twierdzenie 10.9 Term ma głowową postać normalną wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozwiązalny. ✷ Możemy teraz zmodyfikować definicję definiowalności (znaną ze strony 26). Funkcja częściowa dwóch zmiennych f : N 2 → N jest lambda definiowalna, jeżeli dla pewnego termu F ∈ Λ są spełnione dla dowolnych m, n ∈ N następujące warunki: 1) jeżeli wartość f(m, n) jest określona, to w lambda rachunku daje się dowieść, że F c m c n = c f(m,n) (lub równoważnie F c m c n → β c f(m,n) ), 2) jeżeli wartość f(m, n) nie jest określona, to wyrażenie F c m c n nie ma głowowej postaci normalnej a więc nie jest rozwiązalne. Twierdzenie 10.10 Złożenie częściowych funkcji lambda definiowalnych jest lambda definiowalne (w sensie powyższej definicji). Dowód. Dowód znowu przedstawimy na przykładzie. Przypuśćmy, że funkcja h jest złożeniem całkowitych funkcji f, g 1 i g 2 takim, że h(m, n) = f(g 1 (m, n), g 2 (m, n)). Niech F , G 1 i G 2 będą termami definiującymi odpowiednio funkcje f, g 1 i g 2 . Wtedy term H = λab.G 1 abII G 2 abII F (G 1 ab)(G 2 ab) definiuje złożenie h. Sprawdzenie warunku 1) z definicji funkcji lambda definiowalnej nie nastręcza żadnych trudności. Wystarczy zauważyć, że jeżeli wartość g i (m, n) jest określona, to G i c m c n II → β c gi (m,n)II → β I. Aby sprawdzić, że spełniony jest warunek 2), rozważamy kilka przypadków. Jeżeli wartość g 1 (m, n) nie jest określona, a mimo to term Hc m c n jest rozwiązalny, to Hc m c n N 1 . . . N k → β I dla pewnych termów N 1 , . . . , N k . Ale także Hc m c n N 1 . . . N k → β G 1 c m c n II G 2 ac m c n II F (G 1 c m c n )(G 2 c m c n )N 1 . . . N k , więc z twierdzenia Churcha-Rossera mamy G 1 c m c n II G 2 ac m c n II F (G 1 c m c n )(G 2 c m c n )N 1 . . . N k → β I. To przeczy jedna stwierdzeniom, że wartość g 1 (m, n) nie jest określona i term G 1 c m c n nie jest rozwiązalny. Analogiczne rozumowanie jest słuszne w pozostałych przypadkach: gdy wartość g 1 (m, n) jest, a g 2 (m, n) nie jest określona, oraz gdy wartości g 1 (m, n) i g 2 (m, n) są określone, a wartość f(g 1 (m, n), g 2 (m, n)) nie jest określona. ✷ Dowód twierdzenia 10.7 można uzupełnić tak, aby pozostał prawdziwy po zmianie pojęcia definiowalności. 32
Twierdzenie 10.11 Niech g : N 2 → N będzie całkowitą funkcją definiowaną w lambda rachunku za pomocą termu G. Wtedy funkcja f : N → N taka, że f(m) = µn(g(m, n) = 0) jest lambda definiowalna. Dowód. Zostanie tylko uzupełniony przy zachowaniu oznaczeń. Zmianie ulega jedynie fragment, w którym sprawdzamy własności F w przypadku, gdy f(m) nie jest określona. Załóżmy więc, że tak jest i dodatkowo, że term F c m = Hc 0 c m jest jednak rozwiązalny. Wtedy znajdujemy termy N 1 , . . . , N k takie, że Hc 0 c m N 1 . . . N k → β I. Jednak w dalszym ciągu powyższy term można redukować w następujący sposób: Hc 0 c m N 1 . . . N k → β Hc 1 c m N 1 . . . N k → β Hc 2 c m N 1 . . . N k → β . . . i jest to redukcja quasi-normalna. Z wniosku 9.6 wynika, że term Hc 0 c m N 1 . . . N k nie ma postaci normalnej i nie może zostać zredukowany do termu I, który jest w postaci normalnej. ✷ 33
Page 1 and 2: Formalizacja podstawowych pojęć r
Page 3 and 4: 2) jeżeli M, N ∈ Λ, to (MN) ∈
Page 5 and 6: 2.7 Przekształcanie wyrażeń w wy
Page 7 and 8: 3.4 Konwersje Mając relację reduk
Page 9 and 10: Dowód. Taki jak poprzedni lub z le
Page 11 and 12: Dowód. Dowodzimy to przez indukcj
Page 13 and 14: 1) jeżeli M = N, to M → N, 2) je
Page 15 and 16: Pojęcia α-konwersji, podstawiania
Page 17 and 18: 8.2 Porządek podwyrażeń W zbiorz
Page 19 and 20: Zwróćmy uwagę, że w przypadku R
Page 21 and 22: Wniosek 9.5 Przyjmijmy, że M 0 →
Page 23 and 24: Na chwilę pomalujmy na czerwono re
Page 25 and 26: Liczbę naturalną k będziemy w la
Page 27 and 28: 10.5 λ-definiowalność funkcji pi
Page 29 and 30: 10.6 Operacja minimum Operacją min
Page 31: Pokażemy, że term F = Hc 0 defini

Formalny opis rachunku lambda i nie tylko, kolejna wersja

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?