Formalny opis rachunku lambda i nie tylko, kolejna wersja

Na chwilę pomalujmy na czerwono redeks R i . Powoduje to, że wszystkie termy
z redukcji od C k do B i zawierają po jednym czerwonym redeksie. W termie B i
czerwonym redeksem jest Q i . Redukując go otrzymujemy B i+1 , term bez zielonych
oraz bez czerwonych redeksów. Term B i+1 jest więc postacią normalną termu
C k dla redukcji kolorowych redeksów. Do postaci normalnej dochodzimy zawsze,
redukując kolorowe redeksy w dowolnej kolejności. Możemy więc najpierw w termie
C k zredukować redeks czerwony (otrzymujemy A i+1 ), a następnie redukować
redeksy zielone zawsze biorąc pierwszy redeks od lewej. Redukując w ten sposób
też otrzymamy postać normalną. W szczególności, istnieje normalna dla zielonych
redeksów redukcja termu A i+1 do B i+1 i standardowa od C k do B i+1 .
Znowu są możliwe dwa przypadki:
Przypadek 2.2.1: k > 0.
W tym przypadku redukcja prowadząca od A 0 do A i , dalej od A i (oznaczanego
też C 0 ) do C k i na koniec do A i+1 otrzymanego z termu C k przez redukcję redeksu
R i jest standardowa. Jej standardowość wynika z definicji k.
Dodając do niej standardową redukcję prowadzącą od C k do B i+1 otrzymujemy
standardową redukcję od A 0 do B i+1 .
Przypadek 2.2.2: k = 0. Teraz mamy dwie redukcje od A 0 do A i oraz od A i do
A i+1 i dalej do B i+1 , obie standardowe, ale nie jest jasne, czy łącząc je otrzymamy
redukcję standardową. Sytuacja została przedstawiona na poniższym rysunku:
C ′ 0 → β C ′ 1 → β C ′ 2 → β . . . → β C ′ n → β B i−1
R i−1 ↓ β
A i
Z 0
−→β C 1
Z 1
−→β C 2
Z 2
−→β . . .
R i ↓ β
Z m−1
−→β C m
Z m
−→β
Q i−1 ↓ β
B i
Q i ↓ β
A i+1 → β . . . → β B i+1
Redeks R i−1 (zgodnie z oznaczeniami z rysunku) jest równy p ∗ C ′ 0 ,B i−1 (Q i−1), a redeks
R i = p ∗ A i ,B i
(Q i ). Konstrukcja tych redeksów gwarantuje również, że leżą one na
lewo od zielonych redeksów w odpowiednich termach.
Aby wspomniane redukcje po połączeniu dały redukcję standardową, redeks
R i−1 powinien być po lewej stronie redeksu p C ′
0 ,A i
(R i ). Są to różne redeksy. Dla
dowodu nie wprost załóżmy, że R i−1 jest po prawej stronie p C ′
0 ,A i
(R i ), a więc słowo
pref C ′
0
(p C ′
0 ,A i
(R i )) samo jest prefiksem pref C ′
0
(R i−1 ).
Na mocy lematu 9.9 zachodzi równość
pref Ai
(R i ) = pref Ai
(p ∗ A i ,B i
(Q i )) = pref Bi
(Q i ).
Z tego samego powodu zachodzi też równość
pref C ′
0
(R i−1 ) = pref C ′
0
(p ∗ C ′ 0 ,B i−1 (Q i−1)) = pref Bi−1
(Q i−1 ).
Z z założenia dowodu nie wprost i lematu 8.6 otrzymujemy, że
pref C ′
0
(p C ′
0 ,A i
(R i )) = pref Ai
(R i ).
Teraz do redukcji od C ′ 0 do B i−1 i p C ′
0 ,A i
(R i ) zastosujmy lemat 9.8. Wynika z niego,
że dla pewnego podtermu N wyrażenia B i−1 mamy
pref C ′
0
(p C ′
0 ,A i
(R i )) = pref Bi−1
(N).
23