Formalny opis rachunku lambda i nie tylko, kolejna wersja

More documents

Recommendations

Info

$res://C:\Program Files\Microsoft ACT\act.exe/RPTSUMMARY.HTM$

Twierdzenie 10.5 (o postaci normalnej Kleene’ego) Jeżeli f jest częściową funkcją rekurencyjną, to istnieją dwie pierwotnie rekurencyjne (a więc całkowite) funkcje g i h takie, że f( ⃗ k) = h(µm(g( ⃗ k, m) = 0)). Dowód. O h można nawet założyć, że jest określoną, bardzo prostą funkcją. Szkic dowodu twierdzenia jest następujący: zmieniamy trochę i rozbudowujemy algorytm obliczający wartości funkcji f, dodajemy licznik kroków algorytmu i dodatkowo o 1 zwiększamy ewentualny wynik obliczeń. Niech g oznacza funkcję f ′ ( ⃗ k, t) = { 0 jeżeli obliczenie wartości f( ⃗ k) wymaga > t kroków, f( ⃗ k) + 1 jeżeli obliczenie wartości f( ⃗ k) wymaga t kroków. Można przekonać się, że funkcja f ′ jest pierwotnie rekurencyjna. W teorii rekursji przyjmuje się, że 0 koduje prawdę. Funkcję g definiujemy jako funkcję boolowską, taką że g( ⃗ k, w) = 0 ≡ f ′ ( ⃗ k, (w) 1 ) = (w) 0 ∧ (w) 0 > 0, gdzie w jest liczbą, o ktrórej myślimy, że koduje ciąg (ewentualnie parę) liczb o pierwszej współrzędnej (w) 0 i drugiej (w) 1 . Niech h(x) = (x) 0 − 1 będzie zdefiniowana jako zmniejszona o 1 pierwsza współrzędna pary kodowanej przez x. Dla tak zdefiniowanej funkcji h zachodzi wzór z tezy twierdzenia. ✷ Wniosek 10.6 Klasa częściowych funkcji rekurencyjnych jest najmniejszą klasą funkcji zawierającą funkcje pierwotnie rekurencyjne i zamkniętą ze względu na złożenie i operację minimum stosowaną do funkcji całkowitych. ✷ 10.8 Operacja minimum i λ-definiowalność Twierdzenie 10.7 Niech g : N 2 → N będzie całkowitą funkcją definiowaną w lambda rachunku za pomocą termu G. Wtedy funkcja f : N → N taka, że f(m) = µn(g(m, n) = 0) jest lambda definiowalna. Dowód. Zdefiniujmy pomocniczą funkcję h : N 2 → N przyjmując, że { k jeżeli g(m, k) = 0 h(k, m) = h(k + 1, m) w przeciwnym przypadku Funkcja h jest definiowana przez specyficzną indukcję. Powinna być definiowana za pomocą termu H takiego, że H = λxy.Zero(Gyx)x(H(Sx)y), gdzie Zero jest termem zdefiniowanym na stronie 28. Zauważmy, że term H o wyżej podanej własności spełnia też warunki 1) jeżeli g(m, k) = 0, to Hc k c m → β c k , 2) jeżeli g(m, k) ≠ 0, to Hc k c m → β Hc k+1 c m , Przy czym wykonując podaną redukcję przynajmniej raz redukujemy pierwszy o lewej strony redeks. 30
Pokażemy, że term F = Hc 0 definiuje funkcję f. Nietrudno zauważyć, że jeżeli wartość f(m) jest określona, to dla pewnego k mamy Wobec tego mamy następującą redukcję g(m, l) ≠ 0 dla l < k oraz g(m, k) = 0. F c m = Hc 0 c m → β Hc 1 c m → β . . . Hc k−1 c m → β Hc k c m → β c k = c f(m) . Natomiast jeżeli f(m) nie jest określona i g(m, k) ≠ 0 dla wszystkich k, to mamy nieskończoną redukcję F c m = Hc 0 c m → β Hc 1 c m → β Hc 2 c m → β . . . która jest quasi-normalna. Z wniosku 9.6 otrzymujemy, że term F c m nie ma postaci normalnej. Pozostaje podać konstrukcję termu H. Wymaga to posłużenia się operatorem punktu stałego. Musi to być szczególny operator, gwarantujący wymagane własności H. Takim może być tzw. operator Turinga. Niech więc 1) A = λxy.y(xxy), 2) Θ = AA, 3) M = λhxy.Zero(Gyx)x(h(Sx)y). Wtedy H = ΘM = AAM → β M(AAM) = MH → β λxy.Zero(Gyx)x(H(Sx)y) i zachodzą wymienione wcześniej własności H. ✷ 10.9 Nowsze rozumienie definiowalności Funkcje definiowalne według Churcha mają może nawet bardzo intuicyjną definicję, ale jest ona zbyt restrykcyjna i trudno się nią posugiwać. Często inaczej formułuje się warunek nieokreśloności funkcji. Term M nazywamy rozwiązalnym (ang. solvable), jeżeli istnieją termy N 1 , . . . , N k takie, że (λx 1 . . . x n .M)N 1 . . . N k = I, gdzie zmienne x 1 , . . . , x n są wszystkimi zmiennymi wolnymi w termie M. Nietrudno zauważyć, że numerały Churcha są rozwiązalne. Mamy bowiem c n II = I. Także term xy(ωω) (gdzie ω = λz.zz) jest rozwiązałny, ponieważ (λxy.xy(ωω))KI = I, jednak nie ma on postaci normalnej. Mówimy, że term jest w głowowej postaci normalnej, jeżeli jest on postaci λx 1 . . . x n .xN 1 . . . N m , gdzie m i n są dowolnymi liczbami naturalnymi, także mogą być równe 0, x oraz x 1 , . . . , x n są dowolnymi zmiennymi, a N 1 . . . N m są dowolnymi termami. Term ωω nie ma głowowej postaci normalnej. Lemat 10.8 Zachodzą następujące fakty: 1) Term w postaci normalnej jest w głowowej postaci normalnej. 31
Page 1 and 2: Formalizacja podstawowych pojęć r
Page 3 and 4: 2) jeżeli M, N ∈ Λ, to (MN) ∈
Page 5 and 6: 2.7 Przekształcanie wyrażeń w wy
Page 7 and 8: 3.4 Konwersje Mając relację reduk
Page 9 and 10: Dowód. Taki jak poprzedni lub z le
Page 11 and 12: Dowód. Dowodzimy to przez indukcj
Page 13 and 14: 1) jeżeli M = N, to M → N, 2) je
Page 15 and 16: Pojęcia α-konwersji, podstawiania
Page 17 and 18: 8.2 Porządek podwyrażeń W zbiorz
Page 19 and 20: Zwróćmy uwagę, że w przypadku R
Page 21 and 22: Wniosek 9.5 Przyjmijmy, że M 0 →
Page 23 and 24: Na chwilę pomalujmy na czerwono re
Page 25 and 26: Liczbę naturalną k będziemy w la
Page 27 and 28: 10.5 λ-definiowalność funkcji pi
Page 29: 10.6 Operacja minimum Operacją min
Page 33: Twierdzenie 10.11 Niech g : N 2 →

Formalny opis rachunku lambda i nie tylko, kolejna wersja

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?